Poslijediplomski doktorski studij Elektrotehnike i informacijske tehnologije

Kvalifikacijski doktorski ispit

Tonći Modrić, dipl. ing.

IZRAČUN I MJERENJE

ELEKTRIČNOG I MAGNETSKOG POLJA

ELEKTROENERGETSKIH VODOVA I POSTROJENJA

Split, lipanj 2012.

SADRŽAJ

1. UVOD.....................................................................................................................................1

2. TEORIJSKA PODLOGA......................................................................................................4

2.1. Maxwellove jednadžbe...................................................................................................4

2.2. Elektromagnetski potencijali.......................................................................................... 5

3. PRORAČUN ELEKTRIČNOG POLJA VODOVA........................................................... 9

3.1. Električno polje segmenta voda - gustoća naboja aproksimirana parabolom...............10

3.2. Električno polje segmenta voda - gustoća naboja aproksimirana konstantom.............15

3.3. Električno polje beskonačnog voda - gustoća naboja aproksimirana konstantom....... 16

3.4. Proračun jakosti električnog polja kabelskog voda......................................................17

4. PRORAČUN MAGNETSKE INDUKCIJE VODOVA................................................... 18

4.1. Magnetska indukcija konačno dugog voda.................................................................. 18

4.2. Magnetska indukcija beskonačno dugog voda............................................................. 19

5. PRORAČUN ELEKTRIČNOG POLJA I MAGNETSKE INDUKCIJE

POSTROJENJA................................................................................................................... 20

6. MJERENJE JAKOSTI ELEKTRIČNOG POLJA I MAGNETSKE INDUKCIJE........ 22

7. GRANIČNE RAZINE ELEKTRIČNOG I MAGNETSKOG POLJA........................... 29

8. ZAKLJUČAK...................................................................................................................... 33

LITERATURA..................................................................................................................... 35

1. UVOD

Niskofrekventna električna i magnetska polja, čiji su izvori svi elementi

elektroenergetskog sustava nazivnog napona iznad 1 kV (kao npr. transformatorske stanice,

prijenosni i distribucijski vodovi i kabeli, rasklopna postrojenja) te drugi električni uređaji,

predmet su brojnih istraživanja, znanstvenih radova i studija koje se provode. Proračun

elektromagnetskih polja pogonske frekvencije (50 Hz) je važan zbog projektiranja postrojenja

i elektroenergetskih vodova, a mjerenjem se mora provjeriti da su granične vrijednosti tih

polja unutar propisanih vrijednosti.

Određena količina kontroverze okružuje moguće štetne utjecaje na ljudsko zdravlje

prouzrokovane niskofrekventnim električnim i magnetskim poljima. Sa stajališta javnog

mijenja, najgori efekti su oni kancerogene prirode kao npr. dječja leukemija. Prvi objavljeni

rad koji je ukazao na moguću povezanost dječje leukemije i niskofrekventnih električnih i

magnetskih polja objavljen je 1979. godine, [1]. Nakon toga su objavljene brojne

epidemiološke studije koje su proučavale vezu između navedenih štetnih posljedica te

električnog i magnetskog polja kao uzroka. Rezultati ovih studija daju ograničene dokaze koji

potvrđuju ove teorije [2]. Nadalje, iako su izvršene brojne studije u kojima su se proučavali

štetni genetski i reproduktivni efekti kod ljudske populacije uzrokovani električnim i

magnetskim poljima, rezultati tih studija su nedosljedni i svakako nedovoljni da povežu

električna i magnetska polja sa ovim posljedicama. Međunarodna organizacija za istraživanje

raka (eng. International Agency for Research on Cancer - IARC) je svrstala elektromagnetska

polja ekstremno niskih frekvencija (ENF) u grupu 2B - "možebitno kancerogena za ljude".

U istu skupinu spada i kava, bavljenje drvodjelstvom, kemijskim čiščćenjem, printanjem,

vatrogastvom, rad u tekstinoj industriji itd.

Međunarodna organizacija za zaštitu od neionizirajućih zračenja (International

Commission on Non-Ionizing Radiation Protection - ICNIRP) izdala je 2010. godine nove

smjernice u vezi dopuštenih graničnih vrijednosti polja [3]. Nove smjernice zamjenjuju

prethodne, dane 1998. godine [4], za frekvencijski raspon od 1 Hz do 100 kHz te dopuštaju

iste ili čak i više granične razine električnog i magnetskog polja. One predstavljaju stanovište

struke za područje zaštite ljudi od štetnog djelovanja elektromagnetskih polja i postale su

referentni dokument, na kojeg se oslanja šira stručna i politička javnost, osobito u Europi.

Općenito, referentne vrijednosti preporučene u novim smjernicama ICNIRP-a za

profesionalnu izloženost poljima frekvencije 50 Hz su 1000 μT za magnetsko polje (odnosno

- 1 -

magnetsku indukciju – gustoću magnetskog toka) i 10 kV/m za električno polje. Što se tiče

izloženosti šire populacije električnim i magnetskim poljima frekvencije 50 Hz, referentne

vrijednosti za magnetsko polje su 200 μT i 5 kV/m za električno polje. U Republici Hrvatskoj

je u srpnju 2010. godine donesen Zakon o zaštiti od neionizirajućeg zračenja [5] te Pravilnik o

tehničkim zahtjevima za elektroenergetska postrojenja nazivnih izmjeničnih napona iznad

1 kV [6], koji ukazuju na Pravilnik o zaštiti od elektromagnetskih polja [7], u kojem su

propisane granične vrijednosti elektromagnetskih polja čak i strože od onih koje daje ICNIRP.

Prema [7] referentne vrijednosti za područja profesionalne izloženosti (područja radnih mjesta

koja nisu u području povećane osjetljivosti i na kojima se pojedinci mogu zadržavati do 8 sati

dnevno, pri čemu je kontrolirana njihova izloženost elektromagnetskim poljima) su 100 μT za

magnetsko polje i 5 kV/m za električno polje, a za područja povećane osjetljivosti (područja

stambenih zona u kojima se osobe mogu zadržavati i 24 sata dnevno; škole, ustanove

predškolskog odgoja, rodilišta, bolnice, smještajni turistički objekti, te dječja igrališta prema

urbanističkom planu; površine neizgrađenih parcela namijenjene prema urbanističkom planu

za gore navedene objekte) 40 μT za magnetsko polje i 2 kV/m za električno polje.

U numeričkim modelima za proračun elektromagnetskog polja prijenosnih vodova,

elektromagnetsko polje pri frekvenciji 50 Hz može biti aproksimirano kvazistatičkim poljem

[8-11]. Kvazistatička polja imaju iste prostorne karakteristike kao statička polja, sa razlikom

da variraju polagano s vremenom. Kod njih se zanemaruju pomačne struje koje su

zanemarivog iznosa u odnosu na provodne struje. Ova aproksimacija dinamičkog polja je

najbolja, ali ona vrijedi samo u savršenom dielektriku i za niske frekvencije

elektromagnetskog polja. Ti uvjeti su zadovoljeni kod frekvencije 50 Hz pa se električno i

magnetsko polje mogu promatrati odvojeno.

Numerički algoritmi za proračun električnog i magnetskog polja pogonske frekvencije u

rasklopnim postrojenjima su 3D proračuni [11-30]. Većina numeričkih algoritama za

proračun električnog i magnetskog polja prijenosnih vodova pri pogonskoj frekvenciji su 2D

algoritmi [31-51], a korištenjem 3D modela [52-56] stvarni oblik lančanice koju čine vodiči

elektroenergetskog voda se može uzeti u obzir.

Magnetsko polje uzrokovano prijenosnim vodom se tradicionalno proračunava pomoću

Biot-Savartovog zakona sumirajući doprinose svakog vodiča. Kod kabelskih vodova, osim

samog proračuna magnetskog polja, razvijene su i razne metode kako bi se postigle što niže

vrijednosti polja na površini zemlje [57-63]. Većina objavljenih 2D algoritama za proračun

magnetskog polja su zasnovana na pretpostavci da je prijenosni vod beskonačno dug. Brojne

- 2 -

studije i mjerenja su izvršena koja potvrđuju ove pretpostavke. Također, u postrojenjima i

transformatorskim stanicama je obavljen veliki broj mjerenja, kojima su autori željeli utvrditi

vrijednosti elektromagnetskih polja te ih usporediti sa graničnim vrijednostima, algoritmima

ili programskim paketima koji su razvijeni za izračun polja [36], [64-76].

U algoritmima za proračun električnog polja pri nazivnoj frekvenciji većina autora koristi

teoriju zasnovanu na vremenski promjenjivom naboju distribuiranom duž vodiča prijenosnog

voda i koriste metodu odslikavanja radi površine tla [13], [39], [48], [77]. U radovima

[37-38], vremenski promjenjiv naboj je zamijenjen strujom curenja (transverzalnom strujom)

sa posljedicom da konačna vrijednost vodljivosti zemlje može biti uzeta u obzir pomoću

refleksijskog koeficijenta [78]. Važno je naglasiti da su struja curenja vodiča i naboj vodiča

proporcionalne veličine. Upravo zato, refleksijski koeficijent izveden za struju curenja može

biti korišten za naboj vodiča.

U ovom radu će se opisati osnovna teorijska podloga elektromagnetskih polja, zasnovana

na sustavu Maxwellovih jednadžbi, iz koje slijede algoritmi za proračun elektromagnetskih

polja. Predstaviti će se algoritmi za proračun električnog polja i magnetske indukcije,

dostupni u literaturi koja obuhvaća ovo područje. Također, prikazati će se metode mjerenja i

neki od mjernih uređaja te gotovi programski paketi za izračun elektromagnetskih polja.

- 3 -

2. TEORIJSKA PODLOGA ELEKTROMAGNETSKIH POLJA

2.1. Maxwellove jednadžbe

Matematički model proračuna električnog i magnetskog polja temeljen je na teoriji

elektromagnetskih polja. Teorija elektromagnetskih polja, naravno, počiva na sustavu

Maxwellovih jednadžbi. Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku za sinusno

(harmonijsko) elektromagnetsko polje u mirujućem sredstvu (u mirujućem koordinatnom

sustavu) mogu se napisati u sljedećem obliku:

DjJHHrotrrrr

⋅ω⋅+=×∇= (2.1)

BjEErotr rr

⋅ω⋅−=×∇= (2.2)

ρ=∇= DDdivrr

(2.3)

0BBdiv =∇=rr

(2.4)

gdje je:

Er

– fazor vektora jakosti električnog polja, [V/m],

Jr

– fazor vektora (plošne) gustoće struje, [A/m2],

Dr

– fazor vektora električnog pomaka, [C/m2],

Hr

– fazor vektora jakosti magnetskog polja, [A/m],

Br

– fazor vektora magnetske indukcije (gustoće magnetskog toka), [T],

ρ – volumna gustoća slobodnih naboja, [C/m3],

ω – kružna frekvencija sinusnog elektromagnetskog polja, [s-1],

∇ – Hamiltonov operator,

j – imaginarna jedinica.

- 4 -

Kružna frekvencija je opisana izrazom:

f2 ⋅π⋅=ω (2.5)

pri čemu je f frekvencija, [Hz].

Osim u diferencijalnom obliku, Maxwellove jednadžbe se mogu napisati i u integralnom

obliku, a veza između tih zapisa se zasniva na Gaussovom i Stokesovom teoremu.

U izrazima (2.1) – (2.4) sinusne veličine su prikazane pomoću fazora, što se često koristi u

elektrotehnici. Fazor je kompleksan broj, a svakom kompleksnom broju pridijeljen je

odgovarajući radijus-vektor. U ovom radu se uzima da je modul fazora efektivna vrijednost

pripadne fizikalne veličine. Harmonijske vektorske veličine imaju svoje komponente koje su

harmonijske skalarne veličine. Korištenjem fazorskog zapisa u ovom radu, fazor vektora

jakosti električnog polja može se opisati sljedećim izrazom:

{ }zyxzyx E,E,EkEjEiEE =⋅+⋅+⋅=rrrr

(2.6)

gdje je:

xE – fazor komponente jakosti električnog polja duž x-osi,

yE – fazor komponente jakosti električnog polja duž y-osi,

zE – fazor komponente jakosti električnog polja duž z-osi.

2.2. Elektromagnetski potencijali

Za prikaz elektromagnetskog polja, umjesto fazora vektora Er

, Jr

, Hr

i Br

koriste se i

pomoćne funkcije pod imenom elektromagnetski potencijali: fazor vektorskog magnetskog

potencijala Ar

i fazor skalarnog električnog potencijala ϕ . Sukladno Maxwellovim

jednadžbama, elektromagnetski potencijali u mirujućem sredstvu za sinusno (harmonijsko)

elektromagnetsko polje su definirani jednadžbama:

ABrr

×∇= (2.7)

AjErr

⋅ω⋅−ϕ∇−= (2.8)

- 5 -

U 2D algoritmima koji se koriste za proračun električnog i magnetskog polja ravnog voda,

vodiči zadovoljavaju tankožičnu aproksimaciju i tretirani su kao izvori pozicionirani paralelno

zemljinoj površini [79-81]. U numeričkom modelu broj izvora jednak je broju vodiča

prijenosnog voda, koji su pozicionirani u zraku ili u zemlji na konstantnoj udaljenosti od

zemljine površine.

Izvori (vodiči) su postavljeni duž x-osi u koordinatnom sustavu prikazanom na Slici 2.1.

Ishodište odabranog koordinatnog sustava je na zemljinoj površini u sredini segmenta

nadzemnog voda. Presjek tipičnog trofaznog visokonaponskog nadzemnog voda sa jednim

zaštitnim užetom i kabelskog voda u x-z ravnini prikazani su na Slici 2.1. Proračun jakosti

električnog polja te magnetske indukcije izvršava se u y-z ravnini, u sredini segmenta voda

(Slika 2.2).

Slika 2.1. Nadzemni vod i kabelski vod u x-z koordinatnom sustavu.

Slika 2.2. Nadzemni vod i kabelski vod u y-z koordinatnom sustavu.

- 6 -

Struja koja teče kroz svaki od faznih vodiča voda može se, prema [37], [79], [81], podijeliti

na dvije komponente: longitudinalnu (uzdužnu) i transverzalnu (poprečnu). U skladu sa

usvojenom tankožičanom aproksimacijom, longitudinalna komponenta struje teče duž osi

vodiča. Ova struja je aproksimirana sa konstantom, čija vrijednost je jednaka srednjoj

vrijednosti struje vodiča. Transverzalna komponenta struje jednoliko otiče s površine faznog

vodiča u okolnu sredinu.

Matematički model za izračun električnog i magnetskog polja temeljen je na rješenjima

Helmholtzove diferencijalne jednadžbe za skalarni električni te vektorski magnetski potencijal

[80]. Rješenja Helmholtzove diferencijalne jednadžbe za skalarni električni i vektorski

magnetski potencijal u homogenom, linearnom, izotropnom i beskonačnom mediju, sa

zanemarenim retardacijskim efektom svode se na rješenja Poissonove diferencijalne

jednadžbe [8-9], [79], [81]. U slučaj pogonske frekvencije 50 Hz, retardacijski efekt može se

zanemariti bez gubitka točnosti proračuna.

U slučaju proizvoljnog broja vodiča nadzemnog voda (n), rješenja Poissonove

diferencijalne jednadžbe za skalarni električni potencijal i vektorski magnetski potencijal u

zraku mogu se napisati kao [37], [79], [81]:

∑ ∫∫= ΓΓ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅

λ⋅+⋅

λ⋅

ε⋅π⋅=ϕ

n

1iBi

Bi

iAi

Ai

i

0 BiAi

dR

FdR4

1ll (2.9)

∑ ∫= Γ

⋅⋅⋅π⋅

μ⋅=

1iAi

Aii

Ai

0 dR

1I4

i A lnrr

(2.10)

gdje je:

ϕ – fazor skalarnog električnog potencijala,

Ar

– fazor vektorskog magnetskog potencijala,

iλ – fazor gustoće naboja i-tog vodiča,

iI – fazor struje i-tog vodiča,

RAi – udaljenost između točke promatranja i točke izvora,

RBi – udaljenost između točke promatranja i točke slike izvora,

μ0 – permeabilnost vakuuma, μ0 = 4·π·10-7 [H/m],

- 7 -

ε0 – dielektričnost vakuuma, ε0 = 8,854·10-12 [F/m].

Integracijska krivulja AiΓ u (2.9) i (2.10) je pozicionirana uzduž osi i-tog vodiča, dok je

integracijska krivulja BiΓ pozicionirana uzduž osi slike i-tog vodiča s obzirom na zemljinu

površinu.

Da bi se izračunala jakost električnog polja potrebno je uzeti u obzir površinu tla. U (2.9) i

(2.10) ovo je postignuto koristeći refleksijski koeficijent F izveden za točkasti izvor struje

[78], [82]:

)f2j(f2j)f2j(f2j

Fr00

r00ε⋅ε⋅⋅π⋅⋅+σ+ε⋅⋅π⋅⋅ε⋅ε⋅⋅π⋅⋅+σ−ε⋅⋅π⋅⋅

= (2.11)

gdje je σ električna vodljivost tla, f je frekvencija struje, dok je εr relativna dielektričnost tla.

Za pogonsku frekvenciju (50 Hz) ovaj faktor može biti aproksimiran (sa visokim stupnjem

točnosti) sa:

1F −= (2.12)

kao posljedica pretpostavke da je vodljivost tla beskonačna.

U matematičkom modelu kabelskog voda, skalarni električni potencijal u zraku i tlu ne

postoji ( 0=ϕ ), dok vektorski magnetski potencijal u zraku opisan sa jednadžbom (2.10)

vrijedi za nadzemni vod i za kabelski vod.

Koristeći jednadžbe (2.9) i (2.10) mogu se dobiti vrijednosti jakosti električnog polja te

magnetske indukcije.

Teorijska podloga 2D i 3D numeričkih modela za proračun elektromagnetskog polja je

slična. Glavna razlika između navedenih modela je u tome što se za 2D model vodiči

nadzemnog (ili kabelskog) voda aproksimiraju sa tankožičanim segmentima koji su paralelni

površini zemlje. S druge strane, kod 3D modela, provjes lančanice koju čine vodiči

nadzemnog voda se može uzeti u obzir i na taj način dobiti točnije vrijednosti jakosti polja.

- 8 -

3. PRORAČUN ELEKTRIČNOG POLJA VODOVA

Jakost električnog polja nadzemnog voda može se proračunati koristeći poznate jednadžbe

koje kombiniraju skalarni električni potencijal i vektorski magnetski potencijal [8-9]:

{ }zyx E,E,EAjE =⋅ω⋅−ϕ−∇=rr

(3.1)

gdje je Er

fazor jakosti električnog polja, dok ω = 2·π·f predstavlja kružnu frekvenciju.

U 2D proračunu nadzemnog voda, vektorski magnetski potencijal ima samo x

komponentu, dok je raspodjela skalarnog električnog potencijal simetrična s obzirom na y-z

ravninu. Komponente jakosti električnog polja nadzemnog voda mogu biti proračunate iz

sljedećih izraza [37]:

0xx0xxx AjAjEE

== ⋅ω⋅−=⋅ω⋅−== (3.2)

( ) ( )yy

EE 0x0xyy ∂z,y,0z,y,xϕ ∂

−=∂

ϕ∂−== == (3.3)

( ) ( )zz

EE 0x0xzz ∂z,y,0z,y,xϕ ∂

−=∂

ϕ∂−== == (3.4)

gdje parcijalne derivacije skalarnog električnog potencijala definiraju y- i z- komponente

jakosti električnog polja.

Ukupna efektivna vrijednost jakosti električnog polja u točki promatranja P može se

izračunati pomoću:

2z

2y

2x

2z

2y

2x EEEEEEE ++=++= (3.5)

gdje su Ex, Ey i Ez efektivne vrijednosti komponenti jakosti električnog polja.

Magnetski vektorski potencijal u y-z ravnini, koji je posljedica protjecanja struje kroz n

vodiča može se izraziti pomoću [37]:

∑=

=

++⋅⋅

π⋅μ

=n

1i i

22i

i0

0x d24

dnI

2A

ll

l (3.6)

- 9 -

gdje je duljina segmenta nadzemnog voda, a dl i je najkraća udaljenost između točke

promatranja i ravne linije koja prolazi kroz os i-tog vodiča:

( ) ( )2i2

ii zzyyd −+−= (3.7)

Varijable yi i zi predstavljaju koordinate i-tog vodiča.

U svim slučajevima struje kroz vodiče iI te potencijali vodiča iΦ su ulazni podaci.

Zaštitno uže nadzemnog voda predstavlja specijalni slučaj nadzemnog voda za koji vrijedi da

je 0Ii = i 0i =Φ .

3.1. Električno polje segmenta voda – gustoća naboja aproksimirana parabolom

U ovom algoritmu, kratki segment nadzemnog voda je uzet u obzir, a gustoća naboja u

vodiču aproksimirana je sa parabolom (Slika 3.1).

Slika 3.1. Parabolna aproksimacija gustoće naboja u i-tom vodiču.

Prema Slici 3.1, gustoća naboja u vodiču je simetrično raspoređena s obzirom na sredinu

segmenta. Iz ovog razloga, jednaki indeksi lokalnih čvorova su pridijeljeni rubnim čvorovima.

Primjenjujući tehniku konačnih elemenata [83], parabolna aproksimacija gustoće naboja i-tog

vodiča može biti napisana:

i22i11i )u(N)u(N λ⋅+λ⋅=λ (3.8)

gdje je i1λ fazor čvorne vrijednosti gustoće naboja pridijeljene centralnom čvoru 1 i-tog

vodiča, i2λ fazor čvorne vrijednosti gustoće naboja pridijeljene rubnim čvorovima 2 i-tog

- 10 -

vodiča, N1(u) je oblikovna funkcija pridijeljena centralnom čvoru 1 i-tog vodiča, N2(u) je

oblikovna funkcija pridijeljena rubnim čvorovima 2 i-tog vodiča.

Oblikovne funkcije parabolne aproksimacije glase:

2

1u41)u(N ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=l

(3.9)

2

2u4)u(N ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=l

(3.10)

gdje je varijabla u lokalna koordinata nadzemnog voda paralelnog x-osi.

Prema jednadžbama (2.9), (3.8), (3.9) i (3.10), raspodjela potencijala u zraku glasi:

( ) ( ) ( )[ ] ji

2

1j

n

1iijij

0D,xGFd,xG

41z,y,x λ⋅⋅+⋅ε⋅π⋅

=ϕ ∑∑= =

(3.11)

gdje je:

( )

( )

( ) ( ) 22

2

22

2

112

222

2

2

221

1

2xvx6

2xvx6

v2

xsinh

v2

xsinhx4v2

v)ux(

du)u(Nv,xG

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅

−+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +⋅

+⋅−⋅=

=+−

⋅=

−−

−

∫

l

l

ll

l

l

ll

l

l

l

l

(3.12)

- 11 -

( )

( )

( ) ( ) 22

2

22

2

112

22

2

2

222

2

2xvx6

2xvx6

v2

xsinh

v2

xsinhv2x4

v)ux(

du)u(Nv,xG

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅

−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +⋅

⋅−⋅=

=+−

⋅=

−−

−

∫

l

l

ll

l

l

ll

l

l

l

(3.13)

Refleksijski koeficijent F opisan je jednadžbom (2.11). Varijabla v je zamijenjena sa

duljinom di, opisanom jednadžbom (3.7) ili sa duljinom Di. Uvedena varijabla Di je najkraća

udaljenost između točke promatranja i ravne linije koja prolazi kroz os slike i-tog vodiča:

( ) ( )2i2

ii zzyyD ++−= (3.14)

Koristeći jednadžbe (3.2) – (3.4), (3.6) te (3.11) – (3.13), dobiju se sljedeći izrazi za

izračun jakosti električnog polja:

∑=

++⋅⋅

π⋅μ⋅ω⋅

−=n

1i i

22i

i0

x d24

dnI

2j

E

ll

l (3.15)

( ) ( )

ji1j 1i

i

i

iji

i

ij

0y y

DD

D,0GF

yd

dd,0G

41E λ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂⋅

∂⋅+

∂∂⋅

∂⋅⋅

ε⋅π⋅−= ∑ ∑

= =

2 n ∂∂ (3.16)

( ) ( )

ji1j 1i

i

i

iji

i

ij

0z z

DD

Fzd

d41E λ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂⋅

∂⋅+

∂∂⋅

∂⋅⋅

ε⋅π⋅−= ∑ ∑

= =

2 n D,0Gd,0G ∂∂ (3.17)

gdje je:

( ) { ii222

21

21 D,dv;

v4

1v

v412v2

sinhv8v

v,0G∈

+⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅=

∂∂ −

l

l

l

l

l}

( )

(3.18)

{ ii1

2222 D,dv;

v2sinh

v4v∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

+⋅⋅=

∂− l

lll}v81v8v,0G ⋅⋅∂ (3.19)

- 12 -

Gustoće naboja u čvorovima i1λ i i2λ ; i = 1, 2, ..., n su nepoznati parametri i mogu se dobiti

koristeći Galjerkinovu metodu [83]:

( )[ ] ( ) n...,,2,1j;0dxxNz,y,x2

2

1j ==⋅⋅ϕ−Φ∫−

l

l

(3.20)

( )[ ] ( ) n...,,2,1j;0dxxNz,y,x2

2

2j ==⋅⋅ϕ−Φ∫−l

l

(3.21)

gdje je jΦ poznati potencijal j-tog vodiča, dok su N1(x) i N2(x) težinske funkcije opisane

jednadžbama (3.9) i (3.10), sa supstitucijom u = x.

Primjena Galjerkinove metode opisane jednadžbama (3.20) i (3.21) daje sljedeći sustav

linearnih jednadžbi:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Φ⋅

Φ⋅

Φ⋅⋅

Φ⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

λ

λ

λ

λ

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

1

n

1

n2

21

n1

11

nn22

1n22

nn21

1n21

n122

1122

n121

1121

nn12

1n12

nn11

1n11

n112

1112

n111

1111

3

3

32

32

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

lM

l

lM

l

M

M

LL

MM

L

MM

L

LL

MM

L

MM

L

(3.22)

U izrazima (3.16) i (3.17), gustoće naboja u čvorovima jiλ su nepoznate veličine koje

mogu biti izračunate rješavanjem sustava linearnih jednadžbi (3.22).

Elementi matrice dane u izrazu (3.22) za a = 1, 2; b = 1, 2 opisani su sa:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

⋅⋅⋅⋅+

+−

⋅⋅⋅⋅

ε⋅π⋅= ∫ ∫ ∫ ∫

− − − −

2

2

2

2

2

2

2

2

2ij

2ba

2ij

2ba

0ji

ab

Dux

dxduuNxNF

dux

dxduuNxN4

1Z

l

l

l

l

l

l

l

l

(3.23)

gdje su duljine dij i Dij:

- 13 -

iiiiii z2D;rd 0 ⋅== (3.24)

( ) ( ) ji;zzyyd 2ji

2jiij ≠−+−= (3.25)

( ) ( ) ji;zzyyD 2ji

2jiij ≠++−= (3.26)

Varijabla r0i predstavlja radijus i-tog vodiča.

Integracija dvostrukog integrala u jednadžbi (3.23) je izvršena u dva dijela: prva integracija

po varijabli u je izvršena analitički kako je dano jednadžbama (3.12) i (3.13), dok je druga

integracija po varijabli x obavljena numerički koristeći Gaussovu numeričku integraciju u pet

točaka. U ovom slučaju, zbog simetrije, Gaussova numerička integracija u pet točaka može

biti reducirana u integraciju u tri točke:

( ) ( )[ ] ( ) kk1

3

1kijk1ijk1

0ji

11 HxND,xGFd,xG4

1Z ⋅⋅⋅+⋅ε⋅π⋅

= ∑=

(3.27)

( ) ( )[ ] ( ) kk11k

ijk2ijk20

ji12

ji21 HxND,xGFd,xG

41ZZ ⋅⋅⋅+⋅ε⋅π⋅

== ∑=

3 (3.28)

( ) ( )[ ] ( ) kk21k

ijk2ijk20

ji22 HxND,xGFd,xG

41Z ⋅⋅⋅+⋅ε⋅π⋅

= ∑=

3 (3.29)

gdje su G1(xk, dij), G1(xk, Dij), G2(xk, dij) i G2(xk, Dij) preuzeti iz (3.12) i (3.13) zamjenjujući

varijable dij ili Dij umjesto varijable v.

Koordinate Gaussovih integracijskih točaka su:

ll ⋅=⋅== 4530899,0x;26923465,0x;0x 321 (3.30)

dok su težinski faktori dani sa:

lll ⋅=⋅=⋅= 2369269,0H;4786287,0H;2844444,0H 321 (3.31)

Nakon primjene Gaussove numeričke integracije, sustav linearnih jednadžbi (3.22) je

kompletiran te se nepoznate vrijednosti gustoće naboja u čvorovima mogu jednostavno

izračunati.

- 14 -

3.2. Električno polje segmenta voda – gustoća naboja aproksimirana konstantom

U ovom algoritmu, gustoća naboja u vodiču aproksimirana je konstantom na način da je:

n...,,2,1i;Qii ==λ

l (3.32)

gdje je iQ fazor naboja i-tog vodiča.

Komponente jakosti električnog polja za kratki segment nadzemnog voda mogu biti

proračunate koristeći (3.15) i sljedeće izraze [37]:

( ) ( )

i

n

1i

i

i

ii

i

i

0y Q

yD

DD,0GF

yd

dd,0G

41E ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂⋅

∂∂⋅+

∂∂⋅

∂∂

⋅⋅ε⋅π⋅

−= ∑=l

(3.33)

( ) ( )i

1i

i

i

ii

i

i

0z Q

zD

DD,0G

Fzd

dd,0G

41E ⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂⋅

∂∂⋅+

∂∂⋅

∂∂

⋅⋅ε⋅π⋅

−= ∑=l

n (3.34)

gdje je:

( ) { ii22D,dv;

v4

1v

2v

v,0G∈

+⋅⋅⋅−=

∂}∂

l

l (3.35)

Raspodjela potencijala u y-z ravnini zbog naboja vodiča nadzemnog voda može se napisati

pomoću [37]:

( ) ( ) ( )[ ] i

n

1iii

0QD,0GFd,0G

41z,y,0 ⋅⋅+⋅

⋅ε⋅π⋅=ϕ ∑

=l (3.36)

gdje je:

( ) { ii1 D,dv;

v2sinh2v,0G ∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅= − l } (3.37)

Naboji vodiča iQ u jednadžbama (3.33) i (3.34) su nepoznate veličine, a mogu biti

izračunati rješavanjem sustava linearnih jednadžbi (3.38). Sustav linearnih jednadžbi (3.38) se

može riješiti poznatom metodom kolokacije u točki sa x = 0, iz čega slijedi:

- 15 -

n...,,2,1j;QZn

1ijiji =Φ=⋅∑

= (3.38)

gdje je jΦ potencijal u kolokacijskoj točki j-tog vodiča.

Elementi matrice jiZ iz jednadžbe (3.38) mogu biti izračunati koristeći sljedeći izraz:

)D(ZF)d(ZZ jijiji ⋅+= (3.39)

gdje )d(Z ji i )D(Z ji mogu biti izračunate iz:

v

2v

n2

1)v(Z22

0

ll

ll

++⋅

⋅ε⋅π⋅= (3.40)

uvodeći vrijednosti dane jednadžbama (3.24), (3.25) i (3.26) umjesto varijable v.

3.3. Električno polje beskonačnog voda – gustoća naboja aproksimirana konstantom

Ovaj algoritam je zasnovan na često korištenoj pretpostavci da je gustoća naboja u vodiču

konstantna, dok duljina nadzemnog voda i vodljivost tla imaju beskonačne vrijednosti. Za

ovaj slučaj refleksijski koeficijent je opisan jednadžbom (2.12). Nadalje, u skladu sa

prezentiranom teoretskom podlogom, mora se uzeti da fazor vektorskog magnetskog

potencijala ima vrijednost nula, ,0A =r

sa sljedećom posljedicom:

0Ex = (3.41)

Razlog uvođenja ove pretpostavke leži u činjenici da bi u suprotnom vektorski magnetski

potencijal i posljedično x-komponenta jakosti električnog polja težili u beskonačno za

. Naravno, ovo nije fizikalno utemeljeno jer je x-komponenta jakosti električnog polja

u stvarnom slučaju zanemariva u usporedbi s ostalim komponentama.

∞→l

Koristeći jednadžbe (2.12), (3.32) - (3.35) te (3.41) za ∞→l , sljedeći izrazi za računanje

preostale dvije komponente jakosti električnog polja beskonačno dugog voda slijede:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−⋅

ε⋅π⋅λ

= ∑=

2i

i2i

i

0

in

1iy

Dyy

dyy

2E (3.42)

- 16 -

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−

−⋅

ε⋅π⋅λ

= ∑=

2i

i2i

i

0

in

1iz

Dzz

dzz

2E (3.43)

Ako se gustoća naboja u vodiču iλ aproksimira sa konstantom tada je iλ dobro znan fazor

gustoće naboja po jedinci duljine.

Nepoznate vrijednosti gustoće naboja po jedinici duljine mogu biti izračunate metodom

kolokacije u točki sa x = 0, koja daje sljedeći sustav linearnih algebarskih jednadžbi:

n...,,2,1j;Zn

1ijiji =Φ=λ⋅∑

= (3.44)

gdje su elementi matrice dani izrazom:

ij

ij

0jiij d

Dn

21ZZ l⋅ε⋅π⋅

== (3.45)

Varijable dij i Dij dane su izrazima (3.24), (3.25) i (3.26).

U jednadžbama (3.42) i (3.43), gustoće naboja po jedinici duljine su nepoznate veličine

koje mogu biti izračunate rješavajući sustav linearnih jednadžbi (3.44).

3.4. Proračun jakosti električnog polja kabelskog voda

Jakost električnog polja kabelskog voda je specijalni slučaj prethodno opisanog algoritma

za nadzemne vodove. U ovom slučaju, skalarni električni potencijal ne postoji ( 0=ϕ ). Tada

je prema jednadžbi (3.1), jakost električnog polja kabelskog voda u zraku opisana sljedećim

izrazom:

{ }0,0,EAjE x=⋅ω⋅−=rr

(3.46)

gdje se za kratke segmente kabelskog voda x-komponente jakosti električnog polja mogu

izračunati koristeći jednadžbu (3.15). U slučaju beskonačnog kabelskog voda električno polje

ne postoji.

- 17 -

4. PRORAČUN MAGNETSKE INDUKCIJE VODOVA

Numerički algoritmi za proračun magnetske indukcije za nadzemni vod i za kabelski vod

su matematički jednaki i zasnovani su na primjeni Biot-Savartovog zakona [8-9].

Pozicija proizvoljnog i-tog faznog vodiča elektroenergetskog voda orijentiranog u smjeru

x-osi odabranog koordinatnog sustava prikazana je na Slici 4.1. U numeričkom modelu, struja

koja teče kroz fazni vodič iI uzrokuje magnetsku indukciju u točki promatranja P(0, y, z) u

y-z ravnini (Slika 4.1).

Slika 4.1. Izračun magnetske indukcije uzrokovane jednim faznim vodičem voda.

4.1. Magnetska indukcija konačno dugog voda

Za konačno dugi elektroenergetski vod, komponente magnetske indukcije se računaju u

točki promatranja P(0, y, z) u y-z ravnini koristeći sljedeće izraze [37]:

0Bx = (4.1)

( )∑=

⋅

+⋅⋅π⋅

⋅−⋅μ=

1ii2

2i

2i

i0y I

4dd4

zzBl

ln (4.2)

( )∑=

⋅

+⋅⋅π⋅

⋅−⋅μ=

1ii2

2i

2i

i0z I

4dd4

yyB

l

ln (4.3)

- 18 -

Konačno, ukupna efektivna vrijednost magnetske indukcije u točki P se računa prema:

2z

2y

2z

2y BBBBB +=+= (4.4)

4.2. Magnetska indukcija beskonačno dugog voda

Za beskonačno dugi vod, komponente magnetske indukcije se dobiju uvrštavajući → ∞

sa posljedicom da jednadžba (4.2) za proračun y-komponente magnetske indukcije u točki

promatranja P(0, y, z) u y-z ravnini postaje:

l

( )

∑=

⋅⋅π⋅

−⋅μ=

n

1ii2

i

i0y I

d2zz

B (4.5)

dok jednadžba (4.3) za proračun z-komponente magnetske indukcije u točki promatranja

P(0, y, z) u y-z ravnini postaje:

( )

∑=

⋅⋅π⋅

−⋅μ=

n

1ii2

i

i0z I

d2yy

B (4.6)

- 19 -

5. PRORAČUN ELEKTRIČNOG POLJA I MAGNETSKE INDUKCIJE

POSTROJENJA

Zbog geometrijske kompleksnosti i velikog broja različitih elemenata u rasklopnim

postrojenjima, proračun električnog polja je znatno složeniji od proračuna u slučaju

elektroenergetskih vodova. Predstavljeni su brojni modeli i izvršena mjerenja za različite

tipove i nazivne napone transformatorskih stanica, od distribucijskih TS 10/0,4 kV, unutarnjih

i vanjskih metalom oklopljenih postrojenja (GIS), pa do TS 400/110 kV na otvorenom. Bez

obzira o kojem tipu postrojenja se radi, isključivo se vrši 3D proračun polja. Izvori

električnog polja su poznati, ali je nepoznata raspodjela naboja po elementima, odnosno

metalnim površinama, koja se trebala na odgovarajući način aproksimirati. Za proračun

električnog polja se uglavnom koriste metoda simulacije naboja (CSM – Charge Simulation

Method), metoda konačnih elemenata (FEM – Finite Element Method), metoda graničnih

elemenata (BEM – Boundary Element Method) ili neka od hibridnih metoda koja koristi

kombinaciju navedenih metoda uz određena pojednostavljenja.

U [11] za proračun električnog polja je korištena metoda momenata, odnosno metoda

graničnih elemenata i metoda kolokacije u točkama. U obzir su uzeti samo vodiči na poznatim

(zadanim) potencijalima, a tlo je uzeto u proračun kao vodič na nultom potencijalu te se

njegov utjecaj modelirao metodom odslikavanja. Korištenjem metode graničnih elemenata

željelo se olakšati predprocesiranje zbog manjeg broja potrebnih elemenata, ali su odabrane

složene funkcije aproksimacije i metoda kolokacije u točkama, što je dovelo do problema

odabira tih točaka. Elementi rasklopnog postrojenja koji su znatno manjeg poprečnog presjeka

u odnosu na duljinu i udaljenost od točaka u kojima se vršio proračun polja su modelirani kao

linearni. Plohe elemenata, ovisno o njihovom obliku, su aproksimirane pravokutnim ili

cilindričnim elementima.

Metoda simulacije naboja je korištena u [13], pri čemu su vodiči pomoću optimizacijskih

tehnika podijeljeni na manje segmente različitih duljina sa konstantnom ili linearnom

raspodjelom gustoće naboja.

Hibridni model koji kombinira metodu simulacije naboja i metodu graničnih elemenata je

predstavljen u [21]. Razvijen je računalni program u kojem je na osnovu prezentirane teorije

dan primjer proračuna električnog polja vanjskog 400 kV postrojenja. Metalne površine i

okviri stupova su podijeljeni na linijske i površinske elemente, a gustoće naboja su

aproksimirane odgovarajućim funkcijama. Tlo je uzeto u obzir korištenjem metode

- 20 -

odslikavanja. U slučaju kada su metalne površine u rasklopnom postrojenju na nultom

potencijalu uzete u proračun električnog polja, ukupan broj elemenata se povećao, a i trajanje

proračuna se znatno produljilo.

Budući da se kod rasklopnih postrojenja radi isključivo 3D proračun električnog polja,

unatoč brojnim pojednostavljenjima koje autori koriste, zbog geometrijske složenosti i

velikog broja elemenata, potrebno je voditi računa o njihovom utjecaju na vrijednosti polja te

ih na odgovarajući način modelirati. Da bi se smanjilo vrijeme trajanja proračuna razvijeni su

programi za paralelni proračun, ali unatoč tome to traje i nekoliko sati te dobiveni rezultati u

nekim slučajevima znatno odstupaju od mjerenih vrijednosti. Zbog iznimne važnosti koju u

posljednje vrijeme dobiva ova problematika, vidljivo je da ima mjesta za unapređivanje

postojećih modela i razvoj programskih alata koji će omogućiti točniji izračun polja.

Proračun magnetske indukcije u postrojenju je identičan onome za nadzemni, odnosno

kabelski vod i bazira se na primjeni Biot-Savartovog zakona. Potrebno je sumirati doprinose

svih vodiča, a najviše vrijednosti magnetske indukcije u postrojenjima su uglavnom na

niskonaponskoj strani transformatora i vodova zbog velikih vrijednosti struja koje tu teku.

- 21 -

6. MJERENJE JAKOSTI ELEKTRIČNOG POLJA I MAGNETSKE

INDUKCIJE

U literaturi [84] su opisani mjerni instrumenti koji se koriste za mjerenje jakosti

električnog polja i magnetske indukcije elektroenergetskih vodova te standardni postupci za

mjerenje, kako bi se izbjegle pogreške do kojih može doći. Uglavnom se koriste slobodni

prenosivi mjerni uređaji koji se sastoje od dva dijela: sonde i detektora. Kod mjerenja jakosti

električnog polja, obavezno je korištenje teleskopske sonde (Slika 6.1) da bi se smanjilo

izobličenje polja uzrokovano osobom koja vrši mjerenje. Shematski prikaz mjerenja (poprečni

profil) jakosti električnog polja dan je na Slici 6.2. Većina instrumenta za mjerenje magnetske

indukcije sadrži tri međusobno okomita namota, koja istodobno mjere tri prostorne

komponente i neovisno o orijentaciji instrumenta pokazuju rezultantno polje. S obzirom da

osoba koja vrši mjerenje ne utječe bitno na raspodjelu magnetskog polja, mjeritelj može

slobodno držati instrument u ruci dok mjeri magnetsko polje na visini od 1 m kao što je

prikazano shematski na Slici 6.3. Također je moguće mjerenja vršiti koristeći specijalna

postolja koje proizvođači obično nude uz mjerne instrumente, tako da se može precizno

regulirati visina na kojoj se vrši mjerenje kao i položaji mjernih točaka (Slike 6.4 - 6.6). U

[84] je propisano da se mjerenja obavljaju na visini od 1 m iznad razine tla, iako se ona

ponekad vrše i na drugim visinama, što treba izričito navesti. Broj mjernih točaka i njihova

međusobna udaljenost, bilo da se radi o uzdužnom ili poprečnom profilu, je proizvoljan.

Slika 6.1. Mjerenje jakosti električnog polja uz korištenje teleskopske sonde.

- 22 -

Slika 6.2. Shematski prikaz mjerenja jakosti električnog polja.

Slika 6.3. Shematski prikaz mjerenja magnetske indukcije.

- 23 -

Slika 6.4. Mjerenje električnog polja i magnetske indukcije uz upotrebu postolja na mjerenje.

Slika 6.5. Mjerenje električnog polja i magnetske indukcije uz upotrebu postolja na mjerenje.

- 24 -

Slika 6.6. Mjerenje električnog polja uz upotrebu postolja na mjerenje.

Na tržištu postoji veći broj proizvođača i razni tipovi instrumenata za mjerenje jakosti

električnog polja i magnetske indukcije (Slike 6.7, 6.9). Neki proizvođači osim samih

instrumenata obično nude i dodatni pribor te programske pakete, koji omogućavaju proračun

elektromagnetskih polja u širokom rasponu frekvencija. Neki od poznatijih programskih

paketa i njihovih modula za izračun elektromagnetskih polja su:

• HIFREQ module of the CDEGS (Current Distribution, Electromagnetic Fields,

Grounding and Soil Structure Analysis), [85],

• SUBCALC Magnetic Field Modeling Program - EMF Workstation software 2.51,

developed by EPRI, [86],

• Maxwell 2D/3D software of the ANSYS, [87].

Kod instrumenata za mjerenje magnetske indukcije potrebno je voditi računa o opciji

prikazivanja rezultata, jer se uglavnom nude dvije opcije prikaza: u miliGaussima (mG) i

mikroTeslama (μT). Prva jedinica se koristi u SAD-u, dok se u Europi koristi izvedena

jedinica SI sustava μT, a njihov međusobni odnos je dan sa:

T1mG10 μ= (6.1)

- 25 -

Jedan od instrumenata za mjerenje magnetske indukcije je Sypris Triaxial ELF Magnetic

Field Meter Model 4090 (Slika 6.7).

Slika 6.7. Sypris Triaxial ELF Magnetic Field Meter Model 4090.

Karakteristike ovog modela preuzete od proizvođača prikazane su na Slici 6.8.

Slika 6.8. Karakteristike uređaja Sypris Triaxial ELF Magnetic Field Meter Model 4090.

- 26 -

U dostupnoj literaturi može se uočiti da su autori često vršili mjerenja električnog polja i

magnetske indukcije prijenosnih vodova i postrojenja mjernim uređajem Narda PMM 8053 sa

analizatorom EHP-50C (Slika 6.9), čije su karakteristike dane u Tablici 6.1.

Slika 6.9. Narda PMM 8053-B EMF meter.

Tablica 6.1. Karakteristike analizatora Narda EHP-50C.

Narda EPH-50C Jakost električnog polja Magnetska indukcija

Frekvencijsko područje 5 Hz – 100 kHz 5 Hz – 100 kHz

Mjerno područje 0,01 V/m – 100 kV/m 1 nT – 10 mT

Rezolucija 0,1 V/m 10 nT

Osjetljivost 0,01 V/m 1 nT

Apsolutna pogreška ± 0,5 dB pri 50 Hz i 1 kV/m ± 0,5 dB pri 50 Hz i 0,1 mT

Izotropnost ± 1 dB ± 1 dB

Linearnost pri 50 Hz ± 0,2 dB (1 V/m – 100 kV/m) ± 0,2 dB (200 nT – 10 mT)

- 27 -

Iz karakteristika analizatora, prikazanih u Tablici 6.1, vidljivo je da je on pogodan za

mjerenje u frekvencijskom rasponu od 5 Hz do 100 kHz i pri tome daje rezultate u širokom

mjernom području sa velikom osjetljivošću i malom pogreškom mjerenja. Analizator

uključuje modul kubičnog oblika koji sadrži senzor električnog polja, ožičenje i neovisan je o

baznoj jedinici, prikazanoj na Slici 6.9. Prilikom mjerenja električnog polja modul sa

senzorom se može postaviti na drveno postolje (tronožac), tako da se izbjegne izobličenje

polja koje bi uzrokovalo prisustvo osobe koja vrši mjerenje te je optičkim kabelom spojen na

baznu jedinicu PMM 8053 (Slika 6.10).

Slika 6.10. Mjerenje električnog polja u rasklopnom postrojenju sa mjernim uređajem

PMM 8053 i analizatorom EHP-50-C.

- 28 -

7. GRANIČNE RAZINE ELEKTRIČNOG I MAGNETSKOG POLJA

U posljednje vrijeme vlada povećani interes za utjecaj električnih i magnetskih polja

pogonske frekvencije (50/60 Hz) na okolinu. Sve veća zabrinutost uslijed izlaganja ljudi

štetnom djelovanju elektromagnetskih polja pogonske frekvencije tokom duljeg razdoblja

rezultirala je vrlo strogim propisima u nekim državama. U Republici Hrvatskoj je u kolovozu

2011. godine stupio na snagu Pravilnik o zaštiti od elektromagnetskih polja [7], kojim se

propisuju dozvoljeni iznosi polja.

Međunarodna organizacija za zaštitu od neionizirajućih zračenja (International

Commission on Non-Ionizing Radiation Protection - ICNIRP) izdala je 2010. godine nove

smjernice u vezi dopuštenih graničnih vrijednosti polja za frekvencijski raspon od 1 Hz do

100 kHz [3]. Prve smjernice ICNIRP je izdao 1998. godine [4], a u novima su dopuštene

granične razine električnog i magnetskog polja iste ili čak i više.

Prema [3], dopuštene granične vrijednosti elektromagnetskih polja frekvencije 50 Hz su:

• E = 5 kV/m i B = 200 μT za opću populaciju,

• E = 10 kV/m i B = 1000 μT kod izlaganja profesionalnih radnika pri radu.

U odnosu na preporuke iz 1998. godine, granične vrijednosti jakosti električnog polja su

ostale nepromijenjene, dok su dopuštene vrijednosti jakosti magnetskog polja (odnosno

magnetske indukcije – gustoće magnetskog toka) dvostruko veće. Također, glavna

ograničenja se baziraju na induciranim unutarnjim električnim poljima, umjesto na

induciranoj gustoći struje u tijelu čovjeka. Na temelju brojnih medicinskih istraživanja, u

kojima su korišteni heterogeni modeli ljudskog tijela, utvrđeno je da se inducirano električno

polje u tijelu čovjeka može uzeti kao fizikalna veličina koja određuje biološki efekt kod ljudi

na vanjska elektromagnetska polja. Tako se kao glavno ograničenje kod elektromagnetskih

polja pogonske frekvencije 50 Hz uzimaju vrijednosti unutarnjeg električnog polja u tkivu

centralnog živčanog sistema glave:

• E = 20 mV/m za opću populaciju,

• E = 100 mV/m kod izlaganja profesionalnih radnika pri radu.

- 29 -

Dopuštene vrijednosti unutarnjeg električnog polja u tkivima glave i tijela su:

• E = 400 mV/m za opću populaciju,

• E = 800 mV/m kod izlaganja profesionalnih radnika pri radu.

Savjet Europske Unije je također objavio svoje smjernice kod izlaganja ljudi, koje su

bazirane na smjernicama ICNIRP. Za članice Europske Unije je još 1999. godine donesena

preporuka za zaštitu ljudske populacije od elektromagnetskog zračenja, a vladama svojih

članica u vezi ograničavanja izloženosti ljudi elektromagnetskom polju preporučuje sljedeće

vrijednosti za jakost električnog polja i magnetske indukcije kod frekvencije 50 Hz:

• E = 5 kV/m,

• B = 100 μT.

Za razliku od smjernica ICNIRP, granične vrijednosti za jakost električnog polja i

magnetsku indukciju prema savjetu Europske Unije odnose se na područja na kojem ljudi

borave veći dio vremena. Preporuka izričito navodi da članice Europske Unije mogu u skladu

s dogovorom usvojiti strože kriterije u pogledu elektromagnetskog zračenja od ovih ovdje

navedenih. Brojne zemlje u Svijetu su donijele zakone kojima definiraju dozvoljene razine

jakosti električnog i magnetskog polja, pa tako i Hrvatska.

Hrvatski pravilnik o zaštiti od elektromagnetskih polja [7], uvažavajući princip

predostrožnosti, definirao je vrijednosti koje su i strože od onih koje je postavio ICNIRP.

Razlikuju se pritom dva područja:

• Područja povećane osjetljivosti: područja stambenih zona u kojima se osobe

mogu zadržavati i 24 sata dnevno; škole, ustanove predškolskog odgoja, rodilišta,

bolnice, smještajni turistički objekti, te dječja igrališta (prema urbanističkom

planu); površine neizgrađenih parcela namijenjene prema urbanističkom planu za

gore navedene objekte,

• Područja profesionalne izloženosti: područja radnih mjesta koja nisu u području

povećane osjetljivosti i na kojima se pojedinci mogu zadržavati do 8 sati dnevno,

pri čemu je kontrolirana njihova izloženost elektromagnetskim poljima.

U nastavku se daju granične razine jakosti električnog polja, jakosti magnetskog polja i

gustoće magnetskog toka u ovisnosti o frekvenciji prema [7]. U Tablici 7.1 dane su dotične

vrijednosti za područja povećane osjetljivosti, dok su u Tablici 7.2 dane iste vrijednosti za

- 30 -

područja profesionalne izloženosti. Važno je napomenuti da su u dotičnim tablicama,

preuzetim iz [7], navedene granične razine veličina samo za frekvencijski spektar do 100 kHz.

Naime, to je, prema [7], gornja granica za niskofrekvencijska elektromagnetska polja, a tu

spadaju i polja industrijske frekvencije (50 Hz) koje su predmet ovoga rada.

Tablica 7.1. Granične razine električnog i magnetskog polja te gustoće magnetskog toka za

frekvenciju do 100 kHz, za područja povećane osjetljivosti [7].

Frekvencija Jakost električnog

polja E (V/m)

Jakost magnetskog

polja H (A/m)

Gustoća magnetskog

toka B (µT) f

< 1 Hz 5600 12800 16000

1 – 8 Hz 4000 12800/f2 16000/f2

8 – 25 Hz 4000 1600/f 2000/f

0,025 – 0,8 kHz 100/f 1,6/f 2/f

0,8 – 3 kHz 100/f 2 2,5

3 – 100 kHz 34,8 2 2,5

Tablica 7.2. Granične razine električnog i magnetskog polja te gustoće magnetskog toka za

frekvenciju do 100 kHz, za područja profesionalne izloženosti [7].

Frekvencija

f

Jakost električnog

polja E (V/m)

Jakost magnetskog

polja H (A/m)

Gustoća magnetskog

toka B (µT)

< 1 Hz 14000 32000 40000

1 – 8 Hz 10000 32000/f2 40000/f2

8 – 25 Hz 10000 4000/f 5000/f

0,025 – 0,8 kHz 250/f 4/f 5/f

0,8 – 3 kHz 250/f 5 6,25

3 – 100 kHz 87 5 6,25

- 31 -

Granične razine dane su za efektivne vrijednosti jakosti električnog polja i gustoće

magnetskog toka, a vrijede za jednoliku izloženost cijelog ljudskog tijela elektromagnetskim

poljima. Vrijednost frekvencije f za proračun efektivnih vrijednosti jakosti električnog i

magnetskog polja te gustoće magnetskog toka u pojedinom retku Tablica 7.1 i 7.2 uzima se u

jedinicama za frekvenciju navedenim u prvom stupcu dotičnih tablica.

U Tablici 7.3 dana je usporedba graničnih razina elektromagnetskih polja pri frekvenciji

50 Hz koje daje ICNIRP [3] i važećih vrijednosti u Republici Hrvatskoj [7].

Tablica 7.3. Granične razine elektromagnetskog polja frekvencije 50 Hz.

Granične razine elektromagnetskog polja pri frekvenciji 50 Hz

(najveće dozvoljene efektivne vrijednosti)

ICNIRP 2010

Pravilnik o zaštiti od

elektromagnetskih polja

(NN br. 98/11)

Električno

polje

Magnetska

indukcija

B (μT)

Električno

polje

Magnetska

indukcija

B (μT)

Područja izloženosti

E (kV/m) E (kV/m)

Profesionalna izloženost 10 1000 5 100

Povećana osjetljivost 5 200 2 40

- 32 -

8. ZAKLJUČAK

Niskofrekventna električna i magnetska polja predmet su brojnih istraživanja, znanstvenih

radova i studija koje se provode. Proračun elektromagnetskih polja pogonske frekvencije

(50 Hz) je važan zbog projektiranja postrojenja i elektroenergetskih vodova, a mjerenjem se

mora provjeriti da su granične vrijednosti tih polja unutar propisanih vrijednosti.

Određena količina kontroverze okružuje moguće štetne utjecaje na ljudsko zdravlje

prouzrokovane niskofrekventnim električnim i magnetskim poljima. Sa stajališta javnog

mijenja, najgori efekti su oni kancerogene prirode kao npr. dječja leukemija. Objavljene su

brojne epidemiološke studije koje su proučavale vezu između navedenih štetnih posljedica te

električnog i magnetskog polja kao uzroka. Rezultati ovih studija su nedosljedni i svakako

nedovoljni da povežu električna i magnetska polja sa ovim posljedicama.

U numeričkim modelima za proračun elektromagnetskog polja prijenosnih vodova i

postrojenja, elektromagnetsko polje pri frekvenciji 50 Hz može biti aproksimirano

kvazistatičkim poljem pa se električno i magnetsko polje mogu promatrati odvojeno.

Numerički algoritmi za proračun električnog i magnetskog polja pogonske frekvencije u

rasklopnim postrojenjima su 3D proračuni. Većina numeričkih algoritama za proračun

električnog i magnetskog polja prijenosnih vodova pri pogonskoj frekvenciji su 2D algoritmi,

a korištenjem 3D modela omogućeno je da se u obzir uzmu i provjes vodova, stupovi te bilo

koje metalne mase.

Magnetsko polje uzrokovano prijenosnim vodom se tradicionalno proračunava pomoću

Biot-Savartovog zakona sumirajući doprinose svakog vodiča.

U ovom radu dana je osnovna teorijska podloga elektromagnetskih polja, zasnovana na

sustavu Maxwellovih jednadžbi, iz koje slijede algoritmi za proračun elektromagnetskih polja.

Predstavljeni su najčešće korišteni algoritmi za proračun električnog polja i magnetske

indukcije elektroenergetskih vodova i postrojenja, metode mjerenja i neki od mjernih uređaja

te gotovi programski paketi za izračun elektromagnetskih polja.

Iz dostupne literature vidljivo je da autori pri proračunu elektromagnetskih polja koriste

brojna pojednostavljenja, posebno kod postrojenja zbog geometrijske složenosti i velikog

broja elemenata, te je trajanje proračuna prilično dugo i unatoč tome dobiveni rezultati u

nekim slučajevima znatno odstupaju od izmjerenih vrijednosti. Zbog iznimne važnosti radi

- 33 -

mogućeg štetnog utjecaja na ljudsko zdravlje, postoji potreba za unapređenje postojećih

modela i daljnji razvoj programskih alata koji će omogućiti točniji izračun polja.

- 34 -

LITERATURA

[1] Wertheimer, N.; Leeper, E.: ''Electrical wiring configurations and childhood cancer'',

Amer. J. Epidemiol., Vol. 109, pp. 273–284, 1979.

[2] Non-Ionizing Radiation, Part 1: Static and Extremely Low-Frequency (ELF) Electric

and Magnetic Fields, IARC Monographs on the Evaluation of Carcinogenic Risks to

Humans, Vol. 80, 2002.

[3] ICNIRP Guidelines for Limiting Exposure to Time-Varying Electric and Magnetic

Fields (1 Hz to 100 kHz), Health Physics, Vol. 99, No. 6, pp. 818–836, 2010.

[4] ICNIRP Guidelines for Limiting Exposure to Time-Varying Electric, Magnetic and

Electromagnetic Fields (up to 300 GHz), Health Physics, Vol. 74, No. 4, pp. 494–522,

1998.

[5] Zakon o zaštiti od neionizirajućeg zračenja, Narodne novine br. 91/10, 2010.

[6] Pravilnik o tehničkim zahtjevima za elektroenergetska postrojenja nazivnih

izmjeničnih napona iznad 1 kV, Narodne novine br. 105/10, 2010.

[7] Pravilnik o zaštiti od elektromagnetskih polja, Narodne novine br. 98/11, 2011.

[8] Haznadar, Z.; Štih, Ž.: ''Electromagnetic Fields, Waves and Numerical Methods'',

Amsterdam, IOS Press, 2000.

[9] Fitzpatrick, R.: ''Maxwell’s Equations and the Principles of Electromagnetism'',

Hingham, Infinity Science Press LLC, 2008.

[10] Olsen, R.G.; Wong, P.S.: ''Characteristics of low frequency electric and magnetic

fields in the vicinity of electric power lines'', IEEE Transactions on Power Delivery,

Vol. 7, No. 4, pp. 2046–2055, 1992.

[11] Trkulja, B.; Štih, Ž.: ''Computation of electric fields inside large substations'', IEEE

Transactions on Power Delivery'', Vol. 24, No. 4, pp. 1898–1902, 2009.

[12] Daily, W.K.; Dawalibi, F.: ''Measurements and computations of electromagnetic fields

in electric power substations'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 9., No. 1,

pp. 324–333, 1994.

[13] Lee, B.Y.; Park, J.K.; Myung, S.H.; Min, S.W.; Kim, E.S.: ''An effective modelling

method to analyze electric field around transmission lines and substations using a

- 35 -

generalized finite line charge'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 12, No. 3,

pp. 1143–1150, 1997.

[14] Abdel-Salam, M.; Abdel-Sattar, S.; Ibrahim, A.; Nayel, M.: ''Magnetic field

distribution around a current-carrying conductor above a two-layer ground'', Electric

Power Systems Research, Vol. 58, No. 3, pp. 197–203, 2001.

[15] Božić, N.; Kovač, N.; Cvetković, M.: ''A procedure for assessment of maximal

electromagnetic field values from urban power substation'', International Journal of

Energy, Vol. 2, No. 4, pp. 75–84, 2008.

[16] Colak, I.; Kosalay, I.; Inan, A.: ''Estimation of magnetic field distributions in

substation centers using artificial neural networks'', Journal of Scientific & Industrial

Research, Vol. 66, pp. 819–827, 2007.

[17] Deng, J.; Hao, Y.; Chen, H.; Li, L.; Wang, J.; Zheng, X.;Wu, H.: ''A wavelet transform

boundary element method for electric field problem inside substations'', IEEE

Transactions on Electromagnetic Compatibility, Vol. 54, No. 1, pp. 193–197, 2012.

[18] Hayashi, N.: ''Examination of simple analytical method for calculating 60-Hz magnetic

field in power substations'', Electrical Engineering in Japan, Vol. 112, No. 1, 1992.

[19] Huang, L.; Kasten, D.G.: ''Modeling of ground grid and metallic structure currents in

high voltage a.c. substations for the computation of electromagnetic fields'', Electric

Power Systems Research, Vol. 59, No. 1, pp. 31–37, 2001.

[20] Myung, S.H.; Lee, B.Y.; Park, J.K.: ''Three dimensional electric field analysis of

substation using nonuniform optimal charge simulation'', 9th Int. Symposium on High

Voltage Engineering, Graz Austria, August 1995.

[21] Krajewski, W.: ''Numerical modelling of the electric field in HV substations'', IEE

Proc.-Sci. Meas. Technol., Vol. 151, No. 4, pp. 267–272, July 2004.

[22] Muharemović, A.; Salkić, H.; Klarić, M.; Turković, I.; Muharemović, A.: ''The

calculation of electromagnetic fields (EMF) in substations of shopping centers'', World

Academy of Science, Engineering and Technology, Vol. 61, pp. 1081–1088, 2012.

[23] Munteanu, C.; Pop, I.T.; Visan, V.; Topa, V.; Racasan, A.; Purcar, M.: ''Analysis of

the power frequency electric field generated by high voltage substations'', Asia-Pacific

International Symposium on Electromagnetic Compatibility, Beijing, China, pp. 707–

710, 2010.

- 36 -

[24] Nicolaou, C.P.; Papadakis, A.P.; Razis, P.A.; Kyriacou, G.A.; Sahalos, J.N.:

''Simplistic numerical methodology for magnetic field prediction in open air type

substations'', Electric Power Systems Research, Vol. 81, No. 12, pp. 2120–2126, 2011.

[25] Nikolovski, S.; Marić, P.; Baus, Z.: ''Electromagnetic field calculation of transformer

station 400/110 kV Ernestinovo using the CDEGS software'', Journal of electrical

engineering, Vol. 58, No. 4, pp. 207–213, 2007.

[26] Yu, Q.; Sebo, S.A.: ''Accurate evaluation of the magnetic field strength of large

substation air-core reactor coils'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No.

4, pp. 1114–1119, 1998.

[27] Ranković, A.; Savić, M.S.: ''Generalized charge simulation method for the calculation

of the electric field in high voltage substations'', Electr. Eng., Vol. 92, pp. 69–77,

2010.

[28] Visan, Gh.; Pop, I.T.; Munteanu, C.: ''Computation of the electric and magnetic field

distribution inside high and very high voltage substations'', The Online Journal on

Electronics and Electrical Engineering (OJEEE), Reference Number: W09-0039, Vol.

2, No. 2, pp. 211–216.

[29] Yatchev, I.; Miltchev, R.; Terziisky, A.: ''3D electric field analysis of a voltage

transformer using boundary integral equation method and general-purpose CAD

system'', Facta Universitatis Niš, Ser.: Elec. Energ., Vol. 15, No. 2, pp. 227–236, 2002.

[30] Madžarević, V.; Salkić, H.; Salkić, Z.; Bačinović, D.: ''Calculation ol low-frequency

electric field distribution of transformer station in aspect of exposure to non-ionizing

electromagnetic radiation'', (in Croatian), HO CIRED, SO2 - 23, Šibenik 2008.

[31] Moro, F.; Turri, R.: ''Fast analytical computation of power-line magnetic fields by

complex vector method'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 23, No. 2, pp.

1042–1048, 2008.

[32] Kaune, W.T.; Zaffanella, L.E.: ''Analysis of magnetic fields produced far from electric

power lines'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 7, No. 4, pp. 2082–2091,

1992.

[33] Memari, A.R.; Janischewskyj, W.: ''Mitigation of magnetic field near power lines'',

IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, No. 3, pp. 1577–1586, 1996.

- 37 -

[34] Filippopoulos, G.; Tsanakas, D.: ''Analytical calculation of the magnetic field

produced by electric power lines'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 20, No.

2, pp. 1474–1482, 2005.

[35] Garrido, C.; Otero, A.F.; Cidrás, J.: ''Low-frequency magnetic fields from electrical

appliances and power lines'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 18, No. 4,

pp. 1310–1319, 2003.

[36] Olsen, R.G.; Deno, D.; Baishiki, R.S. et al.: ''Magnetic fields from electric power lines

theory and comparison to measurements'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.

3, No. 4, pp. 2127–2136, 1988.

[37] Vujević, S.; Sarajčev, P.; Botica, A.: ''Computation of the overhead power line

electromagnetic field'', 16th International Conference on Software,

Telecommunications and Computer Networks (SoftCOM 2008), pp. 27–31, 2008.

[38] Vujević, S.; Sarajčev, P.; Lovrić, D.: ''Computation of the power line electric and

magnetic fields'', 17th Telecommunications forum (TELFOR 2009), pp. S8–10, 2009.

[39] Tzinevrakis, A.E.; Tsanakas, D.K.; Mimos, E.I.: ''Analytical calculation of the electric

field produced by single-circuit power lines'', IEEE Transactions on Power Delivery,

Vol. 23, No. 3, pp. 1495–1505, 2008.

[40] Vujević, S.; Lovrić, D.; Sarajčev, P.: ''Comparison of 2D algorithms for the

computation of power line electric and magnetic fields'', European Transactions on

Electrical Power (ETEP), Vol. 21, No.1, pp. 505–521, 2011.

[41] Abdel-Salam, M.; Abdallah, H.; El-Mohandes, M.Th.; El-Kishky, H.: ''Calculation of

magnetic fields from electric power transmission lines'', Electric Power Systems

Research, Vol. 49, No. 2, pp. 99–105, 1999.

[42] Abdel-Salam, H.A.H.; Mohmoud, S.A.; Ghania, S.M.: ''Environmental pollution by

magnetic field associated with power transmission lines'', Energy Conversion and

Management, Vol. 43, No. 17, pp. 2443–2452, 2002.

[43] Deželak, K.; Jakl, F.; Štumberger, G.: ''Arrangements of overhead power line phase

conductors obtained by differential evolution'', Electric Power Systems Research, Vol.

81, No. 12, pp. 2164–2170, 2011.

- 38 -

[44] Marincu, A.; Greconici, M.; Musuroi, S.: ''The electromagnetic field around a high

voltage 400 kV electrical overhead lines and the influence on the biological systems'',

Facta Universitatis Niš, Ser.: Elec. Energ., Vol. 18, No. 1, pp. 105–111, 2005.

[45] Mori, A.; De Vita, P.; Freni, A.: ''Estimation of the electric field generated by power

lines with the adaptive integral method'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.

26, No. 2, pp. 1296–1297, 2011.

[46] Nicolaoua, C.P.; Papadakis, A.P.; Razis, P.A.; Kyriacou, G.A.; Sahalos, J.N.:

''Measurements and predictions of electric and magnetic fields from power lines'',

Electric Power Systems Research, Vol. 81, No. 5, pp. 1107–1116, 2011.

[47] Ranković, V.; Radulović, J.: ''Prediction of magnetic field near power lines by

normalized radial basis function network'', Advances in Engineering Software, Vol.

42, pp. 934–938, 2011.

[48] Tzinevrakis, A.E.; Tsanakas, D.K.; Mimos, E.I.: ''Electric field analytical formulas for

single-circuit power lines with a horizontal arrangement of conductors'', IET

Generation, Transmission & Distribution, Vol. 3, No. 6, pp. 509–520, 2009.

[49] Deno, D.W.: ''Transmission line fields'', IEEE Transactions on Power Apparatus, Vol.

PAS-95, No. 5, pp. 1600–1611, 1976.

[50] Ismail, H.M.: ''Characteristics of the magnetic field under hybrid ac/dc high voltage

transmission lines'', Electric Power Systems Research, Vol. 79, No. 1, pp. 1–7, 2009.

[51] Ismail, H.M.: ''Effect of Tower Displacement of Parallel Transmission Lines on the

Magnetic Field Distribution'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 23, No. 4,

pp. 1705–1712, 2008.

[52] Lucca, G.: ''Magnetic field produced by power lines with complex geometry'',

European Transactions on Electrical Power (ETEP), Vol. 21, No. 1, pp. 52–58, 2011.

[53] Salari, J.C.; Mpalantinos, A.; Silva, J.I.: ''Comparative analysis of 2- and 3-D methods

for computing electric and magnetic fields generated by overhead transmission lines'',

IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 24, No. 1, pp. 338–344, 2009.

[54] Comelli, M.; Benes, M.; Bampo, A.; Villalta, R.: ''A technical note about Phidel: a

new software for evaluating magnetic induction field generated by power lines'',

Radiation Protection Dosimetry, Vol. 123, No. 2, pp. 182–189, 2007.

- 39 -

[55] El Dein, A.Z.: ''Magnetic-field calculation under EHV transmission lines for more

realistic cases'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 24, No. 4, pp. 2214–2222,

2009.

[56] Vujević, S.; Modrić, T.; Lovrić, D.: ''Segmentation of overhead power line conductors

for 3D electric and magnetic field computation'', International Conference on Applied

Electromagnetics (PES 2011), Niš: Faculty of Electronic Engineering, O5–4, 1-4,

2011.

[57] Canova, A.; Bavastro, D.; Freschi, F.; Giaccone, L.; Repetto, M.: ''Magnetic shielding

solutions for the junction zone of high voltage underground power lines'', Electric

Power Systems Research, Vol. 89, pp. 109–115, 2012.

[58] Farag, A.S.; Dawoud, M.M.; Habiballah, I.O.: ''Implementation of shielding principles

for magnetic field management of power cables'', Electric Power Systems Research,

Vol. 48, No. 3, pp. 193–209, 1999.

[59] Habiballah, I.O.; Farag, A.S.; Dawoud, M.M.; Firoz, A.: ''Underground cable magnetic

field simulation and management using new design configurations'', Electric Power

Systems Research, Vol. 45, No. 2, pp. 141–148, 1998.

[60] San Segundo, H.B.; Fuster Roig, V.: ''Reduction of low voltage power cables

electromagnetic field emission in MV/LV substations'', Electric Power Systems

Research, Vol. 78, No. 6, pp. 1080–1088, 2008.

[61] Almeida, M.E.; Machado, V.M.; Das Neves, M.G.: ''Mitigation of the magnetic field

due to underground power cables using an optimized grid'', European Transactions on

Electrical Power (ETEP), Vol. 21, No. 1, pp. 180–187, 2011.

[62] Holbert, K.E.; Karady, G.G.; Adhikari, S.G.; Dyer, M.L.: ''Magnetic fields produced

by underground residential distribution system'', IEEE Transactions on Power

Delivery, Vol. 24, No. 3, pp. 1616–1622, 2009.

[63] Xu, X.B.; Yang, X.M.: ''Computation of the magnetic field generated by an

underground pipe-type cable'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, No. 2,

pp. 650–655, 1996.

[64] Abdel-Salam, H.H.: ''Evaluation and measurement of magnetic field exposure over

human body near EHV transmission lines'', Electric Power Systems Research, Vol. 74,

No. 1, pp. 105–118, 2005.

- 40 -

[65] Mamishev, A.V.; Russell, B.D.: ''Measurement of magnetic fields in the direct

proximity of power line conductors'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 10,

No. 3, pp. 1211–1216, 1995.

[66] Misakian, M.; Silva, J.M.; Baishiki, R.S. et al.: ''Measurements of power frequency

magnetic fields away from power lines'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.

6, No. 2, pp. 901–911, 1991.

[67] Vinh, T.; Jones, T.L.; Shih, C.H.: ''Magnetic fields near overhead distribution lines –

measurements and estimating technique'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.

6, No. 2, pp. 912–921, 1991.

[68] Olsen, R.G.; Chartier, V.L.: ''The performance of reduced magnetic field power lines

theory and measurements on an operating line'', IEEE Transactions on Power

Delivery, Vol. 8, No. 3, pp. 1430–1442, 1993.

[69] Nicolaou, C.P.; Papadakis, A.P.; Razis, P.A.; Kyriacou, G.A.; Sahalos, J.N.:

''Measurements and predictions of electric and magnetic fields from power lines'',

Electric Power Systems Research, Vol. 81, No. 5, pp. 1107–1116, 2011.

[70] Proios, A.N.; Halevidis, C.D.; Koufakis, E.I.; Bourkas, P.D.: ''Magnetic-field

measurements near two-pole-Type distribution substations'', IEEE Transactions on

Power Delivery, Vol. 26, No. 2, pp. 1137–1144, 2011.

[71] Rahman, N.A.; Mahadi, W.N.; Rasol, Z.: ''Evaluation on the potential risk hazards of

magnetic field radiated from cast resin transformer electric substation'', Australian

Journal of Basic and Applied Sciences, Vol. 5, No. 9, pp. 150–159, 2011.

[72] Röösli, M.; Jenni, D.; Kheifets, L.; Mezei, G.: ''Extremely low frequency magnetic

field measurements in buildings with transformer stations in Switzerland'', Science of

the Total Environment, vol 409, pp. 3364–3369, 2011.

[73] Safigianni, A.S.; Tsompanidou, C.G.: ''Measurements of electric and magnetic fields

due to the operation of indoor power distribution substations'', IEEE Transactions on

Power Delivery, Vol. 20, No. 3, pp. 1800–1805, 2005.

[74] Safigianni, A.S.; Kostopoulou, A.: ''Electric and magnetic field measurements in an

indoor electric power substation'', Journal of Materials Processing Technology, Vol.

181, pp. 126–130, 2007.

- 41 -

[75] Safigianni, A.S.; Tsompanidou, C.G.: ''Electric-and magnetic-field measurements in

an outdoor electric power substation'', IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 24,

No. 1, pp. 38–42, 2009.

[76] Said, I.; Farag, A.S.; Hussain, H.; Rahman, N.A.: ''Measurement of magnetic field

from distribution substations in Malaysia'', Australasian Universities Power

Engineering Conference (AUPEC 2004), Brisbane, Australia, 2004.

[77] Liu, Y; Zaffanella, L.E.: ''Calculation of electric field and audible noise from

transmission lines with non-parallel conductors'', IEEE Transactions on Power

Delivery, Vol. 11, No. 3, pp. 1492–1497, 1996.

[78] Vujević, S.; Sarajčev, P.: ''Potential distribution for a harmonic current point source in

horizontally stratified multilayer medium'', COMPEL 2008, Vol. 27, No. 3, pp. 624–

637.

[79] Sarajčev, P.: ''Electromagnetic model of the system of conductors in multilayer

medium'', (in Croatian), PhD Thesis, University of Split, FESB, Split, 2008.

[80] Moore, J; Pizer, R. (eds): ''Moment Methods in Electromagnetics - Techniques and

Applications'', John Wiley & Sons: New York, 1984; 20.

[81] Vujević, S.: ''Time-harmonic analysis of earthing grids'', In Electrical Engineering and

Electromagnetics VI, Brebbia, C.A. and Poljak, D. (eds). WIT Press: Southampton,

Boston, pp. 235–244, 2003.

[82] Takashima, T.; Nakae, T; Ishibashi, R.: ''High frequency characteristics of impedances

to ground and field distributions of ground electrodes'', IEEE Transactions on Power

Apparatus and Systems, Vol. PAS-100, No. 4, pp. 1893–1900, 1981.

[83] Zienkiewicz, O.C.; Morgan, K.: ''Finite Elements and Approximation'', Dover

Publications, 2006.

[84] IEEE Std 644-1994 (Revision of IEEE Std 644-1987): ''IEEE standard procedures for

measurement of power frequency electric and magnetic fields from AC power lines'',

The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., New York, 1994.

[85] ''HIFREQ - Electromagnetic Fields Analysis'', module of the CDEGS Software

Package, s Interneta, http://www.sestech.com/products/SoftModule/HIFREQ.htm,

14. lipnja 2012.

- 42 -

[86] "EMF Workstation Software 2.51", Enertech Consultants of Santa Clara County

Incorporated, 300 Orchard City Drive, Suite 3132, Campbell, CA, 95008, USA, 2009.

[87] ''Ansys Maxwell 2D/3D - electromagnetic field simulation software'', ANSYS, Inc.,

http://www.ansys.com/Products/Simulation+Technology/Electromagnetics/Electromec

hanical+Design/ANSYS+Maxwell, s Interneta, 14. lipnja 2012.

- 43 -