Todo lo que siempre quiso saber sobre tablas de

mortalidad

Dra. María de los Angeles YáñezITAMFebrero, 2007

Indice

I. Modelos de supervivencia II. Tablas de mortalidadIII. Selección de una tabla de mortalidadIV. Proyección de una tabla de mortalidadV. Algunas tablas de mortalidad para

PensionesVI. Impacto de las tablas de mortalidad en

el costo y en el nivel de la pensiónVII. Conclusiones

I. Modelos de supervivencia

• Un modelo de supervivencia es una función de distribución para una variable aleatoria especial, la variable aleatoria de fallo (T) de una entidad o individuo que se encontraba presente al inicio del período de observación. Esta variable es también el tiempo futuro de vida de la entidad a partir de t=0.

• Los modelos de supervivencia son empleados en múltiples análisis demográficos especialmente, los relacionados con mortalidad.

Función de supervivencia

0)(

1)0(0

)Pr()(

tS

STSi

tTtS

Límt

Modelos actuariales de supervivencia

• Los modelos de supervivencia actuariales deben reconocer la edad cronológica de la entidad, dado que la supervivencia decrece conforme la edad se incrementa.

• Tradicionalmente estos modelos no se han manejado en forma paramétrica, sino empíricamente, esto debido a que S(x) es demasiado compleja para representarse con uno o dos parámetros, aún cuando existen modelos que pueden dar una buena representación de S(x) (Gompertz, Weibull, Makeham).

Funciones actuariales

)|()|Pr(

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)|()|Pr(

)(

)(1)(

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000

xXnxFxXnxXq

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xXnxSxXnxXp

elxSll

xFxf

xSxf

xSdxd

xS

xSdxd

xfdxxdS

xXxFxS

xn

xn

dy

x

x

x

x

y

Modelos de supervivencia tabulares

• Por lo general los modelos tabulares, a edades enteras o grupos de edad son preferidos para representar el comportamiento de S(x).

• Evidentemente, el usar edades enteras no permite tener completamente especificada la función supervivencia, por lo cual se hacen supuestos acerca del comportamiento de la función en puntos no enteros, a éstos se les llama “supuestos de distribución de defunciones” y el más conocido y usado es el supuesto de Distribución Uniforme de Muertes.

II. Tablas de Mortalidad

• Las tablas de mortalidad porporcionan una descripción de los aspectos más relevantes de la mortalidad humana.

• Primeras tablas de mortalidad– John Graunt (1662) “Natural and Political

Observations made upon the Bills of Mortality” – Una primera aproximación a lo que sería una tabla de mortalidad.

– Edmund Halley (1693) “ An estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind”- Primera tabla moderna de mortalidad para la Ciudad de Breslau para el período 1687-1691.

Tablas de Mortalidad

• Deben cubrir varios supuestos:– Los valores de las probabilidades deben ser

positivos. – Las probabilidades de fallecimiento deben

ser crecientes respecto a la edad.– Debe reconocer comportamientos

específicos en algunos grupos de edad.• Mortalidad infantil• Mortalidad materna• Mortalidad masculina por accidentes

Información para tablas de mortalidad

• Se pueden construir usando información de: – Censos– Estadísticas Vitales– Ambos (Modelos mixtos)

• Pueden ser:– Para una cohorte, es decir, una sola

generación hasta su extinción.– Transversales, es decir que cubren muchas

generaciones en una fecha.

Construcción de una tabla abreviada de mortalidad

• Se parte de una estimación de las tasas específicas de mortalidad de una población en un período observado por grupos quinquenales de edad.

• Se calculan, las probabilidades de fallecimiento (qx) usando factores de separación de tiempo vivido (muchas veces simplificando con DUM).

• Usando una cohorte ficticia cuyo radix suele ser de 100,000, se calculan el resto de las funciones actuariales, l(x), S(x), px, dx,

• Se selecciona un método de graduación o, en su caso, alguno de desagregación para obtener información edad por edad.

Graduación

• La graduación se origina por la necesidad de construir tablas de mortalidad, debido a que una serie de probabilidades de muerte observadas suele presentar irregularidades o ausencia de información en algunos grupos de edad.

• La graduación permite estimar de manera simultánea una serie de cantidades como lo son las tasas observadas de mortalidad. Utilizando la graduación se obtienen una serie suavizada de valores que son consistentes con datos observados.

Métodos de Graduación

• Modelos para la fuerza de mortalidad (o S(x))

• Método de Whitaker • Métodos Numéricos• Métodos Bayesianos

– Son métodos que permiten incorporar información a priori sobre la mortalidad y “complementarla” con nueva información.

• Propuesto por Mendoza, Madrigal y Martínez en 1999• Propuesto por Kilmerdof-Jones en 1967

Tablas Modelo

• En los casos en los que no se cuenta con información suficiente o de buena calidad para producir una tabla de mortalidad, se puede recurrir al uso de tablas modelo. Con ellas, a partir de un solo dato, puede generarse una tabla de mortalidad completa.– Tablas Modelo de las Naciones Unidas (1955)– Tablas Modelo de Coale y Demeney (1967)– Tablas Modelo de Países no desarrollados (1983)– Método Logito de Brass– Método Logito Modificado– Método Logito de cuatro parámetros

Aplicaciones de las Tablas de Mortalidad

• Proyecciones de población• Presupuestos• Seguridad Social • Cálculo de primas

– Seguros– Pensiones

• Cálculo de reservas

III. Selección de una Tabla de Mortalidad

• Las tablas de mortalidad a utilizar deben de estar construidas bajo premisas relacionadas con el uso que pretende dárseles y deben tomar en cuenta márgenes para posibles desviaciones, ya sea de la mortalidad en el caso de seguros o de supervivencia en el caso de pensiones.

• Las tablas deben considerar también el estado de salud de la población y reconocer condiciones tales como la invalidez, enfermedades crónicas (cancer, diabetes, sida), etc.

• El Estándar de Práctica Actuarial número 35 de la Sociedad de Actuarios de los Estados Unidos (SOA) trata sobre la selección de las hipótesis demográficas y no-económicas, y en la sección correspondiente a Specific Mortality Assumption Issues establece que : Se deben reconocer:– Las diferencias de la población antes y después del retiro– Mejoras en la mortalidad– Mortalidad diferencial para inválidos– Subgrupos de mortalidad

• Asegurados vs beneficiarios• Nivel de beneficios

Selección de una Tabla de Mortalidad (pensiones)

• El Grupo de Tablas de Mortalidad de la SOA reporta en su estudio de mortalidad más reciente:“In the view of the long history of improvement in non disabled mortality rates in all of these sets of data, pension valuation should take trends in long term mortality improvement into account. From a theoretical standpoint ... The use of generational mortality improvement ...is an appropiate way to reflecting this improvement [however] where it is not material or cost effective to incorporate generational mortality improvement...the actuary should project mortality improvement on a comparable static basis (emphasis added)”

Consideraciones previas a la Aplicación (pensiones)

IV. Proyección de una Tabla de Mortalidad

¿Por qué proyectar una tabla de mortalidad?

• Las tendencias en mejoras de la mortalidad han sido constantes

• Muchas investigaciones demográficas muestran que se presentarán mejoras adicionales.

• Los consejos de población cuentan con proyecciones de mortalidad (CONAPO hasta 2050).

Formas de Proyectar

• Proyección estática– Se proyecta cada valor de la tabla a t años

para construir un nuevo valor de la mortalidad para cada edad.

• Tablas generacionales (simular tablas de cohorte con tablas proyectadas)– Se construyen tablas para cada cohorte de

pensionados.

• Para una población dada se puede encontrar una tabla estática que replique las generacionales.

Construcción de tabla de mortalidad para generación

1947

Edad 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

50 0.00676 0.00662 0.00647 0.00633 0.00619 0.00604 0.00589

51 0.00722 0.00707 0.00692 0.00677 0.00662 0.00646 0.00631

52 0.00773 0.00757 0.00741 0.00725 0.00709 0.00693 0.00677

53 0.00829 0.00812 0.00795 0.00778 0.00762 0.00745 0.00727

54 0.00890 0.00872 0.00854 0.00837 0.00819 0.00801 0.00783

55 0.00957 0.00938 0.00920 0.00901 0.00883 0.00864 0.00844

56 0.01031 0.01011 0.00992 0.00972 0.00952 0.00932 0.00912

Tablas de mortalidad proyectadas

Proyección generacional: Tomar la diagonal

Proyección estática

Edad 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

50 0.00676 0.00662 0.00647 0.00633 0.00619 0.00604 0.00589

51 0.00722 0.00707 0.00692 0.00677 0.00662 0.00646 0.00631

52 0.00773 0.00757 0.00741 0.00725 0.00709 0.00693 0.00677

53 0.00829 0.00812 0.00795 0.00778 0.00762 0.00745 0.00727

54 0.00890 0.00872 0.00854 0.00837 0.00819 0.00801 0.00783

55 0.00957 0.00938 0.00920 0.00901 0.00883 0.00864 0.00844

56 0.01031 0.01011 0.00992 0.00972 0.00952 0.00932 0.00912

Tablas de mortalidad proyectadas

Proyección estática: Usar la columna seleccionada para cada caso

Réplica de tabla generacional

• Calculando los costos de los valores actuariales con tablas generacionales, se puede, posteriormente, seleccionar una tabla estática que arroje valores semejantes.

• ¿Qué número de años de proyección es adecuado?

• ¿Se puede mezclar la experiencia propia con otra tabla?

Otros puntos a considerar

V. Algunas Tablas de Mortalidad para Pensiones

• La Sociedad de Actuarios de los Estados Unidos, cuenta con una base de más de 150 tablas de mortalidad para diferentes países y poblaciones.

• Esta base no incluye algunas de las tablas mexicanas, como las utilizadas para el cálculo de rentas vitalicias de seguros derivados de la seguridad social (EMSSA-H97 y EMSSAM-97 EMSSI-H97 y EMSSIM-97)

Tablas americanas usadas en Pensiones

GAM-83 (la más popular)• Se construyó a partir de GAM-71• Incluye mejoras en mortalidad entre 66-

75 • Proyección de mejoras hasta 1983,

usando la misma tendencia de 66-75• Con 10% de márgen de seguridad

• UP-94 : Población no asegurada, basada en UP-84

• GAM-94 : Desarrollada a apartir de GAM-83, GAR94 es la misma con mejoras generacionales

• RP-2000. Retirement Plan Experience proyectada al 2000.

Tablas americanas usadas en Pensiones

Tablas Mexicanas para Rentas Vitalicias

• EMSSAH-97• EMSSAM-97• EMSSIH-97• EMSSIM-97

VI. Impacto de las tablas de mortalidad en el costo y nivel de

pensiónPara ilustrar esta sección, se utilizan las tablas para rentas vitalicias y algunos datos a septiembre de 2006, tomados del Sistema Estadístico del Sector Asegurador para los Seguros de Pensiones Derivados de la Seguridad Social:– Monto Constitutivo Promedio: $546,845– Pensión Mínima Garantizada (PMG) Promedio bajo

la ley de 1997: $1,685.44* – Tasa de interés 3.5%*Nota: La PMG de la ley de 1973 es de $1,480.38

• En general la sobrevivencia implícita en una tabla de mortalidad tendrá un impacto económico en los costos de las pensiones y en los beneficios otorgados.– Dado un nivel de ahorro establecido (monto

constitutivo) una mayor sobrevivencia ocasionará que el monto de la pensión vitalicia alcanzada sea menor.

– A mayor sobrevivencia se requerirán mayor cantidad de recursos para garantizar la pensión vitalicia, es decir mayor monto constitutivo (o ahorro)

Sobrevivencia, Beneficios y Costos

Ejemplo: Tablas Mexicanas

• Las tablas usadas para cálculo de las pensiones derivadas de la seguridad social consideran :– Sexo. La mortalidad de los hombres es en

general mayor que la de las mujeres– Estado de salud -Inválido o No Inválido. La

mortalidad de los inválidos es en general mayor que la de los no inválidos (tanto para hombres como para mujeres).

– Edad máxima en la tabla. Tradicionalmente se considera que la edad máxima es 100 años, las EMSSAH-97 y EMSSAM-97 alcanzan los 110 años.

Tabla Edad Mínima Edad Máxima

EMSSAH-97 15 110

EMSSAM-97 15 110EMSSIH-97 15 100EMSSIM-97 15 100

Edad EMSSAH-97 EMSSAM-97 EMSSIH-97 EMSSIM-9715 0.000430 0.000150 0.003160 0.000690 20 0.000630 0.000190 0.003160 0.000920 25 0.000970 0.000260 0.003890 0.002020 30 0.001410 0.000330 0.006370 0.003620 35 0.001940 0.000480 0.009580 0.005430 40 0.002610 0.000850 0.012830 0.007340 45 0.003510 0.001490 0.015790 0.009400 50 0.004890 0.002540 0.018550 0.011870 55 0.007120 0.004170 0.021590 0.015150 60 0.010850 0.006720 0.025760 0.019860 65 0.017130 0.010920 0.032320 0.026760 70 0.027650 0.017870 0.042900 0.036800 75 0.045090 0.029260 0.059550 0.051130 80 0.073410 0.047720 0.084690 0.071050 85 0.117890 0.077000 0.121130 0.098050 90 0.182470 0.123250 0.172090 0.133790 95 0.269660 0.195000 0.241160 0.180120

100 0.378710 0.301880 0.332330 0.239060 105 0.503460 0.450140 - - 110 1.000000 1.000000 - -

Fuente: CNSF. Circular S-22.3. 31-marzo-97

Comparativo de Tablas de Mortalidad

-123456789

101112

15 25 35 45 55 65 75 85 95 105

EMSSAH/ AM

EMSSIH/ AH

EMSSIH/ IM

EMSSIM/ AM

Edad EMSSAH-97 EMSSAM-97 EMSSIH-97 EMSSIM-9715 61.04 66.86 48.53 54.91 20 56.18 61.91 44.26 50.09 25 51.39 56.98 39.95 45.40 30 46.67 52.06 35.86 40.97 35 42.02 47.15 32.15 36.81 40 37.46 42.29 28.82 32.89 45 32.98 37.50 25.74 29.15 50 28.59 32.83 22.80 25.57 55 24.34 28.31 19.93 22.14 60 20.29 23.97 17.09 18.88 65 16.49 19.87 14.32 15.83 70 13.03 16.07 11.70 13.05 75 9.99 12.65 9.32 10.58 80 7.43 9.66 7.24 8.42 85 5.38 7.15 5.49 6.56 90 3.84 5.12 4.04 4.92 95 2.72 3.54 2.72 3.25

100 1.94 2.38 0.50 0.50 105 1.39 1.55 - - 110 0.50 0.50 - -

Esperanza de Vida a edad alcanzada

Diferencias en Esperanza de Vida

Edad AM-AH IM-IH AM-IM AH-IH15 5.83 6.38 11.96 12.51 20 5.73 5.83 11.82 11.92 25 5.59 5.45 11.58 11.43 30 5.39 5.11 11.09 10.81 35 5.13 4.66 10.34 9.87 40 4.83 4.07 9.40 8.64 45 4.53 3.41 8.35 7.24 50 4.24 2.77 7.26 5.79 55 3.96 2.21 6.17 4.42 60 3.68 1.79 5.09 3.20 65 3.38 1.51 4.03 2.17 70 3.04 1.35 3.02 1.33 75 2.66 1.26 2.07 0.67 80 2.23 1.18 1.25 0.19 85 1.77 1.07 0.59 0.11- 90 1.28 0.88 0.20 0.20- 95 0.82 0.53 0.29 0.00 100 0.44 - 1.88 1.44 105 0.16 110 0.00

Diferencias en Esperanza de Vida

• Las diferencias en mortalidad se traducen en diferencias en la esperanza de vida, por lo que a mayor mortalidad menor esperanza de vida y a menor mortalidad mayor esperanza de vida. Por lo tanto, se requerirán diferentes niveles de ahorro o de recursos financiados por la seguridad social para otorgar una misma cantidad de pensión.

Pensión alcanzada para un mismo Monto Constitutivo

• Dado un mismo nivel de ahorro, las expectativas de sobrevivencia modifican el nivel de la pensión.– A mayor sobrevivencia menor pensión– A menor sobrevivencia mayor pensión– Los inválidos tendrán pensiones superiores

a los activos – Los hombres tendrán pensiones superiores

a las mujeres

Renta mensual alcanzada Monto Constitutivo Promedio a Septiembre de 2006= 546,845

Edad EMSSAH-97 EMSSAM-97 EMSSIH-97 EMSSIM-9715 1,825.99 1,763.66 2,053.60 1,923.09 20 1,879.71 1,804.99 2,142.80 2,001.24 25 1,945.11 1,856.09 2,259.81 2,096.45 30 2,024.99 1,920.09 2,399.18 2,206.33 35 2,123.81 2,001.12 2,551.79 2,332.22 40 2,248.29 2,104.32 2,716.79 2,479.28 45 2,408.25 2,236.14 2,901.93 2,656.43 50 2,618.06 2,406.18 3,123.59 2,876.70 55 2,898.69 2,628.51 3,406.70 3,157.44 60 3,281.47 2,924.78 3,785.59 3,521.34 65 3,814.00 3,327.79 4,306.10 3,998.00 70 4,569.62 3,886.62 5,029.62 4,626.33 75 5,662.12 4,676.97 6,040.52 5,459.21 80 7,264.16 5,814.89 7,457.38 6,572.88 85 9,617.58 7,495.59 9,459.77 8,096.91 90 13,014.04 10,041.82 12,391.46 10,351.36 95 17,811.81 13,978.07 17,641.79 14,897.01

100 24,364.60 20,131.05 85,016.02 85,016.02 105 33,019.00 29,827.29 - - 110 85,016.01 85,016.02 - -

Comparativo de PensionesComparación de Pensiones alcanzadas con Monto Constitutivo de 546,845

Edad AM/AH IM/IH AH/IH AM/IM15 -3.4% -6.4% -11.1% -8.3%20 -4.0% -6.6% -12.3% -9.8%25 -4.6% -7.2% -13.9% -11.5%30 -5.2% -8.0% -15.6% -13.0%35 -5.8% -8.6% -16.8% -14.2%40 -6.4% -8.7% -17.2% -15.1%45 -7.1% -8.5% -17.0% -15.8%50 -8.1% -7.9% -16.2% -16.4%55 -9.3% -7.3% -14.9% -16.8%60 -10.9% -7.0% -13.3% -16.9%65 -12.7% -7.2% -11.4% -16.8%70 -14.9% -8.0% -9.1% -16.0%75 -17.4% -9.6% -6.3% -14.3%80 -20.0% -11.9% -2.6% -11.5%85 -22.1% -14.4% 1.7% -7.4%90 -22.8% -16.5% 5.0% -3.0%95 -21.5% -15.6% 1.0% -6.2%

100 -17.4% 0.0% -71.3% -76.3%105 -9.7% - - 110 0.0% - -

Comparativo de pensión alcanzada

-25.0%

-20.0%

-15.0%

-10.0%

-5.0%

0.0%

5.0%

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

AM/ AH

IM/ IH

AH/ IH

AM/ IM

Monto Constitutivo para la PMG

• Para otorgar una misma pensión, en este caso la PMG, se requerirán diferentes cantidades para garantizar el pago de por vida. – Las mujeres requerirán un mayor

monto constitutivo que los hombres– Los no inválidos requerirán un mayor

monto constitutivo que los inválidos.

Monto Constitutivo para PMGPMG conforme a la Ley de 1997 1,685.44

Edad EMSSAH-97 EMSSAM-97 EMSSIH-97 EMSSIM-9715 504,752.22 522,590.77 448,809.64 479,266.93 20 490,327.40 510,625.59 430,125.85 460,550.81 25 473,840.81 496,566.45 407,854.77 439,634.75 30 455,151.20 480,015.69 384,162.06 417,741.78 35 433,971.61 460,578.90 361,188.07 395,192.01 40 409,945.45 437,990.78 339,251.67 371,751.14 45 382,715.95 412,171.51 317,607.74 346,959.99 50 352,045.26 383,044.07 295,069.21 320,392.78 55 317,962.78 350,645.49 270,547.71 291,905.41 60 280,872.56 315,125.90 243,468.91 261,739.65 65 241,655.87 276,962.64 214,039.11 230,533.83 70 201,695.86 237,140.62 183,249.18 199,223.46 75 162,779.11 197,066.74 152,582.08 168,829.27 80 126,879.72 158,502.45 123,592.21 140,223.80 85 95,832.29 122,962.30 97,430.91 113,830.41 90 70,821.54 91,783.57 74,379.82 89,039.00 95 51,745.13 65,937.17 52,243.82 61,869.76

100 37,828.43 45,783.72 10,841.19 10,841.19 105 27,913.46 30,900.37 - - 110 10,841.19 10,841.19 - -

Comparativo de Monto Constitutivo

Comparación de Monto Constitutivo Requerido para la PMG ley del 97

Edad AM/AH IM/IH AH/IH AM/IM15 3.5% 6.8% 12.5% 9.0%20 4.1% 7.1% 14.0% 10.9%25 4.8% 7.8% 16.2% 12.9%30 5.5% 8.7% 18.5% 14.9%35 6.1% 9.4% 20.2% 16.5%40 6.8% 9.6% 20.8% 17.8%45 7.7% 9.2% 20.5% 18.8%50 8.8% 8.6% 19.3% 19.6%55 10.3% 7.9% 17.5% 20.1%60 12.2% 7.5% 15.4% 20.4%65 14.6% 7.7% 12.9% 20.1%70 17.6% 8.7% 10.1% 19.0%75 21.1% 10.6% 6.7% 16.7%80 24.9% 13.5% 2.7% 13.0%85 28.3% 16.8% -1.6% 8.0%90 29.6% 19.7% -4.8% 3.1%95 27.4% 18.4% -1.0% 6.6%100 21.0% 0.0% 248.9% 322.3%105 10.7% - - 110 0.0% - -

Comparativo de MC requerido para la PMG

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

15 25 35 45 55 65 75 85 95

AM/ AH

IM/ IH

AH/ IH

AM/ IM

VII. Conclusiones

• La selección de una tabla de mortalidad es indispensable para calcular los costos y beneficios de un esquema de pensiones

• Al construir una tabla de mortalidad se pueden utilizar diferentes métodos

• Al seleccionar una tabla de mortalidad se deben considerar diferentes aspectos, tales como el uso que planea dársele (seguros o pensiones), la etapa de vida de los asegurados (antes y después del retiro) y el estado de salud (inválido, no inválido)

• En general es recomendable proyectar la tabla de mortalidad para que refleje las mejoras en los niveles de ésta en el tiempo, pero se debe tener cuidado en el número de años que se proyectan

• El nivel de la mortalidad repercutirá en:– Los montos constitutivos requeridos para

otorgar un mismo nivel de pensión: ”a mayor mortalidad menor monto” y

– Los niveles de pensión alcanzada, dado un mismo nivel de monto constitutivo (ahorro) : ” A mayor mortalidad mayor pensión”

VII. Conclusiones

• Las tablas de mortalidad no deben ser permanentes y deben actualizarse continuamente para que reflejen los niveles reales de sobrevivencia (o mortalidad) de una población (selecta o no).

• Otras consideraciones pendientes:– Mejoras de la mortalidad de inválidos conforme

pasa el tiempo vivido en esa condición– La mortalidad en edades avanzadas

VII. Conclusiones

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