UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓNFACULTAD DE FILOSOFÍA Y EDUCACIÓN

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICAMENCIÓN MATEMÁTICAS

Alumnas:Jessica MedinaAndrea OsorioIsabel OyarceProfesoras:

Noemí PizarroIsabel Vargas

Graneros, lunes 17 de noviembre, 2008

ÍNDICE

Pág.

Matriz Van Heili para Unidad: Geometría: prismas, pirámides y triángulos.......... 3

Matriz Van Heili para Contenido: Bisectriz……………………………………….4

Diseño de Clase…………………………………………………………………….5

Planificación de clase………………………………………………………………8

Análisis a Priori…………………………………………………………………….11

Situación didáctica………………………………………………………………....12

Guía de ejercicios………………………………………………………….……….13

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Nivel 1Reconocimiento

Nivel 2Análisis

Nivel 3Clasificación

Nivel 4Deducción Formal

FASE 1Preguntas/ Información

Identificar figuras y cuerpos geométricos; perímetro y área

Conocidos los elementos de las figuras y cuerpos geométricos, descubrir las semejanzas y utilización de las figuras para la construcción de los cuerpos geométricos. Conocen los elementos secundarios de las figuras geométricas

Dadas distintas figuras y cuerpos geométricos, determinar si se cuenta con información suficiente para calcular el perímetro y área

Dado un teorema distinguir hipótesis y tesis

FASE 2Orientación Dirigida

Reconocer diferencias entre las figuras y cuerpos geométricos; perímetro y área

Construir figuras geométricas con instrumentos y cuerpos geométricos con redes.Construir elementos secundarios de los triángulos con instrumentos

Explicar el criterio utilizado para el cálculo del perímetro y área, relacionando para el área la base y altura

Seguir una demostración en diálogo

FASE 3Explicitación

Explicar los procedimientos utilizados para identificar las diferencias

Explicar y discutir los procedimientos para su construcción

Justificar el criterio utilizado

Justificar los pasos de una demostración dada por el profesor

FASE 4Orientación Libre

Resolver problemas en donde reconocen las diferencias de las figuras y cuerpos geométricos y el perímetro y área

Resolver problemas donde construyen figuras y cuerpos geométricos

Resolver problemas de enunciado donde deba argumentarse los conceptos conocidos

Crear otras demostraciones

FASE 5Integración

Definir conceptos. Formalizar lenguaje

Establecer relación entre perímetro y área de las figuras y cuerpos geométricos

Definir conceptos de hipótesis y tesis. Esquematizar una demostración

Conocer otras demostraciones

Matriz Van Hiele para Unidad: Geometría: prismas, pirámides y triángulos – NB5

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Matriz Van Hiele para Contenido: BisectrizNivel 1Reconocimiento

Nivel 2Análisis

Nivel 3Clasificación

Nivel 4Deducción Formal

FASE 1Preguntas/ Información

Reconocer concepto de bisectriz de un ángulo

Conocida las bisectrices de un triángulo, descubrir que la intersección de estas, forman el Incentro

Dado distintos elementos secundarios de los triángulos, determinar cuales de ellos son bisectrices

Dado un teorema distinguir hipótesis y tesis

FASE 2Orientación Dirigida

Reconocer las bisectrices en los ángulos de distintas figuras geométricas

Construir las bisectrices de un triángulo con instrumentos geométricos, incluyendo compás y regla

Explicar el criterio para determinar si son bisectrices

Seguir una demostración en diálogo

FASE 3Explicitación

Explicar los procedimientos utilizados para identificar las bisectrices

Explicar y discutir los procedimientos para construir las bisectrices

Justificar el criterio utilizado

Justificar los pasos de una demostración dada por el profesor

FASE 4Orientación Libre

Resolver problemas en donde reconocen las bisectrices con cálculo no escrito

Resolver problemas donde construyen bisectrices

Resolver problemas donde encuentren la medida de distintos ángulos por medio de la utilización de las bisectrices y otros conceptos conocidos con anterioridad

Crear otras demostraciones

FASE 5Integración

Definir bisectrices. Formalizar Lenguaje

Establecer relación entre bisectriz y altura de distintos triángulos

Definir conceptos de hipótesis y tesis. Esquematizar una demostración

Conocer otras demostraciones

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Diseño de Clase.

Primera clase: 30 minutos

Objetivos:

- Conocer la bisectriz de un ángulo- Reconocer y determinar los pasos para la construcción de bisectrices de un

triángulo)- Calcular la medida incógnita de algunos ángulos, por medio de la bisectriz - Construir las bisectrices de un triángulo con instrumentos (regla, compás)- Conocer y ubicar el Incentro, en las bisectrices de un triángulo

Configuración del grupo de estudiantes: de forma individual.

Materiales: regla, compás (para construir bisectrices de un triángulo), papel lustre (para identificar bisectrices en los ángulo de alunas figuras geométricas) guía de aprendizaje (en donde reconocerán y medirán bisectrices, además de ubicar el incentro)

Desarrollo de la clase:

1. Para lograr el primer objetivo (Conocer la bisectriz de un ángulo) se propone la siguiente actividad:

- Con los distintos triángulos, los estudiantes hacen dobleces con el fin de estableces las bisectrices de los ángulo, en donde dividen este último en dos partes iguales, ya se un solo ángulo o los tres. Si algún alumno lo hizo usando compás se le pide que explique al resto de sus compañeros cómo lo hizo.

Primera instrucción (responden preguntas como): ¿Qué quiere decir “bi”?, ¿Qué se entiende por bisecar?, ¿Qué será la bisectriz de un ángulo?, ¿Qué será la bisectriz de un triángulo?, hasta llegar a la conclusión, que “bisectriz” se refiere a cortar o dividir un ángulo en dos partes (ángulos) congruentes.

Segunda instrucción (oral): cada alumno, recibe un set con distintos triángulo en papel lustre, deben buscar una forma para encontrar las bisectrices de las figuras, mediante diversos dobleces o con la utilización de instrumentos, como regla, compás o transportador.

Segunda instrucción (oral): comparan los resultados obtenidos con sus compañeros y comentan el procedimiento utilizado en cada caso

Preguntas planteadas por el profesor: ¿qué hicieron para encontrar la bisectriz?, ¿Usaron instrumentos, cuáles?, ¿alguien hizo la bisectriz usando compás?, etc.

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2. Para lograr el segundo objetivo (Reconocer y determinar los pasos para la construcción de bisectrices de un triángulo) se propone la siguiente actividad:

- Se debe velar por hacer una correcta utilización de los instrumentos para la construcción de las bisectrices, en donde todos los niños aprendan e interioricen el porque y para que de la construcción. Además de analizar cada semejanza entre la altura y las bisectrices de un triángulo.

3. Para lograr el tercer objetivo (Calcular la medida incógnita de algunos ángulos, por medio de la bisectriz) se propone la siguiente actividad:

- En la guía, trabajan de forma individual, calculando la medida incógnita de algunos ángulos, pudiéndose dar cuenta, que obteniendo una medida, se puede calcular el otro ángulo, pues corresponderá a la mitad del original.

4. Para lograr el cuarto objetivo (Construir las bisectrices de un triángulo con instrumentos (regla, compás) se propone la siguiente actividad:

Primera instrucción (oral): Determinan los pasos para construir la Bisectriz de un triángulo usando regla y compás, por medio de observación de la construcción por parte del profesor

Segunda instrucción (oral): cada alumno comenta acerca del punto de intersección de las bisectrices respondiendo preguntas como ¿Se intersectan las bisectrices, dónde?, ¿Cómo se llamará este punto?, llegando a determinar que aquel punto es el “incentro”.

Tercera instrucción (oral): Relacionan lo que han aprendido de la bisectriz con lo que sabían de altura, comentan acerca de coincidencias que se den entre altura y bisectriz en los triángulos, basándose en las figuras de papel recibidas.

Preguntas planteadas por el profesor: ¿hay coincidencias entre la altura de un triángulo y la bisectriz?, ¿cuáles? ¿por qué se sucederá esto?

Primera instrucción (oral): completan guía de ejercicios, en donde calculan la medida incógnita de algunos ángulos, por medio de la bisectriz, en donde la medida del ángulo este dada y se obtenga la medida del otro ángulo, por donde pasa una bisectriz

Preguntas planteadas por el profesor: ¿cuál fue la dificultad más grande? ¿Es difícil calcular la medida de los ángulos, por medio de la bisectriz? ¿Por qué?

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- Se debe guiar muy bien a los alumnos en su construcción y utilización de materiales, estando atentos a cada pregunta y duda, además de tratar que todos cuenten con los implementos de trabajo, pues si no los tienen, dificultarán las actividades y el incumplimiento de los objetivos.

- También se preguntará si alguien conoce o descubre otra forma de construir las bisectrices, comentándolo y verificándolo posteriormente con los compañeros

5. Para lograr el quinto objetivo (Conocer y ubicar el Incentro, en las bisectrices de un triángulo) se propone la siguiente actividad:

- Se construyen con instrumentos las bisectrices de un triángulo y se conoce y ubica el punto donde concurren las tres bisectrices, que se designará con el nombre de Incentro.

- Y para finalizar, escriben, según lo aprendido en clases, el significado de bisectriz e incentro, permitiendo saber que es lo que aprendieron.

Primera instrucción (oral): en la guía, construir las bisectrices en el triángulo ABC con regla y compás, según procedimiento ya conocido

Segunda instrucción: comentar el procedimiento utilizado con otros compañeros y comparar resultados

Preguntas planteadas por el profesor: ¿qué dificultades se les presentó? ¿Es difícil utilizar instrumentos, como regla y compás, para construir las bisectrices? ¿Cómo lo harían si no tuvieran estos instrumentos?

Primera instrucción (oral): en la guía, una vez construidas las bisectrices, observar y ubicar el punto en donde concurres todas las bisectrices; este punto se conocerá como incentro.

Preguntas planteadas por el profesor: ¿concurren las tres bisectrices en el mismo punto? Si no concurren ¿Qué sucederá?

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Planificación de Clase.

* Aspectos formales

Curso : Séptimo Básico Subsector : Educación Matemática Unidad 2 : Geometría: prismas, pirámides y triángulos Objetivo Fundamental Vertical : Analizar familias de figuras geométricas para apreciar regularidades

y simetrías y establecer criterios de clasificación. Contenido Mínimo Obligatorio : Figuras y cuerpos geométricos

• Construcción de alturas y bisectrices en diversos tipos de triángulos. Objetivo Fundamental Transversal : Eje “Formación Ética” abrir espacios de diálogo, de debate, de

búsqueda de procedimientos y de respuestas. Tiempo Estimado : Una clase (2 horas)

APRENDIZAJE ESPERADO(dado por el programa)

EVALUACIÓN ACTIVIDADESGENÉRICAS

RECURSOS DE APRENDIZAJE.(MATERIALES)

- Reconocen diversos elementos de los triángulos, los relacionan con las características de éstos y los utilizan adecuadamente para clasificarlos y para la reproducción y/o creación de triángulos.

- Evaluación formativa a través de la observación, actividades y guía de trabajo.

Act.6 - A partir de la modificación en redes de prismas rectos y de pirámides, estudian las alturas de triángulos, las construyen y las caracterizan.

Act.7 - Analizan distintos tipos de triángulos en función de las bisectrices de sus ángulos, estableciendo relaciones con sus ejes de simetría y sus alturas.

Materiales concretos.

- Papel lustre- Compás - Regla- Guía de Aprendizaje

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* Planificación

Inicio Desarrollo Cierre

Saludan y se ordenan. Establecen contrato didáctico con la

profesora. Conocen el objetivo de la clase

“Reconocer y construir bisectrices de un triángulo”.

Responden preguntas como: ¿Qué es un triángulo?, ¿Cuáles son sus elementos?, ¿Qué otros elementos recuerdan o conocen de él?, etc.

Comentan acerca de la palabra “bisectriz”, respondiendo preguntas como ¿Qué quiere decir “bi”?, ¿Qué se entiende por bisecar?, ¿Qué será la bisectriz de un ángulo?, ¿Qué será la bisectriz de un triángulo?, hasta llegar a la conclusión, que “bisectriz” se refiere a cortar o dividir un ángulo en dos partes (ángulos) congruentes.

Escuchan indicaciones para actividad a realizar.

Reciben un set de diversos triángulos en papel lustre.

Descubren las bisectrices de cada una de las figuras recibidas, utilizando los procedimientos que mejor estimen convenientes (pueden usar diversos instrumentos como regla, compás, trasportador, etc.).

Comparan sus trabajos con el del resto de sus compañeros.

Responden preguntas cómo ¿qué hicieron para encontrar la bisectriz?, ¿Usaron instrumentos, cuáles?, ¿Alguien hizo la bisectriz usando compás?, etc.

*Si algún alumno lo hizo usando

Revisan las respuestas de la guía. Comparan sus respuestas. Sintetizan lo visto en clases. Responden preguntas como ¿Qué es

una bisectriz?, ¿Cuántas bisectrices se pueden trazar en un triángulo?, ¿Cómo se llama el punto donde se intersectan las bisectrices?, ¿qué aprendimos hoy?, etc.

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compás se le pide que explique al resto de sus compañeros cómo lo hizo.

Determinan los pasos para construir la Bisectriz de un triángulo usando regla y compás.

Comentan acerca del punto de intersección de las bisectrices respondiendo preguntas como ¿Se intersectan las bisectrices, dónde?, ¿Cómo se llamará este punto?, llegando a determinar que aquel punto es el “incentro”.

Relacionan lo que han aprendido de la bisectriz con lo que sabían de altura, comentan acerca de coincidencias que se den entre altura y bisectriz en los triángulos, basándose en las figuras de papel recibidas.

Escuchan indicaciones para desarrollar guía de aprendizaje.

- Desarrollan guía de aprendizaje donde calculan la medida incógnita de algunos ángulos.- Construyen bisectrices de un triángulo usando regla y compás

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Análisis a Priori.

Al planificar la clase, decidirnos en que nivel y contenido trabajar, la elección fue NB5 (7º básico), con el contenido, construcción de alturas y bisectrices en diversos tipos de triángulos. Esto debido a que según la experiencia de una de las integrantes del grupo, es uno de los contenidos que más les dificulta a los niños, tanto en su construcción, como contenido como tal.

Ahora que están claros el objetivo y contenido a tratar, viene la tarea de planificar paso por paso las actividades a realizar, teniendo presente los tres momentos de la clase (inicio, desarrollo y cierre).

Para dar inicio a la clase lo primero que se pretende establecer es el “contrato didáctico”, como se trata de un 7º año básico, la idea es que sean los alumnos quienes propongan algunas normas o reglas a seguir, en caso de que estas no surjan, la profesora aportará algunas ideas.

En cuanto a conceptos, pueden surgir muchas consultas, referentes a “bisectriz”, “altura”, “incentro”, etc., por ende debemos ir bien preparadas para aclarar todo tipo de dudas.

Como se hará trabajo con papel lustre, se podría dar que los alumnos trabajaran con origamis, por ende se deben dejar bien claras las instrucciones desde el comienzo.

Luego, en cuanto a la construcción de bisectrices, podría suceder que no todos tengan compás, o que aún teniéndolo, no sepan usarlo… inconvenientes que se deben resolver para el logro de objetivos.

Como ya se trabajó a nivel concreto y gráfico, ahora la idea es ir a lo más abstracto. Para ello, se creó la guía de aprendizaje, donde se debe aplicar lo aprendido, y calcular la medida de algunos ángulos. Aquí los problemas podrían surgir, si no recuerdan bien algunos teoremas, o contenidos tratados con anterioridad. Por lo tanto según como se den las cosas, habrá que hacer los recordatorios necesarios.

Y para terminar, la idea es sintetizar lo visto en clases, y corregir si fuese necesario.

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Situación Didáctica.

Se pretenden generar varias instancias didácticas, como por ejemplo, llegar al

concepto de “bisectriz” a través de su significado etimológico.

La situación didáctica más fuerte que se pretende generar es al momento en que los

estudiantes deben encontrar la bisectriz de diversos triángulos, de la manera que ellos

estimen conveniente. Es decir, una vez que ya tienen claro el concepto, deben entonces

aplicarlo… los alumnos son libres de hacer y de usar los materiales que estimen

convenientes para lograr la misión. En caso de que no nazcan ideas, la profesora puede

guiarlos pidiéndoles que doblen un cuadrado de papel justo por la mitad, concluyendo que

formaron dos mitades iguales, entonces así los alumnos deduzcan, que se puede hacer lo

mismo en los triángulos para encontrar la bisectriz.

Así el hecho que sean ellos mismos quienes descubran como hallar la bisectriz del

ángulo interior de un triángulo, los convierte en creadores de su propio conocimiento, es

decir, nadie les dijo “esto se tiene que hacer así”.

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Guía de Ejercicios.

Objetivos:- Calcular la medida incógnita de algunos ángulos, por medio de la bisectriz- Construir las bisectrices de un triángulo con regla y compás y encontrar el Incentro.

1). El rayo OP es bisectriz del ángulo ∢AOB ¿Cuál es la medida del ángulo β, si α mide 23º?

2). ABC triángulo Isósceles. BD bisectriz. ¿Cuál es la medida del ángulo α?

3). ABC triángulo rectángulo. BP bisectriz. ¿Cuál es la medida del ángulo β?

4) Para el PBA se traza la bisectriz MB; si el ∢BPA= 70º; ∢BAP= 60º. ¿Cuál es la medida del ∢ABM?

5). Sabiendo que el TQP es equilátero. La medida del ∢ TQR, si RQ es la altura correspondiente:

6). Sean MZ y OE bisectrices del MEG. Si ∢GEM= 60º Y ∢EMG= 30º. ¿Cuál es la medida del ∢ MWO?

D

α

A B

C

65°

B

β23º

A

O

B

P

A

B C

Pβ

A

B

PM

TR

P

Q

α

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II. Construye las bisectrices del triángulo ABC con regla y compás.III. Indica el Incentro del triángulo ABC.

IV. Responde:

¿Qué es la bisectriz?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

¿Que es el Incentro?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

A B

C

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