Tópicos Especiais em Energia Elétrica (Projeto de Inversores e Conversores CC-CC)

Aula 3.2

Projeto de Sistemas de Controle Linear

Prof. João Américo Vilela

Departamento de Engenharia Elétrica

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Teoria de Controle Linear

A figura abaixo mostra um sistema de controle em malha fechada.

- A tensão de saída (V0) é medida e comparada com um valor de

referência (V0ref), o erro entre os dois valores entra do compensador que

produz um sinal de controle (Vc).

- O sinal de controle defini uma razão cíclica (d) no bloco de modulação

PWM. A razão cíclica entra no modelo do conversor definindo a tensão de

saída.

Obs. modelo linear do conversor é a equação que foi definida na aula 2.1.

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Teoria de Controle Linear

A figura abaixo mostra um sistema de controle em malha fechada.

Compensador

(controle)

Conversor real

Modulação

PWM

Ganho

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Teoria de Controle Linear

A função de transferencia em malha aberta (FTMA) é obtida entre os

pontos A e B na figura.

A equação para calculo da FTMA é:

ksGsGsGsFTMA PPWMC )()()()(

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Frequência de cruzamento (fc): é a frequência em que o módulo da FTMA

cruza o eixo da frequência, ou seja, iguala-se a zero db.

Quanto maior for a frequência de cruzamento, mais rápido será a resposta

em frequência do conversor.

Teoria de Controle Linear

Frequência de

cruzamento

Diagrama de Bode

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Teoria de Controle Linear

Margem de fase (MF): A MF definida pela equação abaixo, fornece um

critério para que se possa garantir a estabilidade do sistema. Se a margem

de fase for igual ou menor do que zero, o sistema em malha fechada se

torna instável. Quanto maior a MF mais lento e estável é o sistema.

)(1800 CFTMA fMF

Margem de fase

(MF)

Diagrama de Bode

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Teoria de Controle Linear

Geralmente o controle é projetado para operar com uma margem de fase

de 60º, pois valores muito menores produzem uma elevada sobre tensão e

resposta muito oscilatória, para valores muito maiores a resposta fica

lenta.

)(1800 CFTMA fMF

Resposta do sistema para margens de fase menor e maior que 60º.

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Linearização do Gerador PWM

A tensão de controle vc(t) que sai do compensador é comparada com uma

dente de serra com amplitude constante (Vr), a frequência da dente de

serra também é constante.

A razão cíclica do sinal que sai do

comparador é:

r

c

V

tvtd

)()(

Com oscilação em torno do ponto de

equilíbrio a tensão de controle pode

ser expressa por:

)(~)( tvVtv ccc

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Dividindo toda equação por Vr obtemos:

)(

~)(

)(~)(

td

r

c

D

r

c

td

r

c

V

tv

V

V

V

tv

A função de transferência linearizada do

gerador PWM para pequenas

perturbações é:

r

c

V

svsd

)(~)(

~

rc

PWMVsv

sdsG

1

)(~)(

~

)( Função de transferência

linearizada do gerador PWM

Linearização do Gerador PWM

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo integrador

Determinar a função de transferência

deste compensador.

A tensão no capacitor é a integral da

corrente.

dtRtv

Ctv

i

e

fc

)(1)(

sCRsv

sv

fie

c

1

)(

)(

fic

CRf

2

1

Esse circuito apresenta um pólo na origem,

o que significa uma defasagem constante

de -90º e uma atenuação de 20dB/dec.

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo integrador (diagrama de Bode idealizado da função de

transfência do compensador).

Esse circuito apresenta

um pólo na origem, o que

significa uma defasagem

constante de -90º e uma

atenuação de 20dB/dec.

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo integrador

Diagrama de Bode da função de transferência do compensador

Ri = 10Ω; Cf = 1uF.

-50

0

50

100

Ma

gn

itu

de

(d

B)

100

101

102

103

104

105

106

-95

-90

-85

Ph

ase

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Frequência de cruzamento 15,9kHz

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 2

Esse compensador apresenta um zero e dois

pólos, sendo um na origem (devido ao

integrador).

sCCRsCCRRsRC

sv

sv

e

c

2112

2121

211

)(

)(

Função de transferência do compensador

21121212111

)(

)(

CCRsCCRR

sRC

ssv

sv

e

c

p

z

e

c

ws

ws

s

CCRR

CCRs

RCs

ssv

sv

1

1

1

)(

)(

2121

211

21

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 2

Frequência do zero:

Frequência do pólo:

122

1

CRFZ

21

22212

212

2

1

2CCse

CRCCR

CCFp

O circuito apresenta uma faixa plana (AV) que pode melhorar a faixa de

resposta. O ganho na faixa plana é:

1

2

R

RAV

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 2

Diagrama de Bode idealizado da função de transfência do compensador

Esse circuito apresenta

um pólo na origem, o que

significa uma defasagem

inicial de -90º e uma

atenuação inicial de

20dB/dec.

O zero atenua o

decaimento em 20 dB/dec

e insere um avanço de

90º graus na fase.

100

101

102

103

104

105

106

-90

-60

-30

0

Ph

ase

(d

eg

)

-40

-20

0

20

40

Ma

gn

itu

de

(d

B)

Bode Diagram

Frequency (Hz)

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 2

Diagrama de Bode da função de transfência do compensador para:

R1 = 10kΩ; R2 = 10kΩ; C1= 220nF; C2 = 1nF.

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 3

Esse compensador apresenta

dois zeros e três pólos, sendo um

na origem.

Função de transferência do compensador

sCCRsCCCRRCCRRsCCCRRR

sCRCRRsRRCCR

sv

sv

e

c

)())(()(

1))(()(

)(

)(

21

2

1

2

2133

2

1212

2

1

3

32132

2

1

12313

2

13312

2

2

1

1

)(

)(

P

Zc

e

c

w

s

w

s

s

k

sv

sv

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 3

12)1(1

2

1

CRFZ

13313)2(2

2

1

2

1

RCRRCFZ

33)3(1

2

1

RCFp

2122221

21)4(2

2

1

2CCse

RCRCC

CCFp

Os pólos e zeros podem ser

calculados conforme as equações

abaixo:

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 3

Diagrama de Bode idealizado da função de transfência do compensador

31

3

2

31

3122

RRse

R

R

RR

RRRAV

1

21

R

RAV

As faixas planas (AV) desse

compensador são:

Projeto de Inversores e Conversores CC-CC

Tipos de Compensadores

Compensador tipo 3

Diagrama de Bode da função de transfência do compensador para:

R1 = 10kΩ; R2 = 10,6kΩ; R3 = 667Ω; C1= 15nF; C2 = 1nF; C3 = 15nF.