1

To 2ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας

- Το 1ο Θεώρημα Ευημερίας (FWT) εξασφαλίζει ότι η ανταγωνιστικήισορροπία είναι άριστη κατά Pareto αλλά δεν εξασφαλίζει μια ίσηδιανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ των ατόμων.

- Δηλαδή, η (αποτελεσματική κατά Pareto) κατανομή ισορροπίαςμπορεί να μην είναι επιθυμητή από διανεμητική άποψη.

⇒ Η επίτευξη μιας λιγότερο άνισης διανομής προϋποθέτει κάποιουείδους παρέμβαση στην αγορά (π.χ. μέσω ενός συστήματος φόρωνκαι μεταβιβάσεων).

Εφάπαξ Αναδιανομή του Πλούτου

- Έστω ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής εφαρμόζει μια πολιτική εφάπαξφόρων και μεταβιβάσεων (lump-sum transfers) TA , TB .

(όπου Τj είναι η εφάπαξ μεταβίβαση στον καταναλωτή j=A,B)

- Αν Τj > 0, ο καταναλωτής j εισπράττει μια εφάπαξ μεταβίβαση.- Αν Τj < 0, ο καταναλωτής j πληρώνει έναν εφάπαξ φόρο.- Υποθέτουμε: ΤΑ + ΤΒ = 0

• Ο κυβερνητικός προϋπολογισμός είναι ισοσκελισμένος (δηλαδή οκοινωνικός σχεδιαστής αναδιανέμει απλώς τον πλούτο μεταξύ τωνκαταναλωτών Α και Β).

- Ορισμός. Μια ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξμεταβιβάσεις σε μια ανταλλακτική οικονομία αποτελείται από έναδιάνυσμα τιμών , μια μη σπάταλη κατανομή* *

1 2* ( , )p p p=

1 2 1 2( , ) (( , ), ( , ))T T T T T T TA Bx x x A A B B= = και ένα σύνολο εφάπαξ

μεταβιβάσεων TA , TB (με ΤΑ+ΤΒ=0) τέτοια ώστε:

(i) Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τονεισοδηματικό του περιορισμό:

2 * * * * 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 * * * * 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

( , ) ( , ) , ( , ) :

( , ) ( , ) , ( , ) :

T TA A A A A A

T TB B B B B B

U A A U A A A A p A p A M p e p e T

U B B U B B B B p B p B M p e p e T

′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ℜ + ≤ = + +

′ ′ ′ ′ ′ ′≥ ∀ ∈ℜ + ≤ = + +

3

(ii) Όλες οι αγορές εκκαθαρίζονται, δηλαδή η συνολική ζήτηση (Di) είναι ίση με τη συνολική προσφορά (Si) για όλα τα αγαθά i=1,2:

* * * *1 1 1 1 2 1 1 2 1 1

* * * *2 2 2 1 2 2 1 2 2 2

1 2

1 2

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ,

όπου ( , )

( , )

A B

A B

i

i

D S A p p B p p e e

D S A p p B p p e e

A p p

B p p

= ⇔ + = +

= ⇔ + = +

: H Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης του Α για το αγαθό i.

: H Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης του Β για το αγαθό i.

- Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για τονκαταναλωτή Α είναι:

1 21 2{ , }

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

max ( , )

. . , 0

AA A

A A A A

u A A

s t p A p A M p e p e TA A

+ ≤ = + +≥

- H FOC για τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του Α είναι:1 1

2 2

/ (1)/

AA

A

p U A MRSp U A

∂ ∂= =∂ ∂

( )TAUMP

4

- Όμοια, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για τονκαταναλωτή Β είναι:

1 21 2{ , }

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

max ( , )

. . , 0

BA A

B B B B

u B B

s t p B p B M p e p e TB B

+ ≤ = + +≥

- H FOC για τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτήΒ είναι:

1 1

2 2

/ (2)/

BB

B

p U B MRSp U B

∂ ∂= =∂ ∂

*1 1 1

*2 2 2

Από (1), (2) Σε κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, πρέπει να ισχύει:

/ / (3)/ /

A BA B

A B

U A U B pMRS MRSU A U B p

⇒

∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

(οι καμπύλες αδιαφορίας των καταναλωτών εφάπτονται μεταξύ τουςκαι η κλίση τους ισούται με το λόγο των τιμών των δύο αγαθών)

( )TBUMP

5

- Επίσης, γνωρίζουμε (βλ. Lecture Notes Week 12, σελ. 11) ότι γιακάθε άριστη κατά Pareto κατανομή ισχύει:

1 1 1

2 2 2

/ / (4)/ /

A BA B

A B

U A U BMRS MRSU A U B

μμ

∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

Από (3), (4) => Η ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσειςικανοποιεί τη συνθήκη αριστοποίησης κατά Pareto.

- Άρα: Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσειςείναι άριστη κατά Pareto.

⇒ Η εφάπαξ αναδιανομή του πλούτου μεταξύ των καταναλωτώνείναι δυνατή χωρίς να μειωθεί η οικονομική αποτελεσματικότητα.

- Εξήγηση: Οι εφάπαξ μεταβιβάσεις δεν επηρεάζουν τις σχετικέςτιμές που αντιμετωπίζουν οι καταναλωτές και, επομένως, δεστρεβλώνουν τα σήματα της αγοράς και τις επιλογές των ατόμων.

6

2ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας (Second Fundamental Theorem of Welfare Economics - SWT). Αν οι προτιμήσεις όλων τωνκαταναλωτών είναι συνεχείς, κυρτές και αυστηρώς μονοτονικές, τότεοποιαδήποτε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθείως ανταγωνιστική ισορροπία με τις κατάλληλες εφάπαξμεταβιβάσεις.- Μια πιο επίσημη διατύπωση του SWT είναι η εξής:

▪ Για οποιαδήποτε άριστη κατά Pareto κατανομή x*, υπάρχει ένασύνολο τιμών p* τέτοιο ώστε το διάνυσμα (p*,x*) αποτελεί μιαανταγωνιστική ισορροπία με τις κατάλληλες εφάπαξμεταβιβάσεις.

- Ο κοινωνικός σχεδιαστής μπορεί να πετύχει οποιαδήποτεάριστη κατά Pareto κατανομή επιθυμεί αναδιανέμοντας αρχικάτον πλούτο με τη χρήση εφάπαξ μεταβιβάσεων και αφήνονταςέπειτα τις ανταγωνιστικές αγορές να λειτουργήσουν (δηλαδήαφήνοντας την οικονομία να φτάσει σε ισορροπία) χωρίς καμίαάλλη παρέμβαση.

7

- Το SWT παρέχει ένα θεωρητικό επιχείρημα υπέρ της χρήσης τωνανταγωνιστικών αγορών ακόμα και για την εκπλήρωσηαναδιανεμητικών στόχων (εκτός από το στόχο της οικονομικήςαποτελεσματικότητας).

- Είναι δυνατή η χρησιμοποίηση των ανταγωνιστικών αγορών σεσυνδυασμό με μια πολιτική εφάπαξ μεταβιβάσεων κατά τρόπο ώστενα επιτευχθεί η επιθυμητή αναδιανομή του πλούτου χωρίς να μειωθείη οικονομική αποτελεσματικότητα.

=> Δεν υπάρχει δίλημμα μεταξύ ισότητας και οικονομικήςαποτελεσματικότητας (equity – efficiency tradeoff).

8

Διαγραμματική Παρουσίαση 2ου Θεωρήματος Ευημερίας(με Εφάπαξ Μεταβιβάσεις)

Α1Β2

e

Β1ΟΒ

ΟΑ

Σύνολο Pareto

Α2

Ε

•

•

0BCΕ΄•

•AIC

BIC

* * * *0 1 1 2 2 1 1 2 2: A A ABC p A p A M p e p e+ = = +

* * * *1 1 2 2 1 1 2 2: T

T A A A ABC p A p A M p e p e T+ = = + +

TBC

9

- Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από το σημείο e.

- Η αρχική ανταγωνιστική ισορροπία παριστάνεται από την (άριστηκατά Pareto) κατανομή Ε και το διάνυσμα τιμών ισορροπίας είναι

- H αρχική θέση της γραμμής εισοδηματικού περιορισμού είναι ηBCo.

- Έστω ότι η κοινωνικά επιθυμητή κατανομή (από διανεμητικήάποψη) είναι η άριστη κατά Pareto κατανομή Ε΄, η οποία ευνοείπερισσότερο τον Β σε σχέση με την κατανομή Ε.

⇒ H κατανομή E΄ μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπίαμε τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις, ως εξής:

(1) Η φορολογική αρχή εφαρμόζει μια πολιτική εφάπαξμεταβιβάσεων TΑ, ΤΒ (με ΤΑ+ΤΒ=0, ΤΑ<0), η οποία μετατοπίζει τηγραμμή εισοδηματικού περιορισμού προς τα αριστερά στη θέση BCT . (δηλαδή ο Α πληρώνει έναν εφάπαξ φόρο TA και ο Β εισπράττει μιαεφάπαξ μεταβίβαση ΤΒ).

* *1 2* ( , ).p p p=

10

(2) Μετά την εφαρμογή των εφάπαξ μεταβιβάσεων, το διάνυσματιμών εκκαθαρίζει τις αγορές και η επιθυμητή άριστηκατά Pareto κατανομή Ε΄ προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία.

- Δηλαδή: Η επιθυμητή κατανομή Ε΄ επιτυγχάνεται αναδιανέμονταςαρχικά τον πλούτο (μεταξύ των καταναλωτών Α, Β) με τη χρήσηεφάπαξ μεταβιβάσεων και αφήνοντας έπειτα τις ανταγωνιστικέςαγορές να λειτουργήσουν χωρίς καμία άλλη παρέμβαση.

* *1 2* ( , )p p p=

- Παρατήρηση: Η απαιτούμενη μεταβίβαση πλούτου (για ναεπιτευχθεί η κατανομή Ε΄ ως ανταγωνιστική ισορροπία) μπορείεπίσης να πραγματοποιηθεί με την άμεση αναδιανομή τωνπεριουσιών (αντί να εφαρμοστεί ένα σύστημα εφάπαξ φόρων καιμεταβιβάσεων), όπως δείχνει η ανάλυση που ακολουθεί.

11

Διαγραμματική Παρουσίαση 2ου Θεωρήματος Ευημερίας(με άμεση αναδιανομή των περιουσιών)

Α1

e

Β2

Β1ΟΒ

ΟΑ

Σύνολο Pareto

Α2

•

•

* *1 1 2 2: ABC p A p A M+ =Ε΄•

••

e΄e΄΄

AIC′

BIC′

12

- Οι αρχικές περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τοσημείο e.

- H κοινωνικά επιθυμητή κατανομή είναι η άριστη κατά Paretoκατανομή E΄.

- Οι καμπύλες αδιαφορίας των καταναλωτών ICA, ICB εφάπτονταιστο (άριστο κατά σημείο Pareto) σημείο E΄.

- Αν η κοινή εφαπτομένη των ICA, ICB αποτελεί τη γραμμή τουεισοδηματικού περιορισμού των καταναλωτών, τότε η επιθυμητήκατανομή E΄ προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία και τοδιάνυσμα ισορροπίας των τιμών είναι

- Για να είναι αυτή η κοινή εφαπτομένη πραγματικά η γραμμή τουεισοδηματικού περιορισμού, απαιτείται μια αναδιανομή τωνπεριουσιών κατά τρόπο ώστε το νέο σημείο των περιουσιών να είναικάποιο σημείο επί της ευθείας BC.

* *1 2* ( , ).p p p=

13

- Παράδειγμα 1. Αν γίνει μια αναδιανομή του αγαθού 1 (από τον Αστον Β) που μετακινεί το σημείο των περιουσιών από το e στο e΄, τότε η κατανομή Ε΄ προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία μεδιάνυσμα τιμών ισορροπίας

- Παράδειγμα 2. Αν γίνει μια αναδιανομή του αγαθού 2 (από τον Αστον Β) που μετακινεί το σημείο των περιουσιών από το e στο e΄΄, τότε η κατανομή Ε΄ προκύπτει πάλι ως ανταγωνιστική ισορροπία μεδιάνυσμα τιμών ισορροπίας

- Παράδειγμα 3. Αν είναι εύκολη η αναδιανομή των περιουσιών, τότεο κοινωνικός σχεδιαστής μπορεί να μετακινήσει απευθείας το σημείοτων περιουσιών από το e στο επιθυμητό σημείο Ε΄.

=> Στην περίπτωση αυτή, η κατανομή E΄ προκύπτει πάλι ωςανταγωνιστική ισορροπία με διάνυσμα τιμών (χωρίς να γίνουνκαθόλου συναλλαγές στην αγορά).

* *1 2* ( , ).p p p=

*.p

*p

14

- Άρα, η επιθυμητή (άριστη κατά Pareto) κατανομή Ε΄ μπορεί ναεπιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπία με την κατάλληληαναδιανομή των περιουσιών, ως εξής:

(1) Ο κοινωνικός σχεδιαστής αναδιανέμει τις αρχικές περιουσίεςκατά τρόπο ώστε το νέο σημείο των περιουσιών να βρίσκεται επίτης κοινής εφαπτομένης των καμπυλών αδιαφορίας

(2) Μετά την αναδιανομή των περιουσιών, το διάνυσμα τιμών p* εκκαθαρίζει τις αγορές και η επιθυμητή κατανομή Ε΄ προκύπτει ωςανταγωνιστική ισορροπία.

- Δηλαδή, η επιθυμητή κατανομή Ε΄ μπορεί να επιτευχθείαναδιανέμοντας αρχικά τις περιουσίες των καταναλωτών με τονκατάλληλο τρόπο και αφήνοντας έπειτα τις ανταγωνιστικές αγορέςνα λειτουργήσουν χωρίς καμία άλλη παρέμβαση.

, .A BIC IC′ ′

15

- Συμπέρασμα: Η απαιτούμενη αναδιανομή του πλούτου (ώστε ηεπιθυμητή άριστη κατά Pareto κατανομή να προκύψει ωςανταγωνιστική ισορροπία) μπορεί να επιτευχθεί είτε με τη χρήσηεφάπαξ μεταβιβάσεων είτε με την άμεση αναδιανομή τωνπεριουσιών.

- Αλλά: Στην πράξη, μπορεί να είναι δύσκολη η αναδιανομή τωνπεριουσιών (για παράδειγμα, η περιουσία των καταναλωτώνπεριλαμβάνει την εμπειρία ή τις ικανότητές τους, οι οποίες δενμπορούν να μεταβιβαστούν από το ένα άτομο στο άλλο).

=> Τότε, η δυνατότητα χρησιμοποίησης ενός συστήματος εφάπαξφόρων και μεταβιβάσεων αποκτά ιδιαίτερη σημασία.

16

Αποτυχίες του 2ου Θεωρήματος Ευημερίας

-Αν δεν είναι κυρτές οι προτιμήσεις όλων των καταναλωτών, τότετο 2ο Θεώρημα Ευημερίας μπορεί να μην ισχύει.

Α1Β2

Β1ΟΒ

ΟΑ

Σύνολο Pareto

Α2

••

AIC′

BIC′ •

Ε΄

Ε

17

- Στο διάγραμμα, οι προτιμήσεις (καμπύλες αδιαφορίας) του Α δενείναι κυρτές.

- Έστω ότι η κοινωνικά επιθυμητή κατανομή είναι η άριστη κατάPareto κατανομή E΄.

⇒ Η κατανομή Ε΄ δεν μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστικήισορροπία.

- Εξήγηση: Ακόμα και αν ο πλούτος διανεμηθεί κατά τρόπο ώστε τοσημείο των περιουσιών να βρίσκεται επί της κοινής εφαπτομένηςτων ICA, ICB και αυτή η κοινή εφαπτομένη αποτελεί τη γραμμή τουεισοδηματικού περιορισμού, η επιθυμητή κατανομή Ε΄ δενπροκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία.

(ο Β μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του επιλέγοντας το σημείο E΄, αλλά ο Α μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του επιλέγοντας το σημείο E=> Οι αγορές δεν εκκαθαρίζονται)

18

Πρακτικοί Περιορισμοί στην Εφαρμογήτου 2ου Θεωρήματος Ευημερίας

(1) Αν ο κοινωνικός σχεδιαστής επιδιώκει να πετύχει μια άριστηκατά Pareto κατανομή ως ανταγωνιστική ισορροπία, πρέπει ναδιασφαλίσει ότι οι τιμές θεωρούνται δεδομένες από τουςκαταναλωτές (και τις επιχειρήσεις).

⇒ Αν η διάρθρωση των αγορών δεν εξασφαλίζει αυτομάτως ότι οικαταναλωτές και οι επιχειρήσεις είναι αποδέκτες τιμών (δηλαδή ανοι αγορές δεν είναι ανταγωνιστικές), τότε ο κοινωνικός σχεδιαστήςπρέπει να επιβάλει τις τιμές (που εξασφαλίζουν ότι η επιθυμητήκατανομή προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία), εποπτεύονταςόλες τις συναλλαγές.

19

(2) Περιορισμοί Πληροφόρησης(Informational Constraints)

- Αν ο κοινωνικός σχεδιαστής επιδιώκει να χρησιμοποιήσει τοSWT για να πετύχει μια συγκεκριμένη άριστη κατά Pareto κατανομήως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, τότε πρέπεινα γνωρίζει τις προτιμήσεις και τις περιουσίες όλων τωνκαταναλωτών στην οικονομία, ώστε:(i) Να μπορεί να προσδιορίσει την επιθυμητή άριστη κατά Pareto κατανομή.(ii) Να υπολογίσει το διάνυσμα τιμών p* που εξασφαλίζει ότι ηεπιθυμητή κατανομή προκύπτει ως ανταγωνιστική ισορροπία με τιςκατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις.(iii) Να υπολογίσει τα κατάλληλα επίπεδα εφάπαξ φόρων καιμεταβιβάσεων για κάθε καταναλωτή στην οικονομία.

20

- Στην πράξη, αυτή η πληροφόρηση πιθανότατα δεν είναι διαθέσιμη.

⇒ Τα περισσότερα αναδιανεμητικά σχέδια δεν καταφέρνουν ναέχουν εφάπαξ χαρακτήρα και, επομένως, στρεβλώνουν το μηχανισμότων τιμών και τις επιλογές των ατόμων.• Παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι ο κοινωνικός σχεδιαστής θέλει ναμεταβιβάσει πλούτο από τα άτομα που έχουν υψηλότερεςεργασιακές ικανότητες προς τα άτομα που έχουν χαμηλότερεςεργασιακές ικανότητες.- Η άμεση αναδιανομή των περιουσιών των καταναλωτών δεν είναιδυνατή (διότι οι ικανότητες δεν μπορούν να μεταβιβαστούν από τοένα άτομο στο άλλο) ⇒ Ο κοινωνικός σχεδιαστής πρέπει να εφαρμόσει μια πολιτικήεφάπαξ φόρων και μεταβιβάσεων.- Αλλά: Το επίπεδο της εργασιακής ικανότητας κάθε ατόμου δενείναι παρατηρήσιμο με ακρίβεια.

21

⇒ O σχεδιαστής (η φορολογική αρχή) θα βασιστεί σταπαρατηρούμενα πραγματικά εισοδήματα των καταναλωτών για ναδιακρίνει εκείνους που έχουν υψηλότερες εργασιακές ικανότητες.

⇒ Η φορολογική αρχή επιβάλει φόρους στα άτομα που έχουνυψηλότερα εισοδήματα και μεταβιβάζει τα φορολογικά έσοδα σταάτομα που έχουν χαμηλότερα εισοδήματα.

- Αλλά: Οι φόροι και οι μεταβιβάσεις που βασίζονται σταπαρατηρούμενα εισοδήματα δεν έχουν εφάπαξ χαρακτήρα.

- Εξήγηση: Τα άτομα αντιλαμβάνονται ότι μπορούν να μεταβάλλουντο ποσό της φορολογικής επιβάρυνσής τους μεταβάλλοντας τιςεπιλογές και, επομένως, το εισόδημά τους.

=> Η φορολογία εισοδήματος στρεβλώνει τις επιλογές των ατόμωνκαι, επομένως, δεν έχει εφάπαξ χαρακτήρα.

22

(3) Περιορισμοί Εκτελεσιμότητας(Enforceability Constraints)

- Ακόμα και αν ο κοινωνικός σχεδιαστής διαθέτει όλη την αναγκαίαπληροφόρηση, πρέπει επίσης να έχει την απαιτούμενη δύναμη για ναεπιβάλει τις αναγκαίες μεταβιβάσεις πλούτου μέσω κάποιουμηχανισμού φόρων και μεταβιβάσεων τον οποίο δεν μπορούν νααποφύγουν τα άτομα.▪ Αν δεν είναι δυνατοί οι εφάπαξ φόροι και μεταβιβάσεις (λόγωτων περιορισμών πληροφόρησης και εκτελεσιμότητας), τότε τοSWT καταρρέει.- Η ανταγωνιστική ισορροπία με μοναδιαία (όχι εφάπαξ) φορολογίαδεν είναι άριστη κατά Pareto.- Τα συνήθη σχέδια αναδιανομής είναι στρεβλωτικά, δηλαδή οιαναδιανεμητικοί στόχοι εκπληρώνονται σε βάρος της οικονομικήςαποτελεσματικότητας.=> Στην περίπτωση αυτή, προκύπτει ένα δίλημμα μεταξύ Ισότηταςκαι αποτελεσματικότητας (Equity – Efficiency Tradeoff ).

23

- Παράδειγμα (συνέχεια).▪ Υποθέτουμε μια ανταλλακτική οικονομία που αποτελείται από:• Δύο καταναλωτές: Α, Β.• Δύο αγαθά: 1, 2.

- Οι καταναλωτές περιγράφονται από τις συναρτήσεις χρησιμότηταςκαι τις περιουσίες τους:

1/ 2 1/ 21 2 1 2

1/ 2 1/ 21 2 1 2

( , ) 2 ,

( , ) 2 ,A

B

U A A A A

U B B B B

=

=1 2

1 2

( , ) (1,0)( , ) (0,1)

A A A

B B B

e e ee e e

= == =

- Έχουμε ήδη υπολογίσει την ανταγωνιστική ισορροπία στησυγκεκριμένη οικονομία:

* *1 2

* * * *1 2 1 2

* *

( , ) (1,1)1 1 1 1( , ) ( , ), ( , ) ( , )2 2 2 2

( , ) (1,1)A B

p p

A A B B

U U

=

= =

=

(Τιμές Ισορροπίας)

(Ποσότητες Ισορροπίας)

(Χρησιμότητες Ισορροπίας)

24

- Έχουμε υπολογίσει επίσης όλες τις άριστες κατά Pareto κατανομέςκαι το όριο Pareto (βλ. Lecture Notes Week 12, σελ. 23 και 25):

1 2

1 2

12

2

B

B

UA A

UB B

= = −

= =

2 , 0 2A B BU U U= − ≤ ≤ (Όριο Pareto)

(Άριστες κατά Pareto κατανομές)

- Έστω ότι η κυβέρνηση εφαρμόζει μια πολιτική εφάπαξμεταβιβάσεων ΤΑ, ΤΒ ( με ΤΑ+ΤΒ=0 ).

- Υπολογίζουμε την ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξμεταβιβάσεις, ακολουθώντας τη γενική μεθοδολογία που γνωρίζουμεγια τον υπολογισμό της ανταγωνιστικής ισορροπίας.

25

1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε τοεισόδημα κάθε καταναλωτή.

- Η τιμή του αγαθού 1 είναι p1 και η τιμή του αγαθού 2 είναι p2.• Θέτουμε p1=1 και αναζητούμε την τιμή ισορροπίας p2= p.

- To εισόδημα του καταναλωτή Α είναι:

- To εισόδημα του καταναλωτή Β είναι:

1 1 2 2 1 2 20 1B B B B B B BM p e p e T p p T p T p T= + + = ⋅ + ⋅ + = + = +

- Πρέπει:1 1 0 1

0A A B B

B B B

M T T TM p T T p

= + = − ≥ ⇔ ≤= + ≥ ⇔ ≥ −

1 1 2 2 1 2 11 0 1A A A A A A AM p e p e T p p T p T T= + + = ⋅ + ⋅ + = + = +

1Bp T⇔ − ≤ ≤ (5)

26

2. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας γιακάθε καταναλωτή.

- Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τονεισοδηματικό του περιορισμό.

Καταναλωτής Α

1 2

1/ 2 1/ 21 2 1 2{ , }

1 1 2 2 1 2

1 2

max ( , ) 2

. . 1 , 0

AA A

A A A

u A A A A

s t p A p A M A pA M TA A

=

+ ≤ ⇔ + ≤ = +≥

- Η λύση του UMPAΤ είναι:

1 21 1( , ) , , (6)

2 2 2 2T T A A A AM M T TA A

p p⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(Μαρσαλιανές ΣυναρτήσειςΖήτησης του Α)

( )TAUMP

27

1 2

1/ 2 1/ 21 2 1 2{ , }

1 1 2 2 1 2

1 2

max ( , ) 2

. . , 0

BB B

B B B

u B B B B

s t p B p B M B pB M p TB B

=

+ ≤ ⇔ + ≤ = +≥

- Η λύση του UMPΒΤ είναι:

1 2( , ) , , (72 2 2 2

T T B B B BM M p T p TB Bp p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ += =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

) (Μαρσαλιανές ΣυναρτήσειςΖήτησης του Β)

Καταναλωτής Β

3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθεεπιχείρηση.

- Αφού η οικονομία είναι ανταλλακτική (δεν υπάρχουν δυνατότητεςπαραγωγής), το βήμα 3 παραλείπεται και προχωράμε απευθείας στοβήμα 4.

( )TBUMP

28

4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές καιλύνουμε ως προς τις τιμές ισορροπίας.

1 1 1 1

2 2 2 2

1 (8)

1 (9)

T T

T T

D S A B

D S A B

= ⇔ + =

= ⇔ + =

ii

- Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά 1 και λύνουμεως προς p:

(6)

1 1 (7)

11 1 * 12 2

T T A BT p TA B p+ ++ = ⇔ + = ⇔ =

- Χρησιμοποιούμε την τιμή ισορροπίας για να υπολογίσουμε τιςποσότητες ισορροπίας και τις χρησιμότητες ισορροπίας.

• Για p=p*=1, είναι:

(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά 1)

(Συνθήκη Ισορροπίας στην Αγορά 2)

1 2 1 21 1 1 1, , ,

2 2 2 2T T T TA A B BT T T TA A B B+ + + += = = =

1 , 1 T TA A B BU T U T⇒ = + = +

29

- Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι:* *1 2

1 2 1 2

( , ) (1,1)1 1 1 1( , ) ( , ), ( , ) ( , )

2 2 2 2( , ) (1 ,1 )

T T T TA A B B

T TA B A B

p pT T T TA A B B

U U T T

=+ + + +

= =

= + +

όπου: 0 , 1 1 1A B B BT T p T T+ = − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

Αξιολόγηση Ανταγωνιστικής Ισορροπίας με Εφάπαξ Μεταβιβάσεις

- Επαληθεύουμε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξμεταβιβάσεις είναι άριστη κατά Pareto.

• 1ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι οι χρησιμότητες ισορροπίαςικανοποιούν την εξίσωση του ορίου Pareto:

- Για 1 , η άριστη κατά Pareto τιμή της είναι :

2 2 (1 ) 1 1 , πράγματι.

TB B B A

TA B B B A A

U U T U

U U T T T U

= = +

= − = − + = − = + =

30

- Άρα, οι χρησιμότητες ισορροπίας με εφάπαξ μεταβιβάσεις ανήκουνστο όριο Pareto.

=> Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναιάριστη κατά Pareto.• 2ος τρόπος. Επαληθεύουμε ότι οι ποσότητες ισορροπίας

είναι άριστες κατά Pareto1 2 1 2 ( , ), ( , )T T T TA A B B

1 1

2 2

1 1

2 2

- Για 1 , οι άριστες κατά Pareto ποσότητες είναι :1 1 1 1 , πράγματι.

2 2 21 1 1 1 , πράγματι.

2 2 21 , πράγματι.

2 21 , πράγματι.

2 2

TB B B

TB B A

TB B A

TB B

TB B

U U TU T TA A

U T TA A

U TB B

U TB B

= = ++ +

= − = − = =

+ += − = − = =

+= = =

+= = =

i

i

i

i

31

- Άρα, η κατανομή ισορροπίας με εφάπαξ μεταβιβάσεις ανήκει στοσύνολο Pareto.

⇒ Κάθε ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναιάριστη κατά Pareto.

- Επαληθεύουμε ότι ισχύει το SWT (δηλαδή ότι κάθε άριστη κατάPareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ως ανταγωνιστική ισορροπίαμε τις κατάλληλες εφάπαξ μεταβιβάσεις), με τους εξής δύο τρόπους:

• 1ος τρόπος. Βρίσκουμε το σύνολο των συνδυασμών χρησιμοτήτωνπου μπορούν να επιτευχθούν ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξμεταβιβάσεις και δείχνουμε ότι αυτό το σύνολο ταυτίζεται με το όριοPareto.

(10)

(10)

- Είναι: 1 1 (10)

- Άρα: 1 1 2 ,

όπου: 1 1 1 1 1 0 2

T TB B B B

T TA A B B

T TB B B

U T T U

U T T U

T U U

= + ⇔ = −

= + = − = −

− ≤ ≤ ⇔− ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤

32

- Άρα, το σύνολο των συνδυασμών χρησιμοτήτων που μπορούν ναεπιτευχθούν ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσειςείναι:

2 , 0 2T T TA B BU U U= − ≤ ≤

το οποίο ταυτίζεται ακριβώς με το όριο Pareto που υπολογίσαμεπαραπάνω (σελ. 24).

⇒ Κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ωςανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, δηλαδή ισχύει τοSWT.

• 2ος τρόπος. Δείχνουμε ότι το σύνολο των κατανομώνπου μπορούν να επιτευχθούν ως ανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξμεταβιβάσεις ταυτίζεται με το σύνολο των άριστων κατά Pareto κατανομών.

1 2 1 2( , ), ( , )T T T TA A B B

33

(10)

1 2

(10)

1 2

1 1 2- Είναι: 12 2 2 2

1- Όμοια: 2 2

T TT T A B B B

TT T B B

T T U UA A

T UB B

+ − −= = = = = −

+= = =

- Άρα, το σύνολο των κατανομών που μπορούν να επιτευχθούν ωςανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι:

1 2

1 2

( , ) (1 ,1 )2 2

( , ) ( , ) , με 0 22 2

T TT T B B

T TT T TB B

B

U UA A

U UB B U

= − −

= ≤ ≤

το οποίο ταυτίζεται ακριβώς με το σύνολο των άριστων κατά Pareto κατανομών που υπολογίσαμε παραπάνω (σελ. 24).

⇒ Κάθε άριστη κατά Pareto κατανομή μπορεί να επιτευχθεί ωςανταγωνιστική ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσεις, δηλαδή ισχύει τοSWT.

34

- Ερώτημα: Ποιες είναι οι εφάπαξ μεταβιβάσεις ΤΑ, ΤΒ πουαπαιτούνται ώστε ο Α να καταναλώνει ποσότητα Α1=3/4 σεισορροπία;

11 3 Πρέπει : 1/ 2

2 4T A

ATA T+

= = ⇔ =i

⇒ Οι απαιτούμενες εφάπαξ μεταβιβάσεις είναι: ΤΑ=1/2, ΤΒ= – 1/2.

- Στην περίπτωση αυτή, η ανταγωνιστική ισορροπία είναι:

* *1 2

1 2 1 2

( , ) (1,1)3 3 1 1( , ) ( , ), ( , ) ( , )4 4 4 43 1( , ) ( , )2 2

T T T T

T TA B

p p

A A B B

U U

=

= =

=

- Απεικονίζουμε γραφικά αυτή την ανταγωνιστική ισορροπία μεεφάπαξ μεταβιβάσεις (σημείο Τ) στο όριο Pareto και στο κουτί τουEdgeworth:

35

Α1

ΟΒ

ΟΑ

e

Α2

Β2

Β1

E1/ 2

1/ 2

Αρχική Γραμμή ΕισοδηματικούΠεριορισμού

1 2( 1)Α +Α =

1/ 2

1/ 2

1

1

••

Σύνολο Pareto(A2 = A1)

3/ 2

3 / 4 1/ 4

1/ 4

3 / 4

•Τ

3/ 2

*AU

*BU

TAU

TBU

Γραμμή ΕισοδηματικούΠεριορισμού με ΤΑ=1/2

1 2( 3 / 2)Α +Α =

36

UB

UA

2

20

Όριο Pareto(UA=2 – UB)

•Ε•T

1

13/2

1/2

- Σημείο Ε: Αρχική Ανταγωνιστική Ισορροπία (χωρίς εφάπαξμεταβιβάσεις).

- Σημείο Τ: Ανταγωνιστική Ισορροπία με εφάπαξ μεταβιβάσειςΤΑ= 1/2, ΤΒ= – 1/2.