República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria,

Ciencia y TecnologíaUniversidad Politécnica Territorial del Norte de Monagas

“Ludovico Silva”PNF en Higiene y Seguridad Laboral

Núcleo Punta de Mata

Profesor (a): Autores:

Brito, Osmary

Caña, Carlos

Castillo, Ninibeth

Soto, Yuleisi

Septiembre, 2015

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el estudio de

problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus comienzos han contribuido

de manera muy notable a solucionar muchas cuestiones y a interpretar numerosos

fenómenos de la naturaleza.

El origen la las ecuaciones diferenciales es inseparable de sus aplicaciones a las

ciencias físicas, químicas e ingeniería, ya que para resolver muchos problemas

significativos se requiere la determinación de una función que debe satisfacer una ecuación

en la que aparece su derivada.

A continuación mediante la realización del presente trabajo investigativo, se explicara

las diferentes ecuaciones diferenciales en serie, alrededor de dos puntos ordinarios, cerca de

puntos singulares, así como el Método de Frobenius, las funciones Gamma, función Bessel

y función Beta, el Polinomio de Legendre y la Transformada de LaPlace.

1. Solución en serie de ecuación diferencial

El método de series para resolver una ecuación diferencial consiste en sustituir la

serie de potencias en la ecuación diferencial

∑n=0

∞

an (x−x0 )n

y después determinar cuáles deben ser los coeficientes a0, a1, a2,... para que la serie

satisfaga la ecuación diferencial. Esto es muy semejante al método de coeficientes

indeterminados, pero ahora tenemos un número infinito de coeficientes que de algún modo

hemos de obtener.

2. Solución alrededor de 2 puntos ordinarios

Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el nacimiento del cálculo

de Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes iniciaron

el estudio del problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre dos cantidades

y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre las cantidades (o

fluentes). 

El punto x = x0 se denomina punto ordinario de la ecuación diferencial a (x) y'' + b (x)

y'+ c (x) y = 0 si las funciones p (x) y q (x) son analíticas en x0. En caso contrario, el punto

recibe el nombre de punto singular. Por ejemplo:

- El punto x = 0 es un punto ordinario de la ecuación

x y'' + (sen x) y' + x2y = 0

pues:

p ( x )= sen xx

=1− x2

3 !+ x

4

5 !+…,q ( x )=x

3. Soluciones cerca de puntos singulares

Siendo a2y” + a1y’ + a0y = 0.

Teniendo la ecuación diferencial p(x) y” + q(x)y’ + r (x) y = 0

Asumimos que esto puede resolverse mediante una serie de potencia

y=∑n=0

∞

cn ( x−a )n

Siempre y cuando podamos representar a p(x) y q (x) en forma del punto x=a, que

sean analítica, es decir, que se puedan representar como series de potencias en ese punto

específico.

No siempre se puede representar a p(x) y q (x) en forma del punto x=a y esto se

denomina punto singular.

4. Método de Frobenius

El método de frobenius garantiza que para una ecuación diferencial de coeficientes

variables existe al menos una solución como serie de potencias en torno a un punto singular

regular. Frobenius buscaba soluciones mediante series de potencia evaluando la ecuación

en puntos singulares.

5. Función Gamma

La función gamma fue introducida por primera vez por el matemático suizo Leonhard

Euler (1707-1783), con el objetivo de generalizar la función factorial a valores no enteros.

Más tarde, por su gran importancia, esta fue estudiada por matemáticos eminentes tales

como Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Christoph

Gudermann (1798-1852), Joseph Liouville (1809-1882), Karl Weierstrass (1815-1897),

Charles Hermite (1822-1901),…. al igual que muchos otros.

La función Gamma se define para todo número como donde  , es la escritura

en mayúscula de la letra gamma del alfabeto griego) es una aplicación que extiende el

concepto de factorial a los números complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie

Legendre. Si la parte real del número complejo z es positiva, entonces la integral

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo,

excepto a los enteros negativos y al cero. Si n es un entero positivo, entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función

gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de z.

6. Ecuaciones y función Bessel

Friedrich Wilhelm Bessel hizo aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa

Halley e introdujo las funciones de Bessel en 1817. La ecuación de Bessel, una de las más

importantes en física matemática, es una ecuación diferencial lineal de orden 2,

x2 y” + xy’ + (x2 − ν2 )y = 0,

que depende de un parámetro ν, el orden de la ecuación diferencial. Aunque es

posible que ν sea un número complejo

7. Función Beta

La siguiente integral se conoce como la función beta,

donde:

- La función   converge para ,

-

- Para   , se tiene que:

- Para ,   se tiene que:

- Para ,   se tiene que:

 

8. Polinomio de Legendre:

Las funciones de Legendre son las soluciones de las ecuaciones diferenciales de

Legendre:

Unos pocos primeros polinomios de Legendre:

n

0

1

2

3

4

5

9. Transformada de LaPlace

La Transformada de Laplace propuesta en 1.787 por su creador Pierre Simón de

Laplace muestra una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas

integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada

de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral

impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

La transformada se define de la siguiente manera:

Sea f una función definida para  , la transformada de Laplace de f (t) se define

como: cuando tal integral converge

10. Transformada inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya

transformada es precisamente F(s), es decir si es que acaso 

Esta definición obliga a que se cumpla: 

y  

 

11. Ecuaciones diferenciales por transformada de LaPlace

Dentro de las ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace se pueden

mencionar:

ID

FunciónDominio en el tiempo Dominio en la frecuencia

Región de la convergenciapara sistemas

causales

2an-ésima potencia

3convergencia exponencial

11logaritmo

natural

12

Función de Bessel

de primer tipo,

de orden n

13

Función de Bessel

modificadade primer

tipo,de orden n

12. Función Delta de Dirac

La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente

fórmula integral:

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver

que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac

como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio

excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la definición convencional

dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

13. Serie de Fourier

La serie de Fourier fue propuesta por Jean Baptiste Joseph Forier en las

investigaciones sobre el flujo de calor en 1.822. Con relacion a la serie serie de Fourier  esta

no es mas que una serie infinita que converge puntualmente a una función

periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la

herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones

periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de

funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con

frecuencias enteras).

Las series de Fourier tienen la forma:

Veamos un ejemplo:

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

CONCLUSIONES

Las ecuaciones diferenciales en su origen, son ecuaciones íntimamente ligadas a la

resolución de cuestiones relacionadas con la física y con la geometría: las leyes del

movimiento planetario (en el que intervienen distancias, velocidades y aceleraciones; o lo

que es lo mismo, leyes de posición y sus derivadas primeras y segundas en función del

tiempo); problemas relacionados con el equilibrio de un cable en suspensión (catenaria); la

trayectoria de caída en el menor tiempo posible entre dos puntos dados (braquistocrona); o

las leyes de difusión del calor.

La fascinación de matemáticos y físicos por este tipo de ecuaciones diferenciales fue

debida tanto a su utilidad práctica, como a la dificultad de encontrar soluciones analíticas

en la inmensa mayoría de los casos: cada nuevo problema resoluble analíticamente

descubierto, adquiría carta de naturaleza propia y notoriedad inmediata.

BIBLIOGRAFIA

Spiegel, Murray R. (1991) Transformadas de Laplace. Editorial Mc Graw Hill / Interamericana de México, México D.F.

Espinoza Ramos Eduardo (2008). Analisis Matematico IV. 2da Edición Lima Perú