REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAI. U P SANTIAGO MARIÑO

SEDE BARCELONA ING. CIVIL

SECCION C-V

PROBABILIDAD

BACHILLER: Luis Balderrama C.I: 25.061.895

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega )

Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

EJEMPLO: Dos dados perfectos son lanzados al aire. Establezca el espacio muestral y calcule la probabilidad de que salga en uno de los dos dados el uno:

SOLUCION:

ESPACIO MUESTRAL

EJEMPLO 2: Lanzamiento de 3 monedas:

Lanzamiento de 3 monedas:

EXPERIMENTO DETERMINISTA Es cuando podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

EJEMPLO: Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará.

Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

EXPERIMENTO ALEARTORIO Son aquellos que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

EJEMPLO: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Un evento es un conjunto, por lo que los eventos heredan las propiedades y teoría general de los conjuntos.

Evento Unión: Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La unión de los eventos A y B es el evento que consta de los elementos que pertenecen tanto a A como a B y se representa por

La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la unión es:

EJEMPLO: En el experimento de lanzar un dado, la unión de los eventos es el evento por lo que

Evento Intersección: Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La intersección de los eventos A y B es el evento que contiene los elementos que simultáneamente pertenecen a A y a B y se represente por

La representación algebraica y en el diagrama de Venn de la intersección es:

EJEMPLO: Sean los eventos y entonces

ALGEBRA DE EVENTOS

Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes, o ajenos, o disjuntos, si no tienen ningún elemento en común, esto es, si

EJEMPLO: Si se lanza un dado y establecemos los eventos entonces En consecuencia, los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

Evento Complemento: El complemento del evento A es el evento de aquellos elementos que no pertenecen a A y se simboliza por

Lo podemos expresar de la forma siguiente:

EJEMPLO: Si en una urna tenemos canicas blancas, rojas y azules y definimos entonces es el conjunto de canicas que no son blancas, o sean las rojas y las azules.

Diferencia de Eventos: Sean A y B dos eventos cualesquiera del espacio de eventos. La diferencia de los eventos es el evento que contiene los elementos que pertenecen a A pero no a B.

La diferencia de eventos se representa y expresa como El algebra de conjunto nos dice que

Eventos Mutuamente Excluyentes

Sea A = La diferencia A-B es el evento formado por aquellos elementos de A que no pertenecen a B, por lo que (A-B) =

DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDADES La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicación

cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Ej.: En un proceso de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del proceso de fabricación.

Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así a la definición frecuentista de probabilidad.

EJEMPLO: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3, en el lanzamiento de un dado? Si E: 4, 5, 6, entonces el número de resultados favorables es n (E) = 3.

Si S: 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces el número total de resultados posibles es (S) = 6. Por lo tanto:

EJEMPLO:

En una baraja de 40 cartas, si se extrae una al azar. a. ¿cuál es la probabilidad de AS?; y b. ¿Sea de ESPADAS?

a. Suceso A = “extraer un As”. Luego, la probabilidad de extraer un As será:

b. Suceso E = “extraer una de Espadas”. Luego, la probabilidad de extraer una de Espadas será:

DIAGRAMA DEL ARBOL El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento,

el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

EJEMPLO: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

EJEMPLO 2:

Seleccionar tres niños.

Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Seleccionar tres niñas.

Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.

EJEMPLO: Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

EJEMPLO

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

TEOREMA DE BAYES

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

EJEMPLO