Todo Mate 2015

UNIVERSIDAD ANDRS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL FMM 032

AYUDANTA : NMEROS REALES - INECUACIONES

1.- Encuentre el conjunto solucin de: a) 31 >+

xx c) ( )( )4243 22 ++ xxx 0

b) 21

1232

2

>

+

x

xx d)

34

21

+

+

x

x

x

x

2.- Para que valores de x la expresin 7x

5x4x2

2

++++

IR

3.- Determine que valores debe tomar la constante 1>a , de modo que: ( ) 03)3(21: 2 >++ axaxaIRx

4.- Encuentre el conjunto solucin para el siguiente sistema:

232

3

632

13

>+

>

xx

xx

5.- Aplicaciones:

a) En 1984, al perforar el pozo ms profundo del mundo, los soviticos encontraron que la temperatura a x kilmetros de profundidad de la Tierra estaba dada por: 15x3 )3(2530 += xT donde T es la temperatura en grados Celsius. a que profundidad la temperatura est entre 200 y 300C?

b) Una clnica debe decidir si renta o compra un equipo esterilizador. Si renta el equipo el pago mensual sera de US$600 (con base en un ao) y el costo diario (por electricidad, operador, etc.) sera de US$60 por cada da de utilizacin. Si se compra, su costo anual sera de US$4000 y los costos de operacin y mantencin seran de US$80 por cada da de uso. Cul es el nmero mnimo de das al ao que tendra que usarse el equipo para justificar la renta en lugar de la compra?


AYUDANTA FUNCIONES (Parte 1: Algebra, Compuesta, Por ramas)

1.- Encuentre Dominio y Recorrido de las siguientes funciones:

a) 8x5x3)x(f

++++==== b) 7+4x )x(f ==== c) x)x(f ====

d) 2-x1+3x

)x(f ==== e) 3x)x(f ++++====

2.- Considere las funciones:

{ } { } x=g(x) / :

2-x1+3x

=f(x) / 32:

RRg

RRf

a) Encuentre en trminos de h h

)3(f)h3(f ++++.

b) Encuentre una funcin p tal que f o p = g

3.-Dadas las funciones x2

2)x(gyxx2)x(f 3

========

Determine: a) h

)x(f)hx(f ++++ b)

2x)1(g)1x(g

4.- Dadas las siguientes funciones por ramas:

>>>>


AYUDANTA : FUNCIONES (Parte 2: Caractersticas de una funcin, Funcin inversa)

1.- Sea IRBIRA:f donde y =6x3x2

++++ Determine los conjuntos A y B de modo que f sea una funcin biyectiva. Encuentre su funcin inversa

2.- Considere la funcin x2

1x3)x(f ++++==== calcule )0(f,)1(f,)2(f,)1(f a) Qu pasa con el valor de f (x) si x =o? b) Cul ser el Dominio de la funcin? c) Cul ser el recorrido? d) Que pasa si x crece En qu intervalo? Que puede concluir e) Qu pasa si x decrece En que intervalo? Que puede concluir

3.- a) Defina dos funciones que sean crecientes b) Defina dos funciones que sean decrecientes c) Encuentre una funcin que no sea ni creciente ni decreciente

4.- Determine si las siguientes funciones son Crecientes; Decrecientes; Pares; Impares

a) 2x2)x(f/IRIR:f ====

b) x2x)x(f/IRIR:f 2 ++++====

c) x)x(f/IRIR:f ====

d)

UNIVERSIDAD ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE MATEMATICASELEM.DE ALG. Y CALC.ELEMENTAL - FMM 032Coord. Hector Aguilera

AYUDANTIA FUNCIONES (PARTE 3): APLICACIONES

1. En un laboratorio de microbiologa experimental se esta estudiando la bacteria MD y, se ha observadola variacion de la poblacion respecto a la temperatura, obteniendose el siguiente modelo matematico,al someter la bacteria a la temperatura ambiente entre 20oC y 40oC:

P (T ) =

30T + 600 si 20oC 6 T 6 20oC

600 si 20oC < T < 30oC60T + 2400 si 30oC 6 T 6 40oC

donde P (T ) se mide en miles de bacterias, y T en grados Celsius.

(a) A que temperatura(s) la poblacion es de 300 mil?.

(b) Que cantidad de bacterias habra a los 20oC?. bacterias.

2. La capacidad del cuerpo humano para ciertas tareas disminuye con la edad. El libro Sex and the Originsof Death, de William Clark, presenta estadsticas de ese tipo. Por ejemplo, la fertilidad femenina cae,como media, de un 100% a los 30 anos hasta un 0% a los 50 anos. Suponiendo que el porcentaje defertilidad P , se comporta de manera lineal con la edad x

(a) Determine la funcion P = f(x).

(b) Que edad corresponde para un porcentaje de fertilidad de 30%?

3. La temperatura (oC), que experimenta cierto cultivo de bacterias, vara segun la relacion

T = 10t2 + 40t 30

donde t, representa el tiempo de exposicion a fuentes de energa calorica, expresado en horas.

(a) Determine el instante en que se alcanza la maxima temperatura.

(b) Cual es la temperatura maxima?

4. El radio se descompone segun el modelo Q(t) = Q0 e0.5t, donde Q0 corresponde a la cantidad inicialde radio y Q(t) es la cantidad no desintegrada en un tiempo t ( en siglos ).

(a) Determine en cuanto tiempo se habra descompuesto la mitad de la cantidad original de radio ( aeste tiempo se le llama la vida media del radio ).

(b) Si Q0 = 10 gramos, encuentre la cantidad de material que queda despues de 2 siglos.

5. Suponga que la cantidad de sustancia de un elemento radiactivo decrece segun el modelo exponencialN(t) = N0 ekt, donde t es el tiempo en anos y N expresado en milgramos. Suponga que despuesde 10 anos hay 500 milgramos de material y que despues de 20 anos quedan 100 milgramos. En basea esto se pide

(a) Determinar completamente el modelo, es decir, N0 y k.

(b) Determinar despues de cuanto tiempo la cantidad de material radioactivo sera la cuarta parte dela inicial.


AYUDANTA : REALES - VALOR ABSOLUTO

1.- Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

a) 81x25 ====++++++++ b) 33x52x3

====

++++

c) 2x25

3

Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludFMM 032 - Elem.de Alg.y Calc.Elemental

GUIA FUNCIONES

1. Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones

(a) f(x) = 4x2 6(b) f(x) =

3x 1

(c) f(x) =1 x2

(d) f(x) =

1 +

x2

1 x2(e) f(x) = 3

x2 x

(f) f(t) =4 t2

2t2 7t 4(g) f(x) =

x2 3x+ 2x2 4

2. Considere las funciones f(x) = 9x+ 7 y g(x) = x2 x, determine

(a)f(2 + h) f(2)

h

(b)g(x) g(4)

x 4(c) f(g(x)) g(f(x))(d) f(g(1)) g(f(2))

3. Suponga que f(b) = ab2 + a2b, calcule f(ab) y f(a).

4. Determinar funciones f y g, tales que h(x) = f(g(x)) para cada uno de los siguientes casos

(a) h(x) = (4x 3)2(b) h(x) =

x2 2

(c) h(x) =1

x2 1(d) h(x) = (x 1)3 + 3(x 1)2 + x 2

5. Graficar las siguientes funciones cuadraticas

(a) f(x) = (4x 3)2(b) f(x) = 2x2 3x+ 4(c) f(x) = 3x2 + 2x+ 1(d) f(x) = (x 3)(2 x)

6. Dada la funcion

f(x) =

1 xx 2 si x < 2

3x+ 14

si x 2

Determinef(2) + 3f(7)f(5) + (fof)(0)

7. Grafique las siguientes funciones definidas por ramas e indique en que intervalos la funcion es positiva,negativa, creciente y decreciente

(a) f(x) ={

2 si 0 x 43x si x > 4

(b) f(x) ={

2x+ 1 si 1 x < 29 x2 si x 2

(c) f(x) =

x+ 1 si 0 x < 34 si 3 x 5x 1 si x > 5

8. Considere la funcion definida por

f(x) =

x2 + 7 si x 11x

si 1 < x < 0x+ 9 si x 0

(a) Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por (2, f(2)) y que tiene pendiente 3.

(b) Encuentre f(f(2)).

9. Sea f(x) =(a 1)x 1

ax+ 2. Determine el valor de a R tal que la imagen de 1 sea 1/5.

10. Dadas las siguientes funciones, encuentre los dominios y recorridos adecuados de modo que seanbiyectivas

(a) f(x) =x+ 32x 1

(b) f(x) = x2 1(c) f(x) = 4x+ 1

(d) f(x) =x+ 1

APLICACIONES

11. Un gran hospital tiene una flota de 30 ambulancias cada una de las cuales recorre aproximadamente200 Km al da y gasta en promedio 1 galon por cada 15 Km. El precio de la gasolina es de $70 porgalon.

(a) Establezca una funcion que exprese la cantidad de dinero que se necesita para gastos de gasolinaen los siguientes x das.

(b) Si la facturacion mensual promedio en el ultimo ano fue de $485.000, determine la cantidad dedas promedio que al mes funcionan las ambulancias.

12. Despues de observar una fotocopiadora automatica de trabajo continuo, el tecnico descubre que porun defecto de funcionamiento, la produccion disminuira en un numero constante de hojas impresaspor hora, arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con desperfectos. Si la hora 30 condesperfecto produjo 3900 hojas

(a) Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por lafotocopiadora con defecto, N , en funcion de la cantidad de horas t.

(b) Despues de cuantas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420?

13. En cierto experimento de aprendizaje, involucrando repeticion y memoria, se estimo que la proporcionde p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (ensegundos), donde t esta entre 5 y 9 . Para un tiempo de estudio efectivo de 5 segundos la proporcionde elementos recordados fue de 0.32 .Por cada segundo mas en el tiempo de estudio, la proporcionrecordada aumentaba en 0.059

(a) Determine la relacion que exprese p en terminos de t(b) Que proporcion de elementos fue recordada con 9 segundos de tiempo efectivo de estudio?

14. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumentodel 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontro que para un grupo de edadparticular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a un nivel de 231 el riesgoes de 0.192.

(a) Encuentre una ecuacion lineal que exprese el riesgo R en terminos del nivel de colesterol C.(b) Cual es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

15. En un estudio de paciente HIV que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se encontro quedespues de 4 anos, 17% de los pacientes tenan sida y que despues de 7 anos 33% lo tenan.

(a) Encuentre una funcion lineal que modele la relacion entre el intervalo de tiempo y el porcentajede pacientes con sida.

(b) Pronostique el numero de anos hasta que la mitad de esos pacientes tenga sida.

16. La evolucion de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneracion detejidos , sigue el comportamiento lineal, cuya variable independiente, corresponde al numero de dasen que el organismo regenera en milmetros cuadrados sus tejidos. Segun antecedentes al primer dano hay tejidos regenerados; sin embargo al cabo de 10 das se comprueba que, hay 4,5 milmetroscuadrados de tejidos regenerados. Por lo tanto, de acuerdo al planteamiento, determine

(a) La ecuacion lineal de comportamiento(b) La cantidad de tejido regenerado, cuando han transcurrido 30 das(c) El tiempo aproximado, que ha permitido una evolucion en el tejido de 100 milmetros cuadrados.

17. El departamento de salud estima que el numero de personas que consumen cocana ha ido aumentandoen una proporcion lineal. El numero estimado de drogadictos en 1980 fue de 950000 y en 1985 fue de1025000.

(a) Determine la funcion lineal que relacione la cantidad de drogadictos en terminos del tiempomedido en anos (t = 0 para 1980)

(b) Interprete el significado de la pendiente

(c) Si el numero de drogadictos sigue creciendo, cuando llegara a 1250000 ?

18. Una clnica ha decidido renovar sus ambulancias. En el presente ano el costo de compra es de 15000dolares. Las unidades se conservan 3 anos.Despues de este tiempo se espera que su valor de reventasea 3600 dolares. Si la depreciacion es lineal, determine la funcion que describe esta devaluacion.

19. La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan. Para lospeces de un cierto lugar, la tasa de crecimiento G (en porcentaje por da) esta dada por la funcion:

G(T ) = 0.0346(T 23)2 0.0723(T 23) + 3.77

(a) Encuentre la temperatura del agua que genera la maxima tasa de crecimiento.

(b) Cuando la temperatura del agua es de 15C Cual es la tasa de crecimiento?(c) A que temperatura los peces dejan de crecer?

20. Un investigador en fisiologa ha decidido que la funcion r(s) = s2+12s20 es un modelo matematicoaceptable para describir el numero de impulsos emitidos despues que se ha estimulado un nervio. Aqur, es el numero de respuestas por milisegundos (ms) y s es el numero de milisegundos transcurridosdesde que es estimulado el nervio.

(a) Cuantas respuestas son de esperar despues de 3 ms?

(b) Si hay 16 respuestas,cuantos milisegundos han transcurridos desde que fue estimulado el nervio?

(c) Grafique la funcion r(s)

21. Un estudio contable realizado en una determinada clnica, dio como antecedente que el costo deintervenciones quirurgicas , dependa del numero de insumos utilizados y que la relacion se daba deacuerdo a la funcion

C(x) = x2 50x+ 8000

Determine el costo mnimo por intervenciones quirurgicas y el numero de insumos a un costo de 7400u.m. de intervenciones.

22. Un investigador en fisiologa ha decidido que un buen modelo matematico para el numero de impulsosdisparados despues que un nervio ha sido estimulado esta dado por la funcion

y = x2 + 20x 60

donde y es el numero de respuestas por milisegundo y x es el numero de milisegundos desde que elnervio fue estimulado.

(a) Cuando se alcanzara la razon maxima de disparos?

(b) Cual es la razon maxima de disparos?

(c) Represente un grafico de la situacion planteada.

23. La temperatura, que experimenta cierto cultivo de bacterias, vara segun la relacion

y = (x 2)2 + 1

donde x, representa el tiempo de exposicion a fuentes de energa calorica.

(a) Senale el intervalo de tiempo, en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva

(b) Determine el tiempo en que la temperatura alcanza, su maxima.

(c) Identifique las variables planteadas en el estudio.

(d) Bosqueje la grafica, asociada a la relacion.

24. Se ha descubierto que los niveles de contaminacion en los primeros 6 meses de 2001 ha variado deacuerdo a la funcion

y = x2 + 6x

donde x representa el mes esperado.

(a) Determine el mes en que el nivel de contaminacion fue maximo.

(b) Segun la informacion dada en que mes no hubo contaminacion?

(c) Grafique la situacion planteada.

25. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenaun 10% de protena. La protena consista en levadura y harina de maz. Variando el porcentaje P delevadura en la mezcla de protena se estimo que el peso promedio ganado, en gramos, de una rata enun perodo fue de

f(P ) = P2

50+ 2P + 20

con 0 P 100 . Encontrar el maximo peso ganado.26. Un lago formado por un dique contiene inicialmente 1.000 peces. Se espera que su poblacion aumente

segun

N(t) =30

1 + 29ekt

donde N es el numero de peces, en miles, que se espera despues de t anos.

Si se sabe que al cabo de 6 meses la poblacion aumento a 1900 peces y se planea que el lago estaraabierto a la pesca cuando el numero de peces sea de 20000. Cuantos anos pasaran para que se abrael lago a la pesca?

27. Se estima que la cantidad de material particulado (PM10) que dejan las fuentes moviles en el granSantiago, relacionado con la cantidad de dgitos afectados por restriccion vehicular esta dada por

f(t) =2000 9e0.32t

15

partculas por millon (ppm),donde t representa la cantidad de dgitos que estan restringidos duranteuna semana.

(a) Si en total en una semana se restringen 12 dgitos, Cuantas ppm de PM10 contaminaranSantiago en ese perodo?

(b) Para que el nivel de contaminacion no supere las 50 ppm cuantos dgitos se deberan restringiren la semana?

28. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la funcion

f(t) =250

1 + e2t

la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t.

(a) Si el tiempo es medido en semanas, cuantas han sido contagiados en tres semanas?

(b) Cual es la cantidad de contagiados en tres meses?

(c) En que tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas

29. Los registros de salud publica indican que t semanas despues del brote de cierta clase de gripe, aprox-

imadamente f(t) =2

1 + 3e0.8tmiles de personas han contrado la enfermedad.

(a) Cuantas personas tenan la enfermedad al comienzo.?

(b) Cuantas haban contrado la enfermedad despues de tres semanas?

30. Despues de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000estudiantes , el numero de estudiantes infectados despues de t das, se pronostica por

N(t) =3000

1 + 2999e0.895t

(a) Cuantos estudiantes estaran infectados despues de 10 das?

(b) En que perodo de tiempo, se estima que los infectados, lleguen aproximadamente a 1000 estu-diantes?

31. Una ley de curacion de las heridas es A = Ben10 , siendo A ( en m2 ) el area danada despues de n

das, y B (en m2) el area original danada. Hallar el numero de das necesarios para reducir la heridaa su tercera parte del area danada.

32. El valor de reventa V de un equipo radiografico se comporta de acuerdo a la ecuacion V = 750.000e0.05t,en que t son los anos transcurridos desde el momento de la compra.

(a) Cual es el valor original del equipo radiografico ?

(b) Cual es el valor esperado de reventa despues de 5 anos ?

(c) Despues de cuantos anos el valor de reventa sera de $250000 ?

33. De un elemento radiactivo quedan N gramos despues de t horas, donde

N = 100e0.035t

(a) Cuantos gramos estan presente inicialmente ?

(b) Cuantos gramos permanecen despues de 10 horas ? y despues de 50 horas?

(c) Es posible estimar la cantidad de horas necesarias para que el elemento radiactivo ya no estepresente ?

34. A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de rehabilitacion se caracteriza por un efecto derendimientos decrecientes. Es decir, la recuperacion de la funcionalidad suele aumentar con la duraciondel programa terapeutico, pero con el tiempo el mejoramiento es cada vez menor en relacion con losesfuerzos adicionales del programa. Para una incapacidad particular, los terapeutas han ideado unafuncion matematica que describe el costo C de un programa terapeutico en funcion del porcentaje dela funcionalidad recuperada x dada por

C(x) =5x

120 xdonde C se mide en miles de dolares.

(a) Para que valores de x tiene sentido dicha funcion ?

(b) Cual es el costo de la terapia para lograr una recuperacion del 10%?

(c) Cual es el costo de la terapia para lograr una recuperacion total ?

35. Para una relacion de particular huesped-parasito, se determino que cuando la densidad de huespedes(numero de huespedes por unidad de area) es x , entonces el numero de parasitos en un periodo es y,donde

y =900x

10 + 45x

Si la densidad de los huespedes fuera 10000 cual es el numero de parasitos en el periodo?

PROBLEMAS DE SOLEMNES

36. Desde 1980 ha habido un incremento lineal en el porcentaje de la poblacion de alcoholicos en unaciudad europea. En 1980 el porcentaje fue de 10.5% y en 1990 se elevo a 12.9%. Si P es el porcentajede alcoholicos en la poblacion y t representa el tiempo medido en anos desde 1980 (t = 0 en 1980 ),

(a) Encuentre el modelo lineal que permita representar el porcentaje de alcoholicos en funcion deltiempo medido en anos.

(b) Que porcentaje de alcoholicos se preve para el ano 2005?

(c) En que ano el porcentaje de alcoholicos sera de un 18%?

37. Dada la funcion definida por:

f : A R B Rx 7 y = f(x) = x2 + 16x+ 17

(a) Grafique la funcion f(x), indicando los puntos mas relevantes.

(b) Determine los subconjuntos A y B de modo que la funcion sea biyectiva.

(c) Respecto a la grafica de la funcion en la parte (a), en que intervalo f es positiva?

38. Si x es la presion atmosferica ( medida en milmetros de mercurio), h la altura (medida en metrossobre el nivel del mar) y T es la temperatura (en C), entonces:

h = (30T + 8000) log(760x

)Calcular:

(a) La altura de una montana si los instrumentos ubicados en la cima registran 5C y presion de 500milmetros de mercurio.

(b) La presion fuera del avion volando a 10000 metros de altura, si la temperatura exterior es -10C.

39. El efecto de la anestesia bucal en un paciente en %, luego de t minutos de ser inyectado el farmacoviene dado por

G(t) = 25t2

16+ 25t

(a) Se determina que un paciente no siente dolor cuando el efecto es superior al 75%. Utilizandoinecuaciones, determine el intervalo de tiempo para el cual el paciente no siente dolor.

(b) En que instante se produce el grado maximo de adormecimiento?

40. La funcion definida por

f(x) =1

1 + e(b+mx)

se denomina funcion logstica y fue introducida por el biologo matematico aleman Verhulst hacia elano 1840 para describir el crecimiento de poblaciones con recursos alimentarios limitados. Demuestreque

ln(

f(x)1 f(x)

)= b+mx

41. (a) Dada la funcion f(x) = x2x , calcule los valores de x, tales que |f(x)| < 1.

(b) Considere las funciones reales f(x) = ax+ b y g(x) =x+ 12

. Encontrar el valor de las constantes

a y b de modo que (g f)(1) = 3 y (g f)(2) = 1

42. En una prueba para metabolismo de azucar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, lacantidad de azucar encontrada esta dada por la funcion A(t) = 3.9+0.2t 0.1t2, donde t es el tiempomedido en horas.

(a) Despues de cuanto tiempo la cantidad de azucar llega a su maximo?

(b) Cual es la cantidad maxima de azucar?

43. Una cierta sustancia radiactiva decrece segun la formula

q(t) = q0 e0.0063t

donde q0 es la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo en das. Determine despues de cuanto tiempola cantidad de sustancia sera la mitad de la inicial.

44. La presion atmosferica ,P , vara con la altitud, h, sobre la superficie de la tierra. Para altitudes hastacasi los 10 kilometros, la presion P ( en milmetros de mercurio ) esta dada en forma aproximada por

P = 760e0.125h

donde h esta en kilometros.

(a) Determine la presion a una altitud de 7.3 km.

(b) A que altitud la presion sera de 400 milmetros de mercurio?

45. Considere la funcion

f(x) =

2x+ 4 si x < 1x2 x 2 si 1 < x 2e2x si x > 2

(a) Grafique f(x).

(b) Determine Dominio y recorrido.

(c) Encuentre los intervalos donde f crece, decrece, sea positiva y negativa.

46. Los elementos radiactivos tienen la particularidad de que su cantidad disminuye con respecto al tiempode manera exponencial, es decir,N = N0ekt , donde N esta en miligramos y t en anos. Suponga queal principio hay 100 miligramos de una sustancia radiactiva y despues de 20 anos hay 50 miligramos.En base a esto se pide:

(a) Determinar completamente el modelo que representa el fenomeno.

(b) Determinar despues de cuanto tiempo la cantidad de sustancia radiactiva es la cuarta parte dela inicial.

47. En pruebas realizadas en una dieta experimental para cerdos, se determino que el peso, P , en kilos,de un cerdo, se comporta linealmente con respecto al numero de das, d, despues de iniciada la dieta,donde 0 d 100 . Si el peso de un cerdo al inicio de la dieta fue de 20 kg, y a partir de ah gano6.6 kg cada 10 das.

(a) Encuentre un modelo lineal que permita obtener el peso de un cerdo en terminos del numero dedas.

(b) Calcule el peso del cerdo para 50 das despues que inicio la dieta.

(c) Despues de cuantos das el peso de un cerdo era 72.8 kg?

48. Determine el dominio de la funcion

f(x) =

x+ 2x 3

x+ 3x 2

49. El consumo de oxgeno ( en mililitros/libra/minuto ) para una persona que camina a x millas/horaesta dada aproximadamente por la funcion

f(x) =53x2 +

53x+ 10

mientras que el consumo de oxgeno para un corredor a x millas/hora esta dada aproximadamente por

g(x) = 11x+ 10

(a) Trace las graficas de f y g ( en un mismo plano cartesiano ).

(b) A que velocidad es identico el consumo de oxgeno para una persona que camina y para otraque corre?

(c) Que sucede con el consumo de oxgeno para ambas personas a velocidades mayores que ladeterminada en la parte (b)?

50. La concentracion de un medicamento en un organo al instante t ( en segundos ) esta dada por

x(t) = 0.08 + 0.12 e0.02t

donde x(t) son gramos/centmetros cubicos (gr/cm3)

(a) Cual es la concentracion pasado 1 minuto?

(b) Cuanto tiempo tardara en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el organo?

Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludFMM 032 - Elem.de Alg.y Calculo Elemental

GUIA NUMEROS REALES

1. Utilizando las propiedades de los numeros reales, demuestre que:

(a)ab

c= a

(b

c

)(b)

a+ bc

=a

c+b

c

(c)a

b+c

d=ad+ bcbd

2. Demuestre que si a+ b+ c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc

3. Demuestre que 22 = 2 + 24. Demuestre que (8 + x) y = 8 + (x y)5. Demuestre que 3(4x+ 2y + 8) = 12x+ 6y + 24

6. En los siguientes problemas, establezca cual propiedad de los numeros reales se usa.

(a) 2(x+ y) = 2x+ 2y

(b) 2(3y) = (2 3)y(c) 2(x y) = (x y) 2(d) 67 = 6 17(e) (1)(3 + 4) = (1)(3) + (1)(4)

7. Resuelva la ecuacion de primer grado, utilizando las propiedades de los numeros reales. Indique lapropiedad que va ocupando paso a paso.

2(3x 1) + 3 = 7x+ 4

8. Demuestre que si a, b > 0, entonces

a

b+b

a 2

9. Demuestre que a, b R+, se tiene que

a+ b2

2aba+ b

10. Demuestre que si a < b y c < d, entonces ad+ bc < ac+ bd

11. Resolver las siguientes inecuaciones

(a) x+ 3 < 2x 4(b)

x 52

+9 x3

> x

(c) (x 2)(x+ 3) > x(x 1)(d)

1x 1

(e)x+ 1x 4 < 2

(f)4

x+ 1 3x+ 2

> 1

(g) 1 < 3x+ 4x 7 < 1

(h)2x 2 xx 1 1

(i)x2 4x+ 3x2 6x+ 8 1

(j)x2 3x+ 2x2 + 2x+ 6

< 3

12. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

(a) |x+ 1| |2 + 3x|(b)

|x|x+ 2

0

(c) 2 b. Determine si la siguiente aseveracion es verdadera o falsa. Justifiqueclaramente su respuesta.

a3b ab3b a < 0

22. Resuelva las siguientes inecuaciones:

(a)x 32

5(b)

x+ 22

5x+ 3

0, x R

(c) Si |x 3| < 1 18 1

Primer Caso:5 xx 2 < 1

5 xx 2 1 < 0

5 x x+ 2x 2 < 0

7 2xx 2 < 0

Los puntos crticos son: 2 y 72 , con lo que la tabla de puntos crticos queda:

2 72 +7 2x + + x 2 + +Sol () (+) ()

S1 =], 2[]72,+

[Segundo caso:5 xx 2 > 1

5 xx 2 + 1 > 0

5 x+ x 2x 2 > 0

3x 2 > 0 x 2 > 0 x > 2

S2 =]2,+[Por lo tanto la solucion final del problema es:

Sf = S1 S2 =]72,+

[( 1.0 Ptos )

(b) Calcular el valor numerico de

g(f(0)) f(g(1))3

Solucion:

g(f(0)) f(g(1))3

=g(2) f(2)

3=14

3=

33= 1

( 0.5 Ptos )

3. La temperatura (oC), que experimenta cierto cultivo de bacterias, vara segun la relacion

T = 10t2 + 40t 30donde t, representa el tiempo de exposicion a fuentes de energa calorica, expresado en horas.

(a) Determine el instante en que se alcanza la maxima temperatura.Solucion:El maximo viene dado por el vertice de la funcion cuadratica

tmax = b2a = 40

2 10 = 2Despues de 2 horas la temperatura es maxima.

( 0.7 Ptos )

(b) Cual es la temperatura maxima?

Tmax = T (tmax) = T (2) = 10 4 + 40 2 30 = 10La temperatura maxima es de 10oC.

( 0.8 Ptos )

4. Suponga que la cantidad de sustancia de un elemento radiactivo decrece segun el modelo exponencialN(t) = N0 ekt, donde t es el tiempo en anos y N expresado en milgramos. Suponga que despuesde 10 anos hay 500 milgramos de material y que despues de 20 anos quedan 100 milgramos. Enbase a esto se pide

(a) Determinar completamente el modelo, es decir, N0 y k.Solucion:Por las condiciones del problema se sabe que

500 = N0 e10k (1)100 = N0 e20k (2)

Dividiendo la ecuacion (1) con la (2), se llega a

5 = e10k / ln

k = ln 510

Reemplazando el valor de k en la ecuacion (1), se obtiene

500 = N0 e10 ln 510500 = N0 e ln 5

N0 = 500e ln 5

=50015

= 2500

Luego el modelo queda:

N = 2500 e ln 510 t

( 1.0 Ptos )

(b) Determinar despues de cuanto tiempo la cantidad de material radioactivo sera la cuarta partede la inicial.Solucion:

N =14 2500 = 625. Por lo tanto:

625 = 2500 e ln 510 t 0.25 = e ln 510 t / ln

ln 510

t = ln(0.25)

t = 10 ln(0.25)ln 5

8.6

( 0.5 Ptos )

Universidad Andres BelloDepartamento de Matematicas

ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 0322do Semestre, 2005

PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE

Viernes 21 de Octubre de 2005

1. Determine el dominio de la funcion

f(x) =

x + 2x 3

x + 3x 2

Solucion:

El dominio viene dado por la solucion de la inecuacion

x + 2x 3

x + 3x 2 0

x2 4 (x2 9)(x 2)(x 3) 0

5(x 2)(x 3) 0

(0.5 Ptos)

Resolver este problema es equivalente a resolver

(x 2)(x 3) > 0

cuyos valores crticos son 2 y 3. La tabla correspondiente viene dada por

2 3 +x 2 + +x 3 +Sol (+) () (+)

(0.5 Ptos)

Luego la solucion es: ]; 2[]3; +[= Dom f .(0.5 Ptos)

2. El consumo de oxgeno ( en mililitros/libra/minuto ) para una persona que camina a x mil-las/hora esta dada aproximadamente por la funcion

f(x) =53x2 +

53x + 10

mientras que el consumo de oxgeno para un corredor a x millas/hora esta dada aproximadamentepor

g(x) = 11x + 10

(a) Trace las graficas de f y g ( en un mismo plano cartesiano ).Solucion:La grafica de ambas funciones en un mismo plano es:

0

20

40

60

80

100

y

4 2 2 4 6 8

x

(0.5 Ptos)

(b) A que velocidad es identico el consumo de oxgeno para una persona que camina y paraotra que corre?Solucion:Hay que imponer que ambos consumos sean iguales, es decir

f(x) = g(x) 53x2 +

53x + 10 = 11x + 10 5

3x2 +

53x = 11x

5x2 + 5x = 33x x(5x 28) = 0Luego si x = 285 = 5.6, los consumos son iguales, es decir a una velocidad de 5.6 millas porhora.

(0.5 Ptos)

(c) Que sucede con el consumo de oxgeno para ambas personas a velocidades mayores que ladeterminada en la parte (b)?Solucion:De la grafica, claramente a una velocidad mayor a la obtenida en la parte (b), el consumode oxgeno para una persona que camina es mayor al consumo de una persona que corre(f(x) > g(x)).

(0.5 Ptos)

3. La concentracion de un medicamento en un organo al instante t ( en segundos ) esta dada por

x(t) = 0.08 + 0.12 e0.02t

donde x(t) son gramos/centmetros cubicos (gr/cm3)

(a) Cual es la concentracion pasado 1 minuto?Solucion:Reemplazando t = 60 en la funcion se obtiene

x(60) = 0.08 + 0.12 e0.0260 0.116Rpta: Despues de 1 minuto la concentracion es de aproximadamente 0.116 gr/cm3.

(0.6 Ptos)

(b) Cuanto tiempo tardara en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el organo?Solucion:x(t) = 0.18, luego

0.18 = 0.08 + 0.12 e0.02t 0.12 e0.02t = 0.1 e0.02t = 0.10.12

t = ln(0.10.12

)0.02

9.116

Rpta: Aproximadamente despues de 9.1 segundos la concentracion es de 0.18 gr/cm3.(0.9 Ptos)

4. (a) Si se sabe que sin + cos =12, demuestre que

sin cos = 38

Solucion:Elevando la expresion al cuadrado se obtiene:

sin2 + 2 sin cos + cos2 = 14

2 sin cos = 14 1 = 3

4

sin cos = 38

(0.7 Ptos)

(b) El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h metros del piso, for-mando un angulo de 30 con la pared. Resbala y su extremo superior desciende un metroy queda formando un angulo de 60 con la pared. Cual es la longitud de la escalera?

Solucion:La situacion es la siguiente:

30

60

60 30

h 1

1

L

De la figura se pueden obtener las siguientes relaciones:

sin 60 =h

L h = L sin 60

sin 30 =h 1

L h = L sin 30 + 1

Igualando:

L sin 60 = L sin 30 + 1 L(sin 60 sin 30) = 1

L = 1sin 60 sin 30 =

132 12

=23 1 2.73

(0.8 Ptos)


ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 0321er Semestre, 2006


Viernes 26 de Mayo de 2006

1. Dada la funcion y = f(x) =x 1x+ 2

:

(a) Encuentre x tal que f(x) 0.Solucion:

Hay que resolver la inecuacionx 1x+ 2

0, cuyos valores crticos son -2 y 1. La tabla asociada es:

2 1 x 1 +x+ 2 + +S (+) () (+)

cuya solucion es S =]; 2[[1;[.

0.5 Ptos.

(b) Calcule Dominio y recorrido de f(x).Solucion:

Dominio= R {2}. 0.1 Ptos. Recorrido:

y =x 1x+ 2

yx+ 2y = x 1 yx x = 2y 1

x(y 1) = 2y 1 x = 2y 1y 1

Luego, el recorrido es R {1}.

0.4 Ptos.

(c) Si g(x) = 3x+ 2a, encuentre el valor de la constante a de modo que f(g(1)) = 2.Solucion:

f(g(1)) = f(3 + 2a) =3 + 2a 13 + 2a+ 2

=2 + 2a5 + 2a

= 2

2 + 2a = 10 + 4a a = 40.5 Ptos.

2. La capacidad del cuerpo humano para ciertas tareas disminuye con la edad. El libro Sex and the Originsof Death, de William Clark, presenta estadsticas de ese tipo. Por ejemplo, la fertilidad femenina cae,como media, de un 100% a los 30 anos hasta un 0% a los 50 anos. Suponiendo que el porcentaje defertilidad P , se comporta de manera lineal con la edad x

(a) Determine la funcion P = f(x).Solucion:Los puntos a considerar son (30; 100); (50; 0). Luego:

m =100 030 50 =

10020

= 5

0.5 Ptos.El modelo a determinar es P = 5x + n, donde n se obtiene reemplazando alguno de los dospuntos:

0 = 5 50 + n n = 250

P (x) = 5x+ 2500.5 Ptos.

(b) Que edad corresponde para un porcentaje de fertilidad de 30%?Solucion:Reemplazando P por 30:

30 = 5x+ 250 5x = 220 x = 44Rpta: Para un porcentaje de fertilidad de 30% corresponde a una edad de 44 anos.

0.5 Ptos.

3. Una reaccion autocataltica utiliza el producto resultante para la formacion de un nuevo producto ,como por ejemplo la reaccion

A+X X

Si se asume que esta reaccion se produce en un recipiente cerrado, la velocidad de reaccion esta dadapor

R(x) = kx(a x)

siendo a la concentracion inicial de A y x la concentracion inicial de X.

(a) Determine la concentracion x de modo que la velocidad de reaccion sea la maxima.Solucion:La velocidad de reaccion se puede escribir como R(x) = kx2+kax, y la concentracion para quela velocidad de reaccion sea maxima, viene dada por:

xmax =b2a

=k a2 k =

a

2

Rpta: Para que la velocidad de reaccion sea maxima, la concentracion debe ser igual a a2 unidadesde medida.

0.8 Ptos.

(b) Grafique la funcion R(x), para k = 2 y a = 6.Solucion:La funcion a graficar es R(x) = 2x(6 x) = 2x2 + 12x.

0.7 Ptos.

4. La intensidad de luz en los lagos disminuye exponencialmente con la profundidad. Si I(z) indica laintensidad de luz(en %) a la profundidad z(en metros), siendo z = 0 el valor de la superficie, entonces

I(z) = I0 ez

siendo una constante positiva denominada coeficiente de atenuacion vertical e I0 la intensidad en lasuperficie. Calcule , suponiendo que el 10% de la luz se absorbe en el primer metro.

Solucion:

Para z = 1, I(1) = 0.9I0, es decir:

0.9I0 = I0 e 0.9 = e / ln ln(0.9) =

= ln(0.9) 0.105

1.5 Ptos.




Viernes 27 de Octubre de 2006

1. (a) Calcular el dominio de la funcion

f(x) =

1 x+ 1

x 1Sol:El dominio viene dado por

1 x+ 1x 1 0

2x 1 0

2x 1 0

x 1 < 0 x < 1Luego el dominio es Dom =], 1[.

0.8 Ptos

(b) Considerando que g(x) =x 12x+ 3

y que g(a) = 1, calcule el valor numerico de

g(a4

)+ g(a+ 4)

Sol:Calculemos el valor de la constante a. Por condicion g(a) = 1, es decir:

g(a) =a 12a+ 3

= 1 a 1 = 2a+ 3

a = 4Luego, con este valor se obtiene lo pedido:

g(a4

)+ g(a+ 4) = g(1) + g(0) = 2 1

3=73

0.7 Ptos

2. La cantidad de calcio que permanece en la sangre, despues de t das de inyectar calcio al torrentesanguneo, esta dada por la funcion

C(t) = t3/2

donde C esta medido en gramos, determine

(a) Cuantos gramos de calcio permanecen en la sangre despues de 18 horas?Sol:Como el tiempo esta en das 18 horas = 0.75 das. Luego:

C(0.75) = (0.75)3/2 1.54Rpta: Permanecen en la sangre aprox. 1.54 gramos.

0.5 Ptos

(b) En que instante, la concentracion de calcio en la sangre alcanzara 0.2 gramos?

Sol:Se debe imponer que:

0.2 = t3/2 t3/2 = 5 /()2

t3 = 25 t = 325 2.9

Rpta:Despues de 2.9 das, la cantidad de calcio en la sangre es de 0.2 gramos.

1.0 Pto.

3. La siguiente funcion y = 0.1875x2 18x + 670, representa el numero de accidentes automovilsticosque se producen durante el da, donde x es la velocidad a la cual viaja el automovil.

(a) Determine el numero de accidentes que se producen si el automovil viaja a una velocidad de 100km/hora.

Sol:Para x = 100:

y(100) = 0.1875 (100)2 18 100 + 670 = 745La cantidad de accidentes en un da para una velocidad de 100 km/hra es de 745.

0.5 Ptos

(b) A que velocidad debe viajar para que el numero de accidentes sea mnimo?

Sol:La cantidad mnima de accidentes viene dada por el vertice de la funcion cuadratica:

xmin =b2a

=18

2 0.1875 = 48

La velocidad mnima es de 48 km/hra.0.5 Ptos

(c) Cual sera el numero de accidentes mnimos?Sol:La cantidad mnima de accidentes se obtiene como:

ymin = y(48) = 0.1875 482 18 48 + 670 = 238La mnima cantidad de accidentes es de 238 en un da.

0.5 Ptos

4. Un observador situado en el techo de un edificio A mide un angulo de depresion a la base de otro Bde 27o. Ademas, el angulo de elevacion desde el techo del edificio A al techo del edificio B es de 41o.Con esta informacion, calcular la altura del edificio B, si la altura del edificio A es de 150 pies.

Sol:

El esquema se aprecia en la siguiente figura:

De la figura se pueden obtener las siguientes relaciones:

tan 27 =

150x x = 150

tan 27(1)

tan 41 =

h 150x

(2)

Reemplazando (1) en (2) se obtiene:

tan 41 =h 150

150tan 27

= tan 27 (h 150)150

h = tan 41tan 27

150 + 150 406

La altura del edificio B es de aprox. 406 pies.

1.5 Ptos



PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNEViernes 18 de Mayo de 2007

1. Resolver una de las siguientes inecuaciones:

(a)|x+ 3|+ 2x

x 1 2 (b)2x+x

2< 2

(a) Sol:

|x+ 3|+ 2xx 1 2

|x+ 3|+ 2xx 1 2 0

|x+ 3|+ 2x 2x+ 2x 1 0

|x+ 3|+ 2x 1 0

0.6 Ptos

Claramente |x+ 3| + 2 > 0,x y el problema se reduce solamente a resolver la inecuacion x 1 < 0,cuya solucion es S =], 1[.

0.6 Ptos

(b) Sol:

2x+x

2< 2 2

x+x

2 2 < 0 4 + x

2 4x2x

< 0

(x 2)2

2x< 0

0.6 Ptos

Claramente el termino (x 2)2 > 0,x, y en este caso el problema se reduce a resolver solamentex < 0, que es la solucion de la inecuacion.

0.6 Ptos

2. Un paciente recibio inulina para medir su tasa de filtracion glomerular [TFG]. En el curso de lamedicion, la tasa de flujo urinario se modifica deliberadamente dandole a beber grandes cantidadesde agua. La concentracion plasmatica de inulina (mg/ml),[P ], se mantiene constante a 1.5 mg/ml

mediante venoclisis. La tasa de flujo urinario V es constante a 2 ml/min. Si [TFG] =[U ] V[P ]

, vara

entre 90 y 100 ml/min antes y despues de ingerir agua, como vara la concentracion de inulina, [U ],en la orina?

Sol:

Con los datos del problema se debe imponer que:

90 2U1.5

100 / 1.52

0.6 Ptos

90 1.52

U 50 1.5 67.5 U 75

Rpta: La concentracion de inulina en la orina vara entre 67.5 y 75 mg/ml.

0.6 Ptos

3. Considere las funciones

f : R {2} R {1} g : R Rx y = f(x) = x1x+2 x y = g(x) = 3x+ 2

(a) Encuentre dominio y recorrido de h(x) = (g o f)(x).Sol:

h(x) = (g o f)(x) = 3(x 1)x+ 2

+ 2 =3x 3 + 2x+ 4

x+ 2=

5x+ 1x+ 2

0.2 Ptos

Domh = R {2}0.2 Ptos

Calculemos el recorrido:

y =5x+ 1x+ 2

yx+ 2y = 5x+ 1 x(y 5) = 1 2y

x = 1 2yy 5 Rech = R {5}

0.2 Ptos

(b) Determine una expresion para h1(x).Sol:

De la parte (a) se deduce automaticamente que h1(x) =1 2xx 5 .

0.2 Ptos

(c) Verifique que (h o h1)(x) = x.Sol:

(h o h1)(x) =5(12x)x5 + 112xx5 + 2

=510x+x5

x512x+2x10

x5

=9x9 = x

0.4 Ptos

4. Una bala es lanzada de modo que su altura en metros en funcion del tiempo en segundos, viene dadapor:

h(t) = 200t 5t2

(a) Cuanto se demora la bala en alcanzar la maxima altura?Sol:El tiempo maximo viene dado por:

tmax =b2a

= 2002 5 = 20

Rpta: El tiempo necesario para que alcance la altura maxima es de 20 segundos.0.4 Ptos

(b) Cual fue la maxima altura alcanzada por la bala?Sol:La maxima altura se obtiene como:

hmax = h(20) = 200 20 5 (20)2 = 2000Rpta: La altura maxima es de 2000 metros.

0.4 Ptos

(c) Cuanto demora en caer al suelo?Sol:Se debe imponer que h(t) = 0, es decir:

200t 5t2 = 0 5t(40 t) = 0 t = 0 t = 40Luego, la bala demora 40 segundos en caer al suelo.

0.4 Ptos

5. Cuando una colonia de staphylococcus llega a 106 unidades, hay una alta probabilidad de presentaruna infeccion renal. Si el paciente no sigue un tratamiento adecuado, y se sabe que la colonia seduplica cada 24 horas

(a) Determine la funcion de la forma N(t) = 106 ekt, que represente la situacion practica.Sol:Por condicion del problema, se debe imponer que 2 106 = 106 e24k. Despejando k:

2 = e24k / ln k = ln 224

0.0289

Finalmente el modelo es de la forma N(t) = 106 e0.0289t.0.6 Ptos

(b) Cuantas bacterias habra despues de 2 horas de haber sido detectada la infeccion?Sol:Se calcula simplemente N(2):

N(2) = 106 e0.02892 1.059.503Rpta: Despues de 2 horas hay aproximadamente 1.059.503 bacterias.

0.2 Ptos

(c) Si el numero de bacterias llega a 1010, la vida del paciente esta en peligro. Cuanto tiempo tieneel paciente como maximo, para someterse a un tratamiento, antes que sea demasiado tarde?Sol:Imponiendo que N(t) = 1010, se obtiene:

1010 = 106 e0.0289t 104 = e0.0289t / ln

t =ln 104

0.0289 319

0.4 Ptos



PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNEViernes 19 de Octubre de 2007

1. Encontrar la solucion de la inecuacion

x4 |x| 0

Sol:

Se sabe que4 |x| > 0. Para que la raiz este bien definida imponemos la restriccion

4 |x| > 0 |x| < 4

0.5 Ptos.

Luego, resolver la inecuacion inicial es equivalente a resolver x 0. De esta manera, la solucion finalviene dada por:

Sf = |x| < 4 x 0 = [0, 4[0.7 Ptos.

2. Pasados t minutos despues de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el numero debacterias esta dado por

N(t) =10.000t2 + 1

+ 2.000

Utilizando inecuaciones, determine el instante en que el numero de bacterias sea a lo mas 4.000.

Sol:

Se debe imponer que N(t) 4.000, es decir:

10.000t2 + 1

+ 2.000 4.000 10.000t2 + 1

2.000 / : 2.000

5t2 + 1

1 t2 + 1 5 t2 4 /

|t| 2 t 2 t 2

0.8 Pto

por contexto, nos quedamos con t [2,[.Rpta: El numero de bacterias sera de a lo mas 4.000 pasados 2 minutos.

0.4 Ptos.

3. Sean f(x) = ax+ b ; g(x) =2

x+ 2, encuentre el valor de las constantes a y b de modo que se cumpla

simultaneamente f(1) = g(1) ; f(1) = 43 .

Sol:

Imponiendo las condiciones se establecen las ecuaciones que resuelven el problema:

f(1) = g(1) a+ b = 23

f(1) = 43 a+ b = 4

3

0.8 Ptos.

Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a que a = 13 ; b = 1.0.4 Ptos.

4. Un isotopo del sodio 24Na, tiene una vida media de 15 horas. Suponga que la cantidad de este isotopoque queda, despues de t horas, viene dada por la funcion exponencial

N(t) = N0 ekt

Si la cantidad inicial de este isotopo es de 2 gramos, calcule el tiempo necesario para que la masa sereduzca a 0.01 gramos.

Sol:

El modelo a considerar es N(t) = 2 ekt. Por condicion de vida media, se debe imponer que:

1 = 2 e15k k = ln(0.5)15

0.0462

0.6 Ptos.

Luego, para obtener el tiempo necesario para que la masa se reduzca a 0.01 gramos:

0.01 = 2 e0.0462t t = ln(0.012

)0.0462

114.68

Rpta:El tiempo necesario para que la masa se reduzca a 0.01 gramos es de aproximadamente 116.68horas.

0.6 Ptos.

5. Demuestre la identidad trigonometrica:

1 (sin6 x+ cos6 x) = 3 sin2 x cos2 x

Sol:

1 (sin6 x+ cos6 x) = 1 (sin2 x+ cos2 x) 1

(sin4 x sin2 x cos2 x+ cos4 x)

= 1 (sin4 x sin2 x cos2 x+ cos4 x) = sin2 x+ cos2 x (sin4 x sin2 x cos2 x+ cos4 x)

= sin2 x (1 sin2 x) cos2 x

+cos2 x (1 cos2 x) sin2 x

+sin2 x cos2 x

= sin2 x cos2 x+ sin2 x cos2 x+ sin2 x cos2 x = 3 sin2 x cos2 x

1.2 Ptos.




1. La concentracion de cierto calmante suministrado mediante suero, vara en su efectividad en el tiemposegun la expresion

C = t2 + 20t

donde C es la concentracion del calmante en el suero para que haga efecto durante t horas. Se deter-mino que el calmante es efectivo si la concentracion es de por lo menos 75 miligramos por litro . Bajoestas condiciones, y utilizando inecuaciones, durante cuanto tiempo es efectivo el calmante?

Sol:

Se debe imponer que C = t2 + 20t 75.0.3 Ptos.

Es decir:

t2 + 20t 75 t2 20t+ 75 0

(t 15)(t 5) 0

Construyendo la tabla de valores crticos:

5 15 +t 5 + +t 15 +Sol (+) () (+)

1.0 Pto.

Claramente, la solucion es t [5, 15]. Por lo tanto, el calmante es efectivo entre 5 y 15 horas.0.2 Ptos.

2. Considere las siguientes funciones:

f(x) = x2 + 2x ; g(x) = (x+ 1)1 ; h(x) = 3x 2

Determine si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas:

(a) Rech = R(b) Recf = R(c) 6 g(f(1))

(d) 0 Rec g

(e) h(g(x)) =5 2xx+ 1

(f) f es par.

Sol:

Las claves son las siguientes:

(a) Verdadera ( 0.2 Ptos )

(b) Falsa ( 0.2 Ptos )

(c) Verdadera ( 0.3 Ptos )

(d) Falsa ( 0.3 Ptos )

(e) Falsa. ( 0.3 Ptos )

(f) Falsa. ( 0.2 Ptos )

3. La dosis recomendada de determinado medicamento ( medida en mg ) es una funcion lineal del peso xdel paciente, expresado en kg. Sabemos que a un paciente de 10 kg de peso se le debe administrar 23 mgdiarios de la sustancia, mientras que un paciente de 50 kg de peso debe recibir 63 mg del farmaco. De-terminar la funcion lineal que expresa la dosis correcta para un individuo en terminos del peso x en kg.

Sol:

Los pares de puntos a considerar son de la forma (10, 23) y (50, 63). Luego, la funcion lineal a construires de la forma D = mx+ n. Reemplazando los puntos se forma el sistema de ecuaciones

10m+ n = 2350m+ n = 63

0.8 Ptos

cuya solucion es m = 1;n = 13. Finalmente la funcion lineal pedida es

D(x) = x+ 13

0.7 Ptos

4. El peso W ( en kg ) de una poblacion de elefantes africanos hembras esta relacionado con la edad t( en anos ) mediante la funcion:

W (t) = 2600 (1 0.5 e0.075t)3(a) Cuanto pesa un elefante recien nacido?

Sol:Basta calcular W (0):

W (0) = 2600 (12

)3=

26008

= 325

El peso del elefante recien nacido es de 325 Kg.0.5 Ptos

(b) Estime la edad de una hembra adulta si pesa 1800 kg.

Sol:Se impone que W (t) = 1800:

1800 = 2600 (1 0.5 e0.075t)3 913

= (1 0.5 e0.075t)3 / 3

0.5 e0.075t = 1 3

913 e0.075t = 2

(1 3

913

)/ ln

0.075t = ln(2

(1 3

913

))

t =ln(2(1 3

913

))0.075 19.55

La edad de una hembra adulta es de aproximadamente 19.55 anos.1.0 Pto.




1. Considere la ecuacion de segundo grado

kx2 x+ k = 0

donde k es una constante arbitraria. Utilizando inecuaciones, determine entre que valores se mueve laconstante k de modo que la ecuacion tenga soluciones reales y distintas.

Ind: Una ecuacion de segundo grado ax2+ bx+ c = 0, tiene soluciones reales y distintas si, el discrim-inante 4 = b2 4ac > 0.

Sol:

Imponiendo la condicion a la ecuacion:

(1)2 4k k > 0 1 4k2 > 0 4k2 < 1 k2 < 14

|k| < 12 1

2< k 0;x R, luego la solucion de la inecuacion es S =]0,[.(b) 0 2x 4 < 5x+ 8

Sol:Separando en dos casos:

(2x 4 0) (2x 4 < 5x+ 8) (x 2) (x > 4)Luego la solucion es S = [2,[] 4,[= [2,[.

2. Considere la funcion f(x) =1

x+ 1. Encuentre el valor de la constante a de modo que

f

(1

a+ 1

)= f

(2a+ 12a+ 4

)Sol:

Por un lado:

f

(1

a+ 1

)=

a+ 1a+ 2

f(2a+ 12a+ 4

)=

2a+ 44a+ 5

Igualando:

a+ 1a+ 2

=2a+ 44a+ 5

4a2 + 9a+ 5 = 2a2 + 8a+ 8

2a2 + a 3 = 0 a = 1 a = 32

3. Un delfn toma impulso y un salto por encima de la superficie del mar sigue la trayectoria

h(t) = t2 + 6t

donde h es la altura que adquiere desde la superficie ( en metros ) y t el tiempo en transcurrido ensegundos.

(a) Determine el(los) instante(s) en que el delfn alcanza una altura de 5 metros.Sol:Se impone que h = 5:

t2 + 6t = 5 t2 6t+ 5 = 0 (t 1)(t 5) = 0

t = 1 t = 5El delfn alcanza la altura 5 metros al segundo y a los 5 segundos.

(b) Calcule el tiempo para el cual la altura del delfn es maxima.Sol:

Se calcula tmax = b2a =6

2 1 = 3 segundos.(c) Cual es la altura maxima?

Sol:Basta con calcular h(3) = 9 + 6 3 = 9metros

(d) En que instante el delfn vuelve a sumergirse?Sol:Se impone que h = 0, es decir

t2 + 6t = 0 t(6 t) = 0 t = 0 t = 6A los 6 segundos vuelve a sumergirse.

4. El crecimiento de una colonia de abejas despues de t meses, viene dada por la funcion exponencial:

P (t) =228

1 + 56 e0.37t

(a) Cuantas abejas haba inicialmente en el enjambre?Sol:Inicialmente hay P (0):

P (0) =228

1 + 56 e0 = 4abejas

(b) Cuanto tiempo le tomara a la colonia tener una poblacion igual a 180?Se impone que P = 180:

180 =228

1 + 56 e0.37t e0.37t =

4810080

t = ln(

4810080

)0.37 14.5meses

5. La Sra.Xiong esta en el tope de un edificio. Desde ah es capaz de ver dos peatones que caminan endirecciones opuestas y alejandose del edificio mientras caminan en la acera. Si los angulos de depresiona los peatones desde el tope del edificio son 56o y 46o, respectivamente, y sabiendo que el edificio tiene100 pies de alto, determine en ese instante la distancia horizontal que separa a los peatones.

Sol:

De acuerdo a los datos, el esquema que resuelve el problema es:

De aca:

tan 34 =x

100 x = 100 tan 34

tan 44 =y

100 y = 100 tan 44

Luego, la distancia que separa a ambos peatones es:

d = x+ y = 100 (tan 34 + tan 44) 164metros




1. Encuentre la solucion de las siguientes inecuaciones:

(a)x

2 1 x

4 x

8+ x 1. Sol:

x

2 1 x

4 x

8+ x 1 4x 2(1 x) x+ 8x 8 4x 2 + 2x 9x 8

3x 6 x 2Por tanto la solucion es S = [2,[.

(b) |1 x2| 0.Sol:Dado que |1 x2| > 0;x 6= 1,1, la solucion de la inecuacion es puntual, es decir

S = {1,1}

2. Dadas las funciones:

f(x) =

3x+ 2 si x < 1

5 2x si x 1; g(x) = x 1

(a) Calcule f(g(2)).Sol:

f(g(2)) = f(1) = 5 2 = 3(b) Determine el valor de la constante a tal que g(a+ 1) = f(f(0)).

Sol:

g(a+ 1) = a+ 1 1 = a = f(f(0)) = f(2) = 1Por tanto, la constante a = 1

(c) Determine el(los) valor(es) de x, de modo que f(x) = 2.Sol:Observe que:

Si 2 = 3x+ 2 x = 0 < 1, por lo tanto es solucion. Si 2 = 5 2x x = 32 1, por tanto es solucion.

Finalmente x = 0 x = 32 .

3. El servicio de traumatologa de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir acorto plazo las listas de espera. Se preve que a partir de ahora la siguiente funcion indicara en cadamomento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podra ser operado sin necesidad de entrar enlista de espera viene dado por:

P (t) = t2 8t+ 50 ; 0 t 11

donde t = 0 corresponde al mes de Enero.

(a) Determine en que mes el porcentaje de pacientes que sera operado es mnimo.Sol: El mes en que la cantidad de pacientes operados es mnimo viene dado por:

t = b2a

=82= 4

que corresponde al mes de Mayo.

(b) En que mes el porcentaje de pacientes operados sera de un 43%?Sol:Se debe imponer que:

t2 8t+ 50 = 43 t2 8t+ 7 = 0 (t 7)(t 1) = 0 t = 1 t = 7Luego, en Febrero y en Agosto el porcentaje de paciente sera de un 43%.

4. Sabemos que es posible medir la concentracion de alcohol en la sangre. Las investigaciones sugierenque el riesgo R ( dado en porcentaje ) de tener un accidente automovilstico puede ser modeladomediante la funcion

R(x) = 1, 1 ekx

donde x es la concentracion de alcohol en la sangre.

(a) Si se sabe que una concentracion de alcohol de 0.5 en la sangre produce un riesgo de un 10% desufrir un accidente, encuentre el riesgo para una concentracion de alcohol igual a 0.3.Sol:Calculemos k, imponiendo:

10 = 1.1 e0.5k k = ln(101.1

)0.5

4.41

Luego:R(0.3) = 1.1 e4.410.3 4.13%

(b) Determine que concentracion debera existir en la sangre para que el riesgo alcance un 91%.Sol:

91 = 1.1 e4.41x x = ln(911.1

)4.41

1




1. Considere los conjuntos:

S1 = {x R/x2 2x 8 0}

S2 = {x R/|x c| d}Encuentre el valor de las constantes c y d tal que S1 = S2.

Sol:

Para S1:

(x 4)(x + 2) 0Para que la parabola sea negativa x [2, 4] = S1. Por otra parte, S2:

|x c| d d x c d c d x c + dPara que S1 = S2 c d = 2 y c + d = 4. Resolviendo el sistema se llega a que c = 1; d = 3.

2. Una furgoneta ( vaca ) pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vaca y el peso dela carga que lleve debe ser al menos 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, cuanto puedepesar, como maximo, cada uno de los cajones para poder llevarlos en esa furgoneta?

Ind:Debe resolver el problema mediante una inecuacion.

Sol:

Sea x el peso de un cajon. Entonces el problema a resolver es:

875 4x 415 4x 460 x 115Luego, el peso maximo por caja es de 115 kg.

3. Considere la funcion f(x) = 3x 2a. Calcular el(los) valor(es) de la constante a de modo que:

f(a + 2) = 3 f1(a2)Sol:

Si y = 3x 2a x = y + 2a3

f1(x) = x + 2a3

. Ademas f(a + 2) = 3(a + 2) 2a = a + 6.Finalmente:

a + 6 = 3 a2 + 2a

3 a2 + a 6 = 0 (a + 3)(a 2) = 0

a = 3 a = 2

4. Supongamos que un jugador de futbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota,mientras se encuentra en el aire, es la parabola correspondiente a la funcion y = 0.05x2+0.7x, dondey es la altura en metros de la pelota cuando esta se encuentra a x metros de distancia horizontal desdeel punto que fue lanzada.

(a) Calcule la distancia horizontal que determina la altura maxima de la pelota.

Sol:

La distancia horizontal que determina la altura maxima es:

xmax = b2a

= 0.72 0.05 = 7 metros

(b) Cual es la altura maxima?

Sol:

La altura maxima es:

ymax = 0.05 72 + 0.7 7 = 2.45 metros(c) A que distancia horizontal la altura de la pelota sera de 2 metros?

Sol:

Se impone que y = 2:

2 = 0.05x2 + 0.7x x2 14x + 40 = 0 x = 10 x = 4R: A los 4 o 10 metros de distancia horizontal la altura de la pelota sera de 2 metros.

5. La funcion

f(x) =12000

1 + 500 ex/2entrega las ventas totales x das despues del lanzamiento de un nuevo juego de video.Despues decuanto tiempo se vendieron 6000 juegos?

Sol:

Imponemos que f(x) = 6000:

6000 =12000

1 + 500 ex/2 1 + 500 ex/2 = 2

500 ex/2 = 1 ex/2 = 1500

x = 2 ln(

1

500

) 12.4 dias




1. Encuentre la solucion de las siguientes inecuaciones:

(a) |2x 3| x + 1Sol:

|2x 3| x + 1 2x 3 x + 1 2x 3 x 1 x 4 x 23

Luego, la solucion es:

S =

[2

3, 4

]

(b)x2 x 6x 2 0

Sol:

x2 x 6x 2 0

(x 3)(x + 2)x 2 0

La tabla de valores crticos es:

2 2 3 +x 3 +x + 2 + + +x 2 + +Sol () (+) () (+)

De aqu, la solucion es:

S = [2, 2[[3,+[

2. Se puede estimar que la altura h de un gato para levantar automoviles, depende del numero de vueltasn que se le de, de manera lineal. Si con 30 vueltas la altura de es de 36 cm y con 15 vueltas de 33 cm,determine la funcion lineal que relacione la altura en terminos del numero de vueltas.

Sol:

Si consideramos los puntos de la forma (n, h), tenemos (30, 36); (15, 33). De esta forma la funcion adeterminar es h(n) = an + b. Formando las ecuaciones 30a + b = 36; 15a + b = 33 y resolviendo elsistema se llega a que

a =1

5; b = 30

es decir, la funcion solicitada es:

h(n) =n

5+ 30

3. Si lanzamos un proyectil la altura alcanzada h (en Km) y la distancia horizontal x (en Km ) estanrelacionados por la ecuacion h(x) = 4x2 + 8x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra unamontana cuya ladera oeste sigue la recta de ecuacion y = 6x 6.

(a) Determine el punto de impacto (x, h) entre el proyectil y la ladera.

Sol:

Para determinar la interseccion igualamos las dos funciones:

4x2 + 8x = 6x 6 4x2 2x 6 = 0 2x2 x 3 = 0cuyas soluciones son x1 =

32 ;x2 = 1. De acuerdo al problema, nos quedamos con la solucion

positiva. Luego, el punto de impacto es(32 , 3

).

(b) Calcule la altura maxima alcanzada por el proyectil.

Sol:

Calculemos la distancia horizontal x que genera la maxima altura:

xmax = b2a

= 82 4 = 1 km

Por tanto la altura maxima es:

hmax = 4 + 8 = 4 km

4. En un campo grande la lluvia acida ha depositado estroncio radiactivo 90Sr. Si a traves de la cadenaalimentaria llegan al ser humano cantidades suficientes de este elemento, el resultado puede ser canceren los huesos. El 90Sr decrece conforme a la formula:

A(t) = A0 e0,0239t

en la que A0 es la cantidad actual en el campo,y t es el tiempo en anos. En este caso tome A0 = 0, 25.Determine el tiempo para el cual la cantidad de elemento radiactivo sera de 0, 1.

Sol:

Basta con imponer que A = 20. De esta forma:

0.1 = 0.25 e0.0239t t = ln(0.10.25

)0.0239

38.33 anos



1. Calcular la solucion de la siguiente inecuacion:

x + 1

2> 3 +

7

x

Sol:

x + 1

2> 3 +

7

x x8x + 1) 6x 14

2x> 0 x

2 5x 142x

> 0 (x 7)(x + 2)2x

> 0

De aca, los valores crticos son: 2, 0, 7. La tabla asociada es:

2 0 7 +x 7 +x + 2 + + +x + +

Sol () (+) () (+)

Finalmente, la solucion es:S =] 2, 0[]7,+[.2. Una fabrica paga a sus trabajadores viajantes $10 por artculo vendido mas una cantidad fija de

$500.Otra fabrica de la competencia paga $15 por artculo y $300 fijas. Cuantos artculos debevender el viajante de la competencia para ganar mas dinero que el primero?.

Ind: Debe resolver el problema por medio de una inecuacion.

Sol:

Sea x la cantidad de artculos a vender. De acuerdo a los datos entregados, la primera opcion paga:10x + 500 y la competencia paga 15x + 300. Imponiendo la condicion:

15x + 300 > 10x + 500 5x > 200 x > 40

Por tanto, la competencia debe vender mas de 40 artculos para ganar mas dinero que la primeraopcion.

3. Considere las funciones f(x) = 1 + 2 e0.1x ; g(x) = x + 1. Encuentre, aproximadamente, el valor dela constante a, tal que:

f(g(a)) = 4

Sol:

Se tiene que g(a) = a + 1, por tanto f(g(a)) = 1 + 2e0.1(a+1). Luego:

1 + 2e0.1(a+1) = 4 2e0.1(a+1) = 3 e0.1(a+1) = 32

0.1(a + 1) = ln(

3

2

) a + 1 = ln

(32

)0.1

a = ln(32

)0.1

1 3.05

4. Cierto laboratorio qumico estima que la rentabilidad R por vender x unidades de un medicamento sepuede modelar por la funcion:

R(x) = 0.001x2 + 0.5x + 2.5

donde R viene dado en millones de pesos.

(a) Calcule la cantidad necesaria de medicamento de modo que la rentabilidad sea maxima.

Sol:

La cantidad de modo que la rentabilidad sea maxima viene dada por:

xmax = b2a

= 0.52 0.001 = 250 unidades

(b) A cuanto asciende esta rentabilidad?

Sol:

La rentabilidad maxima es:

Rmax = R(250) = 0.001 2502 + 0.5 250 + 2.5 = 65La rentabilidad maxima es de 65 millones de pesos.

5. Demuestre la siguiente identidad trigonometrica:

tan2 x

secx + 1 secx + 1 = 0

Sol:

tan2 x

secx + 1 secx + 1 =

sin2 xcos2 x1

cosx + 1 1

cosx+ 1 =

sin2 x cosxcos2 x(1 + cosx)

+cosx 1

cosx

=(1 cosx)(1 + cosx)

cosx(1 + cosx)+

cosx 1cosx

=1 cosx + cosx 1

cosx=

0

cosx= 0




1. Pasados t minutos despues de introducir un bactericida experimental en un cultivo, el numero de bacterias vienedado por:

N =10000

t2 + 1+ 2000

Utilizando inecuaciones, determine el instante mnimo para el cual la cantidad de bacterias sea a lo mas 4000.

Sol:

La inecuacion a considerar es:

10000

t2 + 1+ 2000 4000 10000 2000(t2 + 1) t2 4

t 2 t 2

Observe que t 2, se descarta de la solucion por contexto, por tanto nos quedamos con t 2, es decir, elinstante mnimo es 2 minutos, para que la cantidad de bacterias sea a lo mas 4000.

2. Considere las funciones f(x) = ax + b ; g(x) =2

x + 2. Encuentre el valor de las constantes a y b tal que se

cumpla simultaneamente:

f(1) = g(1) ; f(1) = g1(1)

Sol:

Calculemos primero g1(x):

y =2

x + 2 x = 2 2y

y

g1(x) = 2 2xx

Imponiendo las condiciones, observe que:

f(1) = a + b = g(1) =2

3; f(1) = a + b = g1(1) = 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a: a = b = 13 .

3. La temperatura (en grados celsius) que experimenta cierto cultivo de bacterias vara segun la funcion:

T (t) = 10t2 + 40t 30

donde t representa el tiempo de exposicion a fuentes de energa calorica, expresado en horas.

(a) Determine el(los) instante(s) en que la temperatura del cultivo alcanza los cero grados celsius.

Sol:

Se impone que T = 0:

0 = 10t2 + 40t 30 t2 4t + 3 = 0 (t 3)(t 1) = 0Por tanto, cuando han transcurrido 1 o 3 horas, la temperatura sera de 0oC.

(b) En que instante la temperatura es maxima?

Sol:

Corresponde al vertice de la funcion cuadratica:

tmax =40

2 10 = 2 horas

(c) Calcule la temperatura maxima del cultivo.

Sol:

La temperatura maxima viene dada por:

T (2) = 10 22 + 40 2 30 = 10oC

4. En la cicatrizacion normal de heridas se ha podido demostrar que el area A de cicatrizacion despues de n das,es una relacion de la forma:

A(n) = A0 e0.35n

donde A0 es el area original de la herida. Determine despues de cuanto tiempo el area de la herida sera la terceraparte de la original.

Sol:

Se debe imponer que A =A03

:

A03

= A0 e0.35n / : A0 e0.35n = 13

n = ln(13

)0.35 3.13 das

5. Demuestre la siguiente identidad trigonometrica.

1

1 + sinx+

1

1 sinx = 2 sec2 x

Sol:

1

1 + sinx+

1

1 sinx =1 sinx + 1 + sinx(1 sinx)(1 + sinx) =

2

1 sin2 x =2

cos2 x= 2 sec2 x

ELEM.DE ALG.Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 0321er Semestre, 2014


1. Encuentre la solucion de la siguiente inecuacion:

x+ 2

x 1 2

Sol:

Observe que:

x+ 2

x 1 2x+ 2 2x+ 2

x 1 04 xx 1 0

De aca, los valores crticos son: 1 y 4. Confeccionando la tabla de valores crticos:

1 4 +4 x + + x 1 + +Sol () (+) ()

Por tanto S =]1, 4].

2. Movistar presenta una nueva promocion para llamar de celular a celular llamada HABLA MAS. Esta promocionindica un costo de $50 para el primer minuto y luego $10 por minuto adicional. Suponiendo que la relacion entreel costo y la duracion de la llamada es lineal,

(a) Determine la funcion lineal C = f(t)( Costo en funcion del tiempo ) que expresa a esta promocion.

Sol:

Con los datos entregados, se generan los siguientes puntos: (1, 50); (2; 60). La funcion lineal a determinares de la forma C(t) = mt+ n. Evaluando los puntos en la funcion, se obtienen las ecuaciones m+ n = 50y 2m + n = 60, determinando un sistema de ecuaciones cuya solucion es: m = 10;n = 40. De esta forma,la funcion es:

C(t) = 10t+ 40

(b) Si se compra una tarjeta de $300, y se hacen 3 llamadas a personas diferentes, la primera de 7 minutos, lasegunda de 5 minutos, Cuantos minutos quedan para hacer con la tercera llamada?

Sol:

Para una llamada de 7 minutos C(7) = 110 y para una llamada de 5 minutos C(5) = 90, quedando $100para realizar la ultima llamada. De esta forma:

100 = 10t+ 40 t = 6 minutos

3. Un investigador desea predecir el crecimiento de la poblacion en cierta ciudad de Chile. Se estima que t anosdespues del 1990 la poblacion total (en millones) viene dada por:

P (t) =40

1 + c ekt

donde c y k son constantes. Si la poblacion en 1990 (t = 0) es de 3 millones y en el 2005 es de 4 millones,determine:

(a) La poblacion en el ano 2012.

Sol:

Observe que para determinar el valor de las constantes c y k, debemos imponer las condiciones entregadas:

Si t = 0 P = 3, por tanto:

3 =40

1 + c c = 40

3 1 = 37

3

Ademas, si t = 15 P = 4, es decir:

4 =40

1 +37

3 e15k

Resolviendo la ecuacion para k, se obtiene que k 0.021.Finalmente, la poblacion en el ano 2012(t = 22), viene dada por:

P (22) =40

1 +37

3 e0.02122

4.5 millones de habitantes

(b) El ano en que la poblacion alcanzara los 8 millones de habitantes.

Sol:

Imponiendo que P = 8, se debe resolver la ecuacion para t:

8 =40

1 +37

3 e0.021t

t = ln(1237

)0.021 53.6

La poblacion alcanzara los 8 millones en el ano 2043.

4. Demostrar la siguiente identidad trigonometrica:

sec(2x) = 1 + tan(2x) tan(x)

IND: Puede utilizar el hecho que sin(2) = 2 sin cos ; cos(2) = cos2 sin2 .Sol:

1 + tan(2x) tan(x) = 1 + sin(2x)cos(2x)

sinxcosx

= 1 +2 sinx cosx

cos2 x sin2 x sinx

cosx

= 1 +2 sin2 x

cos2 x sin2 x =cos2 x sin2 x+ 2 sin2 x

cos2 x sin2 x =cos2 x+ sin2 x

cos2 x sin2 x =1

cos2 x sin2 x

=1

cos(2x)= sec(2x)

UNIVERSIDAD ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE MATEMATICASELEM.DE ALG. Y CALC.ELEMENTAL - FMM 032Coord. Hector Aguilera

AYUDANTIA : DERIVADAS ( PARTE 1 )

1. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

(a) y = x5 e3 ln(5x).(b) y =

sinx+ cosxsinx cosx .

2. Sea f(x) = x2 + ax + b, con a y b constantes. Hallar los valores de a y b tal que la recta y = 2x seatangente a esta curva en el punto (2, 4).

3. Sea g una funcion continua en x = a tal que g(a) = 2. Hallar f (a) si f(x) = (x a) g(x).

4. Si y define una funcion implcita de x en

x3 = y2 2x2y + x4

Encuentre y.

5. (a) Sea f(x) = (5x2 + g(x))4. Encuentre f (0), si se sabe que g(0) = 1 ; g(0) = 2.

(b) Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la curva xy y3 = 1, en el punto (2, 1).

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AYUDANTIA : DERIVADAS ( PARTE 2 )

1. El tamano de una poblacion de insectos al tiempo t medido en das, esta dado por:

P (t) = 10000 90001 + t

Cuando la poblacion crece a razon de 1500 insectos por da?

2. En el sistema digestivo es normal encontrar la presencia de cierto tipo de bacterias. Se estima que thoras despues de la introduccion de una toxina, la poblacion de bacterias ( en miles ), viene dada por:

P (t) =24t+ 10t2 + 1

(a) Determinar el tiempo cuando la poblacion es maxima.

(b) Cual es la poblacion maxima?

3. La cantidad de bioxido de nitrogeno, gas cafe que dificulta la respiracion, presente en la atmosfera encierto da de Mayo en una comunidad, se aproxima mediante la funcion

A(t) =544

4 + (t 4.5)2 + 28; 0 6 t 6 11

donde A(t) se mide con un ndice estandar de contaminacion ( PSI, por sus siglas en ingles ) y t semide en horas, con t = 0 correspondiente a las 7 A.M

(a) Cuando crece el PSI?.

(b) Determine a que hora del da el PSI alcanza su maximo.

(c) Cual es el valor maximo del PSI en ese instante?.

4. Suponga que t semanas despues del brote de una epidemia,

f(t) =2000

1 + 3e0.8t

personas la adquieren.

Cual es la razon de cambio del crecimiento de f al finalizar la semana 1?

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AYUDANTIA : LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Calcular los siguientes lmites

(a) limx0

x2 + 4 2x2 + 9 3

(b) limx4

3x+ 4 4x+ 5 3

(c) limx0

sin(3x) sin(2x)x

2. En algunas especies animales, el consumo de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia a la quese somete al animal mientras come. En realidad, es difcil comer mucho mientras se siente la vigilanciade un depredador que se lo puede comer a usted. En cierto modelo, si el animal esta buscando alimentoen plantas que brindan un bocado de tamano S, la tasa de consumo de alimento I(S) esta dada porla funcion

I(S) =aS

S + c

donde a y c son constantes positivas. Que le ocurre al consumo de alimento I(S) cuando un bocadode tamano S aumenta indefinidadmente?

3. Encuentre el valor de constante a de modo que la funcion f(x) sea continua en todo R:

f(x) =

(2x+ 1)2 1

2x, si x < 0

x+ a, si x > 0

4. Considere la funcion:

f(x) =

x2 1

2si x < 1

0 si x = 11x1 x si x > 1

Analice la continuidad de la funcion en todo R.

5. Dada la siguiente funcion definida por ramas, se pide calcular, si es que existen, los siguientes lmites:

(a) limx2

f(x).

(b) limx2

f(x).

(c) limx0

f(x).

(d) limx1

f(x).

(e) limx4

f(x).

(f) limx4

f(x).

Obs: Para el tramo en que x ];2] y x [1;[, la funcion es lineal.

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AYUDANTIA : TRIGONOMETRIA

1. (a) Si se sabe que sin+ cos =12, demuestre que

sin cos = 38

(b) El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h metros del piso, formando unangulo de 30 con la pared. Resbala y su extremo superior desciende un metro y queda formandoun angulo de 60 con la pared. Cual es la longitud de la escalera?

2. Unos observadores en dos pueblos distintos, A y B, en cada lado de la montana de 12.000 pies dealtura, miden los angulos de elevacion entre el suelo y la cima de la montana que corresponden a 28 y46o respectivamente. Asumiendo que los pueblos estan sobre un mismo plano, encuentre la distanciaque hay entre ellos.

3. Demuestre la identidad:

(sec tan)(csc+ 1) = cot

4. Un espirograma es un instrumento que registra en un grafico el volumen del aire en los pulmones deuna persona en funcion del tiempo. Un trazado de este grafico esta dado por la funcion

V (t) = 3 +120

sin(160pi t pi

2

)donde el tiempo esta medido en minutos y el volumen en litros.

(a) Dibuje la porcion del grafico que tiene relacion con el problema.

(b) Cual es el volumen para el tiempo cero?.

(c) En que instante el volumen es de 3.025 litros?.

(d) Cuando el volumen es maximo? y mnimo?.

(e) Determine el volumen maximo y mnimo.

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GUIA DERIVADAS

1. Usando la definicion de derivada calcule las siguientes derivadas dadas las funciones:

(a) f(x) =2x+ 1

(b) f(x) = x2 + 3x+ 5

(c) f(x) = 2x

2. Utilizando propiedades y reglas de derivacion, obtenga f (x)

(a) f(x) = 2ex + lnx

(b) f(x) =sinx+ cosxsinx cosx

(c) f(x) = 3 cosx+ 2 sinx

(d) f(x) =x 1

x

(e) f(x) =ex cosx1 sinx

(f) f(x) =x+ 1x 1

(g) f(x) =sinxx2

3. Utilizando regla de la cadena, encuentre y a partir de

(a) y = e3x2 x

(b) y = (2x 1)2 6 sin(5x)

(c) y =(

x3 + 5) 52

(d) y = 2 ln(cos(2x))

(e) y =1

(2x+ 1)

(f) y =x2 ln(4x)

e2x

(g) y = sin2(2x) + cos2(2x)

(h) y =ln(sin(x2 + 1))

x

4. Demuestre que

(a) y = xex2

2 , satisface la ecuacion xy (1 x2)y = 0.(b) y = x sinx, satisface la ecuacion x2y 2xy + (x2 + 2)y = 0.(c) y = xex, satisface la ecuacion xy = y xy(d) y = ex, satisface la ecuacion y + xy y = xex

5. Hallar f (pi2

), si f(x) = sin2(x cosx).

6. Demuestre que y =x2ex

2, satisface la ecuacion

d2y

dx2 2dy

dx+ y = ex

7. Sea f(x) =2x3

3+x2

2 x 1. Hallar los puntos de la grafica de f en que la pendiente de la recta

tangente en ese punto sea igual a

(a) 0. Sol: x = 12 o x = 1.(b) -1. Sol: x = 0 o x = 12 .(c) 5. Sol: x = 32 o x = 2.

8. Sea f(x) = x2 + ax+ b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la graficade f en el punto de coordenadas (2, 4).

9. Calcular el area del triangulo formado por el eje OY , la tangente y la normal a la curva y =9 x

en el punto de coordenadas (5, 2).

10. Calentamiento de un plato. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radioaumenta a razon de 0,01 cm/min. Cual es la razon de cambio del area cuando el radio mide 50 cm?

Sol: picm2/min

11. Cambio de dimensiones en un rectangulo. El lado l de un rectangulo disminuye a razon de 2 cm/s,mientras que el ancho w aumenta a razon de 2 cm/s. Cuando l = 12 cm y w = 5 cm , hallar lasrazones de cambio de:

(a) El area. Sol: 14 cm2

s .

(b) El permetro. Sol: 0.

(c) La diagonal.Sol: 1413 cmseg12. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la base

esta a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razon de 1,5 m/s.

(a) Cual es la razon de cambio del area del triangulo formado. Por la escalera, la pared y el sueloen ese instante?

(b) Cual es la razon de cambio del angulo entre la escalera y el suelo en ese instante?Sol: a) Disminuye a razon de 5.61 m2/s b) 0.986 rad/s

13. Un bloque de hielo cubico se funde de modo que su arista disminuye con regularidad 2 cm/hr, a querazon disminuye su volumen cuando su arista mide 10 cm?

Sol:600cm3

hra

14. Se introduce una poblacion de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en numero de acuerdo con la

funcion P (t) = 500(1 +

4t50 + t2

)donde t se mide en horas. Hallar a que ritmo esta creciendo la

poblacion cuando han pasado 120 minutos.

Sol: 31.55bacteriashra

15. Un punto se desplaza sobre la curva y = x3 de forma que su ordenada vara en funcion del tiempo tsegun la ley y = at3 . Hallar la velocidad de variacion de la abscisa en funcion del tiempo.

Sol:a13

16. Demuestre que si f(x) = ln(1 + x1 x

)y g(x) = f

(a+ x1 + ax

), entonces f (x) = g(x).

17. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, lapresion P y el volumen V satisfacen la ecuacion PV = c , donde c es una constante. En determinadoinstante el volumen del gas es 600 cm3, la presion es 150 KPa y crece a una razon de 20 KPa/ min.Con que velocidad disminuye el volumen en este momento?.

Sol: Disminuye a razon de 80 cm3

min

18. Se estima que dentro de t anos, la poblacion de cierta comunidad suburbana sera p(t) = 10 20(t+ 1)2

miles de personas. Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario de monoxido de carbonoen el aire sera c(p) = 0.8

p2 + p+ 139unidades cuando la poblacion sea de p miles. A que razon

porcentual cambiara el nivel de monoxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 1 ano?

Sol: 1.69 u/ano

19. Un hombre camina a razon de 4 Km por hora hacia la base de una torre de 25 mts. de altura. Conque razon se aproxima a la cima de la torre cuando esta a 20 metros de su base?

Sol: 2.49 m/hra

20. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2 + y2 3x+ 4y 31 = 0, en el punto (2, 3).Sol:y =

7x10

+225.

21. (a) La ecuacion sin(x+ y) = x sin y define implcitamente y como una funcion de x. Encuentre y

en el punto (0, 0).Sol: -1

(b) Encuentre y para y = ln(2x3) + sin(1 x) xe3x.Sol:y =

3x cos(1 x) e3x 3xe3x

22. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2y3 6 = 5y3 + x cuando x = 2 e y = 2.Sol: y = 33x

12+216

23. Hallardy

dxsi x2y + 2y3 = 3x+ 2y y evaluela en (2, 1).

24. Sea f(2) = 3; f (x) = x2 + 5; g(x) = x2 f(

xx1). Hallar g(2).

Sol: -24.

25. Verificar que la funcion y = sin(lnx) + cos(lnx) satisface la ecuacion

x2y + xy + y = 0

26. Se desea cercar un terreno rectangular de area de 10000 m2 , sabiendo que uno de sus lados ya estacubierto por un ro. Hallar las dimensiones del terreno, de manera que el costo del cercado sea mnimo.

Sol: Ancho=502; Largo=100

2

27. La reaccion a dos drogas como funcion del tiempo( medido en horas) esta dada por:

R1(t) = t et;R2(t) = t e2t2

Debido a las caractersticas de cierta enfermedad, se optara por aquella droga que tenga una reaccionmaxima mayor Que droga se debe elegir?

Sol: La droga 1.

28. Una persona tose cuando hay un objeto extrano en su traquea. La velocidad de la tos depende deltamano del objeto. Suponga que una persona tiene una traquea cuyo radio es 20 mm. Si un objetoextrano tiene un radio r( en milmetros), entonces la velocidad V ( en milmetros por segundo),necesaria para eliminar el objeto mediante la tos esta dada por:

V (r) = k(20r2 r3); 0 r 20

donde k es una constante positiva. Para que tamano del objeto se necesita la velocidad maxima conel fin de removerlo?

Sol:r = 403

29. El flujo de sangre en los vasos sanguneos es mas rapido cuando se dirige hacia el centro del vaso ymas lento hacia el exterior. La velocidad del fluido sanguneo V esta dada por:

V =p

4Lk(R2 r2)

donde R es el radio del vaso sanguneo, r es la distancia que recorre la sangre desde el centro del vaso,y p, L y k son constantes fsicas relacionadas con la presion. Cuando se excava nieve en medio delaire fro, una persona con historial medico de dificultades cardacas puede desarrollar angina (dolorde pecho) debido a la contraccion de los vasos sanguneos. Para contrarrestarlo, puede tomar unatableta de nitroglicerina, que dilata los vasos sanguneos. Suponga que despues de tomar una tabletade nitroglicerina, el radio de un vaso sanguneo se dilata a razon de 0.0025 mm/ min en un lugar enel vaso sanguneo donde el radio es R= 0.02 mm, encuentre la razon de cambio de la velocidad de lasangre.

Sol:2.5 105 p4Lkmm/min

30. Sean f, g : I R R dos funciones derivables que tienen un punto cr`tico en x0 I . Demuestre quela funcion h(x) = f(x) g(x) tiene un punto crtico en x0 .

31. Se construye un contenedor de modo que su capacidad sea de 288 pies cubicos. El contenedor tienecomo base un cuadrado y cuatro caras verticales. Si la base y la tapa del contenedor estan hechasde acero y las caras laterales de concreto. Cuales seran las dimensiones del contenedor para que elcosto de construccion sea mnimo sabiendo que el concreto tiene un costo de US 3 por pie cuadrado yel acero un costo de US 4 por pie cuadrado?

Sol: Debe ser de 6 x 6 x 8 pies

32. Para la funcion definida por f(x) = 2x3 + 3x2 12x, encuentre los valores crticos y clasifquelos enmaximos o mnimos

33. Encuentre y a partir de

y2 + y = lnx

34. (a) El siguiente lmite representa la derivada de una funcion f en un punto x

limh0

2(x+ h)2 2x2h

Deduzca f(x).

(b) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la curva y = ax2, con a R, en el punto cuandox = 1.

35. La cosecha de una explotacion agrcola de maz Y en funcion del nivel de nitrogeno N en el suelo, sepuede modelar como

Y (N) =N

1 +N2con N 0

Calcule el nivel de nitrogeno que maximiza la cosecha.

36. Sea f(x) = (x 2)2 + 3, con R. Encuentre el valor de tal que f (1) = 237. Verifique si la funcion y = x e3x, satisface la ecuacion

y y 6xe3x = 0

38. Un artculo en una revista de sociologa afirma que si ahora se iniciase un programa especfico deservicios de salud, entonces al cabo de t anos, N miles de personas adultas recibira beneficiosdirectos, donde

N =t3

3 6t2 + 32t; 0 t 8

Para que valor de t es maximo el numero de beneficiarios?

39. En Nueva Escocia se llevo a cabo un estudio de la polilla de invierno. Las larvas de la polilla caen alpie de los arboles huespedes a una distancia de x pies de la base del arbol. La densidad de larvasD ( numero de larvas por pie cuadrado de suelo ), viene dada por:

D = 59.3 1.5x+ 0.5x2; 1 x 9

(a) Con que rapidez cambia la densidad de larvas con respecto a la distancia cuando estas estan a6 pies de la base del arbol?

(b) A que distancia de la base del arbol la densidad de larvas decrece a razon de 6 larvas por piecuadrado por pie?

40. Suponga que t semanas despues del brote de una epidemia,

f(t) =2000

1 + 3e0.8t

personas la adquieren.

Cual es la razon de cambio del crecimiento de f al finalizar la semana 1?

41. Dada la funcion f(x) = x3 3x2 x+ 1

(a) Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto cuando x = 3.

(b) Si g(x) = sinx, calcule (f o g).

42. Encuentre la ecuacion de la recta tangente y normal a la curva y = x34x+1, en el punto cuando x = 1.

43. Cuando la basura organica se vaca en un estanque, el proceso de oxidacion que se lleva a cabo reduceel contenido en el estanque; sin embargo, despues de cierto tiempo, la naturaleza regresa el contenidode oxgeno a su nivel natural. Supongase que el porcentaje de contenido de oxgeno t das despues detirar la basura organica en el estanque esta dado por

P (t) = 100 [t2 + 10t+ 100t2 + 20t+ 100

]con respecto de su nivel normal. Que tan rapido cambia el contenido de oxgeno en el estanque 20das despues de vaciar la basura organica?

44. La fuerza R de reaccion del cuerpo humano a una dosis D de cierto medicamento esta dada por

R(D) = D2 (k

2 D

3

)donde k es una constante positiva. Demuestre que la maxima reaccion se alcanza cuando la dosis es kunidades.

45. Si se sabe que y es una funcion implcita de x, encuentre y en

e4y ln y = 2x46. Si s(t) = t414t3+60t2, es la posicion de un movil(en metros) en el instante t (en segundos), encuentre

la velocidad del movil cuando su aceleracion sea igual a cero.

Ind: Si s(t) es la posicion del movil, entonces s(t) es la velocidad y s(t) es la aceleracion.

47. El porcentaje de alcohol en el flujo sanguneo de una persona, t horas despues de beber cierta cantidadde whisky esta dado por

P (t) = 0.23 t e0.4t

Que tan rapido aumenta el porcentaje de alcohol en el flujo sanguneo de una persona despues de 12hora?

48. Sea f definida por: f(x) = (b a) (x3

6 x

2

2

); a 6= b, con a, b R.

Deduzca la condicion que deben cumplir a y b para que x = 2 sea maximo relativo de f .

49. Calcular el siguiente lmite

limx0+

(cosx)1/x

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GUIA LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Sea f(x) = sen (x)x complete la siguiente tabla:

X 1 0.1 0.01 0.001 0 -0.001 -0.01 -0.1 -1f(x)

De acuerdo con la tabla es posible que exista el limx0 f(x) ?De ser as, de un valor

estimado.

2. Confeccione una tabla de valores que le permita estimar los lmites de las siguientesfunciones:

(a) f(x) = x2x2x2 cuando x tiende a 2

(b) f(x) =x+33

x cuando x tiende a 0

(c) g(x) =

{x2 + 2 x 6= 11 x = 1

3. Dado que limx f(x) = 0 y limx g(x) = 1 Analizar:

(a) limx[f(x) + g(x)] b) limx

[f(x)g(x)

]c) lim

x[g(x)f(x)

]d) lim

x [f(x) g(x)]

4. La funcion f(x) = [x] se define como el entero mas grande que es menor o igual a x.Por ejemplo:

[ 3.4 ]= 3, [ 0.2 ]= 0, [ -0.5 ]= -1, [ -4.3 ]= -5. Evalue los siguientes lmites:

a) limx3+

[x] , limx3

[x] , limx3.6 [x].

(a) b) Si n es un entero, evalue limxn+

[x] , limxn

[x]

i. c) Para cuales valores de a existe limxa [x]?

5. Sea f(

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