1

生産要素価格・生産量所与

生産費用を最小化する生産要素投入量の決定

※ 利潤最大化 ⇒ 費用最小化※ 生産要素市場で価格受容者であれば成立　 (生産財市場で市場影響力を持っていたとしても）

§B.3. 費用最小化問題

2

C(y;wv, wf , xf ) ≡ minxv∈Rk

+

k�

i=1

wixi +n�

i=k+1

wix̄i

f(xv; x̄f ) = y

§B.3.1. 費用最小化問題と費用関数

s.t.

} }可変費用 固定費用

生産技術制約

}

≡ Cf (wf , x̄f )短期費用関数：

3

短期費用最小化問題 = 可変費用最小化問題：

f(xv; x̄f ) = ys.t.

f(x) = y

長期費用関数：

s.t.

Cv(y;wv, xf ) ≡ minxv∈Rk

+

k�

i=1

wixi

C(y;w) = minx∈Rn

+

n�

i=1

wixi

4

§B.3.2. 生産費用の概念

平均生産性／平均生産物 → 平均費用

限界生産性／限界生産物 → 限界費用

生産の収穫逓増（逓減）→ 費用の“収穫”逓減（逓増）

xO

y y = f(x)

C(y;w)

C(y;w) ≡ wf−1(y)

収穫逓増

収穫逓減

5

総費用

可変費用

固定費用

y

C

ACMC

(a)

(b)

平均総費用

限界費用

平均可変費用

平均固定費用y

O

O

B

A

DE FE

C(y) ≡ C(y;w)

Cf (wf , xf )

Cv(y) ≡ Cv(y;w, xf )

MC(y)

AFC(y) ≡ Cf/y

AC(y) ≡AV C(y) +AFC(y)

平均可変費用：

平均固定費用：

限界費用：

AV C(y) ≡ Cv(y)/y

平均費用：

(微分可能性下で)

§B.3.2. 生産費用の概念

収穫逓増

収穫逓減

固定費用

6

補論：制約付最適化問題（ラグランジュ乗数法）

s.t. g(x) ≤ b

minx∈Rk

+

h(x)

s.t. g(x) ≥ b

maxx∈Rk

+

h(x)

ステップ① 等号制約付最適化問題

ステップ② ラグランジュ乗数法

ステップ③ 不等号制約付最適化問題への拡張

ステップ④ クーン・タッカー条件

※ 参考文献： 西村清彦「経済学のための最適化理論入門」第2章, 東京大学出版会 (1990)

7

h(x∗ +∆x)− h(x∗) =k�

i=1

h�i(x

∗)∆xi

=k�

i=2

�−h�

1(x∗)

g�1(x∗)

g�i(x∗) + h�

i(x∗)

�∆xi ≤ 0

g(x∗ +∆x)− g(x∗) =k�

i=1

g�i(x∗)∆xi = 0

∆x1 = −�k

i=2 g�i(x

∗)∆xi

g�1(x∗)

ステップ① 等号制約付最適化問題

maxx∈Rk

+

h(x) s.t. g(x) = b

仮定： g�i(x) �= 0 ∀i

最適解：x∗, x∗1 > 0

8

ii) x∗i = 0 ⇒ ∆xi > 0

−h�1(x

∗)

g�1(x∗)

g�i(x∗) + h�

i(x∗) ≤ 0

∴ h�i(x

∗)

g�i(x∗)

≤ λ∗ ≡ h�1(x

∗)

g�1(x∗)

−h�1(x

∗)

g�1(x∗)

g�i(x∗) + h�

i(x∗) = 0

∴ λ∗ ≡ h�i(x

∗)

g�i(x∗)

=h�1(x

∗)

g�1(x∗)

i) x∗i > 0 ⇒ ∆xi ≥ 0 or ∆xi ≤ 0

x∗i > 0 ∀i ⇒ ∇h(x∗) = λ∗∇g(x∗)特に

9

制約無しの最大化問題に転換 → ラグランジュ関数：

1階条件：

L�λ(x

∗,λ∗) = b− g(x∗) = 0

λ∗ =h�1(x

∗)

g�1(x∗)

ラグランジュ乗数：

L�i(x

∗,λ∗) = h�i(x

∗)− λ∗gi(x∗) ≤ 0

x∗iL

�i(x

∗,λ∗) = 0

ステップ② ラグランジュ乗数法

L(x,λ) = h(x) + λ(b− g(x)) → (x∗,λ∗)

10

勾配ベクトルの性質

：x* における等高線 h(x) = h(x*) の接線に直交(θ=90°)

∇h(x) · v = �∇h(x)��v� cos θ

∇h(x) · v = 0 i.e.,

∇h(x) ≡ (h�1(x), h

�2(x), . . . , h

�k(x))

h�1(x)v1 + h�

2(x)v2 + · · ·+ h�k(x)vk = 0

：x*での接線方向h(x) = h(x∗)

v = (v1, v2, . . . , vk)

∇h(x∗)

∇h(x∗)

11

h の値が最も増加する方向は？

∇h · q = 0

と同じ方向への移動 ⇒ hの値の増加が最大∇h(x∗)

∇h(x∗)

x∗θθ = 0

x∗

∇h(x∗)

x∗

∇g(x∗)

∇h(x∗) = λ∗∇g(x∗)

∇h(x∗)

内点解：

∆h(x∗) = ∇h(x∗) ·∆x

∆x = (∆x1, . . . ,∆xk)

∆x

12

制約下で最大改善方向

h と g の勾配ベクトルが同方向(または逆方向)を向いていない場合：

は最適でない

の接線方向に進むことで目的関数値を改善できる

g(x) = b

h(x) = h(x)

∇g(x)

∇h(x)

x

g(x) = b

cos θ ≡ ∇h(x) ·∇g(x)

�∇h(x)��∇g(x)� �= 1

i) x > 0 & cos θ ≡ ∇h(x) ·∇g(x)

�∇h(x)��∇g(x)� �= 1 ⇒ x

13

ii) 端点解の場合

O

∇h(x∗)

∇g(x∗)

h(x) = h(x∗)

g(x) = b

λ∗ ≡ h�i(x

∗)

g�i(x∗)

>h�j(x

∗)

g�j(x∗)

xi

xj

第 j 要素の増加

便益 < 費用h�j(x

∗) g�j(x∗)

第 i 要素に比べて

14

ラグランジュ乗数の意味

制約の変化： b → b+∆b

k�

i=1

g�i(x∗)∆xi = ∆b

∆x1 =∆b

g�1(x∗)

−k�

i=2

g�i(x∗)

g�1(x∗)∆xi

=h�1(x

∗)

g�1(x∗)

∆b +

�−

k�

i=2

h�1(x

∗)

g�1(x∗)

g�i(x∗) + h�

i(x∗)

�∆xi

最大値の変化：

= λ∗∆b

※ 制約値 b の１単位の増加に対する目的関数 h の最大値の変化単位数

= 0

h(x∗ +∆x∗)− h(x∗) =k�

i=1

h�i(x

∗)∆x∗i

最適調整

：

≤ 0 if x∗i = 0 (i.e., ∆x∗

i = 0)

= 0 if x∗i > 0

15

ステップ③ 不等号制約の場合への拡張

等号制約付問題に変換：

スラック変数の導入

maxx,s≥0

h(x) s.t. g(x) + s = b

maxx≥0

h(x) s.t. g(x) ≤ b

仮定： g�i(x) �= 0 ∀i

最適解：x∗, x∗1 > 0

16

最適解 x*, s* からの逸脱：

[g(x∗ +∆x) + s∗ +∆s]− [g(x∗) + s∗] =k�

i=1

g�i(x∗)∆xi +∆s

g�1(x∗) �= 0仮定：

h(x∗ +∆x)− h(x∗) =k�

i=1

h�i(x

∗)∆xi

=k�

i=2

�−h�

1(x∗)

g�1(x∗)

g�i(x∗) + h�

i(x∗)

�∆xi −

h�1(x

∗)

g�1(x∗)

∆s ≤ 0

∆x1 = −k�

i=2

g�i(x∗)

g�1(x∗)∆xi −

∆s

g�1(x∗)

17

∆s = 0 の場合：

=k�

i=2

�−h�

1(x∗)

g�1(x∗)

g�i(x∗) + h�

i(x∗)

�∆xih(x∗ +∆x) − h(x∗) ≤ 0

∴ λ∗ ≡ h�i(x

∗)

g�i(x∗)

=h�1(x

∗)

g�1(x∗)

i) x∗i > 0 ⇒ ∆xi ≥ 0 or ∆xi ≤ 0

ii) x∗i = 0 ⇒ ∆xi > 0

∴ h�i(x

∗)

g�i(x∗)

≤ λ∗ ≡ h�1(x

∗)

g�1(x∗)

18

の場合∆s �= 0,∆xi = 0 ∀i = 1, . . . , k

h(x∗ +∆x)− h(x∗) = −λ∗∆s ≤ 0

= 0 ⇐ s∗ > 0

≥ 0 ⇐ s∗ = 0 ∵ ∆s ≥ 0

19

ステップ④ ラグランジュ関数の設定とクーン・タッカー条件

Lλ = b− g(x∗) ≡ s∗ ≥ 0

λ∗Lλ = λ∗[b− g(x∗)] = λ∗s∗ = 0

λ∗ ≥ 0

1階条件 (内点解クーン・タッカー条件)：

L�i(x

∗,λ∗) = h�i(x

∗)− λ∗gi(x∗) ≤ 0

x∗iL

�i(x

∗,λ∗) = 0

L(x,λ) = h(x) + λ(b− g(x)) → (x∗,λ∗)

20

∇h(x∗)

x∗

∇g(x∗)

g(x) = bh(x) = h(x∗)

x∗

s∗ = 0

s∗ > 0

g(x) = b

h(x)λ∗ = 0

O

∇h(x∗)

∇g(x∗)

h(x) = h(x∗)

g(x) = b

xi

xj

内点解かつ s* = 0 の場合 端点解かつ s* = 0 の場合

内点解かつ s* > 0 の場合λ∗ ≡ h�

i(x∗)

g�i(x∗)

>h�j(x

∗)

g�j(x∗)

21

§B.3.3. 費用最小化と費用関数の導出

minx∈Rn

+

w · x s.t. f(x) ≥ y

L(x,λ) = w · x+ λ[y − f(x)]

wi

f �i(x

∗)= λ∗

wi

f �i(x

∗)≥ λ∗

f(x) = y

内点解：

ラグランジュ関数：

１階条件：

端点解：

制約条件：

if x∗i > 0

if x∗i = 0

最小化問題

22

費用最小化問題の１階条件（内点解の場合）

C∗ = w1x1 + w2x2

C = w1x1 + w2x2

C/w2

C/w1C∗/w1

C∗/w2等費線：

f(x) = y等量曲線：

最下方の等費用線：

O

x2    

x1    -w1/w2

x∗

w1

w2= TRS12

w1

f �1(x

∗)= λ∗要素 i の増加により

産出量を１単位増加する費用 ：限界費用：

23

TRS12-w1/w2

x1    

x2    

O

C∗ = w1x1 + w2x2

C∗/w2

C∗/w1

f(x) = y

w1

f �1(x

∗)> λ∗

w2

f �2(x

∗)= λ∗

w1

w2> TRS12(x

∗, y)

費用最小化問題の１階条件（端点解の場合）

要素1の価格が生産性に比して高い ：

24

定義B.31(制約付生産要素需要)

最小化1階条件

h(y;w) = [h1(y;w), . . . , hn(y;w)]

制約：産出量 = y (or ≧ y) の下での生産要素需要(関数)

C(y;w) ≡ w · h(y;w)費用関数：

25

費用最小化の2階条件（内点解の場合）

L(x∗ +∆x,λ∗) ≈L(x∗,λ∗) +DxL(x

∗,λ∗) ·∆x+1

2∆x ·D2

xL(x∗,λ∗)T∆x

= 0

s.t. f �1(x

∗)∆x1 + f �2(x

∗)∆x2 = 0

i.e., 費用水準 C* の等費用線を含む生産関数の垂直断面が上に凸

※ f が2階連続微分可能な場合：　定義域の任意点でこの条件の成立 ⇔ fが準凹関数

x*における接線方向の逸脱

≤ 0(１階条件)

∴ [∆x1,∆x2]

�f ��11(x

∗) f ��12(x

∗)f ��21(x

∗) f ��22(x

∗)

�T �∆x1

∆x2

�≤ 0

26

f(x) = y

f(x) = y�

f(x) = y��

x1

x2

C∗ = w1x1 + w2x2

O

x∗

x�

x��

>>

27

y,C

y

O -­w1/w2

C = w1    x1    +w2    x2  

x2    

x1    

w1    x1 *+w2    x2*

x1 *

x2*

f(x1,x2)

f(x1,x2) = y

費用最小化の2階条件（内点解の場合）

C∗ ≡ w1x∗1 + w2x

∗2

C∗ ≡ w1x1 + w2x2

を含む垂直平面面

28

y,C

y

O-­w1/w2

C = w1    x1    +w2    x2  

x2    

x1    

w2    x2*

x1 *

x2*

f(x1,x2)

f(x1,x2) = y

端点解の場合の２階条件

29

クーン・タッカー条件は満たすが２階条件を満たさない例

f(x) = y

f(x) = y�

f(x) = y��

x1

x2

C∗ = w1x1 + w2x2

O

x∗

x�

x��>

>

30

31

§B.3.4. 長期・短期費用関数

C(y;w) ≡ minxf∈Rn−k

+

C(y;wv, wf , xf )

hf (y;w) ≡ x∗f ≡ (x∗

k+1, . . . , x∗n)

C(y;w) ≡ C(y;wv, wf , hf (y;w))

固定要素について最適化

C(y;w) ≤ C(y;wv, wf , xf )

32

∂

∂yC(y;w) =

∂

∂yC(y;wv, wf , hf (y;w))

=∂

∂yC(y;wv, wf , x

∗f ) +

n�

i=k+1

∂

∂xiC(y;wv, wf , x

∗f )

∂

∂yhfi(y;w)

∂

∂yC(y;w) =

∂

∂yC(y;wv, wf , x

∗f )

= 0

∂

∂yC(y;w) <

∂

∂yC(y;wv, wf , xf ) ∀xf �= x∗

f

{

33

y” yO

C 長期総費用曲線

短期総費用曲線

y’

長期限界費用

短期限界費用

短期平均費用

長期平均費用

y

ACMC

O y’ y”

短期平均費用

収穫逓増

収穫逓減

下方包絡線

34

定義B.33(代替の弾力性)

σij(x∗) = −

d(x∗i /x

∗j )

d(wi/wj)

wi/wj

x∗i /x

∗j

費用最小化１階条件： wi

wj= TRSij

要素 i,j 間の相対価格が1％増加したときの投入量比の減少%数

(産出量 y の下で)

35

O C F

K

J

I

H

G

E

D

(x1*, x2*)B

(x1,x2)A

f(x1,x2)  =  y

f1 */f2*

f1 /f2 w1 /w2

x2*/x1*x2/x1

x2

x1w1

*/w2*

σ12 ≈∆

x2x1

�x2x1

∆TRS12/TRS12=

BE

ED

�BK

KD

36

d

�wixi

wjxj

�=

xi

xjd

�wi

wj

�+

wi

wjd

�wi

wj

�

=

�1 +

wi/wj

xi/xj

d(xi/xj)

d(wi/wj)

�xi

xjd

�wi

wj

�

= (1− σij)xi

xjd

�wi

wj

�

代替弾力性の解釈

要素 i,j 間の費用シェア比：wixi

wjxj

σ > 1 (代替的) ⇒ 価格上昇＜需要減少：費用シェア ⤵σ < 1 (補完的) ⇒ 価格上昇>需要減少：費用シェア ⤴σ = 1 ⇒ 価格上昇=需要減少：費用シェア一定

{

d

�wixi

wjxj

�=

xi

xjd

�wi

wj

�+

wi

wjd

�xi

xj

�