toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · Web viewĐường vuông góc với IM tại M cắt Ax,By theo thứ tự D,E. Chứng minh rằng tích AD.BE có giá trị không

Nhóm biên sọan lớp 10 Tóan

1

2

2

1

3

1

x

O

C

A

B

M

P

N

1

Giáo viên hướng dẫn: ĐỖ KIM SƠN


Trong hoạt động của mình, con người luôn luôn đối mặt với một câu hỏi tìm giá trị cực

đại hoặc cực tiểu của một đối tượng hình học nào đó về độ dài, diện tích, bề mặt hoặc thể tích,… Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều, chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực trị” mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều hoặc hình tròn, khối cầu,….

Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và nghiên cứu. Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặc trưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học. Ở ta, những loại sách tổng kết lại những bài toán cực trị trong hình học còn hiếm, nhất là không hệ thống phương pháp giải và đưa ra một cách nhìn mới trong học tập, rất nhiều cuốn bài tập chỉ mang tính chất liệt kê không làm nổi bật những ý tưởng của đề toán và các phương pháp tiếp cận giải toán

Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học”. Chuyên đề này chỉ giới thiệu về một số phương pháp tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình học phẳng và hình học vectơ. Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa. Và cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp khác nhau.

Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn thông cảm. Xin chân thành cảm ơn!

Nhóm biên tập

2


Tóm tắt kiến thức :1) Cực trị hình học : Cho biểu thức f phụ thuộc điểm X biến thiên trên miền D. Ta nói :

2) Phép toán vector: Phép cộng vector:

* Quy tắc 3 điểm: * Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì

Phép trừ vector: * Quy tắc: Tích vector với 1 số: Cho số k ≠ 0 và . Tích vector a với số k là một vector kí hiệu , cùng hướng vector a nếu k > 0 và ngược hướng vector a nếu k < 0 và có độ dài bằng Tích vô hướng của hai vector : Cho khác vector 0 . Ta có :

Một số kí hiệu dùng trong tài liệu: độ dài các cạnh BC, CA, AB của .

: độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của .: độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của .

: bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp .: bán kính các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của .

Một số điểm đặc biệt trong tam giácĐiểm Lemoine:

3


Định nghĩa: Trên các cạnh BC, CA, AB của lấy các điểm tương ứng sao cho

(các đường là các đường đối trung). Khi đó các

đường thẳng đồng quy tại điểm L gọi là điểm Lemoine.Tính chất: Cho , L là điểm trong tam giác. Gọi H, K, N theo thứ tự là hình chiếu của L trên BC, CA, AB. Khi đó L là điểm Lemoine của khi và chỉ khi L là trọng tâm của

khi và chỉ khi

Điểm Toricelli: Cho có các góc đều nhỏ hơn . Khi đó tồn tại duy nhất điểm T có tính chất cùng nhìn các cạnh BC, CA, AB dưới các góc . Điểm T như vậy gọi là điểm Toricelli của .Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại

. Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm J gọi là điểm Gergone.Điểm Naghen: Các đường tròn bàng của tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại

. Khi đó các đường thẳng đồng quy tại điểm N gọi là điểm Naghen.

4


Phương pháp 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc.

5


Ví dụ 1.1: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH. Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.Giải: HAE= EBF(c-g-c) HE= EF.

O

C

AB

D

E

H

F

G

Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi.

HAE= EBF còn suy ra Ta lại có Do đó: . Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG, do đó O là tâm của cà hai hình vuông ABCD và EFGH.HOE vuông cân: Chu vi EFGH= 4.HE= .OE. Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất. Kẻ . Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK E K Do đó min OE= OK Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Nhận xét về phương pháp giải: trong cách giải trên có các biến đổi tương đương sau: Chu vi EFGH nhỏ nhất HE nhỏ nhất OE nhỏ nhất. Quan hệ OE OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí của điểm E để OE có độ dài nhỏ nhất .

Ví dụ 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Xáx định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.Giải: Gọi K là giao điểm của CM và DB.MAC= MBK(g-c-g) MC= MK.

6


DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra . Kẻ . Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a.

x

y

a a

H

K

D

MA B

C

Do CD AB= 2a và MH= a nên:

Khi đó .

Vậy . Các điểm C, D được xác định trê Ax, By sao cho AC= BD= a

Ví dụ 1.3: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất.Giải: Gọi S là diện tích ABC. Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có:

Kẻ ta có : nên BE+ CF =

Do đó BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất.

7


F

E

H

A

BCD

Đường xiên AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất. Ta có HD HB ( do ) và HD = HB khi và chỉ khi DB. Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có giá trị lớn nhất.Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành. Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng d.Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất.Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. O’ là hình chiếu vuông góc của O trên d.

DD’B’B là hình thang.

d

O'

O

B'

C'

D'

C

AB

D

Mà và O là trung điểm BD ( ABCD là hình bình hành) Do đó OO’ là đường trung bình của hình thang DD’B’B

và O là trung điểm AC.( ABCD là hình bình hành)

Do đó OO’ là đường trung bình cùa ACC’

nên OO’ OA. Do đó BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’ 4.OA ( không đổi) Dấu “=” xảy ra O’ A d vuông góc AC tại A.

8


Phương pháp 2: Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

Ví dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.Giải: Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến AI=

K

I

C

A B

D

F

H

E

G

Tương tự MC= .

IK là đường trung bình của EFG IK= .

Tương tự KM=

Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI + IK + KM + MC AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc) Suy ra: chu vi EFGH 2AC ( không đổi). Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A, I, K , M, C thẳng hàng. Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ nhất khi đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng AC.

Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếpABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy.Giải: Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC một cách tùy ý ( M thuộc AB, N thuộc BC, P thuộc AC). Vẽ E, F sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là đường trung trực của NF. Chu vi MNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF EF

9

M


1 2

A

B C

M

N

P

E

F

Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất. Ta có EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.EF nhỏ nhất AE nhò nhất AN nhỏ nhất Như vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A, còn M và P là giao điểm cùa EF với AB, AC. Ta có nhận xét rằng khi N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P cũng là chân hai đường cao còn lại của tam giác. CM: Xét HMP: AB là đường phân giác của góc EMH, AC là đường phân giác ngoài của góc FPH. Ta có AB, AC gặp nhau tại A nên HA là tia phân giác của góc MHP. Vì AH HC nên HC là đường phân giác ngoài tại đỉnh H. Theo trên AC là đường phân giàc ngoài tại đỉnh P, HC gặp AC tại C nên MC là tia phân giác góc trong tại đỉnh M.

H

A

B C

M

P

E

F

MB và MC là các tia phân giác của các góc kề bù nên MB MC. Tương tự PC PB Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của tam giác ABC. Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác.Cách 2: Lấy M, N, P tùy ý trên AB, BC, CA và nối tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P.Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, S là diện tích tam giác.

Khi đó:

10


1

2

2

1

3

1

x

O

C

A

B

M

P

N

Do OA = OB = OC = R nên

Do đó chu vi

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi OA MP, OB MN, OC NP. Ta sẽ CM rằng khi đó thì AN, BP, CM là các đường cao của tam giác ABC. Thật vậy, giả sử OA MP, OB MN, OC NP. Kẻ tiếp tuyến Ax. Ta có ( cùng

bằng góc BAx). Chứng minh tương tự . Do đó suy ra . Như vậy MA là phân giác ngoài của tam giác MNP. Tương tự PA là đường phân giác ngoài tam giác MNP. Suy ra NA là đường phân giác của góc MNP. Ta lại có nên . Chứng minh tương tự . Tam giác MNP có chu vi nhò nhất khi và chỉ khi N, P, M là chân các đường cao của tam giác ABC.

Ví dụ 2.3: Cho tam giác đều ABC và trung điểm M của AB. Trước tiên An chọn một điểm N trên BC, tiếp đó Bình chọn một điểm P trên AC. Mục tiêu của An là muốn tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, còn Bình muốn tổng d nhỏ nhất. Hỏi rằng nếu cả hai đều có cách chọn tốt nhất thì N và P là những điểm nào?

Giải Vẽ các điểm D, E sao cho AC là đường trung trực của MD, BC là đường trung trực của ME. Độ dài đường gấp khúc DPNE bằng d.

11


E

D

M

B

P CA

N

Dễ thấy hoặc PN + NE < PB + BE hoặc PN + NE < PC + CE nên độ dài của đường gấp khúc DPNE không vượt quá độ dài của đường gấp khúc DPBE hoặc độ dài của đường gấp khúc DPCE. Vậy để d lớn nhất thì An phải chọn N trùng B hoặc C. Rõ ràng để tổng d nhỏ nhất thì Bình phải chọn P là giao điểm của ND và AC.

B'

P

D

CA

B trùng N

M

12


Trong trường hợp An chọn N trùng B thì Bình chọn P là giao điểm của BD và AC, khi đó d = . Còn trong trường hớp An chọn N trùng C thì Bình chọn P là giao điểm

của CD và AC, chính là C, khi đó d = .

h

D

C trùng N trùng PA

B

M

Bây giờ ta so sánh và . Đặt MC = h thì = 2h (1). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt MP ở B’. Ta có BP = B’P nên : = MB + Bp + PM = MB + B’P + PM = MB +B’M > BB’ = 2h (2) Từ (1) và (2) suy ra .Do cả hai người đều chơi tối ưu nên An chọn N trùng B để có tổng d lớn nhất, sau đó Bình chọn P là giao điểm của BD và AC.

Ví dụ 2.4: Cho hai điểm A và B nằm trong góc nhọn xOy. Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhò nhất. Giải:

13


y

x

N

M

B'

A'

O

A

B

Vẽ các điểm A’, B’ sao cho Ox là đường trung trực của AA’, Oy là đường trung trực của BB’. Độ dài đường gấp khúc AMNB bằng AM + Mn + NB = A’M + MN + NB’ A’B’.Độ dài đường gấp khúc đó nhỏ nhất trong trường hợp M, N nằm trên A’B’.

14


Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức trong đường tròn tìm cực trị

Ví dụ 3.1:Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điềm M,N thuộc d và dộ dài MN không đổi. Xác định vị trí hai điềm M, N để dường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ nhất.Giải:Dựng hình bình hành BNMB’ BB’= MN = a (không đổi); NB =MB’, B’ cố định.Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d. Ta có AM =A’M, A’ cố định.

d

B'

A'

A

B

M N

Xét ba điểm A’, M, B’ ta có A’M + MB’≥ A’B’ Do đó AM + MN + NB =A’M+ MN +MB’=( A’M+ MB’) + MN ≥ A’B’+ a (không đổi)Dấu bằng xảy ra M

Ví dụ 3.2: Nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm di động trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D,C Lần lượt là hình chiếu của A; B trên tiếp tuyến ấy.Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.Giải:Ta có: AD DC (gt), BC DC (gt) AD// BCABCD la hinh thang mà = 900 nên ABCD là hình thang vuông,OM DC nên OM // AD và O là trung điểm AB nên OM là đường trung bình của hình thang

ABCD

Do đó

15


D

C

E

OA B

M

Vẽ AE BC. Tứ giác ADCE là hình chữ nhật ( ) DC = EA

= 900 E thuộc đường tròn đường kính AB, AE là dậy cung của đường tròn (o) DC 2R (trong đường tròn đườn kính là dây lớn nhất)

Do đó (không đổi)Dấu bằng xảy ra AE là đường kính cùa (O)OM AB M là trung điểm của cung AB.

Ví dụ 3.3: Cho đường tròn (O;R) BC là dây cung cố định (BC 2R). A là diểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhấtGiải:

= AB + AC + BC (BC không đổi)Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = ACTa có ABC cân tại A Mà không đổi không đổi.

Mặt khác không đổi, BC cố định D thuộc cung chứa góc có số đo của (O)

dựng trên đoạn thẳng BC.

16


D

O

CB

A

lớn nhất (AB + DC) max BD max BD là đường kính của cung chứa góc nói trên.Khi đó = 900.Mà = 900

( AC = AD)

Do đó A là trung điểm của cung lớn BC

17


Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức đại số tìm cực trị

Ví dụ 4.1: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Xác định vị trí M để MA + đạt giá trị lớn nhất.Giải: (góc nội tíếp chắn nửa đường tròn)Tam giác MAB có nên theo định lý Pitago ta có:

OA B

M

Áp dụng bất đảng thức

Ta có:

hằng số.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi là nủa tam giác đều

Ví dụ 4.2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Lấy điểm D trên cạnh BC ( D khác B,C ). Gọi lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD. Xác định vị trí của D để

tích đạt giá trị lớn nhất.Giải: Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC, là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD. Dễ thấy , . Vì

> 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

18


MH

NK

O2

O

DB C

A

O1

Khi đó suy ra BK = CN. Suy tiếp ra BH = CM.

Từ đó AH = AM. Vậy . Nên , kẻ . Dễ thấy I trùng J và Từ đó KD = DN. Vậy D là trung điểm của BC thì tích đạt giá trị lớn nhất. Lúc đó A, O, D thẳng hàng.

Ví dụ 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định. A là điểm di động sao cho tam giác ABC nhọn. AA’ là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Xác dịnh vị trí A để AA’.A’H đạt giá trị lớn nhấtGiải Xét A’BH và A’AC có ( Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc )

A'

H

A

B C

Do đó A’BH A’AC HA’/A’C = A’B/ AA’ A’A. HA’ = A’B. A’C,Ta có :

19


A’B,A’C = A’B(BC - A’B) = A’B. BC –A’B2

=

Vậy AA’. HA’ (không đổi)

Dấu bằng xảy ra = AB

A’ là trung điểm BC A thuộc trung trực của BC Vì ABC nhọn nên A nằm ngoài đường tròn đường kính BC.

20


Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích tìm cực trị

Ví dụ 5.1: Hãy tìm trong tam giác ABC một điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M đến ba cạnh có giá trị lớn nhất.Giải: Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ m đến ba cạnh BC, AC, AB; tương ứng là đường cao xuất pháp từ các đỉnh A, B, C. Ta có:

z

x

y

H

D

E

F

B C

A

M

Như vậy, các số có tổng không đổi, do đó tích lớn nhất (cũng có

nghĩa là x.y.z lớn nhất) khi và chỉ khi: .

Khi đó M là trọng tâm tam giác ABC.

Ví dụ 5.2: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB. Vẽ các tam giác đều AMC và BMD về một phía của AB. Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất.Giải: Cách 1: Gọi K là giao điểm AC và BD. Các tam giác AMC, BMD đồng dạng với tam giác AKB.Đặt AM = x, AB = a, .

Ta có: nên

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = y

Do đó: M là trung điểm của AB

21


12

x y

D

C

BA

K

M

Cách 2: Ta có

M là trung điểm của AB.

Ví dụ 5.3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12 cm, E là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF = 4 cm. Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD sao cho GH // EF. Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.Giải:Đặt , BG = x và kí hiệu như hình vẽ.

đồng dạng

=144-

=

=

=

22


x

3

2

4

1

E

BA

D C

FH

G

maxS = 75 khi và chỉ khi x = 3Diện tích lớn nhất của tứ giác EFGH là 75 với BG = 3cm.

Ví dụ 5.4: Cho hình vuông ABCD có AB = 6m, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AE = 2m. Xác định vị trí điểm F trên cạnh BC sao cho hình thang EFGH ( G thuộc cạnh CD, H thuộc cạnh AB và EH // GF // BD) có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.Giải: Đặt BF = x, .

4

x 6-x

6-x

x

4

2

2 BA

D C

E

HF

G

Ta có:

MaxS = 18 khi và chỉ khi x = 2Vậy BF = 2m. Khi đó

23


Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vectorVí dụ 1.1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN:

24


Giải: Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì:

M2

M1

I

O

CB

A

M

Khi đó :

Như vậy T lớn nhất lớn nhất MI lớn nhất M với là giao điểm của

OI với đường tròn (O), nằm ngoài đoạn OI..

Tương tự T nhỏ nhất với là giao điểm của OI với đường tròn (O) , thuộc đoạn OI.

Ví dụ 1.2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và ba số sao cho . Tìm điểm M thuộc (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN

Giải: Gọi I là tâm tỷ cự của hệ điểm A, B, C ứng với các hệ số

Do đó .

Gọi lần lượt là giao của OI với đường tròn (O) trong đó thì :

T lớn nhất khi và chỉ khi M trùng

T nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng

Ví dụ 1.3: Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt A, B cố định sao cho đường thẳng AB không cắt (O). Tên đường tròn đó lấy điểm C và dựng điểm M thỏa điều kiện

. Tìm vị trí của điểm C để đoạn CM có độ dài nhỏ nhất, lớn nhất.

25


Giải : Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và .

Gọi là giao của OI với đường tròn (O) và coi .

C2

C1

I

M

O

C

A B

Với C bất kì thuộc (O) ta có:

Do đó . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng

Mặt khác

Do đó . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng

Vậy CM lớn nhất khi và chỉ khi C trùng

CM nhỏ nhất khi và chỉ khi C trùng

Ví dụ 1.4: Giả sử tam giác ABC và A’B’C’ là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G’ cố định. Tìn GTNN của tổng: Giải: Vì và nên

Do đó:

26


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vector cùng hướng

Vậy min = 3GG’Nhận xét: từ khái niệm trọng tâm của đoạn thẳng và tứ giác ta cũng có:

Min ( AA’+BB’) = 2GG’ Min ( AA’+BB’+CC’+DD’) = 4 GG’

Phương pháp 2 : Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng: Ví dụ 2.1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định đi qua C. Trên d lấy điểm M và lập tổng . Tìm vị trí M để tổng đó đạt giá trị nhỏ nhất.

27


Giải: Giả sử I là điểm sao cho thì I là điểm cố định .

d

C

M

AB

I

Ta có Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất , điều này tương

đương , tức là M thuộc đường tròng (C) đường kính IC.

Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của d với đường tròn đường kính IC

Ví dụ 2.2: Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tìm tam giác có tổng T = lớn nhất.

Giải: Ta có:

Suy ra T . Đẳng thức xảy ra ABC là tam giác đềuVậy trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn thì tam giác đều thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 2.3: Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hãy tìm tam giác có tổng bình phương các khoảng cách từ tâm đường tròn đến các cạnh là nhỏ nhất.Giải: Gọi lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn đến ba cạnh BC, CA, AB của tam giác.

28


dc db

da

O

CB

A

Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Vậy min khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 2.4: Cho điểm M nằm trong mặt phằng tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải : Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chì khi M trùng G

Vậy min T = khi và chỉ khi M trùng G.

29


Phương pháp 3 : Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vector:Ví dụ 3.1: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O). Tìm trên đường tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhò nhất, lớn nhất.Giải: Với mọi điểm M thuộc đường tròn (O) ta có:

M1

M2

H O

C

A

B

M

( với H là trực tâm của tam giác)

Từ đó suy ra

T nhỏ nhất T lớn nhất

Ví dụ 3.2 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc giữa hai trung tuyến BD và CK. Tìm giá trị nhỏ nhất của cosGiải: Ta có

30


aK

D

B

A C

Mặt khác:

( do )

Do đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD = CK khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A

Vậy

Ví dụ 3.3: Cho M là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳng tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có :

Theo BĐT Cauchy ta có

Do đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

31


Chứng minh tương tự:



Vậy


{ đều

Mặt khác:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi{

32


Vậy MinT {tam giác ABC đều

Ví dụ 3.4: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

Giải: Ta có:

Do đó ta có:

Mặt khác lại có:

Suy ra:

Do đó :

(với )

Vì vậy

Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi

33


{ (thỏa mãn (2))

Vậy Min T= AB+AC khi và chì khi M trùng A

34


Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm vị trí của M thuộc đường tròn(O) ngoại tiếp tam giác ABC,sao cho nếu gọi D,E theo thứ tự là các hình chiếu của M trên các đường thẳng AB,AC thì DE có độ dài lớn nhấtHướng dẫn ADME là hcn. Kẻ đường kính AK,ta có DE=AM≤ AK.Do đó max DE=AK M≡K. Khi đó DE≡BC

Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây AB. Điểm M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên các tiếp tuyến tại A,tại B của đường tròn. Tìm vị trí của M để tích MI.MK có giá trị lớn nhất.Hướng dẫn Chứng minh rằng MI.MK=MH2 với H là hình chiếu của M trên AB.Do đó M phải tìm là điểm chính giữa của cung AB.

Bài 3: Cho đường tròn tâm (O) và dây BC không đi qua O. Điểm A di chuyển trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của điểm A để tổng HA+HB+HC có giá trị lớn nhấtHướng dẫn Vẽ đường kính AOK,gọi M là giao điểm của HK và BC.Ta có HA=2OM không đổi,HB+HC=KB+KC.Do đó HA+HB+HC lớn nhất KB+KC lớn nhất.

35


Vẽ các đường kính BB’,CC’. Khi điểm A di chuyển trên cung B’C’ thì điểm K di chuyển trên cung BC. Tổng KB+KC lớn nhất khi và chỉ khi K là điểm chính giữa của cung BC.Khi đó A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

Bài 4: Cho đường tròn tâm(O) và dây AB.Tìm điểm C thuộc cung nhỏ AB sao cho tổng

có giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn Đặt CA=x,CB=y. Ta có

Do đó nhỏ nhất x+y nhỏ nhất C là điểm chính giữa của cung AB

Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc cung BC sao cho nếu gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB,BC,AC, thì tổng MA+MB+MC+MH+MI+MK có giá trị nhỏ nhất, lớn nhấtHướng dẫn Đặt MA+MB+MC=d1, MH+MI+MK=d2, d=d1+d2. Chứng minh rằng

d1=2MA, với AB=BC=CA=a.

d nhỏ nhất khi M≡B hoặc M≡C (khi đó cả d1 và d2 đều nhỏ nhất). d lớn nhất khi M ở chính giữa cung BC (khi đó cả d1 và d2 đều lớn nhất)

Bài 6: Cho điểm I nằm trên đoạn thẳng AB(IA<IB). Trên cùng một nửa mph bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax,By. Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đó. Đường vuông góc với IM tại M cắt Ax,By theo thứ tự D,E.

a) Chứng minh rằng tích AD.BE có giá trị không đổi b) Tìm vị trí của M để hình thang ADBE có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn a) Áp dụng tứ giác nội tiếp

b) Diện tích hình thang ABED nhỏ nhất khi và chỉ khi AD + BE nhỏ nhất khi và chỉ khi

Bài 7: Cho đường tròn (O;R). Dựng đường tròn (O’;R’) sao cho tâm O nằm trên đường tròn (O’;R’). Dây cung AB của (O;R) di động và tiếp xúc với (O’R’). Gọi C là tiếp điểm. Xác định vị trí của dây cung AB để tổngS=AC2+BC2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R và R’Hướng dẫn Gọi H là trung điểm của AB OH AB. Vẽ OK O’C OHCK là hcn AC2 + CB2 = 2(R2 − OH2)+(O’O2 − O’K2)

S = 2R2 − 2OH2+2R’2 − 2(R’ − OH)2 = (2R2 + R’2) − (R’ − 2OH)2 ≤ 2R2 +R’2

36


Smax = 2R2 + R’2 khi R’ = 2OH OH = . Vậy AB là tiếp tuyến chung ngoài của

(O’;R’) v à (O; )

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định. M là điểm di động trên đường chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC. Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.Hướng dẫn Đặt AE=x, CF=y => MF=CF=BE=y

x+y=a SDEF=SABCD − SDAE − SDCF − SBEF

=

=

Ta có SDEF nhỏ nhất x.y nhỏ nhất

khi

Lúc đó M là trung điểm của AC

MinSDEF =

Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điềm di dộng E và F sao cho AE+EF+FA=2a.

a) Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. b) Tìm vị trí của E,F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.Hướng dẫn a) Chứng minh .Vẽ CI vuông góc EF đpcmb)

Do đó

Bài 10: Cho hai điểm A,B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn.Gọi H là trực tâm tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KMHướng dẫn Tam giác BKM đồng dạng tam giác HKA (g-c-g)

37


Bài 11: Tìm kích thước của một tam giác có diện tích lớn nhất, nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R cho trước.Hướng dẫn Tam giác đều có cạnh bằng R có diện tích lớn nhất

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= a cho trước, BC=2AB. Gọi tam giác DEF là một nửa tam giác đều nội tiếp trong tam giác ABC (D trên cạnh BC, E trên cạnh AC,F trên cạnh AB và góc EDF vuông). Tìm vị trí D,E,F để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tính theo a giá trị nhỏ nhất đó.Hướng dẫn Xét 2 TH:1)

2)

Bài 13: Cho tam giác có ba góc nhọn.tìm điểm M ở trong tam giác sao cho MA.BC+MB.CA+MC.AB đạt giá trị nhỏ nhấtHướng dẫn Kéo dài AM cắt cạnh BC tại A’ và vẽ BE AM, CF AMVậy (MA.BC+MB.CA+MC.AB) đạt GTNN là 4 khi và chỉ khi M là trực tâm tam giác ABC

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A, ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB,AC. Một đường thẳng (d) quay quanh A và cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M,N (khác A). Xác định hai điểm M,N sao cho chu vi tứ giác BCNM lớn nhất.Hướng dẫn Dễ dàng ta thấy BMNC là 1 hình thang vuông với đường cao là MN Gọi P là chu vi hình thang BCMN thì : P=BC+(AM+MB)+(AN+AC) (với BC cố định) Ta luôn có (AM − MB)2 ≥ 0 2AB2 ≥ (AM+MB)2

Suy ra: AM+MB ≤ AB Tương tự : CN+NA ≤ ADBMCN lớn nhất khi M,N là điểm chính giữa của hai nửa đường tròn dường kính AB hay AC tuỳ theo AB≥AC hay AB≤AC

Bài 15: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn IH,IK,IL lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. Tìm vị trí của I sao cho AL2+BH2+CK2 nhỏ nhất.Hướng dẫn AL2+BH2+CK2 nhỏ nhất H,K,L là trung điểm của các cạnh tam giác ABC và lúc đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

38


Bài 16: .Cho tam giác ABC thay đổi có AB=6 và CA=2CB. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.Hướng dẫn Gọi CI và CJ là hai đường phân giác trong và ngoài của tam giác ABC góc ICJ=900

Áp dụng tính chất đường phân giác IJ = 8

Vẽ CH vuông góc với BC và O là trung điểm IJ thì CH≤CO = =4

Do đó và dấu “=” xảy ra H≡O

Bài 17: Cho đường tròn (O), bán kính R và hai điểm A,B nằm ngoài đường tròn (O) với OA=2R. Xác định vị trí điểm M trên đường tròn (O) sao cho biểu thức P=MA+2BM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.Hướng dẫn MA+2MB nhỏ nhất Ba điểm B,M,H thẳng hàng hay M là giao điểm của BH với đường tròn (O)

Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A và d là một đường thẳng đi qua A. Gọi B’,C’ là hình chiếu của B,C trên d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng BB’+CC’ là lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.Hướng dẫn Xét 2 trường hợp • Đường thẳng d đi qua A và cắt cạnh BC tại I Ta có: BB’+CC’ ≤ BI+CI=BC Từ đó BB’+CC’=BC d vuông góc với BC • Đường thẳng d đi qua A và không cắt cạnh BC

BB’C’C là hthang vuông. Gọi M,N là trung điểm BC ,B’C’ MN là đường trung bình của hình thang. Ta có BB’+CC’=2MN ≤ 2AM(do MN≤AM) Từ đó BB’+CC’=2AM d vuông góc với đường trung tuyến của tam giác ABC.Vậy cả hai TH BB’+CC’ có già trị lớn nhất bằng độ dài cạnh huyền BC của tam giác ABC

Bài 19: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By của mỗi đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) tại điểm M cắt Ax tại D, By tại E.

a. Chứng minh: tam giác DOE là tam giác vuông.b. Chứng minh:AD.BE=R2

c. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn

c)SDOE=

Do đó SDOE nhỏ nhất DE nhỏ nhất

39


DE ≥ AB=2R DEmin = 2R khi DE// AB. Lúc đó OM vuông góc AB

Bài 20: Cho tam giác đều có cạnh bằng 1. Lấy D bất kì trên BC. Gọi r1, r2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và tam giác ADC. Xác định vị trí của D để tích r1.r2 lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.Hướng dẫn Đặt BD = x CD = 1-xTam giác DEA vuông tại E

Max khi D là trung điểm của BC

Bài 21: Cho đường thẳng d và . Với mỗi điểm D thuộc d dựng điểm M sao cho . Tìm độ dài nhỏ nhất của .

Hướng dẫn:Gọi G là trọng tâm thì G cố định và . Kẻ GH d thì Do đó DM = 3DG . Dấu “=” xảy ra . Vậy minDM = 3GH.

Bài 22: . Cho các số thực x, y thoả xy = 1 và cho hai vectơ , hợp với nhau góc . Tìm

giá trị nhỏ nhất của .Hướng dẫn:

Sử dụng .

Bài 23: Cho đường thẳng d và tứ giác ABCD. Tìm trên d điểm M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn: M là chân đường vuông góc hạ từ trọng tâm G xuống d.

Bài 24:. Cho 3 điểm A, B, C và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: T = .Hướng dẫn:

(với I, K lần lượt là trung điểm AB, BC).Gọi D là điễm thỏa thì D là điểm cố định và

Do đó T đạt min M là hình chiếu của D trên d.

Bài 25: Cho đều, cạnh a.

40


a) Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp , tính theo a.b) Cho đường thẳng d, tìm điểm N trên d sao cho nhỏ nhất.

Hướng dẫn:Gọi G là trọng tâm của thì:

a) = 2b) N là hình chiếu của G trên d.

Bài 26: Trong tất cả các tam giác nội tiếp đường tròn , hãy tìm tam giác để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a) .b) .

c) .

Hướng dẫn:a) Áp dụng công thức đường trung tuyến.b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.c) Khai triển bình phương vô hướng:

Bài 27. Chứng minh rằng với mọi ta có bất đẳng thức:.

Hướng dẫn:Gọi O, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của . OA.GA + OB.GB + OC.GC

.

Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Bài 28: Cho M là một điểm bất kì trong . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Hướng dẫn: min = abc M là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Bài 29: Cho có . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Hướng dẫn:

41


Bình phương tổng ta có suy ra điều phải chứng minh.

Bài 30: Cho ngoại tiếp đường tròn tâm I. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Hướng dẫn:

Bình phương vô hướng suy ra .

Max T = đều.

Bài 31: Cho = và một độ dài a. Trên hai cạnh Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A, B sao cho OA + OB = a. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn AB.Hướng dẫn:

Dấu “=” xảy ra OA = OB = .

Vậy min AB = .

Bài 32: Từ điểm I trên cạnh BC của dựng , . Xác định vị trí điểm I sao cho MN có độ dài ngắn nhất.Hướng dẫn:

Đặt thì

Ta có nên (ABCD là hình bình hành).Tìm điểm K trên cạnh AD để thì .Vậy MN ngắn nhất BK ngắn nhất .

42


Từ đó ta suy ra cách dựng điểm I.

Bài 33: Cho tứ giác lồi ABCD, M là điểm tùy ý trên cạnh CD. Gọi lần lượt là chu vi các tam giác AMB, ACB, ADB. Cmr: .Hướng dẫn:

M thuộc cạnh CD nên

Do đó (Dấu “=”

không xảy ra vì không cùng phương).

Tương tự với BM. Suy ra

Như vậy AM + BM < suy ra

AM + BM + AB < (đpcm)

Bài 34: Cho M là một điểm thuộc miền trong . Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.Hướng dẫn:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki:

Dấu “=” xảy ra

M là điểm Lemoine của .

Bài 35: Cho và một điểm M tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của tồng.

Hướng dẫn:Ta có nên

43


Chú ý: ta có:

Dấu “=” xảy ra M là điểm Lemoine của

Bài 36: Cho . Các điểm M, N, P lần lượt di động trên các đường thẳng BC, CA, AB. Xác định vị trí của các điểm M, N, P sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.Hướng dẫn:Gọi G là trọng tâm của ; H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của G trên BC, CA, AB. Ta có

Áp dụng bài 14 ta được

Dấu “=” xảy ra

G là điểm Lemoine của . Vậy ( ) nhỏ nhất M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm Lemoine của

trên các đường thẳng BC, CA, AB.

Bài 37: Trong tất cả các tam giác nội tiếp đường tròn , hãy tìm tam giác để biểu thức

sau đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn:Gọi là tam giác có độ dài các cạnh là và là bán kính đường ngoại tiếp tam

giác .Giả sử AM, BE, CF là các đường trung tuyến của . Dựng hình bình hành ABCD, gọi I là trung điểm CD thì MI = BE và AI = CF. Do vậy và:

Khi đó

Mà nên

Dấu “=” xảy ra đều.

Bài 38: Cho đoạn thẳng AB, đường thẳng d và các số thực sao cho . Với mỗi điểm M thuộc d lập tổng . Xác định vị trí của điểm M để T đạt giá trị nhỏ nhất.

44


Hướng dẫn:Gọi I là điểm xác định bởi thì

Do đó T nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên d.

Bài 39: Cho trọng tâm G nội tiếp đường tròn . G ọi M là một điểm thuộc đường tròn đường kính OG. Giả sử AM, BM, CM cắt theo thứ tự tại các điểm . Cmr:

.

Hướng dẫn:

Với mọi điểm M ta có:

Trong hệ thức trên cho thu được .Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Đúng vì M thuộc đường tròn đường kính OG.

Vậy

Bài 40: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng:a) .

b) .

Hướng dẫn:Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD. Ta có

a) Vì nên .

b) Theo câu a:

45


Bài 41: Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nôi tiếp . Chứng minh rằng:

.Hướng dẫn:

.

Sử dụng và suy ra điều phải chứng minh.

Bài 42: Cho M thuộc miền trong nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.

Hướng dẫn:Gọi H là trực tâm của thì .Đáp số T .

Bài 43: Cho tam giác nhọn ABC với Q là tâm đường tròn Euler của nó. Đường tròn ngoại tiếp cắt AQ, BQ, CQ lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:

.

Hưóng dẫn:Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của . Ta có O, H, Q, G thẳng hàng và

Suy ra .

Tương tự suy ra:

.

Bài 44: Gọi O, I , G, H, L, N, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm, trực tâm, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone của , chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) .2) .

46


3) .4) .5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

Hưóng dẫn:Biễu diễn các vectơ theo các vectơ rồi bình phương vô hướng ta thu được các công thức sau:

1)

2)3)

4)

5)

6)

7)

Từ đó suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh.

Bài 45: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12 cm, E là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF = 4 cm. Các điểm G,H theo thứ tư di chuyển trên AB và AD sao cho GH// EF . Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.Hướng dẫn:Đặt SEFGH = S, BG = x

AGH đồng dạng CEF

47


DH =

Áp dụng :S = SABCD – SGAH - SGBF – SCEF - S DEH. Suy ra giá trị cần tìm.

Bài 46: Cho ABC, M là điểm nằm trong tam giác, qua M dựng các dường thẳng song song với các cạnh của tam giác tạo thành 3 tam giác nhỏ có diện tích s1, s2, s3. Gọi S là diện tích tam giác ABC.Tìm vị trí M để s1 + s2 + s3 nhỏ nhất.Hướng dẫn:Đặt S = SABC, S1 = SMDK , S2 = SMGE, S3 = SMFH

X = DM, y = ME, z =FHÁp dụng Tỉ số diện tích trong tam giác đồng dạng

Suy ra :

Áp dụng BĐT BCS : x2 + y2 + z2 ≥

s1 + s2 + s3 ≥

Bài 47: Cho hình vuông ABCD. Dựng đừong thẳng d qua C cắt các tia AB, AD tại hai điểm phan biệt M, N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.Hướng dẫn :Gọi a là cạnh hình vuông BM = x, DN = y.

Ta có : BC // AN xy = a2

MN2 = ( a+x)2 + ( a+y)2 =2a( x + y ) + ( x + y )2

MN2 nhỏ nhất x +y nhỏ nhất Vị trí d cần tìm

Bài 48: Cho tam giác ABC vuông tai A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM BC, IN AC, IK AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ nhất.Hướng dẫnKẻ AH BC, IE AH.Áp dụng Pitago: IK2 + IN 2 = AI2 ≥ AE2

Đặt AE = x , EH= y

Áp dụng BĐT Cauchy IM2 + IK2 +IN 2 ≥

48


Bài 49: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên 2 cạnh AB và AD lần lựơt lấy 2 điểm di động E và F sao cho: AE + EF + FA=2a.Tìm vị trí E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất. Hướng dẫn:

Dấu = khi

Bài 50: Cho đường tròn (O;R),đường kính AB cố định. C là một điểm cố định nằm giữa A và O, M di động trên đường tròn (O;R).Tìm vị trí của M trên (O;R) tương ứng lúc độ dàiHướng dẫn:

Mà CB không đổiDấu = khi

Bài 51:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC. Một đường thẳng d quay quanh A và cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Giả sử tam giác ABC vuông tại A, xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCMN lớn nhấtHướng dẫn:

Dấu = khi M, Nlần lượt là trung điểm của các cung AB, AC

Bài 52:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Tìm vị trí của I sao cho

nhỏ nhấtHướng dẫn:

không đổi

Dấu = khi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

49


Bài 53: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vuôg goc nhau tại I (khác O). Tìm vị trí của ABCD sao cho diện tích tam giác ICD lớn nhất.Hướng dẫn:

OI cắt (O;r) tại M’

Mà IM’ ,OM’ không đổiDấu = khi IC, ID tạo với IO các góc

Bài 54:Chi hai điểm A, b cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác MAB la tam giác có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KMHướng dẫn:Tam giác KAH đồng dạng tam giác KMB

KH.KM=AK.KBÁp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

Do đó (không đổi)

Dấu = khi AK=KB

Bài 55:Cho tam giác ABC. Xác dịnh vị trí điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ nhấtHướng dẫn:1)Tam giác ABC nhọnVẽ

AM cắt BC tại ITa có

50


Chứng minh tương tự,suy ra

Dấu = xảy ra là trực tâm .

2) vuông. Không mất tổng quát giả sử góc A . Tương tự câu 1.3) tù . Không mất tổng quát giả sử góc A . Nếu M A ta có = 2AB.CANếu M A vẽ và . Ta có M nằm trong Do đó > MA. B’C + B’M.CA + CM.AB’Áp dụng câu 1 ta được > 2AB.ACVậy M A thì AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 56: Cho điểm M nằm trong góc nhọn xOy. Hai điểm A, B lần lượt thay đổi trên Ox, Oy sao cho aOA = bOB. Tìm vị trí của A,B sao cho aMA + bMB đạt giá trị nhỏ nhất.(với a,b là hai số cho trước, a,b >0)Hướng dẫn:Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác≥OAMB, ta cóOA.MB + OB.MA ≥ OM.AB 3OB.Mb + 2OB.MA ≥ 2OM.AB Min 2MA + 3MB

Bài 57: Một lục giác có độ dài 6 cạnh đều bằng 1. CM lục giác đó có ít nhất một đường chéo chính nhỏ hơn hoặc bằng 2.(Đường chéo chính là đường chéo chia lục giác thành hai tứ giác)Hướng dẫn:Xét lục giác ABCDEF. Xét tam giác ACE. Không mất tính tổng quát, giả sử CE là cạnh lớn nhất trong tam giác. Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác ACDE. Từ đó suy ra AD ≤ 2

Bài 58: Trong tam giác ABC, CMR:a) a2 + b2 +c2 ≤ 9R2

b) R2 + a2 + b2 ≥ c2

Hướng dẫn: a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , ta có : ( + + )2 ≥ 0Khai triển ta được: 2 = 2R2 – c2

9R2 – (a2 +b2 + c2) ≥ 0dpcmb)Khai triển (OA + OB – OC)2 ≥ 0

Bài 59: Tứ diện ABCD, trọng tâm G, bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp là R, r, độ dài các cạnh là a, b, c, d, e, f. Chứng tỏ:

a) a2 + b2 + c2 +d2 +e2 + f2 16R2

b) GA + GB + GC + GD

Hướng dẫn:

51


a) Khai triển ( )2 0b) Ta có GA.R

Suy ra: (GA + GB + GC + GD)R

(GA + GB + GC + GD)R GA2+ GB2 + GC2+ GD2

Mà: GA2+GB2+GC2+GD2 =

Từ đó suy ra đpcm

Trong quá trình biên sọan quyển chuyên đề này, chúng em đã tham khảo và trích dẫm từ nhiều nguồn sách, báo và tài liệu khác nhau.

_”Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng” của Nguyễn Đức Tấn._”23 chuyên đề và 1001 bài toán “_”Nâng cao và phát triển tóan” của Vũ Hữu Bình_ Báo “ Tóan học và tuổi trẻ” do Hội Tóan học Việt Nam phát hành_ “ Lời giải môn tóan các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng

Phong TPHCM từ năm 1989 đến 2001” của Nguyễn Đức Tấn_Một số tài liệu từ mạng.Cảm ơn các tác giả sách, báo nói trên đã có những quyển sách hay giúp chúng em hòan

thành tốt chuyên đề này.Chân thành cảm ơn thầy và các bạn đã dành thời gian xem chuyên đề này. Nhóm biên tập

hân hạnh đón nhận những đóng góp từ thầy và các bạn.

52


Nhóm biên tập

Phạm Ngọc Xuân ĐàoNguyễn Thị Mỹ Huyền

Võ Thị Diễm PhíLê Thị Thu Thảo

Nguyễn Hòang Anh ThưTrương Thanh Thư

Lời mở đầu TrangChương 1: Cực trị trong hình học sơ cấp......................................................................................5Phương pháp 1:Vận dụng quan hệ giữa đừơng xiên và đường vuông góc......................................6Phương pháp 2: Vận dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc........................................9Phương pháp 3: Áp dụng BĐT trong đường tròn.........................................................................15Phương pháp 4: Áp dụng BĐT đại số............................................................................................18Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích..............................................................................................21Chương 2: Cực trị trong hình học Vectơ.....................................................................................24

53


Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vectơ.................................................................25Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng vectơ......................................28Phương pháp 3:Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng hai vectơ...............................................30Chương 3: Bài tập áp dụng..........................................................................................................34

54

Documents

toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · Web viewĐường vuông góc với IM tại M cắt Ax,By theo thứ tự D,E. Chứng minh rằng tích AD.BE có giá trị không