To Solver Graficka

POSLOVNA INFORMATIKA

UVOD U LINEARNO PROGRAMIRANJE(vjebe)

Autor: Ante Panjkota

ibenik, svibanj 2006.

V I S O K A K O L A Z A

T U R I S T I ?K I M E N A D M E N T

U I B E N I K U

Sadraj:

PREDGOVOR: 1

1 UVOD U LINEARNO PROGRAMIRANJE 2

1.1 FORMULACIJA PROBLEMA 31.2 PRIMJER (TVRTKA ZA PROIZVODNJU VRATA I PROZORA) 5

2 LINEARNO PROGRAMIRANJE I EXCEL 15

2.1 PRIMJENA SOLVERA 17

3 PRIMJENA SOLVERA 22

PRIMJER BR. 1: (FARMACEUTSKA TVRTKA) 22PRIMJER BR. 2: (PLANIRANJE ULAGANJA) 303.1.1 PROCJENA ULAGANJA UPOTREBOM NPV KRITERIJA 31

4 ZADACI ZA VJEBU 42

LITERATURA 46

1Predgovor:

Pred vama je druga skripta iz vjebi za kolegij Poslovna informatika. Skripta je u prvom redunamijenjena studentima tre?e godine Turisti?kog menadmenta Visoke kole za turisti?kimenadment u ibeniku, ali i svima onima koje navedena problematika zanima.Studentima se nastojalo dati osnovne pojmove vezane uz linearno programiranje kao i navestipodru?ja njegove primjene u stvarnom ivotu. Naglasak je stavljen na izradu modela, u ovomslu?aju matemati?kih, kako bi se budu?im ekonomistima pokazala vanost simulacije unjihovom radu. Kao aplikacija za ilustraciju principa linearnog programiranja uzet je Excelprvenstveno zbog svoje jednostavnosti. Optimizacija postavljenih modela izvrena jeprimjenom Solvera kao ugra?enog alata MS Excela. Kroz nekoliko primjera studenti seupoznaju mogu?nostima tog alata i na?inom njegove upotrebe. Na samom kraju skriptenalaze se zadaci za samostalno rjeavanje kako bi studenti provjerili ste?ena znanja. Rjeenjamogu slati na mail [email protected] kako bi dobili povratnu informaciju o ispravnostidobivenih rjeenja. Provjera ste?enih znanja izvrava se dodjeljivanjem jednog rada kojegstudenti rjeavaju u grupama od po ?etiri ?lana. Kao rezultat svog rada trebaju predatirjeenje u Excelu, detaljno objanjenje u Wordu i za vrijeme 15 to minutne prezentacijeobjasniti na?in postavljanja modela i dobiveno rjeenje.Kao autoru bilo bi mi izuzetno drago da svi koji ovu skriptu pregledaju daju svoje primjedbe iliprijedloge kako bi njezina kvaliteta u narednim izdanjima bila bolja.Na kraju ovog predgovora elim vam puno uspjeha u budu?em obrazovanju i ivotu!

Autor

21. UVOD U LINEARNO PROGRAMIRANJE

1 UVOD U LINEARNO PROGRAMIRANJE

U razli?itim financijskim analizama ?est slu?aj je da je potrebno minimizirati ili maksimiziratineku linearnu funkciju. Naj?e?e tu podrazumijevamo smanjenje trokova ili pove?anjeprofita. Naravno, elje su u tom slu?aju usmjerene prema njihovim ekstremima, tj.minimalnim trokovima i maksimalnom profitu. Da bismo pristupili traenju ekstrema, prvotrebamo definirati nau linearnu funkciju, koja je op?enito oblika:

Z = c1x1+c2x2+c3x3+c4x4++cnxn

Gdje su:

Xj = 1, 2, 3, .., n ? varijable, koje u ovom slu?aju zovemo varijable odluke

Gornju funkciju nazivamo funkcija cilja. Kako ve?ina svjetskih analiti?ara pesimisti?ki gleda nafinancijske probleme, to se stvarni problemi uglavnom svode na minimiziranje spomenutefunkcije. S druge strane matemati?ki je ugodnije raditi s problemima traenja maksimuma.Ovdje ne mislimo da je traenje maksimuma matemati?ki jednostavnije od traenjaminimuma, ve? je rije?? ?isto o pozitivisti?kom pogledu matemati?ara na stanje stvari kojiprevladava od kraja 19. st. na ovamo. Ina?e sasvim je sve jedno kako ?emo problem postaviti? sa strane ekonomskog modeliranja minimizacija trokova odgovara maksimiranju profita(bar u ve?ini slu?ajeva), a sa strane matemati?kog pristupa traenje minimuma funkcije f jeanalogno traenju maksimuma funkcije f.

Dobro pitanje Bartola i na pravom mjestu. Ako op?enito pogledamo linearnu funkciju realnevarijable na cijelom podru?ju njezine definicije (domene) tada uo?avamo da nema govora o

E, malo sutra kako moegovoriti o maksimumu iminimumu linearne funkcije, ana slici do vidi kako izgleda?

x

y

f(x) =ax + b


ekstremima. Me?utim, ako funkciju ograni?imo na odre?eno podru?je u tom slu?aju moemogovoriti o traenju ekstrema. Da bi bilo malo jasnije o ?emu govorimo pogledajmo malo op?udefiniciju linearnog programiranja.

1.1 Formulacija problema

Sve probleme linearnog programiranja op?enito formuliramo na sljede?i na?in:

min ili max funkcije

Z = c1x1+c2x2+c3x3+c4x4++cnxn (1)

Uz zadovoljenje sljede?ih ograni?enja:

a11x1+a12x2+a13x3++a1nxn ? b1a21x1+a22x2+a23x3++a2nxn ? b2a31x1+a32x2+a33x3++a3nxn ? b3

.

.

.am1x1+am2x2+am3x3++amnxn ? bm

(2)

Gdje su aij, bi i cj konstante i=1,.,m; j=1,.,n; m,n ?N

Neka ograni?enja mogu biti prili?no jednostavna ? recimo da neka varijabla odluke ne moepoprimiti negativnu vrijednost. Drugi slu?ajevi ograni?enja mogu biti razli?iti i ne moraju sesvesti samo na nejednakost manje ili jednako (? ), ve? moe biti ?ista jednakost (=) ili ve?e ilijednako (? ). Svako ograni?enje je linearna kombinacija varijabli odluke i moemo gaop?enito zapisati u obliku:

ai1x1+ai2x2+ai3x3 ++ainxn ? biili ai1x1+ai2x2+ai3x3 ++ainxn ? biili ai1x1+ai2x2+ai3x3 ++ainxn = bi

(3)

Naj?e?i slu?aj je da sve varijable odluke poprimaju ne negativne vrijednosti, pa jo ovimograni?enjima moemo dodati uvjet:

x1, x2, x3, xn ? 0 (4)


Ovo je tzv. standardna formulacija problema linearnog programiranja. Definirana je sfunkcijom cilja, n varijabli odluke i s m ograni?enja. Prijedlog specifi?nih vrijednosti varijabliodluke naziva se rjeenje linearnog problema. Ukoliko to rjeenje (x1, x2, x3, xn)zadovoljava sva ograni?enja govorimo o izvedivom rjeenju. Rjeenje se nazivaoptimalnim ako pored toga postie i eljeni maksimum. Neka rjeenja su jednostavnoneizvediva. Razmotrimo sljede?i primjer:

maksimizirajte 5x1+4x2uz sljede?a ograni?enja

x1+x2? 2-2x1-2x2 ? -10

x1,x2?? 0

Nakon sre?ivanja drugog ograni?enja dobivamo:

x1 + x2?? 5

to je u kontradikciji s prvim ograni?enjem

x1 + x2?? 2

pa kaemo da problem nema rjeenja i za takve probleme kaemo da su neizvedivi.Problem je neograni?en ako ima izvedivo rjeenje, ali s proizvoljno velikim vrijednostimavarijabli odluke. Taj slu?aj ?emo ilustrirati na sljede?em primjeru:

maksimizirajte x1 4x2

uz ograni?enja

-2x1+x2 ? -1-x1-2x2? -2x1,x2?? 0

Stavimo li da je x2 jednak nuli, tada ?e problem imati izvedivo rjeenje sve dok je x1proizvoljno ve?i od 2, a kako raste pove?ava se vrijednost funkcije cilja. Stoga je problemneograni?en. Pri nalaenju optimalnih rjeenja problema linearnog programiranja, vano jeutvrditi kada je problem neizvediv, a kada neograni?en.


Linearno programiranje od sredine prolog stolje?a predstavljastandardni pristup koji je utedio stotine tisu?a, pa i milijuna dolaravelikom broju kompanija i to ne samo velikih. Njegova primjena se sve

vie iri i na druga podru?ja izvan okvira ekonomije. Da biste dobili predodbu okorisnosti i upotrebljivosti spomenute metode dovoljno je re?i da se u dananjevrijeme priblino 65% svih svjetskih znanstvenih prora?una na ra?unalima vezujeu manjoj ili ve?oj mjeri za linearno programiranje ili njezine izvedenice.Nakon prethodnog kratkog matemati?kog uvoda, dobro je malo ire rije?imaopisati o ?emu se ovdje radi. Ukratko, ve?ina primjena uklju?uje op?i problempreraspodjele ograni?enih resursa izme?u me?usobno zavisnih aktivnosti nanajbolji mogu?i na?in ? tzv. optimalni na?in. Preciznije, kod ovog problema se vriodre?ivanje stupnja pojedinih aktivnosti koje troe zajedni?ke, limitirane resurse.Izbor stupnja pojedine aktivnosti tako odre?uje koliko ?e svakog resursa bitipotroeno tom aktivno?u. Raznolikost primjera kod kojih je mogu?e primijenitiovaj opis je velika ? primjerice poljoprivredna proizvodnja nekog proizvodaprema potrebama izvoza i doma?eg trita, odre?ivanje rasporeda prijevozatereta neke brodske kompanije, utvr?ivanje putanje robota pri varenju autokaroserije itd.Linearno programiranje koristi ve? opisani matemati?ki model da bi rijeio stvarneprobleme kakve smo naveli. Pridjev linearno se odnosi na matemati?ku funkcijumodela (funkciju cilja) koja treba biti linearna. Rije? programiranje ne ozna?avara?unalno programiranje, ve? je vie sinonim za planiranje. Prema tome linearnoprogramiranje uklju?uje planiranje aktivnosti u cilju dobivanja optimalnogrezultata, odnosno rezultata koji prema matemati?kom modelu poga?a zadani ciljna najbolji mogu?i na?in izme?u svih raspoloivih alternativa.Nakon, ovog opisa i matemati?kog uvoda pravi uvid u linearno programiranje ?etedobiti rjeavanjem jednog konkretnog primjera.

1.2 Primjer (Tvrtka za proizvodnju vrata i prozora)

Tvrtka "Di bi propuha sad ga nema" bavi se proizvodnjom prozora i vrata. Njezin proizvodnidio sastoji se od tri pogona ? prvog u kojem se izra?uju aluminijski okviri, drugog u kojemse izra?uju PVC okviri i tre?eg u kojem se vri finalno montiranje staklenih povrina na okvirevrata i prozora.Zbog pada zarade menadment tvrtke je odlu?io da prenamjeni proizvodnu liniju. Proizvodnjaneprofitabilnih proizvoda bit ?e u potpunosti obustavljena (dok profitabilni i dalje ostaju u


procesu proizvodnje), a proizvodni kapaciteti ?e se preraspodijeliti na proizvodnju nova dvaproizvoda koji imaju dobar prodajni potencijal. Rije? je o:

a. Vratima s aluminijskim okvirom dimenzija 240X210b. Prozoru s PVC okvirom dimenzija 150x150

??igledno da prvi proizvod zahtjeva samo angairanje kapaciteta prvog i tre?eg pogona, adrugi proizvod drugog i tre?eg. Odjel marketinga je procijenio da tvrtka moe prodati sveproizvode koji se mogu proizvesti u ovim pogonima. Me?utim, kako oba proizvoda koriste istipogon za finalizaciju (pogon 3) o?igledno je potrebno odrediti koja kombinacija proizvoda a ib daje najve?i profit. U tom smislu oformljen je tim koji ?e razmotriti ovo pitanje. Tim jeproveo sljede?e korake:

1. Razgovor s upravnim menadmentom tvrtke kako bi odredio njihove ciljeve u vezipostavljenog pitanja. Taj razgovor je rezultirao sljede?im zahtjevom:

Odrediti koli?inski odnos izme?u ova dva proizvoda u cilju maksimiziranja ukupnog profita,imaju?i u vidu ograni?enja koja su nametnuta limitiranim proizvodnim kapacitetima u sva tripogona. Svaki proizvod ?e se proizvoditi u grupama od 20 proizvoda, pa je proizvodi odnosdefiniran brojem proizvedenih grupa po tjednu. Svaka kombinacija proizvodnog odnosaizme?u dvije grupe proizvoda koja zadovoljava prethodno postavljene restrikcije jedozvoljena, uklju?uju?i i ne proizvodnju jednog proizvoda uz maksimalnu proizvodnju drugog.

2. Identificirao podatke koji trebaju biti sakupljeni:

? Broj raspoloivih radnih sati po tjednu u svakom pogonu za nove proizvode.Ve?ina vremena je zauzeta postoje?im proizvodima tako da su raspoloivikapaciteti za nove proizvode prili?no limitirani

? Broj sati potrebnih za proizvodnju svake grupe - paketa (20 kom) za oba novaproizvoda

? Profit po proizvedenoj grupi - paketu za svaki proizvod ? ova mjera je uzeta izrazloga to je tim zaklju?io da do pove?anja trokova iz svakog dodatnogproizvedenog paketa ne?e dolaziti bez obzira kolika je ukupna koli?inaproizvedenih paketa. Razlog tomu lei u ?injenici da ne dolazi do nikakvihdodatnih trokova u proizvodnom procesu i marketingu zbog pokretanjaproizvodnje novih proizvoda. Ukupni profit za svaki proizvod tako je jednakproduktu broja proizvedenih paketa i profita po svakom paketu.

Da bi dobili razumne vrijednosti traenih podataka, tim je traio pomo? klju?nih ljudi urazli?itim jedinicama tvrtke. Uprava proizvodnih pogona dostavila je podatke o brojuraspoloivih radnih sati. Procjena sati potrebnih za proizvodnju svakog paketa (20 kom) zaoba nova proizvoda zahtijevala je angairanje inenjera u razvojnoj jedinici tvrtke kako birazvili proizvodni proces novih proizvoda. Analizom trokova inenjera za razvoj novog


proizvodnog procesa, trokova marketinga i procijenjene trine cijene menadmentamarketinga, ra?unovodstveni odjel donosi kona?nu odluku o profitu po paketu za svaki od ovadva nova proizvoda. Tablica br. 1 prikazuje sakupljene podatke. Na osnovu svega tim jeodmah prepoznao da se radi o klasi?nom problemu linearnog programiranja ? odmah jeproblem i matemati?ki formuliran:

Tablica 1 Prikupljeni podaci

Proizvod a Proizvod b1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

Profit po paketu 3.000,00 5.000,00

Vrijeme proizvodnje po paketu[sati]pogon

Raspoloivo proizvodnovrijeme po tjednu [sati]

Varijable odluke su:

x1 ... tjedna koli?ina proizvedenih paketa prvog proizvodax2 tjedna koli?ina proizvedenih paketa drugog proizvoda

f funkcija cilja ? ukupni tjedni profit koji proizlazi iz proizvodnje oba proizvoda

??igledno je:

f = 3x1 + 5x2

Potrebno je izabrati (prona?i) x1 i x2 koji maksimiziraju profit (funkciju f), a da pri tom buduzadovoljena ograni?enja koja proizlaze iz limitiranih proizvodnih kapaciteta svakog pogona:

? Za proizvodnju jednog paketa proizvoda a u prvom pogonu potrebno je utroitijedan sat, a na raspolaganju su nam 4 sata ? 1x1?? 4

? Za proizvodnju jednog paketa proizvoda b u drugom pogonu potrebno je 2sata, a na raspolaganju imamo 12 sati ? 2x2?? 12

? Tre?e ograni?enje je linearna kombinacija sati proizvodnje oba proizvoda,budu?i da se oba proizvoda koriste resursima tre?eg pogona ? 3x1 + 2x2?? 18

Proizvedene koli?ine nikad ne mogu biti negativne, pa se ovim ograni?enjima treba dodati joi x1, x2?? 0. Sve ovo zajedno moemo napisati u sljede?em obliku:

max od f = 3x1 + 5x2

uz ograni?enja:


x1 ? 4 2x2?? 123x1 + 2x2?? 18

x1, x2?? 0

Uo?ite kako matemati?ka postavka problema linearnog programiranja u bitikopira informacije sumarno prikazane u gornjoj tablici!

to nam je tako?er vidljivo iz matemati?ke postavke problema?

Problem ima samo dvije varijable odluke, pa je stoga rije? o dvodimenzionalnom primjeru.Drugim rije?ima mogu?e ga je rijeiti grafi?kom metodom. Ova metoda uklju?uje konstrukciju2D grafa s x1 i x2 kao osima. Prvi korak je odrediti vrijednosti tih varijabli ? to?ke (x1,x2) kojesu doputene ograni?enjima. To zna?i da je potrebno ucrtati pravce koji ograni?avajupodru?je doputenih vrijednosti:

x1, x2?? 0

Varijable ne mogu poprimiti negativne vrijednosti (samo su mogu?e ne negativne koli?inepaketa)

Slika 1-1 podru?je odluke koje zadovoljava uvjet nenegativnih vrijednosti varijabli odluke


Ucrtajmo sada i prvo ograni?enje x1?? 4

Slika 1-2 podru?je koje proizlazi nakon ucrtavanja uvjeta x1?? 4

Analognim postupkom ucrtajmo i ostale uvjete:

Slika 1-3 podru?je dozvoljenih vrijednosti varijabli odluke za na problem? podru?je izvedivosti

x1 = 4

10


Na samom kraju preostaje nam odrediti to?ku u podru?ju izvedivosti koja u njemu dajemaksimalnu vrijednost funkcije cilja f = 3x1 + 5x2 . Da biste odredili tu to?ku probajte krenutis principom pokuaja i pogreaka. Pretpostavite neku vrijednost za funkciju cilja koja moebiti maksimalna ? primjerice:

f = 10

ucrtajte pravac koji je odre?en tom vrijedno?u na istom grafu na kojem je ucrtano podru?jeizvedivosti:

3x1 + 5x2 = 10

Nakon ucrtavanja tog pravca pogledajte da li u podru?ju odluke postoje to?ke (x1, x2) koje bidavale ve?u vrijednost funkcije cilja.

Slika 1-4 Odre?ivanje vrijednosti varijabli odluke metodom pokuaja i pogreaka kojemaksimiziraju funkciju cilja

??igledno je da postoje beskona?no mnogo to?aka koje daju ve?u vrijednost funkcije cilja isve one lee iznad ucrtanog pravca u podru?ju izvedivosti. Potrebno je nastaviti s postupkomproizvoljnog izbora ve?e vrijednosti funkcije cilja ? recimo 20. Ponovno ucrtate pripadnipravac i ponovite analogno razmatranje kao maloprije. Sigurno uo?avate da su pravciparalelni, to nije niti malo ?udno jer imaju isti koeficijent smjera, tj. za proizvoljno izabranuvrijednost funkcije cilja fizabrana moemo pisati :

izabrana12 f51x

53x ???

11


Ova ?injenica nam znatno olakava postupak grafi?kog pronalaenja rjeenja, jer se nakonucrtavanja prvog pravca na postupak pokuaja i pogreki u biti svodi na ucrtavanje familijeparalelnih pravaca tom pravcu, koji treba da imaju bar jednu to?ku u podru?ju izvedivosti iodre?ivanju onog pravca iz te familije koji daje najve?u vrijednost funkcije cilja. U naemprimjeru taj postupak nas dovodi do rjeenja:

x1 = 2; x2 = 6

To?ka (x1 = 2, x2 = 6) u podru?ju odluke predstavlja optimalno rjeenje. Optimalnavrijednost funkcije cilja je:

3(2) + 5(6) = 36

x1

x2

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3x1 +5x2 = 10

3x1 +5x2 = 20

3x1 +5x2 = 15

3x1 +5x2 = 36

(2,6)

Slika 1-5 grafi?ka metoda rjeavanja problema linearnog programiranja

Sada moemo dati i op?e smjernice za rjeavanje sli?nih problema. Dovoljno je ucrtatiproizvoljni pravac koji ima to?ke u podru?ju odluke i potom pomicati trokut istog nagibakao ucrtani pravac kroz podru?je izvedivosti. Ukoliko elimo minimizirati funkciju cilja tadapomicanje vrimo u smjeru smanjivanja vrijednosti od f, a u slu?aju traenja maksimuma u

smjeru pove?anja vrijednosti funkcije cilja. Pomicanje zaustavljate kada zamiljeni pravac prolazi krozzadnju to?ku podru?ja odluke. Ta to?ka onda predstavlja optimalno rjeenje.

12


Opisana procedura se ?esto naziva grafi?ka metoda rjeavanja problema linearnogprogramiranja. Moe se koristiti pri rjeavanju svih problema s dvije varijable odluke. Uzznatne poteko?e mogu?e je proiriti i na probleme s tri varijable odluke, ali ne za vie. Tajnedostatak otklonjen je uvo?enjem tzv. SIMPLEX metode.

Evo to je na osnovu dobivenih rezultata planiranja projektni tim zaklju?io:

1. Tvrtka treba tjedno proizvoditi 2 paketa vrata (240X120) s aluminijskim okvirom, a 6paketa prozora (150X150) s PVC okvirom

2. Takva proizvodnja optimalno iskoritava raspoloive proizvodne kapacitete3. Osigurani tjedni profit takve proizvodnje je 36 0004. Niti jedna druga kombinacija proizvodnje ova dva proizvoda ne bi davala ve?i profit

Sve ovo vrijedi uz pretpostavku da je model kojeg je projektni tim postavio valjan. Odnosno,rezultat linearnog programiranja je onoliko dobar koliko je kvalitetno provedeno modeliranjesamog sustava (problema). Ukoliko dobijete neeljene rezultate pogreku radije traite upostavljenom modelu, nego u postupku rjeavanja. Imaju?i ovo u vidu na projektni tim moekriti?nije pristupiti modelu opisanom u tablici 1, bilo zbog nedovoljno preciznih podataka ilijednostavno zbog promjene trinih okolnosti, pa ?ak i promijene same poslovne politiketvrtke.Korisno je usporediti ovaj konkretni problem s op?om formulacijom linearnog programiranja.Osnovni pojmovi su, kao to smo ve? naglasili aktivnosti i resursi. U op?oj formulaciji imalismo m resursa koji su se u potpunosti ili djelomi?no mogli dijeliti na n aktivnosti.Tipi?ni resursi su:

? Osoblje? Prijevozna sredstva? Novac? Strojevi? Oprema

Dobro, sad sam skuija to mislipod traenjem ekstrema, ali kako ?uinterpretirati dobivene rezultate!?

13


Tipi?ne aktivnosti su:

? Investiranje u neke projekte? Oglaavanje (reklamiranje) u medijima? Prijevoz tereta s jedne lokacije na drugu? Proizvodnja nekog proizvoda, robe

Ve?ina problema linearnog programiranja svodi se na dodjeljivanje odre?enih resursapojedinim aktivnostima. Koli?ina raspoloivih resursa je ograni?ena, pa je to dodjeljivanjepotrebno paljivo izvriti. Odre?ivanje ove dodjele resursa uklju?uje izbor nivoa aktivnosti kojina najbolji mogu?i na?in poga?a eljenu vrijednost mjere izvedbe funkcije cilja.

Tablica 2 Usporedba op?eg i stvarnog modela

Primjer (tvrtka za proizvodnju vrata iprozora) Op?i problem

Proizvodni kapaciteti tvrtke3 pogona

Resursim - resursa

Proizvodnja proizvoda2 proizvoda

Aktivnostin - aktivnosti

Koli?ina proizvedenih paketax1, x2

Nivo aktivnostixj

Profitf

Op?a mjera izvedbeZ

Izrazi (1) (4) predstavljaju op?u matemati?ku formulaciju linearnog programiranja.Potrebno je dati interpretaciju pojedinih veli?ina u tim izrazima koje bi bile u skladu sproblemom dodjeljivanja resursa pojedinim aktivnostima.

Z ? mjera izvedbexj ? nivo aktivnosti (j = 1,2,3, )cj ? pove?anje ovog koeficijenta u mjeri izvedbe rezultira pove?anjem svake jedinice u nivou

aktivnosti j

bi ? koli?ina resursa i koji je na raspolaganju za aktivnost jaij ?koli?ina resursa i koji se upotrebljava svakom jedinicom aktivnosti j

Sve ?e vam biti puno jasnije kada nacrtamo tablice podataka za dodjeljivanje resursapripadnim aktivnostima naeg konkretnog primjera i op?eg modela.

14


Tablica 3 Prikupljeni podaci projektnog tima tvrtke

Proizvod a Proizvod b1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

Profit po paketu 3.000,00 5.000,00

Vrijeme proizvodnje po paketu[sati]pogon

Raspoloivo proizvodnovrijeme po tjednu [sati]

Tablica 4 Podaci potrebni za stvaranje modela linearnog programiranja uklju?ivanjedodjeljivanja resursa aktivnostima

Resursi koji se koriste po jedinici aktivnosti

AktivnostiResursi

1 2 n

Koli?inaraspoloivih

resursa

1 a11 a12 a1n b12 a21 a22 a2n b2...

...

m am1 am2 amn bmDoprinos

funkciji cilja Zpo jediniciaktivnosti

c1 c2 cn

Ovome jo treba dodati uvjet nenegativnosti varijabli odluke.

x1, x2, x3, xn ? 0

Tablica 3 vam predstavlja op?i oblik predo?avanja podataka linearnog programiranja. Ve?smo rekli da se problemi do tri varijable odluke mogu rijeiti grafi?kom metodom, a zasloenije probleme nuno je koristiti simplex metodu. Me?utim, sigurno postavljate pitanjekakve sve ovo veze ima s informatikom. Veza se ve? dala naslutiti iz tabli?nog prikazapodataka op?eg modela. Naime, jednostavniji problemi linearnog programiranja izuzetno supogodni za rjeavanje primjenom tabli?nih kalkulatora, kao to je Excel.

15

2. LINEARNO PROGRAMIRANJE I EXCEL

2 LINEARNO PROGRAMIRANJE I EXCEL

Podaci koji se predo?e kao to je to prikazano u tablici 3, jednostavno se mogu unijeti u Exceltablicu. Me?utim, ovdje se ne ograni?avamo samo na prikladno prezentiranje podatakaproblema linearnog programiranja u vidu tablica, ve? je mogu?e, uz uklju?enje nekih dodatnihinformacija iskoristiti Excel za brzu analizu potencijalnih rjeenja. Primjerice, moemoprovjeriti da li su dobivena rjeenja dopustiva, tj. izvediva i koju vrijednost funkcije cilja daju(profit ili trokove). Pored toga ugra?eni Excelov alat Solver primjenom simplex metode moeprona?i optimalno rjeenje.Da bismo ilustrirali primjenu Excelu, vratit ?emo se na na problem s tvrtkom "Di bi propuhasad ga nema". Prvo ?emo problem rijeiti bez primjene Solvera, a potom s njim.

[1] Unesite podatke u Excel tablicu prema tablici br. 1[2] Pripadni radni list preimenujte u podaci[3] Tu tablicu ?e trebati malo modificirati i neto joj dodati ? prvo tip podataka valute

(u ) promijenite u broj?ani tip podataka bez decimala[4] Potom izbriite tisu?e ? neka ostanu samo brojke 3 i 5[5] U ?eliju u kojoj je pisalo Profit po paketu dodajte [x1000] ? uklju?ite

prelamanje teksta u toj ?eliji[6] Dodajte dva stupca desno od Vrijeme proizvodnje po paketu [sati][7] Prvi stupac naslovite ukupno i u njemu ?ete izra?unavati vrijednosti ograni?enja

funkcije cilja[8] Drugi stupac nazovite ograni?enje i u njega ?ete staviti samo znakove manje ili

jednako (?)[9] Dodajte jo jedan redak ispod Profit po paketu [x1000][10] Naslovite ga s Rjeenja za varijable odluke[11] Preostaje nam jo upisati formule za izra?unavanje vrijednosti funkcije cilja ?

sjetimo se da se op?enito ona izra?unava kao:

ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + +ainxn i mora zadovoljavati neko ograni?enje

u naem primjeru jedna od vrijednosti se dobije kao

1x1 + 0x2

i ona treba biti manja od broja raspoloivih sati za prvi pogon. Ako ovo napiemo u Exceludobit ?emo:

E5 = C5*C9+D5*D9

(kod vas naravno mogu biti i druge adrese)

16


Proizvod a Proizvod b1 1 0 2 ? 42 0 2 12 ? 123 3 2 18 ? 18

Profit po paketu[x1000] 3 5 36

Rjeenja zavarijable odluke

2 6

pogonVrijeme proizvodnje po paketu [sati] Raspoloivo proizvodno

vrijeme po tjednu [sati]Ukupno Ograni?enje

Prema tome imamo sumu produkata trenutno koritenih resursa s vrijednostima varijabliodluke ? to moemo kra?e zapisati s ugra?enom funkcijom SUMPRODUCT:

E5 = SUMPRODUCT(C5:D5,C9:D9)

Funkcija SUMPRODUCT prvo mnoi svaki ?lan u rasponu odre?enih ?elija npr.C4:F4 s pripadnim ?lanom u drugom rasponu npr. C10:F10 i potom ih svesumira. Primjerice:

G20 = SUMPRODUCT(C4:F4,C10:F10)je ekvivalentno s:

G20 = C4*C10 + D4*D10 + E4*E10 + F4*F10

[12] Analogno postupite za sve tri vrijednosti funkcije cilja s trenutno raspore?enimresursima!

Slika 2-1 Rjeavanje problema linearnog programiranja u Excelu

Stupac kojeg smo nazvali Ograni?enje i u kojem smo samo unijeli znakove manje ilijednako, slui nam kao podsjetnik da dobivene vrijednosti pod ukupno ne smiju prije?i zadanaograni?enja. Kada je problem unesen u Excel prora?unsku tablicu, jednostavno pristupiteanalizi za proizvoljne vrijednosti varijabli odluke. Kada se vrijednosti unesu odmah ?ete upripadnim ?elijama dobiti vrijednosti iskoritavanja pojedinog resursa (koja ne smije prije?i

Izraz za izra?unavanjeeljene funkcije cilja

17


zadanu vrijednost) i ukupni profit za tu kombinaciju varijabli odluke koli?inu proizvedenihpaketa oba proizvoda.

[13] Unesite vrijednosti za x1 = 2 i x2 = 4 ? to uo?avate[14] Unesite vrijednosti za x1 = 3 i x2 = 5 ? jeste li jo uvijek u podru?ju izvedivosti[15] Unesite vrijednosti za x1 = 2 i x2 = 6 ? kakvo je ovo rjeenje[16] Probajte unijeti x1 = 3 i x2 = 6 ? je li to rjeenje dopustivo

Slika 2-2 Izgled tablice za rjeenje naeg problema

Ovdje je vidljivo da se do rjeenja dolazi principom pokuaja i pogreaka, pri ?emu u svakomkoraku u tablici vrimo analizu dobivenih vrijednosti. O?igledno je rije? o dugotrajnomprocesu, koji nas tek nakon velikog broja pokuaja dovodi do rjeenja, ali za koje ne moemou potpunosti garantirati da je rije? o optimalnom rjeenju. Me?utim, Excelov alat Solveromogu?uje iznalaenje optimalnog rjeenja primjenom simplex metode.

2.1 Primjena SOLVERA

Da bismo mogli upotrijebiti Solver za rjeavanje naeg problema ili sli?nih problema potrebnoje u Excel tablici imati uklju?ene sljede?e komponente modela:

? Sve varijable odluke? Definirati funkciju cilja? Odrediti to se trai ? min ili max funkcije cilja? Sva ograni?enja

Potrebno je konstruirati tablicu prema op?em modelu linearnog programiranja kao to smoradili u prethodnom slu?aju. Ovaj put ne unosite vrijednosti za varijable odluke.

Unos varijabli odlukeVrijednosti koje se pri

tom mijenjaju

Vrijednosti koje sene smiju prekora?iti

18


[1] Napravite potpuno istu tablicu kao i u prethodnom primjeru ? kopirajte je na noviradni list

[2] Radni list preimenujte u rjeenje_Solver[3] Vrijednosti varijabli odluke su vam nepoznate, pa za njih postavite vrijednosti nula[4] Solver pozivate preko menija Tools? Solver

Velika vjerojatnost je da vam Solver nije instaliran, pa ga je potrebno dodatno instalirati. Sveto je potrebno je da pri ruci imate instalacijski CD vae verzije Officea. U izborniku Toolsvam se nalazi naredba Add Ins preko koje se dodaju programi (alati) uklju?eni sExcelom, a koji se pri osnovnoj instalaciji Officea ne instaliraju. Nakon klika na tu naredbuotvorit ?e vam se dijalog kao na slici ispod:

Slika 2-3 Instalacija Solvera

Ukoliko vas Excel zatrai instalacijski disk samo ga umetnite u opti?ki pogon ? cijelainstalacija se odvija samostalno bez ikakvih zahvata. Kliknite ponovno pod Tools i sada bivam se u tom izborniku trebao nalaziti Solver.

[5] U dijalogu Solvera prvo definirajte adresu ?elije u kojoj se treba dobiti vrijednostfunkcije cilja

19


[6] Potom odre?ujete da li traite max, min ili to?no eljenu vrijednost te funkcije[7] Pod By Changing Cells dolaze adrese ?elija u kojima se nalaze varijable odluke[8] Na kraju se upisuju ograni?enja koja je potrebno zadovoljiti

Slika 2-4 Izgled dijalokog prozora Solvera

Ograni?enja se dodaju preko dugmeta Add. Ako ih elite mijenjati koristite dugme Change,a u slu?aju brisanja dugme Delete.

[9] Dodajte ograni?enja za sva tri pogona

Slika 2-5 popunjavanje ograni?enja

adresafunkcije

cilja

adresevarijabliodluke

?elija u kojoj je izraz kojidefinira vrijednostpojedinog resursa

dodijeljenog pripadnojakciji kao funkcijavarijabli odluke

?elija u kojoj jedefinirana vrijednost

ograni?enja

Izbor vrste ograni?enja

20


Ograni?enja ne moraju biti tipa jednakosti ili nejednakosti, ve? moe biti i da neka varijablaodluke moe poprimiti samo cjelobrojnu vrijednost (int) ili ?ak i binarnu (0 ili 1 ? bin).

[10] Kada ste definirali sva ograni?enja kliknite na dugme OK[11] Prije samog kraja potrebno je definirati i opcije za rjeavanje preko dugmeta

Options

Slika 2-6 Definiranje opcija Solvera

Najvanije opcije su vam pretpostavljanje linearnog modela (Assume Linear Model) i

osiguravanje uvjeta nenegativnih vrijednosti varijabli odluke (Assume Non Negative).

Sve ostale vrijednosti ostavite kako su po?etno postavljene.

[12] Potvrdite s OK kako bi se vratili na glavni dijalog Solvera

[13] Sada moete kliknuti na dugme Solve ?ime ?e se pokrenuti izvravanje Simplex

metode u pozadini za na model linearnog programiranja s nenegativnim

vrijednostima varijabli odluke

Nakon nekoliko sekundi (za jednostavnije probleme) pojavit ?e vam se dijalog kojim vas

Solver obavjetava da je pronaao optimalno rjeenje:

21


Slika 2-7 Izgled dijaloga Solvera za rezultate

Dijalog vam omogu?uje izbor nekoliko vrsta izvjetaja. Moete izabrati samo jedan ili bilo kojukombinaciju me?u ponu?enim izvje?ima. Izvje?a je potrebno spremiti klikom na dugmeSave Scenario

U slu?ajevima kada Solver ne moe na?i optimalno rjeenje u zavrnom dijalogu?e ispisati poruku "The Set Cell values do not converge.", a za slu?ejeve kadauop?e ne postoji izvedivo rjeenje poruku "Solver could not find a feasible

solution".

U svim slu?ejvima rjeavanja problema linearnog programiranja pomo?uSolvera potrebno je znati gdje su pojedine komponente modela smjetene upripadnoj tablici.

[14] Spremite radnu knjigu pod nazivom Solver_pr_1 u mapu PI na vaem USB u

22

3. PRIMJENA SOLVERA

3 PRIMJENA SOLVERA

Solver koristi simplex metodu za rjeavanje problema linearnog programiranja. Tu metodu jerazvio George Dantzig 1947. godine i od tada predstavlja osnovnu metodu za rjeavanjestvarnih problema linearnog programiranja na ra?unalima. Njezine ina?ice omogu?uju iprovo?enje postoptimalne analize modela (tu se prvenstveno misli na osjetljivost modela). Usvijetu danas postoji ?itav niz programskih paketa namijenjenih u ovu svrhu, ali mi ?emo seograni?iti samo na upotrebu ve? spominjanog Solvera. Na ovom nivou nas ne zanima samamatemati?ka pozadina simplex metode, ve?? ?isto primjena Solver alata na rjeavanjekonkretnih primjera i na pravilnu interpretaciju dobivenih rezultata. Osim toga, sljede?egodine u okviru kolegija Poslovne simulacije znatno detaljnije ?ete obraditi postavljenjemodela linearnog programiranja, teoretske osnove simplex metode i njezinih ina?ica. Tako?er?e biti rije?i o postoptimalnoj analizi.

Primjer br. 1: (Farmaceutska tvrtka) U prethodnom primjeru s naom tvrtkom "Di bipropuha sad ga nema" imali smo samo dva proizvoda ?iju smo proizvodnu kombinaciju trebaliodrediti kako bi imali maksimalni tjedni profit. Koli?ine su bile izraene u paketima proizvoda,a svaki paket je sadravao 20 jedinica vrata ili prozora. No, postavlja se pitanje to ?e biti usli?nim slu?ajevima kada trebamo odrediti kombinaciju proizvodnje ve?eg broja proizvoda zapove?anje profita uz zadovoljenje ograni?enja proizvodnih kapaciteta tvrtke.Pretpostavimo da radite u projektnom timu farmaceutske tvrtke "Jeremija" i da na tritunudite 6 razli?itih proizvoda (lijekova). Problem ?emo pojednostavniti na na?in da proizvodnjasvakog proizvoda zahtjeva samo sirovine i proizvodni rad. Podaci o tim podacima nalaze se utablici ispod:

Tablica 5 Podaci o koli?inama sirovina, radnim satima i proizvedenim jedinicama

Proizvod 1 2 3 4 5 6sati

proizvodnjepo jedinici

6 5 4 3 2.5 1.5

koli?inasirovine zajedinicu

proizvoda

3.2 2.6 1.5 0.8 0.7 0.3

proizvedenakoli?ina

jedinica umjesecu

150 160 170 180 190 200

Trokovi proizvodnje su redom 6.50; 5.70; 3.60; 2.80; 2.20; 1.20 , a prodajne cijene 12.50;11.00; 9.00; 7.00; 6.00 i 3.00 po jedinici svakog proizvoda. Tvrtka moe mjese?no prodati

23

3. PRIMJENA SOLVERA

redom sljede?e koli?ine proizvoda: 960, 928, 1041, 977, 1084 i 1055. Mjese?ni broj radnihsati na raspolaganju je 4500, a koli?ina sirovine koju tvrtka mjese?no dobavlja iznosi 1600.Projektnom timu je postavljen sljede?i zadatak:

Na koji na?in tvrtka moe maksimizirati mjese?ni profit?

Da bi vidjeli trenutno stanje treba unijeti sve podatke kojima raspolae projektni tim u Exceltablice.

Tablica 6 Izgled tablice s podacima za analizuProizvod 1 2 3 4 5 6

sati po jediniciproizvoda 6,0 5,0 4,0 3,0 2,5 1,5

sirovine pojedinici

proizvoda3,2 2,6 1,5 0,8 0,7 0,3

proizvedenojedinica 150 160 170 180 190 200

Trokoviproizvodnje 6,50 5,70 3,60 2,80 2,20 1,20

Prodajna cijenapo proizvodu 12,50 11,00 9,00 7,00 6,00 3,00

Profit poproizvodu 6,00 5,30 5,40 4,20 3,80 1,80

koli?ina koju jemogu?e

mjese?noprodati

960 928 1041 977 1084 1055

sati iskoriteno 3695 satiraspoloivo 4500

sirovineiskoriteno 1488

sirovineraspoloivo 1600

profit tvrtke 4.504,00

[1] Profit po proizvodu izra?unajte kao razliku prodajne i proizvodne cijene svakogproizvoda

[2] Broj iskoritenih sati izra?unajte primjenom funkcije SUMPRODUCT (rasponi suproizvedeni broj jedinica i sati potroenih za izradu jedinice proizvoda)

24

3. PRIMJENA SOLVERA

[3] Iskoritene sirovine tako?er izra?unate primjenom funkcije SUMPRODUCT (rasponisu proizvedeni broj jedinica i potrebne koli?ine sirovina po jedinici proizvoda)

[4] Ukupni mjese?ni profit tvrtke dobije se primjenom funkcije SUMPRODUCT, a kaorasponi se uzimaju mjese?no proizvedene koli?ine i pojedina?ni profiti

Slika 3-1 Izra?unavanje pripadnih veli?ina potrebnih za analizu

Naravno, kod vas ?e vjerojatno biti druga?ije adrese ?elija nego na gornjim slikama. Sadamoemo postaviti model za Solver:

? Target Cell? elimo maksimizirati mjese?ni profit (naa funkcija cilja) ? kodmene ?elija s adresom D21

? Changing Cells ? promjenom koli?ine proizvedenih jedinica svakogproizvoda utje?emo na profit ? kod mene raspon D8:I8

? Constrains? imamo sljede?a ograni?enja:

? Ne moemo koristiti vie sirovine nego to nam je na raspolaganju (D17? G17)

? Broj proizvodnih sati naeg pogona je limitiran na 1600 (D18 ? G18)? Ne smijemo proizvesti koli?ine koje prelaze vrijednosti koje smo u stanju

mjese?no prodati (pripadne vrijednosti u rasponu D8:I8 moraju bitimanje ili jednake vrijednostima u rasponu D14:I14)

? Ne mogu se proizvesti negativne koli?ine bilo kojeg lijeka (sve vrijednostiu rasponu D8:I8 moraju biti ve?e ili jednake nuli)

? Mogu se proizvoditi samo cjelobrojne koli?ine (sve koli?ine su tipainteger)

[5] Pozovite Solver ? Tools? Solver[6] U dijalogu Solvera pod Target Cell unesite adresu ?elije mjese?nim profitom[7] Equal To: Max jer traimo maksimalni mjese?ni profit[8] Pod By Changing Cells unesite raspon ?elija s koli?inama proizvedenih jedinica[9] Ograni?enja unesite redom kako je naglaeno u objanjenju ? samo ne unosite

ograni?enje da ne moete proizvesti negativne koli?ine proizvoda, jer ?ete taj uvjet

25

3. PRIMJENA SOLVERA

definirati preko opcija (Options) ? svako novo ograni?enje se unosi klikom nadugme Add

[10] Klikom na dugme Options u pripadnom dijalogu uklju?ite pretpostavku linearnogmodela (Assume Linear Model) i nenegativnih vrijednosti varijabli odluke(Assume Non Negative)

Slika 3-2 Dijalog Solvera za na primjer i podeene opcije Solvera

A kako znamo da jeovaj model linearan?

26

3. PRIMJENA SOLVERA

Linearnost ovog modela je vidljiva iz definicije funkcije cilja ? ukupni mjese?ni profit:

Ukupni mjese?ni profit = (broj proizvedenih jedinica_1*profit po jedinici tog

proizvoda) + (broj proizvedenih jedinica_2*profit po jedinici tog proizvoda) + (broj

proizvedenih jedinica_3*profit po jedinici tog proizvoda) + (broj proizvedenih

jedinica_4*profit po jedinici tog proizvoda) + (broj proizvedenih jedinica_5*profit po

jedinici tog proizvoda) + (broj proizvedenih jedinica_6*profit po jedinici tog

proizvoda)

Kako je profit po jedinici nepromjenjiv konstantan, a proizvedene koli?ine promjenjive, to sesvaki ?lan u gornjem izrazu op?enito moe napisati u obliku:

adresa ?elije promjenjive varijable*konstanta

to nam slijedi uzorak linearnog modela. Pogledajmo kako su definirana ograni?enja. Brojiskoritenih sati dobije se kao:

(broj proizvedenih jedinica_1*sati po toj jedinici) + (broj proizvedenih

jedinica_2*sati po toj jedinici) + (broj proizvedenih jedinica_3*sati po toj jedinici) +

(broj proizvedenih jedinica_4*sati po toj jedinici) + (broj proizvedenih

jedinica_5*sati po toj jedinici) + (broj proizvedenih jedinica_6*sati po toj jedinici)

Broj iskoritenih sati mora biti manji ili jednak raspoloivom broju sati. Vidimo da je opet svaki?lan u gornjem izrazu dobiven kao produkt promjenjive veli?ine i konstante ? konstante susati potrebni za proizvodnju jedne jedinice lijeka, a promjenjive koli?ine proizvedenihproizvoda. Analogno razmatranje vrijedi i za ostala ograni?enja, pa je o?igledno rije? olinearno modeliranom sustavu kojeg rjeavamo metodom linearnog programiranja, preciznijesimplex metodom.

Aj dobro. Pokaza si mi da je rije? olinearnom modelu, ali ta mi to zna?ikod postavljanja opcija Solvera?

27

3. PRIMJENA SOLVERA

Ako je model linearan i u opcijama Solvera postavimo aktivnu pretpostavku o linearnostimodela, tada ?e nam Solver garantirati pronalaenje optimalnog rjeenja. U suprotnom,Solver moe, ali i ne mora prona?i optimalno rjeenje. Osim toga uklju?enjem te opcije Solverza rjeavanje problema koristi spomenutu efikasnu simplex metodu u traenju optimalnogrjeenja. Ako opcija Assume linear model nije uklju?ena, iako je model linearan, Solver ?eu rjeavanju problema koristiti manje efikasan algoritam GRG2 koji moe imati poteko?a unalaenju optimalnog rjeenja.

[11] Kliknite na OK dijaloga opcija Solvera[12] Da bi dobili rjeenje kliknite na dugme Solve ? ako rjeenje postoji Solver ?e dati

vrijednosti koli?ina jedinica po svakom lijeku koje ?e davati maksimalni profit[13] Da bi zadrali optimalne vrijednosti u Excel tablici kliknite na dugme Keep Solver

Solution[14] Spremite Excel radnu knjigu s primjerom na va USB u mapu PI pod imenom

farmacija_primjer

Proizvod 1 2 3 4 5 6sati po jedinici

proizvoda 6,0 5,0 4,0 3,0 2,5 1,5

sirovine pojedinici

proizvoda3,2 2,6 1,5 0,8 0,7 0,3

proizvedenojedinica 0 0 2 594 1084 0

Trokoviproizvodnje 6,50 5,70 3,60 2,80 2,20 1,20

Prodajna cijenapo proizvodu 12,50 11,00 9,00 7,00 6,00 3,00

Profit poproizvodu 6,00 5,30 5,40 4,20 3,80 1,80

koli?ina koju jemogu?e prodati 960 928 1041 977 1084 1055

sati iskoriteno 4500 satiraspoloivo 4500

sirovineiskoriteno 1237

sirovineraspoloivo 1600

profit tvrtke 6.624,80 Slika 3-3 Rjeenje problema maksimalnog profita farmaceutske tvrtke

28

3. PRIMJENA SOLVERA

Iz dobivenog rjeenja projektni tim je zaklju?io:

? Tvrtka treba proizvoditi 1084 jedinica lijeka 5, 594 jedinica lijeka 4 i samo dvijejedinice lijeka 3

? Lijekovi 1, 2 i 6 se ne isplate proizvoditi? Takvom proizvodnjom zajam?en je maksimalni mjese?ni profit u iznosu od

6.624,80 ? Niti jedna druga kombinacija proizvodnje ne bi dala ve?i profit uz postoje?a

ograni?enja resursa i trenutne zahtjeve trita

Ako se malo prisjetite uvodnog dijela o linearnom programiranju, tada smo rekli da rjeenjaovakvih problema mogu biti i neizvediva. Tu se misli na neizvedivost zbog ograni?enihresursa. Da bi ilustrirali takav slu?aj u naem primjeru postavite zahtjev da su nampostavljene minimalne koli?ine lijekova koje moemo plasirati na trite. Drugim rije?ima ovobi za posljedicu imalo promjenu samo jednog uvjeta da broj proizvedenih jedinica treba bitive?i ili jednak od zadanih vrijednosti, a ne kao prije manji ili jednak.

[15] Otvorite Solver[16] Kliknite na ograni?enje u kojem je raspon ?elija proizvedenih jedinica postavljen

na ? od raspona ?elija koje su predstavljale max koli?ine jedinica koje je bilomogu?e prodati na tritu

[17] Klik na dugme Change[18] Promijenite samo znak nejednakosti iz ? u ?

Slika 3-4 promjena uvjeta ograni?enja u dijalogu Solvera

[19] Potvrdite s OK i potom pokrenite Solver ? Solve[20] Nakon neto duljeg ?ekanja pojavit ?e nam se poruka Solver colud not find a

feasible solution.

Kako pri rjeavanju problema trebaju biti zadovoljena sva ograni?enja, to nas Solverobavjetava da s naim limitiranim resursima ne postoji rjeenje koje zadovoljava svezahtjeve. Pri tom nismo napravili pogreku u naem modelu, ve? ne postoji izvedivo rjeenjeuz ograni?ene resurse. Sve to nam dalje govori je da je potrebno pove?ati ili broj satiproizvodnje ili koli?ine sirovina ili oboje, pa da se dobije izvedivo rjeenje.

[21] Kliknite na Cancel

29

3. PRIMJENA SOLVERA

Dalje nas zanima to bi se dogodilo ukoliko bi dozvolili negativne vrijednosti varijabli odluke? negativne koli?ine proizvedenih jedinica i kada bi na tritu mogli prodati neograni?enekoli?ine svakog lijeka

[22] Pozovite Solver[23] Kliknite na dugme Options i uklonite kva?icu s opcije Assume Non Negative[24] Kliknite na OK kako bi se vratili u glavni dijalog Solvera[25] Pod ograni?enjima potraite ograni?enje za koli?ine proizvoda

($D$8:$I$8?$D$14:$I$14) ? kliknite na njega ? pa na dugme Delete[26] Pokrenite rjeavanje klikom na Solve[27] Nakon duljeg ?ekanja pojavit ?e vam se poruka The Set Cells values do not

converge.

Ovom porukom Solver nas obavjetava da bi zbog dozvoljenih negativnih vrijednosti ineograni?enih koli?ina koje moemo prodati mogli proizvoditi jedan lijek u vrlo velikimkoli?inama, a neki drugi u negativnim i da pri tom resursi ne budu prije?eni (sirovine i sati).Na taj na?in i uz neograni?ene koli?ine prodaje mogli bi ostvariti beskona?no velik profit, to ustvarnosti nije mogu?e. Dakako da i proizvodnja negativnih koli?ina nije mogu?a, pa kaduvijek dobijete ovu poruku odmah znadete da imate krivo postavljen model.

Slika 3-5 Poruka koja upozorava na neizvedivo rjeenje s ograni?enim resursima

Slika 3-6 Poruka koja upozorava na pogreno postavljen model

[28] Kliknite na Cancel

30

3. PRIMJENA SOLVERA

Tablica 7 Prikaz podru?ja primjene i rezultata simplex metode ili njenih izvedenica u praksi

Primjer br. 2: (Planiranje ulaganja) Jedan ste od vlasnika poznate tvrtke "Kamena sramena" koja se bavi razvojem PC igrica. Trenutno imate dvadeset razvojnih timova koji radena razli?itim projektima. Kao vode?a tvrtka na tom podru?ju, angairali ste drugu tvrtku koja?e za vas provesti istraivanje koje projekte je isplativo razvijati s obzirom na ograni?enbudet ulaganja u svakoj godini i broju programera koji mogu raditi na svakom projektu. Na

31

3. PRIMJENA SOLVERA

raspolaganju su podaci o ulaganjima, o?ekivanim dobitima i broju programera po projektu zanaredne tri godine.Prvo je nuno odrediti funkciju cilja. Budu?i da su poznate vrijednosti ulaganja i o?ekivanihdobiti po godinama projektni tim se odlu?io da funkcija cilja bude maksimalna vrijednost NPVfunkcije svih projekata. Me?utim, da bismo mogli prona?i optimalno rjeenje problema,potrebno je razumjeti to nam daje ta funkcija.

3.1.1 Procjena ulaganja upotrebom NPV kriterija

Pojednostavljeno govore?i isplativost nekog ulaganja se odre?uje na temelju uloenihvrijednosti i o?ekivane dobiti. Karikirajmo slu?aj na na?in da promatramo jednokratnoulaganje bez kamata u jedan posao od recimo 100000 uz o?ekivanu dobit od 150000.Stvarna dobit je razlika izme?u uloenog i dobivenog i iznosi u ovom slu?aju 50000. Ovdjenemate nikakvih problema o donoenju odluke elite li investirati u takav posao ili ne. No,kako donijeti odluku ako vas zanima posao u koji bi u naredne ?etiri godine uloili redom100000, 123000, 50000 i 75000. Poznate su vam i u ovom slu?aju o?ekivane dobiti u te?etiri godine, a potrebno je zara?unati kamatu zbog recimo inflacije i ulaganja u osnovnuopremu. Pod ulaganjem u osnovnu opremu podrazumijevamo manje trokove koji nisupredvi?eni investicijom u svakoj godini. Sigurno je da u ovom slu?aju ne moete donijetiodluku na jednostavan na?in kao u prvom primjeru. Upravo za takve primjere u Excelu postojiugra?ena funkcija NPV (Net Present Value) koja nam vra?a vrijednost vezane dobiti naosnovu stalne kamatne stope, serije budu?ih ulaganja (koje se unose kao negativnevrijednosti) i serija dobiti (pozitivne vrijednosti).

Smisao NPV a:

Pretpostavimo da imate 1,00 kojeg ste danas uloili s kamatnom stopom od p posto. Toulaganje ?e na kraju prve godine imati vrijednost (1 + p/100), za dvije godine (1+p/100)2itd. Dobivamo predodbu o vrijednosti naeg ulaganja ? to danas vrijedi 1,00 sljede?egodine vrijedi (1+p/100), odnosno (1+p/100)2 i tako redom nadalje. Prema tomevrijednost 1,00 danas je ekvivalentna (1+p/100)n za n godina. Ovaj na zaklju?ak moemopredo?iti i matemati?ki:

1,00 sada= (1+p/100)n za n godina

Podijelimo obje strane jednadbe s (1+p/100)2:

? ? 1sada100/p11

n ?? za n godina od danas

32

3. PRIMJENA SOLVERA

Ovaj izraz predstavlja tzv. NPV (Net Present Value) vrijednost. Iz njega je vidljivo da onapredstavlja vrijednost nekog toka novca u raznim budu?im vremenima izraenu u dananjojvalutnoj vrijednosti. Da budemo malo precizniji moete konvertirati bilo koju vrijednost novcakoju ?ete primiti za n godina u vrijednost dananje valute na na?in da tu svotu pomnoite s?lanom 1/(1+p/100)n. Primjerice uzmimo u razmatranje dva ulaganja:

? Ulaganje u kojem danas ulaete 10000 u prvoj godini o?ekivani dobitak je24000, a u drugoj godini ponovno ulaete 14000

? Ulaganje u kojem danas ulaete 6000, u prvoj godini o?ekujete dobit od8000 i u drugoj ulaete 1000

Za oba slu?aja godinja kamatna stopa je 20%. Sve vrijednosti vaih ulaganja dolaze snegativnim predznakom, a dobiti s pozitivnim. Prema tome stvarna dobit za naa dva slu?ajaje:

Investicija_1 = 14000)100/201(

124000)100/201(

110000 2 ???????

Investicija_2 = 1000)100/201(

18000)100/201(

16000 2 ???????

Investicija_1 = 277,78Investicija_2 = -27,78

Prvi ?lan predstavlja ulaganje u sadanjosti, a drugi NPV budu?ih ulaganja i dobiti. Na osnovudobivenih podataka vidimo da je prva investicija znatno povoljnija nego druga. U prvoj smona dobitku (pozitivna vrijednost), a u drugoj na gubitku (negativna vrijednost). Malopreciznijom analizom zaklju?ujemo da svaka godina daje razli?itu teinu toku novca ? manjateina je na svotama koje dolaze u kasnijim godinama.

Upotreba ugra?ene NPV funkcije u Excelu

Da bismo upoznali koritenje ugra?ene Excel funkcije NPV posluit ?emo se naim prethodnimprimjerom s dva ulaganja:

[1] Kreirajte tablicu prema donjoj

NPV

NPV

33

3. PRIMJENA SOLVERA

posao danas prva godina druga godina1 -10.000,00 24.000,00 -14.000,00 10.277,78 277,78 2 -6.000,00 8.000,00 -1.000,00 5.972,22 -27,78

kamata 20%

ulaganja i dobitiNPV stvarnadobit

[2] Kliknite u ?eliju za izra?unavanje NPV a za prvi posao i potom na ikonu Insertfunction na traci formula ili preko izbornika Insert ? Function

Slika 3-7 Umetanje funkcije preko trake funkcija

Pojavit ?e vam se dijalog za umetanje funkcija ? pod kategorijom izaberite Financial i u njojfunkciju NPV:

Slika 3-8 Pozivanje financijske funkcije NPV

Dobro pro?itajte njezin opis i na?in definicije ? bitan nam je ovaj dio ? vra?a vrijednostulaganja na osnovu budu?ih priliva i rashoda novca. To zna?i da ne moete u pripadni raspon?elija uklju?iti ?eliju koja ozna?ava ulaganje u sadanjosti.

34

3. PRIMJENA SOLVERA

Slika 3-9 Popunjavanje argumenata NPV funkcije[3] Analognim postupkom izra?unajte NPV za drugi posao[4] Da bi izra?unali stvarnu dobit potrebno je dobivenim vrijednostima NPV a dodati

vrijednosti ulaganja koje vrimo u sadanjosti ? sjetite se da ulaganja dolaze snegativnim predznakom, pa zbog toga vrimo sumiranje NPV vrijednosti spripadnim ulaganjem u sadanjosti

Slika 3-10 Izra?unavanje stvarne dobiti

Dobit ?ete vrijednosti koje smo dobili kada smo i "ru?no" ra?unali vrijednost dobiti zapromatrana dva posla.

Slika 3-11 Tablica s gotovim prora?unima za stvarne dobiti promatranih poslova

Vrijedi analogni zaklju?ak da je bolje uloiti u prvi posao!

kamata

Vrijednostibudu?ih

ulaganja idobiti

35

3. PRIMJENA SOLVERA

U takvim slu?ajevima koristite ugra?enu funkciju XNPV. Da bi je mogli koristiti trebateinstalirati Analysis ToolPak i Analysis ToolPak VBA. Postupate na sli?an na?in kao i kodinstalacije Solvera ? Tools ? Add Ins ? ozna?ite Analysis ToolPak i AnalysisToolPak VBA.

Slika 3-12 instalacija dodatnih alata za analizu

Pretpostavimo da ste 04.02.2002. investirali 1000, a potom ste redom primali svote od500, 300, 800 i 400 po datumima 23.08.2002., 04.01.2003., 15.10.2003. i 30.03.2004.Kolika je vaa stvarna dobit? Unesite podatke prema priloenoj tablici:

Ali to ako je priliv ili odlivnovca u nejednolikimvremenskim intervalima?

36

3. PRIMJENA SOLVERA

datum iznos4.2.2002 -1.000,00

23.8.2002 500,00 4.1.2003 300,00

15.10.2003 800,00 30.3.2004 400,00

kamata 10%dobit 756,15

[1] Ozna?ite ?eliju u kojoj elite izra?unati dobit i pozovite funkciju XNPV ? nalazivam se isto pod kategorijom financijskih funkcija

[2] Pojavit ?e vam se dijalog za unos argumenata funkcije ? kamatnu stopu,vrijednosti uloga i dobiti, datume

Dobivena vrijednost dobiti je u vrijednosti na prvom datumu u nizu ? u naem slu?aju nadatum 04.02.2002.

Slika 3-13 Dijalog za popunjavanje argumenata funkcije XNPV

Sada se moemo vratiti naem primjeru s tvrtkom "Kamena s ramena". Prikupljeni podaci kojistoje na raspolaganju projektnom timu su prikazani sljede?om tablicom:

Dobijeteprimjenom

funkcije XNPV

37

3. PRIMJENA SOLVERA

Projektkoji seizvodi

NPV trokovi prvagodinatrokovi

druga godinatrokovi

tre?a godinaprogramera uprvoj godini

programerau drugojgodini

programerau tre?ojgodini

1 projekt 1 928 398 180 368 111 108 1231 projekt 2 908 151 269 248 139 86 831 projekt 3 801 129 189 308 56 61 230 projekt 4 543 275 218 220 54 70 591 projekt 5 944 291 252 228 123 141 701 projekt 6 848 80 283 285 119 84 370 projekt 7 545 203 220 77 54 44 421 projekt 8 808 150 113 143 67 101 430 projekt 9 638 282 141 160 37 55 641 projekt 10 841 214 254 355 130 72 620 projekt 11 664 224 271 130 51 79 580 projekt 12 546 225 150 33 35 107 631 projekt 13 699 101 218 272 43 90 711 projekt 14 888 313 278 291 66 75 740 projekt 15 655 100 84 77 85 59 700 projekt 16 589 73 121 45 32 65 430 projekt 17 432 87 189 61 47 81 970 projekt 18 456 99 132 100 87 101 550 projekt 19 632 102 54 33 42 55 751 projekt 20 700 75 120 79 32 98 45

Varijable odluke su u ovom slu?aju binarnog tipa i ozna?avaju da li se pojedini projekt izvodiili ne ? 1 (izvodi se); 0 (ne izvodi se). U tablici su vrijednosti za te varijable odlukepostavljene od strane menadmenta tvrtke prije "predavanja problema u ruke" projektnogtima. Odluke su donoene na principu da se uzimaju projekti koji daju samo najve?i NPV.Pored toga vodilo se ra?una koji su se sli?ni projekti prema dotadanjem iskustvu pokazaliisplativi. O?igledno je rije? o odlu?ivanju koje se donosi na principu slobodnih procjena, a neprecizne analize problema. Iako moe biti rije? o prili?no iskusnom menaderskom timu vidjet?emo da njihova odluka ne donosi najve?u mogu?u dobit tvrtci. Vrijednosti trokova su umilijunima $. Pogledajmo kako je projektni tim pristupio problemu:

? Nakon prikupljenih podataka prikazanih prethodnom tablicom tim je izra?unaoukupnu vrijednost NPV a

Ako je projekt ozna?en s 1 onda njegov NPV doprinosi ukupnom NPV u, a ako se ne izvodi(ozna?en s 0) onda je i njegov doprinos 0. To zna?i da ukupni NPV moemo ra?unati poprincipu:

??i

iuk NPVNPV

Gdje su:

38

3. PRIMJENA SOLVERA

NPVi? samo NPV vrijednosti projekata koji se izvode (s varijablama odluke = 1)

Tu vrijednost u Excelu moemo izra?unati primjenom ve? poznate funkcije SUMPRODUCT:

NPVuk = SUMPRODUCT([raspon ?elija s varijablama odluke];[raspon ?elija s NPVvrijednostima svakog projekta])

Funkcija SUMPRODUCT ?e pomnoiti svaku varijablu odluke s njezinom vrijedno?u NPV a ipotom sve dobivene vrijednosti produkata zbrojiti. Produkti ?ije su vrijednosti varijable odluke0 bit ?e jednaki nuli, tako da upravo dobivamo sumu samo NPV vrijednosti izvo?enihprojekata.

Slika 3-14 Izra?unavanje ukupnog NPV a primjenom funkcije SUMPRODUCT

Dobivena vrijednost ukupnog NPV a je 8,365 milijardi

? Izra?unate su ukupne vrijednosti trokova za svaku godinu ? opet ulaze samotrokovi projekata koji se izvode ? upotrebom funkcije SUMPRODUCT ?raspon su ?elije s varijablama odluke i ?elije s trokovima po projektu upripadnoj godini

? Izra?unate su ukupni brojevi programera koji rade u svakoj godini naprojektima koji se izvode ? funkcija SUMPRODUCT ? rasponi su ?elije svarijablama odluke i ?elije s brojevima programera po projektu u pripadnojgodini

Slika 3-15 Izra?unavanje ukupnih trokova i broja programera po godini

? Nakon provedenih opisanih izra?una zatraene su vrijednosti za raspoloivevrijednosti godinjeg budeta za projekte i raspoloivog broja programera usvakoj godini

? Znaju?i te vrijednosti postavljena su ograni?enja kao u tablici ispod

39

3. PRIMJENA SOLVERA

Ukupni trokovi 1902 2156 2577 ukupnoprogramera 886 916 631

tipograni?enja ? ? ? ? ? ?

raspoloivo 2100 2170 2700 raspoloivoprogramera 930 925 670

? Zatraena su miljenja marketinkog odjela i odjela prodaje tvrtke i dobivenisu odgovori da trokovi marketinga ostaju isti bez obzira koji projekti seodaberu, a odjel prodaje je ispitao mogu?nosti trita i zaklju?io da se sviprodukti bilo kojeg projekta mogu u potpunosti prodati na tritu

Kako je opet rije? o linearnom modelu mogu?e je upotrijebiti Solver kako bismo doli dooptimalnog rjeenja, ukoliko takvo postoji. Definirajmo potrebne zahtjeve za Solver:

? Target Cell Dobivena vrijednost ukupnog NPV a proizala iz selektiranihprojekata

? Cilj ? maksimum dobivenog NPV a? Changing Cells ?elije s binarnim vrijednostima (0 ne izvodi se; 1 izvodi se)? Constrains:

? potrebno je osigurati da vrijednosti trokova ne pre?u vrijednostigodinjih budeta

? broj programera ne smije biti ve?i od raspoloivog broja za svaku godinu? sve varijable odluke mogu poprimiti samo binarne vrijednosti

? U opcijama je potrebno uklju?iti pretpostavku linearnog modela i nenegativnihvrijednosti varijabli odluke

[1] Otvorite Solver[2] U dijalogu Solvera popunite vrijednosti prema gore definiranim uvjetima ne

zaboravite i spomenute opcije

Slika 3-16 Postavljanje uvjeta binarnih vrijednosti varijabli odluke

40

3. PRIMJENA SOLVERA

Slika 3-17 Postavke u dijalogu Solvera za na problem

Dobili ste ukupnu vrijednost NPV a od 8,956 milijardi ili priblino pove?anje profita tvrtkeod skoro 600 milijuna . Raspored potronje po godinama i broja programera je sadasljede?i:

Ukupni trokovi 1949 2124 1974 ukupnoprogramera 852 924 669

tipograni?enja ? ? ? ? ? ?

raspoloivo 2100 2170 2700 raspoloivoprogramera 930 925 670

Vidljivo je da ni jedno ograni?enje nije prekora?eno. Premda vam se ?ini da imate jomogu?nosti u iskoritavanju broja zaposlenih programera i raspoloivog budeta niti jednadruga kombinacija projekata vam ne?e dati ve?i profit. Ovo vam govori da moete zaposlitimanji broj programera ili ih usmjeriti na razvoj potpuno novih projekata koji jo nisu uklju?eniu ovih 20. Tako?er sli?no razmatranje vrijedi i za godinje budete ? dio budeta moeteusmjeriti na pove?anje marketinga i recimo edukaciju kadra tvrtke. Projekti koji ?e se u ovomslu?aju izvoditi su:

!

Nezaboravite

opcije

41

3. PRIMJENA SOLVERA


NPV

1 projekt 1 9281 projekt 2 9081 projekt 3 8010 projekt 4 5431 projekt 5 9441 projekt 6 8480 projekt 7 5451 projekt 8 8080 projekt 9 6381 projekt 10 8410 projekt 11 6640 projekt 12 5461 projekt 13 6991 projekt 14 8880 projekt 15 6550 projekt 16 5890 projekt 17 4320 projekt 18 4560 projekt 19 6321 projekt 20 700

UKUPNONPV 8365


NPV

0 projekt 1 9281 projekt 2 9081 projekt 3 8010 projekt 4 5431 projekt 5 9441 projekt 6 8481 projekt 7 5451 projekt 8 8081 projekt 9 6380 projekt 10 8410 projekt 11 6640 projekt 12 5460 projekt 13 6991 projekt 14 8881 projekt 15 6551 projekt 16 5890 projekt 17 4320 projekt 18 4561 projekt 19 6321 projekt 20 700

UKUPNONPV 8956

Slika 3-18 Usporedba vrijednosti profita i odabranih projekata prije i nakon provedene optimizacije

Rjeenje prijepredavanja tvrtkiza planiranje

RjeenjeSolveromkojeg jedobioprojekti tim

42

4. ZADACI ZA VJEBU

4 Zadaci za vjebu

Voditeljica (voditelj) ste odjela marketinga najve?e turisti?ke agencije u vaoj

regiji. elite zakupiti reklamni prostor u ?etiri naj?itanija dnevna lista. Na

raspolaganju imate budet od 30 000. elite odrediti najbolji omjer broja oglasa

po novinama tako da va oglas vidi najmanje 100 000 ?itatelja.

Upitali ste urednike svih dnevnih listova za sljede?e podatke:

? Cijenu po oglasu? Prosje?nom broju ?itatelja lista

Prikupljeni podaci se nalaze u tablici broj 1:

Tablica 1

Dnevne novine Cijena po oglasu [] Prosje?ni broj ?itateljaNovine 1 2000 10 000Novine 2 1250 4000Novine 3 900 3500Novine 4 750 2000

Iako su Novine 4 najmanje ?itane odlu?ili ste da ?ete u njima objaviti najmanje 4

oglasa, budu?i je rije? o vaim lokalnim novinama. U svim ostalim novinama

objavit ?ete najmanje tri oglasa. Ni u jednim novinama ne elite objaviti vie od

osam oglasa. Odredite najbolju kombinaciju oglaavanja uz zadovoljenje

postavljenih uvjeta.

(Napomena: vodite ra?una o skrivenim uvjetima)

43

4. ZADACI ZA VJEBU

Posjedujete tvrtku koja ima skladita robe u tri grada i to u Zadru, Rijeci i Zagrebu.

Tako?er imate lanac trgovina koji se opskrbljuje robom iz navedenih skladita. Trgovine

se nalaze u Dubrovniku, Splitu, ibeniku, Puli, Karlovcu i Osijeku. Uprava tvrtke je odlu?ila

da eli u potpunosti pokrivati narudbe svih trgovina, ali uz smanjenje trokova prijevoza.

Sljede?a tablica prikazuje trokove prijevoza u kunama po jedinici robe iz skladita do

trgovine :

skladiteTrgovina Zadar Rijeka ZagrebDubrovnik 81 108 88Split 57 79 67ibenik 40 63 52Pula 110 33 38Karlovac 60 59 22Osijek 103 68 47

Druga tablica vam prikazuje broj potrebnih jedinica robe za svaku trgovinu i koli?ine koje

se odvoze iz pojedinih skladita.

broj jedinica robe koja se odvozi iz .

Trgovina

Brojpotrebnihjedinica

robeskladite

ZadarskladiteRijeka

skladiteZagreb

Ukupno zaprevesti

Dubrovnik 150 25 25 25 75Split 225 25 25 25 75ibenik 100 25 25 25 75Pula 250 25 25 25 75Karlovac 120 25 25 25 75Osijek 150 25 25 25 75

Kapaciteti skladita su (u jedinicama robe): Zadar ? 400; Rijeka ? 350 i Zagreb ? 500.Ukoliko su sva skladita u potpunosti popunjena izra?unajte broj preostalih jedinica u

svakom skladitu i ukupne trokove prijevoza s trenutnim stanjem. Primjenom Solvera

minimizirajte trokove prijevoza, ali da potrebe svih trgovina za robom budu u potpunosti

zadovoljene. Vodite ra?una o ograni?enjima i skrivenim uvjetima.

44

4. ZADACI ZA VJEBU

Tvrtka ima na raspolaganju 6 ulaganja u periodu od sljede?ih 6 godina. U svakojgodini imate limitirane mogu?nosti ulaganja ograni?en budet. Ukoliko jekamatna stopa 5% odredite kombinaciju ulaganja koja ?e vam donijeti najve?uukupnu NPV vrijednost. Na koji na?in tvrtka treba ulagati? Ulaganja se vre samou prve tri godine, a dobiti po godinama su nepromjenjive. Godinji budeti suredom :

? Za prvu godinu 25 000kn? Za drugu godinu 30 000kn? Za tre?u godinu 42 000kn

Tablica 1 Prikaz ulaganja

mogu?nost 1 mogu?nost 2 mogu?nost 3 mogu?nost 4 mogu?nost 5

godina 1 11.000,00 0,00 6.000,00 0,00 8.700,00godina 2 10.400,00 11.250,00 7.650,00 0,00 3.000,00godina 3 0,00 8.900,00 12.000,00 15.000,00 8.000,00godina 4 3.800,00 1.800,00 0,00 1.300,00 20.000,00godina 5 17.000,00 15.700,00 0,00 3.500,00 0,00godina 6 21.000,00 22.000,00 32.000,00 12.900,00 1.200,00NPV 12.207,44 12.306,73 859,78 480,47 568,00

(Napomena: NPV vrijednosti treba izra?unati upotrebom funkcije NPV)

Vaa tvrtka proizvodi 5 igra?aka, a za svaku se koristi 6 razli?itih materijala urazli?itim omjerima. U tablici 1 su prikazane koritene koli?ine materijala uproizvodnji svake igra?ke, kao i ukupne koli?ine koje vam stoje na raspolaganju.

Tablica 1Potrebno materijala za izradu igra?ke

Materijal Igra?kaAIgra?ka

BIgra?ka

CIgra?ka

DIgra?ka

ERaspoloivomaterijala

Crvenaboja 0 1 0 1 3 625

PlavaBoja 3 1 0 1 0 640

BijelaBoja 2 1 2 0 2 1100

Drvo 3 0 3 5 5 2200Plastika 1 5 2 2 1 875Ljepilo 1 2 3 2 3 1500

45

4. ZADACI ZA VJEBU

Trenutno proizvodite jednake koli?ine svih igra?aka ? 50 komada. Profit po svakojigra?ki je prikazan u tablici 2:

Tablica 2

Igra?ka A Igra?ka B Igra?ka C Igra?ka D Igra?ka EProfit pojedinici[kn]

15 30 20 25 25

Kako alocirati postoje?e resurse da postignete maksimalni profit drugim rije?imaprimjenom Solvera odredite proizvodne koli?ine igra?aka koje daju najve?i profit,ali pri tom trebate voditi ra?una o ograni?enim koli?inama materijala?(Napomena: vodite ra?una o skrivenim uvjetima ? ne mogu se proizvestinegativne koli?ine i mogu se proizvesti samo cijeli komadi.)

Vaa tvrtka proizvodi tri proizvoda (A, B i C). U tablici 1 su zadani podaci otrokovima i prodajnim cijenama. Ukoliko ne moete prodati redom vie od 290jedinica proizvoda A, 300 proizvoda B i 200 jedinica proizvoda C, odreditekombinaciju proizvodnje koja ?e vam donositi maksimalni profit. Vodite ra?una daimate ograni?ena sredstva za trokove po svakom proizvodu to je prikazano utablici 2.

Tablica 1 podaci o trokovima i prodajnim cijenama

proizvod trokovioglaavanjatrokovi

proizvodnjefiksni

trokovi

prodajnacijena

jediniceproizvoda

A 23 11 5 47B 20 10 5 42C 15 9 5 39

Tablica 2 podaci o dozvoljenim trokovima

proizvod dozvoljenitrokoviA 5850B 10500C 7250

Napomena: vodite ra?una o skrivenim uvjetima.

46

LITERATURA

LITERATURA

1. D. Blumenfeld, Operational Research Calculations Handbook, CRC Press, 2001.2. Robert J. Vanderbei, Linear Programming:Foundations and Extensions, Department of

Operations Research and Financial Engineering, Princeton University, 2001.3. Hillier / Lieberman, Introduction to Operations Research, Seventh edition, McGraw Hill,

2001.4. D. Craig, Financial Accounting Theory,McGraww Hill, 2006.

Predgovor:1 UVOD U LINEARNO PROGRAMIRANJE1.1 Formulacija problema1.2 Primjer (Tvrtka za proizvodnju vrata i prozora)

2 LINEARNO PROGRAMIRANJE I EXCEL2.1 Primjena SOLVERA

3 PRIMJENA SOLVERA3 PRIMJENA SOLVERA3.1.1 Procjena ulaganja upotrebom NPV kriterija

4 Zadaci za vjebuLITERATURA

Documents

To Solver Graficka