TRIGONOMETRIA

Matemática II

Relações Trigonométricas no Triângulo

Retângulo

)θHipotenusa

cotangente de θ

secante de θ

cossecante de θ

tangente de θ

cosseno de θ

seno de θ

Relação no Triângulo

Retângulo

Ente

Trigonométrico

HI

COsen

HI

CAcos

CO

HI

sen

1seccos

CA

COtg

CA

HI

cos

1sec

CO

CA

tg

1gcot

Teorema Fundamental da Trigonometria

1cossen 22

Demonstração ...

)θ1 cos

sen

1

-1

-1

0

sen θ

cos θ

θ·

)θcos

sen

-1

-1

0

sen θ

cos θ

1

)θ

sen θ

cos θ

1

1

1

1cos22 sen

Relações Trigonométricas

1θcosθsen 22

θsec1θtg 22

θcosecθcotg1 22

cosgθ

sent

osc

1secθ

sentg

cos1cotgθ

sen

1cosecθ

Fórmulas para ângulo duplo

n bsen a . se b a . ba coscoscos

asen b . bsen a . basen cos cos

btg a . tg

tg btg abatg

1

asen-aa 22 cos2cos

a.sen aasen cos22

atg

tgaatg

21

22

Vamos pensar . . .

Que tal fazermos um teste para verificação do que foi

apresentado?

Observe a figura:

c

b

hip

.o.csen

1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen

vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o cos vale:

a) b/c

b) a/c

c) c/b

d) c/a

e) a/b

c

a

hip

.a.ccos

3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c

a

b

.a.c

.o.ctg

4) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a cotg vale:

a) b/a

b) b/c

c) c/b

d) a/b

e) a/c

b

a

.o.c

.a.cgcot

5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg

vale:

a) 1/a

b) 1/c

c) 1/b

d) 0

e) 1

1.o.c

.a.c.

.a.c

.o.c

gcot.tg

6) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2 + cos2 vale:

a) b2 / a2

b) 9c2 / b2

c) 0

d) 1

e) (c2 + b2) / 9a2

Pelo teorema fundamental da

trigonometria, temos que:

sen2 α + cos2 α = 1

Voltando

à parte teórica

Arcos Notáveis

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg

90°

180°

270°

0°/360°

Seno, Cosseno e Tangente

)θ cos

sen

0

sen θ

cos θ

·

tg

tg θ

Secante, Cossecante e Cotangente

)θ0

·

cotg cotg θ

secante θ

cossec θ

arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

rad 0 6

4

3

2

3

2 2

seno 0 2

1

2

2

2

3 1 0 - 1 0

cosseno 1 2

3

2

2

2

1 0 - 1 0 1

tangente

cos

sen

0 3

3 1 3 - - - 0 - - - 0

Tabela de Entes Trigonométricos ...

Localizada em Cingapura, ela é uma das maiores

rodas-gigantes do mundo

Gráficos das funções trigonométricas

y = sen x

x

•

•

•

•

•

•

•

•

• •0° 540° 720°450°

630°

360°

270°

180°

-180° -90°

• 90°

1

-1

y = cos x

x•

•

• •

•

•

• •

•

•

•

0°

540°

720°450° 630°360°270°

180°-180°

-90° 90°

1

-1

y = tg x

x• • • • • • • • • 0° 360°

-90° 90°

180°

270° 450°

540°

630°

Aplicação de função trigonométrica

Exemplo2) As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos,

simplesmente, pela função seno. Suponhamos que, para determinado porto, a

variação da altura (h) da lâmina d’água em função das horas (t) do dia seja

dada pela função trigonométrica h(t) = 10 + 4sen(t./12 ). Considerando a

equação acima, o tempo que um navio com altura h = 12m pode permanecer

no porto é de:

(A) Entre 3 e 11 horas. (B) Entre 4 e 10 horas. (C) Entre 2 e 10 horas. (D) Entre 1 e 2 horas.(E) Entre 10 e 11 horas.