8/2/2019 Toan cao cap I

http://slidepdf.com/reader/full/toan-cao-cap-i 1/3

ĐẠ I S Ố  TUY Ế  N TÍNH 

BÀI TẬP CHƯƠ NG IV.

KHÔNG GIAN VECTƠ  

1.  Xét tính độc lậ p tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau:a.  1 2 3(1, 1,2), (0,2,3), ( 1,1,1)  x x x= − = = −  

 b.  1 2 3(1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)  x x x= − = − =  

c.  1 2 3 4(1,1,1,1), (1, 0,1,1), (1,1, 0,1), (0,1,1,1)  x x x x= = = =  

d.  1 2 3 41 5 1 1 2 4 1 7

, , ,4 2 1 5 5 7 5 1

  A A A A− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

e.  2 2 3 21 2 22 3, 1, 2 4 10 p x x p x p x x x= − + = + = + − + trong 3[ ] .

f.  3 2 21 2 3 41, 1, 2 , 2 4 p x p x p x x p x= + = + = − + = − − trong 3[ ] .

2.  Cho hệ vectơ   1 2, , , n  x x x…  độc lậ p tuyến tính của một không gian vectơ  V .Chứng minh hệ vectơ   1 1 2 1 2 1 2, , , n n y x y x x y x x x= = + = + + +… … cũng độc

lậ p tuyến tính.

3.  Chứng minh r ằng nếu trong hệ vectơ   1 2, , , n  x x x… không có vectơ nào biểu thị 

tuyến tính qua các vectơ còn lại thì 1 2, , , n  x x x…  độc lậ p tuyến tính .

4.  Tìm hạng và hệ con độc lậ p tuyến tính tối đại của các hệ sau:

a.  1 2 3 4(47,26,16), ( 67,98, 428), (35,23,1), (201, 294,1284),  x x x x= = − − = = −

5 (155,86,52) x = .

 b.  1 2 3(24,49,73,47), (19,40,59,36), (36,73,98,71),  x x x= = =  

4 5(72,147, 219,141), ( 38, 80, 118, 72) x x= = − − − − .c.  1 2 3(17, 24, 25,31, 42), ( 28, 37, 7,12,13), (45, 61,32,19, 29),  x x x= = − − − =

4 5(11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68) x x= − − − = − − − .

5.  Cho hệ vectơ   1 2, , , n  x x x… biểu thị tuyến tính đượ c qua hệ  1 2, , , m  y y y… . Chứng

minh:

a.  1 2 1 2{ , , , } { , , , }n mrank x x x rank y y y≤… … .

 b.   Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tươ ng đươ ng.6.  Chứng minh:

1 2 1 2{ , , , }= { , , , , }n nrank x x x rank u x x x ⇔… …  u biểu thị tuyến tính đượ c qua

1 2, , , n  x x x… .

7.  Trong3

, cho hệ vectơ   1 2 3(1,2,1), ( 1,0,1), (0,1,2)u u u= = − = .

a.  Chứng minh 1 2 3, ,u u u là một cơ sở của3

.

 b.  Tìm tọa độ của ( , , )u a b c= trong cơ sở   1 2 3, ,u u u .

8/2/2019 Toan cao cap I

http://slidepdf.com/reader/full/toan-cao-cap-i 2/3

ĐẠ I S Ố  TUY Ế  N TÍNH 

8.  Trong3

, cho 2 hệ vectơ   1 2 3(1,1,1), (1,1,2), (0,1,2)u u u= = = và

1 2 3(2,1, 3), (3,2, 5), (1, 1,1)v v v= − = − = − .

a.  Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của3

.

 b.  Viết ma trân chuyển từ cơ sở  (u) sang cơ sở  (v) và ngượ c lại.

c.  Tìm tọa độ của vectơ   1 2 32 3  x u u u= − + − trong cơ sở  (v).

9.  Chứng minh tậ p hợ  p:

a.  { }3( , , ) / 2 0 A x y z x y z= ∈ − + = là không gian con của

3 .

 b.  { }4( , , , ) / 2 0 B x y z t x y z x t  = ∈ − + = − = là không gian con của

4 .

c.  / ,a b

C a bb a

⎧ ⎫−⎡ ⎤= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

là không gian con của 2( ) M  .

10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bở i:a.  1 2 3 4(1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1,2,3,4),a a a a= − = = =  

5 (0,1,2,3)a = .

Tìm điều kiện đối vớ i x,y,z,t  để vectơ   ( , , , )u x y z t  = thuộc về không gian

con này.

 b.  1 2 3(1, 1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)a a a= − = = .

Tìm điều kiện đối vớ i x,y,z,t  để vectơ   ( , , , )u x y z t  = thuộc về không gian

con này.

c.  1 2 3 4(1, 1,1, 1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1, 1,7), (0,2, 1,1,2)a a a a= − − = = − = −

Tìm điều kiện đối vớ i x,y,z,t,u để vectơ   ( , , , , )a x y z t u= thuộc về không

gian con này.11.  Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9.

12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ,U V U V  + ∩ vớ i:

a.  (1,2,1), (1,1, 1), (1,3,3)U  = − và (2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3)V  = − − .

 b.  (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)U =  

và (1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1,2)V  =  

c.  { }( , , , ) / 2 0U x y z t x z t  = − + = và

{ }( , , , ) / 2 0V x y z t x t y z= = ∧ − =  

13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất:

a. 1 2 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 0

2 0

4 2 6 3 4 0

2 4 2 4 7 0

  x x x x

  x x x x

  x x x x x

  x x x x x

+ − − =⎧⎪

− + − =⎪⎨

− + + − =⎪⎪ + − + − =⎩

 

8/2/2019 Toan cao cap I

http://slidepdf.com/reader/full/toan-cao-cap-i 3/3

ĐẠ I S Ố  TUY Ế  N TÍNH 

 b. 

1 3

2 4

1 2 5

2 4 6

3 5

4 6

0

0

0

0

0

0

 x x

 x x

  x x x

  x x x

 x x

 x x

− =⎧⎪

− =⎪⎪ − + =⎪⎨

− + − =⎪⎪− + =⎪

− =⎪⎩

 

c. 1 3 5

2 4 5

1 2 5 6

2 3 6

1 4 5

0

0

0

0

0

  x x x

  x x x

  x x x x

  x x x

  x x x

− + =⎧⎪

− + =⎪⎪

− + − =⎨⎪ − − =⎪⎪ − + =⎩

 

14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là:

a.  (1,1,0), (1,0, 2)U = −  

 b.  (2, 1,0,1), (1,0, 1,2), (1, 1,1, 1), (3, 1, 1,3)U  = − − − − − −  

15. Trong3

cho 3 cơ sở   , ,α β γ  . Biết

2 1 1 1 0 1

1 1 0 , 1 1 1

1 1 1 1 1 0

T T αβ γβ  

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

 

và 1 2 3(1,1,1), (1,0,1), (0,1,1)γ γ γ = = = .

Hãy tìm cơ sở  α .