TOPO 2

ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

3ra Edición

Huancayo - Perú

Mayo - 2005

CONTENIDO

GENERALIDADES

UNCP- FACULTAD DE MINAS ING. GAUDENCIO GALVEZ CHOQUE

PROLOGO

CAPITULO I

1. TRIANGULACION

1.1.REDES DE TRIANGULACION.

1.1.1.RED DE TRIANGULOS.

1.1.2.RED DE CUADRILATEROS.

1.1.3.RED DE POLÍGONOS.

1.2. CONDICION DE TRIANGULO.

1.3. MEDICION DE ANGULOS Y BASE.

1.4. CLASES DE TRIANGULOS.

2. PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION

2.1. INFORMACIÓN BASICA.

2.2. RECONOCIMIENTO DEL TERRENO.

2.3. MONUMENTACION DE HITOS.

2.4. MEDICON DE LA BASE.

2.4.1.CORRECCION POR LONGITUD VERDADERA.

2.4.2.CORRECCION POR TEMPERATURA.

2.4.3.CORRECCION POR HORIZONTALIDAD.

2.4.4.CORRECCION POR CATENARIA.

2.4.5.CORRECCION POR TENSIÓN.

2.5. MEDICON DE ANGULOS.

2.6. COMPENSACION DE BASE.

2.7. COMPENSACIÓN DE ANGULOS.

2.7.1.RED TRIANGULOS ASIMPLES.

2.7.2.RED DE CUADRILATEROS.

2.7.3.COMPENSACIÓN CON PUNTO CENTRAL.

2.8. RESISTENCIA DE FIGURA.

2.9. CALCULO DE LADOS.

2.10. CALCULO DE AZIMUTS.

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2.11. CALCULO DE COORDENADAS.

2.12. CALCULO DE AREAS.

2.13. CALCULO DE COTAS.

2.14. DIBUJO DE LA RED.

2.15. CONFIGURACIÓN.

2.16. LIBRETA DE CAMPO.

CAPITULO II

CAMINOS

GENERALIDADES

1. ETAPAS DEL TRAZO.

2. CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.

2.1. ELEMENTOS DE UNA CURVA.

2.2. DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS.

2.3. REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES.

3. REPLANTEO POR DEFLEXIONES CON VISIBILIDAD DESDE EL PC.

4. REPLANTEO POR DEFLEXIONES CON PUNTOS DE CAMBIO.

5. SECCIONES LONGITUDINALES.

6. SECCIONES TRANSVERSALES.

7. RASANTES.

8. AREAS Y VOLÚMENES.

GLOSARIO.

El curso de topografía general por su naturaleza y por ser una ciencia aplicada que se

encarga de determinar las posiciones relativas ó absolutas de los puntos sobre la tierra, el

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mismo que estudia los métodos y procedimientos para realizar las mediciones sobre el

terreno y su representación gráfica, para ello es necesario conocer algunas definiciones

para entender el contenido del curso:

1.- ASTRONOMIA.- Ciencia a fin a la topografía que nos permite relacionar la posición

de la tierra con otros astros y por lo tanto ubicar los puntos sobre la corteza terrestre.

2.- AZIMUT.- Es el ángulo horizontal que se mide entre dos puntos, para trabajos

topográficos normalmente se mide a partir del Norte en sentido de las agujas del reloj

dentro de los 360°, el azimut puede ser a partir del Norte magnético, verdadero ó

U.T.M.

3.- BRUJULA.- Instrumento topográfico de gran importancia que sirve para determinar la

orientación de un alineamiento, esta constituido por una caja en el cual se encuentra

una aguja imantada apoyado sobre un pivote en el centro de gravedad, el mismo que

gira libremente, la aguja siempre esta orientada en sentido de las líneas magnéticas por

lo que uno de los extremos indica el norte y el otro al Sur.

4.- CARTOGRAFIA.- La cartografía tiene bastante relación con la Topografía y

Geodesia, Por que la cartografía nos da la técnica como representar los planos sobre

una carta ó mapa, en vista que la tierra es una superficie curva y rugosa, para ello

utiliza métodos apropiados de proyecciones para graficar un plano.

5.- CENIT.- Esta ubicado en el plano vertical, en el cual para medir ángulos verticales el

origen ó 0° esta ubicado en la parte superior del observador.

6.- CONVERGENCIA DE MERIDIANO.- Para iniciar procedimiento de cálculos, se

conoce el Norte Magnético, verdadero y U.T.M. entonces, convergencia de meridianos

viene a ser el ángulo formado por la línea que indica el Norte verdadero y el Norte

cuadrícula ó U.T.M.

7.- COORDENADAS.- Las coordenadas vienen a ser los ejes X e Y, que se ideo para

representar ó graficar los planos en función a sus cuadrantes.

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8.- CURVAS DE NIVEL.- Denominado también como curvas horizontales, son líneas

que unen los puntos que se encuentran a una misma altura ó elevación, es de

importancia para determinar la característica física del terreno el mismo que servirá

para realizar los proyectos de ingeniería.

9.- DECLINACION MAGNETICA. Se dice que las agujas de la brújula siempre indican

la dirección de las líneas magnéticas terrestre, los mismos que no coinciden con el

Norte verdadero ó físico de la tierra, por lo que el polo magnético tiende a variar en el

transcurso del tiempo, entonces la declinación magnética viene a ser el ángulo

formado por el Norte Magnético y el Norte Verdadero.

10.- DIAMETRO ECUATORIAL.- Distancia aproximada es 12’756,776 metros.

11.- DIAMETRO POLAR.- Distancia de polo a polo, 12’714,047 m. aproximad.

12.- DIBUJO.- Proceso que consiste en representar gráficamente en el papel los datos

tomados en campo a una escala determinada.

13.- DISTANCIOMETRO.- Instrumento que sirve para medir distancia mediante rayos

laser con el apoyo de primas.

14.- ECLIMETRO.- Instrumento topográfico muy sencillo que se deriva del nivel, en el

que ha sido incorporado un semi círculo graduado, en el cual se puede leer los

ángulos sexagesimales de acuerdo a la inclinación, la graduación se inicia en el

centro del semi círculo con 0° hacia ambos lados hasta 90°.

15.- ESCALA.- Es una comparación fija que existe entre las dimensiones del terreno y el

papel, es un incremento ó disminución en forma proporcional del tamaño verdadero

de un terreno, las escalas pueden representarse numéricamente ó gráficamente.

16.- ESTACION TOTAL.- Es un teodolito electrónico que viene incorporado un

distanciómetro, instrumento más completo hasta el momento, que puede medir

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ángulos horizontales, verticales y distancias electrónicamente con el apoyo de

prismas.

17.- ESTADIA.- La estádia viene a ser una regla graduada que sirve para medir la

distancia taquimétricamente con el teodolito, la estádia llamada también mira,

instrumento que tiene una longitud de 2 a 4 mts. Pintadas generalmente entre rojo y

negro con fondo blanco.

18.- GEODESIA.- Ciencia a fin a la topografía, que tiene por objeto tomar medidas sobre

la superficie de la tierra considerando la curvatura de la corteza terrestre, su

aplicación es para grandes extensiones de terreno.

19.- GEOIDE.- Es una línea imaginaria de la tierra considerada al nivel medio del mar,

formando una superficie imaginaria esferoidal, cuyos elementos son normales a la

dirección de la gravedad.

20.- G.P.S.- (SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL) Es un instrumento de

última generación, que determina las coordenadas geográficas, U.T.M. y altitud de

un punto topográfico, mediante triangulaciones esféricas con el apoyo de los satélites

que giran alrededor de la tierra.

21.- JALON.- Es una varilla de madera, acero, aluminio u otro material adecuado, cuya

dimensión debe ser entre 2 a 3 mts, uno de los extremos termina en punta, están

pintadas alternadamente entre rojo y blanco cada 50 cm. sirve para ubicar ó indicar

los puntos topográficos temporales mientras dure las lecturas ó medidas.

22.- LIBRETA DE CAMPO.- Es la libreta donde se anotan los datos tomados en el

levantamiento de campo, el mismo que tiene que ser de gran cuidado por que de ello

depende el resultado del trabajo.

23.- NADIR.- Es opuesto al Cenit, ó sea el origen ó 0° está ubicado en la parte inferior del

operador.

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24.- NIVELES.- Instrumento que sirve para mantener las líneas de proyección a una

misma altura, determinar la diferencia vertical entre dos puntos con el apoyo de las

miras estadimétricas, dentro de los Niveles se distingue niveles de burbuja, de

cámara, de anteojo de ingeniero, entre otros.

25.- PLANIMETRO.- Instrumento topográfico que sirve para determinar el área de un

terreno, que consiste en un brazo flexible en el extremo tiene una aguja con el cual se

recorre el perímetro irregular del terreno a calcular y al extremo opuesto tiene un

tambor graduado en el cual se observa el número de vueltas que da, y a una escala

determinada se calcula el área mediante fórmulas.

26.- PLOMADA.- Es un instrumento topográfico más sencillo ó tal vez el más antiguo, su

peso generalmente oscila entre 200 a 300 gr. Es utilizado para trabajos especiales

(topografía Subterránea) se emplean plomadas desde 5 a 8 Kg de peso.

27.- PUNTOS TOPOGRAFICOS.- Son puntos físicos que se materializan sobre el

terreno desde los cuales se inicia las mediciones de distancia, ángulos horizontales,

verticales, diferencias de alturas, pueden ser temporales y permanentes.

28.- REPLANTEOS TOPOGRAFICOS.- Operación que consiste en llevar los datos

obtenidos en el laboratorio a partir de los proyectos al campo para ubicar los puntos

para ejecutar la obra.

29.- RUMBO.- Es el ángulo formado a partir del eje Norte-Sur los mismos que se

representarán en sus respectivos cuadrantes, con la siguiente nomenclatura:

En el I cuadrante Nor-Este (NE).

En el II cuadrante Sur-Este (SE).

En el III cuadrante Sur-Oeste (SW).

En el IV cuadrante Nor-Oeste (NW).

30.- SEÑALES TOPOGRAFICOS.- Para trabajos de campo es necesario tener un código

de señales para poder comunicarse entre los operadores, los mismos que podría ser

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hechas por medio de las manos, objetos de colores (banderolas), silbatos, para

distancia mayores se pueden utilizar radios comunicadores portátiles.

31.- TEODOLITO.- Instrumento topográfico más completo que existe en el mercado,

sirve par medir ángulos horizontales, verticales y distancia taquimétricas con el

apoyo de la estádia, Estación Total tienen gran alcance y precisión para los

levantamientos topográficos.

32.- TOPOGRAFIA.- Es una ciencia aplicada que nos enseña a efectuar mediciones sobre

la superficie terrestre y representarlos gráficamente en el papel, La topografía

considera a la superficie de la tierra como plana en una extensión aproximada de 625

Km2 ó un cuadrado de 25 Km de lado

33.- U.T.M.- Sistema de proyección cartográfica que ayuda a la topografía a representar

los planos para una buena interpretación.

34.- WINCHA.- Es una cinta graduada en centímetros ó pulgadas, sirven para medir las

distancias entre dos puntos, están fabricadas de lona, acero, fibra de vidrio, para

trabajos topográficos están graduados por temperatura, tensión y longitud verdadera,

vienen cintas de 10, 20, 30, 40, 50 mts de longitud.

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GENERALIDADES

Triangulación es un sistema de redes de apoyo que sirven para dar mejor

coherencia a los levantamientos.

Las triangulaciones son usadas para terrenos relativamente extensos, siendo estos

los que tienen menor error con respecto a las poligonales, Para iniciar una red, para ambos

casos es necesario hacer un reconocimiento del terreno y diseñar el sistema adecuado

teniendo en consideración la naturaleza del levantamiento, después de la inspección se

procede a la monumentación de hitos en cada vértice los cuales deben cumplir las

características adecuadas; la medida de los hitos son relativos, dependiendo del grado de

precisión.

PROLOGO

Es indudable que actualmente estamos entrando cada vez más a la era de la

informática, para el cual debemos estar preparados de acuerdo al avance de la tecnología

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para desarrollar nuevos modelos matemáticos, esto nos permitirá realizar algoritmos, para

el caso específico del curso desarrollaremos paso a paso como llegar al resultado final del

problema.

En el presente texto nos ocuparemos exclusivamente al desarrollo práctico de los

contenidos, como, TRIANGULACION Y CAMINOS, sabiendo que para hacer un

levantamiento topográfico es de vital importancia conocer las principales redes de apoyo

para tener el éxito esperado, como es de esperar el estudiante debe estar en la capacidad de

desarrollar algoritmos para una Triangulación el cual será un gran aporte dando

consistencia al levantamiento topográfico.

Dentro de una poligonación veremos desde el reconocimiento del terreno,

monumentación de hitos en los vértices, cálculos de ángulos, distancias y llegar al objetivo

final de obtener las coordenadas rectangulares y cotas para poder graficar, el mismo que

será mediante un programa CAD y realizar la impresión respectiva, de la misma manera

estaremos procediendo con la triangulación desarrollando secuencialmente todos los pasos

hasta llegar al resultado final, de esta manera contribuyendo con todo los que lleven el

curso y los que están relacionados directa o indirectamente a la especialidad.

El Autor

CAPITULO I

1.-TRIANGULACION

La red de triángulos es un sistema de apoyo para levantamientos topográficos de

terrenos relativamente extensos, la triangulación comprende una serie de procesos,

entre ello tenemos el reconocimiento del terreno, monumentación de hitos, medición de

base, ángulos, compensación, cálculo de coordenadas y cotas; la disposición de los

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triángulos son generalmente figuras geométricas que se determinan por principio

geométrico con la suma de sus ángulos internos.

Así en un triángulo la suma de sus ángulos internos debe ser 180° y los ángulos

alrededor de un punto 360°, al realizar una triangulación la longitud de sus lados esta

en función al seno de su ángulo opuesto, para calcular los lados de una red de

triangulación solamente se mide la base, o sea un solo lado y los siguientes se calcula

mediante fórmulas trigonométricas, con el avance tecnológico y los equipos

electrónicos (Distanciómetro y Estación total) se miden directamente sus lados y a este

método se denomina trilateración.

1.1- REDES DE TRIANGULACION.- El tipo de red a emplearse está en función al

levantamiento topográfico y la extensión o zonas donde se monumentarán puntos

de 1er, 2do. orden u otras de menor precisión, entre ellos tenemos:

1.1.1.- Red de triángulos.- Se determina ese tipo de red cuando no se requiere

mucha precisión y es diseñado generalmente para trazos de carreteras,

canales y ferrocarriles.

6

A 2 4

Carreteras

B 1 3 5 7

1.1.2.- Red de Cuadriláteros, sistema que se decide para alcanzar una precisión

mayor, y es utilizado para comunicación de túneles, dirección de labores

subterráneas.

A

C

B E

D

11


F

1.1.3.- Red de polígonos con punto central.- Cuando no es preciso hacer un

cuadrilátero se puede realizar polígonos con punto central, con la misma

precisión que la red de cuadriláteros.

B G A

C H O1

F O2

E D I

1.2- Condición de triángulos.- Para que un programa de triangulación resulte

satisfactorio debe tenerse en cuenta que los ángulos deben estar dentro del

rango o sea no < de 30° ni > de 150° porque los lados están en función al seno,

los ángulos cerca a 0° y 180° tienden a error, y la suma de ángulos internos de

un polígono debe cumplir la condición geométrica, 180*(n-2) y sus lados deben

estar en función de 1 a 3, en redes de cuadriláteros o polígonos con punto

central debe cumplir la condición geométrica y trigonométrica.

Dentro de la condición trigonométrica tenemos que:

(Lg Senimpares) = (Lg Senpares)

1.3- Medición de ángulos y base.-La medición de ángulos puede realizarse por los

métodos ya conocidos, por reiteración o repetición dependiendo de la precisión

que se quiere alcanzar, la diferencia vertical se puede medir geométrica ó

trigonométricamente dependiendo de la distancia, la medición de base se puede

realizar por el método convencional o medición electrónica, dentro de lo

tradicional se hará las correcciones respectivas en cada fase de la medición para

obtener la distancia más probable,

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1.4.- Clases de triangulaciones.- Las triangulaciones pueden clasificarse por el

orden de su precisión de acuerdo a:

a).- El error de cierre angular en los triángulos.

b).- La discrepancia que resulta de medir la base de cierre y calculada.

c).- Precisión de la medición de la base.

d).- Longitud máxima de sus lados.

De acuerdo a lo mencionado podemos clasificar en triangulaciones de 1er, 2do y

3er. Orden.

DESCRIPCIÓN1er

ORDEN

2do.

ORDEN

3er.

ORDEN

Error de cierre de base 1/25000 1/10000 1/5000

Error de cierre angular en

triangulacion. 8” 15” 30”

Longitud máx. de lados

(Km)

50-200Km. 15-40 Km. 1.5-10 Km.

Los trabajos topográficos están dentro del 3er. orden, 1er y 2do orden para

trabajos Geodésicos.

2.- PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION

1. Información básica....(gabinete)

2. Reconocimiento del terreno (campo)

3. Monumentación de hitos (campo)

4. Medición de base (campo)

5. Medición de ángulos (campo)

6. Compensación de base.(gabinete)

7. Compensación de ángulos.(gabinete)

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8. Cálculo resistencia de figura.(gabinete)

9. Cálculos de lados.(gabinete)

10. Cálculo de azimut (magnético, verdadero, U.T.M.)

11. Cálculo de coordenadas (magnéticos, verdadero y U.T.M.)

12. Cálculo de cotas.

13. Dibujo de red.

14. Configuración a partir de la red.

15. Puntos auxiliares.

16. Informe.

2.1- INFORMACION BASICA. Para iniciar una red de triángulos, tenemos que

documentarnos, buscando referencias de la zona sobre planos existentes,

aerofotografías, datos de triangulaciones anteriores, croquis, en general toda

información que nos pueda servir para proyectar la Red.

2.2.- RECONOCIMIENTO DEL TERRENO. Consiste en hacer una evaluación

insitú de la zona donde se proyectará la Red ubicando adecuadamente los puntos

o vértices para monumentar los hitos, de tal manera que los puntos deben ser

visibles de un vértice a otro.

2.3.- MONUMENTACION DE HITOS. La señalización es una etapa de

importancia dependiendo de ella el resultado final de la Red de triángulos, la

monumentación de hitos se hará con buen criterio, pudiendo ser desde hitos de

concreto con placas de metal grabados o con un hierro de acero al centro.

2.4.- MEDICION DE BASE. Dentro del reconocimiento insitú se ubicará la zona

adecuada para medir la base, esta distancia puede medirse con métodos

convencionales o electrónicos, la medición electrónica se realiza con un

distanciómetro o Estación Total, donde nos da directamente la distancia

horizontal y la diferencia vertical, con el método tradicional se tiene una serie

de etapas, iniciando con un alineamiento entre los dos puntos y el estacado

respectivo, luego se mide cuidadosamente tramo por tramo ida y vuelta

controlando, tensión, temperatura, catenaria y horizontalidad, para hacer las

correcciones respectivas en gabinete.

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2.4.1- Corrección por Longitud Verdadera.- La cinta por el constante uso,

temperatura, tensión sufre una cierta dilatación aumentando en

milímetros su longitud verdadera, al realizar una medición por tramos se

está cometiendo un error acumulativo en todo el circuito, la corrección

se realiza aplicando la fórmula

Donde: Lc = Longitud corregida

Lr = Longitud real de la cinta graduada

Ln = longitud nominal de la cinta.

Lm = Longitud total medida.

Ejemplo.No 1

Con una cinta de 30 mts. Se mide una distancia de 189.80 mts, deseamos saber la

longitud corregida, después de contrastar la wincha en un laboratorio con la medida

patrón resulta que tenía 29.996 m.

SOLUCIÓN: Ln= 30 m.

Lm= 189.80

Lc= ¿

Lr= 29.996

2.4.2- Corrección por Temperatura.- La temperatura de ambiente puede

afectar mucho a la cinta, la medición de base debe hacerse a una

temperatura aproximada de calibración, generalmente las winchas

vienen calibradas a 20° C.

Ct = LK*( t – to )

Donde:

Ct = Corrección por temperatura.

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L = Longitud verdadera del tramo.

K = coeficiente de dilatación del acero (0.000012).

t. = temperatura de campo.

to = temperatura graduada de la wincha

Ejemplo No 2.

Con una cinta de 50m graduada a 20ºC se mide dos tramos, AB 50 mts a 23ºC y

BC = 38.25 a 18ºc, ¿cual es la corrección por temperatura?

SOLUCIÓN:

Si. Ct = ?

L = 50 y 38.25 m. = 88.25 m.

K = 0.000012

T = 23º C y 18º C

to = 20o C

Ct = LK (t-to)

Remplazando valores.

Ct (AB) = 50 (0.000012) (23-20) = 0.00180

Ct (BC) = 38.25 (0.000012) (18-20) = -0.00092

Corrección total AC = 0.00088

La longitud corregida por temperatura es:

88.25 + 0.00088 = 88.251 m.

2.4.3.- Corrección por Horizontalidad.- Se realiza debido a la pendiente del

terreno, no siempre una distancia se mide horizontalmente, para

corregir este desnivel se aplica la fórmula.

Donde: Ch = Corrección por horizontalidad.

h= Diferencia vertical del tramo

L = longitud del tramo

Ejemplo No 3.

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Encontrar la corrección de una base de 85.48 m. medido con wincha de 30 mts.

Teniendo el desnivel entre AB, 0.08m, BC, 0.25m y CD, 0.15m.

SOLUCIÓN:

Ch = ?

h = 0.18, 0.25, 0.15m respectivamente. L = 30, 30, 25.48

respectivamente.

TRAMO LONGITUD h 2L Ch.

AB 30 0.08 60 -0.00011

BC 30 0.25 60 -0.00104

CD 25.48 0.15 50.96 -0.00044

Corrección total -0.00159

Distancia corregida : 85.48 - 0.00159 = 85.478m.

2.4.4- Corrección por catenaria.- La cinta al ser suspendida de sus extremos

forma una catenaria, la corrección será la diferencia que existe entre la

cuerda y el arco formado por los extremos, para corregir aplicamos la

fórmula:

Donde:

Cc = Corrección por catenaria.

L = Longitud de catenaria.

W = Peso de la cinta en kg/m.l.

P = Tensión aplicada en kg.

Ejemplo No 4

Con una wincha de 30 mts se mide una distancia de 80.45m. en tres tamos sabiendo

que la cinta pesa 0.750 kg y la tensión aplicada es: AB=10 kg, BC=5 kg, y CD=10

kg.

SOLUCIÓN:

17


Cc= Corrección por catenaria.

L= 30, 30, 20.45 m. respectivamente

W= 0.75 kg/30 m.= 0.025 kg/m.l.

P= 10, 5, 10 kg. Respectivamente.

Aplicando la fórmula para cada tramo tenemos:

TRAMOLONGITU

DW= Kg/m.l. p Cc

AB 30 0.025 10 -0.00703

BC 30 0.025 5 -0.02812

CD 20.45 0.025 10 -0.00223

Corrección total -0.03738

Distancia corregida. 80.45 – 0.03738 = 80.413m.

2.4.5- Corrección por Tensión.- Cuando en la cinta se ejerce una fuerza en el

momento de la medición esto sufre una variación en su longitud, la

corrección que se aplica está en función a la fuerza y las características

de la wincha.

Donde:

Cp = Corrección por tensión

L = Longitud del tramo

P = Tensión de campo

Po = Tensión Calibrada (Kg)

A = Sección transversal de la cinta.

E = Módulo de la elasticidad del acero Kg/mm2

Ejemplo No 5.

Del ejemplo anterior encontrar la corrección por tensión si para el tramo AB 8Kg,

BC 10Kg, CD 15Kg.

SOLUCIÓN:

Cp = Corrección por tensión.

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L = 30, 30, 20.45m

P = 8Kg, 10Kg y 15kg.

Po = 10Kg

A = 6mm2

E = 24000 Kg/mm2

Aplicando la fórmula por tramo tenemos:

TRAMO LONG. P Po A E Cp

AB 30 8 10 6 24000 -0.0004167

BC 30 10 10 6 24000 0.0000000

CD 20.45 15 10 6 24000 +0.00071

Corrección por Tensión +0.0002933

Distancia corregida 80.45 +0.00029 = 80.4503m cuando se aplica una tensión

igual a la calibrada la corrección se hace cero.

La base final corregida será el promedio de la corrección de ida y vuelta.

Base = LC + CT - CH - CC + CP

2.5-Medición de ángulos.- En el desarrollo de una triangulación es importante

determinar el grado de precisión que se requiere y el objetivo de la red, en función

a estos parámetros se puede fijar el método de medición de ángulos, pudiendo ser

por repetición para poca precisión y por reiteración para mayor precisión.

2.6.-.Compensación de Base.- Después de finalizado la medición de una base de

triangulación se procede a realizar las correcciones necesarias para luego

compensar la base final.

2.7.-Compensación de ángulos.- Es una técnica que consiste en distribuir

equitativamente los errores de cierre angular de tal manera que cumpla los

principios geométricos de la suma interna de los ángulos, existen diferentes

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redes para compensar ángulos, los mismos que requieren tratamientos especiales

entre ellos tenemos:

a) Compensación para redes de triángulos simples.

b) Compensación para redes de cuadriláteros

c) Compensación para redes de polígonos con punto central.

2.7.1-.Red de Triángulos simples.- Para compensar una red de triángulos

podemos realizar de dos formas:

a) Compensación de estación, cuando la suma de los ángulos alrededor

del punto sea 360º.

b) Compensación del triángulo, comparar que la suma de los ángulos

internos del sea 180º.

En el primer caso, se suma los ángulos alrededor del punto, el resultado

se resta 360o y la diferencia se divide entre el número de ángulos, luego

se suma algebraicamente con el signo cambiado a cada ángulo, quedando

compensado.

En el segundo caso, se suman los ángulos internos del triángulo, del

resultado se resta 180º esta diferencia se divide entre 3 y se suma

algebraicamente con el signo cambiado a cada ángulo.

Ejemplo 06.

Compensar las siguientes redes de triángulos, los ángulos son promedios de

una lectura por repetición.

1) 38o 20’ 6) 58o 07’ 11) 255o 29’

2) 72o 40’ 7) 46o 25’ 12) 238o 43’

3) 69o 02’ 8) 93o 14’ 13) 321o 39’

4) 52o 14’ 9) 40o 23’ 14) 124o 29’

5) 69o 38’ 10) 319o 36’

11

E 6 D

20


12

4 7

3

5

2 8

1 B 14

9 10

A 13 C

SOLUCIÓN:

Para compensar una cadena de triángulos, tenemos que iniciar compensando

los vértices y luego por triángulos.

a) Vértice A

1 + 13 = 360°

38o20’+321o 39’ = 360o

359o 59’ = 360°

Er.C = 359o 59’-360 = -1’

fc C = +1’/2 =30”

sumando +30” a los ángulos 1 y 13

38o 20’30’’ + 321o 39’30” =360o

360° =360o

Con el mismo procedimiento compensar los demás

vértices.

Vert Angulos Lect. Campo Compensado

A

1

13

suma

38° 20’

321°39’

359°59’

38°20’30”

321°39’30”

360°00’00”

B

2

5

8

14

suma

72°40’

69°38’

93°14’

124°29’

360°01’

72°39’45”

69°37’45”

93°13’45”

124°28’45”

360°00’00”

C 9 40°23’ 40°23’30”

21


10

suma

319°36’

359°59’ 319°36’30”

360°00’00”

D

6

7

11

suma

58°07’

46°25’

255°29’

360°01’

58°06’40”

46°24’40”

255°28’40”

360°00’00”

E

3

4

12

suma

69°02’

52°14’

238°43’

359°59’

69°02’20”

52°14’20”

238°43’20”

360°00’00”

b) Compensando por i=180°, Se suma los ángulos internos,

la diferencia que existe al restar 180° se divide

entre 3, el resultado se suma o resta a cada ángulo.

Comp. de Vert. Vert. Compensado

ABE

1

2

3

suma

38°20’30”

72°39’45”

69°02’20”

180°02’35”

38°19’38.333”

72°38’53.333”

69°01’28.333”

180°00’00”

BDE

4

5

6

suma

52°14’20”

69°37’45”

58°06’40”

179°58’45”

52°14’45”

69°38’10”

58°07’05”

180°00’00”

BCD 7

8

9

46°24’40”

93°13’45”

40°23’30”

46°24’01.666”

93°13’06.666”

40°22’51.666”

22


suma 180°01’55” 180°

2.7.2- COMPENSACION DE UNA RED DE CUADRILATEROS. Dentro

de la lectura de ángulos de una red de cuadriláteros se tiene los ángulos

internos que sumado debe ser 360°, para ello se tiene en cuenta las

siguientes propiedades:

a) Propiedad geométrica o de figura.

b) Propiedad trigonométrica o de lado.

- Condición Geométrica.- Un cuadrilátero puede descomponerse en

varios triángulos, los mismos que se encuentran superpuestos entre sí.

En la figura se tiene los siguientes triángulos:

B 4

5

6 C 7

3

A 2

1 8

D

B B C 5 6 C 4 5 6 4

7 7

3 2 8 3

A 1 2 1 8

D A D

ABC, ACD, ABD, BCD, en cada uno de ellos la suma de los ángulos debe ser

180°.

ABC = 3+4+5+6 = 180°

ACD = 2+7+8+1 = 180°

ABD = 1+2+3+4 = 180°

23


BCD = 5+6+7+8 = 180°

Otras de las condiciones geométricas que debe cumplir, que la suma de sus

ángulos del cuadriláteros debe ser 360°.

ABCD = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 360°

Además geométricamente se dice que los Ángulos opuestos por el vértice y en la

intersección de las diagonales deben ser iguales.

1+2 = 5+6

3+4 = 7+8

La secuencia para compensar un cuadrilátero es:

1) Las lecturas de los ángulos del cuadrilátero deben ser el promedio de

mediciones por reiteración o repetición.

2) La suma de los ángulos debe ser 360°, si existe discrepancia, esta se

divide entre 8 y se suma algebraicamente con signo cambiado a cada

ángulo.

3) Se compara los ángulos opuestos por el vértice en la intersección de las

diagonales, estas deben ser iguales, la discrepancia se divide entre 4, el

cociente se compensa a cada ángulo, aumentando a los dos cuya suma

es menor, y disminuyendo a cuya suma es mayor.

- Condición Trigonométrica.- Para el cálculo de lados de un triángulo, los lados

están en función al seno opuesto, por lo tanto la condición trigonométrica es, la

suma de los Logaritmos Seno de los ángulos impares debe ser igual a la suma

de los Logaritmos Seno de los ángulos pares.

(Lg Sen ángulos imp). = (Lg Sen ángulos par).

El procedimiento a seguir después de la compensación Geométrica es como a

continuación se indica:

Anotamos los ángulos pares e impares en su columna respectiva.

Calculamos el Logaritmo Seno para cada ángulo.

Hallamos la diferencia tabular para un segundo en el sexto lugar decimal.

24


Ejempo 07

La diferencia tabular de 38°20’18” es:

Log Sen 38°20’18” = 9.792604541,

la diferencia tabular para un segundo será restando del ángulo inmediato superior ó el

inferior.

Log Sen 38°20’19” = 9.792607204.

9.792607204-9.792604541 = 0.000002663; en el sexto lugar decimal será 2.66.

Restamos la (Lg Sen ángulo impares) menos (Lg sen ángulo pares) ()

Se suma las Diferencias Tabulares para 1” en el sexto lugar decimal ()

Dividimos / que viene a ser el Factor de corrección expresados en segundos.

El resultado de /, adicionamos a cuya suma de los Log. Senos es menor y

disminuimos a cuya suma de los Log. Sen. es mayor.

Ejemplo 08

Los datos que a continuación se enuncian son de lectura promedios por método

reiterativo, calcular y compensar los ángulos del cuadrilátero.

1 49°43’30” A2 47°01’24” 1 8

3 39°05’10” 4 44°09’51” 7 D5 59°24’51” 6

6 37°20’01’7 34°16’34”

8 48°58’31” 2 3

B 4 5

C

SOLUCIÓN:

Para compensar un cuadrilátero se toma en cuenta la condición geométrica y

trigonométrica.

A) De acuerdo a la condición geométrica se tiene que:

25


1) i = 360°

i = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 359°59’52”

Er.C = 359°59’52” – 360°= -8”

El error es por defecto, por lo tanto la corrección es aditiva.

Fc = 8/8 = 1”

Los nuevos valores angulares son:

1 49°43’31” 5 59°24’52”

2 47°01’25” 6 37°20’02”

3 39°05’11” 7 34°16’35”

4 44°09’52” 8 48°58’32”

i(1+2+3+4+5+6+7+8) = 360°

2) La segunda propiedad geométrica.

1+2 = 5+6

7+8 = 3+4

Del último resultado tenemos:

1 + 2 = 5 + 6

49°43’31” + 47°01’25” = 59°24’52” + 37°20’02”

96°44’56” = 96°44’54”

Er.C = 96°44’56” - 96°44’54”

Er.C = 2”

Fc = 2”/4 = 0.5” cantidad que se aumenta a los ángulos 5 y 6 porque la suma

es menor y se disminuye a los ángulos 1 y 2 por ser la suma mayor, siendo

los nuevos valores:

1 49°43’30.50”

2 47°01’24.50”

5 59°24’52.50”

6 37°20’02.50”

continuando con:

7+8 = 3+4

34°16’35”+48°58’32”=39°05’11” + 44°09’52”

83°15’07”=83°15’03”

26


Er.C = 83°15’07” - 83°15’03 = 4”

Fc = 4”/4 = 1” con el mismo principio anterior los nuevos valores de los

ángulos serán:

3 39°05’12”

4 44°09’53”

7 34°16’34”

8 48°58’31”

En resumen los nuevos valores de los ángulos de la compensación

geométrica son:

1 49°43’30.50”

2 47°01’24.50”

3 39°05’12”

4 44°09’53”

5 59°24’52.50”

6 37°20’02.50”

7 34°16’34”

8 48°58’31”

B) Compensación trigonométrica.

Con los resultados de los valores anteriores se tiene:

Log sen impar Log Sen Par D.Tx1”

1 49°43’30.50” 9.882497238 1.78

2 47°01’24.50” 9.864293305 1.96

3 39°05’12.00” 9.799681782 2.59

4 44°09’53.00” 9.843060496 2.17

5 59°24’52.50” 9.934938363 1.24

6 37°20’02.50” 9.782802679 2.76

7 34°16’34.00” 9.750648432 3.09

8 48°58’31.00” 9.877616895 1.83

39.36776582 39.36777338 17.42

27


1) Calculamos el Log Sen Para cada ángulo y luego la diferencia tabular para 1”,

como muestra la tabla.

2) Restamos (Log Sen impar) - (Log Sen Par) = 0.00000756 en el sexto lugar

decimal 7.56, ().

3) (DTx1”) = 17.42 ()

4) La corrección fc = 7.56/17.42 = 0.43” el resultado se aumenta a los ángulos 1, 3, 5

y 7 porque la (Log Sen) es menor y se disminuye a los ángulos 2,4,6 y 8 porque

la (Log Sen) es mayor, el resultado final de los ángulos será:

1 49°43’30.93” 5 59°24’52.93”

2 47°01’24.07” 6 37°20’02.07”

3 39°05’12.43” 7 34°16’34.43”

4 44°09’52.57” 8 48°58’30.57”

Respuesta 360°00’00.00”

2.7.3- Compensación de polígono con punto central.

Se presentan casos cuando el terreno tiene una visibilidad amplia, con un punto

central se puede visar los vértices del polígono, y posteriormente se visa desde

cada vértice, el método puede ser por reiteración o repetición, la secuencia es la

siguiente:

a) La suma de ángulos del punto central debe ser 360° si existe discrepancia se

suma algebraicamente a cada ángulo si es por exceso o defecto.

b) debe ser 180° la discrepancia o diferencia se distribuye entre 2 ángulos

sin considerar el ángulo central.

c) (Log sen impar) = (Log Sen par), se procede con el mismo criterio

del cuadrilátero.

Ejemplo 09

Una red de apoyo con punto central se visa a 5 vértices los mismos que son

tomados por método reiterativo siendo sus promedios

A 3 B

28


12 II 4

I 12 III

11

13

10

15

14 5

E 9 V IV 6 C

8

7

D

1) 59°43’45” 6) 75°22’25” 11) 78°27’25”

2) 42°51’55” 7) 34°50’25” 12) 59°58’35”

3) 77°09’30” 8) 36°45’20” 13) 60°30’56”

4) 77°00’45” 9) 51°58’22” 14) 69°47’05”

5) 42°28’20” 10) 41°48’40” 15) 91°16’14”

SOLUCIÓN:

aplicando el principio geométrico y trigonométrico.

A)Compensación Geométrica.

11+12+13+14+15= 360°

360°00’15” = 360°

Er.C = 360°00’15” - 360° = 0°0’15”, el error es por exceso, la compensación será

sustractiva fc = -15”/5 =-3” los nuevos valores de los ángulos del punto central será:

11 78°27’22”

12 59°58’32”

13 60°30’53”

14 69°47’02”

15 91°16’11”

360°0’00”

Compensando los triángulos independientes.

Triángulo I

1+10+11 = 179°59’47”

Er.C = 179°59’47” – 180 = -13”

29


La compensación será aditiva, dividiendo entre 2 el Error de Cierre, se suma a

los ángulos 1 y 10, el ángulo 11 no es afecto por que se compensó en el

proceso anterior.

fc = 13”/2 = 6.5”, la compensación será aditiva porque el error es por defecto.

Los nuevos valores serán:

1) 59°43’45” + 6.5”= 59°43’51.5”

10) 41°48’40” + 6.5”= 41°48’46.5”

Triángulo II

2+3+12=179°59’57”

Er.C. = 179°59’57” – 180 = -3”

Fc. = 03”/2 = 1.5”

Compensación aditiva se suma a los ángulos 2 y 3, los nuevos valores serán:

2)42°51’55” +1.5”= 42°51’56.5”

3)77°09’30” +1.5”= 77°09’31.5”

Triángulo III

4+5+13 = 179°59’58”

Er.C = 179°59’58” – 180 = -02”

Fc = 2”/2=1”

Compensación aditiva, sumando a 4 y 5.


4)77°00’45” +1”= 77°00’46”

5)42°28’20” +1”= 42°28’21”

Triángulo IV

6+7+14=179°59’52”

Er.C =179°59’52”-180°=-8”

Fc = 8”/2=4”

Compensación es aditiva, sumando a 6 y 7.


6)75°22’25”+ 4” = 75°22’29”

7)34°50’25”+ 4” = 34°50’29”

30


Triángulo V.

8+9+15 = 179°59’53”

Er.C = 179°59’53”-180°= -07”

Fc=7”/2-=3.5”

Compensación aditiva, sumando a 8 y 9, los nuevos valores serán:

8) 36°45’20”+ 3.5”=36°45’23.5”

9) 51°58’22”+ 3.5”=51°58’25.5”

Resumen de los nuevos valores:

1.- 59°43’51.5”

2.- 42°51’56.5”

3.- 77°09’31.5” 11.- 78°27’22”

4.- 77°00’46.0” 12.- 59°58’32”

5.- 42°28’21.0” 13.- 60°30’53”

6.- 75°22’29.0” 14.- 69°47’02”

7.- 34°50’29.0” 15.- 91°16’11”

8.- 36°45’23.5” 360°0’0”

9.- 51°58’25.5”

10.- 41°48’46.5”

540°00’00”

B) Compensación trigonométrica

Si (Log.sen impar)= (Log sen par)

La discrepancia se procede a compensar como un cuadrilátero.

Vert

.

Angulo Sen Log

impar

Sen Log Par DTx1”

1 59°43’51.5” 9.936346907 1.23

31


2 42°51’56.5” 9.832689070 2.27

3 77°09’31.5” 9.9889999998 0.48

4 77°00’46.0” 9.988746282 0.49

5 42°28’21.0” 9.829455757 2.3

6 75°22’29.0” 9.985694903 0.55

7 34°50’29.0” 9.756869237 3.02

8 36°45’23.5” 9.777003113 2.82

9 51°58’25.5” 9.896376617 1.65

10 41°48’46.5” 9.823930789 2.35

49.4080485 49.408064156 17.16

luego:49.4080485-49.408064156 = -0.000015655 en el sexto lugar decimal 15.65

(se considera el valor absoluto)

(DTx1”)= 17.16

Fc = 15.65/17.16 = 0.912”

Según la técnica de compensación por aproximaciones sucesivas, 0.912” se

aumenta a cuya suma de los Log Seno sea menor, y se disminuye cuya suma sea

mayor, entonces sumamos a los ángulos impares y restamos a los pares.

Se teniendo como resultado final.

Vert. Angulo

1 59°43’52.41”

2 42°51’55.58”

3 77°09’32.41”

4 77°00’45.09”

5 42°28’21.91”

6 75°22’28.09”

7 34°50’29.91”

8 36°45’22.58”

9 51°58’26.41”

10 41°48’45.58”

540°00’00”

32


2.8- RESISTENCIA DE FIGURA.

Es una técnica que nos permite encontrar el camino más favorable para llegar al

extremo opuesto, en el cálculo de lados de un cuadrilátero también podemos decir

que es la ruta con menos error probable, para determinar el recorrido aplicamos la

fórmula:

. . . . . . (1)

donde:

R = Resistencia de figura.

dA,dB = Dif. Tabular para 1” en la cadena de triángulos.

Nd = No de direcciones observadas sin considerar el lado conocido.

Nc = No de ecuaciones de condición.

Para calcular el N° de ecuaciones de condición se puede aplicar las siguientes

fórmulas:

Nc = 2Z +Z1 – 3S + Su +4. . . . . . . (2)

Nc = na – 2(S-2). . . . . . . . . . . . . . . (3)

Nc = (Z-S+1) + (Z – 2S +3). . . . . . (4)

Si:

Z = No total de líneas.

Z1= No total de líneas visadas en una sola dirección.

S = No total de estaciones.

Su = No de estaciones no ocupadas.

na = No de ángulos medidos

Análisis de las variables.

A D

C

33


B

Nd= 10 (dirección de las flechas).

Z= 6 (lados y diagonales).

Z1= 0 (todas son visadas)

S= 4 (vértices)

Su= 0 (todo los vértices son ocupados)

na= 8 (ángulos, 1,2,3,...8)

Remplazando sus valores en cada una de las ecuaciones de condición:

Nc = 2Z + Z1 – 3S + SU + 4 = 2(6)+0-3(4)+0+4= 4

Nc = na-2(S-2) = 8-2(4-2) = 4

Nc = (Z-S+1)+(Z-2S+3) = (6-4+1)+[6-2(4)+3]= 4

Los resultados son iguales por lo tanto puede utilizarse cualquiera de ellas.

Para encontrar el camino más favorable, el cuadrilátero se descompone en todo los

caminos o cadenas existentes.

Ejemplo 10

Descomponer el cuadrilátero.

A 1

8 D

7

6

2 3 5

B 4

C

CADENA I CADENA II

A D A D

8 7

6 1 8

7

6

1 T2

T1 T3

2 T4

3 5 2

B 4

3

4 5

C B C

CADENA III CADENA IV

D A D

34


A 7 8 D A 6

1 8

7 6 1

T5 T6

T8

T7 4 5

2

5

2 4 3

B C B 3

C B CPara calcular los lados aplicamos la Ley de senos, el lado de un triángulo está en

función directa al seno del ángulo opuesto, por lo que es necesario considerar los

siguientes ángulos:

CADENA TRIANGULO

S

ANGULO

S

IT1 4, B(2+3)

T2 D(7+6), 8

IIT3 7, A(1+8)

T4 C(4+5), 3

IIIT5 7, 2

T6 5, 8

IVT7 4, 1

78 6, 3

Ejemplo 11

Calcular la cadena que conduce menor error para llegar al extremo opuesto de la base,

con los siguientes datos compensados.

Ang. 1. 49°43’31” A 2. 47°01’24” 1

8

3. 39°05’12” 7 D4. 44°09’53” 6

5. 59°24’53”6. 37°20’02”7. 34°16’34”

2 3 4 5

8. 48°58’31” B C

SOLUCION.

Partiendo de la fórmula,

35


Nd = 10

Nc = na – 2(S-2), Si: na = 8 (No de ángulos leídos).

S = 4 (N° de estaciones)

Nc = 8 – 2(4-2) = 4

Para calcular las diferencias tabulares, descomponemos el cuadrilátero en las cadenas

posibles.

CADENA I CADENA II

D D A 8 7 A 8 7

1

6

1 6

T2 T3

T1 T4

2 3 5 2

B 4

3 4 5

C B C

CADENA IV CADENA III D

A D A D A

1 8 7 8 7

6

T7 T8 6

1

T6 5

2 5 T5 3 4 C B C B 2 3 C B

En la siguiente tabla se muestra los cálculos de las diferencias tabulares para un

segundo.

36


CA

DE

NA

VA

LO

R

AN

GU

LA

R

dA

x d

B

dA

2 +

dB

2

(d

A2 +

dA

dB

+d

B2 )

(Nd

-Nc)

Nd

= 0

.6

I

T1

4

B

44°09’53”

86°06’36”

2.16

0.14

4.699

0.0205.03

10.

2

6.1

0T2

D

8

71°36’36”

48°58’31”

0.70

1.83

0.496

3.3905.17

II

T3

7

A

34°16’34”

98°42’02”

3.09

-0.32

9.54

0.108.65

14.

38.6

T4

C

3

103°34’46

”

39°05’12”

-0.51

2.59

0.26

6.72 5.66

III

T5

4

1

44°09’53”

49°43’43”

2.17

1.78

4.70

3.1811.7

33.

2

19.

9T6

6

3

37°20’02”

39°05’12”

2.76

2.59

7.62

6.7221.5

IV

T7

7

2

34°16’34”

47°01’24”

3.09

1.96

9.54

3.8519.5

26.

6

15.

1T8

5

8

59°24’43”

48°58’31”

1.24

1.83

1.55

3.367.18

En resumen, La resistencia de figura viene a ser:

Cadena I = 6.10 Cadena II = 8.60

Cadena III = 19.90 Cadena IV = 15.10

El camino más favorable para llegar al lado opuesto del cuadrilátero es el que tiene

menor valor, por que dentro de su configuración de sus ángulos guardan mejor relación

entre sí, Cadena I, (T1 y T2), es la más recomendable, las cadenas II, III y IV, sus

ángulos son muy discrepantes porque sus valores se encuentran en los extremos, de

37


acuerdo a la condición Geométrica para la formación de triángulos que dice: Los

ángulos de un triángulo no deben ser > de 150° ni < de 30°.

2.9.-CALCULO DE LADOS.

En un trabajo de triangulación todo se reduce al cálculo de lados de un triángulo

aplicando la Ley de Senos.

Ejemplo 12

En el ejemplo anterior tomamos la cadena I para calcular sus lados, si su base mide

543.25 mts.y sus ángulos compensados son:

Ang. 1= 49°43’31”

2= 47°01’24”

3= 39°05’12”

4= 44°09’53”

5= 59°24’53”

6= 37°20’02”

7= 34°16’34”

8= 48°58’31”

CADENA I

D A 8 7

1

6

T2

T1

2 3 5

B 4

CSOLUCION.

Según la Ley de Senos.

El lado opuesto de la base es CD = 618.472 mts.

38


2.10- CALCULO DE AZIMUTES.

Para el cálculo de azimut de un cuadrilátero se procede con el principio mecánico

ó la fórmula nemónica a partir de los datos de la base, el mismo que debe tener

una orientación conocida.

Zf = Zi + D180°

Donde:

Zf = Azimut a calcular.

Zi = Azimut anterior o inicial en el sentido del recorrido.

D = Angulo a la derecha.

180°; (+)180° si la suma de Zi+D es menor de 180° y (-) cuando la suma es

mayor de 180°, para el cálculo es recomendable seguir en sentido antihorario.

Ejemplo 13

En la cadena I calcular los azimutes de los lados del cuadrilátero, si la base (BA) tiene

un rumbo de S55°28’E

SOLUCION.

RBA = S 55°28’E

A

D

B

C

Convertimos Rumbos a Z.

ZBA = 180° - 55°28’

ZBA = 124°32’

En el ABC para calcular el azimut de sus lados es recomendable seguir en

sentido antihorario; por lo tanto el azimut de la base BA invertimos:

Sí ZBA = 124°32’.(directo),

ZAB= 124°32’+180°= 304°32’.

39


Aplicando la fórmula: Zf = Zi + D 180°, en el triángulo ABC.

Zf = ZBC =?

Zi = ZAB = 304°32’

B = 2+3= 86°06’36”

Zf=ZBC = 304°32’+86°06’36”-180°=210°38’36”.

Se resta 180° por que la suma de los dos primeros ángulos es mayor de 180°.

ZCA= 210°38’36” + 4 - 180°.

= 210°38’36” + 44°09’53” – 180°= 74°48’29”

ZAB= 74°48’29”+49°43’31”+180 = 304°32;

Al cerrar el circuito, se comprueba que el azimut es igual al inicial.

En el triángulo ACD se conoce el ZCA=74°48’29”, Para calcular sus azimuts en

sentido antihorario invertimos el ZCA.

ZCA=74°48’29”,

ZAC=74°48’29”+180°=254°48’29”

ZCD=254°48’29”+59°24’53”-180°=134°13’22”

ZDA=134°13’22”+71°36’36”-180°=25°49’58”

ZAC=25°49’58”+48°58’31”+180°=254°48’29”.

Con el mismo procedimiento se calcula para cualquier red de triángulos.

2.11- CALCULO DE COORDENADAS.

Para reducir los puntos topográficos en su proyección horizontal dentro de un

sistema de coordenadas, eje Norte y eje Sur es necesario conocer

fundamentalmente su orientación expresado en rumbo ó azimut y su distancia

horizontal ó proyectada en planta.

EJEMPLO.14

En el gráfico se tiene las rectas AB y BC; Para iniciar el cálculo de coordenadas se parte

de un punto conocido tal como A, cuyas coordenadas totales son (200N y 500E) si los

datos de campo de la recta son:

C NM

290.30

B

40


385.25

A

LADO AZIMUT D.H

AB 43°28’10” 385.25

BC 292°14’22” 290.30

Para obtener las coordenadas del punto B y C aplicamos las fórmulas:

N = DH *Cos Z.

E = DH *Sen Z.

Entonces calculamos las coordenadas parciales de los puntos B y C.

Coordenada parcial de B.

NPB = DH*Cos Z = 385.25 * Cos 43°28’10” = +279.552

EPB = DH*Sen Z = 385.25 * Sen 43°28’10” = +265.040

Coordenada parcial de C.

NPC = DH*Cos Z = 290.30 * Cos 292°14’22” = +109.872

EPC = DH*Sen Z = 290.30 * Sen 292°14’22” = -268.705

Los resultados obtenidos son coordenadas parciales de N y E de los punto B y C.

Para obtener las coordenadas totales de B y C sumamos algebraicamente a las

coordenadas de A las coordenadas de B y C en forma secuencial.

Coordenada total de B.

NTB = NTA + NPB = 200 + 279.552 = 479.552

ETB = ETA + EPB = 500 + 265.040 = 765.040

Coordenada total de C.

NTC = NTB + NPC = 479.552 + 109.872 = 589.424

ETC = ETB + EPC = 765.04 - 268.705 = 496.335.

El resumen de las coordenadas finales serán:

PTO N E

41


A 200.000 500.000

B 479.552 765.040

C 589.424 496.335.

Con éstos valores representamos en un sistema de coordenadas en su proyección

horizontal. C

B

A

Ejemplo 15

Calcular las coordenadas finales de una recta AB y graficar, Si el punto A tiene como

coordenada 3500N y 5000E, el alineamiento esta orientado a 275°14’36” azimutales, se

mide una distancia taquimétrica de 1615 mts, con un ángulo cenital de 96°09’45”.

SOLUCION.

Los datos de la recta son:

ZAB = 275°14’36”

D incl. = 1615 mts.

cenit. = 96°09’45”

Según la fórmula

NB=DH*CosZ y EB=DH*SenZ

es necesario calcular la distancia horizontal.

DH = D*Cos2

Sí: D = Distancia inclinada.(1615 mts)

= Angulo vertical.(90°-96°09’45”= - 6°09’45”)

Remplazando en la fórmula:

42

E

300N

400N

500N

600N

200N

500E 600E 800E 900E700E


DH = 1615*Cos2(-6°09’45”) = 1596.39 mts.

Teniendo como información la Distancia Horizontal y Azimut podemos calcular las

coordenadas parciales del punto B.

NPB = DH*Cos Z

EPB = DH*Sen Z

Remplazando valores tenemos:

NPB=1596.39*Cos 275°14’36” = 145.887

EPB=1596.39*Sen 275°14’36” = -1589.710

Las coordenadas totales de B será:

NTB = NTA + NPB = 3500+145.887 = 3645.887

ETB = ETA + EPA = 5000-1589.71 = 3410.29

Resumen: PUNTO N E

A 3500.000 5000.00

B 3645.887 3410.29

GRAFICANDO.

B

A

2.12.- CALCULO DE AREAS.

43

3000N

3500N

4000N

4500N

3000E

3500E

4000E

4500E

5000E

E

N


La superficie de un terreno se puede calcular por diferentes métodos, como:

a) En el plano se desarrolla ó mide a escala todo el perímetro y luego con el

planímetro se obtiene el área.

b) Dividiendo el terreno en triángulos y rectángulos para aplicar las fórmulas

geométricas y luego sumar toda las figuras descompuestas para obtener la

superficie del terreno.

c) Superficie a partir de coordenadas (abscisas y ordenadas)

d) Las superficies de perímetro irregular ó curvo como los causes de Ríos se

aplican la fórmula de Simpson ó Poncelet.

2.13.-CALCULO DE COTAS.

Para representar un punto tridimensionalmente en el espacio se requiere conocer

las coordenadas X, Y y Z, sí: X= E, Y= N y Z= Cota ó elevación sobre el nivel del

mar.

Las cotas en un levantamiento taquimétrico se calculan a partir de la siguiente

relación.

Cot B = Cot A + AI DV – AS.

Donde:

Cot B = Cota a calcular

Cot A = Cota inicial ó conocida.

AI = Altura de instrumento.

AS = Altura de señal.

DV = Diferencia vertical.

AS DV

B

h A.I.

44


A

Ejemplo 16

Con un levantamiento taquimétrico se desea saber la diferencia de altura que existe

entre A y B, si los datos de campo son: Distancia 322.50 mts, Angulo cenital 83°22’15”,

AI= 1.48, AS= 1.95, además se conoce la altura absoluta del punto A, 3248.50 m.s.n.m.

SOLUCION.

Según la relación se tiene:

Cot B = Cot A + AI DV – AS.

Cot B = ?

Cot A = 3248.50

AI = 1.48

AS = 1.95

DV = ?

Calculamos DV = D*Cos2.

= Ang. Vertical.(90°-83°22’15”= 6°37’45”)

DV = 322.50*Cos2(6°37’45”) = 36.981 m.

Cot B = 3248.5+1.48+36.981-1.95= 3285.011 m.

La diferencia de altura entre A y B será:

Respuesta:

h = Cot B – Cot A = 3285.011 – 3248.500 = 36.511 m.

2.14.- DIBUJO DE LA RED.

Después de todo el proceso de cálculo de la Red se tiene que plasmar en un

plano, una vez obtenido los resultados finales de coordenadas representamos de

la siguiente manera: (en el gráfico se explica los pasos a seguir.)

3500 E 3600 E 3700 E

C(4710, 3505) 4700 N

B (4670, 3655)

45


4600N A(4580 3485)

1. Elegimos la escala adecuada

2. Calculamos el rango en el eje Norte y eje Este entre los valores máximos y mínimos.

3. Reticular las coordenadas de acuerdo a la escala elegida.

4. Graficar las coordenadas de los puntos del triángulo, A, B y C.

5. Unimos los puntos mediante rectas, y queda representado el polígono ó red.

2.15- CONFIGURACION.

Después de elaborar la red de una zona, es necesario tomar detalles como casas, ríos,

caminos, promontorios, quebradas y toda la información de campo a partir de los

vértices de la Red, en caso de que un punto no es visible de ninguno de los vértices,

es recomendable jalar un punto auxiliar para levantar los puntos ocultos.

Por ejemplo, en el gráfico el Block A no es posible tomar detalles de los vértices,

para ello es necesario poner un punto auxiliar de cualquiera de los vértices, tal como

Aux-1 jalado del punto B, desde éste lugar se toma los detalles del Block A.

A

B

D

A C

C

B Aux-1

46


Desde uno ó varios vértice del triángulo se puede tomar todo los detalles necesarios

del levantamiento topográfico, los mismos que deben ser anotados en una libreta de

campo.

2.16.- LIBRETA DE CAMPO

En una libreta de campo van los siguientes datos:

1 9

2 3 4 5 6 7 8

A

D

B

C

Detallamos la descripción de los recuadros.

1. Información general.- se anota: Marca del e

2. quipo, operadores, fecha, tiempo, y otra información que pueda ser útil.

3. Punto.- En la primera columna se anota los puntos topográficos de acuerdo al

avance.

4. Distancia taquimétrica tomada con el Teodolito.

5. Angulo horizontal con respecto a la vista atrás.

6. Angulo cenital, lectura del limbo vertical.

7. Altura del instrumento.

47


8. Altura de señal, se lee en la mira ó estádia desde el piso hasta el hilo estadimétrico

central.

9. En la última columna se anota las observaciones de cada punto para identificar

con rapidez.

10. Al lado derecho de la libreta se lleva la secuencia del levantamiento

mediante un croquis.

CAPITULO II

CAMINOS

GENERALIDADES

Para estudio de vías en general es importante realizar ciertos levantamientos Topográficos,

el proyectista encargado debe reunir todo los datos necesarios para la formulación del

proyecto, dentro de lo primordial es el conocimiento del terreno, Levantamiento

Topográfico para determinar todo los detalles y características planimétricas.

Antes de iniciar un proyecto de vías se debe fijar y describir el punto inicial y final, estos

puntos deben tener la suficiente elasticidad para adaptarse a las modificaciones o

variaciones del trazo existente.

1.- ETAPAS DEL TRAZO.-La realización del proyecto obedece a una serie de etapas que

comienza con el reconocimiento del terreno en los puntos extremos del proyecto

estudiando todo los posibles emplazamientos de la futura vía, seguidamente se realiza

un levantamiento detallado del trazo ubicando las estacas que señalan el eje, en algunos

casos el levantamiento puede ser bastante completo definiendo el eje del camino sin

riesgo a variación posterior, en otros casos es preciso realizar algunas variaciones en el

eje, posterior al levantamiento se procesa en gabinete ubicando las estacas para el

replanteo que consiste en señalar los puntos por donde seguirá el itinerario para el cual

el proyectista tendrá los cálculos de perfiles, secciones y movimientos de tierra.

2.- CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.

Dentro del diseño de alineamiento o ejes en caminos, ferrocarriles, canales, tuberías, se

enlazan con curvas circulares horizontales, las curvas circulares por su naturaleza

48


pueden ser simples o compuestas alternado con ciertas variantes de acuerdo al relieve

del terreno.

2.1.-ELEMENTOS DE UNA CURVA

AA’,BB’= Alineamiento ó Dirección.

O = Punto medio.

PC. = Principio de curva.

PT. = Principio de tangente.

T = Tangente.

R = Radio.

E = External (M-V)

I = Angulo de intersección.

V = Punto de intersección.

G = Grado de curva.

LC = Longitud de curva (PC-M-PT)

C = Cuerda (PC-N-PT)

Por principio Geométrico G = I

2.2.-DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS.

49


- TANGENTE.- Dentro del alineamiento AA’ entre el tramo PC y V es la

tangente, el mismo que se calcula con

- CUERDA.- Tramo comprendido entre PC y PT.

- LONGITUD DE CURVA.- Tramo comprendido entre

(PC-M-PT) =

- EXTERNA.- Distancia del punto máximo de la curva al vértice (M-V)

Las fórmulas expuestas de los cuatro elementos de curva circular horizontal es

fundamentalmente para hacer cálculos y ubicar los puntos sobre la curva para un

posible replanteo.

EJEMPLO 1:

Calcular los elementos de curva de un radio de 95 m, conociendo los alineamientos

AA’=343°20’ Y BB’=295°35’, El PC. se encuentra en el alineamiento AA’

SOLUCION.

1) Croquis

Por principio geométrico

50


Se tiene que G=I.

Calculamos I en función de los Azimuts

de AA’ Y BB’

I=180°-(343°20’-295°35’)

I=132°15’

G=I=132°15’

2) cálculo de elementos

EJEMPLO 2.

En el problema anterior ubicar las estacas sobre la curva cada 30 mts. replanteando

desde el PC.

SOLUCION.

1) La longitud de curva en el problema anterior es 219.279 mts, se pide replantear cada

30 mts.

N° de estacas = 219.279 / 30 = 7.3093.

se tiene 7 tramos cada 30 mts y un tramo de 9.279 mts.

2) Calculamos el grado de curva (G) para 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 y 219,279mts,

Si para 219.279mts es 132°15’, entonces para 30mts será 18°05’36.2”; (se obtiene

por regla de tres simple), con igual procedimiento se calcula para las demás

distancias.

51


3) Cálculo de cuerdas para cada punto.

Por la fórmula C = 2R * Sen G/2

PUNTOLONGITUD

DE CURVA

CUERDA

(m).

GRADO DE

CURVA

PC-1 30 29.875 18°05’36.2”

PC-2 60 59.008 36°11’12.4”

PC-3 90 86.672 54°16’40.6”

PC-4 120 112.180 72°22’24.8”

PC-5 150 134.897 90°28’01”

PC-6 180 154.257 108°33’37.2

PC-7 210 169.781 126°39’13.4”

PC-PT 219.279 173.742 132°15’00”

2.3.-REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES.

Conociendo los elementos de curva circular horizontal podemos calcular el

estacado del tramo sobre la longitud de la curva, existen diferentes métodos para

replantear las curvas circulares, por condición del terreno enunciaremos los dos

métodos más usuales por ángulo de deflexión; el primero es cuando la visibilidad es

total de la curva desde el PC. y el segundo método es cuando no es visible la curva

desde el PC.(con puntos de cambio).

52


3.-REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIÓN CON VISIBILIDAD DESDE

EL PRINCIPIO DE CURVA (PC.)

Por principio básico para replantear una curva circular debemos tener como información

el grado de curva para una determinada longitud de arco y cuerda, por geometría

tenemos que G = I para ubicar el punto 1 se debe calcular la cuerda PC-1 en función al

grado de curva G1, de igual manera para ubicar el punto 2 calcular la cuerda PC-2 en

función del grado de curva G2, así sucesivamente hasta la cuerda mayor PC-PT. Para

replantear se estaciona el teodolito en PC con el limbo horizontal en el alineamiento o

Tangente con 0°0’0”, desde el cual giramos al punto 1 con un ángulo de G1/2 (mitad del

grado de curva para la longitud del arco.) y con una distancia de PC-1 (cuerda). Para el

punto 2 medimos un ángulo de G2/2 y una cuerda de PC-2, de ésta manera procedemos

para los demás puntos.

EJEMPLO 3.

Se tiene una curva circular de 90 m. de radio y un ángulo de intersección de 130°, se

quiere replantear cada 60 m.

53


SOLUCION

1) Graficamos y calculamos los elementos de curva.

Si G=I

G = 130°

2) Se pide replantear cada 60 mts.

No de estacas = LC/60m.= 204.204/60 = 3.4034

Se ubicará 3 puntos cada 60 mts y un tramo de 24.204m.

3) Calcular el grado de curva (G) y cuerda para una longitud de arco de 60, 120, 180 y

204.204m.de acuerdo al cálculo de estacas.

Si para una longitud de arco de 204.204m. corresponde un ángulo de 130° y para

60m de arco corresponderá 38°11’49.5”(regla de tres simple), con el mismo

procedimiento se calcula para 120, 180m.

Para calcular la cuerda aplicamos su fórmula: C=2RSenG/2.

54


Del punto PC-1= 2*90*Sen38°11’49.5”/2 = 58.895m.

PC-2= 2*90*Sen76°23’39”/2 = 111.306m. de esta manera calculamos las

cuerdas.

RESUMEN.

PTOS LONG.

DE

CURV

A.

GRADO

DE

CURVA.

CUERD

A (m)

ÁNG.

DEFLEX.

G/2

PC-1 60 38°11’49.5” 58.895 19°05’54.8”

PC-2 120 76°23’39” 111.306 38°11’49.5”

PC-3 180 114°35’28.5” 151.465 57°17’44.3”

PC-PT 204.204 130°00’00” 163.135 65°00’00”

Para replantear, seguir el siguiente procedimiento: Estacionar el teodolito en el

Principio de Curva (PC) con 0°00’00” en el alineamiento (V), giramos al punto 1

con un ángulo de 19°05’54.8” y una distancia (cuerda) de 58.895m. Para el punto 2

medimos un ángulo de 38°11’49.5” y una cuerda de 111.306m, para el punto 3 se

mide un ángulo de 57°17’44.3” y una distancia (cuerda) de 151.45m. y al PT

tenemos la mitad del grado de curva (G) 65° y una cuerda principal de 163.135m.

de esta manera queda demostrado.

4.- REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIÓN CON PUNTOS DE CAMBIO.

Por principio geométrico tenemos que el ángulo de PC al punto 1 es igual a G/2, o sea

la mitad del grado de curva G. En el gráfico para la longitud de arco PC-1 el ángulo de

deflexión será G1/2, mitad del grado de curva G1, El ángulo de deflexión en el punto 1

será (G1+G2)/2, La deflexión para el punto 2 será (G2+G3)/2, así sucesivamente hasta el

último punto.

55


EJEMPLO.4.

En el problema anterior, replantear con puntos de cambio suponiendo no existe

visibilidad al extremo opuesto desde PC.

SOLUCION.

1) En el problema anterior tenemos ubicado tres puntos cada 60 mts. y un tramo de

24.204 mts.

2) El grado de curva calculado para 60 mts. es 38°11’49.5”

3) El grado de curva para 24.204 mts. es 15°24’31.4”

4) Las cuerdas calculadas para 60 mts. de arco es 58.895 mts. y para 24.204 mts. es

24.131 mts.

5) Calculamos la deflexión para cada punto de acuerdo al principio geométrico.

Angulo de deflexión en PC = G1/2

Angulo de deflexión en 1 = (G1+G2)/2



56


RESUMEN.

PTOS

LONG.

DE

CURVA

GADO DE

CURVA

CUERD

A

(m)

ÁNG. DE

DEFLEXIO

N

PC-1 60 38°11’49.5” 58.895 19°15’54.8”

1-2 60 38°11’49.5” 58.895 38°11’49.5”

2-3 60 38°11’49.5” 58.895 38°11’49.5”

3-PT 24.204 15°24’31.4” 24.131 26°48’10.45”

Para replantear se procede de la siguiente manera: Estacionar el teodolito en el PC. Con

el limbo horizontal en 0°00’00” en el alineamiento o vista al vértice V , luego se gira

hacia el punto 1 con un ángulo G1/2 = 19°15’54.8” y una distancia de 58.895 mts

(cuerda), Se traslada el teodolito al punto 1 y se visa al PC con 0°00’00” basculando el

anteojo 180° quedando en su alineamiento o proyección, luego se gira hacia el punto 2

con un ángulo de (G1+G2)/2 = 38°11’49.5” con una distancia igual al anterior de 58.895

mts. trasladamos el equipo al punto 2 con vista atrás a 1 y 0°00’00” en el limbo

horizontal, basculamos 180° y giramos al punto 3 con un ángulo de

(G2+G3)/2=38°11’49.5” y una distancia de 58.895 mts. y finalmente ubicamos el equipo

en el último punto 3, con el mismo procedimiento medimos un ángulo

57


(G3+G4)/2=26°48’10.45” y una distancia de 24.131 mts, de esta manera queda

replanteado los tres puntos sobre la curva.

EJEMPLO 5.

En el levantamiento del eje de una carretera se tiene el rumbo del PC al punto de

intersección V N68°32’E y del punto de intersección al PT S16°44’W, de acuerdo a las

características del terreno pide diseñar una carretera de 120 mts de radio y replantear

cada 35 mts. desde el PC.

SOLUCION.

Realizamos su croquis y calculamos G a partir de sus orientaciones.

1) I=128°12’ (calculado en función a sus rumbos.)

2) Cálculo de sus elementos de curva.

3) Cálculo del número de estacas.

Conociendo la longitud de curva calculamos el número de estacas No de estac.=

268.501/35 = 7.671, entonces tenemos 7 tramos de 35 mts y uno de 23.501 m.

58


4) Cálculo del grado de curva para 35 m. y 23.501 m. Si para 268.501 (LC) corresponde

un grado de 128°12’ y para 35 m. será 16°42’40.67”, de igual manera el grado para

23.501 m será 11°13’16.31”.(por regla de tres simple)

5) Cálculo de cuerda para cada tramo desde PC a 1, 2, 3...y PT. con la fórmula

C=2R*SenG/2.

Luego, de PC-1= 2*120*Sen16°42’40.67”/2=34.876 m.

De PC-2= 2*120*Sen33°25’21.34”/2=69.012 m.

. . . . . . . . . .

de PC-PT= 2*120*Sen128°12’/2=215.894 m.

RESUMEN DE LOS CALCULOS.

PTO

LONG.

CURVA

(m)

GRADO DE

CURVA

(° ’ ”)

CUERDA

(m)

(G/2) ÁNG.

DE

DEFLEXIÓN

PC-1 35 16°42’40.67” 34.876 8°21’20.4”

PC-2 70 33°25’21.34” 69.012 16°42’40.7”

PC-3 105 50°08’02.01” 101.682 25°04’01”

PC-4 140 66°50’42.68” 132.194 33°25’21.3”

PC-5 175 83°33’23.35” 164.530 41°46’41.7”

PC-6 210 100°16’04.02” 184.211 50°08’02.0”

PC-7 245 116°58’44.69” 204.611 58°29’22.3”

PC-PT 268.501 128°12’00” 215.894 64°06’00”

59


6) Cálculo del ángulo de deflexión. Este ángulo viene a ser la mitad G/2 del grado de

curva G. como muestra en la última columna del cuadro.

Si, del PC-1, G es 16°42’40.7” y G/2 es 8°21’20.4”,

PC-2, G es 33°25’21.2” y G/2 es 16°42’40.7”, así sucesivamente hasta el último

punto.

CONCLUSIÓN. Para replantear ubicamos el teodolito en PC. Visamos el alineamiento

ó el vértice V con 0°00’00” en el limbo horizontal luego giramos al punto 1 con un

ángulo G1/2 (8°21’20.4”) y una distancia de 34.876 m. (cuerda), para el punto 2

medimos con un ángulo de G2/2 (16°42’40.7”) y una cuerda de 69.012 m. así

sucesivamente hasta visar el PT con un ángulo G/2 (64°06’) y una cuerda de 215.894 m.

EJEMPLO 6.

En el problema anterior calcular los ángulos de deflexión con puntos de cambio y sus

respectivas cuerdas.

SOLUCION.

1) Según el problema anterior se tiene 7 tramos de 35 mts y un tramo de 23.501 mts.2) El grado de curva para 35 y 23.501 mts calculado es 16°42’40.7” y 11°13’15.31”

respectivamente.3) Las cuerdas para los arcos de 35 y 23.501 mts son: 34.876 y 23.464 mts

respectivamente.4) Para calcular el ángulo de deflexión para cada punto se aplica de acuerdo al principio

Geométrico de la siguiente manera:

60


Angulo de deflexión. en PC es G1/2= 8°21’20.35”

Angulo de deflexión. en 1 es (G1+G2)/2=16°42’40.7”

Angulo de deflexión. en 2 es (G2+G3)/2=16°42’40.7

Hasta el punto 6 el valor es el mismo por tener los valores angulares iguales, variando

en el último tramo, en el punto 7 de (G7+G8)/2=13°57’58”

5) Para replantear se inicia en el PC, desde el cual se visa al vértice o alineamiento con

0°00’00”, luego se gira al punto 1 con un ángulo de G1/2 de 8°21’20.35” y una

cuerda de 34.874 mts. queda fijado el punto, luego se traslada el teodolito al punto 1

visando al PC con el limbo Horizontal en 180°00’00”, en ésta basculamos el anteojo

180° quedando en su proyección en 0°0’00”, girar al punto 2 midiendo un ángulo

(G1+G2)/2 = 16°42’40.7” y una cuerda de 34.876 mts. así sucesivamente hasta llegar

hasta el penúltimo punto con los mismos valores por tener distancias y grados de

curvas iguales, en el último tramo, punto 7 varía el ángulo y la cuerda en

(G7+G8)/2=13°57’58” y una distancia de 23.464 mts. de esta manera queda

establecido todo los puntos de la curva.

6) RESUMEN.

PUNTO

LONG.

DE

CURVA

CUERDA

(m).

GRADO DE

CURVA

ÁNG.

DE

DEFLEXIÓN.

PC-1 35 34.876 16°42’40.7” 8°21’20.35”

1-2 35 34.876 16°42’40.7” 16°42’40.7”

2-3 35 34.876 16°42’40.7” 16°42’40.7”

3-4 35 34.876 16°42’40.7” 16°42’40.7”

4-5 35 34.876 16°42’40.7” 16°42’40.7”

5-6 35 34.876 16°42’40.7” 16°42’40.7”

6-7 35 34.876 16°42’40.7” 16°42’40.7”

7-PT 23.501 23.464 11°13’15.31” 13°57’58”

61


EJEMPLO 7.

La ubicación de estacas en un alineamiento que tiene un rumbo de S62°20’E, Llegando

al punto de intersección con una longitud del proyecto de 3460 m. o correspondiente a

la progresiva Km 3+460m. a partir de ésta, cambia de dirección a S42°51’W, se quiere

replantear cada 25 mts. en cantidades enteras con un radio de 80 mts, calcular las

progresivas, ángulo de deflexión y cuerdas para cada punto.

SOLUCION.

1) La distancia del proyecto hasta el punto de intersección “V” es 3460 mts

correspondiente a la progresiva Km 3+460

2) El grado de curva “G” es igual a I=62°20’+42°51’=105°11’, entonces G=I= 105°11’

3) cálculo de los elementos de curva

4) Al punto de intersección del proyecto se llega con 3460 m. igual a la progresiva Km

3+460, para llegar al PC. restamos la longitud de la tangente (104.60m.)

3460m.-104.60m.= 3355.40m. = Km3+355.4 (progresiva)

el PC tendrá como progresiva Km 3+355.4

62


5) De acuerdo al planteamiento del problema pide ubicar las estacas cada 25 mts.

enteros, el siguiente punto sobre la curva estacada cada 25 mts. será 3375=

Km3+375, para llegar a éste punto sumamos 19.6 m. que resulta de restar 3375-

3355.40=19.60 m.(la cantidad entera se refiere al múltiplo de 25 en el kilometraje,

por lo tanto el inmediato superior de 3355.40 es 3375 m.)

6) Los siguientes puntos sobre la curva será: (en el cuadro

se muestra desde el punto 1).

PUNTO DISTANCIA PROGRESIVA.

PC 3355.4 3+355.4

1 3375 3+375

2 3400 3+400

3 3425 3+425

4 3450 3+450

5 3475 3+475

6 3500 3+500

PT 3502.264 3+502.3

7) Para llegar al PT se suma la Longitud de curva al PC, entonces,

3355.4+146.864=3502.264 (Km 3+502.3), Hasta el momento se ha calculado las

distancias sobre la curva y sus progresivas de los seis puntos, del PC al PT.

63


8) Para replantear es necesario calcular el grado de curva y sus respectivas cuerdas de

cada punto, para ello aplicaremos las fórmulas conocidas, para llegar al punto 1 (Km

3+375 m.) se tiene una distancia de 19.6 m. desde el PC(Km 3+355.4); es importante

hacer notar que en la longitud de curva existe 3 tramos diferentes el primer tramo

(19.6m.), tramos intermedios (25 m.) y el tramo final (2.264m.), por lo tanto calcular

el grado de curva y cuerda para cada arco desde PC.

9) Cálculo de G para un arco de 19.6m. (PC-1)

Si para 146.864 m. se tiene un ángulo “G” de 105°11’ y para 19.6 m. será

14°02’14.75”; y para el punto 2 (19.6 + 25 m = 44.60), distancia del arco (PC-2)

(44.60m.), su grado de curva será 31°56’32.35”, así sucesivamente hasta llegar al

último tramo. Para calcular las cuerdas para cada grado de curva aplicamos la

fórmula conocida, C=2RSenG/2, para el primer tramo: CPC-1=

2*80*Sen14°02”14.75”/2 = 19.551 m. Para el punto 2 CPC-2 =

2*80*Sen31°56’32.35”/2 = 44.025 m. de esta manera para los demás puntos.

RESUMEN.

PTO

LONG.

DE

CURVA

GRADO DE

CURVA (G)

CUERDA

(m)

ÁNG. DE

DEFLEX.(G/2)

PC-1 19.60 14°02’14.75” 19.551 7°01’07.38”

PC-2 44.60 31°56’32.35” 44.025 15°58’16.18”

PC-3 69.60 49°50’49.94” 67.426 24°55’24.97”

PC-4 94.60 67°45’07.53” 89.184 33°52’33.77”

PC-5 119.60 85°39’25.13” 108.769 42°49’42.57”

PC-6 144.60 103°33’42.72” 125.704 51°46’51.36”

PC-PT 146.864 105°11’00” 127.092 52°35’30.00”

10) CONCLUSION.

Después de calcular la cuerda y G/2 para cada longitud de curva se procede a

replantear de la siguiente manera:

Estacionado el teodolito en PC que corresponde a la progresiva Km 3+355.4 se visa

al alineamiento o punto de intersección con el limbo horizontal en 0°00’00”, giramos

al punto 1 que corresponde a la progresiva Km 3+375 con un ángulo G/2 de

64


7°01’07.38” con una distancia de 19.551 equivalente a su cuerda, luego visamos al

punto 2 que corresponde a la progresiva Km 3+400. con un ángulo de G/2(para una

longitud de curva de 44.60m.) de 15°58’16.18” y una cuerda de 44.025 m. así

sucesivamente hasta llegar al PT que corresponde a la progresiva Km 3+502.3 con

un ángulo G/2 de 52°35’30” y una cuerda de 127.092m.

EJEMPLO 8.

En el problema anterior con los elementos de curva calculados replantear cada 30 mts.

en cantidades enteras con puntos de cambio.

SOLUCION:

1) Graficando el croquis, se tiene calculado los elementos de curva:

T = 104.60 mts.

LC = 146.864 mts.

C = 127.092 mts.

E = 51.687 mts.

La progresiva de PC es Km 3+355.4

2) La progresiva de PT es Km 3+502.3, ésta se obtiene sumando la Longitud de Curva

al PC.

65


3) El primer punto sobre la curva es Km 3+360 por ser un

cantidad inmediata entera que se obtiene sumando 4.60 mts

(3355.4 + 4.6 = 3360 = Km 3+360, en la siguiente tabla

representamos las distancia y su respectiva progresiva.

PUNTOS DISTANCIA PROGRESIVA

PC 3355.4 3+355.4

1 3360 3+360

2 3390 3+390

3 3420 3+420

4 3450 3+450

5 3480 3+480

PT 3502.264 3+502.3

4) Calculamos G y cuerda para cada Longitud de curva

aplicando las fórmulas conocidas

PTO

LOG.

DE

CURVA

(m)

GRADO DE

CURVA (G)

CUERDA

(m)

ÁNG. DE

DEFLEX.

PC-1 4.60 3°17’40.20” 4.599 1°38’50.1”

1-2 30 21°29’09.11” 29.824 12°23’24.66”

2-3 30 21°29’09.11” 29.824 21°29’09.11”

3-4 30 21°29’09.11” 29.824 21°29’09.11

4-5 30 21°29’09.11” 29.824 21°29’09.11

5-PT 22.264 15°56’43.35” 22.192 18°42’56.23”

CONCLUSION. Calculado los ángulos de deflexión para cada punto y sus

respectivas cuerdas iniciamos el replanteo estacionar el teodolito en PC, cuya

progresiva es Km 3+355.4 desde el cual hacemos la vista atrás al punto de

intersección con el limbo horizontal en 0°00’00” luego giramos al punto 1

(Km3+360) con un ángulo G1/2 de (1°38’50.1”) y una distancia de 4.599

equivalente a su cuerda, seguidamente trasladamos el equipo al punto 1 desde el

cual hacemos vista atrás al PC con 180°00’00” basculando el anteojo 180° queda en

66


su proyección en 0°0’0”, desde ésta posición medimos un ángulo de

12°23’24.66”(G1+G2)/2 y su cuerda de 29.824 mts. seguidamente nos ubicamos en

el punto 2, con el mismo procedimiento medimos un ángulo de 21°29’09.11”

(G2+G3)/2 y su respectiva cuerda de 29.824 mts, así sucesivamente hasta llegar al

último punto, quedando fijado las estacas sobre la curva cada 30 m. con progresivas

enteras.

EJEMPLO 9.

Tomando como datos del último ejemplo es importante conocer sus coordenadas de los

puntos estacados sobre la curva cada 25 mts enteros (PC,1,2,3,4,5,6 y PT), para ello se

conocen las coordenadas del vértice (2345N, 3425E).

SOLUCION.

1) Croquis, Conociendo la orientación del alineamiento o Tangente PC-V de S62°20”E

y su distancio T de 104.60 m. se calcula las coordenadas de PC.

Calculamos el azimut de V-PC.

Sí Rumbo de PC-V = S62°20’E

V-PC = N62°20’W

Azimut V-PC = 297°40’

67


2) Coordenadas parciales de PC,

N = DH*Cos Z; E = DH*SenZ. Si DH = T

Remplazando valores.

N = 104.60*Cos297°40’ = 48.569

E = 104.60*Sen297°40’ = -92.64

3) Coordenadas totales de PC.

N = 2345+48.569 = 2393.569

E = 3425-92.640 = 3332.360

4) Desde PC es posible lanzar las coordenadas a los puntos 1,2,...y PT. Calculando para

ellos sus azimutes y cuerdas respectivas.

ZPC-1 = ZV-PC + Áng.D. 180°

Áng.D = Angulo de deflexión para cada punto desde PC.

Remplazando valores tenemos:

ZPC-1 = 297°40’+7°01’07.38”-180°=124°41’07.38”

Con el mismo procedimiento se calcula el azimut para cada punto.

5) La Distancia Horizontal es la cuerda para cada grado de curva calculando con las

fórmulas conocidas.

6) Cuadro de valores angulares, ángulo de deflexión, Azimut y distancia horizontal ó

cuerda.

PUNTOS ÁNG. D.= G/2 AZIMUT DH=C

V-PC 297°40’

PC-1 7°01’07.38” 124°41’07.38” 19.551

PC-2 15°58’16.18” 133°38’16.18” 44.025

PC-3 24°55’24.97” 142°35’24.97” 67.426

PC-4 33°52’33.77” 151°32’33.77” 89.184

PC-5 42°49’42.57” 160°29’42.57” 108.769

PC-6 51°46’51.36” 169°26’51.36” 125.704

PC-PT 52°35’30.00” 170°15’30.00” 127.092

68


7) Las coordenadas de los puntos se calcula con el

procedimiento indicado anteriormente, obteniendo como

resultado.

PUNTO NORTE ESTE

V 2345.000 3425.000

PC 2393.569 3332.36

1 2382.443 3348.437

2 2363.187 3364.222

3 2340.012 3373.322

4 2315.161 3374.856

5 2291.042 3368.677

6 2269.991 3355.381

PT 2268.31 3353.865

O 2322.716 3295.214

PROBLEMA PROPUESTO.

1).-En un levantamiento del eje de una carretera se llega al Km 5 cuyas coordenadas son

(3248N,2112E), continuando se llega al punto de intersección V, con coordenadas

(2950N,2490E), de éste punto cambia de dirección a S63°03’03”W, se desea

replantear la curva circular de 75 m. de radio cada 20 mts (en cantidades enteras),

indicar sus progresivas, además sus coordenadas de cada punto.

Rspta: PTO PROGRES COORDENADA

Km N E

PC 5+267.7 3042.096 2417.395

1 5+280 3051.071 2409.043

2 5+300 3062.432 2392.656

3 5+320 3069.074 2373.855

4 5+340 3070.526 2353.968

5 5+360 3066.686 2334.401

6 5+380 3057.826 2316.537

7 5+400 3044.572 2301.640

PT 5+418 3029.654 2291.644

69


5.- SECCIONES LONGITUDINALES.

Los perfiles longitudinales a partir de curvas de nivel se obtienen de la siguiente

manera:

- Las curvas de nivel están ubicadas en el plano horizontal.

- Los perfiles se dibujan en el plano vertical.

- Primero, graficar un sistema de coordenadas X e Y donde

X = distancia horizontal y el eje Y = cota o altitud.

- En el gráfico, X viene a ser la distancia horizontal del eje del perfil AB.

- En el eje Y representamos desde la cota más baja 3850 hasta la curva 3890 a una

escala determinada.

- La sección AB en el plano horizontal corta a las curvas de nivel en diferentes

puntos.

- De las intersecciones respectivas se levantan perpendiculares hacia el plano

vertical hasta cortas su respectiva altura.

- Levantado toda las intersecciones de las curvas, a mano alzada se une los puntos,

donde queda representado el perfil longitudinal del eje AB.

- Con el mismo principio se puede obtener el perfil longitudinal de cualquier

sección del plano horizontal.

- Las secciones transversales se levantan perpendicular al eje a distancias

uniformes o de acuerdo a la característica del levantamiento y con el mismo

principio anterior se determina su sección para el cálculo de áreas y volúmenes.

70


En los levantamientos Topográficos para carreteras, ferrocarriles, canales etc. Se

colocan estacas o señales a intervalos regulares a lo largo del eje, estos pueden ser

cada 100 m. a veces menores entre 50, 25, 10 mts ó de acuerdo a las características

del terreno y necesidad del usuario, en cada estaca se pinta el número de la estación y

fracción, por ejemplo si el punto es 1280 se numera de éste modo “1+280” ó si el

punto ésta en el Kilómetro 2 y 350 mts, se numera así Km 2+350m

71


6.- SECCIONES TRANSVERSALES.

Dentro de un proyecto es frecuente obtener el área y volumen a moverse para una

determinada obra por lo que es necesario realizar un corte transversal trazando cada

cierto tramo en forma perpendicular al eje de la vía con una longitud promedio de 50

a 60 mts. Obteniendo el perfil de éste corte se puede ubicar la cota del terreno sobre

el eje desde el cual se puede calcular la altura de corte o relleno y llegar hasta la

rasante.

7.- RASANTE.

Es la pendiente regular de la línea sobre el cual se diseña la plataforma de la vía,

normalmente la rasante se expresa en % ó sea, si la pendiente es 8% significa que en

100 mts sube 8 mts.

72


8.- AREAS Y VOLÚMENES.

El cálculo de áreas y volúmenes es de vital importancia para determinar el

movimiento de tierra y costos, esto se obtiene a partir de las secciones transversales.

Para el cálculo de áreas de las secciones de corte y relleno se procede a calcular con

las fórmulas geométricas conocidas y el volumen de acuerdo a la explicación

siguiente.

VC = Volumen de corte

VR = Volumen de relleno

D = Distancia (eje) de separación de corte a corte

AC = Area de corte

AR = Area de relleno

En el corte transversal en la sección 5+00 se tiene un área de corte y relleno “AC y

AR” igual en la sección 5+02, entre los cortes se tiene una separación de 20 mts

(eje). Para obtener el volumen se obtiene el promedio de las áreas de corte y relleno

respectivamente y se multiplica por su distancia de separación entre ambas

secciones, a partir de estos resultados se puede deducir la relación de volumen de

corte y relleno.

73

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