UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

CURSO ACADEMICO CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO FASE III

Elaborado por:

LUIS ENRIQUE AYA

EDWIN GUTIERREZ GARCIA

CECILIO ALFONSO GOMEZ

Presentado a:

NEMESIO CASTAÑEDA

Tutor de Curso Calculo Diferencial

GRUPO 100410_433

Noviembre 2014

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo colaborativo tiene como objetivos que los estudiante se apropien del

tema del análisis de las derivadas y sus aplicaciones, la unidad 3 está compuesta por 6

capítulos que se distribuyen en: Fundamentación sobre la derivada, Derivada de funciones

algebraicas, Derivada de funciones trascendentales, Derivada de orden superior, Teoremas

fundamentales del Cálculo y Aplicaciones de la derivada, donde se aplicaran a los 10

ejercicios plateados en la guía.

Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto critico de las siguientes

ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo y un mínimo? ¿Por qué?

1. 𝐲 = 𝐱𝟐 − 𝟑𝐱 − 𝟐

𝑦′ = 2𝑥 − 3

Igualamos a cero

2x − 3 = 0

x =3

2= xc

yc = (3

2)

2

− 3 (3

2) − 2

yc = −17

4

(xc, yc) = (3

2; −

17

4)

y′′ = 2

y′′ > 0 → Es cóncava hacia arriba o convexa, por lo tanto el punto es un mínimo.

2. 𝐲 = 𝟑𝐱𝟐 − 𝟏𝟐𝐱

y′ = 6x − 12.

Igualamos a cero

6x − 12 = 0

x =12

6

x = 2 = xc

yc = 3(2)2 − 12(2)

yc = −12

(xc, yc) = (2; −12)

y′′ = 6

y′′ > 0 → Es cóncava hacia arriba o convexa, por lo tanto el punto es un mínimo.

Usando la regla de L’Hopital halle el límite 3, 4, 5:

3. 𝐥𝐢𝐦𝐱→𝐨√𝟑𝐱+𝟏

𝟑−𝟏

𝐱

limx→o

(3x + 1)1/3 − 1

x

Aplicamos L’Hopital:

limx→o

13 (3x + 1)−2/3 ∗ 3

1

limx→o

(3x + 1)−2/3 = 1

4. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒐𝟏−𝒙𝟐

𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙)

𝑙𝑖𝑚𝑥→11 −𝑥2

𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)

𝐿ʼℎ𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

1 − 𝑥2

𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

−2𝑥

(𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥))(𝜋)=

𝑙𝑖𝑚𝑥→1

−2(1)

(𝑐𝑜𝑠(𝜋. 1))(𝜋)=

−2

(−1)(𝜋)=

2

𝜋

5. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎𝒆𝟐𝒙−𝟏

𝒙

Aplicamos L’Hopital:

lim𝑥→0

𝑒2𝑥 ∗ 2

1

lim𝑥→0

2𝑒2𝑥 = 2

Halle paso a paso la tercera derivada de:

6. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝒙

F’(x)=3(𝑠𝑒𝑐2∗ 3x)*3

F’(x) =9 𝑠𝑒𝑐2∗ 3x

F’(x) = (3sec∗ 3𝑥)2∗

F”(x) = 2 (3sec∗ 3𝑥)∗ 3sec 3𝑥∗ tan 3𝑥 ∗ 3

F”(x) = 54 sec 3𝑥∗ 3sec 3𝑥∗ tan 3𝑥

F”(x) =54 sec 2 3𝑥 ∗ tan 3𝑥

F”(x) =54 (sec 3𝑥) 2 ∗ tan 3𝑥

F”(x) =54{[tan 3x * 2 ( sec 3𝑥) ∗ sec 3𝑥 ∗ tan 3x*3]+[( sec 3𝑥) 2

𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 ∗ 3]}

F”’(x)=324 𝑡𝑎𝑛 2 3𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 + 162 𝑠𝑒𝑐 4 3𝑥

7.𝒇(𝒙) = 𝟑𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙

Solución

𝑓´(𝑥) = −9𝑐𝑠𝑐2(3𝑥)

𝑓´(𝑥) = −9𝑐𝑠𝑐2(3𝑥)

𝑓´´(𝑥) = (−9)(2)csc (3𝑥)(3)(−csc (3𝑥)(cot (3𝑥)

𝑓´´(𝑥) = (54)𝑐𝑠𝑐2(3𝑥)(cot (3𝑥)

𝑓´´(𝑥) = (54)(𝑐𝑠𝑐2(3𝑥)(cot(3𝑥)

𝑓´´´(𝑥) = 54[(2)(𝑐𝑠𝑐3𝑥)(3)(−csc (3𝑥)(cot (3𝑥)(cot(3𝑥) + 3𝑐𝑠𝑐2(3𝑥)(𝑐𝑠𝑐2(3𝑥)]

𝑓´´´(𝑥) = −324(𝑐𝑠𝑐23𝑥)(cot 2(3𝑥) + 162𝑐𝑠𝑐4(3𝑥)

8. Halle paso a paso, la derivada implícita, con respecto a x, de:

𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒚 = 𝟏

Derivamos con respecto a x

−𝑒−𝑥+𝑒−𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

𝑒−𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒−𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑒−𝑥

𝑒−𝑦

9. Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen

aumenta a razón de 100𝑐𝑚3

𝑠 ¿Con qué rapidez crece el globo cuando su radio es de

25cm?

Recordar que el volumen es igual a 4

3𝜋 𝑟3

𝑑𝑣

𝑑𝑡 =100

𝑐𝑚3

𝑠 razón de cambio positiva para que aumente el volumen del globo

𝑑𝑣

𝑑𝑡 = ? r=25 cm

Formula geométrica = 4

3𝜋 𝑟3

𝑑𝑣

𝑑𝑡=

4𝜋

3 3 𝑟2∗ 𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 4𝜋 * 𝑟2∗

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑡=

𝑑𝑣𝑑𝑡

4𝜋 𝑟2 =

100

4𝜋 (25)2=

100

2500𝜋 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡=

1

25𝜋 𝑐𝑚

𝑠 = 0.0127

𝑐𝑚

𝑠

Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización.

10 Una fábrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de forma

cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000 litros). ¿Cuáles

deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad de material empleado en su

construcción sea mínima?

SOLUCIÓN

Minimizamos el área de la superficie del cilindro. La que está dada por:

A 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

= 2A 𝑡𝑎𝑝𝑎

+ A 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜

(1)

Al desplegar el cuerpo del cilindro obtendremos una superficie rectangular en la cual uno

de sus lados es el perímetro de la circunferencia y el otro es la altura.

A 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜

= 2𝜋𝑟h (2)

Por otro lado, el área de la tapa está dada por

A 𝑡𝑎𝑝𝑎

𝜋 𝑟2 (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1), tenemos

A 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

= 2 𝜋 𝑟2 + 2𝜋𝑟 (4)

10) el primer dato que tenemos es el volumen del cilindro:

𝑣 = 1 𝑚3

Es decir:

𝜋𝑟2ℎ = 1 𝑚3

De donde:

ℎ =1 𝑚3

𝜋𝑟2

El área del material que se usa para hacer un cilindro con tapa, es el área de dos

circunferencias y la de un rectángulo.

El área de cada circunferencia viene dada por:

𝐴𝐶 = 𝜋𝑟2

El área del rectángulo viene dada por:

𝐴𝑅 = 2𝜋𝑟ℎ

Por tanto el área de la cantidad total de material viene dada por:

𝐴𝑇 = 2𝐴𝐶 + 𝐴𝑅

𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ

Reemplazamos que ya la habíamos despejado arriba y nos queda:

𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟1

𝜋𝑟2

Simplificando:

𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟2 +2

𝑟

Ahora ya tenemos la función área dependiendo de una sola variable que es el radio y

derivamos:

𝑑𝐴𝑇

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟 −

2

𝑟2

Ahora igualamos a 0 y despejamos el radio

4𝜋𝑟 −2

𝑟2= 0

4𝜋𝑟3

𝑟2−

2

𝑟2= 0

4𝜋𝑟3 = 2

𝑟3 =2

4𝜋

𝑟 =1

√2𝜋3

Ahora reemplazamos r para encontrar h:

ℎ =1

𝜋𝑟2

ℎ =1

𝜋(1

√2𝜋3 )2

ℎ =(2𝜋)

23

𝜋𝑚

CONCLUSIONES

Finalizando el trabajo colaborativo del cálculo diferencial observamos lo

indispensable para poder determinar la forma analítica y exacta cuando se establece

una derivada.

Las derivadas pueden usarse para calcular las razones de cambio instantáneas, la

razón de cambio de la posición respecto al tiempo es la velocidad y la razón de

cambio de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración.

Se comprendió a fondo los Teoremas fundamentales del Cálculo

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] Galván, D. y otros. Cálculo diferencial: Un enfoque constructivista para el desarrollo de

competencias mediante la reflexión y la interacción. Quinta edición. México DF, 2012.

[2] James Stewart. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cengage Learning.

Cuarta edición. México DF, 2010.

[3] Guía Rubrica: Trabajo colaborativo 3. UNAD. 2014