TOÁN RỜI RẠC - toanroirac2011.files.wordpress.com · Bài toán tô màu đồ thị. Chương 6: Đồ thị 2. Toán rời rạc: 2011-2012 Giảngviên: ThS. TrầnQuang Khải

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 6:Đồ thị

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung (phần 2)

1. Sự đẳng cấu của đồ thị.

2. Đồ thị liên thông.

3. Chu trình và Đường đi Euler.

4. Chu trình và đường đi Hamilton.

5. Bài toán tô màu đồ thị.

Chương 6: Đồ thị 2



Sự đẳng cấu của đồ thịĐồ thị liên thông

Chương 6


Sự đẳng cấu của đồ thị

Isomorphism: sự đẳng cấu, sự đồng hình.

Có thể vẽ được 2 đồ thị theo cùng 1 cách?

Example:

Trong hóa học: 2 hợp chất khác nhau có thể có cùng công thức phân tử, nhưng khác cấu trúc.

Thiết kế vi mạch: vẽ lại mạch để tối ưu hóa các đường nối.



Sự đẳng cấu của đồ thị


Hai đồ thị được gọi là đẳng cấu (isomorphic)

nếu có một song ánh giữa tập đỉnh của hai đồ

thị đảm bảo quan hệ liền kề.

Cho 2 đồ thị đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2).

G1 và G2 là đẳng cấu nếu tồn tại song ánh f sao cho:

Hai đỉnh a và b là liên thông trong G1.

Hai đỉnh f(a) và f(b) là liên thông trong G2.


Example


?)(

?)(

)(

)(

4

2

33

11

uf

uf

vuf

vuf


Chứng minh sự đẳng cấu

Việc xác định 2 đồ thị đẳng cấu:

Rất khó khăn.

Có n! phép tương đương một-một giữa 2 tập đỉnh của 2 đồ thị có n đỉnh.

Thông thường: chứng minh 2 đồ thị không đẳng cấu.

Chỉ ra chúng không có 1 tính chất chung.



Chứng minh sự không đẳng cấu

Các tính chất chung (sự bất biến) của 2 đơn đồ thị đẳng cấu:

Cùng số đỉnh.

Cùng số cạnh.

Bậc của các đỉnh tương ứng của các đơn đồ thị đẳng cấu phải giống nhau.



Example

Xác định 2 đồ thị sau có đẳng cấu không?



Chứng minh đồ thị đẳng cấu

Sử dụng ma trận kề:

Hai ma trận liền kề phải giống nhau.

Gán nhãn lại theo hàm f.



Đồ thị liên thông

Câu hỏi:

Có thể gửi thông điệp giữa 2 máy tính thông qua đường truyền trung gian?

Có thể đi xe bus từ Barcelona sang Manchester?



Khái niệm: Đường đi


PATH:

Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng hoặc có hướng.

Đường đi độ dài n (nguyên dương) từ u tới v là

một dãy các cạnh {x0, x1}, {x1, x2},…,{xn-1, xn} sao

cho x0 = u và xn = v.


Đường đi

Đường đi trên đồ thị đơn:

Có thể k{ hiệu bằng dãy các đỉnh x0, x1,…, xn.

Đường đi đơn (simple path): không chứa 1 cạnh quá 1 lần.

Đường đi là chu trình (circuit):

Bắt đầu tại u, kết thúc tại u (quay trở lại).

Chu trình đơn: không chứa 1 cạnh quá 1 lần.

Khi không quan tâm cạnh bội:có thể k{ hiệu bằng dãy các đỉnh x0, x1,…, xn.


Chương 6: Đồ thị


Đồ thị liên thông


Connected Graph:

Một đồ thị vô hướng là liên thông nếu tồn tại

đường đi giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị.

Tính liên thông: Connectivity.


Example



Đồ thị (có hướng) liên thông

Tính liên thông mạnh (strong connectivity):Nếu tồn tại đường đi giữa mọi cặp đỉnh u, v (2 chiều).

Tính liên thông yếu (weak connectivity):Nếu tồn tại đường đi giữa 2 đỉnh bất kz trên đồ thị vô hướng cơ sở (underlying undirected graph).



Example



Đường đi và sự đẳng cấu

Có thể xác định 2 đồ thị đẳng cấu bằng:

Đường đi.

Chu trình.

Sử dụng các bất biến (invariant):

Chu trình đơn có độ dài đặc biệt k nào đó (k > 2).



Example

H có chu trình đơn độ dài 3 (v1, v2, v3, v1).

G có chu trình đơn độ dài 3?


G H


Đồ thị phân đôi?



Đồ thị đẳng cấu?




Đường đi EulerĐường đi Hamilton

Chương 6


Bài toán Kӧnigsberg


Challenge: có thể đi qua 7 cây cầu và quay về

chỗ cũ, mỗi cây cầu chỉ đi qua đúng một lần?

Question: Có một chu trình đơn trên đa đồ thị

sao cho nó chứa tất cả các cạnh đúng một lần?






Lời giải:

Leonard Euler.

Công bố: 1736.

Có thể coi là ứng dụng đầu tiên của LTĐT.



Chu trình và Đường đi Euler


Euler circuit: chu trình đơn đi qua tất cả

các cạnh của đồ thị G đúng một lần.

Euler path: đường đi đơn đi qua tất cả

các cạnh của đồ thị G đúng một lần.


Example



Điều kiện cần và đủ

Định l{ 1:Một đa đồ thị liên thông có chu trình Euler nếu và chỉ nếu mỗi đỉnh của nó đều có bậc chẵn.

Định l{ 2:Một đa đồ thị liên thông có đường đi Euler nhưng không có chu trình Euler nếu và chỉ nếunó có đúng hai đỉnh bậc lẻ.



Quay lại bài toán Kӧnigsberg


Challenge: có thể đi qua 7 cây cầu và quay về

chỗ cũ, mỗi cây cầu chỉ đi qua đúng một lần?


Xây dựng chu trình Euler

Input: G: đa đồ thị liên thông với tất cả các đỉnh bậc chẵn.

Output: C: chu trình Euler.

Khởi tạo:

C là một chu trình nào đó trong G.Đồ thị H = G bỏ đi các cạnh thuộc C và các đỉnh cô lập.

while (H vẫn còn cạnh) doC’ = một chu trình nào đó trong H mà đỉnh cuối thuộc C.H = H bỏ đi các cạnh thuộc C’ và các đỉnh cô lập.C = C ghép với C’ ở 1 đỉnh nào đó thích hợp.

end



Thanh đao của Mohammed

Có thể vẽ hình dưới chỉ bằng 1 nét bút?

Không được nhấc bút lên.

Mỗi cạnh chỉ được vẽ đúng 1 lần.





a, b, d, c, b, e, i, f, e, a




d, g, h, j, i, h, k, g, f, d








Chu trình và Đường đi Hamilton

Euler: chu trình và đường đi qua mọi cạnh đúng một lần.

Câu hỏi: có thể tạo chu trìnhvà đường đi qua mọi đỉnhđúng một lần?





Hamilton circuit: chu trình đơn đi qua tất

cả các đỉnh của đồ thị G đúng một lần.

Hamilton path: đường đi đơn đi qua tất cả

các đỉnh của đồ thị G đúng một lần.


Example



Example





Không có điều kiện cần và đủ để xác định

sự tồn tại của đường đi hay chu trình

Hamilton.



Không có chu trình Hamilton nếu:∃v∈V: deg(v) = 1

Định l{ DIRAC: Đồ thị đơn G với n đỉnh (n ≥3) có một chu trình Hamilton nếudeg(v) ≥ n/2, ∀v ∈ V

Định l{ ORE: Đồ thị đơn G với n đỉnh (n ≥3) có một chu trình Hamilton nếudeg(u) + deg(v) ≥ n,∀u,v ∈ V và (u, v) E



Example – Gray Code

Được nêu ra bởi Frank Gray (1940s).

Phát biểu: gán nhãn các cung trên đường tròn sao cho 2 cung cạnh nhau khác nhau đúng 1 bit.



Example – Gray Code

Giải quyết:

Mô hình bài toán thành đồ thị n-cube Qn.

Tìm chu trình Hamilton trong Qn.

Q3.




Bài toán tô màu đồ thị

Chương 6


Khái niệm: Đồ thị phẳng


Planar graph

Đồ thị có thể vẽ trên mặt phẳng sao cho

không có 2 cạnh bất kỳ nào cắt nhau

(không phải tại điểm đầu mút).

Phép vẽ như vậy gọi là biểu diễn phẳng(planar representation) của đồ thị.


Đồ thị phẳng



Tô màu bản đồ

Vấn đề: Tô màu các quốc gia trên bản đồ sao cho 2 nước láng giềng bất kz luôn có màu khác nhau?

Giải pháp:

Mỗi nước tô 1 màu Cần quá nhiều màu.

Dùng ít màu hơn Ít nhất là bao nhiêu?

Biểu diễn bản đồ thành đồ thị Áp dụng LTĐT.



Tô màu đồ thị

Mô hình bản đồ thành đồ thị:

Các quốc gia các đỉnh.

Hai quốc gia kề nhau cạnh nối 2 đỉnh tương ứng.

Lưu {: Hai quốc gia “chạm” nhau chỉ ở 1 điểm không được coi là kề nhau.

Đồ thị có được là đồ thị phẳng.





Graph coloringTô màu các đỉnh của đồ thị phẳng sao cho 2 đỉnh

bất kỳ kề nhau luôn có màu khác nhau.

Số màu (sắc số: chromatic number) của một

đồ thị là số màu ít nhất cần để tô màu đồ thị

đó. Ký hiệu: )(G




Định lý bốn màu

“Số màu của một đồ thị phẳng luôn nhỏ

hơn hoặc bằng 4”

(Kenneth Appel và Wolfgang Haken - 1976)


Example



Example




Lưu {:

Định l{ bốn màu chỉ đúng với đồ thị phẳng.

Đối với đồ thị không phẳng: có thể cần nhiều hơn 4 màu.



Example



Example



Tô màu đồ thị - Ứng dụng

Các bài toán xếp lịch:

Lịch thi.

Thời khóa biểu.

Lịch công tác.

Các bài toán về phân công công việc.

Lập chỉ mục thanh ghi (CPU).


Documents

TOÁN RỜI RẠC - toanroirac2011.files.wordpress.com · Bài toán tô màu đồ thị. Chương 6: Đồ thị 2. Toán rời rạc: 2011-2012 Giảngviên: ThS. TrầnQuang Khải