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Tópicos Especiais em Controle de Conversores Estáticos
Prof. Cassiano Rech
1Prof. Cassiano Rech
Sumário
• Controle clássico de conversores estáticos
Ferramentas de análise e projeto de sistemas de controle
Efeitos da realimentação
Ações básicas de controle
Projeto de compensadores
2Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Introdução
3Prof. Cassiano Rech
• Definição das especificações
• Proposição de um circuito/conversor
• Modelagem do circuito/conversor
• Análise orientada ao projeto
• Verificação prática
• Análise sob situações críticas
• Iteração
4Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
• Existem diversas ferramentas clássicas para a análise e o projeto de compensadores, destacando-se:
Análise transitória e em regime permanente
Método do lugar das raízes
Diagrama de Bode
Diagrama de Nyquist
5Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
• Análise transitória e em regime permanente
A resposta temporal de um sistema de controle é constituída de duas partes: a resposta transitória e a resposta em regime permanente.
Por resposta transitória, entende-se aquela que vai do estado inicial ao estado final. Por resposta em regime permanente, entende-se o comportamento do sinal de saída quando t tende ao infinito.
A análise e o projeto de sistemas de controle no domínio tempo usualmente utiliza sinais de teste, tal como a função degrau.
6Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
Teorema do valor finalTeorema do valor final
O teorema do valor final estabelece que o comportamento em regime permanente de f(t) é o mesmo comportamento de sF(s) nas proximidades de s = 0. Assim, é possível obter o valor de f(t) em t = .
0
lim limt s
f f t sF s
Este teorema é aplicável se e somente se a função f(t) tende para um valor constante quanto t tende ao infinito.
Caso o sistema seja instável, ou f(t) seja, por exemplo, uma função senoidal, este teorema não se aplica.
7Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
Especificações de resposta transitóriaEspecificações de resposta transitória
1) Tempo de subida: é o tempo requerido para que a resposta passe de 0% a 100% do valor final. Para sistemas de segunda ordem o tempo de subida depende tanto do coeficiente de amortecimento quanto da freqüência natural. Quanto maior a freqüência natural e menor o coeficiente de amortecimento, menor será o tempo de subida.
8Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
Especificações de resposta transitóriaEspecificações de resposta transitória
2) Tempo de acomodação: é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em um faixa (usualmente 2% ou 5%) em torno do valor final, permanecendo indefinidamente. Está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle.
44s
n
t T
33s
n
t T
(2%)
(5%)
9Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
Especificações de resposta transitóriaEspecificações de resposta transitória
3) Máximo sobre-sinal: é o valor máximo de pico da curva de resposta, medido a partir da unidade. Para um sistema de segunda ordem, seu valor depende somente do coeficiente de amortecimento.
21
pM e
10Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
• Método do lugar das raízes
A característica básica da resposta transitória de um sistema em malha fechada depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada
O lugar das raízes é o lugar das raízes da equação característica do sistema em malha fechada quando um parâmetro específico (normalmente um ganho K) varia de zero a infinito.
O gráfico obtido mostra claramente as contribuições de cada pólo ou zero de malha aberta nas localizações dos pólos de malha fechada.
11Prof. Cassiano Rech
Considere o sistema em malha fechada mostrado abaixo:
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
K G(s)
H(s)
R(s)+
_
C(s)
A função de transferência em malha fechada (FTMF) é:
1
C s K G s
R s K G s H s
12Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
Os pólos do sistema em malha fechada são as raízes da equação característica, dada por:
1 0K G s H s
1 2
1 2
...1 0
...m
n
s z s z s zK
s p s p s p
Quando K = 0, os pólos do sistema em malha fechada são iguais aos pólos do sistema em malha aberta.
Quando K , os pólos do sistema em malha fechada são iguais aos zeros do sistema em malha aberta.
Então, variando K de zero até infinito obtém-se o lugar das raízes do sistema em malha fechada, a partir dos pólos e zeros do sistema em malha aberta.
13Prof. Cassiano Rech
Regiões de interessedo plano complexo
Regiões de interessedo plano complexo
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
1) Linhas de coeficiente de amortecimento constante são linhas radiais que passam pela origem. No eixo imaginário tem-se que = 0. No eixo real, 1.
14Prof. Cassiano Rech
Regiões de interessedo plano complexo
Regiões de interessedo plano complexo
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
2) No semi-plano direito < 0. Logo, o sistema não pode apresentar pólos em malha fechada no semi-plano direito, pois será INSTÁVEL.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
15Prof. Cassiano Rech
Regiões de interessedo plano complexo
Regiões de interessedo plano complexo
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
3) Os lugares de freqüência natural n constantes são
círculos com centro na origem do plano complexo.
16Prof. Cassiano Rech
Regiões de interessedo plano complexo
Regiões de interessedo plano complexo
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
4) Os lugares de tempo de acomodação constantes são linhas paralelas ao eixo imaginário.
17Prof. Cassiano Rech
• Exemplo
Conversor BUCK em malha fechada com controle proporcional
2
1ˆ
ˆ 1 1o
in
v s LCVd s s s
RC LC
Vin = 100 V
L = 250 H
C = 220 F
R = 2
f = 50 kHz
Vo = 50 V
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
18Prof. Cassiano Rech
-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
4
0.0850.1150.17
0.26
0.5
2.5e+003
7.5e+003
1.25e+004
1.75e+004
2.5e+003
7.5e+003
1.25e+004
1.75e+004
0.0160.0360.0560.0850.1150.17
0.26
0.5
0.0160.0360.056
Real Axis
Ima
gin
ary
Axi
s
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
19Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tempo (s)
Te
nsã
o (
V)
K = 1
K = 0,1
K = 0,01
20Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
• Diagrama de Bode
O termo resposta em freqüência significa a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal.
Nos métodos de resposta em freqüência, variamos a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estudamos a resposta resultante.
A informação que obtemos com base nessa ferramenta é diferente da que é obtida na análise baseada no lugar das raízes. Em muitos projetos práticos de sistemas de controle, ambos os métodos são empregados.
Um diagrama de Bode é constituído de dois gráficos: gráfico do módulo em dB de uma função de transferência e gráfico do ângulo de fase. Ambos são traçados em relação à freqüência em escala logarítmica.
21Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
Informações relevantesInformações relevantes
• Freqüência de cruzamento do ganho (crossover frequency): é definida como a freqüência em que o ganho é unitário ou 0 dB. Quanto maior é a freqüência de cruzamento maior será a capacidade do conversor sintetizar sinais de freqüência elevada e sua resposta transitória poderá ser mais rápida.
• Margem de fase: é o atraso de fase adicional na freqüência de cruzamento de ganho da função de transferência em malha aberta (FTMA), necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade. Quanto menor a margem de fase, mais próximo da instabilidade o sistema em malha fechada se encontra.
• Margem de ganho: a margem de ganho é o recíproco do módulo na freqüência em que o ângulo é -180º. Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica em quanto pode ser aumentado o ganho antes que o sistema se torne instável. Para um sistema instável, a margem de ganho indica o quanto o ganho deve decrescer para estabilizar o sistema em malha fechada.
• Erro estático: quanto maior for o módulo da FTMA na freqüência de interesse, menor será o erro estático.
22Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ferramentas de análise e projeto
-60
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (
dB)
Frequency (rad/sec)
102
103
104
105
-180
-135
-90
-45
0
System: ftmaPhase Margin (deg): 3.07Delay Margin (sec): 1.25e-006At frequency (rad/sec): 4.28e+004Closed Loop Stable? Yes
System: ftmaPhase Margin (deg): 10.1Delay Margin (sec): 1.26e-005At frequency (rad/sec): 1.4e+004Closed Loop Stable? Yes
Pha
se (
deg)
At frequency (rad/sec): 5.59e+003
System: ftmaPhase Margin (deg): 44.3Delay Margin (sec): 0.000138
Closed Loop Stable? Yes
K = 1K = 0,1
K = 0,01
23Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
Os sinais de saída dos conversores estáticos são uma função das fontes de energia, das razões cíclicas dos interruptores e da carga, assim como dos parâmetros do conversor.
Então, não podemos esperar que os sinais de saída se manterão ajustados nos valores de interesse para todas as condições de operação, apenas mantendo a razão cíclica fixa.
24Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
O objetivo da realimentação é construir um circuito que ajuste, quando necessário, a razão cíclica automaticamente para obter os sinais de saída desejados, mesmo com distúrbios nas fontes de energia e na carga, ou com variações paramétricas.
25Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
Para analisar os efeitos da realimentação no desempenho do sistema em malha fechada, iremos utilizar o seguinte diagrama de blocos que representa o modelo de pequenos sinais do sistema em malha fechada.
26Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
Uma vez que existem três sinais de entrada, a tensão de saída pode ser obtida por superposição:
27Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
Função de transferência entre a tensão de saída e a tensão de referênciaFunção de transferência entre a tensão de saída e a tensão de referência
28Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
Função de transferência entre a tensão de saída e a tensão de entradaFunção de transferência entre a tensão de saída e a tensão de entrada
29Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
Função de transferência entre a tensão de saída e a corrente na cargaFunção de transferência entre a tensão de saída e a corrente na carga
30Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Efeitos da realimentação
Relação entre margem de fase e coeficiente de amortecimento em malha fechada
Relação entre margem de fase e coeficiente de amortecimento em malha fechada
• Qual a margem de fase (m) necessária?
• Uma pequena margem de fase resulta em FTMF com reduzido coeficiente de amortecimento.
1
2Q
31Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ações básicas de controle
• Proporcional: para um controlador com ação de controle proporcional, a saída do compensador é proporcional ao sinal de erro.
pu t e t pU s E s
• Integral: no controle integral, o sinal de saída do compensador em qualquer instante é a área sob a curva do sinal de erro, até aquele momento.
0
t
iu t e t dt i
E sU s
s
O sinal de controle pode ter um valor não-nulo mesmo quando o sinal de erro for zero. Isso é impossível para o controlador proporcional.
Embora a ação de controle integral remova o erro em regime permanente, para entradas do tipo degrau, pode conduzir a uma resposta oscilatória ou até mesmo instável.
32Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Ações básicas de controle
• Derivativo: A ação de controle derivativo responde a uma taxa de variação do erro e pode produzir uma correção significativa antes que o valor do erro atuante se torne muito elevado.
d
de tu t
dt dU s sE s
Portanto, o controle derivativo prevê o erro, inicia uma correção antecipada e tende a aumentar a estabilidade do sistema.
Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro estacionário, ele aumenta o amortecimento do sistema, permitindo o uso de ganho proporcional mais elevado, o que vai resultar em maior precisão em regime permanente.
33Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
• As variáveis controladas devem permanecer dentro de uma faixa especificada mesmo com variações na carga (ganho em malha aberta elevado).
• As variáveis controladas devem permanecer dentro de uma faixa especificada mesmo com variações nas fontes de energia (ganho em malha aberta elevado).
• O sistema deve responder a distúrbios com uma resposta transitória satisfatória. Tipicamente, o tempo de resposta pode ser diminuído ao aumentar a freqüência de cruzamento do sistema realimentado.
• As variáveis controladas usualmente devem apresentar sobre-sinal e oscilações reduzidas. Isto implica que a margem de fase deve ser suficientemente grande.
EspecificaçõesEspecificações
34Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
• Empregado para aumentar a margem de fase.
• A freqüência de cruzamento do sistema realimentado também pode ser aumentada, mantendo uma margem de fase adequada.
• Um zero é adicionado na FTMA, em uma freqüência fz suficientemente menor que a freqüência de cruzamento fc, tal que a margem de fase de T(s) é aumentada de um valor desejado.
• Devido à inclusão do zero, o ganho do compensador aumenta com a freqüência em uma taxa de +20 db/dec. Caso o ganho do compensador seja elevado na freqüência de comutação, os harmônicos produzidos pelas comutações serão amplificados pelo compensador e podem prejudicar a operação do PWM.
• Assim, é usual adicionar pólo(s) em freqüência(s) menor(es) que a freqüência de comutação.
• Normalmente, a freqüência de cruzamento é limitada em torno de 10% da freqüência de comutação.
Compensador em avanço (Proporcional-Derivativo – PD)Compensador em avanço (Proporcional-Derivativo – PD)
35Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
0
1
1
zc c
p
s
G s Gs
36Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
A máxima defasagem introduzida pelo compensador ocorre na freqüência fmax,
dada pela média geométrica das freqüências do zero e do pólo:
max z pf f f
Para obter o máxima acréscimo na margem de fase, o compensador deve ser projetado para que a freqüência fmax coincida com a freqüência de cruzamento
desejada. Esta especificação é alcançada quando:
1 sen
1 senz cf f
1 sen
1 senp cf f
onde é o avanço de fase introduzido pelo compensador para atingir a margem de fase desejada. O ganho do compensador deve ser selecionado para selecionar a freqüência de cruzamento desejada.
37Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
38Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
• Empregado para aumentar o ganho em malha aberta em baixas freqüências, de tal forma que a saída apresenta melhor regulação em freqüências bem abaixo da freqüência de cruzamento do ganho.
• Um pólo é adicionado na origem para aumentar o ganho CC da FTMA.
• Com a inclusão do pólo na origem, o erro em regime permanente é nulo para entradas do tipo degrau. Além disso, a função de transferência da saída em relação a um distúrbio é zero para corrente contínua.
• Um zero é adicionado em uma freqüência fL suficientemente menor que a freqüência do cruzamento do ganho (usualmente uma década abaixo), de tal forma que a margem de fase não se modifique.
• O ganho do compensador deve ser selecionado para selecionar a freqüência de cruzamento desejada.
Compensador em atraso (Proporcional-Integral – PI)Compensador em atraso (Proporcional-Integral – PI)
39Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
1 Lc cG s G
s
40Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
• As vantagens dos compensadores PD e PI podem ser combinadas para obter uma larga banda passante e para eliminar o erro em regime permanente
• Em baixas freqüências, o compensador integra o sinal de erro, aumentando o ganho CC da FTMA e melhorando a regulação em baixa freqüência das variáveis a serem controladas.
• Em altas freqüências, em torno da freqüência de cruzamento, o compensador introduz um avanço de fase na FTMA, melhorando a margem de fase.
Compensador Proporcional-Integral-Derivativo – PID)Compensador Proporcional-Integral-Derivativo – PID)
41Prof. Cassiano Rech
Controle clássico de conversores: Projeto de compensadores
1 1
1
L
zc cm
p
ss
G s Gs
Bibliografia
42
• R. W. Erickson, D. Maksimovic, “Fundamentals of Power Electronics”, Second edition.
• J. G. Kassakian, M. F. Schlecht, G. C. Verghese, “Principles of Power Electronics”.
• K. Ogata, “Engenharia de Controle Moderno”, 4ª edição.
Prof. Cassiano Rech