Trabajo final calculo

Cálculo ll

Contenido del curso

Martin Eduardo Gonzalez Miranda

Matricula: 131430

Profesor: Carlos López Ruvalcaba

2

Integrales de Monomios Algebraicos

2. ∫ −𝑥3 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = −𝑥4

4+ 𝑐

4. ∫ 5𝑥𝑑𝑥 = 5𝑥2

2+ 𝑐

6. ∫ 7𝑥2𝑑𝑥 = 7𝑥3

3+ 𝑐

8. ∫ −5𝑥4𝑑𝑥 = −5𝑥5

5= −𝑥5 + 𝑐

10. ∫3𝑋2

2=

3

2∫ 𝑥2𝑑𝑥 =

3

2∗

𝑥3

3=

𝑥3

2+ 𝑐

12. ∫– 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −𝑎𝑥2

2+ 𝑐

14. ∫4𝑎𝑥3

𝑐𝑑𝑥 =

4𝑎

𝑐∫ 𝑥3𝑑𝑥 =

4𝑎

𝑐∗

𝑥4

4=

𝑎𝑥4

𝑐+ 𝑐

16. ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 = 𝑥−1

−1+ 𝑐 =

−1

𝑥+ 𝑐

18. ∫ −4𝑥−2𝑑𝑥 = −4 ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 = −4 ∗1

𝑥+ 𝑐 =

−4

𝑥+ 𝑐

3

20. ∫−4𝑥−3

3𝑑𝑥 =

−4

3∫ 𝑥−3𝑑𝑥 =

−4

3∗

1

𝑥2=

−4

3𝑥2+ 𝑐

22. ∫ 2𝑥3

2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥3

2 𝑑𝑥 =4𝑥

52

5+ 𝑐

24. ∫1

2𝑡

1

2𝑑𝑡 =𝑡

32

3+ 𝑐

26. ∫ 3 √𝑥𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥1

2 𝑑𝑥 = 2𝑥3

2 + 𝑐

28. ∫ −√𝑥23

2𝑑𝑥 = ∫ −

𝑥23

2𝑑𝑥 = −

3𝑥52

10

30. ∫𝑑𝑥

𝑥2= ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =

𝑥−1

−1+ 𝑐 = −

1

𝑥+ 𝑐

32. ∫2𝑑𝑥

𝑥2= ∫ 2𝑥−2 = 2 ∫ 𝑥−2 = −

2

𝑥+ 𝑐

34. ∫3𝑏𝑑𝑡

𝑡4= ∫ 3𝑏𝑡−4𝑑𝑡 = 3𝑏 ∫ 𝑡−4𝑑𝑡 = −

9𝑏

𝑡3+ 𝑐

36. ∫𝑑𝑢

𝑢12

= ∫ 𝑢−1

2𝑑𝑢 = 2𝑢1

2 + 𝑐

38. 2 ∫3𝑎𝑑𝑦

√𝑦= 2(3𝑎) ∫ 𝑦−

1

2𝑑𝑦 = 12𝑎𝑦1

2 + 𝑐

4

40. ∫ −𝑑𝑢

3√𝑢= −

1

3∫ 𝑢−

1

2𝑑𝑢 =2

3𝑢

1

2 + 𝑐

Integrales que conducen a la función logaritmo natural

1. ∫2

𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫

𝑑𝑥

𝑥= 2 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥2| + 𝑐

2. ∫ −𝑑𝑥

𝑥= − ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥−1| + 𝑐

3. ∫2𝑑𝑥

3𝑥=

2

3∫

𝑑𝑥

𝑥 =

2

3ln|𝑥| + 𝑐

4. 3 ∫𝑑𝑥

5𝑥=

3

5∫

𝑑𝑥

𝑥=

3

5ln|𝑥| + 𝑐

5. ∫𝑎𝑑𝑥

𝑥= 𝑎 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑥𝑎| + 𝑐

6. −2

3∫

6𝑑𝑥

𝑥= −4 ∫

𝑑𝑥

𝑥= −4 ln|𝑥| + 𝑐

7. ∫𝑏2𝑑𝑥

𝑥= 𝑏2 ∫

𝑑𝑥

𝑥= 𝑏2 ln|𝑥| + 𝑐

8. ∫4𝑑𝑟

𝑟= 4 ∫

𝑑𝑟

𝑟= 4 ln|𝑟| + 𝑐

5

Emplear diferenciales y la grafica de f para aproximar a) f (1.9) y b)

f (2.04).

21.-

23.-

04.0

)04.0(1

04.104.01

)2()04.2(

)1.0(

)1.0(1

9.01.01

)2()9.1(

dy

dy

dyff

dy

dy

dyff

112

02

)0,1(),1,2(

)('

)04.2(

)9.1(

m

ndxdxxfdy

f

f

2

1

02

21

)1,2()2,0(

)04.2(

)9.1(

m

mdxdy

y

f

f

98.002.01

02.0)04.0(2

1

)2()04.2(

05.0

)1.0(2

1

05.15.01)9.1(

)2()9.1(

dy

dyff

dy

dy

f

dyff

6

27.-Area. Se encuentra que la medición del lado de un cuadrado es

igual a 12 pulgadas, con un posible error de 64

1 de pulgada. Usar

diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo

del area del cuadrado.

29.- Area. Se mide el radio del extremo de un tronco y se encuentra que

es igual a 14 pulgadas, con un posible error de de pulgada. Utilizar

diferenciales para aproximar el posible error propagado en el calculo

del area del extremo del tronco.

errorindv

inindxxdv

indx

xv

3

22

3

75.6

))64

1)(12((33

64

1

errordv

ininxdxdv

indx

375.0

)64

1)(12(22

64

1

errorinininxdxda

indx

xa

2

2

99.21)4

1)(14(22

41

7

31.- Area. La medición del lado de un cuadrado produce un valor igual

a 15 cm, con un posible error de 0.05 cm.

a) Aproximar el error porcentual en el calculo del area del

cuadrado.

b) Estimar el máximo error porcentual permisible en la medición

del lado si el error en el calculo del area no fue mayor de 2.5%

A)

%66.0100.5.2

5.1_

_15)05.0)(15(22

05.0

2

porcentualError

areaerrorininxdxdx

indx

xa

B)

Máximo error porcentual de lado= 1.25%

%25.1187.0

%10015

1875.030

625.5_

625.5)_)(15(2

625.5)100

%5.2(25.2

100.25.2

%5.2

ladoerror

ladoerror

error

error

8

Integral de la potencia de una suma

2) ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx = 1/2 ∫ (7x2 – 1)3/2 x dx= (1/2)(1/14) ∫(7x2 –

1)3 x dx=1/28 * (7x2 – 1)4/4 = 1/112 *(7x2 – 1)4 + c

4) ∫ x (2+x2) dx = ½ * (2 + x2)2 /2 = ¼ (2 + x2)2 + c

6) ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * ∫(x3 + 2)3 x2 dx = 1/3 * (x3 + 2)4 /4 = 1/12

* (x3 + 2)4 +c

8) ∫- (4-x)3 2 dx= 2 ∫ -(4-x)3 dx = 2 * (4-x)4/4 = ½ (4-x)4 + c

10) ∫ u √𝟑 − 𝟐𝒖𝟐 du = ∫u * (3- 2u2)1/2 du = -1/4∫ u * (3- 2u2)1/2 du =

-1/4 * (3-2u2)3/2 / 3/2 = -1/6 √(3 − 2𝑢2)3 + c

12) ∫3x dx/ (x2 + 3)2 = ∫ 3x dx * (x2 + 3)-2 = 3/2 ∫ x dx * (x2 + 3)-2 =

3/2 * (x2 + 3)-1/-1 =-3/2 * 1/(x2 + 3) + c

14) ∫ 2x2 dx / √𝒂 + 𝒃𝒙𝟑 = ∫ 2x2 dx * (a + bx3)-1/2 = 2/3b * (a + bx3)1/2/

½ = 4/3b * √𝑎 + 𝑏𝑥3 + c

16) ∫ dv / √𝟏 −𝒗

𝟐 = ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 ∫ dv * (1-v/2)-1/2 = -2 * (1-

v/2)1/2/ ½ = -4 * √1 −𝑣

2 + c

9

18) ∫x2 + 4x – 10 dx / (x + 2)2 = ∫ x2 +4x -10 dx * (x+2)-2 = x +

14/(x+2) + c

20) ∫ √𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 dx = ∫ (x4-x2)1/2 dx = √(𝑥2 − 1)3 / 3 + c

Casos especiales

2) ∫ (4x2-1) 5x dx = 5/8 (4x2-1)2 / 2 = 5/16 (4x2-1)2 + c

10

Integrales de las funciones exponenciales

2) ∫ 8x/2 * ½ dx = (8x/2 / ln8) + c

4) ∫ -3a5x * 5 dx = (-3a5x / lna) + c

6) ∫ bax^2 x dx = ½ *(bax^2 / lna) +c

8) ∫ 10x^2 + 1 x dx = ½ * (10x^2 + 1 / ln10) + c

10) ∫ dx / 74x = -¼ * 7-4x / ln7 = (-1 / (4*74x * ln7)) + c

12) ∫5e2t dt = ½ * 5e2t / lne = (5e2t / 2) + c

14) ∫ 5eay dy = 1/a * 5eay / lne = (5eay / a) + c

16) ∫𝒆√𝒙 / √𝒙 dx = ∫𝑒√𝑥 * x-1/2 dx = 2 𝑒√𝑥 + c

18) ∫𝒆√𝒙 dx = ∫ ex^1/2 dx = 2 * √𝑒𝑥 + c

20) ∫ (𝟐√𝒙 *𝒆√𝒙) dx / √𝒙 = (2 *( 2𝑒)√𝑥 ) / (ln2 + lne) + c

22) ∫ (e2x + 3)2 dx = ∫e4x^2 + 6e2x + 9 dx = ¼ e4x + 3e2x + 9x + c

11

24) ∫ (e(x/2) + 4) dx / ex = ∫ e(x/2) dx / ex + ∫ 4 dx / ex = (-2 / √𝑒𝑥 ) – (4

/√𝑒𝑥) + c

12

Integrales en que intervienen la tangente, cotangente, secante y

cosecante

2) ∫tg x3 x2dx = 1/3 ln |sec x3| +c

4) ∫3 ctg 2x dx = 3/2 ln |sen 2x| + c

6) ∫ ctg √𝒙 dx / √𝒙 = 2 ln |sen √𝑥| + c

8) ∫sec (x2 /3) x dx = 3/2 ln |sec(x2/3) + tg (x2/3)| + c

10) ∫ ax sec ax dx = 1/ lna * ln |sec(ax) + tg(ax)| +c

12) ∫-2 csc (3-2x) dx = ln |csc(3-2x) - ctg(3-2x)| + c

14) ∫sec (x/2) –tg (x/2) dx =∫sec (x/2) dx - ∫tg(x/2) dx =

2 ln |sec(x/2) + tg(x/2)| - 2 ln |sec(x/2)| + c

2) ∫ sen 2x dx / (3 + cos 2x) = -1/2∫ sen 2x dx / (3 + cos 2x) =

-1/2 ln |3 + cos 2x|+ c

4) ∫ csc2 u du / (3-ctg u) = ln |3-ctg u| + c

2) ∫ b dt / ctg(a –bt) = -∫ tg(a- bt) b dt = -ln |sec(a – bt)| + c

13

4) ∫ a dx / (√𝒙 𝒔𝒆𝒏 √𝒙) = 2a ∫ √𝑥 csc √𝑥 a dx = 2a ln |csc √𝑥 – ctg √𝑥|

+ c

6) ∫xex^2 dx / ctg ex^2 = ½ ∫ tg ex^2 xex^2 dx = ½ ln |sec ex^2| + c

14

Integrales que conducen a las funciones trigonométricas

2) ∫ cos (x/2) dx = 2∫cos(x/2) dx = 2 sen(x/2) + c

4) ∫ cos (1- x2) x dx = -1/2∫cos (1-x2) x dx = -1/2 sen (1-x2) +c

6∫ ∫2/3 sen (a –x/2) dx = (2/3)*(-2) ∫sen (a –x/2) dx =4/3 cos (a-

x/2) +c

8) ∫ csc2 (1- √𝒙) dx / √𝒙 = 2∫ csc2 (1- √𝑥) dx / √𝑥 = 2 ctg (1 - √𝑥) + c

10) ∫ sec e-x tg e-x e-x dx = -Sec e-x + c

Caso especial

2) ∫2 dx / 1 – cos 2x =2 ∫ (dx/ (1-cos 2x)) * ((1+cos 2x) /(1+cos2x))

dx = 2 (1/2) ∫(1 + cos 2x)/(1-cosx)2 = ∫ (1+ cos 2x)/ sen22x =

∫csc22x + ∫ ctg 2x * csc 2x = -ctg 2x – csc 2x + c

4) ∫ 5 dx / (1 – sen 2x) = 5 ∫ dx / (1- sen2x) = 5(1/2) (∫

1+sen2x/(cos22x) ) =5/2 ∫ sec22x dx + 5/2 ∫tg2x * sec 2x dx = 5/2 tg

2x + 5/2 sec2x + c

15

16

Integrales de las formas ∫𝒅𝒗

√𝒂𝟐−𝒗𝟐, ∫

𝒅𝒗

√𝒂𝟐+𝒗𝟐, ∫

𝒅𝒗

𝒗√𝒗𝟐−𝒂𝟐

54

2

2

42x

dx

427 xa

xdxc

axarcsen

x

72

1 2

2)3(4

3

x

dx

22232

334

3x

dx

x

dxc

xarcsen

2

3

2

13

Casos Especiales:

Caso 1.-

222 12

3423

3x

dx

xx

dx c

xarcsen

2

13

54

42x

dx

221 ua

bdu

427 xa

xdx

223 v

dv

19 2yy

dy

x

x

e

dxe21

6.-

4.-

2.-

8.-

10.-

12.-

c

yarc

yy

dy

1

3sec

1

1

133

1

3

22 cyarc 3sec

23 2xx

dx2.-

222

2

3

4

1

4

1

2

324

9

4

93 x

dx

x

dx

xx

dx

cx

arcsen

x

dx

21

23

2

3

2

122 cxarcsen 32

223

3

xx

dx4.-

245

3

tt

dx6.-

cx

arctg 5

2

5

2

221 au

dub c

auarctg

a

b

1cauarctg

a

b)(

v

dv

23

2

2

1c

varcsen

3

2

2

1

carcsenex

14.-

22223

38845

345

3tt

dx

tt

dx

tt

dxc

tarcsen

3

23

17

Caso 2.-

Caso 3.-

8.-

10.-

12.-

2352 xx

dx

52xx

dx

544 2 xx

dx

dx

x

x29

23

dx

x

x2161

35

dx

x

x

254

22

2.-

4.-

6.-

4

534

95412

954121282

2

21

2

xx

dx

xx

dxdxxxx

2225623

1

11513

1

11513 x

dx

xx

dx

xx

dx

cx

arcsen

7

56

3

1

222

215112 x

dx

xx

dxc

xarctg

2

1

2

1

212

4

4

1

5224422

x

dx

xx

dxc

xarctg

2

12

4

1

2

21

2

22 9392

99

32

x

dxdxxx

x

dx

x

xdx

cx

arcsenx 3

293 2

2

21

2

22 1615161

4

3

161161

53

x

dxdxxx

x

dx

x

xdx

cxarcsenx

44

3161

16

5 2

cx

arctgx 5

2

5

1254ln

8

1 2

2548

1

525

1

254254 22222 x

xdx

x

dx

x

xdx

x

dx

18

723

32

51212129

32

5129

32222

x

dxx

xx

dxx

xx

dxx

dx

xx

x

5412

382

2

2

22

2

31

2

9

12

32

9

4

5

4

9

4

93

2

9

x

dx

x

dx

xx

dx

cxarcsen

xx

2

3

2

9

21

5412 21

2

2.-

dx

xx

x

5129

322

dx

xx

x23

54

4.-

6.-

ca

varctg

aav

aav

dv

av

vdv

av

dvv

3)ln(

13

3 22

222222

cxarctgxx 235129ln9

1 2

ca

varcsenva

va

dvdvvva

va

dv

va

vdv

va

dvv

x

dxx

xx

dxx

4

422

14

4

323

54

333

54

22

22

21

22

222222

22

cx

arcsenxx

3

3234 2

19

Integrales de las formas ∫𝒅𝒗

𝒗𝟐−𝒂𝟐, ∫

𝒅𝒗

𝒂𝟐−𝒗𝟐

2) ʃ x dx / 4x4 – 1 = 1/2 * ʃ x dx / 4x4 – 1=resultado 1/4√3 ln |(𝑥2 −

√3)/(𝑥2 + √3)| + c

4) ʃ2x dx / (25-36x2) = 1/6 * ʃ2x dx / (25-36x2) = (1/6)*(1/10)

ln|(5+6x2)/(5-6x2) = resultado

1/60 * ln|5+6x2 / 5-6x2 | +c

6) ʃdx/3-2x2 = 1/√2 * ʃdx/3-2x2 =resultado √6/ 12 ln |(√3 - √2 𝑥)/

(√3 + √2 𝑥)| + c

8)

2 2 2 2

1 1 6ln

2 5 (x 2 1) 5 1 ( 1) ( 6) 2(

6 1 6ln

12

6

1 66) 1 6

1

dx dx dx x

x x x x x

a

v x

dv d

xC

x

x

10) ʃ du / (9-6u-3u2) = -ʃ du/(3u2 + 6u-9) = ʃdu/-(3u2-6u+9) -9 +9 =-

ʃdu/(3u-3)*(u+3) =

resultado= 1/12 ln| (3+u)/(1-u)| + c

12 ʃ(2-3z) dz/ 9-16z2 = ¼ *ʃ2 dz/ (9-16z2) – ¼ *ʃ3z dz /(9-16z2) =

resultado =

1/12 ln| (3+4z)/(3-4z)| + c

20

14)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2 2

( 3) ( 3) (x 3) 3

4 5 (x 4 4) 5 4 ( 2) 9

2

2

( 2) 1int

1#1 ln 4 5

4 5 2

4 5

2 4

1int#2 3 3 (3)(

2

2

2

( 2) (3

5

) 2(3

x x dx vdv dvdx dx dv

x x x x v a v a v a

v x

x v

vdv x dxx x

v a x x

v x x

dv x

dv dx

v a x

v

2

2 3 1 1) ln ln

1 1 1ln 4 5 ln

2 2 5

) 2 3 2 5

3

2

x xC

x x

a

v x

x

dv dx

resu xl o Ct xdx

a

21

Integrales de la forma ∫𝒅𝒗

√𝒗𝟐+𝒂𝟐 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 ∫

𝒅𝒗

√𝒗𝟐−𝒂𝟐

2)∫𝑑𝑥

√𝑥2+2𝑥+5= ∫

𝑑𝑥

√(𝑥+1)2+4= 𝑙𝑛|𝑥 + 1 + √(𝑥 + 1)2 + 22| + 𝑐 =

𝑙𝑛|𝑥 + 1 + √(𝑥2 + 2𝑥 + 5)| + 𝑐

V=x+1 a=2 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

4) ∫(2y−1)dy

√2y2+4y+10= ∫

(2y−1)dy

√2(y2+2y+5)=

1

√2∫

(2y−1)dy

√(y2+2y+1+4)=

1

√2∫

(2y−1)dy

√(y+1)2+22)=

1

√2∫

(2y−1)dy

√(y+1)2+22)=

1

√2∫

((tanθ−1)−1)2secθ2dθ

2secθ=

1

√2∫(4tanθ − 3)secθdθ =

4

√2∫(tanθ)secθdθ −

3

√2∫ secθdθ =

4

√2secθ −

3

√2ln|secθ + tanθ| + c =

2√2√(y2+2y+5)

2−

3√2

2ln |

√(y2+2y+5)

2+

y+1

2| + c

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑦+1

√(𝑦+1)2+22 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

2

√(𝑦+1)2+22 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑦+1

2 √(𝑦 + 1)2 + 22 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 2𝑠𝑒𝑐𝜃2𝑑𝜃 = 𝑑𝑦

6) ∫(2𝑥+1)𝑑𝑥

√3𝑥2−5= ∫

(2𝑥+1)𝑑𝑥

√√3𝑥2−√52

= ∫2𝑥𝑑𝑥

√√3𝑥2−√52

+ ∫𝑑𝑥

√√3𝑥2−√52

=1

3√3𝑥2 − 5 +

1

√3𝑙𝑛|√3𝑥 + √3𝑥2 − 5| + 𝑐

22

Integrales de la forma∫ √𝒂𝟐 + 𝒗𝟐 𝒅𝒗 Ó ∫ √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐𝒅𝒗

2) ∫ √𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝑥

2√

5

3− 𝑥2 +

5

6𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 [

𝑥

√5

3

] + 𝑐

De la forma ∫ √𝒂𝟐 − 𝒗𝟐𝒅𝒗 ; a= √5

3 , v=x, dv=dx

4) ∫ √𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = (𝑥+1)

2√4 − (𝑥 + 1)2 + 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 [

(𝑥+1)

2] + 𝑐

De la forma ∫ √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐𝒅𝒗 ; a= 2, v= (x+1), dv=dx

6) ∫ √𝟒𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙 = (𝑥−

1

2)

2√(𝑥 −

1

2)

2+

9

4+

9

8ln |(𝑥 −

1

2) +

√(𝑥 +1

2)

2+

9

4| + 𝑐

De la forma ∫ √𝒗𝟐 ± 𝒂𝟐𝒅𝒗 ; a=3

2, v=(𝑥 −

1

2), dv=dx

23

Integral de las potencias del seno y/o coseno.

Primer caso.

2) ∫1

2𝑠𝑒𝑛34𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛34𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 =

1

2

1

4∫ 𝑠𝑒𝑛34𝑥 cos 4𝑥 4𝑑𝑥=

1

32𝑠𝑒𝑛44𝑥 + 𝑐 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 4𝑑𝑥

4)∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥

3 𝑐𝑜𝑠

5𝑥

34𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥

3 𝑐𝑜𝑠

5𝑥

3 𝑑𝑥 =

43

5∫ 𝑠𝑒𝑛5 5𝑥

3 𝑐𝑜𝑠

5𝑥

3 5

3𝑑𝑥 = (

12

5) (

1

6) 𝑠𝑒𝑛6 5𝑥

3 =

2

5𝑠𝑒𝑛6 5𝑥

3+ 𝑐

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥

3 5

3𝑑𝑥

6)∫1

3𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛

𝑥

2 𝑑𝑥 =

1

3∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛

𝑥

2 𝑑𝑥 =

−21

3∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2 (−𝑠𝑒𝑛

𝑥

2)

1

2 𝑑𝑥 = (−

2

3) (

1

3) 𝑐𝑜𝑠3 𝑥

2 =

−2

9𝑐𝑜𝑠3 𝑥

2+ 𝑐 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛

𝑥

2∙

1

2

8)∫ 𝑐𝑜𝑠(2 − 𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 1

2𝑐𝑜𝑠2(2 − 𝑥) + 𝑐

𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) − 1𝑑𝑥

= 𝑠𝑒𝑛(2 − 𝑥) 𝑑𝑥

10)∫(−2 tg 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑐25𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 = −2 ∫ 𝑡𝑔3𝑥 +

∫ 𝑠𝑒𝑐25𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

−2

3∫ 𝑡𝑔3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥 +

1

5∫ 𝑠𝑒𝑐25𝑥 ∙ 5𝑑𝑥 −

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 =

2

3ln|𝑐𝑜𝑠3𝑥| +

1

5𝑡𝑔5𝑥 −

1

4𝑠𝑒𝑛22𝑥 + 𝑐

𝑑𝑣 = 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥

Segundo caso

2)∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥

2𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

2𝑠𝑒𝑛

𝑥

2𝑑𝑥 = ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2) 𝑠𝑒𝑛

𝑥

2𝑑𝑥

=∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2𝑠𝑒𝑛

𝑥

2𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛

𝑥

2∙

1

2𝑑𝑥 −

2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2(−𝑠𝑒𝑛

𝑥

2)

1

2𝑑𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠

𝑥

2+

2

3𝑐𝑜𝑠3 𝑥

2+ 𝑐

𝑑𝑣 =1

2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛

𝑥

2∙

1

2𝑑𝑥

24

4)∫ 𝑐𝑜𝑠35𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠25𝑥 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛25𝑥)𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 =

∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛25𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 1

5∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙ 5𝑑𝑥 −

1

5∫ 𝑠𝑒𝑛25𝑥 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙

5𝑑𝑥 = 1

5𝑠𝑒𝑛5𝑥 −

1


𝑑𝑣 = 5𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ∙ 5𝑑𝑥

6)∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 −

∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 = 1

3𝑠𝑒𝑛3𝑥 −

1


8)∫ 𝑠𝑒𝑛33𝑥 𝑐𝑜𝑠53𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛23𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠53𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 −

𝑐𝑜𝑠23𝑥) 𝑐𝑜𝑠53𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥 = 1

3∫ 𝑐𝑜𝑠53𝑥 (−𝑠𝑒𝑛3𝑥)3 𝑑𝑥 −

1

3∫ 𝑐𝑜𝑠73𝑥 (−𝑠𝑒𝑛3𝑥)3 𝑑𝑥 = −

1

18𝑐𝑜𝑠63𝑥 +

1

24𝑐𝑜𝑠83𝑥 + 𝑐

𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛3𝑥 ∙ 3𝑑𝑥

Tercer caso

2)∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1

2+

1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =

1

2∫ 𝑑𝑥 +

1

2

1

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 =

1

2𝑥 +

1


𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥

4)∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1

2−

1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥)

2𝑑𝑥=∫ (

1

4− 2

1

2∙

1


1

4𝑐𝑜𝑠22𝑥) 𝑑𝑥=

1

4∫ 𝑑𝑥 −

1

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 +

1

4∫ 𝑐𝑜𝑠22𝑥 𝑑𝑥 =

1

4∫ 𝑑𝑥 − (

1

2) (

1

2) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 +

∫ (1

8+

1

8𝑐𝑜𝑠4𝑥) 𝑑𝑥 =

1

4∫ 𝑑𝑥 − (

1

2) (

1

2) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑑𝑥 +

1

8∫ 𝑑𝑥 +

(1

8)

1


3

8𝑥 −

1

4𝑠𝑒𝑛2𝑥 +

1


𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 4𝑥 ∙ 4𝑑𝑥

Cuarto caso

25

2)∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥)

3𝑑𝑥 = ∫

1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 (

1

4𝑠𝑒𝑛22𝑥) 𝑑𝑥

=1

4

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 =

1

8

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑑𝑥 −

1

8

1

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 (−𝑠𝑒𝑛2𝑥) 2𝑑𝑥 = −

1


1

32𝑐𝑜𝑠22𝑥 + 𝑐

𝑑𝑣 = 2𝑥 ∙ 2𝑑𝑥 𝑑𝑣 = (−𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑑𝑥

Quinto caso

2)∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

2𝑑𝑥 =∫

1

2[𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 −

𝑥

2) + 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 +

𝑥

2)] 𝑑𝑥 =

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛

5𝑥

2𝑑𝑥 +

1

2∫ 𝑠𝑒𝑛

7𝑥

2𝑑𝑥 =

1

2

2

5∫ 𝑠𝑒𝑛

5𝑥

2

5

2𝑑𝑥 +

1

2

2

7∫ 𝑠𝑒𝑛

7𝑥

2

7

2𝑑𝑥 =

1

5𝑐𝑜𝑠

5𝑥

2−

1

7𝑐𝑜𝑠

7𝑥

2+ 𝑐

𝑑𝑣 = 5𝑥

2

5

2𝑑𝑥 𝑑𝑣 =

7𝑥

2

7

2𝑑𝑥

4)∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2[𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 4𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 4𝑥)] 𝑑𝑥 =

1

2∫ 𝑐𝑜𝑠(−3𝑥) 𝑑𝑥 +

1

2∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 =

1

2(−

1

3) ∫ 𝑐𝑜𝑠 (−3𝑥) − 3𝑑𝑥 +

1

2

1


1

6𝑠𝑒𝑛3𝑥 +

1


𝑑𝑣 = (−3𝑥) − 3𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 5𝑥 ∙ 5 aplicando cos(-A)=cosA

26

Integrales de las potencias de la tangente y cotangente

∫ 4𝑡𝑎𝑛𝑎𝑏𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑏𝑥𝑑𝑥 = 4

𝑎𝑏

𝑡𝑎𝑛2𝑎𝑏𝑥

2 =

𝟒

𝟐𝒂𝒃𝒕𝒂𝒏𝟐𝒂𝒃𝒙 + 𝒄

𝑣𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑏𝑥

∫𝑐𝑡𝑔√𝑥𝑐𝑠𝑐2√𝑥

√𝑥𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑡𝑔√𝑥𝑐𝑠𝑐2√𝑥 · (𝑥)−

1

2 = −2𝑐𝑠𝑐2√𝑥

2 = −𝒄𝒕𝒈𝟐√𝒙 + 𝒄

𝑣𝑑𝑣 = 1

2(𝑥)−

12

∫ 𝑐𝑡𝑔𝑒2𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑒2𝑥𝑒2𝑥 = 1

2

𝑐𝑡𝑔2𝑒2𝑥

2 =

𝟏

𝟒𝒄𝒕𝒈𝟐𝒆𝟐𝒙 + 𝒄

𝑣𝑑𝑣 = 𝑐𝑠𝑐2𝑒2𝑥2

∫ 𝑡𝑎𝑛32𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥(𝑡𝑎𝑛22𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥(𝑠𝑒𝑐22𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑐22𝑥𝑑𝑥-∫ 𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 𝒕𝒂𝒏𝟐𝟐𝒙

𝟒−

𝟏

𝟐𝐥𝐧|𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙| + 𝒄

∫ 𝑡𝑎𝑛53𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥(𝑡𝑎𝑛23𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥(𝑠𝑒𝑐23𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥𝑠𝑒𝑐23𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥𝑑𝑥

− ∫ 𝑡𝑎𝑛33𝑥𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥(𝑠𝑒𝑐23𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥𝑠𝑒𝑐23𝑥 +

∫ 𝑡𝑎𝑛3𝑥= 𝒕𝒂𝒏𝟒𝟑𝒙

𝟏𝟐−

𝒕𝒂𝒏𝟐𝟑𝒙

𝟔+ 𝐥𝐧|𝒔𝒆𝒄𝟑𝒙| + 𝒄

27

∫ 𝑐𝑡𝑔6𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔4𝑥(𝑐𝑡𝑔2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥4𝑥(𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1)𝑑𝑥 =

∫ 𝑐𝑡𝑔4𝑥 𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥(𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 +

∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 = −𝒄𝒕𝒈𝟓

𝟓+

𝒄𝒕𝒈𝟑

𝟑− 𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝒙 + 𝒄

∫(𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3)𝟐 = ∫ 𝑡𝑎𝑛𝑥𝟐 + 2𝑡𝑎𝑛𝑥3 + 9 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝒙 + 𝟔𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| +

𝟗𝒙 + 𝒄

28

Sustitución trigonometrica

1.-

249 xx

dx

8.-

10.-

dxx

x6

23

216

cctg

dctgsen

d

x

x

5

5

16

1csc

16

1

4

cos16 24

62

4

6

32

dd

sendctg

xx

dxcsc

3

1cos

cos

1

3

1sec

3

1

)2(3 22

cctg |csc|ln3

1

dxdxtgx

tg

xx

x

xsen

2

2

2

2

sec2

3

2

3

3

2

cos

349

49

3cos

49

2

cx

x

|

2

349|ln

3

1 2

722 xx

dx

csend

xx

dx

7

1cos

7

1

)7( 222

777

)7(

sec7cos

77cos

)7(

2

222

222

xtgxx

tg

xx

x

xxsen

c

x

x

7

7

1 2

cx

x

5224

18

1

22

2222

4

4cos44

4cos

44

x

xtg

xx

xsenx

sen

29

Integración por partes

1.- dxx

xcoc2

dxdxx

senx

xsendxx

senx

xsen2

1

2)2)(2(

22

22

22

4.- xdxln dxx

xxx1

ln

6.- xdxx ln2 dxx

x

x

x

dx

xx

x 2ln1ln

1.- xdxx cos2 xsenxdxsenxx 22

xdxxxsenxx coscos22

cxx

xsen 2

cos42

2

22

2cos

xsenv

dxx

dv

xu

dxdu

cxx

x

1ln

1

2

ln

1

xv

dxxdv

xu

dxx

du

cxxx ln

xv

dxdv

xu

dxx

du

ln

1

senxv

xdxdv

xu

xdxdu

cos

2

2xv

senxdxdv

xu

dxdu

cos

csenxxxsenxx 2cos22

30

4.- dxex x22 dxxeex xx 222

2

1

dxexeex xxx 2222

2

1

2

1

2

1

1.- arctgxdx

dxx

xxarctgx

21

2

2

1

5.- dxxArcSenx2

dxxxarcsenxx

dxx

x

xarcsenx

x4)1(

221

2

22

1432

22

4

22

6.- xdxSenxSen3

x

x

ev

dxedv

xu

xdxdu

2

2

2

2

1

2

x

x

ev

dxedv

xu

dxdu

2

2

2

1

cexeex xxx 2222

4

1

2

1

2

1

cxarcsenxx

21

422

12

1

2

2

41

2

2

2

2

xv

xdxdv

arcsenxu

dxx

du

xdxxxxsen 3coscos3cos3

dxxxxxsen 4cos)2cos(2

13cos3

cxsenxsenxxsen 48

32

4

3cos3

xv

senxdxdv

xsenu

xdxdu

cos

3

3cos3

xv

dxdv

arctgxu

dxx

du

21

1

cxxarctgx |1|ln2

1 2

31

Integración por sustitución algebraica

2.- xdxx 9 cmm

dmmmmdmmm3

185

2922935

242

3.-

dxx

x

1

dss

sssds

s

s)

1(22

1 22css arctan2)(2

4.- 1xe

dx

cpp

dpdp

pp

p

p

dpp

p

arctan21

21

2

2

22

2

7.-

x

dx

9 cp

pdpp

p

dppp

36

3

494

)9(4 32

2

cex 1arctan2

1

2

|1|ln

1

1

2

2

2

p

pdx

px

ep

ep

x

x

mdmdx

mx

mx

xm

2

9

9

9

2

2

cxx 35

9695

2

cx 936393

4 3

dpppdx

px

xp

xp

xp

)9(4

)9(

9

9

9

2

22

2

2

cxx arctan22

sdsdx

sx

xs

2

2

32

Integración por fracciones parciales

CASO 1

1.- 42x

dx

5.-

dz

zzz

z

2

6323

2

dz

zzz

z

)2(

632

2

)2()1()1)(2(´63

12)1)(2(

63

)1)(2(

2

2

zczzbzzzaz

z

c

z

b

z

a

zzz

z

zzz

si z=-2 si z=1 si z=0

221

)2)(2(22

1

2222

1

xbxa

xxx

b

x

a

x

b

x

a

xx

cxxdxx

bdx

x

a

xx

dx|2|ln

4

1|2|ln

4

1

22)2)(2(

cx

x

|

2

2|ln

4

1

12)1)(2(

63 2

z

dzc

z

dzb

z

dzadz

zzz

z

czzz

czzza

|1|ln3|2|ln3||ln3

|1|ln3|2|ln3||ln

cz

zz

|

)1)(2(|ln3

3

618

b

b

3

39

c

c

3

26

a

a

33

CASO 2.-

dx

x

cdx

x

bdx

x

adx

xx

xxdx

xxx

xx22

2

2

2

)1(1)1(

18

12

18

)()1()1(18

)1(1)1(

18

22

22

2

xcxbxxaxx

x

c

x

b

x

a

xx

xx

Si x=0 si x=-1 si x=1

6

6

c

c

4.-

du

uu

u23

4

2

8

2)2(

822

4

u

c

u

b

u

adu

uu

u

22 )2()2(8 cuubuauau

Si x=-2 si x=0 si x=1

cx

x

1

6||ln

cx

cxbxa

|1

)1(|ln|1|ln||ln

1

a1

0

62410

2410

b

b

cba

2

84

42

82

2

82

2

23

3

34

423

u

u

uu

u

au

uuu

duu

cdu

u

bdu

u

adu

duuu

uudu

uu

u

22

2

842

2

8

2

23

2

23

4

2

48

c

c2

21234

a

a

4

28

b

b

cuu

auu

u |2|ln2||ln22

2

2

34

Integración por fracciones parciales

1.-

dx

xx

x

41 22

2

Si x=0 si x= i si x2= -4

6.-

dx

x

xxx22

23

)1(

222

)()1)((222 223 dcxxbaxxxx

Si x= 0 x= i si= 1

22222

22

)2(411

2

2

41

x

dxd

x

xdxc

x

dxb

x

xdxa

dxx

dxdx

x

bax

cx

arctgd

xc

arctgxbxa

22

|4|ln21

1||ln

2

22

)1)(()4)((

41)4)(1(

222

2222

2

xdcxxbaxx

x

dcx

x

bax

xx

x

34

0

364

)3(24

2

14)1(44

d

c

dci

dci

ix

x

0

03

31

0

3310

a

a

b

a

baiidb 40

cx

arctgxarctgxx 23

4|4|ln

3

1||ln 22

22222

222

)1()1(11

2

2

)1(1

x

dxddx

x

xc

x

dxb

x

xdxa

x

dcxdx

x

bax

2

2

b

db

0

1

222

d

c

dcii

dciii

1

01)4(227

a

a

cx

arctgxx

1

1

2

12|1|ln

2

12

2

cx

arctgxx

)1(2

12|1|ln

2

12

2

Documents

Trabajo final calculo