Trabajo Final Matematicas

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

VICERRECTORADO ACADÉMICO

NÚCLEO BOLÍVAR

COORDINACIÓN GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO

Facilitador: Elaborado por:

Hugar Capella Lolimar Sanchez CI. 12.130.983

Maryannie Medina CI.16.077.179

Ciudad Bolívar, Noviembre de 2010

Introducción

Las Matemáticas Financieras como su nombre lo indica es la aplicación

de la matemática a las finanzas centrándose en el estudio del Valor del

Dinero en el Tiempo, combinando el Capital, la tasa y el Tiempo para

obtener un rendimiento o Interés, a través de métodos de evaluación que

permiten tomar decisiones de Inversión.

Las Matemáticas Financieras se relacionan con la contabilidad, ya que se

apoya en información razonada generada por los registros contables; es

considerada una herramienta auxiliar de la ciencia política, ya que la

apoya en el estudio y resolución de problemas económicos que tienen

que ver con la Sociedad. Las matemáticas financieras auxilian a esta

disciplina en la toma de decisiones de Inversión, Presupuesto, ajustes

económicos.

A su vez, son de aplicación eminentemente práctica, su estudio esta

íntimamente ligado a la solución de problemas de la vida cotidiana en el

área de negocios.

1

Resolución de Ejercicios

Página 73-Ejercicio Nº 21.

(Porcentaje de Descuento) Un Comerciante ofrece 30% de descuento

sobre el precio marcado de un artículo, y aun así obtiene una ganancia

del 10%. Si al comerciante le cuesta $35 el artículo, ¿Cuál debe ser el

precio marcado?

G = V – C G = 0,1C V = 0,7 P2

El precio marcado del artículo debe ser 55$.

Página 87- Ejercicio Nº 25.

(Política de Precios) Una Cámara Estatal del Vino compra Whisky a $2

una botella y la Vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en

cientos de miles de botellas por semana) está dado por x = 24 - 2p,

cuando el precio es p. ¿Qué valor de p da, un ingreso total de $7 millones

por semana? ¿Qué valor de p da, a la Cámara del Vino, una utilidad de

$4.8 millones semanales?

Datos:

Compra= 2$

Venta=p

Volumen de venta X=24-2p

2

p= precio/suma

Primero_ Precio p→ cuando 7millones

I= p. Vv

I= p. (24-2p)

I= 24p-2p2

I=70 en ciento de miles de $

-2p2 +24p=70

-2p2 +24p-70=0

- p2 +12p+35=0

(p-5)(p-7)=0

p= 5 ó p=7→ Para poder obtener un ingreso total de $7 millones por

semana.

Segundo_ utilidad de 4.8

U= I- costo → costo=2(24-2p)=48-4p

U= -2p2 +24p-(48-4p)

U= -2p2 +24p - 48-4p

= -2p2 +24p – 48

Utilidad = 4.8 miles de $

-2p2 +24p – 48

-2p2 +24p – 48-48=0

-2p2 +24p – 96=0

-p2 +14p – 48=0

-p2 +14p + 48=0

p2 +14p + 48=0

(p-8)(p-6)= 0

p=8 y p=6 → Para poder obtener una utilidad de $4.8 millones

semanales.


3

(Utilidades del productor) El número de unidades de un producto que un

fabricante puede vender a la semana depende del precio que les fije.

Suponiendo que al precio de P dólares, pueden venderse X artículos a la

semana, en donde X = 300 (6-p). Cada unidad tiene costo de fabricación

de $3. La utilidad por artículo es por lo tanto (p-3) dólares y la utilidad

semanal es (p-3) X dólares. Determine el valor de P que producirá una

utilidad semanal de $600.

Datos:

P= R – C

P= (P-3) X - 3

P= (P-3) 300(6-P) - 3

P= (P-3) (1.800 – 300P) – 3

P= 1.800P – 300P2 – 5.400 + 900P – 3

P= - 300P2 + 2.700P – 5.400 – 3

P= - 300P2 + 2.700P – 5.403 = 600

P= - 300P2 + 2.700P – 5.403 – 600

P= - 300P2 + 2.700P – 6.003

Aplicamos la formula:

X=-b±√ b²-4*a*c => X= 2.700P ±√ (2.700)²-4(-300)(-6.003) =

2*a 2*(-300)

X=-2.700±√ 7.290.000-7.203.600 => X= 2.700±√86.400 =

-600 -600

X= 2.700 + 293,93 => $ 4,010

-600


4

(Utilidades de una empresa) Una lavandería en seco ofrece servicio 8

horas diarias de lunes a viernes y cierra el fin de semana. El

establecimiento maneja 15 transacciones (operaciones) por hora, y el

promedio de ingresos por transacción es de $6. El costo de mano de obra

es de $16 por hora y el alquiler del local y el equipo de $560 semanales.

El único costo adicional para el operador es en materias primas: C dólares

por transacción.

a. Exprese la unidad semanal U en términos de C.

b. Supongamos que la lavandería obtiene actualmente utilidades de $600

a la semana. El costo de materias primas, esto es C, aumentará 20 por

ciento el próximo mes. Suponiendo que ningún otro factor varía y que, en

particular, el negocio no decae, ¿Cuál será la nueva utilidad por semana?

Datos:

Tra= 8 hr * 5

Prome = 15 trab/horas

Promedio $= 6$/transacción

Costo m.d.o= 16$/hora

Alquiler = 560$/semana

a. U=I-C

I=(6)(15)(8)(5)=3600

C=(16)(8)(5)+560+(C)+(15)(8)(5)

C0640+560+600c

C=1200+600c

U=3600-(1200+600C)= 3600-1200-600C=2400-600C

b. U=600$ C= aumenta 20% P= incrementa 10%

U=(1.1(I)-(1,2) (C)

5

U= 2400-600C

600=2400-600C→ -600C = -1800 C= 1800 = 3

600

Como C aumenta 20% la nueva C es:

Nc = (3) (1,2) = 3,6

I=(3600)(1.1)=3960→Como I aumenta 10%

U= 3960-(1200+600C)=3960-1200-600C=2760-600C

U=2760-(600)(3.6)=2760-2160

U= $ 600 de utilidad por semana.


(Decisión de Producción). Un fabricante puede vender todas las

unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de

$12.000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas

unidades debe producir y vender al mes para obtener utilidades?

Solución:

Ingresos: 30x

Costos: 22x + 12.000

Utilidad?

U = 30x – (22x + 12.000)

U: 30x – 22x – 12.000

12.000 = 8x

x = 1.500 Unidades.


6

(Decisiones sobre contratación de maquiladores) Una empresa puede

encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a

un costo de $ 2.75 Por otra parte, la empresa puede empacar sus

productos instalando una máquina empacadora. Su instalación

incrementará los costos fijos de la empresa en $2000 al mes y el costo de

empaquetamiento sería de $1.50 por unidad. ¿Cuántas unidades tendría

que producir al mes para que la instalación de la máquina empacadora

fuera rentable?

2,75 x ≥ (1500 + 1,70x)

2,5x – 1,70x ≥ 1500

0,8x ≥ 1500

x ≥ 1875 unidades


(Utilidades) Un fabricante puede vender todas las unidades de un

producto a $25 cada una. El costo C ( en dólares) de producir x unidades

cada semana está dado por C = 3000 + 20x – 0.1 x2 ¿Cuántas unidades

deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?

U = 25x – (3000 + 20x – 0,1x2)

25X – 3000 – 20x + 0,1x2

0,1x2 + 5x – 3000


7

(Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atiende en promedio

a 120 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento

de 50¢ en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo

deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?

Datos:

Promedio= 120 clientes/semanales a un precio de $4

Si incrementa 50¢ pierde 8 clientes/semanales

In= 520$ semanales

X= incremento I= P. Cantidad

P= 4+0,5X

C=120-8X

I= (4+0.5x)(120-8x)

I=480+60X-32x-4x2 si I ≥ 520

480+60x-32x-4x2 ≥ 520

480+28x-4x2 ≥ 520

480-520+28x-4x2 ≥ 520

-40+28x-4x2 ≥ 0

x2 -7x+10 ≥ 0

(X-5)(X-2) ≥ 0

X≤5 y X≤2

1. x≤2 1. 1 1-7+10≤0

4≤0 no cumple

2. 2≤x ≤5 2. 3 9-21+10≤0

-250 si cumple

3. x≤5 3. 6 36-42+10≤0

4≤0

No cumple

Intervalo de solución

8

2≤x ≤5

P=4+(0.5) (5)= $ 6.5 (Precio máximo para obtener ingresos de al menos

$520).


(Política de fijación de precios) Un distribuidor de licores compra whisky a

$2 la botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en

cientos miles de miles de botellas a la semana) está dado por x = 24 – 2p

cuando el precio es p. ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7

millones por semana? ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor

de licores de al menos $ 4.8 millones por semana?

Costo= $2

Precio= P

Volumen de ventas= X

Ingreso total= 7.000.000,00 = P*X (ecuación 1)

100.000,00

X= 24-2p (ecuación 2)

70= P*X => X= 70 despejamos X en ecuación 1

P

Sustituyendo X en 2 => X= 24-2p

70 = 24-2P => 70=24-2P ²

P

Donde: 2p²-24+70= 0

9

Aplicamos la formula: X=-b±√ b²-4*a*c => X= 24±√ (24)²-4(2)

(70) =

2*a 2*2

X=24±√ 576-560 => X=24±√16 =

4 4

X1= 24+4 = 28 = 7 => x2= 24-4 = 20 =5

4 4 4 4

b) costo $2 por botella => 2x

Precio= P por botella => Px

Utilidad= $ 4,8 millones U= I-C

4.800.000,00 = Px (ecuación 1)

100.000

48= Px-2x => 48= P(24-2P)-2(24-2P) =>48=24P-2P²-48+4P

48=28P-2P²-48

2P²-28P+48+48=0

X=-b±√ b²-4*a*c = > X= -(-28) ±√ -28² - 4(2)(96) => X= 28± √784-768 =>

2*a 2(2) 4

X= 28± √ 16

4

X1= 28+4 = 8 $ , X2= 28-4 = 6 $

4 4

10


Ejercicio 53: Si X unidades pueden venderse diariamente al precio de $p

cada una, en donde p = 60 - x, ¿Cuántas unidades deben venderse para

obtener un ingreso diario de al menos $800?

Ejercicio 55: En el ejercicio 53, tiene un costo de (260 + 12x) dólares

producir x unidades ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse

diariamente para obtener una utilidad de al menos $300?

Variables:

I = Ingreso

C = Costo

U = Utilidad

X = Nº de artículos

P = Precio

Datos:

2 P + 3X = 200

C= 260 + 12X

Relaciones:

I = X.P

U = I – C

U ≥ 300

Desarrollo:

Ingreso: I = X.P = X. (200 -3X) = 100X - 3 X2

2 2

Costo: C= 260 + 12X

Utilidad: U = I-C = 100X – 3 X2 – (260 +12X) = 100X – 3 x2 – 260 – 12X

2 2

11

U = - 3 x2 + 88x – 260 => U = - 3 x2 + 176x – 520

2

Condición:

U ≥ 300 ; -3x2 + 176x – 520 ≥ 300

- 3x2 + 176x – 520 - 300 ≥ 0

- 3x2 + 176x +820 ≥ 0

( - 1) [ ( - 3x2 + 176x – 820 ≥ 0]

3X2 - 176x + 820 ≤ 0 → a = 3 ; b = -176 ; c = 820

Aplicamos la formula:

X=-b±√ b²-4*a*c => X= - (-176) ± √ (-176)²-4(3)(820) =

2*a 2*3

X= 176 ± √ 21.136 = 176 +145,38 = X1 = 176 + 145,38 = 53,56

6 6 6

X2 = 176 - 145,38 = 5,10

Analicemos donde se cumple la desigualdad (X), para ello usaremos el

método de la rejilla.

(x – 5,10) (x- 53,56)

12


(Modelo de costo Lineal). Los costos fijos por fabricar cierto artículo son

de $300 a la semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la

semana son de $410. Determinar la relación entre costo total y el número

de unidades producidas, suponiendo que es lineal. ¿Cuál el costo de

fabricar 30 unidades a la semana?

Solución:

Considerando la cantidad x como la abscisa ( o coordenada x ) y el precio

p por unidad como la ordenada ( o coordenada y ) los dos puntos sobre la

curva de la demanda tiene coordenadas.

x = x, p = 300 y x = 20, p = 410

La pendiente de la línea que une estos puntos es:

m = y2 - y1 / x2 - x1

m = 410 - 300 / 20 - x

110 / 20x = 5.5x

m = 5.5x

y - y1 = (x - x1)

y - 300 = 5.5x ( x – x ) =

y - 300 = 5x

yc = 5.5x + 5x

yc = mx + b

yc = 5.5 (30) + 300

Yc = $ 465


13

(Plantilla de Personal). Cierta compañía emplea 53 personas en dos

sucursales. De esta gente, 21 son universitarios graduados. Si una

tercera parte de las personas que laboran en la primera sucursal y tres

séptimos de los que se encuentran en la segunda sucursal son

universitarios graduados, ¿Cuántos empleados tiene cada oficina?

Solución:

x + y = 53

1 / 3 x + 3 / 7 y = 21

- 1 / 3 que multiplica a:

x + y = 53

1 / 3 x + 3 / 7 y = 21

- 1 / 3 x - 1 / 3 y = - 1 / 3 53

1 / 3 x + 3 / 7 y = 21

luego:

- 1 / 3 x - 1 / 3 y = 17. 67

1 / 3 x + 3 / 7 y = 21

0,095 y = 3,33

y = 3,33 / 0,095

y = 35

x + y = 53

x = 53 - y

x = 53 - 35

x = 18


14

(Análisis no lineal del punto de equilibrio) El costo de producir x artículos

al día esta dado en dólares por yc =80 + 4x +0.1x2. Si cada artículo puede

venderse a $10, encuentre el punto de equilibrio.

Datos:

P= yc =80+4x+0,1x2

P=10 $/articulo

C=I

I=P.X=10.X

10x=0,1x2 +4x+80

0=0, 1x2 +10x+4x+80

0=0, 1x2 -6x+80

0=x2 -60x+800

(x-20)(x-40)=0

Punto de Equilibrio => X=20 ó 40


(Punto de equilibrio del mercado). Un fabricante puede ofrecer 2000 pares

de zapatos al mes a un precio de $30 por par de zapatos, mientras que la

demanda es de 2800 pares. A un precio de $35 el par, puede ofrecer 400

pares más. Sin embargo, con este incremento de precio de la demanda

se reduce en 100 pares.

a. Suponiendo relaciones lineales, determine las relaciones de

demanda y oferta.

b. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.

c. Si el gobierno grava con un impuesto de $1.50 cada par de

zapatos, determine el nuevo precio y cantidad de equilibrio.

15

d. ¿Qué impuesto especial por par deberá fijarse para elevar el precio

de equilibrio a $40?

Solución

a) Suponiendo relaciones lineales, determine las relaciones de Demanda

y oferta

2000 pares/mes ----------- $30 ofrece

2800 demanda/mes

35$ ------- + 400 pares/mes demanda baja 100 pares/mes

Oferta Demanda

$30 ------- 2000 pares/mes $30 --------- 2800

pares/mes

$35 ------- 2400 pares/mes $35 --------- 2700

pares/mes

2400 – 200 400 2700 - 2800

a) -------------- = ------ = 80 m= ---------------- = -20

35 – 30 5 35 – 30

Y= 2000 = 80(x-30) Y= 2700 = -20(x – 35)

Y= 80x – 2400 + 2000 Y= 2700 = -20x + 700

16

Y= 80x – 400 = Oferta (1) Y= -20x + 700 + 2700

Y= -20x + 3400 =

Demanda (2)

b) 1 = 2

80x – 400 = -20x + 3400

100x = 3400 + 1400

X= 38

c) Pc= Ps + t Impuesto Pc= Ps - S

Pc= -20 + 3400 (1)

Ps= 80x – 400 (2)

Pc= Ps + 1,5

Pc – 1,5 = 80x – 400

Pc= 80x – 400 + 1,5

Pc= 80x – 398,5

(1) = (2)

80x – 398,5 = -20x + 3400

17

100x = 3400 + 398,5

100x = 3798,5

X= 37, 98

d) x= 38 Precio de equilibrio nuevo X= 40$

Pc= -20x + 3400 Ps= (80) (20) – 400

Pc= (-20) (40) + 3400 Ps= 1200

Pc= -800 + 3400

Pc= 2600

t= Pc – Ps

t= 2600 – 1200 = 1400$


(Función de costo) Una empresa que fabrica radios tiene como costos

fijos de $3000 y el costo de la mano de obra y del material es de $15 por

radio. Determine la función de costos, es decir, el costo total como una

función del número de radios producidos. Si cada radio se vende por $25,

encuentre la función de ingresos y la función de utilidades.

Datos:

Cf= 3000

18

Cv =15$/radio

Ct =3000+15.x

I=25.x

U=25.x-3000-15x

U=10x-3000

(x) = 15x + 3000;

R(x) = 25x ;

P(x) = 10x – 3000


(Ingresos mensuales) Un vendedor tiene un salario base de $1000 al

mes más una comisión del 8% de las ventas totales que realiza por arriba

de $6000. Exprese sus ingresos mensuales E como una función de x, en

donde x son las ventas mensuales totales en dólares.

a) Cuál es el dominio de esta función?

b) Cuál será su salario total cuando realiza ventas por $5000 y

$8000?

Datos:

Sn =$1000 $/mes

Comisión =8% si X ≥ $6000

Tenemos que:

i= 8% / 100 = 0,08

a. Dominio de la Función?

E=$ 1000 si ≤ x ≤6000

19

Entonces tenemos que:

E=1000+ 0,08 (x-6000) = 1000+0,08-480= 520

E=520+0,08x

E= 0,08X +520 si X≥ $6000

Dominio: X ≥ 0

b.- Salario Total Cuando realiza ventas por $ 5000 y $8000

Para X= 5000, el condicionante es

E= $1000 si ≤ x ≤6000

Por lo que, para X= $5000; E= $1000

Las Ventas por 8000 Sustituimos

E = 520+0,08(8000)=1160

E=1160; para X= $8000


(Crecimiento de ganancias) Las ganancias de cierta compañía han

ido aumentando en 12% anual en promedio entre 1975 y 1980. En

1980, fueron $ 5.2 millones. Suponiendo que esta tasa de crecimiento

continúe, encuentre las ganancias en 1985.

Datos:

Aumento de ganancias =12% anual en promedio

Entre 1975 y 1980

Po = 5,2 millones $

Tenemos que:

i = R/100 = 12/100 = 0,12

t = 1985 – 1975 = 10 años

20

Aplicamos que:

Po (1 + i )t = Po eit

Po (1 + i )t = Po e0,12t

Po (1 + i )t /Po = e0,12t

(1 + i )t = e0,12t

((1 + i )t )1/t= (e0,12t)1/t

Despejamos i:

1 + i = e0,12

i = e0,12-1

i= 1,1278 + 1 = 0,128

Pf = Po (1 + i )t

t= 1980-1985 = 5 años

Sustituimos

Pf = 5,2 x106 (1 + 0,12)5

Pf = 5,2 x106 (1,762341683)

Pf = 9,164 x106 Serán las ganancias para 1985


(Función de Costos) Una compañía esta ampliando sus instalaciones

y tiene opción para escoger entre dos modelos. Las funciones de

costos son C1(x) = 3,5 + log (2x+1) y C2(x)= 2 + log(60x+105)

donde x es la tasa de producción . Encuentre la tasa x a la cual los dos

modelos tienen los mismos costos. Para valores grandes de x, ¿cuál

modelo es mas barato?

Datos:

C1= 3,5 + Log (2x + 1)

C2= 2 + Log (60x + 105)

21

Tenemos que:

C1= C2

3,5 + Log (2x + 1) = 2 + Log (60x + 105)

3,5 -2 = Log (60x + 105) - Log (2x + 1)

101,5 =10Log ((60x + 105)/ (2x + 1))

101,5 = (60x + 105)/(2x+1)

(101,5) (2x+1) = (60x + 105)

(101,5. 2x) +(101,5) = 60x + 105

(101,5. 2x) - 60x = 105 - 101,5

X((101,5. 2) – 60) = 105 - 101,5

X= (105 - 101,5)/ ((101,5. 2) – 60)

X = 73,37/3,24

X= 22,6

El segundo diseño es mas barato para X grandes

Demostración x= 10000

C1= 3,5 + Log (2(10000) + 1) = 7,8

C2= 2 + Log (60(10000) + 105) = 7,7


(Aumento en el IPC) Entre Enero de 1975 y Enero 1980, el índice de

precios al consumidor I pasó de 121 a 196.

a) Calcule el incremento porcentual promedio por un año durante este

periodo.

Datos:

IPC = 121 (1975)

IPC= 196 (1980)

22

t= 1980-1975 = 5 años

Tenemos que

Vp (1+i)n =Vf

121(i+1)5 = 196

(i+1)5 = 196 /121

(i+1)5 = 1,62

log (i+1)5 = log 1,62

5log (i+1) = log 1,62

log (i+1) = (log 1,62)/ 5

10 log (i+1) = 10 0,0419

i+1 =10 0,0419

i = 10 0,0419 – 1 = 0,1013

Entonces:

I= R/100

Despejamos R

R= i x100 = 0,1013 x 100

R = 10,13% (Incremento % promedio por año)

b) Exprese I en la forma bekt, con t=0 correspondiente a Enero de

1975

b= 121

Entonces

K = Ln ( i + 1)

Sustituyendo

K = Ln (0,1013 + 1) = Ln 1,1013

K= 0,0965

Tenemos que:

c) I = 121 e(0,0965)t ( I correspondiente a Enero de 1975)

23

c) Suponiendo que ésta tasa de crecimiento continúa, determine

cuando I alcanzará 250.

Tendiendo

I= 250 $

I = bekt

250 = 121 e(0,0965)t

250/121 = e(0,0965)t

Ln 2,07 = ln e(0,0965)t

Ln 2,07 = 0,0965 t

Ln 2,07/ 0,0965 = t

t = 7,52 años (después de Enero de 1975)


(Demanda) La ecuación de demanda de cierto producto esta dada por

p= 200e-x/50 en donde x denota el numero de unidades que pueden

venderse al precio de $p cada una. Exprese el ingreso I como una

función de la demanda x. Cuál será el ingreso total si se venden 25

unidades?

Datos:

Demanda: p= 200e-x/50

Tenemos que

R = x.p= p(x)

p(x) = x 200e-x/50 (función de la demanda x)

Sustituimos:

p(x) = x200e-x/50

p(x) = (25)200e-25/50

24

p(x) = (25)200e-0,5

p(x) = 3032,65 $ (ingreso total si se venden 25 unidades)


(Valor Presente) Un hombre a la edad de 45 años adquiere una póliza

de retiro en edad avanzada a una pequeña compañía de seguros que

le pagará una suma total de $20.000 a la edad de 65 años. La

compañía le fija una cantidad de $5000 por la póliza. ¿De cuanto es la

tasa de descuento que están usando?

Datos:

Vf = 20.000$

Vp = 5.000$

Tenemos

n = 65-45 = 20 años

Vf = Vp (1+i)n

20.000 = 5.000 (1+i)20

(20.000/5.000)1/20 = ((1+i)20)1/20

1,0718 = 1 + i

1,0718 – 1 = i

i = 0,0718

Despejamos de

i = R/100

R= i x 100 = 0,0718 x 100

R = 7,18 % (Tasa de Descuento que están usando)


25

(Crecimiento del PNB) El PNB de la nación A se incrementa de $0,5 a

$1,1 mil millones entre 1970 y 1980.

a) Calcule el porcentaje de crecimiento promedio anual.

b) Exprese el PNB en el instante t en la forma bekt

c) Suponiendo que ésta tasa de crecimiento continúa, determine

cuando el PNB alcanzará $1,5 mil millones.

54.- (Crecimiento del PNB) El PNB de la nación B durante el mismo

período (véase el ejercicio 53) se incrementa de $1,0 a $1,5 mil

millones.

a) Calcule el porcentaje de crecimiento por año de la nación B.

b) Exprese el PNB en la forma bekt

c) Determine cuando el PNB de la nación A alcanzará al de la nación

B.

Datos:

PNB 1970=$ 1 (0)

PNB 1980=$ 1,5 (11)

P (t)= bekt

P (o)=eKo=1

a) P (11)=1eK11 1,5 = eK11

ln 1,5 = ln eK11

ln 1,5 = 11 K

K = = 0,03686 3,686% Anual.

b) P(t) = e0,03686(12)

= 1,5563

% Crecimiento Anual = = 96,38%

26

c) P (0)= 0,5 P (0)= 0,5 eK10 = 0,5

P (11)= 1,1 P (11)= 0,5 eK11

P (11)= 1,1 0,5 eK11

ln 1,1 = ln 0,5 e11k

ln 1,1 = ln 0,5 + 11k

K =

P (t) = 0,5 e0,07168 t

e0,03686 t = 0,5 e0,07168 t

ln e0,03686 t = ln 0,5 e0,07168 t

0,03686 t = ln 0,6 + 0,07168 t

0,03686 t – 0,07168 t = ln 0,5

-0,03482 t = -0,69315

t = años (PNB de la nación A alcanzará al de la

nación B)


(Interés Simple) Una persona deposita $50 al inicio de cada mes en una

cuenta de ahorro en la cual el interés permitido es del ½% al mes sobre el

balance mensual. Determine el balance de la cuenta al término del

segundo año, calculando a interés simple.

Datos:

R = ½%

Deposito = $ 50 mensual

Tenemos

Al segundo año:

Capital = 50 x 24 = 1200 $

27

I = P (R/100)

I = 50 (0,5/100)

I = 0,25

Entonces:

0,25 x 12 = 3 anual

Vf= (1200) + (0,25 x 100 x3)

Vf= 1275 $ (El balance de la cuenta al término del segundo año)


(Pago de préstamo) Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda

de $ 1800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos (empezando con

el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200.

¿Cuántos pagos serán necesarios de modo que salde la deuda?

Datos:

P5= 200$

D = 10$

Sn= 1800$

Tenemos que :

5-1 = 4 x 10 = 40

a = 200-40 = 160

Entonces:

Sn=(n/2) 2a + (n-1)d

1800 =(n/2) 2x160 + (n-1)10

2x 1800 = 320n + n( 10n -10)

3600 = 10n2 +320n -10n

(0= 10n2 +310n-3600)/10

28

0 = n2 +31n-360

(x-9) (x+40) =0

X = 9 pagos serán necesarios de modo que salde la deuda


(Préstamo para un automóvil) El señor Suárez compró un automóvil por

$20,000 e hizo un pago de 15% sobre su costo. El resto pidió prestado al

banco, al 9% anual compuesto mensualmente. Si el préstamo debe

pagarse en 36 pagos mensuales iguales, ¿De cuánto debe ser cada

pago? ¿Qué proporción de su trigésimo pago es por intereses?

Datos:

Precio=20000

Pago=15% del precio

Tasa anual =9% en 36 meses

Precio pago=(20000)(15) =3000

100

Diferencia del =20000-3000= $17000

A= Pan i

Tasa anual 9% tasa mensual = 9% =0,75% i=0,75 =0,0075

12% 100

A36 0,0075=31,446805

P= A = 17000 = $ 540,60 Deberá ser el pago

A36 0,0075 31,446805

29

Porción del trigésimo pago anual que corresponde al interés

i = R/100

Entonces, R= 1+i = 1 + 0,0075 : R= $ 1,0075

Tenemos:

rN = A = P ; A = P/rN

Trigésimo pago n=30

r30 = (1,0075)30 =1,251271

A= 540,59 =413,32

1,307893

Interés 540,5954/1,251271 = $ 432,04

Interés 540,60 – 432,04 = $ 108,56


El Señor Black ha invertido $50,000 a una tasa de interés de 10%

compuesto anualmente. Si retira $3000 cada año en el aniversario de su

depósito, ¿En cuántos años su inversión será mayor a $65,000?

I= 50000

i=10%

R=3000 c/año =P

Yn=Yn+1+0,1 Yn+1-P a=1,1

Yn=1,1Yn+1-P b=-3000

Yn= Can - b =Yn=C(1,1)n +3000

a-1 1,1-1

30

h=0 Yo= c(1,1)o + 3000 =50000

0,1

C=20000

Yn=20000(1,1)o +30000

65000=20000(1,1)n +30000

(1,1)n + 65000+30000 =1,75

20000

Ln(1,1)n =ln1,75

Ln(1,1)=ln(1,75)

N=ln(1,75) =5,87

Ln(1,1)


Mary pidió prestada una suma de $ 10.000 a un banco para comprar un

automóvil nuevo. El banco cobra un interés de 12% anual compuesto

mensualmente y el préstamo se saldará en pagos mensuales iguales a

$p cada uno. Sea Yn el monto que se debe de n pagos mensuales:

a) Determine la ecuación en diferencias que satisface Yn y resuélvala.

Datos:

R = 12% anual

C = 10000$

Entonces:

Yn = C (1+i) n + P/i

Yn = Yn-1 + (R/100) Yn-1 – P

Yn = Yn-1 + (1/100) Yn-1 – P

Yn = Yn-1 + 0,01 Yn-1 – P

Yn = 1,01 Yn-1 – P

31

Tenemos que

R = 12%/12meses = 1% mensual

i = R/100 = 1/100

i = 0,01

Sustituimos

Yo= (1,01) 0 10000

Yo= 10000 $

Igualamos Yn:

Yn= (1,01) n 10000 ; Yn= C (1 + i ) n + P/i

Yn= (1,01) n 10000 = 10000 (1,01 ) n + P/i

Yn= P/i = P/(1/100)

Yn= 100P

Entonces

Yn= 10000(1,01) n + 100P = 100P (1,01) n

Yn= 10000(1,01) n - 100P (1,01) n + 100P

b) Determine el pago mensual de $p al banco, si el préstamo se

liquidara en 4 años.

4 años x 12 meses = 48 meses

Tenemos que:

10000(1,01) 48 + 100P = 100P (1,01) 48

16122,261 + 100P = 161,22P

16122,261 = 161,22P -100P

16122,261/61,22 = P

32

P = 263.34 $


(Pago de un préstamo) Una persona paga $975 en pagos mensuales.

Cada uno es menor que el anterior en $5. El monto del primer pago es

de $100. ¿En cuanto tiempo será pagada la cantidad total?

Datos:

d= 5$

Sn= 975$

Tenemos que

n

P + (Pi-1) -5 = 975

i=2

975 = 100+95+90+85+80+75+70+65+60+55+50+45+40+35+30

Demostramos:

n Pagos Dism. n

P + (Pi-1) -5

i=2

1 100 100

2 100 -5 95

3 95 -5 90

4 90 -5 85

5 85 -5 80

6 80 -5 75

7 75 -5 70

8 70 -5 65

9 65 -5 60

10 60 -5 55

33

11 55 -5 50

12 50 -5 45

13 45 -5 40

14 40 -5 35

15 35 -5 30

Por lo que tenemos que:

a =30

n = 15

Sn = n/2 2a + (n-1) d

975/2 = 2na + n (n-1)d

1950 = 2x30n + n(n-1)5

1950 = 60 n + 5n2 – 5n

0 = 5n2+ 55 n -1950

(0 = 5n2+ 55 n -1950)/5

0 = n2+ 11 n -390

(x-15)(x+26) = 0

X= 15 (Demostrado en la tabla; pago nº 15)


Ejercicio 24: (Amortización de préstamos) Jonás pidió prestado $5.000 al

banco con el fin de comprar un automóvil nuevo. El banco fija intereses al

préstamo del 1% cada mes sobre el saldo insoluto al inicio de cada mes y

Jonás efectúa pagos regulares al término de cada mes. Si el préstamo

debe saldarse en 24 meses, ¿de cuánto deben ser los pagos mensuales?

34

Ejercicio Nº 25: (Amortización de préstamos) En el ejercicio 24 ¿De

cuánto deben ser los pagos mensuales de Jonás con objeto de liquidar el

préstamo en 48 meses?

Datos:

$5000 n=24

C=1% n=48

5000=P

5000=P* 37,973959

P= 5000 = $ 131,67

37,973959

Conclusiones

Toma de decisiones

35

La unidad para la toma de decisiones es una persona o una organización

pública o privada a través de sus autoridades y gerentes respectivamente.

En el mundo real, las situaciones por resolver son múltiples y variadas y

para solucionarlos los recursos son escasos. Las disciplinas que ayudan a

tomar decisiones son la Economía y la Administración. Entre varias

alternativas de solución obviamente optaremos por la mejor de ellas. La

unidad para la toma de decisiones es una persona u organización pública

o privada a través de sus autoridades y gerentes respectivamente.

Por lo general todo problema tiene los siguientes elementos: la unidad

que toma la decisión, las variables controlables (internas o endógenas),

las variables no controlables (del entorno o exógenos), las alternativas, la

carencia de recursos y la decisión en sí misma que llevan a escoger

alternativas más eficientes y óptimas o que produzcan resultados

beneficiosos.

Análisis de inversiones

En un sentido amplio inversión, es el flujo de dinero orientada a la

creación o mantenimiento de bienes de capital y a la realización de

proyectos supuestamente rentables.

Conocemos al análisis de inversiones también como Matemáticas

Financieras, Administración de nversiones o Ingeniería Económica. El

análisis de inversiones emplea como concepto fundamental la tasa de

interés, con el que obtenemos elementos para efectuar infinidad de

análisis de tipo económico-financiero, principalmente para:

1. Establecer el exacto costo de la alternativa de financiación o verdadera

rentabilidad de la inversión.

2. Organizar planes de financiamiento en negocios de venta a crédito o a

plazos.

36

3. Elegir planes más adecuados para la liquidación de obligaciones,

según los criterios de liquidez y rentabilidad.

4. Determinar el costo de capital.

5. Elegir las alternativas de inversión más apropiadas a corto y largo

plazo.

6. Elegir entre alternativas de costos.

Bibliografía

37

Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. Matemáticas Aplicadas a la

Administración y a la Economía; editorial Pearson Educación, Cuarta

Edición, 2002.

38

Documents

Trabajo Final Matematicas