FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: MATEMÁTICA III

PROFESOR: Delgado Bernui Marilyn

TEMA: EJERCICIO DE APLICACIÓN LA INGENIERÍA CIVIL

INTEGRANTES:

NOMBRE

1 CORONADO SANTISTEBAN DEARK NATANIEL

2 AGUILAR AGUILAR ELDER

3 ORTIZ MEDINA ALEXANDRA

4 DELGADO SÁNCHEZ JOSÉ LUIS

5 LLONTOP BALLENA DAVID

6 CALVA HERRERA LEYNER OSWALDO

Chiclayo_ Pimentel, 19 de mayo del 2015

INTRODUCCIÓN

En este presente trabajo realizaremos la resolución de una aplicación a la ingeniería civil aplicando el método de Bernoulli.

Detallaremos y daremos algunos conceptos de acuerdo al ejercicio a realizar. Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme.

Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de régimen estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto. Estas condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.

1. Generalidadesa) TEOREMA DE BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido en reposo moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.

2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un Fluido posea.

3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como “Ecuación de Bernoulli” (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

Dónde:

• = velocidad del fluido en la sección considerada.

• = densidad del fluido.

• = presión a lo largo de la línea de corriente.

• = aceleración gravitatoria

• = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:

• Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona ‘no viscosa’ del fluido.

• Caudal constante

• Flujo incompresible, donde ρ es constante.

• La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo rotacional

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler.

Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería.

Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo gravitacional.

Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento permanente.

En estas condiciones, de la Ecuación ( ), o Ecuación de Euler:

∂ v⃗∂ t⃗

+ 12∇⃗ (v2)+ (∇⃗ x v⃗ ) x v⃗=−1

2∇⃗ p+a⃗

; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto se mantienen constantes).

Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:

a⃗=ax i+a y j+az k

Dónde : ax = 0

a y = 0

az =-g

Luego:

Y que remplazándolo en la ecuación anterior resulta:

Proyectamos la expresión vectorial en la dirección (vector direccional de la partícula):

CASOS:Movimiento Irrotacional:

Luego:

Cálculo de:

Remplazando (A), (B) y (C) en ( )

12 (∂V

2

∂ xdx+∂V 2

∂ ydy

∂V 2

∂ zdz)=−1

ρ (∂ p∂ xdx+∂ p

∂ ydy

∂ p∂ z

dz)−gdz

Dividiendo entre “g”:

Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases.

Movimiento Rotacional:

Y son vectores paralelos (tienden a ser colineales). Es decir

que se considera tangente a la línea de corriente y por lo tanto

paralelo o colineal con .

De la ecuación de Euler ( ):

Desarrollo del término :

De la figura se observa que los vectores y ; son ortogonales, por lo tanto por definición de producto escalar:

= 0

Por lo tanto la ecuación de Euler ( ) se reduce a la expresión ( ):

Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la Ecuación Diferencial de Bernoulli:

Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional:

En movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional.

= Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)

Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será:

“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g), piezométricas (p/) y potencial (z) es constante”

El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía. Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad de producir trabajo:

z= Energía de posición o potencial o carga de posición.

pγ = Energía de presión o piezométrica o carga de presión.

v2

2g= Energía cinética o carga de velocidad.

Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli

Primer Término: (z)

Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”.

Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P” este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición en su plano a otro plano, tenemos:

Ep = W z

Cuando W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”.

“z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua.

Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.

Segundo Término: (V2/2g)

Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación:

Ec=mV 2

2

Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:

Ec=WgV 2

2

Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:

Ec=V 2

2g

Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad.

Tercer Término: (P/ )

Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua.

La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que es igual a: p = F/S.

Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”, si abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”. Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale:

Ep = F L ; pero F = p S

Ep = p S L ; pero S L =

Ep = p

Pero también:

,

Luego:

Ep = ;

Cuando W = 1 (kg o lb)

E p=pγ

Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo considerarla como poseída por aquel.

b) PRESIÓNTécnicamente, por presión se entiende la aplicación de una fuerza sobre una superficie. Así, una misma fuerza puede producir más o menos presión, si la superficie sobre la que se aplica es menor o mayor. Para entenderlo más claramente, supongamos una fuerza de 1000 kilos sobre una superficie de 100 cm2; la presión ejercida será de:

P=F/S P= 1000/100= 10 Kg/cm2

Si esa misma fuerza se aplica sobre una superficie de 20cm2 , la presión será entonces de:

P=F/S P= 1000/20= 50 Kg/cm2

Por lo tanto, cuando se habla de presión, no es suficiente indicar la fuerza o peso, sino que hay que saber también, la superficie sobre la cual se actúa.

En la tierra, todo se encuentra expuesto o sometido a la presión de la capa de aire atmosférico, por lo que cuando se indique prion en alguna tubería, se sobreentiende además de la presión atmosférica.

Unidad de presión Equivalencia (m.c.a)*

1 atmosfera 101 bar 9.88

1 psi o lb/pul2 0.7

1 Kg/cm2 10 (*) m.c.a. = metros columna de agua

PROBLEMAS

1.- De un depósito sale una tubería de 10" de diámetro, la que por medio de una

reducción pasa a 5" descargando luego libremente en la atmosfera. El gasto a la salida

es de 105 lts/seg. Se pide calcular:

a) La presión en la sección inicial de la tubería.

b) Altura del agua en el depósito, medida sobre el eje de la tubería.

hA B

0

10"5"

Z

a) La presión en la sección inicial de la tubería.

Tenemos que:

Q=105 ltsseg

Transformando a m3

seg :

Q=0.105 m3

seg

• Por continuidad sabemos: V=QA

V A=QA

= 0.105m3/ seg .π (10×0.0254m)2/ 4

=0.105m3/seg

0.05067m2=2.08m

s………………(1)

V B=QA

= 0.105m3/segπ (5×0.0254)2/4

=0.105m3/ seg0.01267m2

=8.32 ms……………… (2)

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B:

V A2

2 g+PA

γ+Z A=

V B2

2 g+PB

γ+ZB………….(3)

Dónde: PB

γ=0 ; ZA=ZB=0

Remplazando (1) y (2) en (3)…………………… tenemos:

V A2

2g+PA

γ+Z A=

V B2

2g+PB

γ+ZB………….(3)

0.22+PA

γ=3.54

P A

γ=3.32m.de aguarelativa .

b) Altura del depósito:

Tomando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y B, que como están

sometidos a la presión atmosférica, obtenemos:

V B=√2gh

O sea que la altura del depósito es la carga de velocidad

h=V B2

2 g=

(8.32 )2

19.6=3.54m .

h=3.54m .

2. Por la tubería indicada en la figura circula agua, siendo la relación entre el

diámetro en el punto 1 y el diámetro en el punto 2 igual a √2. En 1 la presión es

de 0.5 Kg/cm2 y la elevación 100 m. En 2 la presión es 3.38 Kg/cm2 y la

elevación 70 m.

Calcular la velocidad en dichos puntos despreciando el rozamiento.

Por continuidad se tiene: v1 A1=v2 A2→v1=A2A1v2=

ddd

d12 v2

Como: d2d1

= 1√2

→v1=12v2… ..(1)

La ecuación de Bernoulli entre las secciones “1” y “2” es:

v12

2g+p1γ

+Z1=v22

2 g+P2γ

+Z2………….(2)

Remplazando (1) en (2):

v12

2g+p1γ

+Z1=2v2

2

g+P2γ

+Z2

Luego:

v1=√ 23 g [(P1P2γ )+(Z1−Z2 )]Como: P1=0.5

kg

c m2=5000kg /m2

P2=3385kg

cm2=33800kg/m2

Z1=100mZ2=70mY=100 kg/m2

Se obtiene

v1=2.8msv2=5 .60

ms