Topicos en Algebra - Un Enfoque Mauristico

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INTENCIONALMENTE EN BLANCO

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INTENCIONALMENTE EN BLANCO

- 3 - Tópicos en Algebra

PPAARRTTEE II

A. CCOONNJJUUNNTTOOSS..Se tocara el tema de conjuntos de una manera somera, ya que se supone que el estudiante tiene ideas claras del tema. Solo daremos algunas definiciones y conceptos básicos.

1. IDEA DE CONJUNTO. Definición. Agrupación o colección de cualquier tipo de entes u objetos, los cuales pueden tener propiedades comunes. Representación. Sea A = {1,2,x}, su representación grafica es: A

Diagrama de Venn. Sea X un conjunto. Con x 0 X denotamos la proposición “x es un elemento de X” ó “x pertenece a X” ó también “X contiene a x”. Con x ó X denotamos su negación. Sean Z, Y conjuntos. Diremos que Y es subconjunto de Z, en símbolos Y d Z, si la proposición: a 0 Y Y a 0 Z. Es verdadera xa 0 Y. Diremos que Y = Z, si la proposición: a 0 Y Y a 0 Z. es Verdadera. Entonces Z d Y eY d Z. Consecuentemente Š d Y, x Y conjunto. “El conjunto vació, pertenece a cualquier conjunto” 2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. Sea X un conjunto, y A, B subconjuntos de X. se tiene:

A c B = {x / x 0 A o x 0 B} unión de A y B. A 1 B = {x / x 0 A i x 0 B} intersección de A y B. A – B = {x / x 0 A i x ó B} diferencia de A con B. ÷xA = ÷A = X – A complemento de A en X. A Î B = {A – B} c {B – A} diferencia simétrica de A y B. A x B = {(a,b) / a 0 A i b 0 B} producto cartesiano de A con B.

3. ALGUNAS PROPIEDADES ENTRE CONJUNTOS. Si A 1 B = Š, entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntos. Sean U,V,W subconjuntos de X. se tiene: U c (V c W) = (U c V) c W, o simplemente: U c V c W. U 1 (V 1 W) = (U 1 V) 1 W, o simplemente: U 1 V 1 W. U 1 (V c W) = (U 1 V) c (U 1 W). U c (V 1 W) = (U c V) 1 (U c W). ÷ (U c V) = (÷ U) 1 (÷ V). ÷ (U 1 V) = (÷ U) c (÷ V).

12x

Leyes de Morgan.


U Î (V Î W) = (U Î V) Î W. U 1 (V Î W) = (U 1 V) Î (U 1 W). 4. REPRESENTACIONES GRAFICAS. a) Unión de A y B.

b) Intersección de A y B.

c) Diferencia de A y B.

d) Complemento de A en X.

e) Diferencia simétrica de A y B.

En este curso, la utilización de conjuntos es permanente, utilizaremos diversas clases de conjuntos, desde los Números Naturales, hasta la idea de campo. Por eso la importancia de esta parte introductoria.

Debido a la formación clásica que recibe un estudiante antes de cursar este

curso, puede resultar difícil esta materia, lo cual si lo analizan bien debería ser todo lo contrario, lo importante es familiarizarse con los distintos signos, operaciones, definiciones, representaciones y conjuntos aquí expuestos.

“… miedo??, ni al diablo…” LOCUS “… El mejor colegio, es el colegio “cerrado”…” DANIEL F.

A

X

A B A B

A B

A B


B. RREELLAACCIIOONN ‘‘RR’’..…todas las cosas se relacionan entre si…

1. RELACION R. Definición.Una Relación “R”, entre los elementos de un conjunto A y un conjunto B, es todo subconjunto del conjunto AxB (Producto Cartesiano), tal que:

i) El conjunto A es llamado “conjunto de partida”. ii) El conjunto B es llamado “conjunto de llegada”.

R d AxB

Se lee: R esta incluido en AxB. Si un elemento a0A, esta relacionado con un elemento b0B, se simboliza por a R b, o también (a,b) 0 R. Si un elemento a0A, no esta relacionado con un elemento b0B, se simboliza por (a,b) óR

2. RELACION DE EQUIVALENCIA. Sea R una relación definida en un conjunto A, es decir: R: A 6 A = A2

Definiciones. i) La relación R es reflexiva ] a R a, x a 0 A. ii) La relación R es simétrica ] a R b Y b R a. iii) La relación R es transitiva ] a R b i b R c Y a R c, siendo a, b, c 0 A.

Sea A … Š, finito, tal que o(A) = m (el conjunto A tiene m elementos). A= {a1, a2, a3,…, am}

Sea R una relación en A ( R: A 6 A = A2)Si ai R aj, se representa.

ai aj

Ejemplo. Si A = {1,2,4,5,10,20} a R b ] a *b b=ak , k 0 Z

2 1 ya que 1…2k, para k 0 Z5 2 ya que 2…5k, para k 0 Z1 R 2 ya que 2=1k, para k=2, k 0 Z2 R 2 ya que 2=2k, para k=1, k 0 Z

Hallando todas las relaciones posibles se tiene el siguiente “grafo”.


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> MOVIMIENTOS DE SIMETRIA DEL TRIANGULO EQUILATERO >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

G = {R0,R1,R2, D1,D2,D3}Se entiende por: R0: Giro de 360E o 0E.R1: Giro de 120E.R2: Giro de 240E.D1,D2,D3: Reflexiones. B R0 R1 R2 D1 D2 D3

R0 R0 R1 R2 D1 D2 D3R1 R1 R2 R0 D3 D1 D2R2 R2 R0 R1 D2 D3 D1D1 D1 D2 D3 R0 R1 R2D2 D2 D3 D1 R2 R0 R1D3 D3 D1 D2 R2 R1 R0

*Podemos realizar lo mismo con un cuadrado, en el cual por ende tendremos un giro mas, y una reflexión mas. Sugerimos al estudiante que lo realice. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

1

D2D3

3 2

D1

12 5

420

10


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> UN PUNTO DE VISTA DESDE MATRICES. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Sean I1, I2, I3, … , In conjuntos de la forma: I1 = {1} I2 = {1,2} I3 = {1,2,3} .

.

.In = {1,2,…,n } Definición.Una matriz de orden m x n, con “n” elementos en el conjunto A, es toda función “f” tal que: f : Im x In 6 A

Ejemplo. Usando los conjuntos I3, I4 se tiene una matriz de orden 3 x 4, con elementos en A de la siguiente manera:

F = {((1,1),x), ((1,2),x), ((1,3),x), ((1,4),x), ((2,1),y), ((2,2),y), ((2,3),y), ((2,4),y), ((3,1),z),((3,2),z), ((3,3),z), ((3,4),z)}

lo cual puede entenderse como:

F(1,1) = x F(2,1) = y F(3,1) = z F(1,2) = x F(2,2) = y F(3,2) = z F(1,3) = x F(2,3) = y F(3,3) = z F(1,4) = x F(2,4) = y F(3,4) = z

En general F(i,j) se lee como: el elemento de la matriz en la ubicación ij F(i,j) = fij 0 A

Y F = { f11,f12,…,f21,f22,…,fmn}

Representación: 1 # j # n

=

mnm3m2m1

3n333231

2n232221

1n131211

ffff

ffffffffffff

K

MOMMM

K

K

K

F

Considerando matrices con elementos en (R,+, x) (números reales, con las operaciones “adición y multiplicación usual”), tenemos:


M = R(m x n), conjunto de todas las matrices de orden m x n, con elementos en el campo* R, en M definimos unas operaciones binarias:

* luego se definirá el concepto de campo. i) Adición. + : M x M Y M

(A,B) Y A + B (Suma de A y B) A + B(i,j) = A(i,j) + B(i,j), x i,j 0 Im x In A (adición en los reales) ii) Multiplicación C : M x M Y M

(A,B) Y AB (Producto de A y B)

AB(i,j) = ∑=

n

kjkBkiA

1),(),(

Donde: C11 = a11b11 + a12b21 + … + a1nbn1 = ∑=

n

kkjikba

1

Se tienen los conjuntos: A = {a,b,c,d} o(A) = 4 B = {1,2,3,4,5} o(B) = 5 R = {(a,1),(a,3),(b,4),(c,2),(c,5),(d,1),(d,4)} Si R es una relación de A = {a1, a2, a3, …, an} en B = {b1, b2, b3, …, bn}, MR = [mij] 1 # i # m , 1 # j # n

mij =

MR =

5401001100100100000101

x

También podríamos realizar lo inverso, dado una matriz MR, formada de ceros y unos, hallamos los elementos de A y B, y la relación R. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

1, Si ai R bj

0, Si ai bj


3. CONGRUENCIA DE ENTEROS modulo “m”.

Definición.Dado un m 0 Z+ / m > 1, se dice que a es equivalente o congruente con b “modulo m” si y solamente si existe un k 0 Z, tal que a-b es un múltiplo de k, es decir a-b=mk i a,b 0 Z.

a / b (mod m) ] m*(a-b) a-b=mk Ejemplos. Sea m=5 1 † 4(mod 5) ya que: 1-4…5k, x k 0 Z. 1 / 1(mod 5) ya que: 1-1=5k, para k=0, 0 0 Z. -30 / -15(mod 5) ya que: -30-15=5k k=-9, -9 0 Z. Propiedades.

i) Si: a / b(mod m), b / c(mod m) Y a / c(mod m). ii) Si: ab / ac(mod m) Y a / c(mod m).

Proposición: “La Congruencia de enteros modulo “m”, es una “relación de equivalencia””.

PRUEBA. Para que la congruencia de enteros sea una relación de equivalencia debe ser: reflexiva, simétrica y transitiva.

i) Reflexiva. ¿x a 0 Z, a / a(mod m)? Si, ya que a-a=0m, y 00 Z. Entonces la congruencia de enteros modulo “m” es Reflexiva. ii) Simétrica. ¿Si a / b(mod m) Y b / a(mod m)? Si, ya que: a / b(mod m) ] a-b=mk (multiplicando por (-1)) (-1)(a-b)=(-1)(mk) -a+b=-mk b-a=m(-k) -k 0 Z. Yb / a(mod m). Entonces la congruencia de enteros modulo “m” es Simétrica. iii) Transitiva. ¿Si a / b(mod m) i b / c(mod m), Y a / c(mod m)? Si, ya que: a / b(mod m) i b / c(mod m) Y


a-b=mk1 b-c=mk2 sumándolos tenemos: (a-b)+(b-c)=mk1+ mk2a-c=m(k1+ k2) y como k1+ k2 es otro numero entero entonces. a / c(mod m) Entonces la congruencia de enteros modulo “m” es Transitiva. Como la relación es reflexiva, simétrica, y transitiva, entonces la “Congruencia de enteros modulo “m””, es una Relación de Equivalencia. 4. CLASES DE EQUIVALENCIA. La clase de equivalencia con representante a 0 B, se denota por [a], y se define como el conjunto: [a] = {x 0 B/aRx} Considerando la relación “Congruencia de enteros modulo 5” determinaremos las clases de equivalencia. [5]= {…,-5,0,,5,10,…} [6]= {…,-9,-4,1,6,11,…} [3]= {…,-7,-2,3,8,…} [2]= {…,-8,-3,2,7,12,17,…} [-1]= {…,-11,-6,-1,4,9,…} nótese que: [6] = [1] [3] = [-2] = [-7] Si m=3, Y Z3 = {[0], [1], [2]} [0] = {…,-6,-3,0,3,6,9,…} [1] = {…,-5,-2,1,4,7,…} [2] = {…,-4,-1,2,5,8,…} En general: Zm = {[0], [1], [2],…, [m-1]} “Zm” es el conjunto de todas las clases de equivalencia de m. El numero de representantes se determina mediante el modulo. Ejemplo. Mod5 tiene 5 representantes. ModK tiene K representantes. 5. ADICION Y MULTIPLICACION MODULO m.Definimos en Zm dos operaciones: i) Adición modulo m.Zm + Zm6 Zm

([a] + [b]) 6 [a] + [b] [a] + [b] = [a + b] El representante de clase es igual a (a+b) menos el mayor múltiplo de m contenido en a + b.


ii) Multiplicación modulo m.Zm x Zm6 Zm

([a] [b]) 6 [a] u [b] [a] u [b] = [ab] El representante de clase es igual (ab) menos el mayor múltiplo contenido en ab. Ejemplos. Z3 = {0,1,2}

Z5 = {0,1,2,3,4}

r 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

Z6 = {0,1,2,3,4,5}

Nótese que: i) Si [a] = [b] Y a / b(mod m). ii) Si a / b(mod m) Y [a] = [b].

Es necesario que el estudiante conozca estas tablas, ya que su utilización será constante.

MEMORIZAR ES IMPORTANTE: “… La civilización avanza extendiendo el numero de operaciones importantes que podamos realizar

sin pensar acerca de ellas…” Alfred N. Whitehead.

r 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

u 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1

u 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

u 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

r 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4


C. PPEERRMMUUTTAACCIIOONNEESS..

1. INTRODUCCION. OPERACIONES BINARIAS. Definición.Una función binaria en A, es una función que transforma cada dos elementos de A en un elemento que puede estar en A o en otro conjunto. *Función: Una función f, del conjunto A en el conjunto B es una relación f de A en B, tal que a cada x 0 Dominio de f, le corresponde un único y 0 b a través de f. Sea A … Š se tiene:

A x A 6 B ó

A x A 6 A

Ejemplo. ù = {1,2,3,4,…} i) Adición Usual “+” ù x ù 6 ù

(a,b) 6 (a+b)

ii) Multiplicación usual “x” ù x ù 6 ù

(a,b) 6 (ab) 2. PERMUTACION. Definición. Dado un conjunto, no vació, A, y esto es o(A)=n (Orden de A igual a n, o A tiene n elementos). Se llama permutación de “n” símbolos a toda aplicación biyectiva, tal que: f: A 6 A. *aplicación=función (en este caso). Ejemplo. Sea el conjunto: S={1,2,3}, g: S 6 Sse tiene: S3 = {%,%1, %2, %3, %4, %5}

S: esta conformado por permutaciones de 3 elementos. El Conjunto de todas las permutaciones de “n” símbolos se denota por Sn

3. ORDEN DEL CONJUNTO Sn.Si S={1} Y o(S1) = 1 = 1! Si S={1,2} Y o(S2) = 2 = 2! Si S={1,2,3} Y o(S3) = 6 = 3! ……………….........................


…………………………………… ………………………………………. En General: Si S={1,2,…,n} Y o(Sn) = n! (Factorial de n).

4. PRODUCTO DE PERMUTACIONES. Definición. B: B B B 6 B

(M B %) 6M B %

(M B %)(x) = M B %, x x 0 S. Ejemplo. En S3 tenemos: S3 = {%,%1, %2, %3, %4, %5}

(%2 B %4)(1) = %2(%4(1)) = %2(2) = 2 (%2 B %4)(2) = %2(%4(2)) = %2(3) = 1 (%2 B %4)(3) = %2(%4(3)) = %2(1) = 3 …

.. .Construyendo tenemos la tabla:

B % %1 %2 %3 %4 %5

% % %1 %2 %3 %4 %5

%1 %1 % %4 %5 %2 %3

%2 %2 %5 % %4 %3 %1

%3 %3 %4 %5 % %1 %2

%4 %4 %3 %1 %2 %5 %%5 %5 %2 %3 %1 % %4

*esta es la famosa tabla de las “alfas” de S3. La cual será usada bastante en el transcurso del texto. Ejemplos. a) Calcular los siguientes productos:

Sea, % =

123321

y M =

312321

, donde %,M 0 S3.

i) % B M = %M =

123321 B

312321

=

132321

.

ii) M B % = M% =

312321 B

123321

=

213321

.

Nótese que la operación “B”, no es conmutativa.


b) Calcular:

i)

4513254321

5342154321

=

4153254321

ii)

265431654321

543261654321

=

654321654321

5. DESCOMPOSICION EN CICLOS. Definición. Una Permutación M de Sm, es un ciclo de longitud k, si existe k elementos diferentes a1,a2, a3,…, ak tales que: M(a1)= a2 , M(a2)= a3 , M(k-1)= ak

tal permutación se denota por: M = ( a1 a2 a3 … ak)

Ejemplos. a) Sea S = {1,2,3,4,5} M(5) = 3 M(4) = 5 M(1) = 2 M(2) = 4 M(3) = 1

M=

3514254321

Los elementos a, diferentes de a1, a2, a3, ak que no aparecen, se transforman en si mismos. Por eso es necesario especificar a que conjunto pertenece cada permutación, caso contrario una permutación tendría infinitas permutaciones. M como ciclo se representaría así: M = (1 2 4 5 3). Gráficamente seria así:

la permutación M = (1 2 4 5 3), da igual si se escribe: M = (2 4 5 3 1) o M = (4 5 3 1 2), etc. b) Represente en ciclos, la siguiente permutación.

% =

465132654321

en ciclos seria dada como: % = (1 2 3) (4 5 6). *nótese que % en ciclos, esta expresada en dos partes.

1

2

4

5 3


Un Ciclo de longitud igual a 2, se llama “TRANSPOSICION”. Sea % = (1 2 3 4 5) 0 S5

Podemos expresarla en forma de transposiciones de la manera siguiente: % = (1 5)(1 4)(1 3)(1 2) Ejemplo. Expresar M en forma de ciclo, y en transposiciones:

M =

526413654321

en ciclos seria: M = (1 3 4 6 5 2) y en transposiciones: M = (1 2)(1 5)(1 6)(1 4)(1 3) que es lo mismo de expresarla de la forma M = (3 2)(3 5)(3 6)(3 4)(3 1), etc. Definición.

i) Si el numero de transposiciones de una permutación es par, entonces su signo es 1.

ii) Si el numero de transposiciones de una permutación es impar, entonces su signo es -1.

Ejemplo. El signo de M = (1 2)(1 5)(1 6)(1 4)(1 3) es -1, ya que esta formado de 5 transposiciones y 5 es numero impar. 6. PERMUTACION INVERSA. Sea S = (1,2,3, …,m)

y M =

miiii

m......321

321una permutación 0 Sm. existe un elemento M-1, tal que:

M-1 (im) = m ] M(m) = im.

Ejemplo.

Sea M =

1524354321

M-1 será =

4213554321

además M B M-1 =

5432154321

a esta permutación se le conoce como “permutación

identidad”. M B M-1 = (1 3 2 4 5)(1 5 4 2 3) = (1 2)(1 2) = (1 3)(1 3) = (2 3)(2 3), etc. En S3 existen 3!=6 permutaciones, las cuales expresadas en ciclos son: S3 = {%,%1, %2, %3, %4, %5}% = (1 2)(1 2) = (2 3)(3 2) =… PAR Signo (1)


%1 = (2 3) IMPAR Signo (-1) %2 = (1 3) IMPAR Signo (-1) %3 = (1 2) IMPAR Signo (-1) %4 = (1 2 3)=(1 3)(1 2) PAR Signo (1) %5 = (1 3 2)=(1 2)(1 3) PAR Signo (1) >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> EJERCICIOS RESUELTOS >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> a) Determine todas las permutaciones posibles en S = {1,2,3,4}. Solución. Como el orden de S = 4, entonces con S existen 4! permutaciones posibles = 24. Entonces S4 = {%,%1, %2, %3,…, %22, %23}Ahora determinamos todas las 24 permutaciones de la forma siguiente: % = (1 2)(1 2) = (2 3)(3 2) =… PAR Signo (1) %1 = (1 2) IMPAR Signo (-1) %2 = (1 3) IMPAR Signo (-1) %3 = (1 4) IMPAR Signo (-1) %4 = (2 3) IMPAR Signo (-1) %5 = (2 4) IMPAR Signo (-1) %6 = (3 4) IMPAR Signo (-1) %7 = (1 2 3)=(1 3)(1 2) PAR Signo (1) %8 = (1 3 2)=(1 2)(1 3) PAR Signo (1) %9 = (1 2 4)=(1 4)(1 2) PAR Signo (1) %10 = (1 4 2)=(1 2)(1 4) PAR Signo (1) %11 = (1 3 4)=(1 4)(1 3) PAR Signo (1) %12 = (1 4 3)=(1 3)(1 4) PAR Signo (1) %13 = (2 4 3)=(2 3)(2 4) PAR Signo (1) %14 = (2 3 4)=(2 4)(2 3) PAR Signo (1) %15 = (1 2)(3 4) PAR Signo (1) %16 = (1 4)(2 3) PAR Signo (1) %17 = (1 3)(2 4) PAR Signo (1) %18 = (1 2 3 4)=(1 4)(1 3)(1 2) IMPAR Signo (-1) %19 = (1 3 2 4)=(1 4)(1 2)(1 3) IMPAR Signo (-1) %20 = (1 2 4 3)=(1 3)(1 4)(1 2) IMPAR Signo (-1) %21 = (1 4 2 3)=(1 3)(1 2)(1 4) IMPAR Signo (-1) %22 = (1 3 4 2)=(1 2)(1 4)(1 3) IMPAR Signo (-1) %23 = (1 4 3 2)=(1 2)(1 3)(1 4) IMPAR Signo (-1)


b) Dada la Matriz MZ determine los elementos del conjunto “relación” R, y los conjuntos R: A6B. Considerando:

mij =

MZ =

5410101101100110110010

x

Solución. Como la matriz es de orden 4 x 5, entonces los conjuntos A y B tienen 4 y 5 elementos respectivamente. o(A) = 4, o(B) = 5 entonces: A = {a,b,c,d} y B = {1,2,3,4,5}. Ahora hallamos los elementos de la relación R de la forma siguiente: El elemento de la posición m11 = 0, entonces (a,1) ó R. El elemento de la posición m12 = 1, entonces (a,2) 0 R. Haciendo lo mismo para todos los elementos de la matriz, la relación R viene dada por: R = {(a,2),(a,5),(b,1),(b,3),(b,4),(c,2),(c,3),(c,5),(d,1),(d,3),(d,5)} c) Hallar A+B

A =

53090015.0403

49

452512

x

−−

−

y B =

53090000402

2002611

x

−

−−

Solución. Por definición de adición de matrices, se tiene:

A + B =

530180015.0803

79

4581123

x

−−

−−

d) Si % =

3541254321

Hallar %-1 y probar que: % B %-1 = e(permutación identidad).

Solución.

%-1 =

4351254321

1, Si ai R bj

0, Si ai bj


99100101010010000000001010000010100000001010000100001010000000101100001010000000101

x

R

=

ahora nos preguntamos ¿ % B %-1 = e ?:

% B %-1 =

3541254321 B

4351254321

=

5432154321

.

e) En B = {-11,-4,13,8,-3,-2,15,10,2}, se define la relación: Dados a,b en B “a/b(mod6) ] a-b=6k”, para k en Z. Demostrar que es de equivalencia. Dar su grafo y su representación matricial. Solución. Denotemos la relación como R, entonces se nota que la relación va de B en B es decir: R: B6B, entonces como o(B)=9, se tiene que R es una matriz de orden 9x9(cuadrada). Ahora hallemos todos los elementos de B que cumplen con: “a/b(mod6) ] a-b=6k” -11 / -11(mod 6), -4 / -4(mod 6), 13 / 13(mod 6), 8 / 8(mod 6), -3 / -3(mod 6) -2 / -2(mod 6), 15 / 15(mod 6), 10 / 10(mod 6), 2 / 2(mod 6). Hasta acá tenemos que R, es Simétrica. Luego, para -11, tenemos: -11 † -4(mod 6), -11 / 13(mod 6), -11 † 8(mod 6), -11 † -3(mod 6), -11 † -2(mod 6), -11 † 15(mod 6), -11 † 10(mod 6), -11 † 2(mod 6), Haciendo los mismo para todos los elementos de B, se tienen como congruentes a: -11 / 13(mod 6), -4 / 8(mod 6), -4 / 2(mod 6), 8 / -4(mod 6) 8 / 2(mod 6), 13 / -11(mod 6), -3 / 15(mod 6), -2 / 10(mod 6) 15 / -3(mod 6), 10 / -2(mod 6), 2 / -4(mod 6), 2 / 8(mod 6). Hasta acá podemos ver que R, es Reflexiva y Transitiva. Entonces la relación R es una “RELACION DE EQUIVALENCIA”. Ahora el grafo, y la representación matricial de la relación seria:

8

-4 2

10 -2

15 -3

13 -11


EESSTTRRUUCCTTUURRAASS AALLGGEEBBRRAAIICCAASSConjuntos dotados de operaciones binarias. a) Con una operación binaria:

i) Semigrupo. ii) Monoide. iii) Grupo.

b) Con dos operaciones binarias. i) Anillo. ii) Cuerpo. iii) Campo. PPAARRTTEE IIII

INTRODUCCION. Definiremos los conceptos básicos que se usaran en esta parte. A) Estabilidad. Todo conjunto A es estable para una operación “‚”, siempre que si cogemos dos elementos de A, por decir a,b/ a,b 0 A, el resultado de operarlos con “‚”, también pertenecerá a A. Es decir: sea a ‚ b = c 6 c 0 A. B) Asociatividad. Todo conjunto A es asociativo para una operación “‚”, si se cumple que para tres (o mas) elementos de A (a,b,c 0 A) se cumple que: a ‚(b ‚ c) = (a ‚b)‚ c, supongamos que a ‚ b = d, y que b ‚ c = e, entonces tenemos que : a ‚(b ‚ c)= a ‚ e y que (a ‚b)‚ c= d ‚ c 6 a ‚ e tiene que ser igual a d ‚ c para que consideremos a la operación “asociativa”. “Si una operación es asociativa, entonces no es ambigua” C) Elemento identidad. Se llama elemento identidad “e”, a todo elemento perteneciente a un conjunto A, tal que si operamos cualquier elemento a de A, con e: el resultado será este mismo es decir: a ‚ e = a (identidad izquierda) e ‚ a = a (identidad derecha). D) Elemento Inverso. Sea “a” un elemento de A, se llama elemento inverso de “a” a aquel que operado con “a”, da como resultado el elemento identidad, es decir: a ‚ a-1 = e, con a-1 elemento de A. E) Conmutatividad. conjunto A es conmutativo para una operación “‚”, si se cumple que para dos elementos a, b 0 A, el resultado de operar por izquierda o por derecha ambos es el mismo. Es decir: a ‚ b = b ‚ a.


D. SSEEMMIIGGRRUUPPOO..

1. Definición. Un Semigrupo es un conjunto A … Š, dotado de una operación binaria “�”, tal que:

i) A es estable para �. ( a�b 0 A, xa,b 0 A) ii) � es asociativa en A. ( (a�b)�c = a�(b�c), xa,b,c 0 A )

el símbolo � denota a la famosa “operación estrellita”. Ejemplos. A = {a,b 0 R/a + b 0 R, a x b 0 R} con la “adición y multiplicación usual”, A es un Semigrupo con + y x.

E={10,11,12,…} con la “adición y multiplicación usual”, A es un Semigrupo con + y x.

2. SUBSEMIGRUPOS. Un subsemigrupo de un semigrupo G, es un Subconjunto H … Š de G, que con la operación de G, es también un semigrupo. Ejemplos. Consideremos el conjunto ù = {0,1,2,3,4,…} (Números Naturales) con la adición usual es decir (ù,+), y H = {11,12,13,14,…} un subconjunto de ù (H d ù). Entonces podemos afirmar que (H,+) es un subgrupo de N, ya que es estable y asociativo para la adición. Enunciado: Sea (G,�) un semigrupo, y {Hi, i 0 M}, una familia de subsemigrupos de G, entonces la intersección de los subsemigrupos Hi es un subsemigrupo de G. H = 1 Hi (intersección). Demostrando el enunciado. Sean a,b 0 H 6 a � b 0 Hi, xi (por estabilidad), 6a � b 0 H (por definición de intersección). 3. GENERADOS. Sea G un semigrupo y S … Š un subconjunto de G. Sea {Hi, i 0 M} una familia de subsemigrupos de G que contiene a S. La 1 Hi = H es un subsemigrupo de G que contiene a S. H es el subsemigrupo de G mas pequeñito que contiene a S. Entonces H es el generador de G. Ejemplo. Sea G={1,2,3,4,…} con la adición usual, si S={2}, será el generador no, entonces el un mínimo generador será S = G. 4. HOMOMORFISMO ENTRE SEMIGRUPOS. Sean los semigrupos (A,�) y (B,‚). Definición. Un Homomorfismo entre los semigrupos A y B, es una función “f”:


f : A 6 B / f(a�b) = f(a) ‚ f(b) xa,b 0 A. Sea (A,�) un semigrupo, y B un subsemigrupo de A (obviamente con�)/ B… Š.

f: B 6 Af(x)= x, xx 0 B. f(a�b)=a�b=f(a) �f(b), xa,b 0 B. Sea (A,�) un semigrupo 6 f(a), f(b) 0 B. Un elemento a de A es idempotente, cuando: a � a = a. Si f: A 6 B es un homomorfismo de semigrupos, entonces: 5. Definición. i) La imagen de f. o también la imagen de A se denota por im(f) o por f(A) y se define como el conjunto: Im(f)={y 0 B/y = f(a), para a 0 A} ii) La imagen de cualquier subsemigrupo E de A, se denota por f(E), y se define como: f(E)={ z 0 A/z=f(x) para x 0 E} iii) La imagen inversa bajo f de cualquier subsemigrupo de G de A se denota por f-1(G) I se define como el conjunto: f-1(G) = {a 0 A/ f(a) 0 G} Sea f: A 6 B un homomorfismo de semigrupo, si a de A es un elemento idempotente entonces f(a) también es idempotente. PRUEBA. Como a es idempotente, entonces: a � a = aPor definición de homomorfismo, tenemos: f(a) = f(a) Entonces f(a)f(a) = f(a) TEOREMA. La imagen de cualquier subsemigrupo E de A es subsemigrupo de B, la imagen inversa bajo f de cualquier subsemigrupo G de B(f-1(G)) es un subsemigrupo de A. PRUEBA. a) Estabilidad de f(E) Sean a,b 0 f(E) entonces existen x, z 0 E/ f(x)=a, f(z)=b ab =f(x)f(z) ab=f(xz) 6 ab 0 f(E) como f(xz) 0 E 6 ab 0 E

Se vee claramente que E x E 6 E, entonces si es estable. b) Asociatividad de f(E) En este caso si es valido decir que la asociatividad se hereda. Queda demostrado que f(E) si es un subsemigrupo de B.


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Definición. Sea f : A 6 B un homomorfismo de semigrupos, tenemos los siguientes casos.

a) Monomorfismo. f es monomorfismo ] fes inyectiva.

cada elemento de B es a lo mas imagen de un elemento de A.

b) Epimorfismo. f es epimorfismo ] f es suryectiva.

la imagen de f es = B.

c) Isomorfismo. f es isomorfismo ] f es biyectiva

es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.

d) Endomorfismo. f es endomorfismo ] A= B

e) Automorfismo. f es automorfismo ] f es endomorfismo biyectivo.

MIS ODIOS Y MIS AMORES Vencí distancias sin trampas, me detuve para sembrar,

Y fue buena la cosecha. Impenitente viajero, cansado sin cansancio, sigo la senda hasta llegar, a la meta que no conozco, tal vez este a la vuelta de la esquina,

y a todos les digo adiós, profano de mi, En esta hora de recuento, están mis odios y mis amores, pasión de dios y de hombre, perdones sin olvidos a tanta ofensa.

Vencí distancias sin trampas, derrumbe odios amando y odiando, Dios sabe cuanto sufrí por querer tanto.

Hugo Bonet Rodríguez.

12

4

3

4A B

1234

31A B

1234

2314

A B

1234

1234

A B

1234

1234

A B


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> EJERCICIOS RESUELTOS >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> a) Sea � una operación binaria definida en un conjunto Q, (a,b) = a�b = 2ab +4. Determine el elemento neutro respecto a �, y el inverso de “a” con respecto a �.

Solución. Al hablar de elemento neutro nos referimos al elemento identidad “e”, entonces por definición tenemos que: ›! e 0 Q/ a � e = e � a = a xa 0 Q.

e�a = a 6 2ea + 4=a a�e = a 6 2ae + 4=a

e= a

a2

4− e= a

a2

4−

entonces comprobamos la existencia del elemento neutro e. Ahora para hallar el elemento inverso de a, tenemos por definición que: xa 0 Q, ›a-1 0Q/ a � a-1 = a-1 � a = ea � a-1 = e a-1 � a = e

2aa-1 + 4 =a

a2

4− 2a-1a + 4 =a

a2

4−

a-1 = 2447

aa − a-1 = 24

47a

a −

Entonces demostramos la existencia de un único elemento inverso para a 0 Q. b) Sea p: ù-{0} x ù-{0} 6 ù-{0}, la aplicación p definida como (a,b) 6 p(a,b)= ab

¿es un semigrupo?. Solución. Por definición tenemos que: a 0 ù-{0} y que b 0 ù-{0}. Entonces por la propiedad en ùab (a … 0 v b … 0) Esta operación, ¿será asociativa? Tomemos los elementos a,b,c/ a=3, b=5, c=2. Operándolos tenemos que ¿ (a�b)�c= a�(b�c)? ¿ (3�5)�2= 3�(5�2)? 35�2 … 3�52

Entonces la operación � no es asociativa. Entonces [ù-{0},p] no es un semigrupo.


E. MMOONNOOIIDDEE..

1. Definición. Un Monoide es un semigrupo con elemento identidad. Mas ampliamente, todo conjunto A … Š, dotado de una operación binaria “�”, tal que:

i) A es estable para �. ( a�b 0 A, xa,b 0 A) ii) � es asociativa en A. ( (a�b)�c = a�(b�c), xa,b,c 0 A )iii) ›! e 0 A/ a � e = e � a = a xa 0 A

Nótese que en iii), habla para todo elemento de A, incluso e � e = e. Ejemplo. Consideremos el conjunto ù = {0,1,2,3,4,…} (Números Naturales) con la adición usual es decir (ù,+), se nota claramente que este conjunto es un monoide ya que para todo a, b 0 ù, a + b también pertenecen a ù ( estabilidad), también es asociativa, y existe un elemento identidad “e” = ya que a + 0 = a xa 0 ù.Entonces el conjunto de los números naturales (incluido el cero) es un Monoide con la adición usual. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ¿El conjunto E={-1,0,1} es un Monoide con la adición usual?. Nos preguntamos si será estable, pero al operar 1+1 = 2, nos damos cuenta que 2 ó E, entonces E no es estable. Basta que no cumpla con una de las 3 condiciones de monoide para afirmar que E NO ES UN MONOIDE. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> El elemento identidad debe ser dual es decir derecho e izquierdo a � e = e � a, y único. 2. SUBMONOIDES. Definición.Un submonoide de un monoide G, es un subsemigrupo de G con elemento identidad. Ejemplo. a) Sabemos que (Z,+) es un monoide, entonces el conjunto H={0,1,2,3,4,…} es un submonoide de Z con +. b) Tomemos el Conjunto S3 = {%,%1, %2, %3, %4, %5}, ¿Será H={%,%1} un monoide de S3 respecto del producto de permutaciones? Obteniendo todos los productos posibles, tenemos: % B % = % % B %1 = %1 %1 B %1 = % %1 B % = %1

Notamos que si es estable, si es asociativo, y si existe un elemento identidad que es %.

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> EL GRUPOIDE. Es aquella estructura algebraica, que solo cumple con la Estabilidad. Es decir todo conjunto A … Š, dotado de una operación binaria “�”, tal que A es estable para �. ( a�b 0 A, xa,b 0 A). También existe el Subgrupoide que es un subconjunto de (A,�), que con � es también un grupoide.

*Por ser una estructura simple solo lo mencionaremos de esta forma. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>


F. GGRRUUPPOO..

1. Definición. Un grupo es un monoide donde cada elemento es invertible. Mas ampliamente, todo conjunto A … Š, dotado de una operación binaria “�”, tal que:

i) A es estable para �. ( a�b 0 A, xa,b 0 A). ii) � es asociativa en A. ( (a�b)�c = a�(b�c), xa,b,c 0 A ). iii) ›! e 0 A/ a � e = e � a = a xa 0 A. iv) xa 0 A, › a-1 0 A/ a � a-1 = e.

Ejemplos. a) R-{0} con la multiplicación usual (si es grupo). b) (Z5,r) adición modulo 5 (si es grupo). c) Los movimientos de Simetría del Triangulo equilátero (si es grupo). d) Z con la multiplicación usual (no es grupo). e) R con la multiplicación usual (no es grupo). 2. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS. Sea (G,�) un grupo, entonces: TEOREMA.

i) El elemento identidad es único. ii) El elemento inverso para cada elemento del grupo G es único. iii) (a-1)-1 = a x a 0 G. iv) (a � b) -1 = b-1 � a-1.

PRUEBA. i) Supongamos que en G existen dos elementos identidad “e” y “ev”, tal que: a � e = e � a = a x a 0 G. a � ev = ev � a = a x a 0 G. entonces: e = e � ev = ev 6 e = ev

ii) Supongamos que para un a 0 G, existen dos inversos “a-1” y “av”, tal que: a � a-1 = a-1 � a = ea � av = av � a = e

a-1 = a-1 � e = a-1 � (a � av)(a-1 � a) � av

e � av = av 6 a-1 = av

iii) Si a 0 G, › a-1, a � a-1 = a-1 � a = epara: (a-1)-1 0 G, › a-1/ (a-1)-1 � a-1 = a-1 � (a-1)-1 = e a � a-1 = e (a-1)-1 � a-1 = e


Concluimos que para cada elemento de un grupo, solo existe un inverso, y en el caso que se ve para a-1, su inverso es a y (a-1)-1. 6a = (a-1)-1.

iv) (a � b)(b-1 � a-1) = a � (b � b-1) � a-1 = a � e � a-1 = a � a-1 = e

(b-1 � a-1) (a � b) = b-1 � (a-1 � a) � b

= b-1 � e � b= b-1 � b = e

TEOREMA. i) Si a,b,c 0 G, entonces si a � c = b � c

6 a = b. ii) Dados a,b 0 G, ›! x,y 0 G / ax= b , yx=b PRUEBA. i) a � c = b � c, › c-1 0 G(a � c) � c-1 = (b � c) � c-1 a � (c � c-1) = b � (c � c-1)a � e = b � e

a = bii) Sea ax = b, Como G es grupo › a-1.

x = a-1ba(a-1b) = (aa-1)b = eb =b Supongamos que existen x, x* 0 Gax = b ax*= b ax = ax* Definición de Exponentes. Sea a un grupo, con elemento identidad e. Para a,e 0 G, y un n 0 Z+.Definición. a0 = ea1 = aan+1=anaa-n=(a-1)n

3. SUBGRUPOS. Definición. Un subgrupo de un grupo G, es un subconjunto H … Š de G, tal que con la operación de G, también es un grupo. Ejemplo. Tomemos el grupo A = ú – {0} (conjunto de los números reales sin el cero) con la multiplicación usual, entonces el conjunto H = {-1,1} es un subgrupo de A.


TEOREMA. Dado un grupo G, un subconjunto H … Š de G, es un subgrupo de G ] ab-1 0 H, xa,b 0 H. Entonces para que cualquier subconjunto H de un grupo G, sea subgrupo debe cumplir que. H … Šab-1 0 H, xa,b 0 H. PRUEBA. i) ¿H … Š?

Si, ya que por lo menos existe un x en H ya que xx-1 0 H pero xx-1 = e, 6 e 0 H

6 H … Šii) Sea x 0 H, e 0 H.

6 x-1e 0 H.

6 ex-1 0 H. Como x 0 H, existe x-1. iii) Sea a,b 0 H, › a-1, b-10 H 6 (a-1) -1, (b-1)-1 0 H. Si a(b-1)-1 0 H

6 ab 0 HEntonces H es estable. iv) La asociatividad se hereda del Grupo. 6 Queda demostrado que si H cumple con el teorema, H es un subgrupo. 4. SUBGRUPOS TRIVIALES. Llamamos subgrupos triviales a 2 subconjuntos de un grupo: i) Al mismo Grupo. ii) y al conjunto H = {e}, elemento identidad. Si G es un grupo, 6 sus subgrupos triviales serian {G, {e}}. Ejemplo. Tomemos el grupo (Z,+), (Enteros con la adición usual), sus subgrupos triviales serian = {Z,{0}}. 5. GRUPO DE KLEIN. El conjunto A = {a,b,c,d} con la operación �, tiene estructura de grupo de la siguiente forma:

� a b c da a b c db b a d cc c d a bd d c b a


Probando que el grupo de Klein es un grupo. i) Estabilidad para �.a � a = a b � a = ba � b = b b � b = aa � c = c ……….a � d = d …… Se puede observar claramente en la tabla, que todos los elementos resultantes perteneces al conjunto A. ii) Asociatividad. Cojamos 3 elementos cualesquiera por ejemplo b, c, d. operándolos respectivamente tenemos: Nos preguntamos ¿(b � c) � d = b � (c � d)? Operando tenemos: ¿ d � d = b � b? a = aEntonces, operando de distintas formas los elementos de A, se ve que si es estable. iii) Existencia del elemento identidad. El elemento identidad es “a”, ya que para todo elemento “x” de A, se tiene que: x � a = a � x = x

iii) Inversos para cada elemento. Inverso de “a”, a � x = a, x = a. Entonces el inverso de “a” es el mismo a. Inverso de “b”, b � x = a, x = b. Entonces el inverso de “b” es el mismo b. Inverso de “c”, c � x = a, x = c. Entonces el inverso de “c” es el mismo c. Inverso de “d”, d � x = a, x = d. Entonces el inverso de “d” es el mismo d. 6, Como el conjunto A cumple con la definición de Grupo para �, Podemos afirmar que el conjunto de Klein, es un grupo llamado el GRUPO DE KLEIN.


6. RELACION DE CONGRUENCIA modulo “H”. Dados a, b 0 G. Definición.a / b(mod H) ] a-1b 0 H

Ejemplo. Sea G= (Z6,r), Z6 = {0,1,2,3,4,5}, y H = {0,2,4} hallar todos los elementos congruente entre si modulo H. Solución. Recordando la tabla de Z6 para la adición modulo 6, tenemos:

Y empezamos a hallar todos los elementos que cumplen con a / b(mod H) ] a-1b 0 HDigamos, ¿1 / 4(mod H)? ] ¿(1) -1 r 4 0 H? 5 r 4 = 3, como 3 ó H, concluimos que 1 † 4(mod H) “1 no es congruente con 4 modulo H” Realizando lo mismo para todos los elementos de Z6 representamos todas las relaciones con el siguiente grafo:

2 1

0 5

4 3

Proposición: “La relación de Congruencia modulo “H”, es una “relación de equivalencia””. PRUEBA. Para que la relación de congruencia modulo “H”, sea una relación de equivalencia debe ser: reflexiva, simétrica y transitiva. i) Reflexiva ¿x a 0 G, a / a(mod H)? a / a(mod H) ] ¿a-1a 0 H? a-1a = e, e 0 H

6 La relación de Congruencia modulo “H”, es Reflexiva.

r 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4


ii) Simétrica ¿Si a / b(mod H) Y b / a(mod H)? a / b(mod H) ] a-1b 0 H

(a-1b)-1 0 H 6 ab-1 0 Hba-1 0 H (Por definición)

6 b / a(mod H)

6 La relación de Congruencia modulo “H”, es Simétrica. iii) Transitiva ¿Si a / b(mod H) i b / c(mod H), Y a / c(mod H)? a / b(mod H) ] a-1b 0 H

(a-1b)-1 0 H 6 ab-1 0 H (*) b / c(mod H) ] b-1x 0 H

(b-1c)-1 0 H 6 bc-1 0 H

6 b-1c 0 H (Por definición) (**) Operando los resultados (*), (**). (a-1b)(b-1c) 0 H

a-1(bb-1)c 0 H 6 a-1ec 0 H

a-1c 0 H 6 a / c(mod H)

6 La relación de Congruencia modulo “H”, es Transitiva. 7. PARTICION. Definición.Dado un conjunto A = {a1,a2,a3, … ,an}, y una relación {A1,A2,A3, … ,Ak} de subconjuntos de A, es una partición de A, si se verifica que:

i) Ai … Š, xi= 1,2,3,…,k. ii) Ai 1 Aj = Š, para i … j.

iii) AAii=∪

∝

=1.

Ejemplo. Sea A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ¿Los conjuntos A1, A2, A3 denotan una partición de A? A1 = {1,3,5} A2 = {4,6} A3 = {2,7,8,9} i) A1 … Š, A2 … Š, A3 … Š.ii) A1 1 A2 = Š, A2 1 A3 = Š, A1 1 A3 = Š.iii) (A1 c A2) c A3 = A

Entonces la relación R = {A1,A2,A3}, si es una partición de A.


8. CLASES DE EQUIVALENCIA. Dada una relación de equivalencia R en un conjunto A Definición.La clase de equivalencia con representante a de A, se denota por [a] y se define como el conjunto formado por: [a] = {x 0 A/xRA} Ejemplo. Clases de equivalencia en Z6[0] = [2] = [4] = {0,2,4} [1] = [3] = [5] = {1,3,5} La relación de equivalencia R determina una partición en A a travez del conjunto de clases de equivalencia. {[a]/a 0 A}

i) [a] … Š, x[a]. ii) Para [a] … [b], [a] 1 [b] = Šiii) c[a] = A.

9. CLASES LATERALES IZQUIERDAS DE H EN G. Sea G un grupo y H un subgrupo de G en Q, consideremos: a / b(mod H) ] a-1b 0 HDefinición.Una clase lateral izquierda de H en G para elementos a 0 G, se denota por aH, y se define como el conjunto: aH = {ax/x 0 H} Podemos ver que: [a] = aH, xa 0 G.

6 [a] d aH i aH d [a] PRUEBA. Sea x 0 [a] 6 a/ x(mod H) a-1x 0 H

ax-1 0 H

14

36

52 7

8 9


a-1x 0 H 6 a-1x=h, 6 h 0 H Operando por izquierda por a, tenemos:

a(a-1x) = ah 6 (aa-1)x = ah, x = ah.

Como h 0 H 6 [a] = aH Sea x 0 H 6 h 0 H (considerando a ax=h)

6 a-1(ax) 6 a-1h 0 H 6 a/ h(mod H) h 0 [a]. 10. CONJUNTO COCIENTE DE G POR H.

HG = {[a]/ a 0 G}

Deseamos ver en HG un grupo, entonces:

Definimos en HG una operación �.

Sean aH, bH 0 G. aH � bH = (ab)H, xaH, bH 0 H

G . (ab) 0 G.

�: H

G x HG 6 H

G

((aH),(bH)) 6 aH � bH Demostramos que ( H

G ,�) es un grupo:

a) Estabilidad para �.Sean aH, bH 0 H

G

aH � bH = (ab)H Por la definición, tenemos que ab 0 H, 6 (ab)H 0 H

G .

b) Asociatividad. Sean aH, bH, cH 0 H

G .

(aH � bH) � cH = (ab)H � cH = ((ab)c)H = (a(bc))H = aH � (bc)H = aH � (bH � cH) 6(aH � bH) � cH = aH � (bH � cH). c) Existencia del elemento identidad. Supongamos que en H

G existe el elemento “eH” (con e “elemento identidad del

grupo”) tal que: eH � aH = (ea)H pero como “e” es identidad del grupo: (ea)H = aH aH � eH = (ae)H pero como “e” es identidad del grupo:


(ae)H = aH Se nota que el elemento eH de H

G es el elemento identidad, entonces:

eH � aH = aH � eH = aH, xaH 0 HG .

d) Existencia de inversos. ¿ xaH 0 H

G , ›(a-1)H/ aH � (a-1)H = eH?

Como a 0 a un grupo, existe a-1, tal que: a(a-1)=e

6aH � (a-1)H = (a(a-1))H = eH

6H 0 HG , ›(a-1)H/ aH � (a-1)H = (a-1)H � aH = eH.

Por tanto, como HG cumple con las 4 propiedades características de un grupo,

podemos afirmar que HG es un grupo con la operación �. Además llamaremos a H

G

como el “grupo cociente” de G por H.

11. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS. Sean G, E dos grupos. Definición.Una función f: G 6 E, es un homomorfismo de grupos ] f(ab)=f(a)f(b) xa,b 0 G. Si G es un grupo, y f: G 6 G queda definida por f(x)=x, xx 0 G. LEMA 1 Si f: G 6 E es un homomorfismo de grupos, entonces: f(eG) = eE e: identidad f(xe) = f(x)f(e) = f(x) LEMA 2 Si f: G 6 E es un homomorfismo de grupos, entonces: f(x-1) = (f(x))-1

12. NUCLEO. Si f: G 6 E es un homomorfismo de grupos, entonces: Definición.El núcleo de f se denota por Nuc(f) y se define como el conjunto: Nuc(f) = {a 0 G/ f(a)=eE}

13. IMAGEN. Si f: G 6 E es un homomorfismo de grupos, entonces: Definición.La imagen de f se denota por Im(f) o f(b) y se define como el conjunto: Im(f) = {b 0 E/ b=f(x), x 0 G}


TEOREMA El núcleo y la imagen de f, son subgrupos de G y E respectivamente. PRUEBA. Como sabemos la función va de G en E, es decir: f: G 6 Ef(ab) = f(a)f(b), xa,b 0 G. a) i) Demostraremos que el Núcleo es … Š.Por definición de Núcleo tenemos que: Nuc(f) = {a 0 G/ f(a)=eE}Y por LEMA 1 tenemos que: f(eG) = eE

6 eG0 Nuc(f). ii) Demostraremos que a(b-1) 0 Nuc(f), xa,b 0 Nuc(f). Sean a, b 0 Nuc(f). entonces por definición de Núcleo tenemos: f(a) = e f(b) = e f(a(b-1)) = f(a)f(b-1)

= f(a)(f(b))-1 por LEMA 2. = e(e-1)

= ee = e 6 f(a(b-1)) = e, 6 a(b-1) 0 Nuc(f).

6 El núcleo es un subgrupo de G (conjunto de partida). b) i) Demostraremos que la Imagen es … Š.Por definición de Imagen tenemos que: Im(f) = {b 0 E/ b=f(x), x 0 G} Y por LEMA 1 tenemos que: f(eG) = eE

6 eE0 Im(f). ii) Demostraremos que a(b-1) 0 Im(f), xa,b 0 Im(f).

Sean x1, x2 0 Im(f). 6 ›a1, a2 0 G/ f(a1)=x1, f(a2)=x2

x1(x2)-1 0 Im(f).

6f(a1)((f(a2)-1) = f(a1)f(a2-1) por LEMA 2.

x1(x2)-1=f(a1(a2-1)), como f(a1(a2

-1)) 0 G.

6 x1(x2)-1 0 Im(f).

6La imagen de f es un subgrupo del grupo de llegada.


TEOREMA Si f: G 6 E es un homomorfismo de grupos, entonces f es monomorfismo ]Nuc(f)={eG}

PRUEBA. (6) f: es monomorfismo. f(eG)=eE. (por LEMA 1) si a 0 Nuc(f), 6 f(a)=eE. (por definición de núcleo) eG, a 0 G/ f(eG)=f(a) a=eG=eE

6 Nuc(f)={eG}

(7)Nuc(f)={eG}Sean a, b 0 G/ f(a)=f(b) f(a(b-1))=f(b(b-1)) f(a(b-1))=f(eE)

a(b-1)= eE

6a=b=eE.

f: es monomorfismo. 14. ORDEN de un elemento de un grupo. Sea G un grupo, y a 0 G, un elemento diferente del identidad. Definición.El menor entero positivo “m” tal que am=e se llama orden de a. Si no existe m, se dice que a tiene orden infinito. Ejemplo. Consideremos al Conjunto Z6 con r.

Orden de 1: 1m=1r1r1r1r1r1=0

6m=6, ó orden de 1 en Z6 con r, es 6. Orden de 2: 2m=2r2r2=0

6m=3, ó orden de 2 en Z6 con r, es 3. Y así sucesivamente.

r 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4


15. TRASLACIONES. Sea G un grupo y a 0 G. Definimos la función: ta: G 6 G/ ta(x) = ax, xx 0 G. Demostramos que es biyectiva. Para que una función sea biyectiva, debe ser inyectiva y suryectiva. a) Sea u,v 0 G/ tu(a)=ta(u) au=au, a-1(au) = a-1au eu = eu 6 u = u

6 la función es inyectica. b) xy 0 G (al de llegada) ›a-1y 0 G/ta(a-1y)=a(a-1y) =ey =y 6 la función es suryectiva.

6 ta es biyectiva. La función biyectiva ta: G 6 G se llama una TRASLACION a izquierda del grupo G para el elemento a. Definimos una función j: G 6 P(G). Donde P(G) es el grupo de todas las permutaciones de G. j(a)=ta 6 j(ab)=j(a)j(b) j(ab)=tab [j(ab)](x) = tab(x) tab(x) = ab(x)=ta(tb(x)) = (tatb)(x) = (j(a)j(b))(x), xx 0 G, j(ab)=j(a)j(b) j: es un homomorfismo. Sea a 0 Nuc(j), j(a)=ta, identidad en P(G) ta(x)=x, xx 0 G.

ax=x 6 a=e Si a=e, entonces el núcleo esta formado solo por e, Nuc(j)={e} ya que se trata de un elemento arbitrario. 6 Definimos que j: es un monomorfismo.

*abeliano=conmutativo.


COROLARIO. j: G 6 j(G), es un isomorfismo, y j(G) es imagen de G. G–j(G). Ejemplo. Sea G=(Z4,r), hallaremos un subgrupo de P(G) que sea isomorfo con G. Como sabemos que Z4={0,1,2,3}, entonces el subgrupo de P(G) también debe tener 4 elementos, digamos P(G)={t0,t1,t2,t3} (son traslaciones). Luego como la función tn: G 6G, por definición tendríamos: t0:t0(0) = t0(0) = 0r0 = 0t0(1) = t0(1) = 0r1 = 1t0(2) = t0(2) = 0r2 = 2t0(3) = t0(3) = 0r3 = 3

t1:t1(0) = t1(0) = 1r0 = 1t1(1) = t1(1) = 1r1 = 2t1(2) = t1(2) = 1r2 = 3t1(3) = t1(3) = 1r3 = 0

t2:t2(0) = t2(0) = 2r0 = 2t2(1) = t2(1) = 2r1 = 3t2(2) = t2(2) = 2r2 = 0t2(3) = t2(3) = 2r3 = 1

t3:t3(0) = t3(0) = 3r0 = 3t3(1) = t3(1) = 3r1 = 0t3(2) = t3(2) = 3r2 = 1t3(3) = t3(3) = 3r3 = 2

Hasta acá hemos hallado todas las traslaciones posibles con elementos de Z4. Luego podemos definir las traslaciones como permutaciones de la siguiente forma: t0 = (21)(12) t1 = (0123) t2 = (02)(13) t3 = (0321). Entonces, afirmamos que Z4={0,1,2,3}–P(G)={t0,t1,t2,t3}. Donde P(G) queda definida mediante la siguiente tabla:


C t0 t1 t2 t3t0 t0 t1 t2 t3t1 t1 t2 t3 t0t2 t2 t3 t0 t1t3 t3 t0 t1 t2

Podemos ver claramente el isomorfo. 16. SUBGRUPOS NORMALES. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Definición.H es un subgrupo NORMADO de G ] uau-1 0 H, xa 0 H y xu 0 G. Los subgrupos triviales de cualquier grupo G, son siempre subgrupos normales, ya que: i) uau-1 0 G, 6 G es subgrupo normal.

ii) ueu-1 = e, 6 {e} es subgrupo normal. Si G es un grupo conmutativo, entonces todos sus subgrupos son normales. Ejemplo. Sea G=S3.Verificaremos si los siguientes subgrupos son normales, H1=G H2={%}H3={%,%1}H4={%,%2}H5={%,%3}H6={%,%1,%5}

Recordando la tabla de las “alfas” para S3, tenemos:

En H1 y H2 se nota claramente que se trata de los subgrupos triviales, entonces por lo expuesto anteriormente afirmamos que si son normales. En H3, analizamos: Sea % 0 G, % 0 H3. Aplicando la definición de normal, tenemos:

B % %1 %2 %3 %4 %5

% % %1 %2 %3 %4 %5

%1 %1 % %4 %5 %2 %3

%2 %2 %5 % %4 %3 %1

%3 %3 %4 %5 % %1 %2

%4 %4 %3 %1 %2 %5 %%5 %5 %2 %3 %1 % %4


%%%-1 0 H3

%%1%-1 0 H3

%1%%1-1 0 H3

%1%1%1-1 0 H3

y así probamos con todos los elementos, pero nos damos cuenta que: %5%1%5

-1 = %5%1%4 = %2%4=%3 pero %3 ó H3, 6 H3 no es normado. En H4, analizamos: %%%-1 0 H4

%%2%-1 0 H4

%4%2%4-1 = %1%5=%3 ó H4, 6 H4 no es normado.

En H5, analizamos: %4%3%4

-1=%2%5=%1 ó H5, 6 H5 no es normado. En H6, analizamos: %%4%-1 0 H6

Hallando todos los productos posibles, tenemos que H6 si es normado, entonces los subgrupos normados serian: H1, H2, H6

TEOREMA. Un subgrupo H de un grupo G es normal ] uH=Hu, xu 0 G. Definición.uH={uh/ h 0 H} Clase lateral izquierda de H en G para u 0 G. Hu={hu/ h 0 H} Clase lateral derecha de H en G para u 0 G. Sea u 0 G, a 0 H 6ua 0 uH.

uau-1 0 H 6 uau-1=b 0 H.

uau-1=b 6 ua=bu 0 Hu.

6 ua 0 Hu. uH 0 Hu.

6 uH = Hu Para v=u-1 u-1au=c 0 H. vau-1 0 H. u-1au 0 H. au = ac 0 uH.

6au 0 uH. Como a de H es arbitrario. 6Hu = uH

6uH = Hu


p

H G/H

G

Sea a 0 G, y a 0 H. ua 0 aH=Ha ua = ba, con b 0 Huau-1 = b 0 H

uau-1 0 H. 6 H es Normal. Ejemplo. Sea G={S3} y H={%,%4,%5}, tenemos las siguientes clases de equivalencia. %H=H%%1H={%1,%2,%3}H%1={%1,%3,%2}%2H={%2,%3, %1}H%2={%2,%1,%}%3H={%3,%1,%2}H%3={%3,%2,%1}%4H={%4,%5,%}H%4={%4,%5,%1}%5H={%5,%,%4}H%5={%5,%,%4}

TEOREMA. Si H es un subgrupo normal de un grupo G, entonces la operación definida en el conjunto de las clases H

G , de las clases laterales izquierdas,

(uH)(vH)=(uv)H, xu,v 0 G,

Hace de HG un grupo y de la proyección natural p: G 6 H

G , dado por p(u)=uH, xu 0G, un epimorfismo de Nuc(p)=H. PRUEBA. Tenemos que; p(u)=uH, xu 0 G. p(uv)=(uv)H=(uH)(vH) = (pu)(pv) Sea a 0 Nuc(p). p(a)=aH = eH = H aH = H ] a 0 H. Nuc(p)=H.


17. GRUPOS CICLICOS. TEOREMA. Sea a un elemento del grupo G, entonces el conjunto H={ak/ k 0 Z} es un subgrupo de G.

PRUEBA. i) H … Š. 6 a 0 H.

a=a1 xk=1, 6 H … Š.ii) Sean am, an 0 H, aman=am+n 0 H m+n 0 Z. xam0 H ›a-m 0 H. tal que: am a-m=a0 = e 0 H. H se llama un subgrupo cíclico de G generado por a. Definición.Si H es un grupo (aH subgrupo de G) existe un elemento a de H/ H={ak/ k 0 Z}. Entonces se dice que H es un subgrupo cíclico generado por a. H=<a> Ejemplo. Sea G=(Z6,r), G={0,1,2,3,4,5}. Hallaremos los subgrupos cíclicos. Para el 1, tenemos: 10= 011= 112= 1r1=2 13= 1r1r1=3 14= 1r1r1r1=4 15= 1r1r1r1r1=5 16= 1r1r1r1r1r1=0 G={11,12,13,14,15,16} = <1> Para el 2, tenemos: 20= 021= 222= 2r2=4 23= 2r2r2=0 24= 2r2r2r2=2 25= 2r2r2r2r2=4 26= 2r2r2r2r2r2=0 <2> = {21,22,23}<2> = {0,2,4} Para el 3, tenemos: 30= 031= 332= 3r3=0


33= 3r3r3=3 34= 3r3r3r3=0 35= 3r3r3r3r3=3 36= 3r3r3r3r3r3=0 <3> = {31,32}<3> = {0,3} Para el 4, tenemos: 40= 041= 442= 4r4=2 43= 4r4r4=0 44= 4r4r4r4=4 45= 4r4r4r4r4=2 46= 4r4r4r4r4r4=0 <4> = {41,42,43}<4> = {0,2,4} Para el 5, tenemos: 50= 051= 552= 5r5=4 53= 5r5r5=3 54= 5r5r5r5=2 55= 5r5r5r5r5=1 56= 5r5r5r5r5r5=0 <5> = {51,52,53, 54, 55}<5> = {0,1,2,3,4,5} = G Nótese que <1> = <5> = G 18. ORDEN DE UN GRUPO. Definición.El numero de elementos de un grupo finito G, se llamo orden de G, y se denota por o(G). Ejemplo. o(Z5)=5. Si un grupo cíclico G tiene orden m y esta generado por a. 6am=e. 19. PRODUCTOS DIRECTOS. Sea G un grupo y A,B dos subgrupos normales de G. Definición.Se dice que G puede ser descompuesto en el producto directo de los subgrupos normales A y B ] G es el producto de AB, cumpliendo:

i) G = AB. ii) A1B={e} (elemento identidad)


Ejemplo. Sea G=(Z12,r) y los subgrupos de G, A=(0,3,6,9) y B=(0,4,8). ¿El producto directo de AB, genera a G? Sabemos que G = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, para recordar construiremos la tabla del Z12 para la adición modulo 12. r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 13 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 24 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 35 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 46 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 57 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 68 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 79 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 810 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 911 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Z12={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} i) Ahora AB, lo entendemos de la siguiente forma: AB=(0,3,6,9)(0,4,8)=(0r0,0r4,0r8,3r0,3r4,3r8,6r0,6r4,6r8,9r0,9r4,9r8) AB=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) Entonces AB=G, hasta ahora verificamos la parte(i) de la definición ¿cumplira con (ii)? ii) ¿A1B={e}? Sabemos que el elemento identidad “e” de G=(Z12,r) es 0. entonces e=0 ¿A1B={0}?, Si ya que en A=(0,3,6,9) y B=(0,4,8), el único elemento en común es 0.

6El grupo G, se puede descomponer en el producto directo de los subgrupos normales de G, A y B. TEOREMA Sean A y B dos subgrupos (con B normal), de un grupo G, entonces, AB es un subgrupo de G, verificándose además que AB=BA, si también A, es normal, AB resulta normal. AB={x 0 G/x=ab, a 0 A,b 0 B} PRUEBA. AB=BA Sean a 0 A, b 0 B, elementos arbitrarios ab 0 AB, ab 0 aB=Ba d BA

6ab 0 BA, AB d BA ba 0 BA, ba 0 Ba=AB d AB

6ba 0 AB BA d AB

AB, ¿subgrupo?. ¿AB … Š? Como A y B son subgrupos, 6 el elemento identidad 0 A, y también 0 B.

6ee 0 AB. Pero ee=e 6 e 0 AB.


6 AB … Š.Sean a1b1,a2b2 0 AB. (a1b1)(a2b2) = a1(b1a2)b2, pero b1a2 0 Ba2 =a2B› b20 B/ b1a2=a2b3

(a1b1)(a2b2) = a1(b1a2)b2= a1(a2b3)b2

= (a1a2)(b3b2), (a1a2) 0 A, (b3b2) 0 B

6 (a1b1)(a2b2) 0 AB. Hasta acá se puede observar la estabilidad en AB. (ab)-1=b-1a-1 0BA pero como AB=BA 6(ab)-1 0 AB Hasta acá tenemos la existencia de elementos inversos en AB. La asociatividad se hereda de A y B. 6Como AB es estable, existe elemento identidad, existe inversos y es asociativo. Podemos afirmar que AB es un subgrupo de G. TEOREMA Si G se puede descomponer en el producto directo de dos subgrupos normales A y B, entonces cada elemento de A conmuta con cada elemento de B, y cada elemento x 0G, se expresa de manera única como el producto de un elemento en A y otro en B. PRUEBA. Sea AB=G, queremos demostrar que si a 0 A, b 0 B, 6ab=ba, si x 0 G, x=ab.

Si G=AB 6 A1B={e} a 0 A, b 0 B, entonces: aba-1b-1 0 A

a(ba-1b-1) 0 A(aba-1)b-1 0 B

Como aa-1b-1 0 A y B

6 aba-1b-1={e} elemento identidad. aba-1=b operando por la derecha con a tenemos (aba-1)a=(b)a ab=ba. De manera única x=ab, x 0 G.

Como G=AB 6 x x 0 G, ›a 0 A, b 0 B/x=ab Supongamos que ›x 0 A, i un u* 0 B/x=uu*

ab=uv, u-1a 0 A1B6ua=e6a=u.

u-1ab=u, ub-1 0 A1B6ab-1=e6v=b.

6x=ab es una representación única. Sean A y B dos grupos, y P=AxB, operación definida de la siguiente forma: (a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,b1b2) P: “Producto directo de A y B”


Sea G un grupo que se puede descomponer en el producto directo de los subgrupos normales A y B. 6 G=AB i A1B={e} Determinamos el grupo “Producto directo de A y B” P=AxB. Proposición: “El grupo G es isomorfo con P” PRUEBA. Queremos demostrar que P–G. (Isomorfos) Primero, nos preguntamos ¿Quién tiene la propiedad de ser isomorfo?, claramente sabemos que es una función, entonces la función deberá ser: f: P 6Gf(a,b)=ab Luego, ¿esta función presentara homomorfismo?, entonces probamos: f((a1,b1),(a2,b2))= (a1,b1),(a2,b2)6 f es un homomorfismo. x x 0 G, ›(a,b) 0 P/ f(a,b)=x ›a 0 A, b 0 B/ x=ab x x 0 G, ›(a,b) 0 P/ f(a,b)=ab=x x x 0 G, ›(a,b) 0 P/ f(ab)=x Sean a,b 0 Nuc(f) f(ab)=ab=e=ee x e 0 G

6a=e, b=e/ ab=ee Nuc(f)={(e,e)} Hasta acá vimos que la función es suryectiva, y el homomorfismo es monomorfismo. 6 Podemos afirma que P es isomorfo con G ó P–G. Sean A y B dos grupos, determinaremos P=AxB (producto cartesiano).

j: A 6 P j(a) = (a,eB) x a 0 A

k: B 6 P k(b) = (eA,b) x b 0 B

P

j k

A B


j(a1,a2) = j((a1a2,eB) = (a1,eB)(a2,eB)= j(a1)j(a2)

6 j es homomorfismo. Sea a 0 Nuc(f), entonces: j(a) = (a,eB) = (eA,eB)

a = eA.6Nuc(j)={eA}

6j es un monomorfismo. k((b1,b2)=(b1b2,eA)

=(eAb1)(eAb2)=k(b1), k(b2)

6 k es homomorfismo. Sea b 0 Nuc(k), entonces: K(b) = (eA,b) = (eA,eB)

b = eB

6Nuc(k)={eB}

6k es un monomorfismo. j: A 6 j(A)

k: B 6 k(B) Son isomorfismos.

p: P 6 A/ p(a,b) = a

q: P 6 B/ q(a,b) = b p((a1b1),(a2b2)) = p(a1a2,b1b2)

= a1a2=p(a1,b1)p(a2,b2)6 p es un homomorfismo. x a 0 A, ›(a,b) 0 P/ p(a,b)=a.

6p es epimorfismo.

P

p q

A B


q((a1b1),(a2b2)) = q(a1a2,b1b2)= q(a1,a2)q(b1,b2)

6 q es un homomorfismo. x b 0 B, ›(a,b) 0 P/ q(a,b)=b.

6q es epimorfismo. Sean (a,b) 0 Nuc(p) p(a,b)=a=eA.Nuc(p) = {eA}xB

Sean (a,b) 0 Nuc(q) q(a,b)=b=eB.Nuc(q) = {eB}xA

Nuc(p) =B Nuc(q) =A (a,b) 0 P, (eA,d) 0 Bp((a,b)(eA,d)((a,b)-1)) = p(a,b)p(eA,d)p((a,b)-1)

= p(a,b)eA(p(a,b))-1 = eA

6B es normal. (a,b) 0 P, (c,eB) 0 Aq((a,b)(c,eB)((a,b)-1)) = q(a,b)q(c,eB)q((a,b)-1)

= q(a,b)eB(q(a,b))-1 = eB

6A es normal. Sea (a,b) 0 P. ›(a,eB) y (eA,b)/ (a,b)= (a,eB)(eA,b) P=AxB

A=Nuc(p) =A={eA}xBB=Nuc(q) =B=Ax{eB}

Sea a,b 0 A1B

6(a,b) 0 P. A=(a,b)=Ax{eB}B=(a,b)={eA}xB(eA,eB) = (a,b) P es un grupo que se puede descomponer en el producto directo de los subgrupos normales AxB.


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> EJERCICIOS RESUELTOS >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> a) Sea G={ú,+} el grupo de los reales con la adición usual, y V={(x1,x2)/ x1 i x2 0 ú}, un subconjunto de G, definimos en V la operación “+” de la siguiente forma: +: V x V 6 V

(A,B) 6 A+B + A + B =(a1+b1,a2+b2). Demostrar que (V,+) es un grupo. Solución. Para que V sea un grupo debe cumplir con 4 condiciones. i) Estabilidad respecto a +.a1+b1 0 úa2+b2 0 úentonces: A + B =(a1+b1,a2+b2) 0 V.

6 V es estable para +.

ii) Asociatividad. Sean A,B,C 0 V, ¿ A + (B + C) = (A + B) + C? A=(a1,a2)B=(b1,b2)C=(c1,c2)

A + (B + C) = (a1,a2) + (b1+c1, b2+ c2)= (a1+b1+c1, a2+ b2+ c2)= (a1+b1, a2+b2) + (c1,c2)= (A + B) + C

6 V es asociativo con +.

iii) Existencia del elemento identidad. Sea 0=(0,0), ¿A + 0 = 0 + A = A, x A 0 V? Sea A=(a1,a2), A + 0=(a1+0,a2+0) = (a1,a2) = A

0 + A=(0+a1,0+a2) = (a1,a2) = A6 A + 0 = 0 + A = A, x A 0 V. iv) Existencia de elementos inversos. ¿x A 0 V, › –A 0 V/ A + (–A) = (–A) + A = O? Sea A=(a1,a2), y –A=(-a1,-a2), se nota claramente que –A 0 V, ya que cumple con la definición. Tal que: A + (–A) = (a1,a2)+(-a1,-a2)= (a1+(-a1),a2+-(a2)) = (0,0) = 0 (–A) + A = (-a1,-a2)+(a1,a2)= ((-a1)+a1,-(a2)+a2) = (0,0) = 0 6 A + (–A) = (–A) + A = O, x A, –A 0 V. 6 V es un grupo con +.


Ahora ¿V será conmutativo con +?¿ x A,B 0 V, A+B=B+A? Sea A=(a1,a2) y B=(b1,b2), A + B =(a1+b1,a2+b2)

B + A =(b1+a1,b2+a2)a1+b1 = b1+a1 (debido a que la adición es conmutativa en ú)6 a2+b2 = b2+a2.

6 A+B=B+A, x A,B 0 V. 6 Concluimos con que V es un grupo con +, y además conmutativo, es decir V es un grupo conmutativo. b) Sea G=S3, y H={%,%5,%4} ¿es H un subgrupo de G? Solución. a) H … Š, por que %,%5,%4 0 H. ii) ¿ab-1 0 H, x a,b 0 H? %%5

-1 = %4 0 H. Analizando todos los posibles productos. Llegamos a la conclusión que H es un Subgrupo de G. c) Hallar todos los subgrupos cíclicos en S3.Solución. %1

1=%1

%12=%1%1=%

%13=%1%1%1

=%1

%14=%1%1%1%1=%

%15=%1%1%1%1%1=%1

<%1>={%,%1}

%21=%2

%22=%2%2=%

%23=%2%2%2

=%2

%24=%2%2%2%2=%

%25=%2%2%2%2%2=%2

<%2>={%,%2}

%31=%3

%32=%3%3=%

%33=%3%3%3

=%3

%34=%3%3%3%3=%

%35=%3%3%3%3%3=%3

<%3>={%,%3}


%41=%4

%42=%4%4=%5

%43=%4%4%4

=%%4

4=%4%4%4%4=%4

%45=%4%4%4%4%4=%5

<%4>={%,%4,%5}

%51=%5

%52=%5%5=%4

%53=%5%5%5

=%%5

4=%5%5%5%5=%5

%55=%5%5%5%5%5=%4

<%5>={%,%4,%5}


G. AANNIILLLLOO..

1. Definición. Un anillo es un conjunto A … Š, provisto de dos operaciones binarias:

i) Adición. (primera operación) “+”. ii) Multiplicación. (segunda operación) “C”.

Verificándose:

i) (A,+), es un grupo conmutativo. ii) (A,C), es un semigrupo. iii) Se verifica distributividad por izquierda y por derecha de la segunda

operación respecto de la primera. aC(b+c) = (aCb)+(aCc) (por izquierda). (a+b)Cc = (aCc)+(bCc) (por derecha). x a,b,c 0 A.

Ejemplo. A=(Z,+, C) (multiplicación y adición usual). i) Sabemos que Z, con +, es un grupo conmutativo. ii) Sabemos que Z, con C, es un semigrupo. iii) x a,b,c 0 A, se tiene que: aC(b+c) = (aCb)+(aCc)

(a+b)Cc = (aCc)+(bCc)5C(4+12) = (5C4)+(5C12) = 80.

(5+4)C12 = (5C12)+(4C12) = 108. 6A es un anillo. 2. Definición. i) Si en un anillo A, existen elementos a…0…b tal que ab=0 (segunda operación), se dice que A tiene divisores de 0. ii) a,b se llaman divisores de 0, el elemento identidad para la primera operación del anillo se llama “cero del anillo”. iii) Si en un anillo A, la segunda operación es conmutativa, entonces se dice que A es un “anillo conmutativo”. iv) Si en un anillo A, para la segunda operación se tiene estructura de monoide, se dice que A es un “anillo con unidad” y al elemento identidad correspondiente se le llama elemento unidad, denotado por 1. TEOREMA. Si A es un anillo, entonces los elementos identidad son únicos, así como el inverso respecto a la primera operación. PRUEBA. i) Para desmentir la existencia de dos elementos identidades, es recomendable suponer que el enunciado es verdad, es decir: para la ADICION, el elemento identidad es el 0, entonces por definición tenemos: 0+a=a+0=a, x a 0 A.


y supongamos que existe un 0* tal que: 0*+a=a+0*=a, x a 0 A. entonces: 0=0+0*=0* 60=0* Ahora, como sabemos en un anillo puede existir o no elemento identidad respecto a la MULTIPLICACION, supongamos que ese es el caso, entonces tenemos por definición: 1a=a1=a x a 0 A. y supongamos que existe un 1* tal que: 1*a=a1*=a x a 0 A. 1=11*=1* 61=1* ii)Supongamos que para un a 0 A, y ›,a-1, a’ 0 A, tal que: a+a-1=a-1+a=0 a+a’=a’+a=0 6aa-1=aa’, 6 a-1=a’. TEOREMA. Sea A un anillo, entonces se cumple:

i) a0=0a=0 x a 0 A. ii) (-a)b=a(-b)=-(ab) x a,b 0 A. iii) (-a)(-b)=ab x a,b 0 A.

PRUEBA. i) aa=a(a+0)=(aa)+(a0). x a 0 A. en A existe inverso para cada elemento respecto a +. aa=a(a+0)=(aa)+(a0) (-aa)+aa=((-aa)+(aa))+(a0) 0=0+a0 0=a0. aa=a(a+0)a=(aa)+(0a) -(aa)+aa=((-aa)+(aa))+(0a) 0=0a. 6 a0=0a=0 x a 0 A. ii) (-a)b=-(ab) ab+(-a)b (a+(-a))b=0b=0 ab+(-a)b=0 6-(ab)=(-a)b a(-b)=-(ab) -(ab)+ab=(-a+a)b 6-(ab)=(-ab)

6 (-a)b=a(-b)=-(ab) x a,b 0 A.


iii) (-a)(-b)=-(a(-b)) =(-(-ab)) =ab. 6(-a)(-b)=ab x a,b 0 A. 3. ANILLO BOOLEANO. Definición. Un anillo A se dice ser un ANILLO BOOLEANO si:

i) x2=x, x x 0 A. (respecto a la segunda operación). xCx=x ii) xy=yx, x x,y 0 A.

4. SUBANILLOS. Definición. Un subanillo de un anillo A, es un subconjunto H … Š, que con la operaciones de A, también es un anillo. Ejemplo. Sea A=(Z,+,C) un anillo con la adición y multiplicación usual. y H={3n/ n 0 Z} un subconjunto de A, queremos ver que H sea un subanillo de A. ¿H será un grupo conmutativo? i) ¿H… Š?, Si ya que el elemento 3(1)=3 0 H, ya que 1 0 Z.

6 H… Š.

ii) Podemos notar que H esta formado de los siguientes elementos: H={…, -6, -3, 0, 3, 6, …}. Sean 3n,3k 0 H, 6 n,k 0 Z. 3n+3k=3(n+k) 0 H, ya que n+k 0 Z.

6 H es estable con la operación +. iii) La asociatividad se hereda. iv) Sea 3n 0 H, 3(0) 0 H ya que 0 0 Z. operándolos, tenemos: 3n+3(0)=3(n+0)=3n 3(0)+3n=3(0+n)=3n 6 3(0) es el elemento identidad para +. v) Sea 3n 0 H, y como sabemos que n-1 0 A por ser un grupo, entonces: 3n-1 0 H. operando: 3n+3n-1=3(n+n-1)=3(0)=0. 6 H tiene inversos para +. vi) Como A es conmutativo, entonces H hereda la conmutatividad. 6H es un grupo conmutativo. ¿H será un semigrupo?


i) Sea 3n,3m 0 H. 3nC3m= 3n(3m)=3(3nm) y 3nm 0 A, xn,m 0 Z.

6 H es estable para C.

ii) La asociatividad se hereda de A. 6H es un semigrupo. 6Como H es un grupo conmutativo con +, es un semigrupo con C y claramente presenta distributividades por izquierda y por derecha de la primera operación respecto a la segunda, podemos afirmar que H es un anillo, y que H es un SUBANILLO de A. LEMA. Un subconjunto H … Š, de un anillo, es un subanillo de A ]

i) a+(-b) 0 H, xa,b 0 H. ii) ab 0 H, xa,b 0 H.

PRUEBA. (6) A es un anillo y H es un subanillo de A. Sean a,b 0 H›-a,-b 0 H

6a+b 0 Ha+(-a) 0 Hb+a 0 Hb+(-a) 0 Ha+(-b) 0 Hab=(aCb), ab 0 H

6a+(-b) 0 Hab 0 H

(7) sea H un subconjunto a+(-b) 0 H

ab 0 Ha+(-b) 0 H, como b 0 H y –b 0 H, entonces existen inversos. Como ab 0 H es estable. x+(-x)=0 del anillo 0 HSean 0 y x de H 0+(-x) 0 H0+(-x)=-x -x 0 H, xx 0 H, -x 0 H. Asociatividad se hereda x,y 0 H. › -x,-y 0 H. -(-y) 0 Hx+(-(-y)) 0 Hpero (-(-y))=y


x+y=y+x 0 H. 5. HOMOMORFISMO DE ANILLOS. Sean A y B dos anillos. Definición. Una función f: A 6 B, es un homomorfismo de anillos ]

i) f(a+b)=f(a)+f(b). ii) f(ab)=f(a)f(b).

xa,b 0 A. En un homomorfismo de anillos se tiene: i) f: A 6 B/ f(x)=0, xx 0 A. (0, es el cero del anillo B). f(x+y)=0=0+0=f(x)+f(y) f(xy)=0=00=f(x)f(y) , xx,y 0 A.

6 se tiene monomorfismo. ii) Sea g: A 6 A/ g(x)=x, xx 0 A. Sean x,y 0 A. g(x+y)=x+y=g(x)+g(y) g(xy)=xy=g(x)g(y). LEMA 1. Si f: A 6 B es un homomorfismo de anillos, entonces se verifica:

i) f(0)=0. ii) f(-x)=-f(x).

PRUEBA. i) f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)+f(0)=f(0) f(0A)=f(0B). ii) f(x+(-x))=f(x)+f(-x)=0 f(-x)=-f(x). 6. IMAGEN. Definición. Si f: A 6 B es un homomorfismo de anillos, entonces la imagen de f, es el conjunto denotado por Im(f), y definido por: Im(f)={ b 0 B/ b=f(a), para a 0 A} 7. NUCLEO. Definición. Si f: A 6 B es un homomorfismo de anillos, entonces el núcleo de f, es el conjunto denotado por Nuc(f), y definido por: Nuc(f)={a 0 A/ f(a)=0}


LEMA 2. Si f: A 6 B es un homomorfismo de anillos, y Nuc(f)=N, entonces:

i) N es un subanillo de A. ii) Para n 0 N, a 0 N, se cumple que: na 0 N. an 0 N.

8. IDEALES. Sea A un anillo. Definición. Un ideal izquierdo del anillo A, es un subanillo H de A, tal que ax 0 H, xa 0 A, xx 0 H. Definición. Un ideal derecho del anillo A, es un subanillo H de A, tal que xa 0 H, xx 0 H, xa 0 A. Definición. Un ideal de A, es un subanillo H de A, que es un ideal bilatero (izquierdo y derecho). Ejemplo. Demostraremos que si f: A 6 B es un homomorfismo de anillos, el conjunto N=Nuc(f) es un ideal. i) ¿N … Š?Si ya que f(a)=0, a 0 N. ii) Para a,b 0 N¿a+(-b) 0 N? f(a)=0=f(b) f(a+(-b))=f(a)+f(-b)=f(a)+(-f(b)) =0+0=0 6 a+(-b) 0 N. iii) ¿ab 0 N? f(ab)=f(a)f(b)=00=0 6 ab 0 N.

6N es un subanillo de A. f(ax)=f(a)f(x)=f(a)0=0. f(xa)=f(x)f(a)=0f(a)=0. 6N es un ideal del anillo A. TEOREMA. Dado un anillo A, entonces la intersección de una familia arbitraria {Hi}, de subanillos de A, es un subanillo de A. PRUEBA. H= i

iH∩ .


i) Como Hi es un subanillo, entonces 0 0 Hi, xi.

6 H…Š,ii) Por definición de intersección, a+(-b) 0 H puesto que a+(-b) 0 Hi xa,b 0 H.

iii) Dados a,b 0 H 6a,b 0 Hi, xi

6a,b 0 H.

6H es un subanillo de A. 9. ANILLO COCIENTE. Sea A un anillo, e I un ideal de A, Se determina el conjunto: D={u+I/ u 0 A}, se define en D: ADICION: (u+I)+(v+I)=(u+v)+I MULTIPLICACION: (u+I)(v+I)=(uv)+I, xu,v 0 A. Probaremos que D es un anillo. i) Estabilidad. Es estable por definición de la operación para la adicion. ii) Asociatividad. Sean (u+I),(v+I),(w+I) 0 D. ((u+I)+(v+I))+(w+I) = (u+v)+I+(w+I) = (u+v+w)+I como se trata de una operación binaria: = (u+(v+w))+I = (u+I)+((v+w)+I) = (u+I)+((v+I)+(w+I)) 6La operación es asociativa. iii) En D, › (0+I)/ (u+I)+(0+I)=(0+I)+(u+I)=(u+I) x(u+I) 0 D. (u+I)+(0+I)=((u+0)+I)=((0+u)+I)=(0+I)+(u+I). 6(0+I) es el elemento identidad en D, respecto a la adición. iv) x(u+I) 0 D, ›(-u+I)/ (u+I)+(-u+I)=(0+I) Entonces (-u+I), es el elemento inverso de (u+I). y como es arbitrario, generalizamos y decimos que si existen inversos para todos los elementos respecto a la primera operación. v) (u+I)+(v+I)=((u+v)+I)=((v+u)+I)=(v+I)+(u+I). Entonces la operación es conmutativa. vi) Por definición de la operación se tiene estabilidad para la multiplicación. vii) ((u+I)(v+I))(w+I)=(uv+I)(w+I)=((uv)w+I) =(u(vw)+I)=(u+I)((vw)+I)=(u+I)((v+I)+(w+I)) 6La operación es asociativa. viii) (u+I)((v+I)+(w+I))=((uv)+I)+((uw)+I) =((uv)+(uw)+I)


((u+I)+(v+I))+(w+I)=((u+v)+I)(w+I) =((uw)+I)+((vw)+I). Entonces, D es un anillo. Al cual llamaremos anillo cociente y lo denotaremos: I

A .

6D= IA .

Se nota que para que un conjunto … Š, dotado de dos operaciones sea un anillo debe cumplir con 8 propiedades minimamente. TEOREMA. Si Si f: A 6 B es un homomorfismo de anillos, entonces:

i) Si W es subanillo de A, f(W) es subanillo de B. ii) Si W es un ideal de A, entonces, f(W) es un ideal de B.

PRUEBA. i) f(W) … Š ya que f(0)=0 0 f(W). Como w es subanillo, 0 0 W. ii) Sea x,y 0 f(W). ¿x+(-y) 0 f(W), xy 0 f(W)? ›a,b 0 W/ f(a)=x, f(b)=y x+(-y)=f(a)+(-f(b)) =f(a)+f(-b) =f(a+(-b)) 6 x+(-y) 0 f(W). xy=f(a)f(b) =f(ab) 6 xy 0 f(W).

6 W es subanillo de B. f(a) 0 f(A), f(x) 0 f(W). f(a)f(x)=f(ax) 0 Wf(x)f(a)=f(xa) 0 W

6 W es un ideal. 10. DOMINIO DE INTEGRIDAD. Definición. Un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero se llama un dominio de integridad. Definición. Una sucesión infinita de elementos de S(conjunto … Š) es una función cuyo dominio es Z0

+(conjunto de los enteros no negativos), y cuyo codominio(rango), es un subconjunto de S. A tal sucesión la denotaremos como (a0,a1,a2,a3,…) donde ai 0 S, xi 0 Z0

+.

Sea D un dominio de Integridad. Definición.


Un polinomial sobre el dominio de integridad D, o un polinomio sobre el dominio de integridad D, es una SUCESION INFINITA de elementos de D, donde solamente un numero infinito de elementos son diferentes de cero. Al conjunto de todos los polinomiales sobre D, se le denomina dominio de polinomiales sobre D, simbolizándose por D[x]. Si w 0 D[x], con w=(a0,a1,a2,a3,…). Definición. ai, se llamara el i-esimo termino de w(coeficiente). a0: termino constante. Dado el polinomial w, con w=(a0,a1,a2,a3,…), sobre un dominio de integridad D. Definición. El grado de w, se define como n ] an…0 y am…0, x m>n. Sea D un dominio de integridad, x=(a0,a1,a2,a3,…), y=(b0,b1,b2,b3,…), dos polinomiales sobre un dominio de integridad D. Definición.

i) Los polinomiales dados son iguales, lo que se denota por x=y, ] ai=bi xi 0Z0

+.ii) Definimos la operación ADICION en D[x]: x+y=(c0,c1,c2,c3,…) donde ci=ai+bi,

xi 0 Z0+.

iii) Definimos la operación MULTIPLICACION en D[x]=xy=(d0,d1,d2,d3,…) donde di=a0+bi+a1+bi-1+a2+bi-2+ … + ai+b0.


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> EJERCICIOS RESUELTOS >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> a) Probar que un anillo booleano es conmutativo. Solución. Sabemos que para que un anillo sea booleano, debe cumplir: i) x2=x, x x 0 A. (respecto a la segunda operación). xCx=x ii) xy=yx, x x,y. Sean x,y 0 A. Por definición tenemos: x2=x, y2=y, (x+y)2=(x+y) (x+y)2=(x+y)(x+y)=(x+y)x+(x+y)y =xx+yx+xy+yy =x2+xy+yx+y2

=x(x+y+y)+y2

=x(x)+(xy)+(xy)+y2 (como (xy)=(yx) =x(x)+(xy)+y2+(xy) =x(x)+y2+(xy)+(xy) =y2+x(x)+(xy)+(xy) =y2+(xy)+x(x)+(xy) =y2+(xy)+ (xy)+x(x) =(y+x)y+(y+x)x =(y+x)2.

b) Sea H={m+n 2 / m i n 0 R} (adición y multiplicación) ¿Es H un anillo? Solución. Como Sabemos que R es un anillo con la adición y multiplicación usual, y como m+n 2 0 R. podemos decir que H hereda todas las propiedades de R, entonces H es un anillo.


H. CCUUEERRPPOO..

1. Definición.Un cuerpo es un anillo con unidad, sin divisores de 0, donde cada elemento diferente del 0 del anillo tiene inversos respecto a la segunda operación del anillo. Ejemplos. (ú,+,C), (Z,+,C), (Q,+,C). Ejemplo. Sea A=R4. Definimos: a,b 0 A/ a=(a1,a2,a3,a4)

b=(b1,b2,b3,b4). Las operaciones en A: Adición: a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,a4+b4)Multiplicación: ab=(c1,c2,c3,c4)c1=a1b1-a2b2-a3b3-a4b4.c2=a1b2+a2b1+a3b4-a4b3.c3=a1b3+a3b1+a4b2-a2b4.c4=a1b4+a4b1+a2b3-a3b2.Verificaremos que A es un cuerpo. Para que A sea un campo debe ser un anillo con unidad, sin divisores de 0, donde cada elemento diferente del 0 del anillo tiene inversos respecto a la segunda operación del anillo. 6 ¿A es un anillo? , para que A sea un anillo debe ser: i) Un grupo conmutativo con la adición. ii) Un semigrupo con la multiplicación. iii) Que se verifique distributividad por izquierda y por derecha de la segunda operación respecto de la primera. 6(A,+) ¿Es un grupo conmutativo? a) Estabilidad. x a,b 0 A=R4, ¿a+b 0 A? Si, ya que a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,a4+b4), y a1+b1 0 R, a2+b2 0 R, a3+b3 0 R, a4+b4 0 R

6 a+b 0 A=R4.

b) Asociatividad. x a=(a1,a2,a3,a4),b=(b1,b2,b3,b4),c=(c1,c2,c3,c4) 0 A, tenemos: a+(b+c)=(a1,a2,a3,a4)+(b1+c1,b2+c2,b3+c3,b4+c4). = (a1+b1+c1,a2+b2+c2,a3+b3+c3,a4+b4+c4). Como la adición en R es asociativa podemos realizar los siguiente: = ((a1+b1)+c1,(a2+b2)+c2,(a3+b3)+c3,(a4+b4)+c4). = (a1+b1,a2+b2,a3+b3,a4+b4)+ (c1,c2,c3,c4). = (a+b)+c. 6a+(b+c)=(a+b)+c, x a,b,c 0 A.


c) Existencia del elemento neutro. Sea el elemento 0=(0,0,0,0) 0 A. ¿a+0=0+a=a, x a 0 A? a+0=(a1,a2,a3,a4)+(0,0,0,0) =(a1+0,a2+0,a3+0,a4+0) (adición en R) =(a1,a2,a3,a4). 0+a=(0,0,0,0)+ (a1,a2,a3,a4). =(0+a1,0+a2,0+ a3,0+a4) 8adicion en R) =(a1,a2,a3,a4). 6En A, existe el elemento 0/ a+0=0+a=a, x a 0 A. d) Existencia de inversos. ¿x a 0 A, ›-a 0 A/ a+(-a)=(-a)+a=0? Sea a=(a1,a2,a3,a4), y –a=(-a1,-a2,-a3,-a4)a+(-a)=(a1+(-a1),a2+(-a2),a3+(-a3),a4+(-a4)) a+(-a)=(0,0,0,0). Obviamente, (-a)+a=(0,0,0,0). 6x a 0 A, ›-a 0 A/ a+(-a)=(-a)+a=0. e) Conmutatividad. Sean a,b 0 A. ¿a+b=b+a? a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,a4+b4). b+a=(b1+a1,b2+a2,b3+a3,b4+a4). y como en R, a1+b1=b1+a1, a2+b2=b2+a2, a3+b3=b3+a3, a4+b4=b4+a4.6 a+b=b+a, x a,b 0 A.

6Hasta acá podemos afirmar que A es un grupo conmutativo con +. (A,C) ¿Es un monoide donde cada elemento tiene su inverso(menos el 0)? a) Estabilidad. x a,b 0 A. ab=(c1,c2,c3,c4)c1=a1b1-a2b2-a3b3-a4b4.c2=a1b2+a2b1+a3b4-a4b3.c3=a1b3+a3b1+a4b2-a2b4.c4=a1b4+a4b1+a2b3-a3b2.Se nota claramente que c1,c2,c3,c4 0 R. 6 (c1,c2,c3,c4) 0 R4=A. b) Asociatividad. x a,b,c 0 A.¿(ab)c=a(bc)? Sea ab=x, bc=y/ x1=a1b1-a2b2-a3b3-a4b4.x2=a1b2+a2b1+a3b4-a4b3.x3=a1b3+a3b1+a4b2-a2b4.x4=a1b4+a4b1+a2b3-a3b2.

y1=b1c1-b2c2-b3c3-b4c4.y2=b1c2+b2c1+b3c4-b4c3.y3=b1c3+b3c1+b4c2-b2c4.y4=b1c4+b4c1+b2c3-b3c2.


(ab)c=(x1,x2,x3,x4)(c1,c2,c3,c4). a(bc)=(a1,a2,a3,a4)(y1,y2,y3,y4). (x1,x2,x3,x4)(c1,c2,c3,c4)=(j1,j2,j3,j4). j1=x1c1-x2c2-x3c3-x4c4.j2=x1c2+x2c1+x3c4-x4c3.j3=x1c3+x3c1+x4c2-x2c4.j4=x1c4+x4c1+x2c3-x3c2.

(a1,a2,a3,a4)(y1,y2,y3,y4)=(k1,k2,k3,k4). k1=a1y1-a2y2-a3y3-a4y4.k2=a1y2+a2y1+a3y4-a4y3.k3=a1y3+a3y1+a4y2-a2y4.k4=a1y4+a4y1+a2y3-a3y2.

Entonces para que A sea asociativo, j1= k1, y así sucesivamente: j1=x1c1-x2c2-x3c3-x4c4.k1=a1y1-a2y2-a3y3-a4y4.

¿(x1c1-x2c2-x3c3-x4c4)=(a1y1-a2y2-a3y3-a4y4)? Remplazando los valores de los x´s y de los y´s ya conocidos tenemos: ¿(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)c1-(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)c2-(a1b3+a3b1+a4b2-a2b4)c3-(a1b4+a4b1+a2b3-a3b2)c4 = a1(b1c1-b2c2-b3c3-b4c4)-a2(b1c2+b2c1+b3c4-b4c3)-a3(b1c3+b3c1+b4c2-b2c4)-a4(b1c4+b4c1+b2c3-b3c2)?

Realizando toda esta operación, nos damos cuenta que si se cumple la igualdad: 6x a,b,c 0 A.(ab)c=a(bc). c) Existencia del elemento unidad. Sea a=(a1,a2,a3,a4) 0 A, y E=(E1,E2,E3,E4), queremos ver a E, como elemento unidad, entonces: aE=(a1,a2,a3,a4)(E1,E2,E3,E4)=(a1,a2,a3,a4), por definición tendríamos: a1=a1E1-a2E2-a3E3-a4E4.a2=a1E2+a2E1+a3E4-a4E3.a3=a1E3+a3E1+a4E2-a2E4.a4=a1E4+a4E1+a2E3-a3E2.

a1+a2+a3+a4= a1E1-a2E2-a3E3-a4E4 + a1E2+a2E1+a3E4-a4E3 + a1E3+a3E1+a4E2-a2E4+a1E4+a4E1+a2E3-a3E2

= a1E1+a1E2+a1E3+a1E4+a2E1-a2E2+a2E3-a2E4+a3E1-a3E2-a3E3+a3E4+a4E1+a4E2-a4E3-a4E4.

= a1(E1+E2+E3+E4) + a2(E1-E2+E3-E4) + a3(E1-E2-E3+E4) + a4(E1+E2-E3-E4)a1+a2+a3+a4= a1(E1+E2+E3+E4) + a2(E1-E2+E3-E4) + a3(E1-E2-E3+E4) + a4(E1+E2-E3-E4)


6 E1+E2+E3+E4=1 E1-E2+E3-E4=1 E1-E2-E3+E4=1 E1+E2-E3-E4=1 E1+E2+E3+E4=E1-E2+E3-E4

2E2=-2E4

2E2=2(-E4)E2=-E4

E1-E2+E3-E4=E1-E2-E3+E4

2E3=2E4

E3=E4

E1+E2+E3+E4 = E1-E4+E4+E4

= E1+E4 = 1= E1=E4-1.

6 E=(E1,E2,E3,E4)=(E4-1,-E4,E4,E4). *Determinar el valor de E4 con ejemplos.

6 Si logramos verificar que existe unidad, diremos que es un monoide. d) existencia de inverso x a 0 A/ a…0. ¿ x a…0 0 A, ›a-1/ aa-1=E?

6 Si lograríamos ver que se cumpla claramente la propiedad (c) y (d), afirmaríamos que A es un campo.

*Afirmar o negar que A es un campo.


I. CCAAMMPPOO..

1. Definición.Un campo, es un cuerpo conmutativo. Ejemplos. (ú,+,C), (Q,+,C), (C,+,C). NOTA. Todos los Zm, con m un numero primo, son campos. TEOREMA. Si A es un anillo conmutativo, con unidad, y tiene por únicos ideales a {0} y A, entonces A es un campo. xa…0, b…0/ ab=1 Dado a…0 en A. Determinamos Aa={xa/ x 0 A} PRUEBA. Como a=1a 0 Aa 6 a 0 Aa … Š.Sea xa, za 0 Aa xa+(-za)=(x+(-z))a 0 Aa xa+(-za) 0 Aa (xa)(za)=(xaz)a, xaz 0 A

6(xaz) 0 Aa. xm 0 A y xxa 0 Aa. m(xa) = (mx)a 0 Aa. (izquierda) (xm)a x(am)=(xm)a 0 Aa. (derecha)

6Aa es ideal de A. Como Aa es {0} ó A, y es distinto de 0, 6Aa = A. Cada elemento de A, será múltiplo de a…0 para un cierto elemento de A. Por tanto Aa = A. 1=ba 0a=0 Como a…0 de A. › b…0/ ab=1. (entonces b es el inverso de a) Por tanto el anillo A es un campo.


Extensión a Campo. Sea el anillo Z, conmutativo, con unidad y sin divisores de 0, determinamos: ZxZ={(a,b)/ a,b 0 Z}

Cada (a,b) se considera: ba .

(2,3) 632 , (5,7) 6

75 , etc.

Para el elemento (2,0) 6 ò02 .

Entonces, tenemos el conjunto: H={(a,b)/ a,b 0 Z i b…0}

(2,3) 632 al resultado obtenido, le llamaremos “racional”.

Definimos en H la relación “-”,

(a,b) - (c,d) ] ad=bc

Demostraremos que la relación “-”, es de equivalencia.

Para que “-”, sea una relación de equivalencia debe ser reflexiva, simétrica y transitiva. Entonces:

i) Sea (a,b) 0 H. ¿(a,b)-(a,b)? Como ab=ba, por ser el producto conmutativo, entonces afirmamos que:

(a,b)-(a,b).

6la relación es reflexiva.

ii) Sean (a,b), (c,d) 0 H. ¿Si (a,b)-(c,d), 6 (c,d)-(a,b)?

Si (a,b)-(c,d), 6 ad=bc.

Si (c,d)-(a,b), 6 cb=da. Y como el producto es conmutativo, entonces ad=da, bc=cb.

6 Si (a,b)-(c,d), 6 (c,d)-(a,b)

6 La relación es simétrica.

iii) Sean (a,b), (c,d), (e,f) 0 H. ¿Si (a,b)-(c,d) i (c,d)-(e,f) 6 (a,b)-(e,f)?

Si (a,b)-(c,d) 6 ad=bc.

Si (c,d)-(e,f) 6 cf=de.

adcf=bcde 6 af=be 6 (a,b)-(e,f).

6Si (a,b)-(c,d) i (c,d)-(e,f) 6 (a,b)-(e,f)

6 La relación es transitiva.


6Como la relación es reflexiva, simétrica y transitiva, podemos afirmar que la relación es de Equivalencia. Determinamos el conjunto F={[(a,b)]/ (a.b) 0 H} Que resulta ser un campo, con las operaciones: Adición: [a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)] Multiplicación: [(a,b)] [(c,d)]=[(ac,bd)]

[(a,b)]=[(c,d)] ] (a,b)-(c,d) entonces se nota que se esta definiendo CLASES DE EQUIVALENCIA. Sea (x,z) 0 [(a,b)] y [(a,b)]=[(c,d)]

6 (x,z) 0 [(c,d)] y por definición de clases de equivalencia, tenemos que:

(a,b)-(c,d) 6 (a,b)-(x,z) 6 (x,z)-(c,d)


PPAARRTTEE IIIIII

J. IINNTTRROODDUUCCCCIIOONN AA EESSPPAACCIIOOSS VVEECCTTOORRIIAALLEESS..

1. ESPACIOS VECTORIALES. Definición.Un K – espacio vectorial o un espacio vectorial sobre un campo K, es un conjunto V …Š, dotado de una operación INTERNA llamada “ADICION”, que transforma pares de elementos de V en elementos de V. + : V x V 6 V

(A,B) 6 A+B (resultado llamado suma) y otra EXTERNA, llamada “MULTIPLICACION POR ESCALARES” que transforma un elemento % 0 K y otro A 0 V en uno de B. %A llamado múltiplo escalar de A.

F : K x V 6 V

(%,A) 6 %AVerificándose las siguientes propiedades:

i) (A + B) 0 V, x A,B 0 V (Cerradura) (Estabilidad para la Adición) ii) %A 0 V, x% 0 K y x A 0 V (Estabilidad para la operación externa) iii) A + (B + C) = (A + B) + C, x A,B,C 0 V (Asociatividad) iv) A + B = B + A, x A,B 0 V (Conmutatividad) v) ›! elemento en V, denotado por 0, verificando: A + 0 = 0 + A = A, x A 0 V

(Existencia de Identidad) vi) x A 0 V, ›! elemento en V, denotado por –A, llamado INVERSO DE A, tal

que: A + (-A) = (-A) + A = 0 vii) (a + b)A = aA + bA, x a,b 0 K y x A 0 V. viii) a(A + B) = aA + aB, x a 0 K y x A,B 0 V. ix) a(bA) = (ab)A = b(aA), x a,b 0 K y x A 0 V. x) 1A = A, x A 0 V.

Esta definición la resumimos de la siguiente forma: Un K – espacio vectorial o un espacio vectorial sobre el Campo K, es un conjunto V …Š, dotado de una operación INTERNA y otra EXTERNA, verificándose:

i) V es un grupo conmutativo con la operación interna. ii) %A 0 V, x% 0 K y x A 0 V (Estabilidad para la operación externa) iii) (a + b)A = aA + bA, x a,b 0 K y x A 0 V. iv) a(A + B) = aA + aB, x a 0 K y x A,B 0 V. v) a(bA) = (ab)A = b(aA), x a,b 0 K y x A 0 V. vi) 1A = A, x A 0 V.

Los elementos del K – espacio vectorial V se llaman VECTORES y se simbolizan por: A,B,C,D,… de los elementos del Campo (o cuerpo conmutativo) se llaman ESCALARES y se simbolizan por:


a,b,c,d,… %,$,T…La ADICION transforma pares de elementos de V en elementos que estan en V (Por eso se llama operación interna), la MULTIPLICACION POR ESCALARES, transforma un elemento de V, y otro que esta fuera de V (Por eso se llama operación externa). El elemento “0”, descrito en la propiedad (v) se llama VECTOR CERO o también VECTOR NULO de V. 1 es el ELEMENTO UNIDAD del Campo K. xA de V, el elemento –A se llama INVERSO de A.

Ejemplo de Espacio Vectorial. Sea K = (Z5, r, u) un campo. Si en V = K x K = {(a1,a2)/a1,a2 0 K} definimos las operaciones: Adición: A + B = (a1 + b1, a2 + b2). Multiplicación por escalares: aA = (aa1,aa2). Observamos que estas operaciones están definidas en base a las operaciones del campo K. Se verifica que, V con estas operaciones es un ESPACIO VECTORIAL sobre el campo K, en efecto: i) Si A=(a1,a2) y B=(b1,b2) son dos elementos arbitrarios de V, se tiene A + B = (a1 + b1,a2 + b2), por definición de +. Y claramente (A + B) 0 V ya que “a1 + b1” y “a2 + b2” son de K, por ser campo hay estabilidad de V para “+”. ii) A + (B + C) = (a1,a2) + (b1 + c1, b2 + c2) = (a1 + (b1 + c1), a2 + (b2 + c2)) = ((a1 + b1) +c1, (a2 + b2) + c2). 6 (A + B) + C = A + (B + C). Se cumple la asociatividad de “+” en V. Hay que tener en cuenta, que las operaciones en V, son de la siguiente forma: Si A=(1,2), B=(3,4), entonces: A + B=(1,2)+(3,4) = (1r3,2r4) = (4,1). Si consideramos, por decir al escalar a=3 de K, se tiene: aA=3(1,2) = (3u1,3u2) = (3,1) aB=3(3,4) = (3u3,3u4) = (4,2) los elementos de V son {(0,0),(0,1),(0,2), … ,(4,3),(4,4)} en total 25 o(V)=25. Si A=(1,2); entonces –A=(4,3) V es un espacio vectorial finito. iii) A + B = (a1 + b1, a2 + b2) = (b1 + a1, b2 + a2) = B + Aentonces, se cumple la conmutatividad. iv) En V, existe el elemento 0=(0,0), que cumple: A + 0=(a1,a2) + (0,0) = (a1 + 0,a2 + 0) = (a1,a2)6 A + 0 = A0 + A=(0,0) + (a1,a2) = (0 + a1,0 + a2) = (a1,a2)6 0 + A = A

6 A + 0 = 0 + A = A, xA 0 V.


v) xA=(a1,a2) de V, › -A=(-a1,-a2)/ A+(-A)=(-A)+A=0. Es decir, para A=(1,1), › -A=(4,4)/ A+(-A)=(1,1)+(4,4)=(0,0)=0 Se cumple la existencia de elementos Inversos.

Así podemos verificar cada una de las propiedades, lo ideal seria hacerlo con todos los elementos del campo, pero resultaría un trabajo muy tedioso y largo. Por los cual si usamos elementos arbitrarios reducimos esta labor. 2. SUBESPACIO Definición.Un subespacio de un K – espacio vectorial V, es un subconjunto W … Š de V, que verifica:

i) (A + B) 0 W, xA,B 0 W (estabilidad de W, para la adición de V) ii) %A 0 W, x% 0 ú y x A 0 W (estabilidad de W, para la operación externa de

V) Ejemplo. Sea el Campo K = (Z5, r, u), y el espacio vectorial V=K2 sobre el campo K. ¿Es el subconjunto de V, W={(a1,a2) 0 V/ a1+a2=0} un subespacio de V? En V, › el vector 0=(0,0)/ 0+0=0

6 0 0 W, W … Š.

Si A=(a1,a2), B=(b1,b2) son de W, 6 a1+a2=0=b1+b2; luego A+B={a1+b1,a2+b2}. De la condición de que A,B son de W se tiene que: a1+a2+ b1+b2=0 Resultando que (A+B) 0 W. Finalmente, si A=(a1,a2) 0 W y % 0 K, se tiene: a1+ a2=0 y también %A=(%a1,%a2)

6%a1 + %a2=%(a1+a2)=%0=0 6 %A 0 W. Resultando ser W, un subespacio de V. TEOREMA 1 Para cualquier K-espacio vectorial V, se verifica:

i) a0=0, xa 0 K. ii) 0A=0, xA 0 V. iii) de kA=0, se implica que k=0 ó que A=0. iv) –(kA)=(–k)A v) –(–A)=A; para elementos arbitrarios a,k de K y A en V.

PRUEBA. i) Para elementos arbitrarios a 0 K y A 0 V, se tiene que el múltiplo escalar aA se

puede expresar como: aA=a(A+0)=aA+a0. 6aA = aA+a0.

6a0=0, por la existencia de inversos en V. Verificándose para cualquier a 0 K.

ii) Similarmente, aA=(a+0)A=aA+0A 6aA= aA+0A 60A=0, por la misma razón anterior, para cualquier A de V.


iii) Con kA=0, supongamos que k…0 en K, entonces ›k-1(Inverso de k respecto a la segunda operación del Campo K), tal que k-1k=1. Por tanto: k-1(kA)= k-1(0)=0 6 k-1(kA)=0 6 1A=0 6 A=0. Con kA=0, supongamos que A…0, entonces debe ser k=0, pues de lo contrario, existiría

k-1 en K/ k-1k=1 y k-1(kA)= k-1(0)=0 6 (k-1k)A=0 61A=0 6 A=0, que seria una contradicción a la condición A…0. Por tanto, Si kA=0, se implica que k=0 ó que A=0. iv) Al operar un vector cualquiera de V con su inverso (mediante la adición +) se obtiene el vector cero, entonces: -(kA)+kA=0=(-k+k)A=(-k)A+kA 6-(kA)+kA=(-k)A+kA 6-(kA)=(-k)A. x k 0 K i x A 0 V.

v) –(–A)= –((–1)A)=(–(–1))A=1A=A 6 –(–A)=A Al definir la operación interna “+” en un K – espacio vectorial V, se dio el resultado (A+B) para dos elementos arbitrarios A,B de V. Definiremos inductivamente la suma de n vectores arbitrarios de V(para n$2) Definición. (Definición inductiva de la suma) A1 + A2 ya esta dado (por definición de Adición “+” en V). Supongamos que para r vectores A1, A2,…, Ar. esta dada la SUMA: A1 + A2 + … + Ar de estos vectores; entonces queda definida la SUMA de (r+1) vectores A1, A2,…, Ar, Ar+1. Luego, Por inducción generalizamos y decimos que se tiene por DEFINICION DE SUMA de n vectores A1, A2,…, An, x n$2.

*La inducción se vera en la parte K del texto. 3. COMBINACION LINEAL Definición.Para vectores arbitrarios A1, A2,…, An, de un K – espacio vectorial V, el vector de la

forma a1A1+ a2A2+ … anAn=∑=

n

iiiAa

1

. Se llama COMBINACION LINEAL de los vectores

A1, A2,…, An para escalares a1,a2, … , an de K. Definición.Para vectores arbitrarios A1, A2,…, An, de un K – espacio vectorial V:

i) Una COMBINACION LINEAL NULA (ó COMBINACION NULA) de ellos, es cualquier COMBINACION LINEAL que dé el VECTOR CERO; es decir: a1A1+ a2A2+ … anAn=0

ii) Una COMBINACIOL LINEAL TRIVIAL de ellos, es una COMBINACION LINEAL donde todos los escalares son ceros, es decir 0A1+ 0A2+ … 0An.

Definición.Dado los vectores A1, A2,…, An, de un K – espacio vectorial V:

i) Se dice que son LINEALMENTE DEPENDIENTES entre si, o que determinan un “conjunto linealmente dependientes” de vectores, si existe (por lo menos una) combinación lineal de ellos que siendo NULA NO ES LA TRIVIAL.

ii) Se dice que estos vectores son LINEALMENTE INDEPENDIENTES entre si, o que determinan un “conjunto linealmente independientes” de vectores, si no son linealmente dependientes; es decir, que no existe ninguna combinación lineal de ellos, que siendo NULA no sea TRIVIAL. Esto significa que la UNICA combinación lineal NULA entre ellos, es la TRIVIAL.


Ejemplo. En el R – espacio vectorial V=R2, los vectores A=(2,0), B=(1,1), C=(-1,1) son linealmente dependientes ya que existe la combinación lineal: 1A + (-1)B + 1C = 0, Nula que no es trivial. Y además, en el mismo espacio vectorial anterior, los vectores A=(1,1), B=(-2,1), son linealmente independientes, pues si se considera cualquier combinación nula de ellos aA + bB = a(1,1) + b(-2,1) = 0 = (0,0), se tiene: (a-2b,a+b)=(0,0) ] a-2b =0 i a+b=0. Lo que implica que debe ser a=0, y b=0. Es decir que esta combinación lineal nula tiene que ser necesariamente la trivial. Definición.Se dice que un subconjunto H … Š arbitrario de un K – espacio vectorial V es LINEALMENTE INDEPENDIENTE, si todo subconjunto finito de H es linealmente independiente. De lo contrario, se dice que H es LINEALMENTE DEPENDIENTE. Es decir, si algún subconjunto finito de H es linealmente dependiente, entonces, H es linealmente dependiente. Ejemplo. En el R – espacio vectorial V=R4, se considera los vectores, A1=(1,2,3,4), A2=(-1,-2,3,4), A3=(1,1,-1,1), A4=(2,4,-6,-8), A5=(1,0,0,1). Estos vectores resultan dependientes, porque los vectores A2 y A4 son linealmente dependientes; ya que existe la combinación lineal nula 2A2 + 1A4 = 0, que no es la trivial. Entonces A1,A2,A3,A4,A5 son linealmente dependientes. TEOREMA 2 Sean r+h vectores de un K – espacio vectorial V, V1, V2, … , Vr, Vr+1, … , Vr+k; entonces

se verifica que: ∑∑∑+

=

+

+==

=+kr

ii

kr

rii

r

ii VVV

111

TEOREMA 3 Si H … Š, es un subconjunto arbitrario de un K – espacio vectorial V; entonces, el conjunto formado por todas las combinaciones lineales a1A1+ a2A2+ … akAk de un numero finito de elementos de H, los ai 0 K, es un subespacio de V. 4. SUBESPACIOS GENERADOS Definición.Si H … Š, es un subconjunto arbitrario de un K – espacio vectorial V, entonces el subespacio de V, formado por todas las combinaciones lineales de elementos de H, en numero finito, se llama “Subespacio de V GENERADO por H” y se denota por gen(H). Si H={A1, A2,…, Ar}, entonces, el generado por H se denota por gen{A1, A2,…, Ar}

Ejemplo. En el R – espacio vectorial V=R3, se tiene el subconjunto H={A1=(2,1,2),A2=(-1,-2,-1)}; entonces el subespacio gen(H) es: {v 0 V/ v=a1(2,1,2)+a2(-1,-2,-1)}

Si v=(v1,v2,v3) 6 v1=2a1-a2

v2=a1-2a2v3=2a1-a2


6 v1= v3 i v2 0 R.

6gen(H)={(v1,v2,v3) / v1= v3 i v2 0 R} TEOREMA 4 Si {Hi} es una familia de subespacios de un K – espacio vectorial V; entonces,

iiH∩ es un subespacio de V.

5. SUMA DE SUBESPACIOS Definición.Para subespacios H1,H2, … ,Hr de un K – espacio vectorial V, el conjunto Hi denotado de la siguiente forma: Hi={A1 + A2 + … + Ar/ Ai 0 Hi} para i=1,2, … ,r. se llama SUMA DE LOS SUBESPACIOS H1,H2, … ,Hr y se simboliza por:

H1 + H2 + … +Hr = ∑=

r

iiH

1

.

6. BASES Definición.Un subconjunto B … Š de un K – espacio vectorial V, se dice ser BASE para V ]verifica las condiciones:

i) B es linealmente independiente. ii) V=gen(B).

Podemos interpretar la parte (ii) diciendo: “Todo vector de V se expresa como combinación lineal de elementos de B”. Ejemplo. En el R – espacio vectorial V = R2, sea el conjunto B={A1=(1,0), A2=(0,1)}. Veremos que B es base para V. i) Si a1(1,0)+ a2(0,1)=0, es nula, entonces (a1,a2)=(0,0) ] a1=0 i a2=0, o sea que la combinación lineal debe ser nula y además trivial. 6B es linealmente independiente. ii) Si X=(x1,x2) es arbitrario de V, entonces se tiene: X=(x1,x2)=(x1,0)+(0,x2)= x1(1,0)+ x2(0,1) = x1A1 + x2A2

6V=gen(B).

6Es la Base para V.

*El tema de ESPACIOS VECTORIALES es mucho mas amplio de lo expuesto hasta aquí, el cual será detalladamente estudiado en un curso de MATEMATICAS DISCRETAS II.


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> EJERCICIOS RESUELTOS >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> a) Sea el Campo K = (Z5, r, u), y el espacio vectorial V=K2 sobre el campo K. ¿Es el subconjunto de V, W={(a1,a2) 0 V/ a1+a2=1} un subespacio de V? Solución. › el vector A=(1,0) en V/1+0=1 6 A=(1,0) 0 W

6 W … ŠSean A=(a1,a2) y B=(b1,b2) de W; entonces a1+a2=1=b1+b2

Para A+B=(a1+b1,a2+b2) y resulta que: (a1+b1+a2+b2)= 1+1=2…1

6(A+B) ó W. y concluimos que W no es subespacio de V. Por ejemplo, A=(1,0) y B=(0,1) son de W, A+B=(1,1) lo que implica que 1+1=2 6(A+B) ó W. b) Probar el TEOREMA 3. (Pág. 72 ) Si H … Š, es un subconjunto arbitrario de un K – espacio vectorial V; entonces, el conjunto formado por todas las combinaciones lineales a1A1+ a2A2+ … akAk de un numero finito de elementos de H, los ai 0 K, es un subespacio de V. Solución. Sea D el conjunto de todas esas combinaciones lineales. i) Como H … Š, entonces D … Š.ii) El TEOREMA 2, da la estabilidad de D para “+”

iii) Sea a 0 K, y A=∑=

k

iiiAa

1

de D. (sus elementos son combinaciones lineales de

elementos de H en numero finito),entonces, aA=a(∑=

k

iiiAa

1

)

aA=a( )1

1kk

k

iii AaAa +∑

−

=

=a )(1

1∑−

=

k

iiiAa +(aak)Ak.

Se sigue aso con la inductiva y se obtiene aA=(∑=

k

iii Aaa

1)( ), lo que muestra que aA 0 D,

estable para la operación externa. 6D es subespacio de V.


K. IINNDDUUCCCCIIÓÓNN MMAATTEEMMAATTIICCAA..

1. INDUCCION MATEMATICA. PPoossttuullaaddoo ddee IInndduucccciióónn..Sea A un conjunto de números naturales (A d ù), cumpliendo las condiciones:

i) 0 0 Aii) de h 0 A, se implica que (h+1) 0 A

entonces, A = ù, o que todo numero natural n es de A. TEOREMA (Principio de Inducción Matemática) Sea a0 0 ù, y A d ù, cumpliendo las condiciones:

i) a0 0 Aii) De la hipótesis que h 0 A, para h $ a0, se implica que (h+1) 0 A, entonces

podemos afirmar que todo numero natural n $ a0 esta en A. PRUEBA. Sea el conjunto B formado por todos los números naturales n menores que a0, es decir: B = {n 0 N/ n < a0} y hagamos que D = B c A. Si logramos ver que D = N, estaría resuelto nuestro problema. En efecto, tratemos de utilizar el postulado de inducción. i) Veamos donde esta el “0” (cero) Si fuera 0 < a0 6 0 0 B, de donde 0 0 D, pues B d D.

Si fuera 0 = a0 6 0 0 A, de donde 0 0 D, pues A d D.

6 0 0 D. ii) Sea h 0 D = B c A; entonces h 0 B w h 0 A:

6) Si h 0 B 6 h < a0 , resultando h + 1 # a0, luego

Si h + 1 < a0 6 (h + 1) 0 B y por tanto (h + 1) 0 D, pues B d D.

Si h + 1 = a0 6 (h + 1) 0 A y por tanto (h + 1) 0 D, pues A d D.

6) Si h 0 A 6 h Û a0 , 6 h $ a0, que por la condición “ii)” del teorema, implica que (h+1) 0 A y por tanto: (h+1) 0 D pues A d D. Por Consiguiente, de h 0 D, se implica que (h+1) 0 D. Es decir resumiendo, se cumple que:

i) 0 0 D. ii) de h 0 D, se implica que (h+1) 0 D.

Ambas condiciones que nos permiten aplicar el postulado de inducción y concluir en que D = ù.

Entonces, como B = {n 0 ù/ n < a0}, y D = ù = B c A, se tendrá que A esta formado por todos los números naturales n que no son menores que a0 (n Û a0) , es decir, A esta formado por todos los naturales n $ a0.


A = {n 0 ù/ n $ a0}. (Lo que queríamos probar) Establecemos una primera consecuencia de este teorema. Sea a0 un Natural, y para cada n $ a0, sea P(n) una proposición que depende de n, y que puede ser VERDADERA o FALSA. COROLARIO 1 Dada la proposición P(n); supongamos que:

i) P(a0) sea Verdadera. ii) De la verdad de P(h), para h $ a0, se implica que P(h+1) es VERDADERA;

entonces P(n) es VERDADERA, x natural n $ a0.

PRUEBA. Sea el conjunto A = { n 0 ù/ P(n) es verdad}, es decir n 0 A ] P(n) es V. Entonces: i) Afirmamos que a0 0 A, ya que P(a0) es V. ii) Para h $ a0 y de la verdad de P(h) se implica que P(h+1) es V. entonces, como n 0 A ] P(n) es V; se tiene que para h $ a0 y de h 0 A se implica que (h+1) 0 A. Por consiguiente aplicando el Principio de Inducción, x n $ a0, resulta n 0 A; es decir, P(n) es VERDADERO x n $ a0.

Ejemplos. a) Sea la proposición; P(n): “n3 + 2n es divisible por 3”, x n $ 1, Verificarla. Solución. Para n = 1, “13 + 2(1) = 3, 3 es divisible por 3” 6 P(1) es V.

Para n = 2, “23 + 2(2) = 12, 12 es divisible por 3” 6 P(2) es V. Para n = 3, “33 + 2(3) = 33, 33 es divisible por 3” 6 P(3) es V. …………………………………….. ……………………………………………………. ………………………………………………………………….. Supongamos que P(h) es V; es decir que: “h3 + 2h es divisible por 3” Entonces h3 + 2h = 3m, para algún m 0 Z, luego: (h+1) 3 + 2(h+1) = h3 + 3h2 +3h + 1 +2h + 2 = (h3 +2h) + (3h2 + 3h +3) = 3m +3(h2 + h +1) que será divisible por 3, lo que significa que P(h+1) es V. Aplicando el COROLARIO 1, generalizamos y decimos que: P(n) es V, x n $ 1, o que “n3 + 2n es divisible por 3”, x n $ 1. En los 3 pasos, tenemos las denominaciones siguientes:

i) El determinar que P(1) es V, se llama BASE DE INDUCCION ó PASO BASE. ii) El suponer que P(h) es V, se llama HIPOTESIS DE INDUCCION. iii) Llegar a que P(h+1) es V, se llama ETAPA DE INDUCCION.

b) Sea la Proposición; P(n): “n4 – 4n2 es divisible por 3”, x n $ 2, Verificarla.


*************BASE DE INDUCCION******************* Para n = 2, “24 – 4(22) = 0, 0 es divisible por 3” 6 P(2) es V.

Para n = 3, “34 – 4(32) = 45, 45 es divisible por 3” 6 P(3) es V. *************HIPOTESIS DE INDUCCION******************* Supongamos que para n=h, P(h) es verdadero, con h $ 2, es decir, h4 – 4h2=3m, para algún m 0 Z, luego: ************ETAPA DE INDUCCION****************** (h+1)4 – 4(h+1)2 = h4 – 4h2 + 4h3 + 6h2 – 4h – 3 = 3m + 4h3 + 6h2 – 4h – 3 ………………………………… Resultando: (h+1)4 – 4(h+1)2 divisible por 3, 6 P(h+1) es V. Aplicamos el COROLARIO 1, y generalizando, decimos que P(n) es V, x n $ 2; o que “n4 – 4n2 es divisible por 3”, x n $ 2. c) Sea la Proposición; P(n): “ 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1 – 1”, x n $ 1, Verificarla. *************BASE DE INDUCCION******************* Para n = 1, “1 + 21 = 3, 3 = 21+1-1 = 4 – 1” 6 P(1) es V.

Para n = 2, “1 + 21 + 22 = 7, 7 = 22+1-1 = 8 – 1” 6 P(2) es V. *************HIPOTESIS DE INDUCCION******************* Supongamos que para un natural n = h, P(h) es V, es decir que: “1 + 2 + 22 + 23 + … +2h = 2h+1 – 1” ************ETAPA DE INDUCCION****************** Entonces, para n = h+1, P(h+1) es: “1 + 2 + 22 + 23 + … + 2h + 2h+1 = (2h+1 – 1) + 2h+1”

= 2(h+1) + 1 – 1Lo que indica que P(h+1) es V. y utilizando el COROLARIO 1, generalizamos diciendo que: P(n) es V, x n $ 1; es decir: “ 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1 – 1”, x n $ 1

COROLARIO 2 Sea A un cierto conjunto, n0 0 ù, y supongamos que:

i) Se ha definido el elemento an, de A. ii) Se ha dado un criterio tal que, si se supone que ha sido definido el elemento

ak de A para algún k $ n0, también queda definido el elemento ak+1 de A. Entonces, x natural n $ n0, queda definido el elemento an de A.

PRUEBA. Sea B = { n 0 ù/ an de A esta definido}, es decir, n 0 B ] an de A esta definido. Luego n0 0 B, pues por la condición an de A esta definido. Supongamos que para k $ a0, sea k 0 B; entonces, al elemento ak de A esta definido, y por la segunda condición del COROLARIO 2, el elemento ak+1 queda también definido, de donde se implica que (k+1) 0 B. Entonces, aplicando el Principio de Inducción (TEOREMA), se tiene que, x n $ n0, n es de B; es decir, el elemento an de A esta definido x n $ n0.


Ejemplos. a) Definir el factorial del numero natural n, que se denota por n!, x natural n. Solución. i) Para n = 0, se define 0!=1 ii) Suponiendo definido k! para el natural k $ 0, se define el factorial (k+1)!, del siguiente numero natural. Entonces aplicando el COROLARIO 2, queda definido el factorial de n! x natural n $ 0. Veamos:

0! = 1 1! = (0+1)! = 0!(1) = 1 x 1 2! = (1+1)! = 1!(1+1) = 1 x 2 3! = (2+1)! = 2!(2+1) = 1 x 2 x 3 4! = (3+1)! = 3!(3+1) = 1 x 2 x 3 x 4 y en general tenemos: n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x (n-1)n b) Cualesquiera sean los números naturales n,m y x a de R multiplicativo (a…0), se cumple que am+n = aman

Inducimos sobre n (puede ser sobre m) y se considera m fijo. Sea A el conjunto de todos los números naturales n, tales que am+n = aman sea verdadera: i) 0 0 A, pues am+0 = am = am(1) = am(a0)ii) Supongamos que, para el natural n = h, sea verdadero am+h = amah, entonces: am+(h+1) = a(m+h)+1 = am+ha = (amah)a = am(aha) = amah+1 6 (h+1) 0 A. Por tanto, aplicando el principio de Inducción A = ù (todo natural n $ a0

esta en A) 6 Se cumple que am+n = aman xn $ 0. c) Si a…0…b son números reales, verificar que: (ab)n = anbn, x natural n $ 0. P(0) es V, pues (ab)0 = 1 = a0b0 = 1(1) = 1 Supongamos que para el natural n=h (h $ 0), P(h) es V, es decir (ab)h = ahbh. Entonces: (ab)h+1=(ab)h(ab) = (ahbh)(ab) = (aha)(bhb) = ah+1bh+1

6 (ab)h+1 = ah+1bh+1 Lo que significa que , P(h+1) es V. Consiguientemente generalizamos: (ab)n=anb, n $ 0.


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> EJERCICIOS PROPUESTOS. Acá les presentamos una serie de ejercicios tomados de exámenes y afines, los cuales no se encuentran en orden, después de haber estudiado todo el libro, no habrá ninguna dificultad en resolverlos. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

1) Comprobar el siguiente TEOREMA: “Todo Subespacio W de un K – espacio vectorial V, es un K – espacio vectorial para las operaciones de V”. 2)

a) Probar que: nn > n! (¿A partir de que valor de n?)

b) Hallar: ∑=

n

ii

1

3)2(

c) Hallar: ∑=

−n

i

ii1

3)12( y verificar por inducción:

3) Determine todas las permutaciones posibles en S = {1,2,3,4,5}, dándole la simbología correspondiente a cada uno, indicando su signo. (Son 5! = 120 permutaciones posibles) 4) El Conjunto E=(Z23,r,u), ¿Presenta estructura de Campo?, explicar claramente que propiedades cumple y cuales no.

5) Sea el Conjunto J={�,�,�,�} y la operación �, tal que:

� � � � �

� � � � ��

Es el conjunto J, con la operación �, ¿un Grupo?. 6) Si A es un subgrupo normal, ¿AB será también un subgrupo normal? 7) Probar el TEOREMA 2 de la pagina 72, y el TEOREMA 4 de la pagina 73. 8) Hallar dos subespacios distintos en el R – espacio vectorial V=R3, que contengan al vector (1,-1,0) 9) Describir un subespacio de V= R3 que no contenga al vector (1,2,1). 10) Hallar todos los subespacios del K – espacio vectorial V=K2, siendo K=(Z2,r,u). 11) Sea V=R con Q – espacio vectorial (con las operaciones usuales) ¿es cierto que

3 es combinación lineal 1 y 2 en V?, ¿vale lo mismo si se considera a V como R – espacio vectorial?


12) Sea un conjunto E … Š y un campo K, y el K – espacio vectorial V={f/ f:E 6 K} descrito si f 0 V, se define: El soporte de f es un subconjunto de E, simbolizado por sop(f) y dado por {x 0 E/ f(x) …0} sop(f) = {x 0 E/ f(x) … 0}, probar que: i) sop(f+g) d sop(f) c sop(g). ii) sop(%f)=sop(f), si % … 0 i % 0 K. iii) sop(O)= Š.

13) Si D es un anillo Booleano, demostrar que D, es un anillo conmutativo. 14) Sea E={f: A 6 B/ f es una función}, siendo B el anillo Z3, y A={a,b} un conjunto en E, se define las operaciones: Adición: (f+g)(x) = f(x) + g(x), para todo x de A; Multiplicación: (fg)(x) = f(x)g(x), para todo x de A. Mostrar detalladamente, que E, con estas operaciones es un anillo. Describir los elementos de E. 15) Aplicando la inducción, demostrar que 2n > n3, para todo n $ 10. 16) En B={(a,b)/ a,b son de Z, con b … 0} se define la relación R:” (a,b)R(c,d) ] ad = bc” ¿es R una relación de equivalencia?, si lo fuera dar 3 elementos de B que sean equivalentes y 3 que no lo sean. 17) ¿Es el subconjunto H={(a,b,c)/ a+b+c=1} del R – espacio vectorial V=R3, un subespacio?. 18) Demostrar que un anillo A, no tiene divisores de cero ] A-{0}, es un subsemigrupo del semigrupo multiplicativo A. 19) ¿Es A=Z9, un campo? Explicar minuciosamente, las propiedades que se cumplan y si hubieran las propiedades que no se cumplan. 20) Dado un subgrupo E de un grupo W, se define en W, una relación R: “Para a,b de W, aRb ] (-a)b en E” ¿es R una relación de equivalencia?. Si lo fuera, demostrar que aE = [a], x a de W. Explicar detalladamente. 21) Dado un homomorfismo de grupos g: A 6 B; demostrar que el núcleo y la imagen de g, son subgrupos de A y B, respectivamente. 22) En el conjunto G, de los reales diferentes de cero, se define la operación: aLb =a+b-ab, en base a las operaciones usuales; demostrar que G es un grupo. 23) Se da el conjunto D={0,1,2,3,4,5} dotado de la operación que se define mediante la tabla, ¿es D un grupo?, si lo fuera elegir un subgrupo normal B de D (diferente de lo triviales), justificando debidamente, y presentar las clases laterales izquierdas, que se han determinado con este subgrupo B.


L 5 4 0 2 1 35 4 3 1 0 2 53 5 4 0 2 1 31 0 3 5 4 3 12 1 0 4 3 5 20 2 1 3 5 4 04 3 5 2 1 0 4

24) Si G es un grupo cíclico de orden 15, generado por un elemento a de G. Mostrar que, a3, genera un subgrupo A de G, con o(A)=5, que a5 genera un subgrupo B de G, con o(B)03, y que G se puede descomponer en el producto directo de los subgrupos A y B. 25) Dado el grupo G=S3, hallar un subgrupo de P(G), que sea isomorfo con G. 26) Dados los grupos A y B, en G=AxB, se define la operación “+”: (a,b)+(c,d)=(ac,bd), con ac en A, y bd en B; verificar que G, con esta operación, es un grupo. 27) En G=R–{1}, se define la operación Œ, “aŒb=a+b-ab, x a,b de G” Demostrar que G, es un grupo. 28) Sea G=(R+,@) con la multiplicación usual, y D= (R,+) con la adición usual. Se define la función: f: G 6 D, tal que, F(a)=log10a, x a de G. ¿Es un isomorfismo?, explicar. 29) Dado los grupos G=(Z4,r) y el grupo de Klein, ¿son estos grupos isomorfos? 30) Dado un grupo G, y un elemento fijo b de G, se determina el conjunto E={z 0G/bz=zb} ¿Es E un subgrupo de G? 31) Del grupo G=S3, G={a, b, c, d, e, f} a=(12)(12), b=(23), c=(13), d=(12), e=(123), f=(132), se considera el subgrupo E={a,e,f}. En G se define la relación: “x/z(modE) ]x-1z 0 E”, ¿Es de equivalencia esta relación?. Explicar. Si lo fuera dar todas las clases de equivalencia.

32) En G=R(reales) se define la operación Ÿ:aŸb= a+b-1. ¿Es G con la operación Ÿ,un grupo?, Explicar. Si lo fuera, Hallar los inversos de 0,1/2,3/4, 2 ,pi, dándolos en una tabla y verificando esta condición. 33) Sea V={(x1,x2)/ x1 i x2 0 R}, grupo, con la operación “+” de la siguiente forma:

+: V x V 6 V

(A,B) 6 A+B + A + B =(a1+b1,a2+b2). ¿es H={(x,y) 0 V/x=2y}, un subgrupo de V?


34) Sea G un grupo y {H%} una familia de subgrupos de G. Demostrar que la intersección de los grupos de G es un subgrupo. 35) Hallar todas las clases de equivalencia en S3.

36) Sea G=S3, y H={%,%2}. Hallar todas las clases laterales izquierdas uH, y derechas Hu existentes entre H y G. 37) Demostrar el siguiente enunciado: “Si un grupo cíclico G tiene orden m y esta generado por a. 6am=e.” 38) Demostrar que: “Si A es un anillo con unidad, entonces (-1)a=-a, x a 0 A”. 39) Sea K=(Z,+,C) el conjunto de los enteros con la adición y multiplicación usual, y sea S=KxKxK (el producto cartesiano de 3 copias de K) con una operación en S, definida de la siguiente manera: (a,b,c)Ú(a’,b’,c’)=(aa’,bb’,ac’+cb’). Desarrollar. i) Es (S,Ú) ¿un monoide?. ii) ¿es conmutativo? iii) hacer (i) y (ii) con K=(Q,+,C). 40) Probar que si g: S 6 A, es un homomorfismo de grupos con A conmutativo, existe un único homomorfismo h de G en A, tal que g=h@f. (o sea, g se factoriza a través de f). 41) Sea (A,>) un semigrupo, Probar que A es un grupo si, y solo si, para todo a en A,

existe un único a’, tal que: a>a’=a’>a=a. 42) Calcular el orden de 18 en Z54, y el orden de 15 en Z50.

43) Sea (A,+,C) un anillo, definido mediante las siguientes tablas: + m n p qm m n p qn n m q Pp p q m nq q p n m

Probar que el conjunto, S={m,p} es un IDEAL. 44) Determinar si los siguientes conjuntos “G”, forman un grupo con la operación indicada, si no son grupos indicar que propiedades no cumplen: i) G=conjunto de los enteros, a>b=b>a.

ii) G=conjunto de los enteros, a>b=a+b+ab.

iii) G= conjunto de los enteros no negativos, a>b= a+b.

iv) Conjunto de los numeros racionales …-1, a>b=a+b+ab.

C m n p qm m m m mn m n m np m p m pq m q m q


v) G un conjunto que consta de mas de un elemento, a>b=a x a,b 0 G. 45) Probar que en cualquier grupo (G,‚) se cumple que: x a,b,c 0 G, Si a‚b=a‚c, 6 b=c. 46) Demostrar que cualquier grupo de orden 5, es conmutativo. 47) Demostrar que Zn es un campo, si y solamente si n es primo. 48) Si R es un anillo conmutativo, y a 0 R, sea L(a)={a 0 R/ xa=0}, Probar que el conjunto L(a) es un ideal de R. 49) Si I,J son ideales de R, demostrar que I 1 J es un ideal de R. 50) Descríbanse verbalmente los siguientes conjuntos: A={2,4,6,8,…} B={2,4,8,16,32,…} C={1,4,9,16,25,36,…} D={Mercurio, Venus, Tierra,…, Plutón} 51) Hallar todos los subconjuntos de S={<,=,>,?}

52) Probar y mostrar gráficamente que: (A-B)c(B-A)=(AcB)-(A1B). 53) Probar que un conjunto que consta de n elementos tiene 2n subconjuntos.


>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> UN EXAMEN RESUELTO. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Este es Un Examen Tomado el día (22-11-2005). El examen decía así:

EN CADA TEMA EXPLICAR DETALLADAMENTE: 1) Si A es un anillo, demostrar que: a(-b) =-(ab), para a,b en A. 2) Si f: A 6 B, es un homomorfismo de anillos, demostrar que el Nuc(f) es un ideal de A 3) Dado el Campo R, se determina el R – espacio vectorial V=R3, con las operaciones de Adición y Multiplicación por escalares: A+B = (a1+b1, a2+b2, a3+b3), %A=(%a1,%a2, %a3), A,B 0 V, % 0 R. Hallar el generado por los vectores: A=(1,0,0), B=(0,2,0), C=(0,0,3). 4) Si p>0, es un real, y n>1 un natural; demostrar que (1+p)n>1+np, x n>1.

DESARROLLO. 1) Operando a “a(-b)” con ab, tenemos: a(-b) + ab = a(-b+b) = a(0) = 0Como 0 es identidad respecto a +, 6 ab es elemento inverso de a(-b) porque a(-b) +

ab=0. 6 (ab)-1 = a(-b)

6 -(ab) = a(-b). 2) Como f es un homomorfismo, entonces: i) f(a+b)=f(a)+f(b). ii) f(ab)=f(a)f(b), xa,b 0 A. y el nucleo viene dado por: Nuc(f)={a 0 A/ f(a)=0}. Primero verificaremos que el Núcleo es un subanillo: i) ¿ Nuc(f) … Š?Si ya que f(a)=0, a 0 Nuc(f). ii) Para a,b 0 Nuc(f) ¿a+(-b) 0 Nuc(f)? f(a)=0=f(b) f(a+(-b))=f(a)+f(-b)=f(a)+(-f(b)) =0+0=0 6 a+(-b) 0 Nuc(f). iii) ¿ab 0 Nuc(f)? f(ab)=f(a)f(b)=00=0 6 ab 0 Nuc(f).

6N es un subanillo de A. Ahora, consideremos un a 0 Nuc(f), y un x 0 A.

Si: xa 0 Nuc(f) 6 f(xa)=f(x)f(a)=f(x)0B=0B.


6 xa 0 Nuc(f). Hasta acá tenemos un ideal izquierdo. Si ax 0 Nuc(f) 6 f(ax)=f(a)f(x)= 0Bf(x) =0B.

6 ax 0 Nuc(f). Hasta aca tenemos un ideal derecho. 6Como tenemos un ideal bilatero, concluimos diciendo que el Nuc(f) es un IDEAL de A. 3) Como trabajamos en el R – espacio vectorial V=R3, y nos dan el subconjunto H={A=(1,0,0),B=(0,2,0),C=(0,0,3)}; entonces el subespacio gen(H) es: {v 0 V/ v={a1(1,0,0)+a2(0,2,0)+a3(0,0,3)} Si v=(v1,v2,v3) 6 v1=a1

v2=2a2v3=3a3

6 v1, v2, v30 R.

6gen(H)={(v1,v2,v3) / v1,v2 i v3 0 R} 4) Considerando la proposición: P(n): “(1+p)n>1+np” x n>1 natural, p>0 real. Verificamos: *************BASE DE INDUCCION******************* Para n=2 y p=1, (1+1)2>1+2(1) 6 4>3 6 P(2) es verdad para p=1. Notamos que para 0<p<1, también cumple que: (1+p)2>1+2p es verdadero. *************HIPOTESIS DE INDUCCION******************* Supongamos que para n=h, p(h) es V, con h>1, es decir: (1+p)h>1+hp, para algún p real mayor que 0, luego: ************ETAPA DE INDUCCION****************** ¿(1+p)h+1>1+(h+1)p? ¿(1+p)h(1+p)>1+hp+p? Como (1+p)h>1+hp, en (1+p)h(1+p)>1+hp+p, si multiplicamos a (1+p)h por (1+p) seguirá siendo mayor que 1+hp+p. por ejemplo sea p=2, (1+2)h(1+2)>1+2h+2, 3h+1>3+2h. Entonces, p(h+1) es V. Aplicamos el COROLARIO 1, y generalizando decimos que P(n) es V, x n>1 natural, es decir “(1+p)n>1+np” x n>1 natural, p>0 real es verdad.


Sed de Sed. (leusemia).

Lejos del aire Lejos de tu lugar Atrás del biombo

atrás del matorral En una calleja azul en tu mirada

En esa distancia ke no akortarás ke no supe ni pude akortar

Dentro del tiempo

dentro del viene y va En una sombría tierra

en soledad Y tu recuerdo es todo lo ke keda

Es una corriente, un nudo al hablar es tu ausencia ke nunca se va

La Sed de Sed y negar

Una moneda, un cambio, un golpe de mar La barra soluble, bebible, etílica

En ciénaga… ¿Será que ese llanto se hizo renglón de alguna canción?¿O fue acaso ficción?

Sé…Ke escalarán tus sueños Ke aún hay espacio ahí dentro

Ke aún hay tiempo y velos “Mas Voces”, “menos roces” y Dios

Sé…Ke todo pudo ser cierto

Ke aun puede ser posible, claro, ven Ke aun la rabia enseña

Aun firmes la eterna murga y tú Hay un viento ke ve

Hay un viento ke kiere ver. La barricada ke levantamos se esfumó esa trinchera muda ke se hizo institución y ke a servido solo para no ver

Sé…Ke ocultarán sus vientos Karroña, una falaz lengua de rodillas reza

Sé... ke no habrás dado un cielo Aun puede dar tu angustia y tus dires

Aun hay mudos llantos clavados entre la murga y tú Negar la Sed de Sed


......TTooddoo CCaammppoo eess uunn CCuueerrppoo,, TTooddoo CCuueerrppoo eess uunn AAnniilllloo,,TTooddoo AAnniilllloo eess uunn GGrruuppoo((rreessppeeccttoo aa llaa aaddiicciióónn)),, TTooddooGGrruuppoo eess uunn MMoonnooiiddee,, TTooddoo MMoonnooiiddee eess uunn SSeemmiiggrruuppoo,,TTooddoo SSeemmiiggrruuppoo eess uunn GGrruuppooiiddee......


NOTAS. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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INDICE PARTE I PAGINA A. CONJUNTOS. 3 Idea de conjunto. 3 Operaciones entre conjuntos. 3 Algunas propiedades entre conjuntos. 4 Representaciones graficas. 4 B. RELACION “R”. 5 Relación R. 5 Relación de equivalencia. 5 Movimientos de simetría del triangulo equilátero. 6 Un Punto de vista desde matrices. 7 Congruencia de enteros modulo “m”. 9 Clases de Equivalencia. 10 Adición y multiplicación modulo m. 10 C. PERMUTACIONES. 12 Introducción. 12 Permutación. 12 Orden del conjunto Sn. 12 Producto de permutaciones. 13 Descomposición en ciclos. 14 Permutación inversa. 15 Ejercicios resueltos. 16 PARTE II

Introducción. 19 D. SEMIGRUPO. 20 Definición. 20 Subsemigrupos. 20 Generados. 20 Homomorfismo entre semigrupos. 20 Definiciones. 21 Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo, Endomorfismo,

Automorfismo.

22 Ejercicios Resueltos. 23 E. MONOIDE. 24 Definición. 24 Submonoide. 24 F. GRUPO. 25 Definición. 25 Propiedades de los grupos. 25 Definición de exponentes. 26 Subgrupos. 26 Subgrupos triviales. 27


Grupo de Klein. 27 Relación de congruencia modulo “H” 29 Partición. 30 Clases de equivalencia. 31 Clases laterales izquierdas de H en G. 31 Conjunto cociente de G por H. 32 Homomorfismos de grupos. 33 Núcleo. 33 Imagen. 33 Orden de un elemento de un grupo. 35 Traslaciones. 36 Subgrupos normales. 38 Grupos cíclicos. 41 Orden de un grupo. 42 Productos directos. 42 Ejercicios Resueltos. 48 G. ANILLO. 51 Definición. 51 Definiciones de divisores de cero, cero del anillo, anillo conmutativo

y unidad de un anillo. 51

Anillo Booleano. 53 Subanillos. 53 Homomorfismo de Anillos. 55 Imagen. 55 Núcleo. 55 Ideales. 56 Anillo Cociente. 57 Dominio de Integridad. 58 Ejercicios Resueltos. 60 H. CUERPO. 61 Definición. 61 I. CAMPO. 65 Definición. 65 Extensión a campo. 66 J. INTRODUCCION A ESPACIOS VECTORIALES. 68 Definición. 68 Subespacio. 70 Combinación lineal. 71 Subespacios generados. 72 Suma de subespacios. 73 Bases. 73 Ejercicios resueltos. 74 K. INDUCCION MATEMATICA. 75 Postulado de Inducción. 75 Corolario 1 76 Corolario 2 77

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Topicos en Algebra - Un Enfoque Mauristico