1. Definicin de Cada Libre: Se denomina cada libre al movimiento de un cuerpo bajo la accin exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definicin formal excluye a todas las cadas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinmica del aire, as como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo es frecuente tambin referirse coloquialmente a stas como cadas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables. El concepto es aplicable tambin a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la accin desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical. 2. Historia de la cada libre: El filsofo griego Aristteles (348-322 a C) afirm en sus escritos que los cuerpos caen a una velocidad proporcional a su peso. Aristteles formul su teora de los objetos en cada libre, suponiendo que todos se componen de cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. Los que estn constituidos primordialmente por tierra y agua tratan de alcanzar su lugar natural de reposo: la Tierra; Los objetos que se componen de aire tratan de subir a su estado natural de reposo: el cielo. Aristteles era un filsofo muy respetado; de ah que hubiera pocos dispuestos a poner en duda sus teoras y conclusiones. Por tal razn, se avanz poco en muchos siglos en el conocimiento de los cuerpos en cada. Fue Galileo Galilei (1564-1642) quien finalmente abri el camino al desarrollo de la verdadera ciencia, realizando importantes avances en Astronoma, ptica y mecnica. El principal cientfico del siglo XVI acudi al experimento para descubrir la verdad y proclamar pblicamente que la autoridad de Aristteles al respecto deba ponerse en tela de juicio. Dise ingeniosos mtodos para cronometrar con exactitud la forma en que caen objetos semejantes de

distinto peso y pudo establecer que el peso de un objeto no influye en su aceleracin, con la condicin de que sean despreciables los efectos de la resistencia del aire. Galileo dej caer objetos de diferentes pesos desde lo alto de la Torre inclinada de Pisa y compar sus cadas. En una ocasin, Galileo supuestamente reuni una gran multitud para que atestiguara la cada de un objeto ligero y uno pesado desde lo alto de la torre. Se dice que muchos observadores de esta demostracin, quienes vieron a los objetos tocar el suelo juntos, se burlaron del joven Galileo y continuaron afianzados a sus enseanzas aristotlicas. Fue Galileo quien introdujo por primera vez la idea de la aceleracin. La desarroll al descubrir el movimiento de los cuerpos que caen y prob su resultado haciendo ver primero que el movimiento de una pelota o esfera rodando por un plano inclinado era similar al de una pelota en cada libre. Galileo demostr que si la aceleracin a lo largo del plano inclinado es constante, la aceleracin debida a la gravedad debe ser constante y verific su suposicin de que las esferas al descender por planos inclinados se incrementaban uniformemente con el tiempo. Encontr que las esferas adquiran la misma cantidad de rapidez en cada intervalo sucesivo de tiempo; esto es, las esferas rodaban con aceleracin uniforme o constante. La velocidad en cualquier tiempo es simplemente igual a la aceleracin multiplicada por el tiempo. Galileo encontr mayores aceleraciones para planos inclinados ms empinados. La esfera adquiere su mxima aceleracin cuando el plano se levanta a la posicin vertical; esto es, la aceleracin de Cada libre.

3. Ecuaciones para la cada libre: Recuerda las ecuaciones generales del movimiento:

Podemos adaptar estas ecuaciones para el movimiento de cada libre. Si suponemos que dejamos caer un cuerpo (en lugar de lanzarlo), entonces su velocidad inicial ser cero y por tanto el primer sumando de cada una de las ecuaciones anteriores tambin ser cero, y podemos eliminarlos:

Por otro lado, en una cada libre la posicin que ocupa el cuerpo en un instante es precisamente su altura h en ese momento. Como hemos quedado en llamar g a la aceleracin que experimenta un cuerpo en cada libre, podemos expresar las ecuaciones as:

4. La cada libre como sistema de referencia:

Un sistema de referencia ligado a un cuerpo en cada libre puede considerarse inercial o no inercial en funcin del marco terico que est utilizndose. En la fsica clsica, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre una masa es proporcional a la intensidad del campo gravitatorio en la posicin espacial donde se encuentre dicha masa. La constante de proporcionalidad es precisamente el valor de la masa inercial del cuerpo, tal y como establece el principio de equivalencia. En la fsica relativista, la gravedad es el efecto que produce sobre las trayectorias de los cuerpos la curvatura del espacio-tiempo; en este caso, la gravedad no es una fuerza, sino una geodsica. Por tanto, desde el punto de vista de la fsica clsica, un sistema de referencia en cada libre es un sistema acelerado por la fuerza de la gravedad y, como tal, es no inercial. Por el contrario, desde el punto de vista de la fsica relativista, el mismo sistema de referencia es inercial, pues aunque est acelerado en el espacio, no est acelerado en el espacio-tiempo. La diferencia radica en la propia definicin de los conceptos geomtricos y cinemticos, que para cada marco terico son completamente diferentes.

5. Cada libre ideal: En la cada libre propiamente dicha o ideal, se desprecia la resistencia aerodinmica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasara en el vaco. En esas condiciones, la aceleracin que adquirira el cuerpo sera debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejramos caer una bala de can y una pluma en el vaco, ambos adquiriran la misma aceleracin, , que es la aceleracin de la gravedad

6. Ecuacin de movimiento: Por la segunda ley de Newton, la fuerza que acta sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleracin que adquiere. En cada libre slo intervienen el peso (vertical, hacia abajo) y el rozamiento aerodinmico en la misma direccin, y sentido opuesto a la velocidad. Dentro de un campo gravitatorio aproximadamente constante, la ecuacin del movimiento de cada libre es:

La aceleracin de la gravedad lleva signo negativo porque se toma el eje vertical como positivo hacia arriba.

7. Cada libre totalmente vertical: El movimiento del cuerpo en cada libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleracin g) (aproximadamente porque la aceleracin aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayora de los casos la variacin es despreciable). La ecuacin de movimiento se puede escribir en trminos la altura y:

Donde: , son la aceleracin y la velocidad verticales.

, es la fuerza de rozamiento fluidodinmico (que aumenta con la velocidad). Si, en primera aproximacin, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para cadas desde pequeas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solucin de la ecuacin diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:

Donde: v0 es la velocidad inicial, para una cada desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de cada.

Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracadas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluido dinmica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinmico kw:

En este caso la variacin con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solucin de la ecuacin diferencial

Ntese que en este caso existe una velocidad lmite dada por el rozamiento aerodinmico y la masa del cuerpo que cae:

Un anlisis ms cuidadoso de la friccin de un fluido revelara que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de friccin se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:

Donde: , es el coeficiente aerodinmico de resistencia al avance, que slo depende de la forma del cuerpo. , es el rea transversal a la direccin del movimiento. , es la densidad del fluido. , es el signo de la velocidad. La velocidad lmite puede calcularse fcilmente poniendo igual a cero la aceleracin en la ecuacin

La solucin analtica de la ecuacin diferencial depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solucin analtica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solucin de velocidades para ambos casos es

Donde: Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de cada libre desde una altura h0 y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial v0 se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo: Cada libre (v0 = 0 y y(0) = h0):

El tiempo transcurrido en la cada desde la altura y = h0 hasta la altura y = 0 puede obtenerse al reordenar la ecuacin anterior:

Lanzamiento vertical (v0 = v0 y y(0) = 0):

Si la altura h0 es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura h0 puede calcularse como:

Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura h0 hasta el suelo a travs del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura mxima de h0 si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:

Sabiendo que;

8. Cada libre parablica y casi-parablica: Cuando un cuerpo cae en cada libre pero no parte del reposo porque tiene una velocidad no nula, entonces la trayectoria de cada no es una recta sino una curva aproximadamente parablica. La ecuacin de la trayectoria en coordenadas cartesianas viene dada por:

Donde x es la coordenada horizontal (eje de abcisas) e y la coordenada vertical (eje de ordenadas). La expresin de la velocidad vertical debe reescribirse en funcin de la coordenada x teniendo en cuenta que t = x/vx. Pueden distinguirse los siguientes casos: Para un cuerpo en cada libre sin rozamiento, la trayectoria es exactamente una parbola dada por:

Cuando se incluye el rozamiento aerodinmico, la trayectoria no es exactamente una parbola. Por ejemplo para una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad como en la trayectoria resulta ser:

Para una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad, la integracin de las ecuaciones del movimiento es ms compleja, presuponiendo fuerzas de rozamiento independientes en direccin horizontal y vertical proporcionales al cuadrado del valor de la componente:

La trayectoria viene dada por:

El estudio del comportamiento de los objetos fsicos en cada libre es un tema interesante en el cual definiremos concepto bsico, su historia, sus ecuaciones principales que nos dar un aporte valioso en las caracterstica de movimiento ideal y de notable practicidad que se manifiesta continuamente en el espacio y el tiempo. El trmino cada libre es una expresin aplicado tanto a los cuerpos que ascienden como a los que descienden. La cada libre es un movimiento de aceleracin constante.

Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educacin Superior Instituto Politcnico Santiago Mario Maracaibo Edo. Zulia

CAIDA LIBRE

Alumno: Hctor Urdaneta C.I 19.705.975 Mecnica Seccin: 46

Maracaibo, Septiembre 2011