toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · Web viewBài toán tính giới hạn của hàm số dạng vô định , thường thực hiện theo cách phân tích thành nhân

Giải toán bằng công cụ Đạo hàm Giáo viên: Lê Văn Tiến – trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

GIẢI TOÁN BẰNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀMBài viết tháng 01 năm 2012

LỜI NÓI ĐẦU

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong chương trình toán phổ thông, đạo hàm trong chương trình học chính khóa, chủ yếu để khảo sát các tính chất của hàm số. Ngoài ra khai thác sâu hơn, đạo hàm còn là một công cụ hữu hiệu để giải toán.

Trong bài viết này, tôi xin đề cập đến vấn đề vận dụng đạo hàm vào giải quyết các nội dung cơ bản sau đây:

1) Chứng minh bất đẳng thức

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và áp dụng GTLN, GTNN vào giải một số bài toán

3) Tìm nghiệm của phương trình; bất phương trình; hệ phương trình; hệ bất phương trình

4) Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số

Các bài tập trong từng phần của bài viết, được trình bày theo một trình tự từ dễ đến khó, nhằm giúp học sinh nắm bắt được vấn đề, nâng cao khả năng nhận biết, từ đó phát hiện ra các quy luật, có khả năng vận dụng vào giải các bài tập khó hơn.

Đề tài là một chuyên đề, mà tôi đã áp dụng vào dạy cho học sinh trong phần bài tập “ Đạo hàm” của lớp 11; chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” ở lớp 12, luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi trong những năm học vừa qua. Các bài toán được trình bày, là một quá trình chọn lọc, sắp xếp, làm bài giảng phù hợp cho các đối tượng học sinh từ trung bình đến khá giỏi.

Ngoài ra trong đề tài còn trình bày thêm định lí Lagrange và một số định lí xung quanh định lí Lagrange, nhằm trang bị thêm cho học sinh khá giỏi các kiến thức để vận dụng vào giải một số bài toán thường có trong các đề thi học sinh giỏi.

Cuối mỗi phần 1) và 3) có trình bày các bài tập, mà cách giải vận dụng trực tiếp định lí Lagrange, nhằm minh họa cách áp dụng định lí này vào giải toán.

Đề tài được phát triển trên cơ sở một chuyên đề, mà kiến thức, luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi là chủ yếu, nên mức độ khó dễ giữa các bài toán có sự chênh lệch khá rõ rệt, bản thân đã cố gắng sắp xếp, sao cho mỗi bài toán vừa có đặc thù riêng vừa có liên quan đến nội dung của phần trình bày. Tuy nhiên trong cách trình bày không tránh khỏi thiếu sót, mong quý thầy cô giáo đóng góp thêm ý kiến để đề tài được phát triển tốt hơn.

Trang 2


NỘI DUNG

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểmCho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), x0 (a; b). Giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của biến số x khi số gia của biến số dần đến 0 gọi là đạo hàm của hàm số tại x0. Kí hiệu: f’(x0) hay y’.

Vậy

2. Đạo hàm một bên

a) Đạo hàm bên trái x0 là: ;

b) Đạo hàm bên phải x0 là: .

3. Định lý

Hàm số f(x) có đạo hàm tại

4. Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp n của hàm số f là đạo hàm cấp n – 1 của f

5. Tính đơn điệu của hàm sốCho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)

a) Nếu f’(x) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.b) Nếu f’(x) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.c) Nếu f’(x) thì hàm số là hàm không đổi trên khoảng đó.

Chú ý: Dấu bằng trong a) và b) xảy ra tại hữu hạn điểm.

B. GIỚI THIỆU THÊM MỘT SỐ ĐỊNH LÍ1. Định lý Weierstrass

Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] thì đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất trên [a; b]

2. Định lý Fermat Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì đạt cực trị tại điểm đó.

3. Định lý Rolle Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho .

Trang 3


Chứng minh Vì f(x) liên tục trên nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên [a; b].+ Nếu m = M thì f(x )= m = M suy ra . Do đó ta có .+ Nếu m < M thì hoặc .Giả sử . Vì f(x) liên tục trênTheo định Weierstrass tồn tại ít nhất một điểm sao cho .Hiển nhiên và suy ra . Vì nªn f(x) đạt cực tiểu tại c.Theo định lý Fecmat ta có .(Chứng minh tương tự cho trường hợp )

4. Định lý LagrangeNếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại ít nhất một số x0 (a; b) sao cho

f(b) – f(a) = f’(x0) (b – a) hay

Chứng minh

Xét hàm số với .

Ta có g(x) liên tục trên và có đạo hàm trên : .

Mặt khác nên theo định lý Rolle tồn tại sao cho .

Do đó (§pcm)5. Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange

Do f(x) liên tục trên nên đồ thị của f(x) trên là một cung liền nét AB, với A(a; f(a)), B(b; f(b)).

Cát tuyến AB có hệ số góc . Theo định lý Lagrange thì

sao cho

Ý nghĩa là: hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại C(c; f(c)), bằng hệ số góc của cát tuyến AB. Nói cách khác trên cung AB tốn tại ít nhất một điểm C, sao cho tiếp tuyến tại C song song với AB.

C. CÁC VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

VẤN ĐỀ I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Định hướng phát hiện vấn đề

Trang 4

O x

yB

C

A

f(c)

c

f(a)

f(b)

ba


Bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau, nhưng không có cách nào hữu hiệu để chứng minh cho tất cả các bài toán bất đẳng thức. Trong các cách đó thì sử dụng đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ để chứng minh bất đẳng thức.

2. Kiến thức vận dụng- Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số; - Sử dụng đến giá trị cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.Lưu ý:

+) Biến đổi bất đẳng thức về một vế là một hàm số, xét hàm số trên tập xác định và khảo sát dấu đạo hàm đạo hàm của nó trên tập đó;

+) Khi chưa xác định được dấu đạo hàm thì có thể tiếp tục tính đạo hàm cấp hai, cấp ba… để xác định dấu đạo hàm trên tập xác định.

3. Các bài tập

Bài 1. Chứng ming rằng với

Phân tích và lời giải - Rõ ràng bài toán không thể giải theo phương pháp biến đổi thông thường;- Định hướng: biến đổi bất đẳng thức về bất đẳng thức tương đương.

- Ta nghĩ đến cách xét hàm số với

Ta có với

Suy ra hàm số đồng biến trên Với thì

Hay

Bài 2. Với . Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải - Trong bất đẳng thức có chứa các đại lượng: acosa, sina và bcosb, sinb;- Bất đẳng thức ;- Ta nghĩ đến cách xét hàm số trên .Ta có

Nên hàm số nghịch biến trên Suy ra Ta có: Hay (đpcm).

Trang 5


Bài 3. Với mọi x > - 1 và . Chứng minh: (bất đẳng thức Becnuli)

Phân tích và lời giải - Bài toán có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số;- Định hướng trong bất đẳng thức có chứa x ta có thể nghĩ đến việc xét hàm số biến x;- Trước tiên xét các giá trị đặc biệt của n và x.Với n = 0; n = 1 hoặc x = 0 ta có bất đẳng thức đúngVới Ta xét hàm số với

.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên Hay

Dấu bằng khi và chỉ khi x = 0.

Bài 4. Với vaø vôùi Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải - Bài toán có thể giải theo phương pháp lượng giác hóa hoặc sử dụng khai triển nhị thức Newton;- Định hướng trong bất đẳng thức có chứa biến x, ta nghĩ đến việc xét hàm số

f(x) = (1 + x)n + (1 – x)n trên đoạn [-1; 1].Sử dụng phương pháp đạo hàm ta có:

f’(x) = n(1 + x)n – 1 – n(1 – x)n – 1 = n[(1 + x)n – 1 – (1 – x)n – 1]Nếu Nếu Bảng biến thiên

Trang 6

_ +02n 2n

yCT = 2

0 1-1

f(x)

f'(x)x

_ +0+

yCT = 0

0 +-1

f(x)

f'(x)x


Dựa vào bảng biến thiên ta có Hay

Bài 5. Với mọi số dương a, b, a >b.

Chứng minh rằng:

Phân tích và lời giải - Định hướng: bất đẳng thức không thể chứng minh theo phương pháp biến đổi thông thường;

- Để ý ,

- Từ đó ta nghĩ đến cách chọn hàm số f(x) = lnx trên đoạn [b; a] để áp dụng định lí Lagrange;Hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên (b; a)Theo định lý Lagrange

Do nên

Hay (đpcm)

VẤN ĐỀ II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ1. Định hướng phát hiện vấn đề

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có thể giải theo phương pháp phân tích đánh giá. Thông thường dạng bài tập này, sử dụng phương pháp đạo hàm thì hiệu quả hơn.

2. Kiến thức vận dụng- Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì đạt giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó; - Nếu hàm số f(x) đồng biến (hay nghịch biến) trên [a; b] thì đạt GTNN tại a, GTLN tại b (hay đạt GTLN tại a, GTNN tại b);- Trên [a; b] hàm số có nhiều cực trị thì so sánh các giá trị cực trị với f(a) và f(b) để kết luận;- Nếu trên khoảng (a; b) hàm số có một cực trị duy nhất thì giá trị cực trị là GTLN hoặc GTNN.

3. Các bài tập

Bài 1. Cho phương trình: có các nghiệm

Trang 7


x1, x2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Phân tích và lời giải - Ta không thể thực hiện được việc tìm GTLN, GTNN của T theo khi không có điều kiện ràng buộc cho ;- Tìm cách biểu diễn T theo tham số m, từ điều kiện tồn tại ta có điều kiện ràng buộc cho tham số m;Điều kiện phương trình có hai nghiệm:

Ta có .

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Gọi

nên hàm số đồng biến trên D

Vậy

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

Phân tích và lời giải - Tìm GTLN, GTNN của P theo a và b mà chỉ dựa vào một điều kiện không thể thực hiện được;- Ta nghĩ đến biểu diễn các biến a, b qua một biến trung gian nào đó;

- Chẳng hạn đặt , ta có điều kiện .

Biến đổi

Lúc đó . Xét hàm số với . Có ; Vì nên f’(t) đồng biếnNên t > 2 thì f’(t) > f’(2) > 0; t < - 2 thì f’(t) < f’(-2) < 0.Bảng biến thiên

Trang 8

+

+

+

-

2-2

t

f'(t)

f(t)

- 2 2+-


Vậy minf = - 2 tại t = 2 khi và chỉ khi a = b.Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn điều kiện A > B > C.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phân tích và lời giải - Định hướng từ định lí sin và điều kiện tồn tại căn bậc hai ta tìm ra tập xác định của hàm số;- Lúc đó, ta tìm GTNN của hàm số trên tập xác định vừa tìm được.Ta có A > B > C a > b > c (a, b, c là độ dài các cạnh lần lượt đối diện với các đỉnh A, B, C)

Mặt khác: f(x) xác định trên

có

suy ra hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng Bảng biến thiên

Từ BBT ta có GTNN là:

VẤN ĐỀ III. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH1. Định hướng phát hiện vấn đề

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình nói chung không thể giải được nghiệm cụ thể bằng công cụ đạo hàm. Tuy nhiên thông qua công cụ đạo hàm có thể chứng minh phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình tồn tại nghiệm, cũng như đánh giá được số nghiệm của chúng.

2. Kiến thức vận dụng- Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số, nhờ vào tính đơn điệu để chứng minh sự tồn tại nghiệm;- Nhờ vào việc phân chia tập xác định của hàm số thành các khoảng trên đó hàm số luôn tăng hoặc giảm, để chứng minh nghiệm duy nhất, từ đó có thể giải được phương trình bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.

3. Các bài tậpBài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

Trang 9

f(sinA)

1+

1

+ +sinAsinC

f(x)

f'(x)

x - +


(Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Khối A năm 2007)

Phân tích và lời giải - Ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi để giải bài toán;- Định hướng: ta biến đổi phương trình về một vế theo x xem là hàm số biến x;- Bài toán giải đơn giản hơn dựa vào phương pháp đạo hàm. Điều kiện

Phương trình tương đương:

Đặt

Lúc đó phương trình theo t là:

Vì

Trên [0; 1) ta có

Vậy phương trình có nghiệm khi

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:.

(Cấu trúc đề thi TN THPT và Đại học của Bộ giáo dục năm 2008)

Phân tích và lời giải - Ta có thể sử dụng phương pháp tam thức để giải bài toán;- Định hướng: ta biến đổi phương trình về một vế theo hàm biến x;- Bài toán giải đơn giản hơn dựa vào phương pháp đạo hàm.

Ta có phương trình viết lại:

Bằng cách đặt ẩn phụ . Lúc đó phương trình là: .

Xét hàm số trên

Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị của hàm số f(x) và đường thẳng y = m có một điểm chung duy nhất.

Ta có


Trang 10

_+ 0

3 1fCÑ = 10

13 +0

f(t)

f'(t)t


Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm duy nhất khi .

Chú ý: Bài toán yêu cầu phương trình có nghiệm ta cần ; bài toán yêu cầu phương trình có hai nghiệm phân biệt ta cần

Bài 3. Giải phương trình:

(Đề dự bị Đại học khối A năm 2007)

Phân tích và lời giải - Định hướng trong phương trình vừa chứa logarít vừa chứa biểu thức mũ và biến ở đa thức;- Ta thử nghĩ đến cách giải phương trình thông qua việc xét các hàm số.

Điều kiện

(*) và x > 0

và x > 0 (2x 1) + log2(2x 1) = x + log2x (**)

Xét hàm f(t) = t + log2t đồng biến khi t > 0Do đó f(u) = f(v) u = v, với u > 0, v > 0Vậy từ (**) 2x 1 = x 2x x 1 = 0 (***)Lại xét hàm g(x) = 2x x 1 khi x > 0

g'(x) = 2xln2 1, g'(x) = 0

Ta có g’’(x) > 0 với mọi x nên g'(x) là hàm tăng trên +) giảm trên +) tăng trên

có tối đa là 1 nghiệm trên và có tối đa là 1 nghiệm trên .

bằng cách thử nghiệm ta có pt (***) có 2 nghiệm là x = 0; x = 1 . Vì x > 0 nên (*) x = 1.Bài 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số hữu tỉ, là số thực sao cho

. Chứng minh rằng

Trong đó n là số nguyên dương

Phân tích và lời giải - Khai thác giả thiết: ;

Trang 11


- Ta có suy nghĩ đều là nghiệm của phương trình x3 – x = 332009(1);

- Bài toán yêu cầu chứng minh - Nên có thể bằng nhau;- Từ đó nghĩ đến chứng minh tồn tại duy nhất.Sử dụng phương pháp đạo hàm ta xét hàm số:

g(x) = x3 – x trên .

Ta có g’(x) = 3x2 – 1, g’(x) = 0

x

y' + 0 - 0 +

y

yCĐ=

yCT=

Đồ thị của g(x) và đường thẳng y = 332009 trên chỉ có một điểm chung duy nhấtSuy ra trên phương trình x3 – x = 332009 có nghiệm duy nhất nên

Hay .

Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương: nghiệm đúng với mọi x.

Phân tích và lời giải - Có thể giải bài toán bằng phương pháp tam thức; nhưng phương pháp tam thức tỏ ra khá phức tạp, khi định lí đảo về dấu tam thức và so sánh một số với các nghiệm của tam thức không được học một cách hệ thống;- Ta biến đối bất phương trình một vế chứa biến x, vế còn lại chứa tham số a

như sau: bất phương trình ;

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi a nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)

Ta có

Trang 12

216

-216

22

22

+-0021- 21x

f'(x)

f(x)

-- +



Bất phương trình có nghiệm với mọi x khi

Chú ý: Bài toán yêu cầu tìm a để bất phương trình có nghiệm thì chỉ cần a nhỏ hơn giá trị lớn nhất của hàm số f(x)

Bài 6. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có

nghiệm. (Cấu trúc đề thi TN THPT và Đại học của Bộ giáo dục năm 2008)Phân tích và lời giải

- Đây là hệ đối xứng loại I. Biểu diễn x và y qua hai biến S và P như sau:

Đặt ;

- Khai thác điều kiện S2 4P để tìm ra khoảng chứa S (hoặc P);- Hệ có nghiệm khi phương trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn điều kiên vừa tìm được.

Hệ viết lại theo S và P là:

Ta có

Yêu cầu bài toán phương trình có nghiệm thỏa Hay phương trình có nghiệm thỏa Xét hàm số Ta có hàm số luôn đồng biến trong nên đồng biến trên

Nên

Phương trình có nghiệm khi

Bài 7. Giaûi heä phöông trình:

Phân tích và lời giải - Để ý nếu xét một phương trình của hệ và xem một ẩn là biến thì ẩn kia là hàm theo biến đó hệ viết lại như sau:

Trang 13


Hệ phương trình viết lại .

- Ta có hàm của biến này lại là biến của hàm kia;

- Ta nghĩ đến xét hàm f(t) = trên

Có , nên hàm số luôn luôn đồng biến.

Nếu Từ (3) và (1) Từ (2) và (3) Vậy không thể xảy ra Tương tự: Nếu y > z thì y > z > x > yNếu z > x thì z > x > y > zNên ta có coù x =y = z. Nghiệm của hệ (1; 1; 1), (-1; -1; -1)

Bài 8. Giải hệ phương trình:

Phân tích và lời giải

- Hệ không mẫu mực, để ý trong hệ số mũ của cơ số 3 là x – 1 và y – 1;- Ta cố ý biến đổi hệ theo x – 1 và y – 1.Đặt u = x 1, v = y 1

(I) thành ;

Xét hàm f(x)

f ´(x) ;

Vậy f đồng biến trên . Nếu u > v f(u) > f(v) v > u ( vô lý ) ; Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý

Do đó hệ (II)

(Vì )

Đặt g(u)

Trang 14


Vậy g(u) đồng biến trên .Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)Nên (II) u = 0 = vVậy (I) x = y = 1.

Bài 9. Cho hệ bất phương trình: . Tìm a để hệ có

nghiệm.Phân tích và lời giải

- Thực chất của bài toán là tìm a để bất phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn (1);

Nghiệm của bất phương trình (1) là:

Gọi vế trái của (2) là f(x)

Ta có

Ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên


Hệ có nghiệm khi

Bài 10. Cho m > 0 và a, b, c bất kỳ thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có ít

nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

Phân tích và lời giải - Ở đây không thể đánh giá được dấu của cũng như dấu củ f(1) và f(0);- Lấy tích ax2 + bx + c với xm ta được đa thức có bậc m + 2; m + 1 và m.

-Ta nghĩ đến xét hàm số liên tục trên [0; 1], có đạo

hàm trong khoảng (0; 1)

Trang 15

a-127

3 - a--0 0

1+ +

13- 1

f(x)

f'(x)

x


Theo định lý Lagrange trên [0; 1] tồn tại một số sao cho

Mà

Mặt khác Từ (*) và (**) ta có Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong (0; 1).

VẤN ĐỀ IV. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. Định hướng phát hiện vấn đề

Bài toán tính giới hạn của hàm số dạng vô định , thường thực hiện theo

cách phân tích thành nhân tử để khử dang vô định, như trong sách giáo khoa đã trình bày, đôi lúc còn có thể sử sụng phương pháp gọi hạng tử vắng. Ở đây sẻ trình bày thêm một cách giải khác, đó là sử dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.

Lưu ý chọn hàm số f(x)2. Kiến thức vận dụng

- Sử dụng định nghĩa đạo hàm;- Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản;- Giới hạn hữu hạn.

3. Các bài tập

Bài 1. Tính giới hạn:

(Đề thi vào Đại học Tài chính Kế toán năm 2001)Phân tích và lời giải

- Bài toán này không thể khử dạng vô định bằng nhân lượng liên hợp.- Có thể giải theo phương pháp gọi hạng tử vắngLời giải sau trình bày theo phương pháp đạo hàm: Xét hàm số Ta có f(1) = 0

Ta có

Bài 2. Tính giới hạn

(Đề thi vào Đại học Hàng hải TP HCM năm 1999)

Trang 16


Phân tích và lời giải- Bài toán này không thể khử dạng vô định bằng nhân lượng liên hợp hoặc gọi hạng tử vắng.

- Có thể áp dụng định lí để tính giới hạn.

Lời giải sau trình bày theo phương pháp đạo hàm: Xét hàm số .Ta có f(0) = 0

Bài 3. Tính giới hạn

Phân tích và lời giải- Bài toán này có thể khử dạng vô định bằng nhân lượng liên hợp;- Lời giải bằng phương pháp đạo hàm. Xét hàm số và .

Ta có

D. BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1. Chứng minh rằng . Ta có

a) ; b)

Bài 2 Cho x > y > 0. Chứng minh rằng:

Trang 17


Bài 3. Cho . Chứng minh rằng:

Bài 4. Chứng minh rằng:

Bài 5. Giaûi heä phöông trình: .

Bài 6. a) Cho x, y . Giải hệ phương trình .

b) Cho x, y . Giải hệ phương trình .

Bài 7. 1) Tìm m để phương trình có nghiệm2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4) Tìm m để đúng với mọi x thuộc [0;1].5) Tìm m để bất phương trình có nghiệm 6) Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng với mọi x

≥ 27) Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng với mọi x

thuộc [-4; 6] 8) Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng

với mọi x thuộc [-2; 4]9) Tìm a để các bất phương trình sau có nghiệm:

10)Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng với mọi x ≥ 1

Bài 8. Tính các giới hạn sau:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Trang 18


Trang 19

Documents

toicodongiuamotbiennguoi.files.wordpress.com · Web viewBài toán tính giới hạn của hàm số dạng vô định , thường thực hiện theo cách phân tích thành nhân