G.POLYA

,

TOAN HOC •

va nhfmg soy lu~n cO li

N grt&i dfch:

Ha Sl Ho - Hoang Chung - Le Dlnh Phi Nguyen Hfru Chuong- Ho Thm1n

' ,.., ? , ,.

NHAXUAT BAN GIAO DVC VIE;T NAM

    

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

Cong ti C6 phan Dieh vu xuat ban Giao due HaNoi - Nha xuat ban Giao due Viet Narn gifr quyen eong b6 tae pham.

40-20 I 0/CXB/89-1 0/GD Ma so: 8I696HO-DTH

1 OJ GIOI THitu

GEORGE POLY A sinh nam 1887 a Hungary. Ong tot nghi~p dai h9c va

bao v~ lu~n an tien si t<;ti D<;ti h9c tong hqp Budapest. Nam 1940 ong sang My, tu 1942 ong la giao su D<;ti h9C tong hqp Stanford. Ong mat nam 1985 t(;li California.

Ngoai nhiing cong trlnh ve lf thuyet so, giai tich ham, toan thong ke va giai tfch t6 hqp, G. POLY A rat noi tieng vai nhfrng nghien cuu ve qua trlnh giai toan va qua trlnh sang t<;tO toan h9c, dU<,>'C due ket trong bQ ba quyen sach (da

duqc d!ch ra rat nhieu thu tieng tren the giai, trong d6 c6 tieng Vi~t): How to Solve it? (Giai m¢t bai toan nhu the nao?), Mathematical Discovery (Sang t<;to toan h9c) va Mathematics and Plausible Reasoning (Toan h9c va nhiing suy lu~n c6 lf).

M~c du duqc viet each day da gan m¢t the ki, d.c quy~n sach cua G. POLY A den nay v~n giu nguyen gia tr! to Ian doi vai thay co giao cac cap, doi vai sinh vien va h9c sinh muon d<;ty va h9c toan hoc (va ca cac mon khoa h9c khac) m<)t each thong minh va sang t<;tO.

TOAN HOC VA NHUNG SUY LU~N COLi gom hai quyen:

I. Quy n<;tp va tuang tl;( trong toan h9c;

II . Cac sa do cua nhiing suy Iu~n c6 If.

Day laban djch cua quyen I, Quy n<;tp va tuang tl;( trong toan h9c (ban d!ch tieng Nga). Ban d!ch nay da duqc Nha xuat ban Giao d~;~c cho in ngay trong nhung nam khang chien chong My CUu nuac ac li~t nhat.

N¢i dung tac phfim cua G.POL Y A rat phong phu, de c~p den kien thuc toan

hoc tlr sa cap den CaO cap, lien h~ den V~t lf va mot SO nganh khoa h9c khac. Cach trlnh bay d¢c dao, nhieu cho theo loi van n6i, df dom va kha te nh!. Chung t6i l<;ti khong c6 nguyen ban tieng Anh, nen ban d!ch khong kh6i c6

nhung sai s6t. Chung toi mong nh~n duqc y kien dong g6p cua b<;tn d9c va c6 dicu ki~n thu~n Iqi d~ sua chua bim dich duqc tot han.

Nhling nguili dfch

3

1 OINOIDAU

Quy~n sach nay c6 nhfrng muc dfch khac nhau lien quan kha ch~t che. Truac het, n6 nham giup cac h<;>c sinh va thay giao day toan ve m(>t van de quan tr<;>ng, van de nay thuong khong duac chu y dung muc . Theo y nghia nao d6, n6 cling Ia m(>t khao cuu triet h<;>c. N6 Ia m(>t quyen ke tiep cac cong trlnh khac va doi hoi phai c6 phan tiep theo.

1. N6i mot each nghiem khac thl m<;>i kien thuc cua chung ta ngoai ph~m vi cua toan h<;>c va logic chll'ng minh (mon logic nay thl;!C te Ia m(>t nganh cua toan h<;>c) deu bao gom cac gia thuyet. Tat nhien c6 nhung gia thuyet nay va gia thuyet n<;>. C6 nhfrng gia thuyet c6 gia trj va dang tin c~y, thf d1,1 nhu nhfrng gia thuyet duqc di~n d~t trong nhieu quy lu~t t6ng quat cua vat li. C6 nhfrng gia thuyet khac vl.ra khong dang tin c~y, vira khong c6 gia trj va m(>t s6 trong chung c6 the lam b~n phat bl;fc mlnh, khi b~n d<;>c cac gia thuyet d6 a trong bao. Va gifra cac gia thuyet nay va gia thuyet kia c6 moi loai gia thuyet, linh cam va dl;! doan.

Chung ta cung c6 cac kien thuc toan hoc cua mlnh bltmg cac suy lu~n chll'ng minh, nhung chung ta ho trq cac gia thuyet cua mlnh bang cac suy lu~n c6 If. M(>t chll'ng minh toan h<;>c Ia suy lu~n chll'ng minh, con ket lu~n quy n~p cua nha v~t If, nhfrng bang chUng gian tiep cua lu~t gia, nhfrng dan chll'ng tai li~u cua nha Slr hoc va ket Juan thong ke cua nha kinh te h<;>c deu thu(>c ve suy lu~n CO If.

Su khac nhau giUa hai kieu suy lu~n nay het sue Ion va muon mau muon ve. Suy lu~n chung minh Ia suy lu~n dang tin c~y khong ch6i cai duqc va dut khoat. Suy lu~n c6 If Ia suy lu~n con bap benh, phai tranh cai va c6 dieu ki~n. Suy lu~n chung minh tham nh~p cac khoa h<;>c voi cung muc d¢ nhu toan h<;>c, song tl;! n6 (cling nhu tl;! ban than toan h<;>c) khong c6 kha nang cung cap nhfrng hieu biet can ban m6'i ve the gi6'i xung quanh ta. M<;>i cai moi rna chung ta hieu biet dtrqc ve the gioi deu c6 lien h~ v6'i cac suy lu~n c6 If Ia suy lu~n duy nhat rna ta quan tam trong cong vi~c hang ngay. Suy lu~n chll'ng minh c6 nhfrng tieu chu~n chi[tt che duqc ghi l<;!i thanh lu~t va duqc giai thfch bang logic (logic hlnh thuc hay logic ChUng minh), logic nay Ia thuyet cua cac suy lu~n chll'ng minh. Nhfrng tieu chu~n cua cac suy lu~n c6 If rat linh d¢ng va khong m(>t If thuyet nao ve cac suy lu~n nhu v~y l~i r6 rang bang logic chUng minh va CO Sl;f nhat quan nhu logic ChUng minh.

2. M¢t nhan t6 khac lien quan den hai kieu suy lu~n nay dang de ta chu y. Ai cling biet rang toan h<;>c c6 kha nang tuy~t di~u d<;!y ta each suy lu~n chll'ng minh, nhung toi cling kh~ng djnh rang trong cac chuang trlnh h<;>c t~p thong thuang

4

    

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

Chttl1ng/ "

PHEPQUYN~P

1. Kinh nghi~m va quan ni~m

Kinh nghi~m dua den su thay d6i quan ni~m cua con nguoi . Chung ta hqc

tap xuat phat ttr kinh nghiem, hay n6i dung han Ia chung ta phai hqc t~p tlr kinh nghi~m. St:r dung kinh nghi~m m()t each hieu qua nhat, d6 Ia m()t trong nhiing nhi~m Yl;J to 16'n cua con nguoi, con lao d()ng d~ giai quyet nhi~m vu d6 Ia chuc nang chan chinh cua cac nha bac hqc.

Nha bac hqc, dung v6'i danh hi~u d6 , co gtmg rut ra quan ni~m dung dim nhat tlr kinh nghiem da biet va thu th~p nhiing kinh nghiem thich hqp nhat d~ xay d\filg nen quan niem dung ve mot van de dat ra. Phuong phap nho d6 nha

bac hoc xu li v6'i kinh nghi~m thuong goi Ia plu!p quy nl;lp . Trong muc sau day chung ta se nghien c(ru m()t thf du dan gian.

2. sv tiep xuc ggi -y

Phep quy n<:~p thuong bat dau bang SIJ quan sat. Nha khoa hqc w nhien c6 th~ quan Sat CUQC song CUa Joai chim, nha tinh the hqc quan sat hlnh d<:~ng cac tinh th~. Nha toan hqc, quan tam den 1i thuyet so, quan sat tfnh chat cac so I, 2, 3, 4, 5, ...

Neu b<:~n muon quan sat cuoc song cua loai chim de c6 the dat duqc nhiing ket qua li thu, thl trong mot chtrng mvc nao d6, b<:~n phai hieu biet ve chim, phai thfch va th~m chi phai yeu loai chim niia. Cling nhu v~y, neu b<:~n muon quan sat nhiing con so thl ban phai thfch thu v6'i chung va trong m()t muc do nao d6, phai hieu biet chung. Ban phai biet phan bi~t so chan va so le, phai biet cac so chfnh phuang I, 4, 9, 16, 25, .. . va c:k so nguyen to 2, 3, 5, 7, II, 13, 17, 27, 29 ... (tot nhat Ia xem I nhu Ia "dan vt" va khong gop n6 vao cac so nguyen to); ngay ca v6'i nhiing kien thuc dan gian b<:~n cling c6 the nhan thay m()t cai gl thu vj.

Ngau nhien, b<:~n g;:tp cac h~ thuc:

3 + 7 = 10; 3 + 17 = 20; 13 + 17 = 30

v~t b<;tn nh~n thay gil'ra chung c6 m()t vai cho giong nhau. Ban c6 ngay y nghi Ht nhiing so 3, 7, 13 va 17 la nhiing so nguyen to !e. T6ng cua hai so nguyen tole

9

Htt nhien Ia so chan. Th~t v~y, cac so I 0, 20, 30 Ia chan. Nhliilg c6 the n6i g'i ve cac so chan khac? Chung c6 the duqc bieu dien tucmg tl! nhu v~y kh6ng? So chan dau tien bang t6ng cua hai so nguyen to le, duang nhien Ia

Tim tiep, ta thay:

6 = 3 + 3.

8=3+5

10=3+7=5+5

12 = 5 + 7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

Cu tiep tyc mai the chang? Di:t sao nhfmg truang hap rieng da khao sat cling lam chung ta nghi t6'i m(>t dieu khang djnh chung Ia: "M9i s(J' chan /6"n hun 4 de'u c6 the' bie'u (/ien (/tro·i J«ng to'ng nia hoi so' nguyen to' It!". Phan tfch nhfrng truang hqp ngo<:~i le - cac so 2 va 4 kh6ng the Ia t6ng cua hai so nguyen tole - chung ta c6 thf btmg long v6i dieu khilng dinh ft tn!c tiep hon sau day: But ki mot so' chan IlLlO kflong pflt/i fct so' ng!l)'e/1 t(J' \'tl f.:fl011g pfuJi fc'j /Jinfl p/11(0'f1g Cll(J mr;Jt so' nguyen to'. cling co the' 1Jiel1 dien d1rui d~mg to'ng ctla /w i so' nguyen to' le'.

Nhtr the Ia chung ta da phat bieu m(>t gia thuyct. Chung ta tim thay gia thuyet do nha phep quy n~tp. N6i rn(>t each khac, gia thuyet d6 miy sinh trong chung ta nha ket qua cua str quan sat va da duqc chi ra bang nhG"ng thf d~l

rieng biet.

Nhfrng chi dan d6 tLrO'ng doi ft trc;mg luang. Chung ta chi c6 nhfrng CO' sa rat mong manh M tin vao gia t.huyet cua mlnh. Tuy nhien, chling ta c6 th6 t'im thay m(: .~ ngu6n an ui 6 cho Ht, each day han 200 nam , Goldbach (Gonbac), nha toan hoc d[iu tien da pbat bi~u gia thuyet d6, cung khong c6 ca so gl vfrng chac han.

Gia thuyct cua Goldbach c6 dt'ing khong? Ng~ty nay chua ai c6 the tra IO'i cftu hoi d6. Mac du mot so nha toan hc,>c vi cl<:ti cla c6 nhfrng co g{mg Ian nham Htm sang to van de, nhtrng cho den nay , gia thuyct cua Goldbach cling nhu a thai Euler (Ole), van Ia m(>t trong "nhieu tfnh chat cua cac so rna chung ta rat qucn thuc)c, nhtrng chung ta van chtra chung minh hay bac bo duqc".

Bay gia, chCmg ta hay nhln lai sau va co gang rut ra tu suy luan a tren nhu·ng btr6c c6 th~ la Jicn hlnh doi v6i qua trlnh quy nap.

Tru6'c tien, chung ta thay m(Jt S/( gi6'ng nlwu 1/(JO dcly. Chung ta biet rang 3, 7, I 3 va 17 la nhfrng s6 nguyen to, con l 0, 20 va 30 Ia nhfrng so chan va ba he tht'rc 3 + 7 = 10; 3 + 17 = 20; 13 + 17 = 30 Ia tuong ttr.

10

dau hi~u thu~n lqi, ung h(> gia thuyet, Hlm cho no co If hem . Con vi~c coi dau hi~u th~n lqi do co tn:;mg luqng toi muc nao thl dl nhien Ia vi~c rieng cua b<;1n.

Hay tra l<;1i m(>t chut voi so 60. Sau khi da thi:r eac so nguyen to 3, 5, 7, chung ta co th~ thu tiep nhfrng nguyen to con l<;1i cho toi 30 (ro rang Ia khong

can thiet phai tiep tyc qua 30 = 60 I 2 vl trong hai so nguyen to, rna tong bang 60, m(>t so phai be hem 30). Bang each thu, chung ta co duac tat ca eac each phan tfch 60 thanh tong cua hai so nguyen to:

60 = 7 + 53 = 1 3 + 4 7 = I 7 + 4 3 = I 9 + 41 = 2 3 + 2 7 = 2 9 + 3 I .

Chung ta co the tien hanh mot each co h~ thong va nghien cuu tu so chan nay den so chan khac nhu da lam voi so 60. Ket qua co th~ viet trong bang sau:

6=3+3

8=3+5

10= 3 +7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

18=5+13=7+11

20 = 3 + I 7 = 7 + 13

22 = 3 + 19 = 5 + 17 = I I + 1 I

24 = 5 + I 9 = 7 + I 7 = I 1 + 13

26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13

28 = 5 + 23 = I I + 1 7

30 = 7 + 23 = II + 19 = 13 + 17

Gia thuyet duqc xac nh~n trong moi truang hqp da xet 6 day. Moi Sl,l' xac nhan ke tiep trong bang nay nhan m ~mh gia thuyet, Hlm cho no dang tin c~y han , co If han. Htt nhien Ia khong phai su xac nh~n do duqc chung minh voi bftl cu so nao.

Chung ta can nghicn ClfU cac quan sat, so sanh doi chieu chLll1g va llr d6 rut ra cai chla khoa hi~n nay chua the hi~n ro rang. Trong truang hqp a day thl rat kho phat bien ra tu bang tren chiec chla khoa co the giup do chung ta ti1Uc S\!. Tuy v~y, nhln bang cling co the n ~un dtrqc y nghla cua giil thuyet. Bang cho ta thay c6 bao nhieu each bieu dien m(>t so chan xep trong bang d6 - thanh tong cua hai so nguyen to (voi so 6, co m(>t each, voi so 30, co ba each). So cac each

12

    

{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}

3. Diftc bi~t hoa

Dac biet hoa Ia chuy~n tu vi~c nghien ct1u mot t~p hqp d6i tuang da cho

sang vi~c nghien cuu mot t~p hqp nh6 han chua trong Htp hop da ~ho. Ch~ng han , chung ta dac bi~t boa khi chuy~n tu vice nghien eCru da giac sang nghien c(ru nhfrng da gi{tc deu va tiep t~IC d~c bict boa khi chuycn tlr da gi~c Mu II

qnh sang tam giac deu.

Hai buck chuy~n liin luot tren day duoc tht.rc hicn theo hai phuong hua ng

c6 tfnh chat khac nhau. Trong bu6'c chuy~n thu nhat, tu da giac den cla g iac dcu chung ta c6 Slf h<.ll1 chc, Cl:J the Ia yeu cau Uft d cac qmh va tat d de g6c ella da giac ph<'ti bang nhau. Trong bu6'c chuy~n thu hai, chung ta thay d6i w ong bien thien bang d6i tuqng cu the, thay bien s6 tu nhien ,, bang s6 3.

Chung ta thuang tien h~mh d~c hi~t hoa khi chuycn tu ca mot lop d6i tuong den mot doi tuqng cua 16'p d6. Ch~ng han, muon ki~m tra mot m~nh de ph:u

bieu chung cho mQi s6 nguyen t6, chung ta chQn m(>t s6 nguyen t6 cy the' nan

d6 , thf dl,l 17 va xet xem m~nh de khai quat d6 dung hay khong v6'i s6 17 ay.

4.Tu'dngtl;l'

Cic khai ni~m khai quat hoa v~. dac bi~t hoc\ da r6 rang va khon g ct: gl

dang nghi nga ca. Nhung khi bu6'c vao nghien eCru Slf tuong llf thl chung Ll co mot co s6 kcm vfrng chac han.

Tuong ru Ia m(>t ki~u gi6ng nhau nao d6 . C6 th~ n6i tuong ttr Iii gi6ng nhau

nhung 6 muc d(> xac djnh han va 6 muc do duqc phc'm anh bang kha i n il:·m. Tu y

vay , chung ta c6 th6 dien ta chfnh xac han m(>t chut. Theo toi, Sl! kh;k nhau

din ban gifra tuong n.r va nhfrng lo1;1i gi6ng nhau khac Ja 6 y djnh dta nguoi

dang suy nghl. Nhfrng d6i tuqng giong nhau phu hqp v6'i nhau trong mot 4uan

h~ nao d6. Neu b1;1n c6 y djnh quy m6i que:m h¢ trong d6 cac d6i tuqng phu hop v6'i nhau ve nhfrng khai ni~m da djnh thl b~n se xem nhl'rng d6i tuqng gi6ng nhau ay nhtr la nhfrng d6i tu()'ng tuong llf. Va neu ban cl~,1t t6'i nhfrng: khai niem r6 rang , th! ttfC }a b~n lam sang to Slf tHOng tl,J'.

Toi nghi rang khi so sanh ngvoi phy nfr trc v6'i m(>t doa hoa, nha tho cling cam thay mot doi ch6 giong nhau, nhtrng thong thuO'ng ho khong n6i den Slf

tuong ttl. Th~t v~y, chua chac hQ da c6 y djnh g~t b6 cac xuc cam va dua SU' so sanh d6 t6'i m(>t cai gl c6 th~ do dvqc, hay xac djnh duqc bang nhfrng khai ni~m.

6 vi¢n bao tang ljch su tt! nhien, khi xem nhfrng bo xuong cua de d(mg v<H c6 vu khac nhau, ban c6 th~ thay rang cai nfw cling khung khiep C<l. Nhvng ncu

19