Trabajo Fin de Grado Ingeniería Aeroespacial

i

Equation Chapter 1 Section 1

Trabajo Fin de Grado Ingeniería Aeroespacial

Análisis Modal de la estructura de un cohete: El Efecto Pogo.

Autor: Fernando Marín Brenes Tutor: Juana María Mayo Núñez

Dpto. Ingeniería mecánica y fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla Sevilla, 2018

iii

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aeroespacial

Análisis Modal de la estructura de un cohete: El Efecto Pogo.

Autor:

Fernando Marín Brenes

Tutor:

Juana María Mayo Núñez Catedrática de Universidad

Dpto. Ingeniería mecánica y fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla Sevilla, 2018

v

Proyecto Fin de Carrera: Análisis Modal de la estructura de un cohete: El Efecto Pogo.

Autor: Fernando Marín Brenes

Tutor: Juana María Mayo Núñez

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2018

El Secretario del Tribunal

vii

A mi familia

A mis profesores

ix

Agradecimientos

En primer lugar, agradecer enormemente a mi tutora Juana María Mayo Núñez por permitirme llevar a cabo el presente trabajo, por su ayuda incondicional y disposición plena para resolver cualquier duda que se me plantease en cualquier momento. También agradecer su apoyo y sus ánimos para continuar adelante con esta idea de proyecto que, en ocasiones, a lo largo del curso, se ha tornado bastante compleja.

Por otro lado, querría destacar la aportación del profesor Yves Gourinat, quien, durante el transcurso del “CVA Summer School 2017” me permitió profundizar un poco más en este tema, hecho que despertó en mi un gran interés por conocer más sobre el Efecto Pogo. Asimismo, le agradezco su recomendación bibliográfica que me permitió obtener un mayor abanico de artículos de referencia.

En definitiva, quiero agradecer a todos los docentes que, a lo largo de estos cuatro años, me han permitido formarme y crecer tanto personal como académicamente.

Fernando Marín Brenes

Estudiante Grado Ingeniería Aeroespacial

Sevilla, 2018

xi

Resumen

El efecto POGO es un problema de estabilidad dinámica que ocurre en los cohetes de propulsante líquido, y está caracterizado por oscilaciones longitudinales en frecuencias bajas de la estructura de estos cohetes, hecho que acontece en fases puntuales durante el régimen de ascenso del vehículo.

Para resolver el problema y obtener una aproximación de la ocurrencia del POGO, se deben calcular primero los modos de vibración de la estructura completa del cohete para varios instantes de tiempo de vuelo, y luego se debe modelar y resolver el sistema de propulsión. El fenómeno conocido como POGO ocurre cuando las frecuencias naturales del sistema propulsivo están muy próximas a las de la estructura del vehículo.

Por esta razón, en el presente trabajo se presenta un modelo simplificado de la estructura de un cohete basado en masas y muelles, que permite determinar las frecuencias naturales del sistema de forma sencilla y con una precisión aceptable. Para llevar a cabo el cálculo de las frecuencias se presentan en este texto varios métodos que definen las constantes de rigidez de los muelles que modelan el tanque de propulsante. Asimismo, se analizará y explicará cuáles de los mencionados métodos resultan más adecuados.

xiii

Abstract

The POGO effect is a dynamic stability issue that occurs in liquid propellant rockets, and it is characterized by low frequencies longitudinal oscillations of the structure of these rockets, a fact that occurs in specific phases during the vehicle's ascent regime.

To solve the problem and obtain an approximation of the occurrence of the POGO, first the vibration modes of the complete structure of the rocket must be calculated for several instants of flight time, and then the propulsion system must be modeled and solved. The POGO phenomenon occurs when the natural frequencies of the propulsive system are very close to those of the structure of the vehicle.

For this reason, in the present paper a simplified model of the structure of a rocket based on masses and springs is presented, which allows to determine the natural frequencies of the system in a simple way and with an acceptable precision. In order to carry out the calculation of the frequencies, several methods are presented in this text that define the stiffness constants of the springs that model the propellant tank. Likewise, it will be analyzed and explained which of the mentioned methods are more suitable.

xv

Índice

Agradecimientos ix

Resumen xi

Abstract xiii

Índice xv

Índice de Tablas xvii

Índice de Figuras xix

Notación xxi

1 Introducción 1

2 Modelo Estructural 5

3 Métodos empleados para el modelo del tanque 9 3.1 Método isotrópico 10 3.2 Método ortotrópico 10

4 Metodología aplicada 13 4.1 Tanques de propulsante 13 4.2 Vehículo completo 14

5 Resultados Numéricos 21 5.1 Tanques de propulsante 21 5.2 Vehículo completo 22

5.2.1 Modelo isotrópico para tanque 24 5.2.2 Modelo ortotrópico para el tanque 25

6 Conclusiones 27

Referencias 29

ANEXO: CÓDIGOS DE MATLAB 31 A. Resolución del tanque de propulsante 31 B. Resolución del tanque de propulsante con tirante 32 C. Resolución del vehículo completo 33

xvii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 4-1: Términos de la diagonal de la matriz de rigidez del vehículo completo. 19 Tabla 5-1: Definición de variables del tanque de propulsante. Fuente: [7]. 21 Tabla 5-2: Características del tirante añadido al tanque. Fuente: [7]. 21 Tabla 5-3: Valores de masa que definen el conjunto del tanque de propulsante. Fuente [7]. 21 Tabla 5-4: Resultados obtenidos tras la simulación del tanque en Matlab®. 22 Tabla 5-5: Valores del tanque de LOx, vehículo completo. Fuente: [5]. 24 Tabla 5-6: Altura de líquido en los tanques para diferentes condiciones de vuelo. Fuente: [5]. 24 Tabla 5-7: Valores de las constantes de rigidez para el caso isotrópico. Unidades: lb/in. 25 Tabla 5-8: Valores de los parámetros para caso ortotrópico. 25 Tabla 5-9: Valores de las constantes de rigidez para caso ortotrópico. Unidades: lb/in. 26 Tabla 5-10: Resultados obtenidos para las frecuencias naturales mediante el método isotrópico y ortotrópico. 26

xix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1-1: Ilustración del fenómeno POGO. Fuente: [1]. 1 Figura 1-2: Diagrama de la vibración de POGO. Fuente: [2]. 2 Figura 2-1: Modelo unidimensional de un vehículo. Fuente: [7]. 5 Figura 2-2: Esquema del proceso para estimar POGO. Fuente: [7]. 7 Figura 3-1: Tanque de propulsante. Fuente: [5]. 9 Figura 3-2: Modelo equivalente del tanque. Fuente: [7]. 9 Figura 4-1: Modelo analítico del Saturn V, escala 1/10. Fuente: [5]. 15 Figura 4-2: Forma esquemática de la matriz de rigidez para el vehículo completo. 18 Figura 5-1: Valores de masas y constantes de rigidez para el vehículo completo en las diferentes condiciones de combustible. Unidades imperiales. Fuente: [5]. 23

xxi

Notación

A* Conjugado 𝐴"# Inversa de una matriz 𝜋 Número pi e Número e IRe Parte real IIm Parte imaginaria sen Función seno tg Función tangente arctg Función arco tangente sen Función seno sinxy Función seno de x elevado a y cosxy Función coseno de x elevado a y ∂y ∂x Derivada parcial de y respecto de x �̇� Derivada de a respecto del tiempo : Tal que < Menor o igual > Mayor o igual \ Backslash ⇔ Si y sólo si eig() Función de Matlab® que calcula autovalores de una matriz det(A) Determinante de la matriz ∆ Incremento de una cierta variable

1

1 INTRODUCCIÓN

l fenómeno conocido con la abreviatura POGO, es un problema de estabilidad dinámica que ocurre en los cohetes de propulsante líquido, y está caracterizado por oscilaciones longitudinales en frecuencias bajas de la estructura de estos cohetes, hecho que acontece en fases puntuales durante el régimen de

ascenso del vehículo. Dicho nombre deriva de la similitud de las oscilaciones estructurales con el movimiento del juguete de niños que tiene el mismo nombre.

Figura 1-1: Ilustración del fenómeno POGO. Fuente: [1].

Este efecto resulta de gran interés debido a la participación humana en los viajes espaciales, de este modo, se debe controlar de manera efectiva los valores “g” que se alcancen, dado que no se pueden superar los valores establecidos como aceptables por una persona. Así, más allá de los posibles problemas estructurales, este estudio es muy importante debido a que es necesario conocer, analizar y evitar las grandes oscilaciones durante la aparición del POGO para garantizar la seguridad de la tripulación del cohete.

A pesar de que este efecto ya se había observado anteriormente, en el caso del Thor/Agena y del Titan II entre los años 1960-1962, no fue considerado como un problema de estabilidad dinámica hasta que se observó en los motores de propulsante líquido del Gemini (1964) [1]. Desde ese momento, el fenómeno POGO ha aparecido en otros vehículos como el Apollo/Saturn V (en el cual se basan los cálculos posteriores).

Para explicar de forma más clara en qué consiste el POGO, se adjunta la siguiente ilustración en la cual se aprecia que, en ciertos instantes de encendido de los motores de propulsante líquido, las aceleraciones longitudinales aumentan en gran medida. Este efecto está causado por la interacción entre la planta propulsora y la estructura del cohete, dado que durante la fase de ascenso se producen variaciones de presión aleatorias en el sistema propulsivo, ocasionando variaciones de empuje, hecho que provoca vibraciones en la estructura del

E

“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad”

-Albert Einstein

Introducción

2

sistema, y esto, a su vez, vuelve a provocar variaciones de presión. De este modo, cuando la interacción se intensifica causa la inestabilidad. [2].

Figura 1-2: Diagrama de la vibración de POGO. Fuente: [2].

Tras multitud de estudios llevados a cabo, y teniendo en cuenta que el análisis de la estructura de un cohete es un problema no lineal, se ha encontrado que el POGO consiste en una vibración autoexitada provocada por la inestabilidad del sistema que se genera cuando la frecuencia natural del sistema propulsivo es similar al modo de vibración longitudinal de la estructura del cohete en un determinado instante de vuelo. [3].

De este modo, la obtención de la curva que se muestra en la figura anterior, aceleración longitudinal en función del tiempo no es para nada inmediata, ya que se debe resolver por un lado los modos de vibración de la estructura completa del vehículo para varios instantes de tiempo de vuelo, en los cuales se considera un modelo matemático linealizado e invariante frente al tiempo, hipótesis que se justifica debido a las pequeñas variaciones que experimenta el sistema dinámico (debidas al consumo de combustible y de los cambios de las condiciones de operación del motor) en un instante de tiempo dado. Por otro lado, se debe modelar y resolver mediante la técnica de Elementos Finitos el sistema de propulsión, usando los elementos descritos en [4].

En [2] se explica un método mejorado del que propone Rubin en el documento citado anteriormente.

Tras conocer qué es y porqué se produce el efecto POGO, se presenta en lo que sigue algunos posibles métodos para evitar su ocurrencia [1]. Por un lado, si el POGO ocurre y la ganancia estructural es elevada, se debe analizar la frecuencia y el modo de vibración para el que se produce con la finalidad de determinar si al valor de esta frecuencia afecta el vehículo completo o de forma principal a alguna de las subestructuras del sistema en concreto. En el último caso, la penalización de peso tras la implementación de refuerzos como tirantes en la subestructura no es tan elevada como ocurre en el primer caso, con lo cual es aceptable y podría ocasionar así una disminución de la ganancia de la estructura. En cuanto a primer caso, reforzar toda la estructura del vehículo es inaceptable desde el punto de vista del aumento de peso del vehículo. Además, aunque se aumentara el peso, eso no garantizaría que la ganancia estructural fuese menor, sino que simplemente se adelantaría el instante de tiempo en el cual coincide la frecuencia natural de la estructura con la frecuencia del sistema propulsivo, hecho que solo disminuiría los efectos del POGO si se diese el caso de que la ganancia del sistema estructural para ese instante es menor.

Sin embargo, el método más efectivo y simple para evitar la ocurrencia del POGO consiste en usar un dispositivo que permita conseguir que las frecuencias naturales del sistema propulsivo sean inferiores a las de la estructura, desacoplando así ambos sistemas. Este dispositivo suele ser un acumulador, que se coloca en diferentes zonas del sistema propulsivo, aunque es preferible ubicarlo cerca de la entrada de la bomba. En [1]

3 Análisis Modal de la estructura de un cohete: El Efecto Pogo.

se muestran varios diseños de acumulador empleados en diferentes cohetes.

Con la finalidad de estudiar la inestabilidad ocasionada durante la ocurrencia del POGO, y como primer paso, se pretende en este trabajo calcular las frecuencias naturales de un cohete determinado a partir de un sistema de masas y muelles que represente de forma fidedigna al sistema continuo inicial. Una vez se conocen las frecuencias del sistema, se puede realizar una estimación de POGO tomando un modelo de planta propulsora que permite realizar una estimación de las aceleraciones del sistema en función del tiempo, como se ha explicado en el parráfo anterior. No obstante, estos cálculos no se realizan en el presente texto.

Además, se compararán los resultados obtenidos tras la simulación del sistema en el software Matlab® con los valores proporcionados por la bibliografía , así como con los resultados experimentales que se obtienen de un modelo a escala 1/10 del Saturn V [5].

Por otro lado, es necesario comentar que en este trabajo solo se analizan las vibraciones longitudinales del sistema que son las de mayor interés cuando se quiere analizar la interacción entre la planta propulsora y la estructura del cohete, no siendo tomadas en cuenta las transversales, lo cual facilita la computación y los cálculos posteriores.

Para llevar a cabo un análisis de las vibraciones de la estructura de un cohete con motores de propulsante líquido, es necesario considerar las características internas de estos motores. Las tres principales razones se explican en [6], y son:

Primero, el consumo del líquido que se incluye dentro del tanque afecta a la disminución de la masa total de la estructura del vehículo completo, ocasionando que las frecuencias naturales del sistema completo disminuyan durante el vuelo.

Segundo, cada uno de los tanques son fuertemente no lineales, debido a los efectos hidroelásticos, que se definen como la interacción entre el líquido que existe dentro del tanque y la estructura de este. Así, este efecto debe tenerse en cuenta a la hora de definir las constantes de rigidez de los muelles que modelan el tanque de propulsante.

Tercero, la disminución de líquido dentro del tanque también afecta a los efectos hidroelásticos, ya que se producen variaciones del área del tanque que permanece en contacto con el fluido.

Todo esto muestra que la estimación de estas constantes de rigidez durante el tiempo de vuelo resulta un problema complejo. Por esta razón, ambos efectos (hidroelástico y consumo de líquido) deben ser tenidos en cuenta para poder realizar un adecuado análisis dinámico del sistema.

Por este motivo, un paso importante para el desarrollo y los cálculos aquí realizados será el correcto modelado del tanque de combustible, para lo cual se presentan dos métodos diferenciados. El primero, más simple y que abarca varios métodos teniendo en cuenta diferentes consideraciones, representa solo la sección mojada por el líquido en el tanque de propulsante en una condición estática. De este modo, este primer caso no es apto para una simulación de la dinámica del sistema en función del tiempo. Por otro lado, el segundo método, se estudia con la finalidad de poder realizar una estimación de los modos longitudinales del vehículo durante el tiempo de funcionamiento de la etapa de propulsante líquido. Para esto, este último considera tanto la sección mojada como la seca.

La motivación de este trabajo está fuertemente marcada por el interés personal en profundizar en un tema tan importante como este y muy ligado al sector espacial, ya que es necesario estudiar de forma metódica el cohete, su estructura y su planta propulsora, antes de realizar un lanzamiento, no solo por la gran pérdida monetaria que podría ocasionar un fallo, sino por la aún mayor posible pérdida humana. De este modo y tras observarse la aparición del POGO en varios cohetes, se ha intentado en multitud de artículos y libros encontrar una forma adecuada de modelar y poder analizar el sistema estructural para poder conocer de antemano la ocurrencia de dicho efecto y, así, poder proceder a su eliminación.

Introducción

4

En este texto se pretende formular de forma sencilla el problema del análisis estructural de un cohete, así como proporcionar un análisis preliminar para conseguir una estimación de las curvas que generan las variaciones de las frecuencias naturales de la estructura del sistema en función del tiempo de quemado del combustible líquido. Además, este modelo resulta adecuado para el análisis de un cohete en su fase inicial de desarrollo, dado que no se tiene suficiente información para poder realizar un modelo de elementos finitos, y proporciona resultados suficientemente adecuados para observar la posibilidad de ocurrencia de POGO.


2 MODELO ESTRUCTURAL l modelo usado en lo que sigue, consiste en un sistema de masas y muelles que representa de forma esquemática al cohete real. No obstante, la existencia de tanques de propulsante líquido hace bastante difícil modelar y analizar el sistema debido al movimiento del líquido y la variación de la cantidad de

este en función del tiempo.

A pesar de la existencia de varios métodos para el estudio de vibraciones de un cohete, como puede ser el análisis continuo de la estructura del vehículo mediante Elementos Finitos, aquí se aplica el análisis modal basado en un sistema unidimensional de masas y muelles, proporcionando una primera estimación. Para llevar a cabo este análisis es necesario calcular las matrices de masa (M) y de rigidez (K) mediante las ecuaciones de equilibrio escritas a partir del modelo estructural.

Este método resulta interesante por varias razones. En primer lugar, aunque el vehículo con propulsante líquido se componga de estructuras y subsistemas complejos, cada etapa se compone de una membrana cilíndrica y otros elementos, como pueden ser el propulsante líquido, motores u otros. De este modo, es posible realizar una idealización centrando el estudio en los sistemas dominantes, como son los de mayor masa, los más importantes estructuralmente y el propulsante líquido. De estos, se considera un sistema equivalente de masas y muelles. En segundo lugar, el POGO es mucho más sensible que ocurra para frecuencias bajas, por lo que se busca en el análisis calcular con la mayor precisión estas frecuencias, hecho que, junto a solo considerar vibraciones longitudinales, facilitan y simplifican los cálculos computacionales. Y, en último lugar, este análisis se realiza durante el comienzo de la fase de desarrollo, así como en el diseño preliminar, dónde todos los detalles de la estructura del cohete no están aún completamente definidos. Es por esta razón por la cual resulta más conveniente un análisis como el que se plantea en este texto y no un análisis de Elementos Finitos. Además, este procedimiento proporciona una buena estimación de la ocurrencia del POGO con la finalidad de establecer un criterio de diseño. Tal y como se explica en [7].

Figura 2-1: Modelo unidimensional de un vehículo. Fuente: [7].

Como se aprecia en la figura (Figura 2-1), la estructura completa del vehículo se modela como un sistema

E

Modelo Estructural

6

unidimensional de masas y muelles (cuya masa es nula). Cada una de las zonas, o etapas, que componen el cohete se modela de la siguiente forma: dos masas concentradas conectadas por un muelle cuya constante representa la rigidez de la subestructura.

Entre las zonas que componen el cohete completo se encuentran los tanques de combustible y los tanques de oxígeno líquido, y habrá tantos como etapas tenga el vehículo. Como se puede ver en la figura, la forma de modelar el conjunto de tanque de combustible (Fuel) y tanque de oxígeno líquido (LOx) es similar para cada una de las etapas, con la única salvedad de que se establece una relación entre cada una de las mencionadas etapas. El resto de las masas que componen el vehículo completo se modelan de la forma comentada anteriormente.

Por otro lado, la obtención del modelo de masas y muelles no es inmediata, debido a que la elección del número de masas, así como su conexión mediante muelles es arbitraria en cierto modo. Básicamente el procedimiento empleado se basa en la hipótesis de que el movimiento de un sistema con infinitos grados de libertad puede ser aproximado por un sistema adecuado de finitos grados de libertad y compuesto por masas y muelles, tal y como se recalca en [5].

Una mayor información sobre la relación entre los sistemas continuos y los sistemas masa-muelle se encuentra en [8].

Además, dado que para obtener una precisión adecuada en los cálculos es necesario modelar de forma correcta las matrices de masa (M) y de rigidez (K), se debe tener en cuenta que los valores de masa y de rigidez son variables cuando se considera un análisis temporal. Por otro lado, mientras que la formación de la matriz (M) resulta bastante sencilla, la dificultad de este método recae en la construcción de la matriz de rigidez (K), que se desarrollará en un capítulo posterior, siguiendo varios métodos matemáticos desarrollados en artículos anteriores [5],[9],[10].

Este paso representa un punto crítico para poder calcular de forma adecuada las frecuencias naturales del sistema, dado que generalmente un vehículo tiene dos tanques de propulsante líquido, el de LOx y el de combustible. Cada tanque presenta un diseño diferente y entre ambos (considerando tanque y contenido) representan más del 70% de la masa total del cohete, tal y como se explica en [7].

En este último artículo mencionado, se presenta una gráfica que esquematiza el complejo proceso que se debe seguir para obtener un análisis de vibraciones con una buena precisión. Así, se toma como punto inicial las distribuciones de masas y rigidez del vehículo en la dirección longitudinal. Y según esta distribución se ubican las masas puntuales del sistema equivalente masa-muelle. De este modo: “Los tanques y propulsantes se idealizan de la siguiente manera: el vehículo completo es finalmente convertido en una matriz de masa y una de rigidez. Con la finalidad de resolver el análisis modal”.


Figura 2-2: Esquema del proceso para estimar POGO. Fuente: [7].

En este esquema se observa que, una vez obtenidas las distribuciones de masa y de rigidez, se deben tener en cuenta tanto la geometría específica de los tanques como el ratio de consumo del propulsante para realizar el modelado de los tanques y emplear esos valores obtenidos de rigidez en la estructura completa del vehículo. De esta forma, se aplica el método de superposición y de adición para conseguir el modelo completo de la estructura del cohete, en el que se represente de forma adecuada el sistema real con masas y muelles.

Las variaciones de masa del propulsante ocasionadas por su consumo determinan la existencia de matrices de masa y rigidez que varían en función del tiempo, y que se emplean para el análisis modal. De este modo, se obtienen las frecuencias naturales y los modos de vibración del sistema estructural en función del tiempo, para que, junto a la resolución del modelo del sistema de empuje, permita realizar una estimación de POGO.

Modelo Estructural

8


3 MÉTODOS EMPLEADOS PARA EL MODELO DEL TANQUE

al y como ya se ha comentado, el correcto modelado del tanque de propulsante, tanto de las masas como de las constantes de rigidez, es fundamental para realizar un análisis adecuado del vehículo completo. De este modo, se van a explicar en este trabajo dos métodos. El primero, más simple y que

servirá de introducción, y el segundo, que permite realizar simulaciones temporales. Dentro de este último, se explican dos métodos, siendo el segundo una mejora del primero y que resulta más adecuado para el análisis del sistema en función de tiempo.

Figura 3-1: Tanque de propulsante. Fuente: [5].

Figura 3-2: Modelo equivalente del tanque. Fuente: [7].

T

Métodos empleados para el modelo del tanque

10

3.1 Método isotrópico

Por un lado, un modelo unidimensional de masa-muelle es propuesto por Wood [9] y Pinson [10]. Este modelo se basa en la existencia de masas puntuales unidas por muelles que modelan el tanque de propulsante. En lo que sigue se va a analizar y explicar el desarrollo, destacando las ecuaciones que definen las constantes de los muelles, así como las limitaciones del método propuesto. Ambos métodos se combinan para analizar el efecto hidroelástico de la rigidez de las paredes del tanque cilíndrico, del mamparo inferior y de los tirantes.

Los valores de las constantes de rigidez para el caso de tanque cilíndrico con membrana elástica y sin considerar deformaciones del mamparo inferior se muestran a continuación:

𝐾# = +2𝜈

3 − 2𝜈01𝐾 (3-1)

𝐾0 = (2 − 2𝜈3 − 2𝜈0

)𝐾 (3-2)

𝐾4 = (3 − 2𝜈3 − 2𝜈0

)𝐾 (3-3)

Siendo 𝐾 = 𝐸𝐴/ℎ, 𝐴 = 2𝜋𝑅𝑡, R el radio del cilindro, t el espesor de la membrana que conforma el tanque, h la altura del líquido, E el módulo de Young1 y 𝜈 el coeficiente de Poisson2.

3.2 Método ortotrópico

Sin embargo, para una mayor precisión en los cálculos que aparecen en este trabajo es necesario considerar la deformación del mamparo inferior. En este caso, aparece una mueva constante, 𝐾:; , que representa la rigidez del mamparo inferior. Además, se considera también la posibilidad de incluir un tirante que se modela como un muelle en paralelo con 𝐾4, y se denomina: 𝐾<=>?@AB>, y se define como sigue:

𝐾<=>?@AB> = 𝐴<=>?@AB>,=D=EF𝐸<=>?@AB>

ℎ<=>?@AB>,GHIJGK (3-4)

Y se definen los siguientes parámetros: el ratio entre la profundidad del mamparo inferior y el radio, 𝑛 = 𝑏/𝑅, y el ratio entre la altura del líquido y el radio, 𝑞 = ℎ/𝑅.

Las funciones de transferencia que aparecen en las ecuaciones de las constantes de rigidez son función de n y 𝜈, y son las siguientes: 𝐻(𝑛, 𝜈) obtenida tras imponer el primer momento de incremento de volumen causado por la componente hidroestática de presión, 𝐺(𝑛, 𝜈) obtenida del incremento de volumen por presión hidroestática, y 𝐹(𝑛, 𝜈) obtenida del incremento de volumen por presión interna constante. [10].

Finalmente, de este mismo documento y tras unificar los incrementos de volumen debido a las dos componentes de carga, así como el debido al primer momento de cambio de volumen, se obtiene la siguiente expresión para la constante del muelle del mamparo inferior:

𝐾:; = 𝐸𝑡2𝜋(3𝑞 + 2𝑛)0

9T𝐻(𝑛, 𝜈) + 2𝑞𝐺(𝑛, 𝜈) + 𝑞0𝐹(𝑛, 𝜈)U (3-5)

1 El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. 2 El coeficiente de Poisson es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento.


Finalmente se obtienen los siguientes resultados:

𝐾#VVV =𝐾0VVV1 − 𝜈

(3-6)

𝐾0VVV =( 2 − 2𝜈3 − 2𝜈0)𝐾𝐾:;

( 2 − 2𝜈3 − 2𝜈0)𝐾 + 𝐾:; (3-7)

𝐾4VVV = 𝐾 − 𝜈𝐾0VVV + 𝐾<=>?@AB> (3-8)

Con este método, tal y como se ha comentado, se incluye el efecto hidroelástico de la pared del tanque y la deformación del mamparo inferior; no obstante, este procedimiento presenta la limitación de que solo representa la sección mojada del tanque en un condición estática, por lo que no es válido para realizar análisis temporales.

Para solventar el problema sobre el análisis temporal, se presenta a continuación un método diferente que incluye la matriz Y𝐶[\]. Esta matriz, que refleja las propiedades elásticas y ortotrópicas de la pared del tanque, aparece en las ecuaciones que definen los valores de las constantes de rigidez de tal forma que se incluye tanto la sección mojada como la seca, permitiendo definir de forma más específicas las características del tanque, y siendo viable el uso de las ecuaciones que se derivan de este método para simular la variación de las frecuencias naturales del sistema en función del tiempo. El desarrollo de este procedimiento se encuentra en [5], dónde se aplica el método y se compara con los resultados experimentales de un modelo a escala 1/10 del Saturn V durante el consumo de su primera etapa de propulsante.

En lo que sigue se va a explicar en qué consiste este nuevo método y cómo se ven afectadas las ecuaciones (3-6)-(3-8) debido a la presencia de la matriz [𝐶[\].

Además, sobre el modelo que se presenta en este artículo será en el que se trabaje en Matlab® para calcular las frecuencias naturales y compararlas con los resultados experimentales. De este modo, se podrá comparar la validez de cada uno de los procedimientos presentados en este apartado.

Continuando con el cálculo de las constantes de rigidez de los muelles, se presenta en primer lugar la constante equivalente del muelle para una estructura cónica, particularizado para el caso cilíndrico, el cual se obtiene sin mayor dificultad que sustituir el ángulo 𝜙a por el valor 𝜋/2. En este límite el resultado es el siguiente:

𝐾H =2𝜋𝑅𝑙𝐶##(1 −

𝐶#0𝐶#0𝐶##𝐶00

) (3-9)

De este modo, este valor representa el valor de la constante del muelle para una membrana ortotrópica y cilíndrica, la cual depende principalmente de 𝐶## y en menor medida de 𝐶00 y 𝐶#0, tal y como se explica en el documento de referencia.

En lo que sigue se toma como referencia el tanque mostrado en la figura Figura 3-1: Tanque de propulsante. Fuente: [5]., y se considera la siguiente hipótesis: se cumple que ℎ > 𝑙, es decir, el líquido siempre cubre parte del mamparo superior, tal y como se aprecia en la figura. Además, es factible asumir que la deformación del mamparo superior tiene un efecto despreciable respecto al movimiento del centro de masas, en comparación con la deformación del cilindro y del mamparo inferior. Continuando con las hipótesis también se asume que: el movimiento del líquido queda definido por el movimiento del centro de masas del líquido, luego el líquido total se representa en el modelo como una pasa soportada por muelles; que la base del cilindro está fija y no permite movimientos longitudinales; que el sistema es lineal; y que la deformación es proporcional a la carga.

Con todo esto y siguiendo las deducciones empleadas en [5], se obtienen las siguientes expresiones que determinan las constantes de los muelles que aparecen en el tanque de propulsante:

Métodos empleados para el modelo del tanque

12

𝐾# = 𝐾H𝐶00𝐶##

3𝐶#0𝐶00(𝑞0 −𝑚0)

𝑝ΓΛ

(3-10)

𝐾0 = 𝐾H𝐶00𝐶##

1 − 3 𝐶#0𝐶00(𝑞0 − 𝑚0)

𝑝ΓΛ

(3-11)

𝐾4 = 𝐾H

12(𝑞4 −𝑚4)𝑝Γ0 − 3𝐶#0𝐶##

𝑞0 − 𝑚0

𝑝Γ + 2𝜋𝑝𝐶00𝐾:;

h1 − 𝐶#0𝐶##𝐶#0𝐶00

i

Λ

(3-12)

Además, para completar la definición de estas expresiones resulta necesario introducir los siguientes parámetros:

Γ = 3𝑞 + 2𝑛 −𝑚4

𝑛#0 (3-13)

Siendo, según la referencia de la figura Figura 3-1: Tanque de propulsante. Fuente: [5].: 𝑛# = 𝑏#/𝑅, 𝑚 = 𝑐/𝑅, 𝑏# la profundidad del mamparo superior, y 𝑐 la altura de líquido dentro del mamparo superior. El resto de los parámetros que aparecen ya se han definido previamente.

𝐾:; = 2𝜋𝐸𝑡 kΓ0

9T𝐻(𝑛, 𝜈) + 2𝑞𝐺(𝑛, 𝜈) + 𝑞0𝐹(𝑛, 𝜈)Ul (3-14)

Resultando la ecuación (3-14) equivalente a la ecuación (3-5) si se sustituye (3𝑞 + 2𝑛) por Γ. Siendo su significado el mismo que anteriormente.

Y,

Λ =12(𝑞4 − 𝑚4)

𝑝Γ0− 9

𝐶#00

𝐶##𝐶00𝑞0 −𝑚0

𝑝0Γ0+2𝜋𝑝𝐶00𝐾:;

+1 −𝐶#0𝐶##

𝐶#0𝐶00

1 (3-15)

Siendo 𝑝 = 𝑙/𝑅, el ratio de la altura de la cáscara del tanque respecto al radio del cilindro.

Finalmente, con todo esto, se puede proceder al análisis del tanque de propulsante para varios casos, primero, y al análisis del sistema completo (Figura 4-1), después.


4 METODOLOGÍA APLICADA n lo que sigue se explica el procedimiento empleado para la resolución del problema planteado en el presente texto.

4.1 Tanques de propulsante

Antes de proceder a la resolución del sistema completo, se va a proceder a resolver y analizar el problema del tanque de propulsante, combinando los métodos de Wood [9] y Pinson [10] (ver figura Figura 3-2: Modelo equivalente del tanque. Fuente: [7]., teniendo en cuenta que se considera 𝑥0 en lugar de 𝑥n y 𝑥4 en lugar de 𝑥a). Se van a analizar y comparar entre sí cuatro casos, tal y como se realiza en [7].

El primero, muestra el caso más sencillo y se asume que no existen efectos hidroelásticos; por lo tanto, solo se define una constante de rigidez (𝐾 = 𝐸𝐴/ℎ). El segundo, considera el efecto hidroelástico, al igual que ocurre con el tercero, pero en este, el mamparo inferior se considera rígido, lo cual se define como método isotrópico (ecuaciones (3-1)-(3-3)). En el tercero, el mamparo inferior se considera deformable (método ortotrópico). Y, en el cuarto, se añade un tirante al caso tres, tal y como se aprecia en la figura (Figura 3-2: Modelo equivalente del tanque. Fuente: [7].) en la imagen de la derecha. Para los casos tres y cuatro, se emplean las ecuaciones (3-6)-(3-8).

Para proceder al planteamiento de las ecuaciones que conducen al problema de autovalores que permite determinar las frecuencias naturales del sistema se van a usar las ecuaciones de Lagrange, que se expresan de forma general:

𝑑𝑑𝑡+𝜕𝐿𝜕�̇�1 −

𝜕𝐿𝜕𝑞

+𝜕𝐹𝜕�̇�

= 𝑄 (4-1)

Siendo, 𝐿 = 𝑇 − 𝑉, T la energía cinética del sistema y V, la energía potencial, ambas expresadas según la coordenada generalizada (q); el parámetro F representa la función de disipación de Rayleigh y Q, la fuerza generalizada.

No obstante, estos dos últimos parámetros no tienen efecto alguno en los cálculos posteriores, principalmente porque no se considera amortiguamiento en el sistema de masas y muelles, y, por consiguiente, F es nulo.

A continuación, se presentan los cálculos de T y V:

𝑇 =12(𝑚#𝑥#̇ +𝑚0𝑥0̇ + 𝑚4𝑥4̇) (4-2)

𝑉 =12𝐾#(𝑥# − 𝑥0)0 +

12𝐾0(𝑥0 − 𝑥4)0 +

12𝐾4(𝑥# − 𝑥4)0 (4-3)

Aplicando ahora la ecuación de Lagrange para cada una de las coordenadas generalizadas, 𝑥#, 𝑥0 y 𝑥4, se obtiene:

𝑚#𝑥#̈ + 𝐾#(𝑥# − 𝑥0) + 𝐾4(𝑥# − 𝑥4) = 𝑄# (4-4)

𝑚0𝑥0̈ − 𝐾#(𝑥# − 𝑥0) + 𝐾0(𝑥0 − 𝑥4) = 𝑄0 (4-5)

E

Metodología aplicada

14

𝑚4𝑥4̈ − 𝐾0(𝑥0 − 𝑥4) − 𝐾4(𝑥# − 𝑥4) = 𝑄4 (4-6)

Ecuaciones que se pueden escribir de forma matricial de la forma:

[𝑀]Y�̈�] + [𝐾][𝑋] = [𝑄] (4-7)

Siendo las matrices de masa y de rigidez las siguientes, respectivamente:

[𝑀] = x𝑚# 0 00 𝑚0 00 0 𝑚4

z (4-8)

[𝐾] = x𝐾# + 𝐾4 −𝐾# −𝐾4−𝐾# 𝐾# + 𝐾0 −𝐾0−𝐾4 −𝐾0 𝐾0 + 𝐾4

z (4-9)

Con todo esto es sencillo calcular las frecuencias naturales del tanque calculando en Matlab® los autovalores de la matriz [𝐾𝑀"#], debido a que el problema det(K − Mw0) = 0, puede reescribirse como det(KM"# −Iw0) = 0. Siendo 𝐼 la matriz identidad.

De este modo, una vez se conozcan ambas matrices, el cálculo final se realiza de forma bastante simple, usando el comando “𝑒𝑖𝑔()”.

Por otro lado, para el caso más simple en el que solo se considera un muelle uniendo las masas 1 y 3 (sin considerar efectos hidroelásticos), las matrices quedan como sigue:

[𝑀] = �𝑚# 00 𝑚4

� (4-10)

[𝐾] = � 𝐾 −𝐾−𝐾 𝐾 � (4-11)

4.2 Vehículo completo

El modelo matemático del cohete Saturn V a escala 1/10, que es el sistema que se va a simular en el software Matlab®, consiste, como se ha explicado anteriormente, en masas discretas conectadas mediante muelles lineales sin masa. En la siguiente figura se aprecia el mencionado modelo:


Figura 4-1: Modelo analítico del Saturn V, escala 1/10. Fuente: [5].

Los valores de las masas se encuentran en una tabla en el documento sobre el que se está trabajando. No obstante, dichos valores se mostrarán en capítulos posteriores cuando se proceda a la resolución numérica del


16

sistema mostrado en la figura Figura 4-1).

Para la resolución de las frecuencias naturales del sistema completo se va a seguir el documento [5], en el que se desarrolla un método más avanzado que el de Pinson y Wood, y permite la obtención de la evolución de las frecuencias naturales en función del tiempo. En este caso, las ecuaciones empleadas para determinar las constantes de rigidez del tanque de propulsante son (3-9)-(3-15).

Tras la resolución numérica se compararán los resultados obtenidos con los experimentales proporcionados por el mencionado artículo.

El primer paso en la resolución del problema será el planteamiento de las ecuaciones que lo definen y la determinación de las matrices de masa y rigidez. Y, a continuación, se definirán de forma numérica cada uno de los parámetros que intervienen en los cálculos, y se explicará cómo se calculan los valores de la matriz [𝐶[\].

De este modo, y usando las ecuaciones de Lagrange descritas en la ecuación (4-1), se procede a calcular las ecuaciones que definen el sistema. Para esto, es necesario calcular la energía cinética y potencial del sistema de 29 grados de libertad (g.d.l.) que se está considerando. Además, se debe tener en cuenta que en este caso tampoco existe amortiguamiento.

Se definen las coordenadas generalizadas 𝑥[, para 𝑖 = 1,… ,29; es decir, una coordenada para definir el movimiento de cada una de las masas que componen el sistema. Estas coordenadas están medidas desde la posición de equilibrio de cada masa.

La energía cinética es posible expresarla de forma compacta como sigue:

𝑇 =12�𝑚[𝑥�0̇0�

[�#

(4-12)

La energía potencial del sistema no resulta tan sencilla de expresar de forma compacta, así que se escribe a continuación en forma desarrollada:

𝑉 =12{𝐾#(𝑥# − 𝑥0)0 + 𝐾0(𝑥0 − 𝑥4)0 + 𝐾4(𝑥4 − 𝑥�)0 + 𝐾�(𝑥� − 𝑥�)0 + 𝐾�(𝑥� − 𝑥�)0

+ 𝐾�(𝑥� − 𝑥�)0 + 𝐾�(𝑥� − 𝑥�)0 + 𝐾�(𝑥� − 𝑥�)0 + 𝐾�(𝑥� − 𝑥#a)0+ 𝐾#a(𝑥� − 𝑥#4)0 + 𝐾##(𝑥#4 − 𝑥#a)0 + 𝐾#0(𝑥#0 − 𝑥#a)0+ 𝐾#4(𝑥#a − 𝑥##)0 + 𝐾#�(𝑥#a − 𝑥#�)0 + 𝐾#�(𝑥#� − 𝑥#�)0+ 𝐾#�(𝑥#� − 𝑥#�)0 + 𝐾#�(𝑥#� − 𝑥#�)0 + 𝐾#�(𝑥#� − 𝑥00)0+ 𝐾#�(𝑥00 − 𝑥#�)0 + 𝐾0a(𝑥0# − 𝑥#�)0 + 𝐾0#(𝑥#� − 𝑥#�)0+ 𝐾00(𝑥#� − 𝑥#�)0 + 𝐾04(𝑥#� − 𝑥0a)0 + 𝐾0�(𝑥#� − 𝑥04)0+ 𝐾0�(𝑥04 − 𝑥0�)0 + 𝐾0�(𝑥04 − 𝑥0�)0 + 𝐾0�(𝑥0� − 𝑥0�)0+ 𝐾0�(𝑥0� − 𝑥0�)0 + 𝐾0�(𝑥0� − 𝑥0�)0 + 𝐾4a(𝑥0� − 𝑥0�)0+ 𝐾4#(𝑥0� − 𝑥0�)0 + 𝐾40(𝑥0� − 𝑥0�)0}

(4-13)


Aplicando ahora la ecuación de Lagrange para cada una de las coordenadas generalizadas, es inmediato obtener las matrices de masa y rigidez.

La matriz de masa es una matriz diagonal en la que en cada componente (𝑖, 𝑗 = 𝑖) de la diagonal se encuentra el valor 𝑚[. Esto es:

x𝑚# ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 𝑚0�

z (4-14)

En cuanto a la matriz de rigidez, debido a su extensión, se va a presentar de una forma simplificada y más visual. De este modo, en primer lugar, se muestra de forma esquemática esta matriz. La forma de proceder consiste en indicar, solo para las posiciones fuera de la diagonal principal, los subíndices asociados a los valores de las constantes de rigidez que ocuparían esa posición, teniendo en cuenta que estos valores serían negativos a la hora de realizar la computación y que los espacios en blancos se corresponden con 0. Y, seguidamente, se escribirán los valores que componen la diagonal.


18

Figura 4-2: Forma esquemática de la matriz de rigidez para el vehículo completo.

Para clarificar lo explicado anteriormente, se presenta el siguiente ejemplo: en la posición 𝑖 = 14, 𝑗 = 10, el término que aparece es: −𝐾#�, en negativo tal y como se obtiene de las ecuaciones. Siendo 𝑖 el subíndice para filas y 𝑗, para columnas.

Se observa que, tal y como debía ocurrir, la matriz de rigidez es simétrica.

Finalmente, los valores que conforman la diagonal de la matriz se escriben a continuación, indicando cada posición de la diagonal con los valores del 1 al 29.

1: 𝐾#

2: 𝐾# + 𝐾0

3: 𝐾0 + 𝐾4


4: 𝐾4 + 𝐾�

5: 𝐾� + 𝐾� + 𝐾�

6: 𝐾� + 𝐾�

7: 𝐾�

8: 𝐾� + 𝐾�

9: 𝐾� + 𝐾� + 𝐾#a

10: 𝐾� + 𝐾## + 𝐾#0 + 𝐾#4 + 𝐾#�

11: 𝐾#4

12: 𝐾#0

13: 𝐾#a + 𝐾##

14: 𝐾#� + 𝐾#�

15: 𝐾#� + 𝐾#�

16: 𝐾#� + 𝐾#� + 𝐾#�

17: 𝐾#� + 𝐾#� + 𝐾0a + 𝐾0#

18: 𝐾0# + 𝐾00 + 𝐾0�

19: 𝐾00 + 𝐾04

20: 𝐾04

21: 𝐾0a

22: 𝐾#� + 𝐾#�

23: 𝐾0� + 𝐾0� + 𝐾0�

24: 𝐾0� + 𝐾0� + 𝐾0�

25: 𝐾0� + 𝐾0� + 𝐾4a

26: 𝐾0� + 𝐾4# + 𝐾40

27: 𝐾40

28: 𝐾4a + 𝐾4#

29: 𝐾0� + 𝐾0�

Tabla 4-1: Términos de la diagonal de la matriz de rigidez del vehículo completo.


20


5 RESULTADOS NUMÉRICOS n este apartado se muestran tanto los valores de referencia como los resultados numéricos asociados al tanque de propulsante, primero, y al vehículo completo, después.

5.1 Tanques de propulsante

Tras el planteamiento de las ecuaciones, así como de la forma en la que se va a proceder, el siguiente paso consiste en indicar los valores numéricos con los que se va a trabajar.

Por tanto, en las siguientes tablas se presentan todas las variables asociadas a los cálculos que se realizan en el presente capítulo.

ν E (psi) h (in) t (in) R (in) A (in0) n q

0.334 (Al) 10e6 373 0.05 60 2πRt 0.7071 h/60

Tabla 5-1: Definición de variables del tanque de propulsante. Fuente: [7].

Nº de tirantes h¡¢£¤¥¦§£ (in) A¡¢£¤¥¦§£ (in0) ∆PESO¡¢£¤¥¦§£ (lb)

12 350 0.50 ⋅ 12 102.9

Tabla 5-2: Características del tirante añadido al tanque. Fuente: [7].

Además, los valores de masa asociados al tanque también son dados:

m#(lb ∙ s0/in) m0 (lb ∙ s0/in) m4 (lb ∙ s0/in)

5.636 448.93 4.838

Tabla 5-3: Valores de masa que definen el conjunto del tanque de propulsante. Fuente [7].

En relación a esta última tabla, se deben tener en cuenta dos casos particulares: cuando no se considera el efecto hidroelástico, la masa 𝑚0 no aparece en el sistema de masa y muelle, y las otras masas 𝑚#,𝑚4, incrementan cada una su valor en la cantidad 𝑚0/2. Y, cuando se considera el tirante, las masas 𝑚#𝑦𝑚4 incrementan cada una su valor en la cantidad ∆𝑃𝐸𝑆𝑂<=>?@AB>/2.

Con todo esto, se puede proceder al cálculo de las constantes de rigidez de los muelles, así como realizar la construcción de las matrices de masa y rigidez. Finalizando el proceso con el cálculo de los autovalores del sistema para cada uno de los casos que se han presentado.

Los resultados obtenidos tras la simulación en Matlab® son:

E

Resultados Numéricos

22

Constantes de rigidez (lb/in) Frecuencias naturales (Hz)

𝐾#/10� 𝐾0/10� 𝐾4/10� Modo 1 Modo 2 Modo 3

Caso 1: Sin efecto

hidroelástico 5.0535 0 0 0 10.55 -

Caso 2: Mamparo inferior rígido

1.2156 2.4240 4.2438 0 29.48 71.38

Caso 3: Mamparo flexible

1.1127 2.2188 4.3124 0 28.25 71.26

Caso 4: Con tirante 1.1127 2.2188 5.1695 0 27.98 75.88

Tabla 5-4: Resultados obtenidos tras la simulación del tanque en Matlab®.

Los resultados obtenidos son iguales a los mostrados en el documento [7]. Y, a continuación, se van a comparar los resultados de los distintos caasos entre sí.

En primer lugar, la diferencia existente entre los casos en los que se considera el efecto hidroelástico, y el caso en el cual no, son más que evidentes. Hecho que sugiere que este efecto no puede ser eliminado del estudio. En cuanto a los casos 2 y 3, se observa como al incluir la flexibilidad del mamparo inferior, se reducen los valores de 𝐾# y 𝐾0, mientras que aumenta el valor de 𝐾4. En cuanto a los valores de las frecuencias naturales, se aprecia una disminución en los modos 2 y 3. Al añadir el tirante, se produce un aumento de 𝐾4 respecto al caso 3, y, en cuanto a las frecuencias naturales, disminuye para el modo 2 y aumenta para el modo 3. Cabe destacar el hecho de que la existencia de tirante tiene un gran efecto en cuanto al valor de rigidez (aumento del valor de 𝐾4 un 19.87%) con un pequeño incremento de peso total de la estructura (0.05%).

5.2 Vehículo completo

Tras el planteamiento de las ecuaciones, el siguiente paso consiste en indicar los valores numéricos con los que se va a trabajar.

Para poder comprobar que el método propuesto en [5] proporciona una mejor exactitud, en este apartado numérico se van a analizar tanto el método isotrópico (ecuaciones (3-1)-(3-3)), como el método ortotrópico (ecuaciones (3-9)-(3-15)), comparando ambos posteriormente con los resultados experimentales.

Los valores de masa empleados vienen dados en la bibliografía, y se muestran a continuación:


Figura 5-1: Valores de masas y constantes de rigidez para el vehículo completo en las diferentes condiciones de combustible. Unidades imperiales. Fuente: [5].

Los valores de las constantes de rigidez también se muestran en la tabla anterior. No obstante, los valores referidos al tanque de propulsante líquido se van a calcular aparte, de las dos formas que se han comentado anteriormente.

Se observa que, dado que solo se analiza el vehículo durante la fase de quemado de la primera etapa, solo los tanques de RP-1 y LOx son los que experimentan variaciones en sus parámetros de masas y constantes de rigidez. Para ser exactos, las masas 𝑚0� y 𝑚0� son las únicas que varían en función del tiempo, ya que son los valores que representan el fluido RP-1 y LOx, respectivamente. En cuanto a las constantes de los muelles, solo los valores 𝐾0�, 𝐾0�, 𝐾0�, 𝐾0�, 𝐾4a, 𝐾4# son los que varían.

De este modo, los cálculos que determinan los mencionados valores de las constantes se centran exclusivamente en estos dos tanques, el resto permanece inalterado.

El tanque de LOx está compuesto de aluminio y se asume que solo la pared y los tirantes resisten cargas longitudinales, y que la pared es el único elemento que acopla carga longitudinal y deformación circunferencial, y carga circunferencial y deformación longitudinal. [5]. Además, se considera un valor medio


24

de espesor de la pared del tanque. Los valores se muestran en la siguiente tabla:

ν E (psi) t (in) R (in) A (in0) n l (in)

0.334 (Al) 10e6 0.022 19.8 2πRt 0.7828 48.9

Tabla 5-5: Valores del tanque de LOx, vehículo completo. Fuente: [5].

En relación al tanque de RP-1, no se proporcionan muchos datos en la bibliografía. Por lo tanto, se considera con las mismas propiedades que el tanque de LOx (Tabla 5-5). Y en este caso 𝑙 = 23.7𝑖𝑛.

Los valores de ℎ dependen de la condición de carga que se considere en cada momento, de este modo, dicho parámetro será un valor de entrada para calcular los valores de las constantes de rigidez. Una vez se conozca ℎ, el cálculo de 𝑞 = ℎ/𝑅 es inmediato. A continuación, se muestran los valores de ℎ para cada una de las condiciones de vuelo que se van a estudiar.

Condición nominal de peso h (LOx) [in] h (RP-1) [in]

Tercera fase 0 0

50% 24.6 4

100% 60.3 19,5

Tabla 5-6: Altura de líquido en los tanques para diferentes condiciones de vuelo. Fuente: [5].

En lo que sigue se presentan los cálculos para los dos casos bajo estudio.

5.2.1 Modelo isotrópico para tanque

Usando las ecuaciones (3-1)-(3-3), y conociendo los valores de ℎ para los tres casos que se consideran en la simulación numérica, se obtienen los valores de las constantes de rigidez mostrados en la siguiente tabla:


Condición nominal de peso

𝐾#/10� 𝐾0/10� 𝐾4/10�

LOx (𝐾0�) RP-1 (𝐾4a) LOx (𝐾0�) RP-1 (𝐾4#) LOx (𝐾0�) RP-1 (𝐾0�)

Tercera fase 0 0 0 0 ∞ ∞

50% 0.2676 1.6459 0.5337 3.2821 0.9343 5.7462

100% 0.1092 0.3376 0.2177 0.6732 0.3812 1.178

Tabla 5-7: Valores de las constantes de rigidez para el caso isotrópico. Unidades: lb/in.

5.2.2 Modelo ortotrópico para el tanque

Para el tanque de LOx, los valores de la matriz [𝐶[\] son:

𝐶## =𝑡𝐸

1 − 𝜈0+ 𝐴K»¼½𝐸 = 2.901 ∙ 10�𝑙𝑏/𝑖𝑛 (5-1)

𝐶00 =𝑡𝐸

1 − 𝜈0+ 𝐴H[¾HJ¿𝐸 = 2.78 ∙ 10�𝑙𝑏/𝑖𝑛 (5-2)

𝐶#0 =𝜈𝑡𝐸1 − 𝜈0

= 0.7253 ∙ 10�𝑙𝑏/𝑖𝑛 (5-3)

Teniendo en cuenta que 𝐴K»¼½ = 0.00483𝑖𝑛 y 𝐴H[¾HJ¿ = 0.00362𝑖𝑛. Valores que representan el área media de los tirantes longitudinales por unidad de circunferencia y el área media de los tirantes circunferenciales por unidad de longitud, respectivamente. Valores obtenidos de [5].

En cuanto al tanque de RP-1, debido a la falta de información en la bibliografía, no se realizan los cálculos en el presente texto y se toman directamente los valores proporcionados en las tablas del documento de referencia con la finalidad de poder realizar la computación del vehículo completo.

De este modo, es posible calcular el resto de los parámetros, usando las ecuaciones (3-9)-(3-15), para los diferentes casos de altura de líquido (ℎ) considerados. Véase la siguiente tabla:


𝐾H 𝐾:; Γ Λ

LOx LOx LOx LOx

Tercera fase 6.899e5 5.972e5 1.566 1.107

50% 6.899e5 1.102e6 5.293 0.9273

100% 6.899e5 1.129e6 10.39 1.839

Tabla 5-8: Valores de los parámetros para caso ortotrópico.


26


𝐾#/10� 𝐾0/10� 𝐾4/10�

LOx (𝐾0�) LOx (𝐾0�) LOx (𝐾0�)

Tercera fase 0 0 0.689

50% 0.0659 0.647 0.6279

100% 0.098 0.2713 0.5949

Tabla 5-9: Valores de las constantes de rigidez para caso ortotrópico. Unidades: lb/in.

Finalmente, con todo esto, se obtienen los resultados que se muestran en la siguiente tabla:

Condición de propulsante Método Modo 1 (Hz) Modo 2 (Hz) Modo 3 (Hz) Modo 4 (Hz)

100%

Experimental [5] 30.9 40.2 56.4 71.3

Analítico [5] 38.0 40.3 55.3 70.8

Isotrópico 37.38 42.95 55.23 70.69

Ortotrópico 38.38 41.36 55.34 70.7

50%

Experimental [5] 42.0 57.1 71.2 -

Analítico [5] 43.1 55.0 70.8 -

Isotrópico 47.34 57.62 70.69 -

Ortotrópico 43.94 55.9 70.7 -

0%

Experimental [5] 51.1 69.6 86.0 -

Analítico [5] 53.3 70.8 78.0 -

Isotrópico 53.8 70.69 77.62 -

Ortotrópico 53.31 70.7 77.1 -

Tabla 5-10: Resultados obtenidos para las frecuencias naturales mediante el método isotrópico y ortotrópico.

Como se aprecia en la tabla anterior, los resultados que se obtienen con los métodos explicados en el presente texto son similares a los propuestos en la bibliografía tanto de forma analítica como experimental.

Además, resulta destacable que los resultados obtenidos tras la aplicación del método ortotrópico para el modelado del tanque de propulsante guardan mayor relación con los proporcionados por la literatura. Así, se comprueba que la consideración de la deformación del mamparo inferior no es despreciable, ya que mejora la precisión de los cálculos.


6 CONCLUSIONES En el presente texto se ha modelado la estructura de un cohete según un sistema simple de masas y muelles, para proceder a su análisis modal y calcular las frecuencias naturales del sistema estructural como primer paso en el análisis del efecto POGO.

Tras estos cálculos, el siguiente paso sería la resolución del modelo de planta propulsiva que permita definitivamente realizar una estimación adecuada de la aparición del POGO. No obstante, estos cálculos escapan del alcance de este trabajo y se proponen como posible mejora futura.

En cuanto a los resultados que se muestran en la Tabla 5-4, se aprecia a simple vista la gran diferencia que existe entre considerar efectos hidroelásticos y no hacerlo. De manera que queda latente la importancia de tener en cuenta dicho efecto. También se observa la diferencia, aunque menor, de resultados entre el caso isotrópico y ortotrópico. Sin embargo, como se ha visto en la simulación del vehículo completo, los resultados para las frecuencias naturales son más exactos cuando se emplea el método ortotrópico.

De este modo, en la Tabla 5-10 se observa el efecto mencionado anteriormente, dado que se comprueba la mejor adecuación de los valores a los proporcionados por la bibliografía cuando se considera la deformación del mamparo inferior. Numéricamente, para el caso ortotrópico, el mayor error que se obtiene es de 2.63%, mientras que, para el caso isotrópico, el error aumenta hasta 6.57%.

En definitiva, de este trabajo se extrae que la posibilidad de realizar un estudio sobre la ocurrencia del POGO en un cohete mediante un modelo sencillo arroja unos resultados precisos que son adecuados para llevar a cabo un análisis preliminar y que permiten también el establecimiento de criterios de diseño, ya desde la primera fase de concepto, que permitan evitar la ocurrencia de este efecto.

Aunque la resolución del modelo de empuje no se resuelve aquí, resultados proporcionados por la bibliografía muestran una precisión adecuada de ocurrencia del POGO. Por lo tanto, desde el comienzo del diseño del cohete ya se busca evitar la posible ocurrencia de este efecto, que traería consecuencias nefastas tanto para la estructura del vehículo, como para la posible tripulación.

Conclusiones

28

29

REFERENCIAS

[1] A. Rasumoff and R. A. Winje, “The pogo phenomenon: its causes and cure,” Springer, pp. 307–322, 1973.

[2] Q. Wang, S. Tan, Z. Wu, Y. Yang, and Z. Yu, “Improved modelling method of Pogo analysis and simulation for liquid rockets,” Acta Astronaut., vol. 107, pp. 262–273, 2015.

[3] Y. Tang, M. Li, L. Wang, Y. Zhang, and B. Fang, “Modeling and stability analysis of Pogo vibration in liquid-propellant rockets with a two-propellant system,” Trans. Jpn. Soc. Aeronaut. Space Sci., vol. 60, no. 2, pp. 77–84, 2017.

[4] B. W. OPPENHEIM and S. RUBIN, “Advanced Pogo stability analysis for liquid rockets,” J. Spacecr. Rockets, vol. 30, no. 3, pp. 360–373, 1993.

[5] L. D. Pinson and H. W. Leonard, “LONGITUDINAL VIBRATION CHARACTERISTICS OF I / 10-SCALE APOLLO / SATURN V REPLICA MODEL,” NASA TN D-5159, 1969.

[6] J. B. Kim, J. S. Sim, S. G. Lee, S. J. Shin, J. H. Park, and Y. Kim, “Integrated one-dimensional dynamic analysis methodology for space launch vehicles reflecting liquid components,” Aeronautical Journal, vol. 121, no. 1243, pp. 1217–1238, 2017.

[7] J. B. Kim, J. S. Sim, S. G. Lee, S. J. Shin, J. H. Park, and Y. Kim, “Integrated one-dimensional dynamic analysis methodology for space launch vehicles reflecting liquid components,” Aeronaut. J., vol. 121, no. 1243, pp. 1217–1238, 2017.

[8] H. Goldstein, Classical Mechanics. Addison-Wesley Pub. Co., 1950.

[9] J. D. Wood, “SURVEY ON MISSILE STRUCTURAL DYNAMICS,” TRW Sp. Technol. Lab., vol. 1, no. EM 11-11, 1961.

[10] L. D. Pinson, “LONGITUDINAL SPRING CONSTANTS FOR LIQUID-PROPELLANT TANKS WITH ELLIPSOIDAL ENDS,” NASA TN D-2220, 1964.

[11] M. Reyhanoglu and J. R. Hervas, “Control Engineering Practice Nonlinear dynamics and control of space vehicles with multiple fuel slosh modes,” Control Eng. Pract., vol. 20, no. 9, pp. 912–918, 2012.

[12] NASA, “Structural Vibration Prediction,” NASA Sp. Veh. Des. CRITERIA, 1970.

[13] A. Staley, “Determination of Longitudinal Vibration Modes,” NASA CR-936, vol. 2.

[14] R. F. Glaser, “LONGITUDINAL MASS-SPRING MODELING OF LAUNCH VEHICLES,” NASA TN-5371, 1969.

[15] C. P. Rubin and J. S. Archer, “IMPROVED ANALYTIC LONGITUDINAL RESPONSE ANALYSIS FOR AXISYMMETRIC LAUNCH VEHICLES,” NASA CR-345, vol. 1, no. LINEAR ANALYTIC MODEL, 1965.

[16] L. D. Pinson, “EVALUATION OF A FINITE-ELEMENT ANALYSIS FOR LONGITUDINAL VIBRATIONS OF LIQUID-PROPELLANT LAUNCH VEHICLES,” NASA TN D-5803, 1970.

[17] T. F. Gerus, J. A. Housely, and G. Kusic, “ATLAS-CENTAUR-SURVEYOR LONGITUDINAL DYNAMICS TESTS,” NASA TM X-1459, 1967.

[18] A. Leadbetter, H. . W. Leonard, and E. J. Brock Jr., “DESIGN AND FABRICATION CONSIDERATIONS FOR A 1/ 10-SCALE REPLICA MODEL OF THE APOLLO / SATURN V,” NASA D-4138, 1967.


ANEXO: CÓDIGOS DE MATLAB

A. Resolución del tanque de propulsante % Cálculo de frecuencias naturales para la modelización del tanque de fuel % % Usamos unidades imperiales % clear all; close all; clc; %% Definición de variables nu = 0.334; % Aluminio E = 10e6; h = 373; t = 0.05; A = 2*pi*60*t; n = 0.7071; q = h/60; F = ((15-12*nu)/8-3/4/n^2)+((15-12*nu)*n^2/8-2+nu+1/n^2)*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*sqrt(1-n^2)); G = (-13+37*n^2+10*n^3+22*n^4/(1+n))/(45*n)-2*nu*n/9*(4+n^2/(1+n))+(2-n^2+2*nu*n^2)*(sqrt(1-n^2))/6/n*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))); H = n^2/27*(27-16*n-nu*(24*n-3))+(2-6*n^2+3*n^4-nu*n^2*(2-n^2))*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(9*sqrt(1-n^2))+(n^4*(3-nu))/18*((2*sqrt(1-n^2)-n^2*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*(1-n^2)*sqrt(1-n^2)))+8*n^2*(1+nu)/9*log((1+n)/n); kBH = 2*pi*E*t*((3*q+2*n)^2/(9*(H+2*q*G+q^2*F))); kSTIFFENER = 0; ki = E*A/h; %% Masas y constante de muelles m1 = 5.636; m2 = 448.929; m3 = 4.8379; % % Sin efectos hidroelásticos % % % m1=m1+m2/2; % m3=m3+m2/2; % % k1 = ki; % k2 = 0; m2 = 0; % k3 = 0; % % Si es rígido % % % k2 = ((2-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki; % k1 = ((2*nu)/(3-2*nu^2))*ki; % k3 = ((3-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki; % % Si es flexible % %


32

k2 = (((2-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki*kBH)/(((2-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki+kBH); k1 = nu/(1-nu)*k2; k3 = ki-nu*k2+kSTIFFENER; % % BIBLIOGRAFÍA % % % k1 = 0.0885e6; %lb/in % k2 = 0.229e6; % k3 = 0.389e6; %% Construcción de matrices if m2==0 m = [m1 0; 0 m3]; k = [k1 -k1; -k1 k1]; else m = [m1 0 0; 0 m2 0; 0 0 m3]; k = [k1+k3 -k1 -k3;-k1 k1+k2 -k2;-k3 -k2 k2+k3]; end %% Resolución format long k1, k2, k3 w = sqrt(eig(k/m))/2/pi

B. Resolución del tanque de propulsante con tirante % Cálculo de frecuencias naturales para la modelización del tanque de fuel % % Usamos unidades imperiales % clear all; close all; clc; %% Definición de variables nu = 0.334; % Aluminio E = 10e6; h = 373; t = 0.05; A = 2*pi*60*t; n = 0.7071; q = h/60; F = ((15-12*nu)/8-3/4/n^2)+((15-12*nu)*n^2/8-2+nu+1/n^2)*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*sqrt(1-n^2)); G = (-13+37*n^2+10*n^3+22*n^4/(1+n))/(45*n)-2*nu*n/9*(4+n^2/(1+n))+(2-n^2+2*nu*n^2)*(sqrt(1-n^2))/6/n*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))); H = n^2/27*(27-16*n-nu*(24*n-3))+(2-6*n^2+3*n^4-nu*n^2*(2-n^2))*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(9*sqrt(1-n^2))+(n^4*(3-nu))/18*((2*sqrt(1-n^2)-n^2*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*(1-n^2)*sqrt(1-n^2)))+8*n^2*(1+nu)/9*log((1+n)/n); kBH = 2*pi*E*t*((3*q+2*n)^2/(9*(H+2*q*G+q^2*F))); hSTIFFENER = 350; %in ASTIFFENER = 0.5^2*12; ApesoSTIFFENER = 0.26578; kSTIFFENER = E/hSTIFFENER*ASTIFFENER; ki = E*A/h; %% Masas y constante de muelles m1 = 5.636 + 0.5*ApesoSTIFFENER;


m2 = 448.929; m3 = 4.8379 + 0.5*ApesoSTIFFENER; % % Si es flexible % % k2 = (((2-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki*kBH)/(((2-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki+kBH); k1 = nu/(1-nu)*k2; k3 = ki-nu*k2+kSTIFFENER; % % BIBLIOGRAFÍA % % % k1 = 0.0885e6; %lb/in % k2 = 0.229e6; % k3 = 0.389e6; %% Construcción de matrices if m3==0 m = [m1 0; 0 m2]; k = [k1 -k1; -k1 k1]; else m = [m1 0 0; 0 m2 0; 0 0 m3]; k = [k1+k3 -k1 -k3;-k1 k1+k2 -k2;-k3 -k2 k2+k3]; end %% Resolución format long k1, k2, k3 w = sqrt(eig(k/m))/2/pi

C. Resolución del vehículo completo % En este código se pretende la resolución de las frecuencias naturales % % del vehículo completo en función del tiempo, para ello se emplea un % % método avanzado recogido en (-9-).[Longitudinal Vibration % % Characteristics of 1/10-Scale Apollo/Saturn V Replica Model.pdf] % % ----------------------------------------------------------------------- % clear all; close all; clc; %% Definición de variables %% % INDICAR VALORES PARA LOS CÁLCULOS % cond = 0; % Indicar la condición de porcentaje de fuel [100 50 0]% flag = 2; % Indicar valor de bandera: 1 = isotrópico || 2 = ortotrópico %% Masas y constantes de los muelles %% masas_pogo; % Definido como (lb·s^2/in) constantes_pogo; % Definido como (lb/in) calculo_constantes; % Valores calculados, con las ecuaciones, de las constantes de rigidez de LOx y RP-1. Resultados entre 1e6, se multiplica luego. if cond==0; k26=0; k27=0; k30=0; k31=0; end if cond==0 && flag==1; k25=0; k29=0; end %% Construcción de matrices %% m = [m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12 m13 m14 m15 m16 m17 m18 m19 m20 m21 m22 m23 m24 m25 m26 m27 m28 m29];


34

M = diag(m); sk1 = [k1 k2 k3 k4 k5 k6 0 k8 k9 k13 0 0 0 k15 k16 k17 k21 k22 k23 0 0 0 k25 k28 k29 k32 0 0]; sk2 = [zeros(1,9) k12 zeros(1,15) k31 0]; sk3 = [zeros(1,4) k7 zeros(1,4) k11 zeros(1,14) k30 0]; sk4 = [zeros(1,8) k10 k14 zeros(1,6) k20 zeros(1,8)]; sk5 = [zeros(1,16) k19 k24 zeros(1,5) k27]; sk6 = [zeros(1,15) k18 zeros(1,6) k26]; k = [k1,k1+k2,k2+k3,k3+k4,k4+k5+k7,k5+k6,k6,k7+k8,k8+k9+k10,k9+k11+k12+k13+k14,k13,k12,k11+k10,k14+k15,k15+k16,k16+k17+k18,k17+k19+k20+k21,k21+k22+k24,k22+k23,k23,k20,k18+k19,k24+k25+k26,k25+k27+k28,k28+k29+k30,k29+k31+k32,k32,k30+k31,k26+k27]; SK = diag(sk1,1)+diag(sk2,2)+diag(sk3,3)+diag(sk4,4)+diag(sk5,5)+diag(sk6,6)+diag(sk1,-1)+diag(sk2,-2)+diag(sk3,-3)+diag(sk4,-4)+diag(sk5,-5)+diag(sk6,-6); K = diag(k)-SK; K = K*1e6; %% Resolución if cond==0 M = M(1:27,1:27); K = K(1:27,1:27); end format long w = sqrt(eig(K/M))/2/pi

Además, dentro del código anterior se hace referencia al siguiente: calculo_constantes.m

if cond==100; ind=1; end; if cond==50; ind=2; end; if cond==0; ind=3; end %% Definición de parámetros %% nu = 0.334; % Aluminio E = 10e6; t = 0.022; R = 19.8; A = 2*pi*R*t; b = 15.5; n = b/R; %% Tanque LOx %% C11_LOx = 2.901e5; C22_LOx = 2.78e5; C12_LOx = 0.7253e5; h_LOx = [60.3 24.6 0]; h_LOx = h_LOx(ind); q_LOx = h_LOx/R; l_LOx = 48.9;


F_LOx = ((15-12*nu)/8-3/4/n^2)+((15-12*nu)*n^2/8-2+nu+1/n^2)*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*sqrt(1-n^2)); G_LOx = (-13+37*n^2+10*n^3+22*n^4/(1+n))/(45*n)-2*nu*n/9*(4+n^2/(1+n))+(2-n^2+2*nu*n^2)*(sqrt(1-n^2))/6/n*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))); H_LOx = n^2/27*(27-16*n-nu*(24*n-3))+(2-6*n^2+3*n^4-nu*n^2*(2-n^2))*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(9*sqrt(1-n^2))+(n^4*(3-nu))/18*((2*sqrt(1-n^2)-n^2*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*(1-n^2)*sqrt(1-n^2)))+8*n^2*(1+nu)/9*log((1+n)/n); %% Tanque RP-1 %% DATOS INSUFICIENTES. SOLO CONSIDERAMOS CASO ISOTRÓPICO, PARA ORTOTRÓPICO VER VALORES K EN BIBLIOGRAFÍA!! h_RP1 = [19.5 4 0]; h_RP1 = h_RP1(ind); q_RP1 = h_RP1/R; l_RP1 = 23.7; % F_RP1 = ((15-12*nu)/8-3/4/n^2)+((15-12*nu)*n^2/8-2+nu+1/n^2)*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*sqrt(1-n^2)); % G_RP1 = (-13+37*n^2+10*n^3+22*n^4/(1+n))/(45*n)-2*nu*n/9*(4+n^2/(1+n))+(2-n^2+2*nu*n^2)*(sqrt(1-n^2))/6/n*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))); % H_RP1 = n^2/27*(27-16*n-nu*(24*n-3))+(2-6*n^2+3*n^4-nu*n^2*(2-n^2))*(log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(9*sqrt(1-n^2))+(n^4*(3-nu))/18*((2*sqrt(1-n^2)-n^2*log((1+sqrt(1-n^2))/(1-sqrt(1-n^2))))/(2*(1-n^2)*sqrt(1-n^2)))+8*n^2*(1+nu)/9*log((1+n)/n); %% Cálculos para ambos casos %% if flag==1 ki = E*A/h_LOx; k27 = ((2-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki/1e6; k26 = ((2*nu)/(3-2*nu^2))*ki/1e6; k25 = ((3-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki/1e6; ki = E*A/h_RP1; k31 = ((2-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki/1e6; k30 = ((2*nu)/(3-2*nu^2))*ki/1e6; k29 = ((3-2*nu)/(3-2*nu^2))*ki/1e6; else Kc = 2*pi*R/l_LOx*C11_LOx*(1-C12_LOx^2/C11_LOx/C22_LOx); mm = (h_LOx-l_LOx)/R; if mm<0; mm=0; end p = l_LOx/R; Gamma = 3*q_LOx+2*n-(mm^3)/(n^2); KBH = 2*pi*E*t*((Gamma)^2/(9*(H_LOx+2*q_LOx*G_LOx+q_LOx^2*F_LOx))); Lambda = 12*(q_LOx^3-mm^3)/p/Gamma^2-9*C12_LOx^2/C11_LOx/C22_LOx*(q_LOx^2-mm^2)/p^2/Gamma^2+2*pi/p*C22_LOx/KBH*(1-C12_LOx^2/C11_LOx/C22_LOx); k26 = Kc*C22_LOx/C11_LOx*(3*C12_LOx*(q_LOx^2-mm^2)/C22_LOx/p/Gamma)/Lambda/1e6; k27 = Kc*C22_LOx/C11_LOx*(1-3*C12_LOx*(q_LOx^2-mm^2)/C22_LOx/p/Gamma)/Lambda/1e6; k25 = Kc*(12*(q_LOx^3-mm^3)/p/Gamma^2-3*C12_LOx/C11_LOx*(q_LOx^2-mm^2)/p/Gamma+2*pi/p*C22_LOx/KBH*(1-C12_LOx^2/C11_LOx/C22_LOx))/Lambda/1e6; end

Documents

Trabajo Fin de Grado Ingeniería Aeroespacial