Trabajo dirigido: métodos de paso variable (RK45)

Trabajo dirigido: métodos de paso variable (RK45)

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)

Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

http://www-lacan.upc.es

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)

Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

http://www-lacan.upc.es

métodos de paso variable (RK45)métodos de paso variable (RK45)

Control del error y paso variableControl del error y paso variable

� Método de paso simple de orden p: error local

� Objetivo

Calculada la solución en xi, determinar h* para que el error Calculada la solución en xi, determinar h* para que el error

en xi+1 sea menor que una tolerancia dada

EDOs· 2

Control del error y paso variableControl del error y paso variable

1. Cálculo de Yi+1 con h cualquiera (h del paso anterior)

2. Estimar/aproximar el error Eh cometido comparando con

otro resultado con mayor precisión:

(a) con el mismo método y longitud de paso h menor o

(b) con un método de orden p+1 o mayor

3. Calcular h* utilizando la expresión del error3. Calcular h* utilizando la expresión del error

EDOs· 3

RKF45 (Runge-Kutta-Fehlberg 45)RKF45 (Runge-Kutta-Fehlberg 45)

aij y bj para calcular ki

EDOs· 4

bi para el método de orden 4

bi* para el método de

orden 5

ei=bi*-bi para calcular el error

RKF45 (Runge-Kutta-Fehlberg 45)RKF45 (Runge-Kutta-Fehlberg 45)

6 evaluaciones de f

EDOs· 5

Ejercicio 1Ejercicio 1

� Utilizar la función ode45 de Matlab para resolver:

1. Escribir una función de matlab que permita evaluar el 1. Escribir una función de matlab que permita evaluar el

término de la derecha de la EDO

2. Utilizar la función ode45 para resolver el problema.

• Consultar la ayuda del programa para saber como se

define el intervalo de resolución y las condiciones

iniciales.

3. Representar la solución

• Observar el paso utilizado

EDOs· 6

EDOs· 70 0.5 1 1.5

0

5

10

15

20

25Solución

0 10 20 30 40 500.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04Paso h

Ejercicio 2Ejercicio 2

� Utilizar la función ode45 de Matlab para resolver

EDOs· 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1Solución

y

dy

0 10 20 30 40 50 600

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03Paso h

Ejercicio 3Ejercicio 3

� Tiro parabólico con rozamiento

EDOs· 9 EDOs· 10

EjercicioEjercicio

1. Resolver el problema utilizando la función ode45 de Matlab.

Considerar R = 0.00132 , v0 = 100 m/s, θ = π/4, tf = 20s

2. Dibujar la solución obtenida

• Observar el paso variable

3. Dibujar la trayectoria del proyectil ¿Tiene sentido?

800Solución con ode45

200Trayectoria

EDOs· 11

0 5 10 15 20-600

-400

-200

0

200

400

600

800

t

x

y

vx

vy

0 100 200 300 400 500 600 700 800-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

x

y