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7/26/2019 Trabajo Integral de Duhamel
http://slidepdf.com/reader/full/trabajo-integral-de-duhamel 1/23
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE
GROHMANN – TACNA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL,
ARQUITECTURA Y GEOTÉCNIA
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGIENIERÍA
CIVIL
TRABAJO DE INVESTIGACION
CURSO : CALCULO NUMERICO
TEMA : RESPUESTA A
EXCITACIONES IMPULSIVAS
HACIENDO USO DE LA INTEGRAL
DE DUHAMEL
7/26/2019 Trabajo Integral de Duhamel
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DOCENTE : MS. LOZANO
ESTUDIANTES : MIGUEL ALONSO SIERRA
RIOS 2011 129027
JOAS ULQUIORRA MAMANI
2011 129004
FERNANDO ZUÑIGA QUISPE
2011 129019
ANDY FERNANDO HUAYTA
FLORES 2011 129032
TACNA-PERU
2012
INDICE
7/26/2019 Trabajo Integral de Duhamel
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OBJETIVOS 3
INTRODUCCION 4
RESUMEN 5
CONCEPTOS PREVIOS 6
MARCO TEORICO 9
DIAGRAMA DE FLUJO 16
CODIFICACION 17
CONCLUSIONES 21
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OBJETIVOS
1) Explicar el origen de la integral de duhamel, mediante métodos
numericos
2) Elaborar un programa usando métodos numéricos para poder calcular
el desplazamiento producido por fuerzas impulsivas.
3) Ampliar nuestro conocimiento como estudiantes de ingeniería civil, en
este caso dirigido hacia el curso de dinámica estructural.
4) Hacer conocer la utilidad y facilidad que nos puede otorgar el
programa a presentar que depende de la integral de duhamel.
INTRODUCCION
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Generalmente las estructuras se encuentran sometidas a fuerzas exteriores o
excitaciones , las cuales pueden ser producidas ya sea por temblores, terremotos,
fuertes vientos o incluso hasta por el paso de camiones cerca de estas
estructuras.
Estas excitaciones son excitaciones impulsivas, en el siguiente informe se buscara
conocer cuáles son los efectos que pueden tener las construcciones ante estas
vibraciones, en este caso encontraremos el desplazamiento producido por dichas
vibraciones.
Para calcular el desplazamiento fue necesario desarrollar métodos numéricos en
este caso se uso la regla de Simpson 1/3
RESUMEN
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el tema tratado en este informe es LA RESPUESTA A LA EXCITACIÓNIMPULSIVA APLICANDO LA IDENTIDAD DE DUHAMEL, esto se basa
básicamente a que en estructuras ocurren diversos sucesos que alteran su
permanencia entre ellos las fuerzas exteriores producidas natural o artificialmente.
Básicamente ablaremos en hallar el desplazamiento de estas vibraciones
aplicando la identidad de duhamel, dando el origen del mismo y como influye
realmente estas vibraciones en las estructuras, para ello tocaremos dos fases
importantes en poder hallar dicho desplazamiento; que son el sistema conamortiguamiento que consiste en mitigar una fuerza tratando de minorizar la
energía de la carga inicial y para ello usamos la integral de duhamel en función a
este sistema obteniendo una nueva ecuación; en el caso del sistema sinamortiguamiento es todo lo contrario, no puede disminuir una fuerza o mitigarla,
ya que tenemos una función desconocida y por tal usamos los métodos
numéricos, usando identidades trigonométricas obtenemos dos integrales que
luego agrupándolas nos genera una nueva ecuación en función a la integral de
duhamel y con ella nuestra solución.
finalmente en una posible grafica, introduciendo los datos iniciales en nuestro
programa podemos observar el desplazamiento de estas vibraciones ya sea por
diferentes métodos del punto medio, método del trapecio o método de Simpson;
en este caso usaremos el método de Simpson para nuestros cálculos posteriores.
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CONCEPTOS PREVIOS
AMORTIGUAMIENTOEl amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio
disminuya su amplitud con el tiempo, es decir se denomina amortiguamiento a la
capacidad de disipar energía. Como se demostrara con la solución de ecuaciones
que controlan la respuesta dinámica del sistema, hay casos en que las máximas
tensiones no dependen del amortiguamiento, mientras que en otros casos el
amortiguamiento juega un papel fundamental en la amplitud de la respuesta
dinámica.
Para una carga de corta duración (frente al periodo T de la estructura) y único
pulso como se indica en la figura anterior el amortiguamiento de la figura no incide
apreciablemente en la magnitud de la máxima respuesta, y con frecuencia no es
considerado para calcular el valor máximo de la respuesta. Por el contrario en el
caso de movimientos vibratorios sostenidos de tipo periódico de larga duración en
el tiempo( frente al periodo T) el amortiguamiento puede tener gran incidencia en
la magnitud de la respuesta dependiendo de la frecuencia de la excitación en
comparacion con la frecuencia natural del sistema. Para cargas de baja frecuencia
frente a la frecuencia natural, el amortiguamiento no afecta a la respuesta.
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Similarmente para cargas de alta frecuencia frente a la frecuencia natural, el
amortiguamiento tampoco incide en la amplitud de la respuesta. Por el contrario
cuando la frecuencia de la carga aplicada se encuentra en el entorno de 0.5 a 2
veces la frencia natural de la estructura, el amortiguamiento cumple un rol incisivo
en la amplitud de la respuesta especialmente cuando la frecuencia natural del
sistema y la excitación son muy próximas entre si( resonancia).
VIBRACIONES
El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las
fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad,
son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula
o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las
máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su
diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona
un aumento en los esfuerzos y tensiones.
Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una
posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la
acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un
lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo
necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se
llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define
la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de
equilibrio se denomina amplitud de vibración.
CARGAS O EXCITACIONES
Son fuerzas cuya magnitud, dirección o punto de aplicación puede variar en
función del tiempo, Existen 2 tipos de excitaciones:
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a) Excitaciones periodicas.- Son aquellas que se repiten por ciclos a lo largo
del tiempo.
Funcion periodica con amplitud Fo, repite todas sus características después
de un tiempo determinado llamado periodo.
b) Excitaciones No periodicas.- Se identifican según su duración como
cortas medianas y de larga duración.
Cargas de corta duración, se aplican en periodo de tiempos pequeños que
se denominan impulsos
IMPULSO
Una exitación de impulso es una fuerza aplicada durante un corto intervalo de
tiempo. Se define como el producto de la fuerza por el tiempo de su duración.
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MARCO TEORICO
EXCITACIÓN IMPULSIVA E INTEGRAL DE DUHAMEL
EXCITACIÓN IMPULSIVA
Una excitación impulsiva es una excitación aplicada durante un corto intervalo de
tiempo. El impulso correspondiente a este tipo de excitación se define como el
producto de la fuerza por el tiempo de su duración.
En la figura anterior el impulso de la fuerza F(t) en el instante t durante el intervalo
dt esta representado por el area sombreada y es igual a F(t )dt. Cuando este
impulso actua sobre un cuerpo de masa m produce un cambio de velocidad dv
que esta dado por la ley de movimiento de Newton:
Resolviendo para el cambio de velocidad nos da:
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Donde F(t) es el impulso y dv el incremento de velocidad. Este incremento puede
ser considerado como la velocidad inicial de la masa en el instante t.Consideremos ahora a este impulso F(t)dt actuando en la estructura representada
por el oscilador simple sin amortiguación, obteniendo
La función de excitación puede entonces considerarse como una serie de
impulsos cortos que se presenta a incrementos de tiempo dt. Por lo tanto podemos
concluir de que el desplazamiento total en el instante t debido a la acción continua
de la fuerza F(t) esta dado por la integral delos desplazamientos diferenciales dy(t)
desde el instante t=0 al instante t=t, esto es:
Para el caso sin amortiguación:
Y para el caso con amortiguación
Donde :
m= masa
t=tiempo
w=sqrt(k/m)= frecuencia circular del sistema
k= constante de elasticidad
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Y(t) = Desplazamiento ocasionado.
F(t) = Fuerza en función del tiempo.
Como observamos en ambos casos la manera de desarrollar será parecida, lo
único que hara la diferencia será el exponencial( en el caso del sistema con
amortiguamiento), siendo esta una integral con mayor grado de dificultad. Para
ambos casos aplicaremos la regla de Simpson con un cierto número de intervalos
de tiempo, para la cual a mas intervalos usemos más precisa será nuestra
respuesta.
INTEGRAL DE DUHAMEL
La integral de Duhamel es una de las técnicas mas usadas para análisis dinamico
lineal de estructuras sujetas a cargas variables en el tiempo. Como dicho
procedimiento se basa en el principio de superposición, es valido únicamente para
estructuras lineales, es decir para sistemas cuyas propiedades permanecen
constantes durante todo el proceso dinamico( masa, rigidez, etc.)
A continuacion haremos uso de la integral de duhamel para el caso con
amortiguación y sin amortiguación, utilizando la regla de Simpson 1/3
Sistema sin amortiguamiento
Una estructura sin amortiguamiento viene a ser aquella que no puede absorver,
mitigar, ni dispersar una fuerza, de forma que la carga inicial disminuya.
En muchos casos la función exitadora se conoce sólo por datos experimentales,
como es el caso de los registros de movimientos sísmicos. En tales situaciones la
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respuesta debe ser calculada por un método numerico y uno de los métodos de
cálculo numérico es la integral de Duhamel.
Introduciendo la identidad trogonométrica :
Usando esta identidad y suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, se
obtiene la integral de Duhamel de la ecuación (1) como:
………..(1)
Donde:
El cálculo de la integral de Duhamel requiere el cálculo numérico de las integrales
A(t) y B(t), en las cuales aplicaremos metodos numericos para asi reemplazar las
integrals por una suma de terminus a intervalos de tiempo .
( ) ( )cos( ) cos( ) ( ) sen t sen t t sen
( ) ( )cos
( )
A t sen t B t t
y t m
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En este caso para desarrollar dichas integralEs aplicaremos la regla de simpson
1/3
Considerando la integral de una función I():
La operación elemental en la regla de Simpson es:
Donde:
n=t/t, en la regla de Simpson debe ser par
La aplicación de esta regla es directa, pero los resultados son aproximados porque
se basan en la sustitución de la función I()por segmentos parabólicos en la regla
de Simpson.
Un método alternativo es obtener la solución analítica exacta de la integral de
Duhamel, suponiendo que la función está compuesta por segmentos lineales
sucesivos. Este método no introduce aproximaciones numéricas en la integración,
aparte de las inherentes al error de redondeo, por lo que se considera un método
exacto.
Se supone que la función de la fuerza exitadora F() puede ser representada
aproximadamente por una función de segmentos lineales, como se observa en la
figura inferior.
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Figura (I): Función exitadora representada por segmentos lineales
Con el fin de determinar la historia completa de la respuesta es más conveniente
expresar las integrales de la ecuación siguiente en forma incremental:
en forma incremental:
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Con estas nuevas ecuaciones podemos hallar los términos A y B haciendo que al
desarrollar toda la ecuación nos de una solución mas precisa.
Sistema con amortiguamiento
Un sistema es amortiguado cuando recibe, absorbe y mitiga una fuerza,
dispersándola o transformando energía de forma que la carga inicial se haya
minorizado. Entre mejor sea la amortiguación inicial, menor será la fuerza recibida
sobre un punto final.
En forma análoga al análisis del sistema amortiguado, obtendremos el
desplazamiento diferencial para un sistema con amortiguamiento.
Sustituyendo la fuerza impulsiva F()d que produce la velocidad inicial dv=F()d,
y t sustituido por (t- ) en la ecuación (*) que corresponde a la solución para un
sistema en vibración amortiguada.
Sumando los términos de las respuestas diferenciales, resulta:
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La respuesta de un sistema en función de la integral de Duhamel para el caso
amortiguado será:
Donde:
Para la función de segmentos lineales dada en la ecuación siguiente
Y luego sustituída en las ecuaciones
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Resulta:
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DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
F(i),m,k,vi:1,g
W=(k/m)^1/2
T(1,1)=0Ai(1,1)=0Bi(1,1)=0Ui(1,1)=0
i: 1,g-1
T(i+1,1)=T(i,1)+V
P=(h/3)*(F(i,1)*cos(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*cos(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*cos(w*T(i+1,1)))
h=V/2
Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P
Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q
U(i+1,1)=(Ai(i+1,1)*sin(w*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(w*T(i+1)))/(m*w)
Q=(h/3)*(F(i,1)*sin(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*sin(w*T(i+1,1)))
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FIN
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CODIFICACION
SIN AMORTIGUACION
F=str2num(get(handles.edit6, 'string'))
m=str2double(get(handles.edit1, 'string'))
k=str2double(get(handles.edit2, 'string'))
V=str2double(get(handles.edit5, 'string'))
w=sqrt(k/m)
g=length(F)
T(1,1)=0 Ai(1,1)=0Bi(1,1)=0Ui(1,1)=0
for i=1:g-1T(i+1,1)=T(i,1)+V;h=V/2;
P=(h/3)*(F(i,1)*cos(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*cos(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*cos(w*T(i+1,1)));
Q=(h/3)*(F(i,1)*sin(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*sin(w*T(i+1,1)));
Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P;
Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q;
U(i+1,1)=(Ai(i+1,1)*sin(w*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(w*T(i+1)))/(m*w)
end
set(handles.edit4,'string',U)
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CON AMORTIGUACION
F=str2num(get(handles.edit1,'string'));m=str2double(get(handles.edit5,'string'));k=str2double(get(handles.edit3,'string'));V=str2double(get(handles.edit4,'string'));am=str2double(get(handles.edit7,'string'));vi=str2num(get(handles.edit6,'string'))
w=sqrt(k/m);g=length(F);sig=am/(2*m*w);wd=w*sqrt(1-sig^2);
T(1,1)=vi(1)Ai(1,1)=vi(2)Bi(1,1)=vi(3)U(1,1)=vi(4)
for i=1:g-1T(i+1,1)=T(i,1)+V;h=V/2;
P=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*cos(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F
(i+1,1))/2)*cos(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*cos(wd*T(i+1,1)));
Q=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*sin(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*sin(wd*T(i+1,1)));
Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+PBi(i+1,1)=Bi(i,1)+QU(i+1,1)=((exp(-
sig*w*T(i+1,1)))*(Ai(i+1,1)*sin(wd*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(wd*T(i+1))))/(m*wd);end set(handles.edit2,'string',U)
% --- Executes on button press in pushbutton2. function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles)F=str2num(get(handles.edit1,'string'));
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m=str2double(get(handles.edit5,'string'));k=str2double(get(handles.edit3,'string'));V=str2double(get(handles.edit4,'string'));am=str2double(get(handles.edit7,'string'));vi=str2num(get(handles.edit6,'string'))
w=sqrt(k/m);g=length(F);sig=am/(2*m*w);wd=w*sqrt(1-sig^2);
T(1,1)=vi(1)Ai(1,1)=vi(2)Bi(1,1)=vi(3)U(1,1)=vi(4)
for i=1:g-1
T(i+1,1)=T(i,1)+V;h=V/2;
P=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*cos(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*cos(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*cos(wd*T(i+1,1)));
Q=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*sin(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)...
+exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*sin(wd*T(i+1,1)));Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+PBi(i+1,1)=Bi(i,1)+QU(i+1,1)=((exp(-
sig*w*T(i+1,1)))*(Ai(i+1,1)*sin(wd*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(wd*T(i+1))))/(m*wd);end x=F';y=U';z=T';axes(handles.axes1)
plot(y,x)grid on pan on ylabel('Fuerza')xlabel('desplazamiento')axes(handles.axes2)plot(z,y)grid on
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pan on ylabel('Desplazamiento')xlabel('tiempo')
% --- Executes on button press in pushbutton3. function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)set(handles.edit6,'string','');set(handles.edit1,'string','');set(handles.edit2,'string','');set(handles.edit5,'string','');set(handles.edit4,'string','');plot(0,0);axes(handles.axes1)plot(0,0);axes(handles.axes2)
CONCLUSIONES
1) Luego de haber concluido el presente trabajo, se pudo crear el programa
adecuado, el cual nos ayudo a calcular el desplazamiento producido por fuerzas
impulsivas, utilizando la regla de Simpson 1/3, con tan solo ingresar los datos
necesarios.
2) También se puede añadir que luego de haber desarrollado este trabajo de
investigación, se pudo ampliar nuestro conocimiento acerca del curso de dinámica
estructural, especialmente acerca de vibraciones impulsivas.
3) Se pudo conocer el funcionamiento de la integral de duhamel y básicamente su
uso, que nos permitio hallar el desplazamiento a las excitaciones impulsivas