Budapesti Corvinus EgyetemMTA Szmtstechnikai s Automatizlsi Kutat Intzetbe kihelyezett

Gazdasgi Dntsek Tanszk

Rapcsk Tams

Tbbszempont dntsiproblmk

Egyetemi oktatshoz segdanyag

2007.

Tartalomjegyzk

I. TBBSZEMPONT DNTSI MDSZEREK 4

I.1. Tbbszempont dntsi problmk modellezse 4I.1.1. Polano mdszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.1.2. Szubjektv rtkelsek szmszerstse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.1.3. Dominancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.1.4. MaxMin s MaxMax szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.1.5. Szrsi mdszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.1.6. A szempontok slyozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.1.7. Lexikografikus rendezs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.1.8. A dntsi modellezs lpsei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

I.2. Analytic Hierarchy Process (AHP) 20I.2.1. Pros sszehasonlts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I.2.1.1. Pros sszehasonlts mtrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.2.1.2. Sajtvektor mdszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.2.2. Tvolsgminimalizl mdszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.2.3. Disztributv AHP modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.2.4. Idelis AHP modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.2.5. Minst AHP modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.2.6. Rangsorforduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.2.7. Plda hibs sszegzsre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.2.8. A slyozs s az rtkelsek sszegzse fa struktra esetn . . . . . . . 34I.2.9. rzkenysgvizsglat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.2.10. Csoportos dntsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42I.2.11. Dntsi problmk reprezentcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42I.2.12. Expert Choice szoftvertechnolgia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43I.2.13. Erforrs sztosztsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43I.2.14. Plda optimalizlsi problmbl szrmaz dntsi feladatra . . . . . . 44

Irodalomjegyzk 47

I.3. A PROMETHEE mdszerek 49I.3.1. A PROMETHEE dntsi modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49I.3.2. A szempontok slyozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52I.3.3. Preferencia relcik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52I.3.4. ltalnostott szempontok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.3.5. Dntsi folyamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59I.3.6. PROMETHEE I rszleges rangsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63I.3.7. PROMETHEE II teljes rangsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I.3.8. PROMETHEE V: dnts knyerfelttelek mellett . . . . . . . . . . . . . 66

2

I.4. A GAIA vizualizlsi mdszer 67I.4.1. A nett dntsi folyam dekompozcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67I.4.2. Az alternatvk brzolsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68I.4.3. A szempontok brzolsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69I.4.4. A slyrendszer brzolsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70I.4.5. Az alternatvk s szempontok reprezentciinak kapcsolata . . . . . . . 70I.4.6. GAIA rzkenysgvizsglat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Irodalomjegyzk 76

I.5. Egyszer s abszolt tbbsgi szavazs 77I.5.1. Az egyszer s abszolt tbbsgi szavazs jellemzse . . . . . . . . . . . 78I.5.2. Szavazsi paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81I.5.3. Szavazsi mdszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Irodalomjegyzk 84

I.6. Egyni dntsi modellek 85I.6.1. Dntsi elv vlasztsa adott dntsi mtrix esetn . . . . . . . . . . . . 85I.6.2. rzkenysgvizsglat adott dntsi mtrix esetn . . . . . . . . . . . . . 92I.6.3. Inverz rzkenysgvizsglat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

I.7. Csoportos dntsi modellek 99I.7.1. Tbbszempont, csoportos dntsi problma megfogalmazsa . . . . . . 99I.7.2. Csoportos dntshozatal pros sszehasonlts mtrixok esetn . . . . . 100I.7.3. Csoportos dntsi feladat megoldsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102I.7.4. Dntsi modellek szempontfval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

I.7.4.1. Egyni dntsi modellek szempontfval . . . . . . . . . . . . . . . 105I.7.4.2. Csoportos dntsi modellek szempontfval . . . . . . . . . . . . . 106

Irodalomjegyzk 108

sszestett irodalomjegyzk 109

3

I. TBBSZEMPONT DNTSI MDSZEREK

I.1. Tbbszempont dntsi problmk modellezse

Az egyni, csoportos s trsadalmi dntsek mr az korban is nagymrtkben befo-lysoltk a trsadalom fejldst, napjainkban azonban meghatroz jelentsgv vl-tak. A dnts szt most a leghtkznapibb rtelemben hasznljuk, azaz egyni dntsalatt pl. munkahely-vltoztatst vagy vendgl-vlasztst; csoportos dnts alatt pl. vl-lalati stratgia kialaktst, kutatsi tervek rtkelst vagy nukleris hulladk leraksraalkalmas helyszn kivlasztst; trsadalmi dnts alatt pl. parlamenti vlasztsokat r-tnk.

Jllehet, a dntsi problmk a trtnelem folyamn mindig is fontosnak bizonyul-tak, hiszen a dntsek komoly kvetkezmnyekkel jrtak, s ezrt mr az korban valdiigny mutatkozott a megoldsukra (pl. Delphoi jslatok)1, de csak az informcitechno-lgiban az utbbi vekben vgbement risi fejlds tette lehetv ennek a terletnekaz intenzv kutatst s a felhasznli ignyeket kielgt szoftverrendszerek fejlesztst.Mindssze nhny ve lehetsges nagy komplexits rendszerek megvalstsa szmtg-peken, amiket esetenknt tbb szz vnyi fejleszti munkt tartalmaz szoftverrendszerektmogatnak.

Manapsg a trsadalom s a gazdasg magasabb hierarchikus szintjein jelentkezdntsi feladatok felletes vizsglata komoly krokat okozhat (pl. a felsoktatsi s atrsadalombiztostsi rendszer nem kellen tgondolt megvltoztatsa). Ugyanakkor azutbbi idben kialakult

adat-szoftver-hardver 70 20 10

viszony kiemelt jelentsget biztost a meglv adatok minl jobb hasznostsnak. Amai alkalmazi igny olyan intelligens szoftverrendszer, amely lehetv teszi knnyenkezelhet, felhasznlbart adatbzisok ptst, lekrdezst, mdostst; az adatok saz eredmnyek szemlletes megjelentst; a meglv informcikbl a felhasznl ltalvlasztott, meghatrozott eljrsok segtsgvel j adatok, informcik generlst. Azilyen tpus informci feldolgozs krbe tartoznak a dntsi folyamatokat tmogatrendszerek is.

A dntsi problmk nagyon klnbzek lehetnek s a megoldsuk ltalban nehzfeladat. A tovbbiakban a tbbszempont dntsi problmkkal foglalkozunk, ezen fel-adatosztly legfontosabb strukturlis tulajdonsgaival, megoldhatsgval, megold al-goritmusaival s nhny dntstmogat szoftverrel. Ezeket a problmkat nem knnykezelni, mivel nincs egysgesen elfogadott megold algoritmus a klnbz objektv sszubjektv szempontok szerinti rtkelsre s az rtkelsek sszestsre (aggreglsra).

1A dntsi problmk mr az korban foglalkoztattk az embereket. Trtnelmi tanulmnyainkblismerjk, hogy az i.e.VIII. i.e. IV. szzad kztt Delphoi-ban, Apolln papnjtl uralkodk s hadve-zrek krtek tancsot egy-egy fontos dntsk eltt. Az egyik hres eset kb. 2500 vvel ezeltt trtnt,mikor Krzus ld kirly Krosz perzsa uralkod elleni hadjrata eltt a kvetkez vlaszt kapta:Ha birodalma hatrfolyjt, a Haliszt tlpi, nagy birodalom dl meg. Tudjuk, hogy a jslat bevlts a virgz ld birodalom i.e. 546-ban sszeomlott.

4

A dntsi feladatok egyik jellegzetessge, hogy az rtkelsi szempontok ltalban lnye-gesen klnbz karakterek s gyakran megtrtnik, hogy a szempontok kztt egy-msnak ellentmondk, vagy rszben ellentmondk is vannak, pl. a legjobb helyen lev,leghangulatosabb vendgl a legdrgbb. jabb nehzsget jelent a szubjektv szempon-tok kezelse s az, hogy a dntsi problmk megoldsakor az egsz dntsi folyamatotkell tmogatni.

Fontos krds az alkalmazott szoftvertechnolgia, illetve a dntsi feladat megoldsasorn az eredmnyek bemutatsa s rtelmezse az alkalmazi krben. Ez utbbival kap-csolatban megllapthat, hogy lnyegesen nagyobb feladatokat lehet megoldani, mintmegrteni. Optimalizlselmletben, ami a dntsi rendszerek egyik gnak is tekint-het, pl. 800 000 vltozs s 200 000 feltteles vegyes egszrtk feladatokat oldottakmeg egy alkalmazsi munka sorn (Bell et al., Interfaces 13 (1983) 4-23). E feladat meg-oldsnak az ttekintse s megrtse sem knny, ami altmasztja azt, hogy nagyobbhangslyt kell fektetni az alkalmazsok sorn az eredmnyek szemlletes megjelent-sre. (Az ORSA Journal on Computing az 1994. vi 9. szmt teljes egszben aVisualization and optimization tmakrnek szentelte, Jones pedig monogrfit jelente-tett meg ugyanilyen cm alatt 1996-ban.)

Tekintsk a kvetkez dntsi problmt!

Fagylaltbolt helynek meghatrozsa

Egy fagylaltzletlnc j zletnek a helyt kell meghatrozni egy kzepes mret v-rosban. A vllalatvezets az zleti szempontbl legjobb helyet akarja kivlasztani; ez lesza cl a dntsi modellben. A vezetket az zlet lthatsga, a krnyken lv konku-rens fagylaltboltok szma, az arra jrk (mint lehetsges vsrlk) szmban kifejezettforgalom mrtke s a helybrleti dj nagysga rdekli. Ezek lesznek a szempontok.Megjegyezzk, hogy a dntsi modell ptsekor figyelni kell arra, hogy a dntshoz(ka)tnem szabad tlsgosan sok szempont egyidej figyelembevtelvel terhelni.

Pldnkban az elzetes vizsglat alapjn 3 hely jn szmtsba: egy stlutca soktizenvessel s nyugdjassal, akik kzismerten fagylaltkedvelk, de a brleti dj itt nagyonmagas; egy belvrosi ft, ami sokkal kevsb drga, de a jrkelk zmt a hivatalnokokteszik ki, akik a htvgeken s estnknt nincsenek ott; egy forgalmasabb klvrosi kz-pont, ahol a konkurencia kemny. Ezek lesznek az alternatvk. A dntsi feladatokrajellemz, hogy mindegyik alternatvnak lehet j s rossz oldala, valamint a szempontokkztt lehet mennyisgi (brleti dj) s nem szmszersthet (lthatsg) egyarnt.

Az ltalunk vizsglt dntsi szituciban egy vagy tbb dntshoz rtkel vges-sok szempont alapjn, ugyancsak vges szm alternatvt. Jellje a tovbbiakban azalternatvkat A1, ..., An, a szempontokat pedig C1, ..., Cm. Nzzk meg, hogyan lehet adntsi problmkat strukturlni!

Az j fagylaltoz helynek kivlasztsakor a 3 alternatva a kvetkez:

A1: egy stlutca sok tizenvessel s nyugdjassal, akik kzismerten fagylaltkedve-lk, de a brleti dj itt nagyon magas;

5

A2: egy belvrosi ft, ami sokkal kevsb drga, de a jrkelk zmt a hivatalnokokteszik ki, akik a htvgeken s estnknt nincsenek ott;

A3: egy forgalmasabb klvrosi kzpont, ahol a konkurencia kemny.

A dntsi szempontok a kvetkezk:

C1: a krnyken lv konkurens fagylaltboltok szma;C2: az arra jrk (mint lehetsges vsrlk) szmban kifejezett forgalom mrtke;C3: a helybrleti dj nagysga;C4: az zlet lthatsga.

Ebben a dntsi feladatban a cl a legjobb alternatva meghatrozsa. Tegyk fel,hogy csak egy dntshoz rtkel. A C1, C2 s C3 szempontok objektvek, mivel a C1 sC3 szempontokhoz tartoz rtkek megadhatk, a C2 rtke pedig a jrkelk szmll-sval megbecslhet. A C4 szempont szubjektv, mivel az rtke a dntshoz szubjektvrtkelstl fgg, s minsget mr.

Ehhez a dntsi feladathoz hozzrendelhetjk az albbi dntsi tblzatot:

Fagylaltbolt helynek meghatrozsa

A1 A2 A3

C1 a11 a12 a13C2 a21 a22 a23C3 a31 a32 a33C4

I.1.1. Tblzat

A dntsi tblzat els hrom sorban az aij, i, j = 1, 2, 3, elemek az i-edik alter-natvhoz s a j-edik objektv szemponthoz rendelhet szmrtkeket jelentik. A dntsitblzat negyedik sornak kitltsekor viszont a dntshoz pl. a kvetkez szubjektvrtkelsek kzl vlaszthat:

nagyon jl lthat;kzepesen jl lthat;

rosszul lthat.

Megjegyezzk, hogy a dntsi problmbl nem kvetkezik, hogy a dntshoz csakhrom szubjektv tlet kzl vlaszthat. Tovbbra is krds viszont, hogyan lehet ssze-gezni az objektv s szubjektv rtkelseket, figyelembe vve, hogy a szubjektv tleteknehezen szmszersthetk.

A dntsi tblzat rtkei gyakran klnbz sklkhoz tartoznak (pl. az objektv sa szubjektv rtkelsek). A leggyakoribb rtksklk a kvetkezk:

nvleges;rangsor;

intervallum;arnyossgi (hnyados).

6

Nvleges rtk pl. az aut slya, a hz ra stb.; rangsorbeli rtk pl. a legjobb fut,a legolcsbb hz stb.; intervallum rtkek pl. az iskolai osztlyzatok: 1, 2, 3, 4, 5;hnyadosskln megadott rtkek pl. egy szerellncnl autbusz/nap. Itt jegyezzkmeg, hogy az intervallumskla s az arnyossgi skla kztt a legnagyobb klnbsgaz, hogy az intervallumsklnak nincs nulla pontja, mg az arnyossgi sklnak van.Az I.1.1., I.1.2. s I.1.3. brk mutatjk, hogy mit jelent ez gyakorlati pldk esetn.jabb nehzsget jelent a dntsi feladat megoldsa sorn, ha klnbz dimenzijfizikai mennyisgek szerepelnek a szempontok kztt.

Megjegyezzk, hogy a tbbszempont dntsi feladatok a clokban is klnbzhetnek.A megoldand problma lehet:

a legjobb alternatva kivlasztsa;a nhny legjobb alternatva kivlasztsa;az alternatvk rangsornak meghatrozsa;

az alternatvkhoz rendelhet nvleges rtkek meghatrozsa;olyan alternatvahalmaz kivlasztsa, amely optimlis a cl szempontjbl.

Ez utbbi kettre plda az erforrsok sztosztsa, illetve plyzatok kivlasztsa korl-tozott tmogatsi sszeg mellett.Nzznk meg most egy jabb problmt!

A dntsi feladat sznes televzi vlasztsa, ahol a szba jv, elzetes szrs utnmaradt tpusok, azaz az alternatvk A1, A2, ..., A5. Az rtkelsi szempontok a kvet-kezk:

C1: sznhsg;C2: teletext vteli lehetsg;C3: r;C4: megbzhatsgi mutatk;C5: alkatrszptlsi lehetsg;C6: eszttikai szempontok.

7

INTERVALLUM SKLA

AZ USA-BAN ELADOTT USA GYRTMNY AUTK,SZZALKOS ARNYBAN

I.1.1. bra

8

INTERVALLUM SKLA

HMRSKLET FAHRENHEIT S CELSIUS FOKBAN MEGADVA

I.1.2. bra

9

ARNYOSSGI SKLA

AZ USA-BAN ELADOTT USA GYRTMNY AUTK,SZZALKOS ARNYBAN

I.1.3. bra

10

A dntsi feladat megoldsa sorn fel kell hasznlni a rendelkezsre ll adatokat,informcikat s meg kell ismerni a dntshoz preferenciit, azaz ki kell tlteni a dntsitblzatot. Legyen a feladat kitlttt dntsi tblzata a kvetkez:

Sznes televzi vlasztsa

A1 A2 A3 A4 A5Sznhsg gyenge j kzepes kzepes kivlTeletext nem pt-

het benem pt-het be

beptett beptett bepthet

r 32.000 Ft 38.000 Ft 42.000 Ft 46.000 Ft 52.000 FtMegbzhatsg kzepes kzepes gyenge megbzhat megbzhatAlkatrszptls biztostott biztostott biztostott biztostott nem bizto-

stottEszttika j kzepes kzepes j j

I.1.2. Tblzat

Prbljuk meg kiolvasni a megoldst a dntsi tblzatbl egyszer dntsi elvek alkal-mazsval!

I.1.1. Polano mdszer

A dntsi tblzatban szerepl minden szempontnl hatrozzuk meg, hogy mely r-tkelseket tartjuk jnak, kzepesnek, illetve rossznak. Ksztsnk egy jabb dntsitblzatot, amelynek a cmsora s a cmoszlopa a I.1.2. Tblzathoz hasonlan az al-ternatvkat s a szempontokat tartalmazza; azonban az rtkelsek helyn bercsozottngyzet ll, ha jnak minstettk az alternatvt az adott szempont szerint; fgglege-sen vonalkzott ngyzet, ha kzepesnek; s res ngyzet, ha rossznak. Az gy kirtkelttblzat a kvetkez:

Segdtblzat a sznes televzi vlasztshoz

I.1.3. Tblzat

11

A segdtblzat alapjn az A4 alternatva tnik optimlisnak.

A mdszer elnyei:

1. az eljrs egyszer, ttekinthet, knnyen kezelhet, ezrt nem szksges szm-tstechnikai httr;

2. akrmilyen sklzs adatok mellett knnyen alkalmazhat;

3. a szempontok egyms kztti kapcsolatait nem kell figyelembe venni;

4. egyszersge s kzrthetsge miatt a dntsek indokolsnl jl hasznosthat;

5. a dntselkszts torzt hatst cskkenti;

6. megtartja a tbbszempontsgot.

A mdszer htrnyai:

1. nem mutatja meg a szempontonknti rtkelsek sszevetsnek a mdjt, ezrt avgs dntshez nem ad tl nagy segtsget;

2. az eljrs kzvetlenl nem alkalmas a legjobb alternatva kivlasztsra;

3. nem alkalmas az alternatvk sorrendjnek a fellltsra;

4. nem alkalmas az erforrsok sztosztsra;

5. nem alkalmas annak feltrsra, hogy a dnts mennyire rzkeny az egyes szem-pontok vagy rtkelsek megvltozsra;

6. nem kpes az egyes szempontok fontossgnak (slynak) figyelembevtelre.

I.1.2. Szubjektv rtkelsek szmszerstse

Lttuk a fagylaltbolt helynek meghatrozsnl s a sznes televzi vlasztsakoris, hogy a dntsi tblzatok tartalmaznak szubjektv rtkelseket, s ha a dntsifeladatokat meg akarjuk oldani, akkor ezeket az rtkelseket szmszersteni kell.

Vezessk be a kvetkez sklt:

1: nagyon gyenge; nem pthet be; nem biztostott;

3: gyenge;

5: kzepes; tlagos; bepthet;

7: j;

9: kivl; beptett; megbzhat; biztostott.

12

Ezeket az rtkeket a sznes televzi vlasztsakor felhasznlva az albbi dntsitblzatot kapjuk:

Sznes televzi vlasztsa

A1 A2 A3 A4 A5Sznhsg 3 7 5 5 9Teletext 1 1 9 9 5r 32.000 Ft 38.000 Ft 42.000 Ft 46.000 Ft 52.000 FtMegbzhatsg 5 5 3 9 9Alkatrszptls 9 9 9 9 1Eszttika 7 5 5 7 7

I.1.4. Tblzat

A kapott dntsi tblzatban mr minden rtkelst szmokkal fejeznk ki, amikazonban nem tekinthetk homognnek, ezrt a dntsi tblzatban szerepl rtkekettranszformljuk 0 s 1 kz. Az egyik lehetsges transzformci a tblzat soraibanszerepl rtkek felhasznlsval trtn normls, ami azt jelenti, hogy ttrnk egyarnyossgi sklra, ahol a maximum rtk 1, s ezt az rtket az adott szempont szerintilegjobb alternatva kapja (esetleg alternatvk kapjk), a tbbi pedig arnyosan kisebblesz, de 0-nl nem kisebb.

Kplettel megadva:

bij =

aijmaxj

aij, ha az i - edik szempont szerint a nagyobb rtk a jobb;

minj

aij

aij, ha az i - edik szempont szerint a kisebb rtk a jobb, s min

jaij 6= 0;

1

aij + 1, ha az i - edik szempont szerint a kisebb rtk a jobb, s min

jaij = 0;

brmely i = 1, ...,m; j = 1, ..., n, indexpr esetn. gy az albbi tblzatot kapjuk (ahola jel mutatja, hogy az adott szempont szerint a nagyobb rtk a jobb; s ajel, hogy az adott szempont szerint a kisebb rtk a jobb).

Sznes televzi vlasztsa

A1 A2 A3 A4 A5Sznhsg 3/9 7/9 5/9 5/9 1Teletext 1/9 1/9 1 1 5/9r 1 16/19 16/21 16/23 16/26Megbzhatsg 5/9 5/9 3/9 1 1Alkatrszptls 1 1 1 1 1/9Eszttika 1 5/7 5/7 1 1

.

I.1.5. Tblzat

13

I.1.3. Dominancia

Ha az alternatvk szmszer rtkelse utn van olyan alternatva, aminek az rtkelseminden szempont szerint alatta marad egy msiknak, esetleg egyes szempontok szerintaz rtkelsek megegyeznek, akkor azt mondjuk, hogy a gyengbb rtkelst kapott al-ternatva dominlt.

Amennyiben a szempontok fggetlennek tekinthetk, akkor a dntshoz nem tl-het racionlisnak, ha egy dominlt alternatvt vlasztana legjobbnak, ezrt ezeket azalternatvkat figyelmen kvl lehet hagyni a tovbbi vizsglatok sorn. A nem domi-nlt alternatvkat nevezzk efficiens vagy Pareto-optimlis megoldsoknak. Mivel aPareto-optimalits vizsglata nem vezet teljes rendezshez az alternatvk kztt, ezrtvan szksg tbbszempont dntsi mdszerek kidolgozsra.

Legyen A1 s A2 kt alternatva, amiket a C1 s C2 szempontok szerint kell kirtkelni,s tegyk fel, hogy az rtkelseknl mind a kt esetben a nagyobb rtkek a jobbak.Tekintsnk t klnbz rtkelst, amiket az albbi tblzat tartalmaz.

1. Plda 2. Plda 3. Plda 4. Plda 5. PldaC1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2

A1 100 100 100 20 100 99 100 99 100 100A2 30 20 30 100 20 100 99 100 99 99

I.1.6. Tblzat

Az 1. Pldban az A1 alternatva az egyedli efficiens megolds, ami egyben a javasoltdntst is jelenti. A 2. Pldban az A1 s az A2 alternatva is efficiens, egyik sem jobbmind a kt szempont szerint a msiknl. Tovbbi informcik nlkl, csupn matemati-kai eszkzk felhasznlsval nem lehet a kt alternatva kzl a jobbat kivlasztani. A3. Pldban az A1 alternatva jobbnak tnik mint a msodik. A 4. s 5. Plda kt egy-mshoz kzeli rtkelst mutat.

I.1.4. MaxMin s MaxMax szably

Ha a dntshoz pesszimista, akkor mindegyik alternatva esetn a legrosszabb rtkettekintheti a gyenge lncszemnek, s mivel a legjobb dntst szeretn meghozni, ezrtaz alternatvk leggyengbb rtkei kzl a legnagyobb rtkkel rendelkez alternatvtrszesti elnyben.

Vlasszuk ki ezrt az I.1.5. Tblzat minden oszlopbl a minimlis rtket, majdezek kzl a maximlisakat! (Az oszlopokban lev minimlis rtkek vastagon vannakszedve). E szably szerint azt kapjuk, hogy az A4 alternatva a legjobb.

Mg a pesszimista dntshoz csak a legrosszabb rtkekre figyel s azok alapjn hozzameg dntst, addig az optimista dntshoz csak a legjobb rtkeket veszi figyelembe.gy tekinti, hogy az alternatvkat a legjobb rtkek kpviselik megfelelen, teht azokkzl kell a legjobbat vlasztania.

Ha az I.1.5.Tblzat minden oszlopbl kivlasztjuk a maximlis elemet, majd ezekkzl ismt a maximlisat, akkor nem szrnk ki egyetlen alternatvt sem, azaz mindenalternatvt kivlasztunk.

14

I.1.5. Szrsi mdszerek

A most kvetkez rszben egy jabb, egyszer s termszetes mdszert prblunk kia televzivlaszts-problma megoldsra. Itt gy vlogatunk az alternatvk kztt,hogy a kivlasztottaknak valamilyen minimumkvetelmnyeknek, illetve valamilyen fel-tteleknek kell eleget tennik, vagy valamilyen szempontbl kivl tulajdonsgokkal kellrendelkeznik. Ez a mdszer - egyszersge miatt - akrmilyen skln rtelmezett ada-tokat tud kezelni. Hrom klnbz vltozatot mutatunk be, amelyekben az a kzs,hogy az els lps a dntsi tblzat sszelltsa. Nzzk meg, hogyan mkdnek ezekaz eljrsok a televzi vlasztsa esetben!

I. vltozat:

Ezt a szrsi eljrst lehet alkalmazni pldul egy fontos pozci betltsre kirtplyzatnl, amikor nem engedhet meg, hogy brmely szempont szerint megbukjon ajellt.

Ezrt minden rtkelsi szemponthoz megadunk szksges feltteleket, majd azo-kat az alternatvkat fogadjuk el, amelyek minden szempont esetn teljestik ezeket. gyaz alternatvkat kt csoportra osztjuk, a j s a rossz alternatvkra.

A szksges felttelek:

C1 : sznhsg: legalbb kzepes legyen;

C2 : teletext: bepthet vagy beptett legyen;

C3 : r: legfeljebb 50.000 Ft legyen;

C4 : megbzhatsg: legalbb kzepesen megbzhat legyen;

C5 : alkatrszptls: biztostott legyen;

C6 : eszttika: legalbb kzepes legyen.

Ha vgignzzk az alternatvkat, akkor az

A1 alternatva a C1 s C2 szksges feltteleket nem teljesti;

A2 alternatva a C2 szksges felttelt nem teljesti;

A3 alternatva a C4 szksges felttelt nem teljesti;

A4 alternatva minden felttelt teljest;

A5 alternatva a C3 s C5 szksges feltteleket nem teljesti.

gy a j alternatvk csoportjba csak az A4 tartozik, a msikba pedig az A1, A2 A3s az A5.

II. vltozat:

Vannak olyan dntsi problmk, amelyek megoldsa sorn nem azokat az alterna-tvkat tekintjk jnak, amik megbzhatak minden szempont szerint, azaz mindenszempont szerint jobb rtkelst kapnak, mint egy adott kszbrtk, hanem meghat-rozan fontos szempontok szerint az egyedi kivlsgot keressk. A valamilyen szempontszerint kiemelkedket jutalmaz szrs az albbi mdon vgezhet el.

15

Kivlasztott rtkelsi szempontokhoz vagy minden rtkelsi szemponthoz mega-dunk elegend feltteleket, majd azokat az alternatvkat fogadjuk el jnak, amelyeklegalbb egy szempont esetn teljestik az elgsges felttelt. gy az alternatvkat ktcsoportba osztjuk, a j s a rossz alternatvkra.

Az elgsges felttelek:

C1 : sznhsg: kivl legyen;

C2 : teletext: beptett legyen;

C3 : r: 30.000 Ft alatt legyen;

C4 : megbzhatsg: megbzhat legyen;

C5 : alkatrszptls: - (ezt most nem tekintjk szrsi szempontnak);

C6 : eszttika: kivl legyen.

Vgignzve az alternatvkat azt kapjuk, hogy az

A1 alternatva egyetlen elgsges felttelt sem teljest;

A2 alternatva egyetlen elgsges felttelt sem teljest;

A3 alternatva a C2 elgsges felttelt teljesti;

A4 alternatva a C2 s C4 elgsges feltteleket teljesti;

A5 alternatva a C1,C2 s C4 elgsges feltteleket teljesti.

gy a j alternatvk csoportjba A3, A4 s A5 tartozik, a msikba pedigA1 s A2.

III. vltozat:

Minden rtkelsi szemponthoz megadunk egy felttelt, majd sszeszmoljuk, hogyaz egyes alternatvk hny szempont esetn felelnek meg a feltteleknek. gy az alterna-tvkat legfeljebb (m+ 1) osztlyba soroljuk, ahol m az rtkelsi szempontok szma.

A felttelek a kvetkezk:C1 : sznhsg: legalbb j legyen;

C2 : teletext: bepthet vagy beptett legyen;

C3 : r: legfeljebb 40.000 Ft legyen;

C4 : megbzhatsg: legalbb kzepesen megbzhat legyen;

C5 : alkatrszptls: biztostott legyen;

C6 : eszttika: legalbb j legyen.

Ezeknek a feltteleknek a teljeslst, illetve nem teljeslst mutatja a I.1.6. Tbl-zat. A Ci, i = 1, ...,m, sorok s az Aj, j = 1, ...n, oszlopok metszspontjban 1 ll, ha azAj alternatva teljesti a Ci rtkelsi szempontnl adott felttelt, egybknt 0. Pldulaz A3 alternatva rtkelse a C2 szempontnl beptett, teht teljesti a felttelt, ezrt

16

a 2. sor 3. eleme 1. Az utols sorban az oszlopelemek sszege ll, azaz az alternatvaUj, j = 1, ..., n, jsgi mutatja. Az A3 bizonyult a legkevsb jnak, mert U3 = 2, atbbi esetben pedig Uj = 4, j = 1, 2, 4, 5.

rdekessg, hogy az A3 a II. vltozat szerint megelzi A1-et s A2-t, a III. vltozatszerint pedig nem.

A szrs III. vltozat tblzata

A1 A2 A3 A4 A5

C1 0 1 0 0 1

C2 0 0 1 1 1

C3 1 1 0 0 0

C4 1 1 0 1 1

C5 1 1 1 1 0

C6 1 0 0 1 1

U 4 4 2 4 4

I.1.7. Tblzat

A mdszer elnyei:

1. mindhrom vltozat egyszer, gyorsan ttekinthet, knnyen kezelhet s szm-tgpes httr nem szksges;

2. tetszleges skln rtelmezett adatokra alkalmazhat;

3. az eljrsokkal nagyszm alternatva is kirtkelhet, ezrt felhasznlhatk olyandntsi mdszerekben, amelyek csak kevs alternatva esetn hatkonyak;

4. az eljrsok gyorsak, s az I. s a II. vltozat esetn mg tovbb egyszersthe-tk, mert nem kell minden alternatvt az sszes szempont szerint rtkelni. (AzI. vltozatban pl., ha tallunk olyan rtkelsi szempontot, amelyet a vizsglt al-ternatva nem teljest, akkor azt az alternatvt a tovbbiakban nem kell vizsglni.)

A mdszer htrnyai:

1. a szempontokat nem kezeli egytt, ezrt nem veszi figyelembe, hogy az egyes szem-pontok szerinti htrnyokat ms szempontok szerinti elnyk kiegyenlthetik;

2. nem adja meg az alternatvk sorrendjt;

3. a rendelkezsre ll informcik nagyobb rszt nem hasznlja fel, mert mindenrtkelsi szempontnl csak az adott felttel teljeslst vizsglja, a teljests mi-nsgt s mrtkt nem;

4. a szubjektv feltteleknek tlsgosan nagy jelentsge lehet.

17

I.1.6. A szempontok slyozsa

Mind a fagylaltbolt helynek a meghatrozsakor, mind pedig a sznes televzi ki-vlasztsakor lthat, hogy a szempontok fontossga kztt nagy klnbsg lehet, pl. ahelybrleti dj nagysga lnyegesen fontosabbnak tnik, mint az zlet lthatsga, vagy atelevzis pldban az r sokkal fontosabb szempont, mint a teletext. Ezrt a tbbszem-pont dntsi feladatok megoldsakor az egyik lnyeges elem az rtkelsi szempontokfontossg szerinti sorbarendezse vagy fontossg szerinti slyozsa. A szem-pontok slyainak konzisztens meghatrozsa az egyik legnehezebb feladat. A slyozsegyik elnye, hogy hasznlata esetn nem csak a legjobb alternatva hatrozhat meg,hanem az alternatvk rangsora is. Kevsb hatkony mdszerek nyerhetk akkor, hacsak a szempontok fontossgi sorrendjt adjuk meg.

I.1.7. Lexikografikus rendezs

A most kvetkez rszben egyszer mdszert mutatunk be, amiben szerepel a szem-pontok fontossg szerinti sorrendje is, s az alternatvkat sorba rendezi. Az itt trgyaltakkzl ez az egyetlen eljrs, aminl nem szksges a dntsi tblzat teljes kitltse. Amdszer brmilyen skln rtelmezett adatokat kpes kezelni.

A lexikografikus rendezs sorn elszr meghatrozzuk az sszes rtkelsi szempon-tot, majd fontossg szerint sorba rendezzk ket, s a legfontosabbnak tartott szempontszerint sorba rendezzk az alternatvkat is. Ha a legfontosabbnak tartott szempont sze-rint kt vagy tbb alternatva ugyanazt az rtkelst kapta, akkor a fontossgi sorrendbenkvetkez rtkelsi szempont szerinti rtkelst kell figyelembe venni. Ha ez sem dnt,akkor annak a szempontnak a figyelembevtelig kell folytatni az eljrst, ahol mr aholtverseny eldl.

Sznes televzi vlasztsa

A mdszert ismt a sznes televzi kivlasztsnak pldjn mutatjuk be. A legfon-tosabb szempont a sznhsg, ezrt ennek alapjn kell sorba rendezni az alternatvkat.Azt kapjuk, hogy A5 a legjobb, A2 a msodik, A3 s A4 minstse egyenl, s A1 aztdik. Most a msodik legfontosabb rtkelsi szempont alapjn kell dnteni az A3 sA4 sorrendjrl. Mivel a C5, C4, C3 fontossgi sorrendet fogadjuk el, s a C5 szempontnem dnt, mert mindkt tpus alkatrszptlsa biztostott, A4 viszont C4 szempontjbljobb A3-nl, ez megadja az alternatvk teljes sorrendjt:

A5, A2, A4, A3, A1.

A mdszerek klnbzsgt mutatja, hogy ebben a sorrendben A4 csak a harmadikhelyet foglalja el.

A mdszer elnyei:

1. az eljrs egyszer, ttekinthet, knnyen kezelhet s szmtgpes htteret nemignyel;

18

2. tetszleges skln rtelmezett adatok esetn is alkalmazhat;

3. az eljrs alkalmas nagyszm alternatva kirtkelsre;

4. nem kell a teljes dntsi tblzatot meghatrozni s a szempontokat slyozni, csaka fontossguk szerint sorba rendezni;

5. egyszersge ellenre is sorba rendezi az alternatvkat.

A mdszer htrnyai:

1. a szempontokat kln kezeli s ezrt nem veszi figyelembe, hogy a htrnyok msszempontoknl jelentkez elnykkel kiegyenlthetk;

2. az informcik nagy rszt nem hasznlja fel;

3. a mdszer nem alkalmas annak feltrsra, hogy a dnts mennyire rzkeny azegyes szempontok vagy rtkelsek megvltoztatsra.

I.1.8. A dntsi modellezs lpsei

Az eddigiek alapjn megllapthat, hogy a tbbszempont dntsi feladatok megol-dshoz az albbi lpsek szksgesek.

1. A dntsi feladat felptse:

a.) a cl megfogalmazsa;

b.) az alternatvk kivlasztsa;

c.) a szempontok meghatrozsa.

2. A dntsi feladat megoldsa:

a.) minden alternatva kirtkelse minden szempont szerint;

b.) a szempontok slyainak meghatrozsa;

c.) az rtkelsek s a slyozs sszegzse.

A tbbszempont dntsi eljrsok kivlasztsra egyrtelm szably nem adhatmeg (ez is egy tbbszempont dntsi problma), csak a konkrt dntsi problma isme-retben lehet a legmegfelelbb eljrst meghatrozni.

19

I.2. Analytic Hierarchy Process (AHP)

Az AHP tbbszempont dntsi problmk megoldsra alkalmas eljrs, amilehetv teszi a dntsi feladatok logikus rendszerbe foglalst. Az elz rszben lttuk,hogy a dntsi feladatok megoldsnak els lpse a dntsi feladat felptse, ami a clmegfogalmazsbl, az alternatvk kivlasztsbl s a szempontok meghatrozsblll.

Az AHP-ben a dntsi problma az ttekinthetsg rdekben egy tbbszint fa-struktraknt van brzolva, amelynek legfels szintjn a cl, az alatta lev szinteken aszempontok, az alszempontok stb., a legals szinten pedig az alternatvk helyezkednekel. A legalacsonyabb szinten lev szempontokat levlszempontoknak nevezzk. Az AHPdntsi modellek szerkezett mutatja az I.2.1. bra.

I.2.1. bra

A legelterjedtebb, AHP mdszertanra pl dntstmogat szoftver az ExpertChoice (a tovbbiakban EC). Az I.2.1. brbl lthat, hogy az EC modellekben a gra-fikus brzolsban az alternatvk nincsenek megklnbztetve a szempontoktl. Azegyedli klnbsg az, hogy az alternatvk helyezkednek el a szempontfa legals szint-jn.

Az EC ltal kezelt fk legfeljebb 5 szint mlysgek, s egy szempontnak legfel-jebb 9 alszempontja lehet, gy - mivel az utols szinten az alternatvk vannak - elvileg7380 = (9 + 9

2+ 9

3+ 94) szempont kezelhet; ezekbl 6561 levlszempont.

Az AHP dntsi modellekben a cl mindig az adott alternatvk rangsornak a meg-hatrozsa. Mivel az rtkelsi szempontok fastrukrba vannak rendezve, ezrt a szem-pontok kztti sszefggseket is figyelembe lehet venni. Az alternatvk szempontokszerinti rtkelse alapulhat

20

nvleges,rangsor,

intervallums arnyossgi (hnyados)

skln megadott rtkeken.

A dntsi feladat megoldsa a klnbz AHP modellekben a kvetkez lpsekblll:

1. a szempontok slyainak a meghatrozsa;

2. az alternatvk kirtkelse a megadott szempontok szerint;

3. a slyozs s az rtkelsek sszegzse.

I.2.1. Pros sszehasonlts

Az AHP dntsi problmk megoldsnak az egyik alapeszkze a pros (pronknti)sszehasonlts, amit a szempontok slyozsra s az alternatvk egyes szempontokszerinti rtkelsre egyarnt alkalmaznak.

I.2.1.1. Pros sszehasonlts mtrixok

A pros sszehasonlts mtrix ltalnos esetben a kvetkez, ahol wi, i = 1, . . . , n,tetszleges, pozitv vals szmok.

Pros sszehasonlts mtrix

A1 A2 An

A1 w1/w1 w1/w2 w1/wn

A2 w2/w1 w2/w2 w2/wn

An wn/w1 wn/w2 wn/wn

I.2.1. Tblzat

21

A pros sszehasonlts mtrixok jellemzje teht, hogy a mtrixok elemei n darabpozitv vals szm kzl vlasztott kt szm hnyadosaknt addnak. Be lehet ltni,hogy a pros sszehasonlts mtrixokra teljesl a kvetkez sszefggs:

Aw = nw, w Rn, (I.2.1.1)ahol A jelenti a pros sszehasonlts mtrixot, Rn az n-dimenzis Euklideszi tr, a wvektor elemeibl kpezzk az A mtrix elemeit, s n az A sorainak a szma. Mivelminden pros sszehasonlts mtrix rangja 1, ezrt az A mtrixnak csak egy nem nullasajtrtke van, ami a fenti egyenlet miatt n.

A pozitv elem mtrixok kt rdekes j mtrixosztlya a

reciprok mtrixok: (aij) = (1/aji), aij > 0, i, j = 1, ..., n;

s akonzisztens mtrixok: (aik) = (aij ajk), i, j, k = 1, ..., n.

A konzisztencia azt jelenti, hogy a pros sszehasonltsok eredmnyei sszhangbanvannak minden indexpr esetn. A konzisztencibl kvetkezik, hogy brmely, az albbiformban adott, 3 elembl ll ciklusra teljesl, hogy

aij ajk aki = 1, i, j, k = 1, . . . , n.

I.2.1.1. Ttel. Egy pozitv reciprok mtrix akkor s csak akkor konzisztens, ha max = n.

I.2.1.2. Ttel. Ha egy pozitv mtrix konzisztens, akkor brmely sora egy tetszlegesmsik sornak pozitv konstansszorosa.

Ennek a ttelnek a fordtottja nem igaz. Tetszleges 1 rang mtrix nem felttlenlkonzisztens. Tekintsk pldul az albbi mtrixot[

1 22 4

],

ahol a12 a22 = 8 6= 2 = a12.Belthat, hogy ha az A mtrix pozitv s konzisztens, akkor

aii = 1, i = 1, . . . , n, s aij = 1/aji, i, j = 1, . . . , n,

azaz A pros sszehasonlts mtrix.

I.2.1.3. Ttel. Egy pozitv mtrix akkor s csak akkor konzisztens, ha a rangja 1 s aftlban ll elemek mindegyike 1.

A pros sszehasonlts mtrixbl az egyes alternatvk fontossgt gy kapjuk,hogy meghatrozzuk a legnagyobb sajtrtkhez tartoz sajtvektort.

Ha mrt rtkek vannak, akkor a pros sszehasonlts mtrix s a legnagyobb sa-jtrtkhez tartoz sajtvektor termszetesen addik. Ennek illusztrlsra tegyk fel,hogy 5 ezst tmbnk van, amibl

22

az els, A1 slya w1 = 5 kg,

a msodik, A2 slya w2 = 1 kg,

a harmadik, A3 slya w3 = 10 kg,

a negyedik, A4 slya w4 = 2 kg s

az tdik, A5 slya w5 = 15 kg.

Az sszsly 33 kg, ami az egyes darabok kztt a kvetkezkppen oszlik el:

A1: 5/33 = 0.15;

A2: 1/33 = 0.03;

A3: 10/33 = 0.30;

A4: 2/33 = 0.06;

A5: 15/33 = 0.46.

A vizsglt pldban a pros sszehasonlts mtrix a kvetkez:

Ezst tmbk pros sszehasonlts mtrixa

A1 A2 A3 A4 A5

A1 1 5 1/2 5/2 1/3

A2 1/5 1 1/10 1/2 1/15

A3 2 10 1 5 2/3

A4 2/5 2 1/5 1 2/15

A5 3 15 3/2 15/2 1

I.2.2. Tblzat

23

Esetnkben a legnagyobb sajtrtkhez tartoz sajtvektor komponensei

(0.15, 0.03, 0.30, 0.06, 0.46),

amik pontosan a slyarnyokat adjk. A konkrt slyok esete (I.2.2. Tblzat) egy pldakonzisztens mtrixra.

I.2.1.2. Sajtvektor mdszer (EM)

Ebben a rszben Saaty (1980) sajtvektor mdszert ismertetjk.A dntshozatal sorn a dntshoz a dntsi feladat szempont slyainak meghat-

rozsra s az alternatvk minden egyes levlszempont szerinti kirtkelsre megadja apros sszehasonlts mtrixokat. A pros sszehasonlts intervallum-sklja az AHPmdszertanban a kvetkez:

1. egyformn fontos / elnys;

3. mrskelten fontosabb / elnysebb;

5. sokkal fontosabb / elnysebb;

7. nagyon sokkal fontosabb / elnysebb;

9. rendkvli mrtkben fontosabb / elnysebb.

A pros sszehasonltsnl felhasznlhatjuk a 2, 4, 6, 8 kzbens rtkeket is.

A dntsi feladatok megoldsa sorn keletkez tapasztalati pros sszehasonlts mt-rixok sok esetben nem konzisztensek, ezrt erre a mtrix osztlyra is ki kell terjeszteni apros sszehasonlts mdszert. A pros sszehasonlts mtrixok elemei pozitvak, gyez a mtrixosztly rszosztlya a pozitv elem mtrixoknak. Perron 1907-ben az albbialapvet lltst bizonytotta.

Perron ttel. Minden pozitv elem mtrixnak van olyan egyszeres pozitv sajtrtke,amely nagyobb brmely msik sajtrtk abszolt rtknl, a hozztartoz sajtvektorelemei pozitv szmok s egy konstanssal val szorzs erejig egyrtelmen meg vannakhatrozva.

A pros sszehasonlts mtrixokbl a szempontok fontossgt, illetve az alternatvkegyes levlszempontokra vonatkoztatott pontrtkt gy kapjuk, hogy meghatrozzuka pros sszehasonlts mtrixok legnagyobb sajtrtkeihez tartoz sajtvektorokat,azokat 1-re normljuk, s az gy kapott sajtvektorok komponensei adjk a prioritsokat(a wi rtkeket). Ez azt jelenti, hogy az

Aw = maxw,ni=1

wi = 1, w Rn+,

24

felttelek mellett meghatrozhatjuk a w vektort, ahol max a tapasztalati pros sszeha-sonlts mtrix legnagyobb sajtrtke.

A mdszer hasznossga azon alapul, hogy a gyakorlatban ppen a wi rtkek isme-retlenek, s a wi/wj hnyadosokrl rendelkeznk informcival a pros sszehasonltsokelvgzse utn. A dntshoz ugyanis azt mrlegeli, hogy brmely kt szempont vagyalternatva esetn az egyik hnyszor fontosabb vagy kevsb fontos, mint a msik, pl. Aisokkal elnysebb Aj-nl, teht a skla szerint wi/wj = 5.

A dntsi feladatok megoldsakor keletkez tapasztalati pros sszehasonlts mt-rixok sok esetben nem konzisztensek, ezrt az inkonzisztencijuk mrsre bevezetjka kvetkezetlensgi hnyadost, valamint a CI kvetkezetlensgi indexet, ami az AHPmdszertanban az albbi formula alapjn szmthat:

CI =max nn 1 ,

ahol max a tapasztalati pros sszehasonlts mtrix legnagyobb sajtrtke s n a prossszehasonlts mtrix sorainak a szma. A kvetkezetlensgi indexek tlagos rtkeitvletlenszeren generlt pros sszehasonlts mtrixok segtsgvel hatrozzuk meg min-den n esetre, s ezeket RI-vel jelljk. A kvetkezetlensgi hnyadost, amit CR jell,a kt index hnyadosaknt kapjuk meg, azaz

CR =CI

RI.

Bizonythat, hogy pozitv reciprok mtrixokra max n, ezrt a kvetkezetlensgi h-nyados rtke nemnegatv szm. A kvetkezetlensgi hnyados rtkeit az EC szoftverkszti akkor tartjk jnak, ha az rtke kisebb, mint 0.1.

Az aii = 1, i = 1, . . . , n, feltteleket teljest pros sszehasonlts mtrixok esetnismert az az llts, hogy

ni=1

i = n,

ahol a i, i = 1, . . . , n, rtkek jelentik az A mtrix sajtrtkeit (1 2 . . . n).Ez alapjn a kvetkezetlensgi index az albbi formba rhat:

max nn 1 =

nn1i=1

i n

n 1 =

n1i=1

i

n 1 .

A bal oldali szmll a pros sszehasonlts mtrix legnagyobb sajtrtknek s a hozzlegkzelebb ll konzisztens mtrix legnagyobb sajtrtknek a klnbsge, a jobboldaliformula pedig mutatja a nevezben lev n 1 rtk tlagol szerept.

A pronknti sszehasonltson alapul mdszerekben htrnyt jelent, hogy csak bi-zonyos, az sszehasonltand objektumok szmra vonatkoz mretkorlt alatt alkalmaz-hatk, s az alternatvkra csak rangsort (relatv rtkeket) adnak; elny viszont, hogyszubjektv szempontok rtkelsnl jl hasznlhatak.

25

Nhny hasznos llts Saaty (1990) knyvbl:

I.2.1.4. Ttel. Pozitv mtrixok esetben

a.) a maximlis sajtrtk max fels korltja a maximum sor sszeg;

b.) a maximlis sajtrtk max als korltja a minimum sor sszeg.

I.2.1.5. Ttel. (Wielandt) Pozitv mtrixok esetben a max rtke n, ha a mtrixbrmely komponensnek az rtke n.

I.2.2. Tvolsgminimalizl mdszerek

A sajtvektor mdszer mellett ms mdszercsaldok is kialakultak a pros ssze-hasonlts mtrixok ltal meghatrozott prioritsi rtkek meghatrozsra. A deter-minisztikus mdszereknl az a hallgatlagos felttelezs, hogy a pros sszehasonltsmtrixokbl meghatrozhatk a dntshozk prioritsi rtkei, csak az inkonzisztenciaszintje krdses. A sajtvektor mdszer is determinisztikus.

A tvolsgminimalizl mdszerek kz tartoznak a legkisebb ngyzetek mdszere(LSM) s a slyozott legkisebb ngyzetek mdszere (WLSM), amiket Chu s szerztr-sai vezettek be 1979-ben, a logaritmikus legkisebb ngyzetek mdszere, amit De Jong(1984), valamint Crawford s Williams (1985) javasoltak s Jensen - ngyzetek md-szere (1984). A mdszerek legfontosabb jellemzi a I.2.3. Tblzatban tallhatk. Apros sszehasonlts mtrixokban kifejezett dntshozi prioritsok meghatrozsra anumerikusan stabil, gynevezett szingulris rtk dekompozicit s egy j kvetkezet-lensgi hnyados bevezetst javasolta Gass s Rapcsk (1996, 2004), ahol tapasztalatipros sszehasonlts mtrixok konzisztens mtrixoktl vett tvolsga is definilt.

Konzisztens mtrixok esetn minden mdszer ugyanazt a megoldst szolgltatja. El-mleti szempontbl a legkisebb ngyzetek mdszere ltal szolgltatott megolds tnika legjobbnak, azonban a megoldand nemlinris optimalizlsi problma nehezen ke-zelhet, tbb megoldsa is lehetsges, ezrt a numerikus megoldsa nehz feladat. A33-as mtrixok esetben Bozki (2003) adott algoritmust az sszes minimumhely meg-hatrozsra. A legkisebb ngyzetek mdszere htrnyainak kikszblsre szletetteka tovbbi mdszerek. sszehasonlt vizsglatok eredmnyei tallhatk a szakirodalom-ban, azonban az eredmnyek tbb esetben ellentmondak (lsd pl. Gass s Rapcsk,2004).

26

Mdszer Minimalizland fggvny Felttelek

LSMni=1

nj=1

(aij wi

wj

)2 ni=1

wi = 1, w Rn+.

WLSMni=1

nj=1

(aijwj wi)2ni=1

wi = 1, w Rn+.

LLSMni=1

nj=1

(log aij logwi + logwj)2ni=1

wi = 1, w Rn+.

CSMni=1

nj=1

(aij wi

wj

)2(wjwi

) ni=1

wi = 1, w Rn+.

SVDA[1] = 1uv

T a legjobb 1-rangkzeltse az A mtrixnakFrobenius normban;

nj=1

wi=1, w Rn+.wSV Di =ui + 1/vi

nj=1

(uj + 1/vj)

,

i = 1, 2, . . . , n

I.2.3. Tblzat

I.2.3. Disztributv AHP modell

Szempontok slyainak meghatrozsa

A dntsi feladatok megoldsnak els lpse a szempontok slyainak meghatrozsa.Az AHP modellekben a szempontok slyait vagy kzvetlenl adjuk meg, vagy a sajt-vektor mdszerrel hatrozzuk meg. Ez utbbi esetben felptjk az azonos szinteken lvszempontok egymshoz viszonytott fontossgt tartalmaz pros sszehasonlts mtri-xokat, s ezek legnagyobb sajtrtkeihez tartoz sajtvektorai szolgltatjk az azonosszinteken lev szempontok slyait, amelyek sszege minden szinten 1.

Az alternatvk rtkelse az egyes szempontok szerint

Az alternatvkat csak a levlszempontok szerint kell rtkelni, a tbbi szempontnla levlszempontokra adott pontszmokbl s a slyokbl szmthat ki a pontrtk.

27

Az alternatvkat minden levlszemponton a sajtvektor mdszerrel rtkeljk (azadott szempont szerint az egyik alternatva hnyszor olyan j, mint a msik). Az alter-natvk pontszmainak sszege ebben az esetben is egyenl 1-gyel a levlszempontokon,gy a pontszmok csak azt jelzik, hogy az adott szempont szerint melyik alternatvtmennyire tartjuk fontosnak.

Az rtkelsek s a slyozs sszegzse dntsi tbla esetn

Nzzk meg, hogy a disztributv modellben az egyes szinteken hogyan trtnik azalternatvk rtkelse dntsi tbla esetn! Tekintsnk n alternatvt s m szem-pontot. Jellje A1, A2, ..., An, az alternatvkat s C1, C2, ..., Cm, a szempontokat.Ttelezzk fel, hogy az alternatvk rtkelse az egyes szempontok szerint ismert, sa szempontok fontossguk szerint slyozva vannak. Jellje aij > 0, i = 1, ...,m,j = 1, ..., n, a j-edik alternatva i-edik szempont szerinti rtkt, wi > 0, i = 1, ...,m,az i-edik szempont slyt, xj, j = 1, ..., n, pedig a keresett vgs rangsort ad rtkeket.Ezeket az adatokat tblzatos formban a kvetkezkppen rhatjuk fel:

x1 xnA1 An

w1 C1 a11 a1n wm Cm am1 amn

I.2.4. Tblzat

A dntsi problma az alternatvk sorbarendezse, azaz olyan x Rn vektor meg-hatrozsa a szempontok szerinti rtkelsek s a hozzjuk tartoz slyok figyelembev-telvel, ami jl illeszkedik a I.2.4. Tblzat soraihoz.

Disztributv mdban vgezve a kirtkelst azt kapjuk, hogy

xDj =mi=1

wiw

aijn

k=1

aik

=mi=1

wiw 1nk=1

aik

aij, j = 1, . . . , n, (I.2.3.1)

ahol w =mi=1

wi. A kpletbl lthat, hogy ez additv modell, amelyben a(szempont slya alternatva pontszma) /(az adott szempont szerinti rtkelsek sszege)

alak kifejezseket sszegezzk. Ennek a modelltpusnak az elnevezse is ebbl a tu-lajdonsgbl szrmaztathat, hiszen lnyegben az 1 rtket osztottuk szt a levlszem-pontok s az alternatvk kztt a fontossguknak megfelelen. Megjegyezzk, hogy adisztributv AHP modell az alternatvk rangsornak a megllaptsra, erforrs szt-osztsra s a legtbb szempont szerint nvleges rtkkel br alternatvk kzl val v-lasztskor javasolt. Az j fagylaltbolt optimlis helynek kivlasztsa plda megoldsalthat disztributv mdban az I.2.2. brn.

28

I.2.4. Idelis AHP modell

Az idelis kirtkelsi mdot alkalmazva, dntsi tblk esetn hasonlan jrunk el,mint a disztributv AHP modell esetn, csak

a (szempont slya alternatva pontszma) /(az adott szempont szerinti maximlis pontszm alternatva pontszma)

alak kifejezseket sszegezzk, amibl kvetkezik, hogy minden szempont esetn azott maximlis rtket kapott alternatva vagy alternatvk megkapjk a szempont teljesslyt.

Ennek kplete:

xIj =mi=1

wiw

aijmaxk

aik=

mi=1

wiw

1

maxk

aik

aij, j = 1, . . . , n. (I.2.4.1)Ez a mdszer leginkbb akkor hasznos, ha a cl a legjobb alternatva kivlasztsa, sa sejtheten legjobb alternatvk pontszma tbb szempont szerint kzel azonos. A ta-pasztalatok szerint a disztributv s az idelis AHP modellek az esetek nagy szzalkbanugyanazt a rangsort adjk az alternatvkra.

Az EC programban a disztributv s az idelis modell esetn legfeljebb 9 alternatvakezelhet. Az j fagylaltbolt optimlis helynek kivlasztsa plda megoldsa lthatidelis mdban a I.2.3. brn.

I.2.5. Minst AHP modell

A minst AHP modellek esetben a szempontok slyozsa ugyangy trtnik, minta disztributv s az idelis AHP modelleknl. A lnyeges klnbsg az alternatvk egyesszempontok szerinti rtkelsben van, ugyanis a minst modell esetben minden al-ternatvt kln-kln minstnk a szempontokhoz megadott minstslistk alapjn.Ennek a modellnek htrnya, hogy az egyes szempontok szerinti rtkelskor nem adha-tunk meg tetszleges rtket, hanem egy, legfeljebb 9 elem, listrl kell vlasztani.

A minst AHP modellben az aggreglsra hasznlt kplet a kvetkez:

xRj =mi=1

wiw

1

aiaij, j = 1, . . . , n, (I.2.5.1)

ahol ai az i-edik szempont szerint adhat pontszmok kzl a maximlis. A kplethasonl az idelis modellben alkalmazotthoz, de az ai , i = 1, ...,m, rtkek a feladat-tl (a konkrt alternatvktl) fggetlenek, s az rtkelskor elre megadott sklhoztartoznak.

Az EC szoftverben a minst AHP modell esetn a levlszempontok al egy-egyminstslista elemeit (pl. j, kzepes, rossz) kell beszrnunk, majd az egyes listaelemekrtkeit kell meghatroznunk a kzvetlen pontozshoz hasonl mdon, konkrt szmokmegadsval vagy pronknti sszehasonltssal. Ezutn a program automatikusan 1-renorml, s a tblzatban rtkelhetjk az egyes alternatvkat a levlszempontok alapjn,a megfelel listrl kivlasztva a jnak gondolt minstst.

29

I.2.2. bra Az EC eredmny Distributive mdban

30

I.2.3. bra Az EC eredmny Ideal mdban

31

I.2.6. Rangsorforduls

A disztributv s az idelis AHP modellekben megvltozhat a korbban bevitt alter-natvk rangsora, ha egy vagy tbb j alternatvval bvl a dntsi feladat, vagy haegy vagy tbb alternatvt hagyunk el a dntsi feladatbl. Ez az sszegz kpletekblazonnal leolvashat. Az idelis modellben ez nem fordul el, ha az jonnan figyelembevett alternatva egyik szempont szerint sem jobb a tbbinl.

A minst modellben a rangsorforduls jelensge nem lp fel, ha az ai , i = 1, ...,m,rtkek nem vltoznak, mivel ezek az rtkek fggetlenek az alternatvktl.

Plda a rangsorfordulsra

rtkeljk ki aA1 A2

1

2C1 1 2

1

2C2 3 2

dntsi tblt az idelis modell alapjn! Eredmnyknt azt kapjuk, hogy

x1 =1

2 12+1

2=

3

4=

9

12,

x2 =1

2+1

2 23=

5

6=

10

12,

teht A2 jobb vlaszts, mint A1.

Tekintsnk egy jabb alternatvt s az albbi dntsi tblzatot!

A1 A2 A3

1

2C1 1 2 4

1

2C2 3 2 1

Ebben az esetben a dntsi tblzatot az idelis modell alapjn kirtkelve azt kapjuk,hogy

x1 =1

2 14+1

2=

1

8+4

8=

5

8=

15

24,

x2 =1

2 12+1

2 23=

1

4+2

6=

14

24,

32

teht A1 jobb vlaszts, mint A2. Lthat, hogy egy jabb alternatva hozzvtelvel adntsi feladatban a rangsorforduls jelensge lpett fel.

Ekrt s Nmeth (2001) disztributv s idelis AHP modellek alternatva sorrendjnekstabilitst vizsgltk j alternatva hozzadsa esetn s kidolgoztak egy j mdszertannak a maximlis tglatestnek a meghatrozsra, melyben az j alternatva rtkelsivektora mozoghat anlkl, hogy az eredeti alternatvk sorrendje megvltozna.

I.2.7. Plda hibs sszegzsre

A plda szerint, ami Fleming, P. J. and Wallace, I.I., How not to lie with statistics:the correct way to summarize benchmark results cm cikkbl val, ha szmtani k-zepet hasznlunk normalizlt szmok sszegzsre, akkor rangsor kpzsnl rtelmetleneredmnyre juthatunk.

Tekintsnk hrom gpet, X, Y, Z s kt futsi eredmnyt, amik az albbi tblzatbanvannak megadva.

SzmtgpekFutsi eredmnyek X Y Z

1 20 (1.0) 10 (0.5) 40 (2.0)2 40 (1.0) 80 (2.0) 20 (0.5)

Szmtani kzp 1 1.25 1.25I.2.5. Tblzat

Ebben a pldban a futsi eredmnyeket az X gp teljestmnyhez viszonytottuk.Nzzk meg, mit trtnik, ha az eredmnyeket az Y gp teljestmnyhez viszonytjuk.

Futsi eredmnyek X Y Z1 20 (2.0) 10 (1.0) 40 (4.0)2 40 (0.5) 80 (1.0) 20 (0.25)

Szmtani kzp 1.25 1.0 2.13I.2.6. Tblzat

A kt tblzatban az eredmnyek egymsnak ellentmondak, gy valban megllapt-hat, hogy normalizlt szmok sszegbl kpzett rangsor rtelmetlen lehet.

Nzzk meg, milyen eredmnyt kapunk, ha a geometriai kzepet hasznljuk.

Futsi eredmnyek X Y Z1 20 (1.0) 10 (0.5) 40 (2.0)2 40 (1.0) 80 (2.0) 20 (0.5)

Mrtani kzp 1.0 1.0 1.0I.2.7. Tblzat

Futsi eredmnyek X Y Z1 20 (2.0) 10 (1.0) 40 (4.0)2 40 (0.5) 80 (1.0) 20 (0.25)

Mrtani kzp 1.0 1.0 1.0I.2.8. Tblzat

33

A I.2.7. s I.2.8. Tblzatok mutatjk, hogy geometriai kzepet hasznlva, normalizltszmok sszegzsre helyes eredmnyt kapunk.

Ez a plda mutatja, hogy additv dntsi modell vlasztsakor mindig ellenrizni kella szmtani kzp hasznlhatsgt.

I.2.8. A slyozs s az rtkelsek sszegzse fa struktra esetn

Az AHP modellekben a szempontok fa struktrba rendezettek. A szempontok slyo-zsa gy trtnik, hogy a dntshoz elszr a cl alatti els szinten lev szempontokatslyozza a pros sszehasonlts mdszervel, majd fellrl lefel haladva minden szintenaz ott tallhat szempontok alatti alszempontokat addig, amg a tovbb mr nem osztottszempontok, a levlszempontok is slyozsra kerlnek. Elkpzelhet, hogy a levlszem-pontok nincsenek azonos szinten, st brmely szinten lehetnek levlszempontok. Az AHPmodellekben a dntshoz csak a levlszempontok szerint rtkeli az alternatvkat.

A slyozs s az rtkels sszegzse gy trtnik, hogy elszr a levlszempontokfeletti szintrl indul, minden egyszer rszfa esetn megalkotjuk a dntsi tblt skirtkeljk az alternatvkat a vlasztott modell tpus szerint. Ezt az eljrst folytatjukaddig, amg a cl szintig elrnk s megkapjuk az alternatvk vgs rangsort.

I.2.9. rzkenysgvizsglat

A dntselkszts s dntstmogats egyik fontos feladata a dntsrt felels sze-mly(ek) meggyzse arrl, hogy a dntsi problma megoldsa j alapot szolgltat adntshozatalhoz. Ennek fontos eszkzei az rzkenysgvizsglat s az eredmnyek vizu-alizlsa.

Az EC hromfle rzkenysgvizsglatra ad lehetsget, amikkel vizsglhatk egyadott alternatva sorrendnek a szempont slyoktl val fggse. Mindg csak egy szem-pont slya vltoztathat, ami maga utn vonja a tbbi szempont sly rtknek a vl-tozst is gy, hogy az egyms kztti slyarnyok ne vltozzanak s a slyok sszege 1legyen. Ezek az rzkenysgvizsglati modulok egyben a szempontok s az alternatvkegy-egy jabb megjelentsi mdjt is szolgltatjk. Megjegyezzk, hogy az rzkenysg-vizsglati kpernyket nem lehet elmenteni, csak kinyomtatni. Tovbbi j informcikat

34

szolgltatnak a dntsi feladatrl a 2D Plot mdban s a Difference mdban vg-zett vizsglatok.

A Performance mdban vgzett rzkenysgvizsglatok sorn a szempont slyoka baloldali fggleges tengely segtsgvel, az egyes szempontok szerint az alternatvkraadott pontszmok s az sszegzett alternatva pontszmok pedig a jobboldali fgglegestengely segtsgvel olvashatk le. A kperny jobb szln lthat az aktulis alternatvasorrend.

A Dynamic mdban a szempontokat kpvisel sordiagramok megvltozta-tsval vlik lehetv a szempont slyok megvltoztatsa, s ezen keresztl azalternatva sorrend egyes szempont slyoktl val rzkenysgnek bemutatsa.A Dynamic Components mdban lthat az egyes szempontoknak az alternatvkpontszmainak kialaktsban betlttt szerepe is.

A Gradient mdban minden szemponthoz tartozik nll kpernykp. A szem-pont slya a vzszintes koordinta tengely s a fggleges tengely metszspontjakntaddik, az alternatvk pontrtkei pedig a fggleges tengely s az egyes alternatvk-hoz tartoz egyenesek metszspontjaknt. A szempont slyt megad fggleges tengelyvltoztatsval nyomon kvethet az alternatva pontszmok vltozsa, valamint az egyesalternatva prok metszspontjai, melyeknl az alternatvk sorrendje megvltozik.

A 2D Plot md bemutatja, hogy az alternatvk mennyire felelnek meg kt, tet-szlegesen kivlasztott szempontnak. E mdban az alternatvk slyozott pontrtkeiaz adott, kt szempontra vonatkozan az ket kpvisel pontok koordintiknt jelennekmeg, s a megfelel tengelyeken olvashatk le. rtelemszeren, a jobb fels negyedbe espontok a jobb, a bal als negyedbe es pontok a rosszabb alternatvkat jelentik a ktszempontot illeten, a msik kt negyedbe es pontok pedig azt jelzik, hogy a szempon-tok ellentmondak. Az alternatva pontok vetletei az adott egyenesen mutatjk, hogymi lenne az alternatvk sorrendje, ha a szempontok slya egyenl lenne.

A Difference md egy kitntetett alternatvnak a tbbi alternatvval, az sszesszempont szerinti sszehasonltst szolglja. Slyozatlan esetben a kpernyn az al-ternatva pontszmok klnbsgei jelennek meg szempontonknt, mg slyozott esetbenugyanezen klnbsgek a szempontok slyai ltal arnyostva.

sszefoglalsknt megllapthat, hogy az rzkenysgvizsglati eljrsok segtsg-vel az alternatvk adott szempontok alszempontjaira vonatkoz rzkenysgt elemez-hetjk. Brmely mdban, egy szempont sly megvltoztatsa a tbbi szempont slyegyms kztti arnynak vltozatlanul hagysval trtnik gy, hogy a slyok sszegeismt 1 legyen. A Performance s Dynamic mdban vgzett rzkenysgvizsg-latok azt mutatjk, hogy egy szempontsly megvltoztatsa hogyan hat az alternatvkvgs rangsorra. A Dynamic mdban, ezen kvl, az egyes szempontoknak az egyesalternatvk vgs pontszmainak kialakulsban betlttt szerept is vizsglhatjuk. AGradient mdban egy - egy szempontnak az sszes alternatva pontszmra gyakorolthatsa lthat. A 2D Plot md pedig azt mutatja, hogy az alternatvk mennyirefelelnek meg kt, tetszlegesen kivlasztott szempontnak, de az alternatva pontszmokhelynek a vltozst nem tudjuk vizsglni. A Difference md kt alternatva pont-szmainak sszevetst teszi lehetv. Az eljrsok jellemz kperny kpei az I.2.4.,I.2.5., I.2.6., I.2.7., I.2.8. s I.2.9. brn lthatk.

35

I.2.4. bra Az rzkenysgvizsglati kperny Performance mdban

36

I.2.5. bra Az rzkenysgvizsglati kperny Dynamic mdban

37

I.2.6. bra Az rzkenysgvizsglati kperny Dynamic Components mdban

38

I.2.7. bra Az rzkenysgvizsglati kperny Gradient mdban

39

I.2.8. bra A kperny 2D Plot mdban

40

I.2.9. bra A kperny Difference mdban

41

I.2.10. Csoportos dntsek

Ha az AHP modelleket csoportos dntsi feladatok megoldsra szeretnnk alkal-mazni, akkor szksg van az egyni dntshozk pros sszehasonlts mtrixainak azaggreglsra. Aczl s Saaty (1983) megmutatta, hogy ha az egyni dntshozk ta-pasztalati pros sszehasonlts mtrixainak ugyanolyan index elemeit aggregljuk az

f(y1, . . . , yl) = 1(1

n

lk=1

(yl)

), (y1, . . . , yl) I l Rl+, (I.2.10.1)

kvziaritmetikai kzp segtsgvel (l dntshoz van) , ahol I pozitv szmokbl llnylt intervallum, I l = I I . . . I direkt szorzat, Rl+ az l - dimenzis Euklideszitr pozitv ortnsa, : I R tetszleges folytonos s szigoran monoton fggvny, sfelttelezzk, hogy a reciprocitsi tulajdonsg teljesl, azaz

f(1

y1, . . . ,

1

yl) =

1

f(y1, . . . , yl), (y1, . . . , yl) , (

1

y1, . . . ,

1

yl) I l, (I.2.10.2)

valamint a pozitv homogenits teljesl, azaz

f(sy1, . . . , syl) = sf(y1, . . . , yl), (y1, . . . , yl) , (sy1, . . . , syl) I l, s > 0, (I.2.10.3)

akkor az f sszegzfggvnyre az egyedli megolds a geometriai kzp, azaz

f(y1, . . . , yl) =l

k=1

y1lk , l 2, (y1, . . . , yl) I l. (I.2.10.4)

Megjegyezzk, hogy a reciprocitsi tulajdonsgbl kvetkezik, hogy az aggreglt mtrixis reciprok mtrix lesz. Ha a vltozk valamilyen mrtket jelentenek (pl. sly, hossz-sg), akkor a pozitv homogenits azt jelenti, hogy az aggregls eredmnye vltozatlan,ha a mrtkegysg megvltozik. Ha az sszegezend rtkek hnyados sklhoz tartoz-nak (pl. pros sszehasonlts mtrixok esetn), akkor a homogenits jelentse az, hogyha mindegyik rtkels s-szeresre nvekedik, akkor a vgeredmny is s-szeres lesz.

Basak s Saaty (1993) a dntshozk kztti klnbsget a (I.2.10.1) kvziaritmetikaikzp kpzsnl vettk figyelembe azt felttelezve, hogy nem minden vltozra ugyanazta fggvnyt alkalmazzuk. Gass s Rapcsk (1996) j elven alapul csoportos dntsitechnikt javasolt az AHP modellek esetre, amelyben a dntshozkhoz szavazerkvannak rendelve, s az aggregls utn nyert dntsi mtrix nem pros sszehasonltsmtrix.

I.2.11. Dntsi problmk reprezentcii

A dntsi problmk megoldsakor lthat, hogy nagyon fontosak a klnbz repre-zentcik, gy mint:

a dntsi problmk verblis megfogalmazsa;a dntsi modell matematikai megfogalmazsa;

42

a dntsi modell grafikus megjelentse;a megold mdszer matematikai lersa;a megold mdszer szoftveres megvalstsa;a dntsi problma megoldsnak vizualizlsa;a dntstmogats folyamatrl dokumentum szerkesztse.

Az EC esetn is lthat, mennyire fontosak a klnbz reprezentcik, hiszen na-gyon nagy eltrs van a dntsi modell matematikai megfogalmazsa s a megold md-szer matematikai lersa, valamint a dntsi modell grafikus megjelentse s a megoldmdszer szoftveres megvalstsa kztt. Ez utbbinl megfigyelhet, hogy a klnbzkulturlis hagyomnyokkal rendelkez orszgokban ms s ms technikk kerlnek meg-valstsra (pl. jellemzen amerikai technika az sszehasonlts, mg Eurpban inkbbaz osztlyozs az elfogadott - ennek pszicholgiai httere is van).

I.2.12. Expert Choice szoftvertechnolgia

Az EC a vilg sok orszgban ismert dntstmogat szoftver, amely tbbszempontdntsi problmk megoldsra szolgl. A szoftvernek egyni (egy dntshoz) s csopor-tos (tbb dntshoz) vltozata is van. Az EC jabb vltozatai Windows alatt fut,knnyen kezelhet, felhasznl-bart interaktv rendszerek.

A jelenlegi EC rendszerek elgg zrtak, gy a kapcsolattarts kls adatbzisok-kal nehzkes, kls programok beptst nem teszik lehetv, ezrt pl. a szempontokpontozsakor az adatok csak kzvetlenl, billentyzetrl vihetk be. A rendszer ltalltestett adatbzisok nem kompatibilisek az elterjedt adatbziskezelkkel (pl. dBase,Oracle, Excel). Az EC 2000-ben mr van EXCEL kapcsolat.

I.2.13. Erforrs sztosztsa

Dntsi problmk esetn gyakran van szksg tbbszempont dntsi feladatok s op-timalizlsi feladatok kombinlsra. Az egyik ilyen problmakr az erforrs-sztoszts.

Tegyk fel, hogy a dntsi problma a legjobb kutatsfejlesztsi plyzatok kivlasz-tsa adott pnzgyi korlt esetn. A feladatot kt rszre bontjuk. Elszr megoldjuk atbbszempont feladatot, azaz a plyzatok rangsorolst, amibl (pl. az AHP disztri-butv modell segtsgvel) megkapjuk az egyes plyzatok sly- vagy prioritsrtkeit.

Ezutn a kvetkez egszrtk optimalizlsi feladatot oldjuk meg:

maxni=1

xizi (I.2.13.1)

ni=1

cizi K,

c, z,x Rn, zi {0, 1}, i = 1, 2, . . . .n,ahol az xi, i = 1, ..., n, prioritsrtkeket a dntsi feladat megoldsbl kaptuk azA1, ...An, alternatvkra vonatkozan, ci, i = 1, ..., n, az egyes kutatsfejlesztsi mun-kk tervezett kltsge, K a rendelkezsre ll pnzsszeg, s ha zi = 1, akkor az i-edik

43

projekt kivlasztsra kerlt, ha pedig zi = 0, akkor nem. Lthat, hogy gy a rendel-kezsre ll K sszeget prbljuk a leghatkonyabban felhasznlni a kutatsfejlesztsiprojektek kztt.

I.2.14. Plda optimalizlsi problmbl szrmaz dntsi feladatra

A kvetkez plda olyan esetet mutat be, amikor lineris optimalizlsi feladatblszrmaztathat tbbszempont dntsi feladat.

Egy televzi kszlkeket gyrt vllalat ktfajta termket gyrt (A1, A2). A kt faj-tt klnbz gyrtszalagon lltjk ssze. Az A1 kszlket gyrt szalag kapacitsa 70kszlk/nap, az A2 kszlket gyrt szalag kapacitsa pedig 50 kszlk/nap. Mind akt kszlk kpcsveit ugyanabban az zemrszben lltjk el, az A1 kpcs ellltsa1 rt, mg az A2 kpcs ellltsa 2 rt ignyel, s ebben az zemrszben naponta120 rt foglalkoznak kpcs gyrtssal. Egy msik zemrszben a televzi kszlkekdobozait gyrtjk, s mindkt fajta kszlk doboznak a gyrtshoz 1-1 ra szksges.Ebben az zemrszben naponta 90 rt tudnak televzi kszlkek dobozainak gyrt-sra fordtani. Az A1 tpus kszlkeken a tiszta nyeresg 2000 Ft, mg az A2 tpuskszlkeken 1000 Ft. Mi az optimlis gyrtsi terv?

A krds megvlaszolsa a kvetkez lineris programozsi feladatra vezet:

max 2000x+ 1000y (nyeresg)x+ 2y 120, (technolgiai felt. az 1. zemrszben)x+ y 90, (technolgiai felt. a 2. zemrszben)x 70, (A1 gyrtsor kapacitsa)

y 50, (A2 gyrtsor kapacitsa)x 0, y 0,

(I.2.14.1)ahol x az A1 kszlkekbl gyrtott darabok szma s y az A2 kszlkekbl gyrtottdarabok szma.

A lineris optimalizlsi feladat optimlis megoldsa x = 70, y = 20, az optimlisclfggvny rtk pedig 160000. A plda grafikus megoldsa a mellkelt brn lthat.

Tegyk fel, hogy az zemnek vesztesge szrmazik abbl, ha nem hasznlja ki akpcsvek ellltshoz szksges teljes kapacitst. Ezrt az elbbi feladat helyett akvetkezt tekinthetjk:

max 2000x+max x+

x+x+x

x, 0

1000y2y2yy

yy

120, 90, 70, 50, 0.

(I.2.14.2)

Ennek a feladatnak a megoldsait csak a polider cscspontjain kell keresni, amelyeka kvetkezk:

44

(0, 0), (0, 50), (20, 50), (60, 30), (70, 20), (70, 0).

A msodik clfggvny a (20, 50), s a (60, 30) cscspontokon veszi fel a maximumt,ahol a msodik clfggvny optimlis rtke 120. A msodik clfggvny rtke a (70, 20)pontban 110.

Lthat teht, hogy nincs olyan cscspont, amelyben mind a kt clfggvny szerintoptimlis rtket kapunk. Termszetesen, egy jabb cl lehet a rezsikltsgek minima-lizlsa, vagy a vsrlk ignyeinek kielgtse magas szinten, stb., ami mutatja, hogynagyon sok gyakorlati feladatban egyszerre tbb szempont szerint kell rtkelni a dntsialternatvkat.

45

I.2.10. bra

46

Irodalomjegyzk

[1] Aczl, J. and Saaty, T.L., Procedures for synthesizing ratio judgments, Journal ofMathematical Psychology 27 (1983) 93-102.

[2] Aczl, J., Determining merged relative score, Journal of Mathematical Analysis andApplications 150 (1990) 20-40.

[3] Basak, I. and Saaty, T.L., Group decision making using the analytic hierarchy pro-cess, Mathematical Computer Modelling 17 (1993) 101-109.

[4] Bell, W.J., Dalberto, L.M., Fischer, M.L., Greenfield, A.J., Jaikumar, R., Kedia,P.,Mack, R.G. and Prutzman, P.J., Improving the distribution of industrial gases withan online computerized routing and scheduling optimizer, Interfaces 13 (1983) 4-23.

[5] Bozki, S., A method for solving LSM problems of small size in the AHP, CentralEuropean Journal of Operations Research 11 (2003) 17-33.

[6] Eckart, C. and Young, G., The approximation of one matrix by another of lowerrank, Psychometrika 1 (1986) 211-218.

[7] Ekrt, A. and Nmeth, S.Z., Stability of distributive and ideal AHP modelswith respect to the addition of a new alternative, Proceedings of the ISAHP2001,Switzerland, Inst. Accounting and Controlling, University of Bern (2001) 87-92.

[8] Fleming, P.J. and Wallace, J.J., How not to lie with statistics: the correct way tosummarize benchmark results, Communications of the ACM 29 (1986) 218-221.

[9] Gass, S.I. and Rapcsk, T., A note on synthesizing group decisions, Decision SupportSystems 22 (1998) 59-63.

[10] Gass, S.I. and Rapcsk, T., Singular value decomposition in AHP, European Journalof Operational Research 154 (2004) 573-584.

[11] Greenacre, M.J., Theory and applications of correspondence analysis, AcademicPress, London, Orlando, 1984.

[12] Jones, C.V., Visualization and optimization, ORSA Journal of Computing 6 (1994)221-257.

[13] Jones, C.V., Visualization and optimization, Kluwer Academic Publishers, 1996.

[14] Kennedy, W.J. and Gentle, J.E., Statistical computing, Marcel Dekker, New York,Basel, 1980.

[15] Mirkin, B.G., Group choice, V.H. Whinston & Sons, Washington, 1979.

[16] Perron, O., Zur Theorie der Matrizen, Mathematische Annalen 64 (1907) 248-263.

47

[17] Saaty, T.L., The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New York, 1980.

[18] Saaty, T.L., Axiomatic foundation of the analytic hierarchy process, ManagementScience 32 (1986) 841-855.

[19] Saaty, T.L., The analytic hierarchy process, University of Pittsburgh, Pittsburgh,1990.

[20] Saaty, T.L., How to make a decision: the analytic hierarchy process, Interfaces 24(1994) 19-43.

[21] Temesi, J., A dntselmlet alapjai, AULA, Budapest, 2002.

48

I.3. A PROMETHEE mdszerek

Az AHP modellek megoldsakor lttuk, hogy az alaptechnika a pszicholgiai ht-trrel is rendelkez pros sszehasonlts, ami bizonyos esetekben, pl. nem tl nagyszm szubjektv szempont esetn, nagyon j eszkznek tnik. A pros sszehasonltsa dntshoz egyni preferenciira pl. A preferencia modellekben a preferencia mr-tknek a meghatrozsa az egyik legnehezebb feladat, ezrt a klnbz mdszerekbenklnbz technikkat dolgoztak ki. A preferencia mrtknek a mrsre hasznossgifggvnyeket lehet bevezetni, amely technika a mikrokonmia megalapozsban is nagyszerepet jtszik. Tbbszempont dntsi problmk megoldsakor gondot jelenthet a k-lnbz alternatvk klnbz szempontok szerinti sszehasonlthatsga is. Ezekre akrdsekre a PROMETHEE (Preference Ranking Organization Method for EnrichmentEvaluations) mdszerek eltr vlaszokat adnak, mint amiket az AHP modellekben meg-ismertnk. A PROMETHEE mdszereket Brans vezette be 1982-ben.

I.3.1. A PROMETHEE dntsi modell

Az elz rszben lttuk, hogy a tbbszempont dntsi problmkban az alaplpseka kvetkezk:

1. A dntsi feladat felptsea.) a cl megfogalmazsa;b.) az alternatvk kivlasztsa;c.) a szempontok meghatrozsa.

2. A dntsi feladat megoldsaa.) a szempontok slyainak a meghatrozsa;b.) minden alternatva kirtkelse minden szempont szerint;c.) az rtkelsek s a slyozs sszegzse.

Ebben a rszben - a fenti felptst kvetve - a PROMETHEE mdszerekkel ismer-kednk meg, a Roy s Brans ltal alaptott, tbb mint 30 ve sikeresen mkd eurpaiiskola egyik szles krben elterjedt eredmnyvel.

A PROMETHEE mdszerek els vltozatait tbbszempont dntsi feladatok, egydntshoz kzremkdsvel trtn, megoldsra dolgoztk ki. A PROMETHEEmdszertan egy dntshoz kzremkdsre pl dntstmogat szoftverrendszere aPROMCALC & GAIA. A PROMETHEE mdszerek hasznlatt mintapldn keresztlmutatjuk be.

Tekintsk azt a beruhzsi problmt, ahol a klnbz orszgokban tallhat vzi-ermvek kzl kell kivlasztanunk a legmegfelelbbet hatkonysgi s biztonsgi szem-pontok figyelembevtele mellett. Az orszgok legyenek Olaszorszg, Belgium, Nmet-orszg, Svdorszg, Ausztria s Franciaorszg, a szempontok pedig az alkalmazottakszma, az erm kapacitsa, az ptsi kltsg, a karbantartsi kltsg, a baleset esetnkirtend falvak szma s a biztonsg.

A dntsi feladat verblis megfogalmazsa nem klnbzik a korbban megismertek-tl. Rendezzk a dntsi problma adatait dntsi tblzatba, gy az I.3.1. Tblzatotkapjuk, amibl lthat, hogy

49

- a PROMETHEE mdszerek itt ismertetett vltozata, illetve

- a mdszereket megvalst PROMCALC & GAIA szoftver, egy dntshozkzremkdst felttelezik;

- a dntsi tblzat elemeit konkrt rtkek esetn nem sklzzuk(nem homogenizljuk),

pl. ptsi kltsg: 1000 vagy 600;karbantartsi kltsg: 7.5 vagy 2;- a dntsi problma adatai kztt intervallum rtkek nem szerepelhetnek;

- a szempontokat kt csoportba osztjuk:

a.) a kisebb rtk a jobb, pl. ptsi kltsg;

b.) a nagyobb rtk a jobb, pl. erm kapacitsa.

Megllapthat teht, hogy a dntsi feladat felptse gy trtnik, mint az AHPmdszertan alkalmazsakor.

50

51

I.3.2. A szempontok slyozsa

A szempontok fontossga kztt eltrs van. A szempontok fontossgt tkrz r-tkeket, a slyokat a dntshoz adja meg a szubjektv vlemnye alapjn, amikben adntshoz szakrtelme tkrzdik. A slyok kzvetlen megadsa tetszleges rtkekkeltrtnhet, amiket a program 1-re norml, azaz felttelezhetjk, hogy a slyok a kvetkezformban adottak:

wi =wimk=1

wi

, i = 1, . . . ,m.

A PROMETHEE mdszertanban a dntshoz a szubjektv tleteit a slyozsonkeresztl viszi be a dntsi folyamatba. A PROMETHEE & GAIA mdszertanban adntshoz interaktvan rszt vehet a dntshozatalban. A slyokat oszlopdiagram for-mban is mdjban ll megtekinteni, s azokat interaktvan vltoztatni tudja. A slyokvizulis megjelentsrl, vizsglatrl s a slystabilitst vizsgl szoftvermodulokrl aksbbiekben lesz sz.

I.3.3. Preferencia relcikA kzgazdasgtanban a keresletelmletnek elgg termszetes kiindulsa az, hogy

az egyn piaci vsrlsait a szubjektv tlete szabja meg. Emiatt a trgyals az egynzlsnek, preferencijnak a tanulmnyozsval kezddik. A tbbszempont dntsi fel-adatoknl a dntshoz szubjektv tleteit kell beilleszteni a dntsi folyamatba, ezrta preferencik tanulmnyozsa itt is termszetes. A preferencia modelleknl azt fel-ttelezzk, hogy a dntshoz brmely kt alternatvt ssze tud hasonltani az adottszempontok szerint, s minden szempont esetn ki tudja vlasztani a jobbat, azaz, adntseit rendezett alternatva prokkal adja meg.

Kiindulsknt vegynk egy rtkelsre vagy sszehasonltsra vr elemekbl ll Ahalmazt. Ez a halmaz lehet vges (tartalmazhat szemlyeket, llshelyeket, autkat)vagy vgtelen szmossg (tartalmazhat fogyasztsi szinteket, vagy tkletesen oszthatjavakat). Az A halmaz esetnkben az alternatvk halmaza. Tekintsk ezen halmaztetszleges (A1, A2) rendezett elemprjt, s vezessk be azt a fogalmat, hogy

az A1 elem legalbb olyan j, mint A2 ,

amit az A1 A2 szimblummal jellnk. Ha minden lehetsges (Ak, Al) A A,(k, l) I I, elemprt tekintnk, ahol I tetszleges indexhalmaz, akkor az A halmazonbinris relcit rtelmeznk. Egy tetszleges relcibl kt jabb binris relcitszrmaztathatunk az albbi definci szerint.

Definci I.3.3.1. Jelljn a szimblum egy binris relcit az A halmazon. AzA1 A2 A1 A2 s A2 A1

mdon definilt relcit a relci aszimmetrikus magjnak, azA1 A2 A1 A2 s A2 A1

mdon definilt relcit pedig a relci szimmetrikus magjnak nevezzk.

52

Az A halmazon rtelmezett binris relci

reflexv, haA A, A A;

tranzitv, ha

A1 A2, A2 A3, kvetkezmnye A1 A3, A1, A2, A3 A;s teljes, ha

A1 A2 vagy A2 A1, A1, A2, A.

Ha a binris relci reflexv, tranzitv s teljes, akkor gyenge preferencirl beszlnk.Azt mondjuk, hogy az A halmazon rtelmezett gyenge preferencit akkor reprezentljaaz u: A R fggvny, ha

A1 A2 u (A1) > u (A2) ,A1 A2 u (A1) = u (A2) ,

A1, A2 A.

A kvetkez lltsok pl. Dancs (1996) kziratban megtallhatk a bizonytsokkalegytt. Az els llts az, hogy folytonos fggvny folytonos preferencit reprezentl.

Lemma I.3.3.1. Legyen A topologikus tr. Ha u : A R folytonos fggvny s a relci defincija

A1 A2 u(A1) u(A2) ,akkor a relci reflexv, tranzitv, teljes s folytonos.Debreu ttel. Legyen A megszmllhat bzis topologikus tr. Ekkor az A tren vetttetszleges folytonos preferenciknak van folytonos reprezentcija.

Eilenberg-Debreu ttel. Legyen A szeparbilis s sszefgg topologikus tr. Ekkor azA tren vett tetszleges folytonos preferenciknak van folytonos reprezentcija.

Az u fggvny elnevezse hasznossgi fggvny, vagy a dntselmletben rtkelfggvny (lsd Temesi, 2002). Megjegyezzk, hogy ha : R R egy szigoran monotonnveked fggvny, akkor a u kzvetett fggvny is hasznossgi fggvny.

A kzgazdasgtanban azt a dntshozt tekintik racionlisnak, akinek a preferenciastruktrja egy rtkel (hasznossgi) fggvnnyel lerhat. A racionlis dntshozravonatkozan teht megllapthatjuk, hogy preferencia struktrja teljes s tranzitv,valamint rendelkezik a helyettestsi tulajdonsggal:

ha A1 A2 s A1 A3, akkor A3 A2.Ezeknek a feltteleknek egyenes kvetkezmnye az, hogy az indifferencia grbk nemmetszik egymst, az egymst metsz grbk ugyanis a racionalits megsrtst jelentik.

53

I.3.4. ltalnostott szempontok

Jellje A az alternatvk halmazt, P s I a dntshoz jobb s ekvivalens pre-ferencia relciit, u : A R egy hasznossgi fggvnyt, ami minden alternatvhoz egyvals szmot rendel s c legyen tetszleges nem negatv szm. Azt mondjuk, hogy azA alternatva halmazon a (P, I) prral megadott preferencia modellt az u hasznossgifggvny reprezentlja, ha brmely A1, A2 A alternatva pr esetn

A1PA2 u(A1) > u(A2) + c,A1IA2 u(A1) = u(A2) vagy |u(A1) u(A2) | c,

(Ai, Aj) AA, i, j = 1, . . . , n.Debreu hres ttele szerint, folytonos preferencia relci esetn, ltalnos feltte-

lek mellett ltezik azt reprezentl folytonos hasznossgi fggvny. A problma abbladdik, hogy a preferencia modelleket reprezentl hasznossgi fggvnyt, vagy fgg-vnyeket nem ismerjk, azonban ha egyet ismernk, akkor ebbl vgtelen sok hasznos-sgi fggvnyt lehet szrmaztatni.

A PROMETHEE mdszerek lnyege, hogy n. ltalnostott szempontok (gene-ralized criteria) bevezetsvel lehetsget biztostanak arra, hogy az alternatva prokklnbz szempontok szerinti rtkelse abszolt skln trtnjen, s gy preferenciamrtkeket hatrozzunk meg.

Mivel a pros sszehasonlts mdszerhez hasonlan itt is az alternatva prokatrtkeljk, ezrt bevezetnk egy P : A A [0, 1] ltalnostott szempont fggvnyt,aminek az rtelmezsi tartomnya az alternatvk halmaznak direkt szorzata, rtkksz-lete pedig a vals szmok 0 s 1 kztti tartomnya. Legyen Aj s Ak kt tetszlegesalternatva, u : A R egy hasznossgi vagy rtkel fggvny, s tegyk fel, hogy a na-gyobb rtk a jobb, valamint az ltalnostott szempont fggvny csak a kt tetszlegesalternatva rtkelsnek a klnbsgtl fgg. Bevezetve a

d(Aj, Ak) = u(Aj) u(Ak), (Aj, Ak) AA,

jellst, az ltalnos szempont fggvny a kvetkezkppen jellemezhet:

P (Aj, Ak) = P(d(Aj, Ak)

)= 0, ha d(Aj, Ak) q, vagyis Aj nem jobb

Ak-nl,

P (Aj, Ak) = P(d(Aj, Ak)

) 0, ha d(Aj, Ak) > q, vagyis Aj csak kevs-

sel jobb Ak-nl,

P (Aj, Ak) = P(d(Aj, Ak)

) 1, ha d(Aj, Ak) >> q, vagyis Aj elnye

jelents mrtk,

P (Aj, Ak) = P(d(Aj, Ak)

)= 1, ha d(Aj, Ak) >>> q, vagyis Aj egyrtelmen

jobb vlaszts Ak-nl,

ahol q pozitv konstans. A jellemzsbl kvetkezik, hogy az ismeretlen P fggvny mo-noton nem cskken s ltalnos alakja hasonl az albbi brhoz:

54

Preferencia fggvny a pros sszehasonltshoz

Ezt a fggvnyt a tovbbiakban P (d) , d R, jelli.A PROMETHEE mdszer szerint, minden egyes szemponthoz konkrtan megadunk

egy ltalnos szempont-fggvnyt, majd minden (Aj, Ak) alternatva prhoz kiszmtunkegy, az elbb definilt Pi(d(Aj, Ak)), i = 1, . . . ,m, ltalnos szempont rtket. Hat, ti-pikusnak nevezhet, ltalnos szempont-fggvny kzl lehet vlasztani a PROMETHEEmdszerekben, az alternatvk szempontok szerinti rtkelsekor. Ezek a kvetkezk:

1. egyszer szempont fggvny, amiben nincs paramter:

P (d) =

{0,1,

d 0;d > 0,

2. U-alak szempont fggvny, ami a q kzmbssgi kszbtl fgg:

P (d) =

{0,1,

d q;d > q,

3. V-alak szempont fggvny, ami a p preferencia meredeksgtl fgg:

P (d) =

0,d/p,1,

d 0;0 d p;d > p,

4. lpcss szempont fggvny, ami kt kzmbssgi kszbtl fgg:

P (d) =

0,1/2,1,

d q1;q1 < d q2;

d > q2,

55

5. trapz alak szempont fggvny, ami a q kzmbssgi kszbtl s a p preferenciameredeksgtl fgg:

P (d) =

0,

d qp q ,1,

d q;q < d p;

d > p,

6. Gauss szempont fggvny, ami a paramtertl fgg:

P (d) =

{0,

1 ed2/22 ,d 0;d 0.

Mivel figyelembe akarjuk venni azt is, ha a kisebb rtk a jobb, ezrt vezessk be aH : R R fggvnyt a kvetkezkppen:

H(d) =

{P (d (Aj, Ak)) ,P (d (Ak, Aj)) ,

d(Aj, Ak) 0;d(Ak, Aj) 0.

A preferencia mrtknek meghatrozsra szolgl fggvnyekbl kpzett, szimmetri-kus, H tpus ltalnostott szempont fggvnyek lthatk az I.3.1. brn. Gyakorlatiproblmk megoldsakor kln hangslyt kell fektetni a megfelel grbk kivlasztsras a legfeljebb kt paramter megadsra. Az elbbiekben tekintett beruhzsi probl-mnl az I.3.1. Tblzat a kvetkezkppen mdosul (lsd I.3.2.Tblzat):

- az I.3.2. Tblzat els kiegszt oszlopba a szempont slyok kerlnek;

- a msodik kiegszt oszlopba azt rjuk, hogy min vagy max attl fggen, hogyaz adott szempont szerint a kisebb vagy nagyobb rtk a jobb;

- a harmadik kiegszt oszlopba az adott szempont szerinti rtkelshez vlasztottpreferenciamrtk fggvny szma kerl;

- a negyedik kiegszt oszlopba pedig a hozz tartoz paramter rtk(ek).

56

57

58

I.3.5. Dntsi folyamok

A PROMETHEE mdszerekben minden szemponthoz hozzrendelnk egy ltalno-stott szempont fggvnyt, majd kiszmtjuk az rtkeket az sszes alternatva prra,kivve az (Aj, Aj), j = 1, . . . , n, prokat, amikre az rtkek nyilvnvalan 0 -nak add-nak. Definiljuk az alternatva prok sszes szempont szerint vett preferenciit a slyozsfigyelembevtelvel a kvetkezkppen:

P (Ak, Al) =mi=1

wiPi(Ak, Al) , (Ak, Al) AA,mi=1

wi = 1.

gy megkapjuk az alternatvk aggreglt pros sszehasonlts mtrixnak az elemeit.Ezt a dntsi eljrst az albbi bra szemllteti:

w1 C1

......

wm Cm

A1 Ana11 a1n

......

am1 amn

P1(Ak,Al)

...

Pm(Ak,Al)

P(Ak,Al)

I.3.2. bra

59

Ha az sszes szempont azonos sly, akkor

P (Ak, Al) =1

m

mi=1

Pi(Ak, Al) , (Ak, Al) AA,

tovbb igaz, hogy

P (Al, Al) = 0 s 0 P (Ak, Al) 1, (Ak, Al) AA.

Mivel P (Ak, Al) csak az Ak alternatva Al alternatvval szembeni preferencijrl szol-gltat informcit s az Ak alternatva Al alternatvval szembeni htrnyrl nem adtjkoztatst, azaz a P (Ak, Al) mtrix nem szimmetrikus, ezrt szksges minden alter-natva pr esetn P (Al, Ak) kiszmtsa is. Nyilvn e kt adat klnbsge ad informcitaz Ak s Al alternatva prok egymshoz viszonytott preferenciirl s a klnbsg mr-tkrl. Ez az n. outranking relci, amit a kvetkez bra szemlltet:

Outranking relci

gy pronknt ssze tudjuk hasonltani az alternatvkat az sszes szempont s azokslyainak a figyelembevtelvel. A pronknti sszehasonlts azonban mr hrom al-ternatva esetn is zskutcba vezethet mind a teljes rangsor, mind az els helyezettmegllaptsakor.

A PROMETHEE mdszerekben azrt, hogy teljes rangsort lehessen fellltani - amia gyakorlati esetekben nagymrtkben fgg a slyozs megvltoztatstl - bevezetik adntsi (outranking) folyam fogalmt. Definci szerint, n szm alternatva esetn apozitv dntsi folyam

+(A) =1

n 1XA

P (A, X) .

A pozitv dntsi folyam rtke azt mutatja meg, hogy egy adott, A alternatva mennyiveljobb az sszes tbbinl, vagy mennyire ers a tbbihez kpest. Ezt szemllteti a kvetkezbra:

60

Pozitv dntsi folyam

Definci szerint, n szm alternatva esetn a negatv dntsi folyam

(A) =1

n 1XA

P (X, A) .

A negatv dntsi folyam rtke azt mutatja meg, hogy egy adott, A alternatvnlmennyivel jobb a tbbi alternatva, vagy mennyire gyenge A a tbbihez kpest.

Negatv dntsi folyam

61

A pozitv s negatv dntsi folyamok szrmaztatst az I.3.3. brn szemlltetjk.

I.3.3. bra

62

A mintapldban a P (Ak, Al) pros sszehasonlts mtrix a kvetkez:

A1 A2 A3 A4 A5 A6 +

A1 0 0.296 0.250 0.268 0.100 0.185 0.219

A2 0.462 0 0.389 0.333 0.296 0.500 0.396

A3 0.236 0.180 0 0.333 0.056 0.429 0.247

A4 0.399 0.505 0.305 0 0.223 0.212 0.329

A5 0.444 0.515 0.487 0.380 0 0.448 0.455

A6 0.286 0.399 0.250 0.432 0.133 0 0.300

0.365 0.379 0.336 0.349 0.162 0.355

0.365 - 0.146

0.379 0.017

0.336 - 0.089

0.349 - 0.02

0.162 0.29

0.355 - 0.055

I.3.6. PROMETHEE I rszleges rangsor

A pozitv s negatv dntsi folyambl addnak a kvetkez preferencia relcik:

A1S+A2 +(A1) > +(A2) ,

A1I+A2 +(A1) = +(A2) ,

A1SA2 (A1) < (A2) ,

A1IA2 (A1) = (A2) ,

brmely A1, A2 A alternatva pr esetn.

63

A PROMETHEE I rszleges rangsor a kvetkezkppen szrmaztathat:

A1PIA2

A1S

+A2 s A1SA2A1S

+A2 s A1IA2A1I

+A2 s A1SA2

A1I

IA2 A1I+A2 s A1IA2A1R

IA2 egybknt

,

ahol P I a preferencit, II az indifferencit (ekvivalencit) s RI a nem sszehasonlthat-sgot jelenti a PROMETHEE I rszleges rangsorban. Teht, ez a preferencia relci nemteljes. Az A1RIA2 esetben az tnik a leghelyesebbnek, ha nem llaptunk meg rangsort.Tovbbi lehetsg a GAIA analzis segtsgvel a vizualizls.

I.3.7. PROMETHEE II teljes rangsor

A teljes rangsor fellltshoz szksg van egy j fogalom, a nett dntsi folyambevezetsre:

(A) = +(A) (A) , A A.Ennek segtsgvel a PROMETHEE II teljes rangsor defincija:

A1PIIA2 (A1) > (A2) ,

A1IIIA2 (A1) = (A2) , (A1, A2) A A.

A PROMETHEE mdszerek esetn az alternatvk rangsora fgg az sszes tbbitl, ezrta rangsorforduls esete fellphet. Erre pldt lthatunk Salminen et al. (1998) cikkben,ahol pont a kt leggyengbb alternatva elhagysa utn kvetkezik be ez a jelensg.

64

65

I.3.8. PROMETHEE V: dnts knyszerfelttelek mellett

A PROMETHEE V program modul olyan segdeszkz, amivel megadhatunk kny-szerfeltteleket, majd az gy kapott dntsi feladatokat megoldhatjuk. Ehhez elszr aknyszerfelttelek tpust kell megadni. A PROMCALC szoftverben ez olyan relcikmegadsval lehetsges, amelyek alakja a kvetkez:

c1z1 + c2z2 + c3z3 + ....+ cnzn K

ahol a zj, j = 1, . . . , n, vltozk rtke 0 vagy 1 aszerint, hogy a j-edik alternatvtkivlasztjuk-e vagy nem, cj, j = 1, . . . , n, a korltoz felttelt ler egytthatk s Kegy adott konstans. Termszetesen, a szimblum helyn =, vagy is llhat.

A dntsi feladat lnyegben nem ms, mint egy, az alternatvkhoz rendelt hasznos-sgi fggvny segtsgvel minden egyes lehetsges csomaghoz (alternatvk egy cso-portja) a r jellemz jsgot megad modell megadsa, aminek az optimlis megoldsaszolgltatja a legjobb alternatva csomagot.

A PROMETHEE V programban a fenti dntsi feladat felptse s megoldsa akvetkez kt lpsben trtnik:

1. a megktsek figyelembevtele nlkl kiszmtja a nett dntsi folyamot az alter-natvkra s meghatrozza a PROMETHEE II rangsort;

2. ezutn a kvetkez 0 1 lineris optimalizlsi feladatot oldja meg:

maxnj=1

(Aj) zj

nj=1

crjzj r, r = 1, . . . ,m,

zj { 0, 1} , j = 1, . . . , n,ahol m tetszleges pozitv egsz szm s a cl az alternatva csomag jsgi rtknekmaximalizlsa az adott knyszerfelttelek mellett.

66

I.4. A GAIA vizualizlsi mdszer

A PROMETHEE mdszertanon bell a GAIA (Geometrical Analysis for InteractiveAssistance) vizualizlsi mdszer (Mareschal s Brans, 1988), vagy ms szval a GAIAanalzis hasznlatval az elsdleges cl az, hogy a mr rendelkezsre ll adatokbl jabbinformcikat nyerjnk matematikai s informatikai eszkzk felhasznlsval. A GAIAmdszertan a statisztikban korbban megjelent mint vizualizlsi eszkz, aminek ma-tematikai htterrl rszletesebben lehet olvasni pl. Rapcsk (2004) cikkben.

I.4.1. A nett dntsi folyam dekompozcija

Elszr az alternatvkat s a szempontokat szeretnnk szemlletesebb tenni a s-lyozs figyelembevtele nlkl. Ez hasznos lehet, mivel a szempontok slyai a dntshozszubjektv rtktlett tkrzik.

Helyettestsk be a nett dntsi folyam kpletbe a pozitv s a negatv dntsifolyamok kplett, gy a kvetkez kifejezshez jutunk:

(Aj) = +(Aj) (Aj) = 1

n 1nl=1

(P (Aj,Al) P (Al,Aj)

)=

1

n 1nl=1

(mi=1

wi

(Pi(Aj,Al) Pi(Al,Aj)

))=

1

n 1mi=1

wi

nl=1

(Pi(Aj,Al) Pi(Al,Aj)

)=

mi=1

wi

(+i (Aj) i (Aj)

)=

mi=1

wii(Aj) , j = 1, . . . , n.

Ebbl kvetkezik, hogy a nett dntsi folyamok felbonthatk szempontonknti, slyo-zott nett dntsi folyamok sszegre. Vezessk be az aij = i(Aj) , i = 1, . . . ,m,j = 1,. . . ,n, jellseket. gy a kvetkez dntsi tblzathoz jutunk:

C1

Cm

A1 Ana11 a1n...

...am1 amna1 an

cT1

cTm

ahol az a1, . . . , an, mdimenzis vektorok jelentik az alternatvk reprezentciit, ac1, . . . , cm pedig a szempontokhoz tartoz rtkel vektorokat. A cl a dntsi tbl-zat informciinak grafikus megjelentse, ezrt bevezetjk az

A =

a11 . . . a1n... ...am1 . . . amn

= (a1, . . . , an) , aj Rm, j = 1, . . . , n.dntsi mtrixot.

67

I.4.2. Az alternatvk brzolsa

Az alternatvk grafikus megjelentse 2 vagy 3 dimenziban lehetsges, ezrt az alter-natvkat reprezentl mdimenzis aj, j = 1, . . . , n, vektorokat az m-dimenzis trbenegy 2-dimenzis altrre, azaz skra kell vetteni gy, hogy minl kevesebb informcitvesztsnk.

Legyen a keresett kt vektor u s v, a dntsi mtrixban szerepl tetszleges aj vektorvetlete j, s legyen az aj sj vektorok klnbsgvektora j, amint az a mellkeltbrn is lthat.

A cl teht olyan u, v Rm, ||u || = 1, ||v || = 1, uTv = 0, vektorok meghatrozsa,hogy az A dntsi mtrix aj, j = 1, . . . , n, vektorai segtsgvel kpzett

nj=1

2j

fggvny rtke minimlis legyen, azaz az j, j = 1, ..., n, vetletek a lehet legkisebbmrtkben trjenek el az eredeti aj, j = 1, ..., n, vektoroktl.

Bevezetve a B = AAT jellst, ahol A az mnes dntsi mtrix, s felhasznlva azj = j u+j v, j = 1, . . . , n,

vektorok u s v vektorok segtsgvel trtn ellltst, azt kapjuk, hogynj=1

2j =nj=1

(aj j)2 =nj=1

(aTj aj 2aTj j +Tj j

)=

tr(ATA

) nj=1

(2j

(aTj u

)+ 2j

(aTj v

) 2j 2j) =tr(ATA

) nj=1

(2j +

2j

),

ahol a tr szimblum a mgtte ll mtrix diagonlis elemeinek az sszegt jelenti. Mivelj = a

Tj u, j = a

Tj v, j = 1, . . . , n,

nj=1

(2j +

2j

)= uTAAT u+ vTAAT v,

68

ezzel belttuk, hogy

minni=1

2j = trBT max

u,vRm(uTBu+ vTBv

)= trBT (1 + 2) ,

ahol 1 s 2 az (mm)-es B mtrix kt legnagyobb sajtrtke, u s v az ezekheztartoz, egysgnyi hosszsg sajtvektorok. Az utols egyenlsget altmasztjk akvetkez sajtrtk egyenletek:

Bu =1u, Bv = 2v.

Az eredmnybl kvetkezik, hogy az alternatvkat reprezentl ktdimenzis vektorokkoordinti a kvetkezk:

j =(aTj u, a

Tj v), j = 1, ..., n.

Az gy kapott 2-dimenzis reprezentcikrl elmondhat, hogy amikor kicsi a tvolsgkt alternatva vetlete kztt, akkor az esetek nagy szzalkban az A mtrix megfeleloszlopai, az alternatvk m-dimenzis reprezentcii is kzel vannak egymshoz, teht adntshoz szempontjbl a kt alternatva hasonl.

I.4.3. A szempontok brzolsa

Az m-dimenzis Euklideszi tr, az Rm egysgvektorainak a GAIA skra val vett-svel kapjuk meg a GAIA skon a szempont tengelyeket, amiknek a koordinti:

i = (ui, vi) , i = 1, ...,m.

A szempontok GAIA skon trtn brzolsnak rtelmezshez, az alternatvk br-zolsakor alapvet fontossgnak bizonyult, optimlisan kivlasztott u s v vektorokravonatkoz albbi sszefggst hasznljuk fel:

maxu, v

{uTBu+ vTBv | u,v Rm} = m

i=1

mj=1

(cTi cj

)uiuj +

mi=1

mj=1

(cTi cj

)vivj =

mi=1

cTi ci ||i || 2 + 2mk=1

ml=1

k 6= l

cTk cl(Tk l

).

Vizsgljuk meg a 2-dimenzis i, i = 1, ...,m, vektorokat, amiknek az irnya s ahossza klnbz. A fenti sszefggsbl kiindulva vilgosan ltszik a kapcsolat a szem-pontok jellemzi, illetve az ket reprezentl tengelyek geometriai sajtossgai kztt,s gy a dntsi feladatra vonatkoz lnyeges informcikat szrhetnk le.

A dntsi feladatban a meghatroz szempontok azokhoz az i indexekhez tartoznak,amelyeknl a cTi ci s a i2 skalr szorzatok rtkei nagyok.

Hasonl szempontokrl beszlnk akkor, ha a szempont-tengelyek irnya nem tr eljelentsen, azaz ha a Tk l skalr szorzat rtke pozitv valamilyen (k, l) indexpr esetn.

69

Fggetlen szempontokrl beszlnk akkor, ha a cTk cl s Tk l skalr szorzatok rtkekzel van a nullhoz valamilyen (k, l) indexpr esetn. Ez azt jelenti, hogy a GAIA skona k s az l szempont-tengelyek kzel merlegesek.

Ellentmond szempontokrl beszlnk akkor, ha a cTk cl s Tk l skalr szorzatok nagynegatv rtkeket vesznek fel. Ebben az esetben a k s az l szempont-tengelyek kzelellenttes irnyak a GAIA skon.

Az elbbiekbl ltszik, hogy a vizualizls a GAIA skon hatkony eszkz a dntsiproblma elemzsben. Azonban hangslyozni kell, hogy az elemzsek elssorban valsadatokon elvgzett ksrletek eredmnyein alapulnak, ne