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tRABAJOS PRÁCTICOS DE LÓGICA
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
1. a) Qué estudia la lógica como ciencia?b) Cuándo se dice que un argumento es válido?c) Cuál es la estructura de un argumento?d) Si en un argumento o razonamiento las premisas son verdaderas, ¿ se puede
decir que el argumento es válido?e) ¿Qué entiende por proposición?f) ¿ Que se entiende por “esquema formal” de un argumento?g) ¿Qué se entiende por el contenido semántico de un argumento? ¿El esquema
formal de un argumento tiene contenido semántico?h) ¿Cómo se puede saber si una proposición es verdadera?, ¿Se ocupa la lógica de
ello?, ¿Porqué?
2. Invente: a) un razonamiento no válido con premisas verdaderas, y b) un razonamiento válido con premisas falsas.
3. Exprese cuáles de las siguientes oraciones pueden considerarse como proposiciones y determine su valor de verdad:a) Copérnico descubrió la ley de la gravitación universalb) 7 es múltiplo de 2c) Al que madruga Dios le ayudad) El letrero decía: Los gatos negros traen mala suerte e) Allá viene el profesorf) Dice Euclides que por un punto exterior a una recta pueden pasar infinitas
paralelasg) ¿Hacia dónde vas?
4. Dadas las siguientes proposiciones:1) Platón dice que la corrección del esclavo deberá consistir en un castigo
físico.2) Tres es un número par.3) Epicuro dice que la amistad está enraizada en la naturaleza y que es un bien
común a todos los hombres.4) Tres divide a siete.5) Si los obreros trabajan el país progresa.6) Si el hombre de Santa Cruz quiere seguir viviendo en el futuro, debe integrar
naturaleza y cultura.a) Explicar si son atómicas o moleculares.b) Simbolizarlas en lenguaje lógico.c) Negarlas y determinar el valor de verdad de la negación.d) Traducir la negación a lenguaje ordinario.
5. Dadas las siguientes implicaciones:a) Se puede responder, si se puede plantear una cuestión.b) Luis recibirá su recompensa si no ha cambiado de parecer y va al lugar
indicado.c) Te daré un buen empleo si tienes un grado académico.d) Ingresarás en la universidad cuando apruebes el curso completo
A) Encuentre su antecedente y su consecuente,B) Simbolícelas en lenguaje lógico,C) Simbolice su CONTRARECÍPROCA y tradúzcala al lenguaje ordinario.
6. Dadas las siguientes proposiciones:p : El reloj está adelantado. q : Carlos llega temprano a clase.r : Carlos tiene gran aprovechamiento en sus estudios.
Traduzca al lenguaje común las siguientes fórmulas:i) p qii) pqiii) (q p) riv) (r q) p
7. Simbolice los siguientes enunciados y clasifíquelos según el conectivo principal:a) Si una sustancia orgánica se descompone, sus componentes se transforman en
abono y fertilizan el suelo.b) No todas las regiones de Bolivia tienen el mismo clima ni todas ellas tienen la
misma densidad de población.c) El miedo a los delatores impide que el pueblo manifieste sus ideas (Aristóteles)d) Si traicionas a tus amigos y no eres leal ni piadoso, entonces consigues imperio
y no consigues la gloria (Maquiavelo).e) Si en la república el pueblo en pleno detenta el poder soberano, se trata de una
democracia, y si el poder soberano está en manos de una parte del pueblo, se llama aristocracia (Montesquieu).
8. Clasifique las siguientes fórmulas proposicionales:a) (p q) pb) ~(p q) qc) [(p q) p] qd) [(p q) (p r)] (p r)e) ~(p q ~p ~q)f) {[(p q) (r s)] ~t} u (v w m)
9. Determine si las siguientes fórmulas son tautologías sin construir la tabla de verdad completa:a) p q pb) (p ~q) (p ~q)
10. Si la proposición (p v ~q) (~s p) es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a) (p q) sb) ~(~p q) (~s ~q) c) r (p s) ~q
11. Simplifique las siguientes proposiciones y clasifíquelas: a) ~p (p q)b) ~(p ~q) qc) (p q) (p q)d) [p (q ~p)] [(p ~r) r]
12. Pruebe que las siguientes proposiciones son equivalentes:a) p (q r) y p (~r q)b) ~(p q r) y ~r (~p q)c) ~p q y (p q) (~p ~q)d) p (p q) pe) ~(p q) ~p ~q
13. Dadas las siguientes premisas determine la conclusión justificando la regla de indicando utilizada:a) 1. Si las elecciones se anticipan, los nuevos partidos no podrán presentar
candidatos.2. Se anticipan las elecciones.
b) 1. Los ciegos pueden comprender la Geometría.2. Si fuera necesaria la visión para comprender la geometría, los ciegos no la comprenderían.
c) 1. La moral emplea un lenguaje prescriptivo o utiliza un lenguaje descriptivo.2. La moral no emplea un lenguaje descriptivo.
d) 1. La muestra está bien tomada o no lo está.2. Si la muestra está bien tomada, entonces la muestra ha sido recogida al azar.3. Si no lo está, entonces se ha consultado sólo a un estrato social.
14. Aplicando reglas de inferencia determine si las conclusiones son válidas; indique las reglas utilizadas.
a) Si sen x = 0,5 entonces x = π6
x = π6
Por lo tanto sen x = 0,5
b) Si el reloj está adelantado, llegaré temprano a clasesEl reloj no está adelantadoPor lo tanto, no llegaré a tiempo a clases
c) Él es muy inteligente o estudioso, pero el no es estudioso
Por lo tanto el es inteligente
d) Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajosLos precios son bajos o no hay control de preciosSi no hay control de precios, entonces hay inflaciónNo hay inflaciónPor tanto los salarios son bajos.
15. a) ¿Cómo puede demostrarse la validez de un argumento?b) ¿En qué consiste el método de reducción al absurdo?c) ¿Qué quiere decir “regla de premisas” y cuándo se utiliza?
16. Aplicando en cada caso el método de demostración más conveniente demuestre los siguientes argumentos.a) Demostrar que : p q
1. r s2. r ~t3. s u ~p4. ~t u
b) Demostrar que : ~p q1. r s2. r ~t3. s u ~p
4. ~t u
c) Demostrar que: s t1. ~(u ~r)2. q u3. r s 4. q s t s
d) Demostrar que: x y1. x = y y = z2. y = z y = a3. y = a y = 14. y 1
e) Demostrar que: Q R1. S ~T2. T3. ~S (Q R)
f) Demostrar que: x > 61. x > 5 (x = 6 x > 6)2. ~(x 5 x < 5) x > 5 3. x < 5 x 3 + 44. x = 3 + 4 x 6 5. x = 3 + 4 x 5
g) Demostrar que: y = x y > x 1. y < 6 y < x2. (y < 6 x = 5) y > x3. y < x
h) Demostrar que : ~T ~P1. ~S ~T2. ~R ~T3. ~S P4. ~P
i) Demostrar que: ~(P R) T1. Q P2. T S3. Q ~S
17. Muestre con un contraejemplo que ninguno de los siguientes argumentos es válido. Para ello asigne valores de verdad a las variables proposicionales p, q, r y s de modo que todas las premisas sean verdaderas (tengan el valor de verdad 1) y que la conclusión sea falsa (tenga el valor de verdad 0).a) [(p ~q) [p (q r)]] ~ rb) [[(p q) r] (~q r)] pc) p q
q rr ~s~s p---------s
d) p
p rp (q ~ r)~r ~s---------------s
18. Escriba cada uno de los siguientes argumentos en forma simbólica. Establezca después la validez del argumento o de un contraejemplo para mostrar que no es válido.a) Si Rosa María obtiene el puesto de supervisora y trabaja mucho, entonces
obtendrá un aumento. Si obtiene el aumento, entonces comprará un auto nuevo. Ella no ha adquirido un auto nuevo. Por lo tanto, Rosa María no ha obtenido el puesto de supervisora o no ha trabajado mucho.
b) Si Domingo va a la carrera de autos, entonces Elena se enojará. Si Rafael juega cartas toda la noche, entonces Carmen se enojará. Si Elena o Carmen se enojan, le avisarán a Verónica (su abogado). Verónica no ha tenido noticias de estas dos clientes. En consecuencia, ni Domingo fue a las carreras ni Rafael jugó cartas toda la noche.
c) Si Norma va a su reunión del martes por la mañana, entonces deberá levantarse muy temprano ese día. Si va al concierto de rock el lunes por la noche, entonces llegará a su casa después de las 11:00 p.m. Si Norma llega a su casa a esa hora y se levanta temprano al día siguiente, entonces tendrá que ir a trabajar después de dormir menos de siete horas. Por desgracia, Norma no puede trabajar con menos de siete horas de descanso. Norma no deberá ir al concierto de rock o deberá faltar a su reunión del martes por la mañana.
d) Si hay cierta probabilidad de lluvia o pierde su cinta roja para el cabello, entonces Loreto no cortará el césped. Siempre que la temperatura está por encima de los 32ºC, no hay probabilidad de lluvia. Hoy la temperatura es de 35ºC y Loreto está usando su cinta roja. Por lo tanto (en algún momento del día), Loreto cortará el césped.
______________________________________________19. Aplicación.-
Una red de conmutación está formada por cables e interruptores que conectan dos terminales T1 y T2. En dicha red cualquiera de los interruptores puede estar abierto (0), de modo que no pase corriente por él, o cerrado (1), de modo que la corriente pueda pasar por él. En la figura 2.2 (a), tenemos una red con un solo interruptor. Se representa como “p”.Cada una de las redes (b) y (c) tiene dos interruptores independientes entre sí.Para la red (b), la corriente fluye de T1 a T2 si cualquiera de los interruptores p, q está cerrado. Esto se llama una red en paralelo y se representa como “p q”.La red de la parte (c) necesita que cada uno de los interruptores p y q estén cerrados para que la corriente fluya de T1 a T2. En este caso, los interruptores están en serie y la red se representa como “p q”.
Fig 2.2
Los interruptores de la red no necesitan ser independientes entre sí. Consideremos la red de la figura 2.3. En este caso, los interruptores t y ~t no son independientes. Hemos acoplado los dos interruptores de modo que t esté abierto (cerrado) si y sólo si ~t está cerrado (abierto) en forma simultánea. Lo mismo ocurre con los interruptores q y ~q. (Tampoco los tres interruptores p son independientes).Esta red se representa mediante la siguiente proposición
(p q r) (p t ~q) (p ~t r). Por medio de las leyes de la lógica simplificamos esta proposición, que representa la red, de la manera siguiente:
(p q r) (p t ~q) (p ~t r) Razones p [(q r) (t ~q) (~t r)] .................... Ley distributiva de sobre p [(q r) (~t r) (t ~q)] .................... Ley conmutativa de p [((q ~t) r) (t ~q)] ......................... Ley distributiva de sobre p [((q ~t) r) (~~t ~q)] .....................Ley de la doble negación p [((q ~t) r) ~ (~t q)] ......................Ley de Morgan p [~ (~t q) ((~t q) r)] ......................Ley Conmutativa de (2 veces) p [(~ (~t q) (~t q)) (~ (~t q) r)] Ley distributiva de sobre p [F (~(~t q) r)] ..................................... ~s s F para cualquier propos. s p [(~ (~t q) r)] .................... ...........…........ F es el neutro para p [r ~ (~t q)] .................... ...............…….... Ley Conmutativa de p [r (t ~q)] .................... ..................……….. Ley de Morgan y de la doble
negaciónFig 2.3
Por lo tanto, (p q r) (p t ~q) (p ~t r) p [r (t ~q)], y la red que se muestra en la figura 2.3 (b) es equivalente a la red original, en el sentido de que la corriente fluye de T1 a T2 en la red (a) exactamente cuando se hace lo mismo en la red (b).Pero en (b), la red sólo tiene 4 interruptores, 5 menos que en la red (a).
20. Simplifique cada una de las redes que aparecen en la figura 2.4:
Fig 2.4
21. Escribir en lenguaje de la lógica proposicional:a) Me mojo si salgo de mi casa y llueve.b) Si salgo de mi casa y llueve, me mojo.c) El 2 no es solamente un número par, sino que también es primo.d) Además de múltiplo de tres, el 36 es divisible por 2 y cuadrado perfecto.
e) Si me levanto temprano y tomo el bus a tiempo, o si me levanto mas tarde pero tomo un taxi, podré ver la salida del sol desde las ruinas, o, si bajo hasta el fondo de la gruta, comprobar si los rayos del sol se reflejan en las aguas del río subterráneo y se ilumina todo el interior.
f) Cuando los obreros trabajen con esmero y sin necesidad de ningún control y los dueños se preocupen no solo de sus utilidades sino también del bienestar de sus operarios, podremos estar seguros de que la fábrica será todo un éxito y que si tiene precios competitivos podrá conquistar el mercado por su calidad, o de que se hizo todo lo posible por salvarla de la quiebra y evitar su remate.
g) Cuando los obreros trabajen con esmero y sin necesidad de ningún control, si los dueños no se preocupan solo de sus utilidades sino también del bienestar de sus operarios, podremos estar seguros de que la fábrica será todo un éxito y que si tiene precios competitivos podrá conquistar el mercado por su calidad, o de que se hizo todo lo posible por salvarla de la quiebra y evitar su remate.
h) Si todos pagan sus impuestos y cada uno paga según su capacidad, y las autoridades no se roban el dinero y no pagan sobreprecios para recibir coimas, se podrán hacer todas las obras de infraestructura necesarias o por lo menos se harán los trabajos mas importantes y todos estarán contentos y conformes.
i) Cuando todos paguen sus impuestos y cada uno pague según su capacidad, si las autoridades no se roban el dinero y no pagan sobreprecios para recibir coimas, se podrán hacer todas las obras de infraestructura necesarias o por lo menos se harán los trabajos mas importantes y todos quedarán contentos y conformes.
22. Determinar el valor de verdad de:a) √49+ 3√8=12 y 7+3≥11−2
23. Simbolizar: (Pero – a la vez que – sin embargo – además – aunque – no obstante : son “Y”) Trabaja todo el día pero nunca se cansa. El ceibo es alto a la vez que frondoso. Sabía bastante poco, sin embargo lo hizo bien. Además de porfiado no entiende de autos. El Illimani, además de frío es escarpado. Fue, aunque le dije que no fuera. No obstante ser buena alumna no dio buen examen. La Tierra es plana o redonda, pero tiene montes nevados. 21 es divisible por 3 y por 7, pero no por 5.
TRABAJO PRÁCTICO Nº2LÓGICA DE PREDICADOS
1. Analice la estructura interna de las siguientes proposiciones, clasificando los sujetos y predicados que aparecen en ellas: a) Los planetas giran alrededor del sol.b) Algunos animales no son furiosos.c) Todos hemos experimentado la amistad.d) Hay personas que reflexionan para escribir y otras que escriben para no
reflexionar.e) El carácter es la virtud de los tiempos difíciles.f) Algunos números enteros son menores que los números naturales.g) Hay enteros impares cuyo producto es impar.h) Ningún cetáceo tiene cola.
2. Simbolice las proposiciones del problema 1 utilizando el lenguaje de la lógica de predicados.
3. Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones:a) x B(x) S(x) B(x): ser boliviano S(x): ser sudamericanob) x y x R y R x + y = y + x
c) x x N x > 0
4. Transforme las siguientes funciones proposicionales en proposiciones cuantificando las variables.a) Si p(x): x>3; q(x): x > 3 ; r(x): x < -3 p(x) r(x) q(x)
b) r(x): 2x + 1 = 5 s(x): x2 = 9 r(x) s(x)
c) p(x): x es impar q(x): x2 – 1 es par p(x) ~q(x)
5. Transforme las funciones proposicionales del Problema 4 en proposiciones reemplazando las variables por constantes.
6. Determine el valor de verdad de las proposiciones de los problema 4. Y 5.
7. Considere la siguiente fórmula o proposición abierta: P(x, y): y – x = y + x2 , donde el universo U = Z
Determine el valor de verdad de las proposiciones que resultan al reemplazar en esa expresión los valores de las variables por lo siguiente:
a) P(0,0)b) P(0,1)c) P(1,1)d) P(0,3)e) y P(0,y)f) y: P(1,y)g) x, y P(x, y)h) x y: P(x, y)i) y x P(x, y)
8. Simbolice en lenguaje de la lógica de predicados cuando sea necesario, niegue y determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a) No existe un número real positivo mínimo.b) Existe un único número real positivo igual a su cuadrado.c) Todo número real positivo tiene un único inverso multiplicativod) x x N x > 0 .e) x: x Z x < 3 .f) x: x N [x < 2 x 1] .g) x y (x, y) R2 [x y x < y x > y]
9. Demostrar la validez de los siguientes razonamientos:
a) P(a) es Verdadero si1. x H(x) P(x)2. H(a)
b) Deducir que 3 > 0 , si:1. u u >1 u > 0 2. 3 > 1
c) Demostrar que 4 + 0 > 1 , si:1. x x = 4 x = 2 + 22. x x = 2 + 2 x > 13. 4 + 0 = 4
d) 1.x P(x) Q(x) 2. x Q(x) R(x) x P(x) R(x)
e) Determine si dadas las proposiciones P(x): 3x – 7 = 20; Q(x): 3x = 27 R(x): x = 9 , el argumento del apartado d) es válido x x R
f) 1. x: [P(x) q(x)]2. x: [(~P(x) q(x)) r(x)]
x: [~r(x) P(x)]
10. Para cada uno de los siguientes universos y pares de proposiciones, utilice la regla de premisas, así como los modus ponendo ponens (mpp) y tollendo tollens (mtt) para llenar la línea en blanco y obtener un argumento válido:
a) [El universo comprende todos los números reales]Todos los enteros son números racionalesEl número real p no es un número racional________________________________
b) [El universo comprende la población actual de Bolivia]Todos los bibliotecarios conocen el sistema de clasificación de la Biblioteca Nacional__________________________________Margarita conoce el sistema de clasificación de la Biblioteca Nacional
c) [El universo comprende la población actual de Bolivia]__________________________________Sandra es directora administrativa.Sandra sabe como delegar autoridad
d) [El universo consta de todos los cuadriláteros del plano]Todos los rectángulos tienen sus ángulos iguales________________________________El cuadrilátero MNPQ no es un rectángulo
e) [El universo comprende la población actual de Bolivia]Las personas conscientes de los riesgos del colesterol evitan comer hígadoGreta es una persona consciente de los riesgos del colesterol______________________________
11. Determine cuales de los siguientes argumentos son válidos y cuales no:a) Todos los ciudadanos respetuosos de la ley pagan sus impuestos. El Señor Pérez
paga sus impuestos. Por lo tanto, el señor Pérez es una persona que obedece la ley.
b) Ningún estudiante consciente deja sus tareas inconclusas. Antonieta no deja sus tareas inconclusas. Por lo tanto, Antonieta es una estudiante consciente.
c) Todos los empleados del Banco Unido deben saber Pascal. Todos los empleados del Banco Unido que se encargan de las solicitudes de crédito deben saber Excel. Roxana trabaja en el Banco Unido, pero no sabe usar Excel. Inés sabe Excel pero no Pascal. Por lo tanto, Roxana no se encarga de solicitudes de crédito e Inés no trabaja para el Banco Unido.
12. Qué diferencia existe entre la lógica proposicional y la lógica de predicados?
13. Qué es un cuantificador y cuáles conoce?
14. Qué diferencia existe entre un esquema o función proposicional y una proposición?
15. De qué formas puede transformar un esquema (función) proposicional en una proposición? Ponga ejemplos.
16. Enuncie las reglas de inferencia propias del cálculo de predicados.
17. ¿Cómo puede demostrarse que una proposición es falsa? Ponga un ejemplo.
18. Demuestre que:Para todos los enteros k y m, si k y m son pares entonces k + m es par.
19. Haga una demostración por reducción al absurdo para el siguiente argumento: ¨ Para cualquier entero n, si n2 es impar entonces n es impar ¨
20. Demuestre que no es válido el siguiente argumento: Si m, n son enteros positivos y m, n son cuadrados perfectos, entonces m + n es un cuadrado perfecto.
21. Determine si los siguientes argumentos son o no válidos:a) Algunos números enteros son números naturales.
Algunos números negativos son enteros.Por tanto, algunos números negativos son números naturales.
b) Todos los animales mamíferos son cuadrúpedos .Algunos mamíferos no tienen cola.Por tanto, existen cuadrúpedos que no tienen cola.
c) Todos los países sudamericanos son americanos.Todos los países americanos son de habla inglesa.Por tanto, todos los países sudamericanos son de habla inglesa.
d) Algunos conjuntos tienen cardinal infinito.Todos los conjuntos con cardinal infinito tienen subconjuntos finitos.Por tanto, todos los conjuntos tienen subconjuntos finitos.
e) Algunos automovilistas son motociclistas.Algunos motociclistas son aviadores.Por tanto, algunos automovilistas son aviadores.
f) Ningún número entero tiene decimales.El (–31) es un número entero.Por tanto, el (–31) no tiene decimales.
g) Todo número natural es un número entero.Cada número entero es un número racional.Los números racionales son números reales.El 4 es un número natural.Por lo tanto, el 4 es un número real.
h) Ningún flojo se levanta temprano.Nadie que no se levante temprano desayuna bien.Algunos estudiantes son flojos.Por lo tanto, algunos estudiantes no desayunan bien.
i) Cada número natural es un número entero.Todo número entero es un número racional.Los números racionales son números reales.El número no es un número racional.Por tanto, no es un número natural.
j) Los ciudadanos de Santa Cruz son bolivianos.Todo boliviano es latinoamericano.Miguel no es latinoamericano.Por tanto, Miguel no es cruceño.
k) Todos los alumnos de la UPSA deben ser bachilleres.Todos los alumnos de la UPSA que cursan cálculo deben saber álgebra.Luisa es alumna de la UPSA pero no sabe álgebra.Carlos sabe álgebra pero no es bachiller.Por tanto, Luisa no cursa cálculo y Carlos no es alumno de la UPSA.
TRABAJO PRÁCTICO Nº3INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1. Explique la diferencia que existe entre deducción e inducción.2. Enuncie el principio de inducción matemática .3. Demuestre lo siguiente mediante inducción matemática:
3.1 2 + 4 + 6 +....+ 2n = n (n + 1)
3.2 12 + 32 + 52 +....+ (2n - 1)2 = n(2n+1)(2n−1 )
3
3.3 2 + 5 + 8 +....+ (3n - 1) = n(3n+1)
23.4 1 + 2 + 22 +....+ 2n = 2n+1 – 1
3.5 12 + 23 + 34 +....+ n(n +1) = n(n+1 )(n+2)
3
3.6 a + ar + ar2 +....+ arn-1 = a(1−rn)
1−r r 13.7 1 + 2n < 3n (n 2)3.8 n < 2n (n > 1)
3.9 1 + 2 + 3 + ... + n < 18
(2n+1 )2
3.101
1⋅2+ 1
2⋅3+ 1
3⋅4+ .. .+ 1
n(n+1)= nn+1
3.11 8n<2n, si n≥6
3.12 8n<3n, si n≥3
4. Hallar la suma de los cien primeros números impares. Demostrar el resultado por inducción.
5. Después de transcurrir n meses en un experimento de invernadero, el número pn de plantas (de un cierto tipo) satisface las siguientes ecuaciones:p0=3 , p1=7 , pn=3 pn−1−2 pn−2 para n Z+, n 2Demuestre que pn=2n+2−1 n N
6. Demuestre que 6n – 2n es divisible entre 4.7. Demuestre que “ la Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo
cualquiera de n lados, es igual a π (n−2)”8. Utilizando la definición:
a1 = a; a2 = a1a; ... ; an+1 = an aDemostrar que a n a m = a n+ m
9. Un ahorrista abre una cuenta de ahorro con 5000 Bs. Le pagan un interés de 0,5% mensual. El ahorrista incorpora cada mes a su fondo los intereses ganados, a fin de que éstos a su vez generen nuevos intereses.Demuestre por inducción, que al cabo de n meses, tendrá en su cuenta de ahorro:
5000 1,005 n Bs.
TRABAJO PRÁCTICO Nº4
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
1. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B, y C de modo que tengan las características en cada inciso de los siguientes:a) AÌ C, A ¹ C, BÇ C = Æb) A Ì ( B Ç C ), B Ì C, C ¹ B , A ¹ Cc) A Ì B, C Ë B, AÇ C ¹Æ
2. Completar las siguientes afirmaciones insertando Ì , É ó nc ( no comparables) entre cada par de conjuntos, siendo A y B conjuntos arbitrarios.a) A....A- B b) A.....AÇ B c) AB = A si A....Bd) A.....AÈB e) A.....B - A f) AB = B si A...B
3. Usando la notación conjuntista escribir:a) A no es subconjunto de Bb) B es subconjunto de B y Cc) D es subconjunto de B o C.d) a es un elemento de Ce) b no es un elemento de T.
4. Dado A= { x/ xÎ Z, x¿ 2}, determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
1) -2 Ï A 2) Æ ÌA 3) ÆÌ {A} 4) 1Î A 5) 2Î A 6) {1}Ì A 7) 2Î {1,2} 8) AÌ {0,1,2,-1,-2} 9) {1,2,3}Ì A 10) AÌ {3} 11) AÎ Ã (A) 12) AÌÃ (A)
5. Defina por extensión los siguientes conjuntos: A= { x Î Z/ x2 < 2}
B= { x Î R/ xx2 = 2}
C = {xÎ Q/ (2x-1)(x2-3)=0} D= {x Î N/ 2x-3= -n+5 , nÎ N} E = { x Î N/ 3x-8¿ 4x¿ 5x+8}
F = {xÎ Q/ x =3n+12−5n , n<10, nÎ N}
6. Exprese en forma de intervalos y grafique en la recta real los siguientes conjuntos. A= {x/ xÎ R, -10< x < 8} B= {x/xÎ R, 1< x ¿ 10} C = {x/xÎ R, x > 5} D= {x/ xÎ R, -2 ¿ x ¿ 5} E = { x/ xÎ R, x< 5} E = {x/ xÎ R, 1 ¿ x < 10}
7. Sean U = R ; A= { x/ xÎ R, x2 =1} ; B= {-1, 4} Calcule: a) Ac b) Bc c) ( A ÈB)c d) (AÇ B)c
8. Sean los conjuntos: A= [ 1,6 ] , B=[−6,3 ] , C= [ 4,6 ] , D= [−3,6 ] , U = R,
Encuentre los siguientes conjuntos: a) (AÈB)c b) AÇ ( BÈC) c) (AÇ B)D ( CÇD) d) Ac Ç ( BÈD) e) ( Ac -B) - (Cc - D)
9. Dados los conjuntos U= { xÎ Z, -4 ¿ x ¿ 8}, M= { x: xÎ Z, x= 2-y Ù yÎ N Ùy<6} N= { x:xÎ Z, x= 3a-1 , aÎ Z, -2<a<3} ; P= { x:xÎ Z, x= 2p , pÎ N, -4 < p¿ 3} Calcular [MÇ (N−P )] c
10. Dados: A = { x/ xÎ Z, -3< x ¿ 5 } ; B= { x/ xÎ R, x³ 4} ; C= { x/ xÎ R, x¿ -2} Calcular: a) Ac Ç B b) ( AÈB)c c) A - B
11. Simplifique las siguientes expresiones conjuntistas utilizando las diferentes leyes y propiedades de la teoría de conjuntos: a) ( AÇB )C ÈB
b) AÈ(AcÇB)
c)( AÇBC )C ÈB
d) ( AÈB )È (AÇBC )
e)( AÈB )Ç (AC ÈB )
f) [ AÈ(BCÇC )]g) (AB)(ABC)(AB)
h) ( AÈB−C )Ç (B−C )Ç [(CÇB )È(CÇBC ) ]i) AÈB−[−C−( (AÇB )È (AÇBC)))]
12. Demostrar utilizando la lógica de clases, las siguientes propiedades conjuntistas:a) ( AC )C=A Involuciónb) ( A∪B )C=aC∩BC
Ley de de Morgan de Conjuntos
13. Hallar : U , A∩B , A∪B , A∩C , A∪C , B∩C , B∪C , AC , BC , CC .Si: A={x : x∈N∧−5≤x<9}
B={x : x∈Z∧−3≤x≤13∧x=2n ,n∈Z} C={x : x∈Z∧9<x≤14}
a) B∪[ (AC∪B )C∪AC ]b) [ ( AC∪B )∩(BC∪C )]C∪( AC∪C )
TRABAJO PRÁCTICO Nº5TEORÍA DE CONJUNTOS 2
1. De los siguientes términos, ¿cuáles no están definidos en la teoría de conjuntos? CONJUNTO CONJUNTO DISJUNTO SUBCONJUNTO DE ELEMENTO ES IGUAL A PERTENECE A
2. Explique qué es un subconjunto
3. ¿Tiene todo subconjunto un subconjunto propio?
4. ¿Cuándo dos conjuntos son disjuntos?
5. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B, y C de modo que tengan las características en cada inciso de los siguientes:a) AÌ C, A ¹ C, BÇ C = Æ
b) A Ì ( B Ç C ), B Ì C, C ¹ B , A ¹ Cc) A Ì B, C Ë B, AÇ C ¹Æ
6. Completar las siguientes afirmaciones insertando Ì , É ó nc ( no comparables) entre cada par de conjuntos, siendo A y B conjuntos arbitrarios.a) A....A- B b) A.....AÇ B c) AB = A si A....Bd) A.....AÈ B e) A.....B - A f) AB = B si A...B
7. Usando la notación conjuntista escribir:a) A no es subconjunto de Bb) B es subconjunto de B y Cc) D es subconjunto de B o C.d) a es un elemento de Ce) b no es un elemento de T.
8. Indicar qué conjunto es subconjunto de otro conjunto:a) A= {a,b, c, d, e} ; B= {b, c, d}
b) C= {x/ xÎ Z, 0 ¿ x¿ 3 } ; D= {x/ xÎ Z, 0 < x < 3 } c) E= {x/ x Î Z, 4 < x ¿ 8 } ; F= {x/ x Î Z, 0 ¿ x < 9}
d) G = { x/ x Î D, 1< x < 5} ( D= dígito) ; H= {x/ x Î Z, 2 ¿ x ¿ 4} e) I= {t, u, v,w} ; J= {t, x,u, v, w} ; K = {u,t,,w,v,u,w} ; L= {u, v}
9. Dado A= { x/ xÎ Z, x¿ 2}, determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
1) -2 Ï A 2) Æ ÌA 3) ÆÌ {A} 4) 1Î A 5) 2Î A 6) {1}Ì A 7) 2Î {1,2} 8) AÌ {0,1,2,-1,-2} 9) {1,2,3}Ì A 10) AÌ {3} 11) AÎ Ã (A) 12) AÌÃ (A)
10. Representar por Diagramas de Venn-Euler los siguientes conjuntos : a) A = {x,y,z} ; B = {a,b,c} b) U ={x/ xÎ D} ; A ={0,2,4,6,8} ; B={2,4,6} c) U ={x/ xÎ D} ; A={1,2,3,4} ; B={3,4,5,6} ; C={6,7,8}
Nota: D es el conjunto de los dígitos.
11. Expresar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos: A= El conjunto de números enteros múltiplos de 5, comprendidos entre -5 y 20 B= El conjunto del cuadrado de números naturales pares comprendidos entre 2 y 10 C= El conjunto de vocales de la palabra MURCIELAGO D= El conjunto de letras de la palabra PARALELEPIPEDO
12. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos: A = {0,3 ; 0,5 ; 0,7 ; 0,9} B = {-2, 2} C = { -5,-3,-1,1,3,5} D = { 4,6,9,13,18} E = {0,1,2,3,4} F = {.....-1,0,1,2....} G = {+, -, *, / }
13. a) Inventar 4 conjuntos finitos. b) Indicar 4 conjuntos infinitos.
14. Defina los siguientes conjuntos por extensión. A = {x/ xÎ D, 0¿ x < 4} B = {x/ x Î N, x es par, 3<x<7} C = {x/ xÎ Z, 2x-5=0} D = {x/ xÎ Z, (x-2)(x-5)(x-7)=0} E = { x/xÎ D, x es múltiplo de 3}
15. Defina por extensión los siguientes conjuntos: A= { x Î Z/ x2 < 2}
B= { x Î R/ xx2 = 2}
C = {xÎ Q/ (2x-1)(x2-3)=0} D= {x Î N/ 2x-3= -n+5 , nÎ N} E = { x Î N/ 3x-8¿ 4x¿ 5x+8}
F = {xÎ Q/ x =3n+12−5n , n<10, nÎ N}
16. Indicar cuáles de los siguientes conjuntos son iguales entre si: A={1,a} ; B={0,1,0,a,0} ; C= {a,1} ; D= { a,1,a} F={-1,-a}; G={0,1,a} ; H={1,1,1,a} ; I={1,a,0}
17. Determine si los siguientes conjuntos son o no iguales: A= {1,2} , B={ x/xÎ N, x2 -3x +2= 0} A= {-1,0,1} , B={ x/xÎ Z, x <2} A = {1,2,3,4}, B={x/xÎ Z, x<5}
18. ¿ Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos? A= {x/ xÎ R, 5 < x < 6} B= {x/xÎ N, 5< x < 6 } C={ x/ xÎ Z, -8< x < 9} D={x/xÎ N, -8 < x < 0}
19. Inventar 5 conjuntos vacíos.
20. Indicar si son Verdaderas (V) ó Falsas (F) las siguientes proposiciones: Æ= {0} Æ={ } Æ Ì A Æ Î U Æ= 0 Æ={Æ} Æ Î A Æ Ì U
21. a) ¿Qué podemos afirmar de un conjunto, si este es vacío? b) ¿Qué significa que un conjunto A sea diferente de un conjunto vacío ( A¹ Æ )?
22. Exprese en forma de intervalos y grafique en la recta real los siguientes conjuntos. A= {x/ xÎ R, -10< x < 8} B= {x/xÎ R, 1< x ¿ 10}
C = {x/xÎ R, x > 5} D= {x/ xÎ R, -2 ¿ x ¿ 5} E = { x/ xÎ R, x< 5} E = {x/ xÎ R, 1 ¿ x < 10}
23. Sean U = R ; A= { x/ xÎ R, x2 =1} ; B= {-1, 4} Calcule: a) Ac b) Bc c) ( A È B)c d) (AÇ B)c
24. Sean los conjuntos: A= [ 1,6 ] , B=[−6,3 ] , C= [ 4,6 ] , D= [−3,6 ] , U = R, Encuentre los siguientes conjuntos: a) (AÈ B)c b) AÇ ( BÈ C) c) (AÇ B)D ( CÇ D) d) Ac Ç ( BÈD ) e) ( Ac -B) - (Cc - D)
25. Dados los conjuntos U= { xÎ Z, -4 ¿ x ¿ 8}, M= { x: xÎ Z, x= 2-y Ù yÎ N Ù y<6} N= { x:xÎ Z, x= 3a-1 , aÎ Z, -2<a<3} ; P= { x:xÎ Z, x= 2p , pÎ N, -4 < p¿ 3} Calcular [MÇ (N−P )] c
26. Dados: A = { x/ xÎ Z, -3< x ¿ 5 } ; B= { x/ xÎ R, x³ 4} ; C= { x/ xÎ R, x¿ -2} Calcular: a) Ac Ç B b) ( AÈ B)c c) A - B
27. Sean los siguientes intervalos: A=[ 2,3 ] , B= [ 4,6 ] , C= [−1,3[ , D= ]−2,2[ , U= AÈBÈCÈD . Encuentre: a) ( Ac - Bc) È(C−D ) ; b) (CÈB
C )Ç(BCÈD )
28. Dadas los conjuntos siguientes, efectuar las operaciones indicadas: U= { 0,1,2,3,4,5,6,7} , A= { 0,1,3,4} , B= { 1,2,4,6} , C= {3,4,5,6,7} a) (ADB )Ç (ADC ) b) (AÇB )D( AÇC ) c)(A-B)D( A−C )
d) (AÈB)D( AÇC ) e) ((A-B)-C)D ((C-B)-A) f)(AÈBÈC )D( AÇBÇC )
29. Responda si es verdadero o falso:
w z y
x u
v
a) yÎ (AÇB) b) xÎ (BÈC ) c) wÎ (BÇC ) d) uÏ Ce) xÎ (AÇBÇC ) f) yÎ (AÈBÈC ) g) xÎ (AÇB ) h) vÎ (BÇC )
30. Indicar la operación que representa el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn.
31. Sea X un conjunto. A subconjunto de X. à (x) el conjunto potencia de X y ¶ una subfamilia de à (x). Sea x un elemento de X. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles Falsas. 1) A 2) X A 3) X à (x) 4) ¶ à (x)5) A ¶ 6) x à (x) 7) x à (x)
32. Indicar si las Proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) y el porqué:
A A A P (A) {A} P (A) F;F;VA A {A} A {0} = V;F;F
A P(A) {A−
} P(A) A V;F;F
33. Determinar el Conjunto Potencia de los siguientes Conjuntos: A={3} B={a,b} C={1,{1}} D = {a,e,i,o,u} E={} F={a,{ }} F={1,3,5,7} G={2,4,6,4,2}
34. Simplifique las siguientes expresiones conjuntistas utilizando las diferentes leyes y propiedades de la teoría de conjuntos: a) ( AÇB )C ÈB
b) AÈ(AcÇB )
c)( AÇBC )C ÈB
d) ( AÈB)È (AÇBC )
e)( AÈB )Ç (AC ÈB )
f) [ AÈ(BCÇC )]g) (AB)(ABC)(AB)
h) ( AÈB−C )Ç (B−C )Ç [(CÇB )È(CÇBC ) ]i) AÈB−[−C−( (AÇB )È (AÇBC)) )]
35. Considérense los siguientes conjuntos: O: Conjunto de los obreros (de una cierta fábrica) A: Conjunto de los obreros ejemplares B: Conjunto de los obreros que estudian C: Conjunto de los obreros calificados
36. Transcriba al lenguaje de la teoría de conjuntos las siguientes expresiones: a) El conjunto de los obreros ejemplares que son calificados b) El conjunto de los obreros ejemplares c) El conjunto de los obreros que estudian o que son ejemplares d) El conjunto de los obreros que son calificados e) El conjunto de los obreros calificados que no son obreros ejemplares
37. Considérense los siguientes conjuntos: U:={empleados de la empresa} P={empleados con estudios profesionales} C={empleados casados} O={empleados originarios de la capital}
38. Representar en un diagrama de Venn y mediante las operaciones con conjuntosa) Empleados casados con estudios profesionales y originarios de la capitalb) Empleados casados con estudios profesionalesc) Empleados casados, con estudios profesionales y que no son originarios de la capitald) Empleados solterose) Empleados sin estudios profesionales, solteros y originarios de la capitalf) Empleados con estudios profesionales o casados
TRABAJO PRÁCTICO Nº 6FUNCIONES
1. Determinar si son funciones, Si A = B = para todas
a) f 1= {(x1 y )x+ y=1}
b) f 2= {(x1 y )x+ y2=1}c) f 3={(x1 y )x=1}d) f 4={ (x1 y )y=3}
e) f 5={(x1 y )y2 x+2 xy=1}2. Dadas las siguientes Reglas de Asignación, determinar si son funciones:
a) x2+ y2=1 b) 4 y2=5−x
c) 2 x2+3 y2=6 d) xy2=1
e) y= 6
x f) x+ y=9
g) y+x2=2 h) y=−√x2−9 i) y =+√x j) yx
2+x+1+ y=0
k) x= 3
y2
3. Calcular el dominio y el dominio de imagen, si f :
1) y= 2
x 2) y= 3
x+1
3) y= x
2 x+3 4) y= x+3
x2−4 x+5
5) y= x26) y= x
15
6) y= 2
x2−16 7) f ( x )= x−2
2 x2−5x+2
7) y= x1
2 8) y= 1
√x2−1
9) y= 2x2−1 10) y= (x2−4 )2
3
11) y= √ x+2 12) y= √4−2 x
13) y= √ x2−1 14) y= √1−x2
15) y= 1
√2−x 16) y=x1
3
17) y= (x+1 )3
2 18) y=x+1
19) y=x220)
y= 1x
21) y=3√x 22) y=x2+1
23) y=x2
3+1 24) y= x+1
x
4. Determinar si son inyectivas:
a) f 1= {( x ,a ) , ( y ,b ) , ( z , c ) } b) f 2= {(m,n ) , ( p , n ) }
c) f 3={( x , y )y=x+1 } , x∈ IR d) f 4= {( x , y ) y=2 }
e) y= 6x f) y+x2=7
5. Determinar si son sobreyectivas:
1) f : A → B , A= {x,y,z }, B= {a ,b , c }
f= {( x , a ) , ( y ,b ) , ( z , c ) }
2) f : A → B, A= {m,n } , B= {n,p,q } f= {(m ,n ) , ( p ,n ) }
3) f : A → B, A=B=lR
f 1= {( x , y ) y=x+1 } f 2= {( x , y ) y=2 }
f 3={( x , y ) y=x2 }
4) f A → B, A=lR, B=reales positivos
f={ (x , y ) y=x2}6. Determinar cuáles de las funciones anteriores son biyectivas.
7. Evaluar las funciones donde se especifica:
1) Dada f ( x )=3 x+5 calc: f (0 ) , f (2 ) , f(−12) , f (a ) , f (a+b ) , f (2x ) , f (2x2−3)
2) Dada f ( x )= 3x2−2x+5 calc: f (a ) , f (2 ) , f (x2) , f (x+y ) , f (x+h ) , f ( x)
x, f
(x2)x2 - f ( x )
x - f (1 )
3) Dada f ( x )=x calc: f ( x )
x + f ( y )
y + f ( z )
z
4) f ( x )=5 calc: f (1 ) , f (a ) , f (x2 )
5) f ( x )= x+3
x−2 calc: f (1 ) , f (-2 ) , f (-3 ) , f (a ) , f (2x+3 )
6) f ( x )= { 2x2 si x < -1
2 si -1 ≤ x < 1 3x-2 si x ≥ 1 calcular: f(2), f(0), f(-1/3), f(-5)
7) f ( x )= x - 1
x calc: f (1 ) , f (2 ) , f (a )
8. Graficar:
1) y= x22) y= x2+1
3) y= 2x2−1 4) y= 2 - 2x2
6) y= x2 +2x-4 7) y= x2−4
x−2
8) y= x3+1 9) y=√x-5
10) y= - √x+3 11) y=√3-x2
12) y=√x2−1 13)
y= {-1 si x< -1 x si -1≤ x≤ 11 si x > 1
14) y={x+1 si x ≠ -1
2 si x= -1
9. Algebra de funciones: Dadas:
1) f ( x )=x2−1 g ( x )=x+1calcular : f+g, f-g, f⋅g, f/g
2)
f ( x )=1x
, g ( x )=2 x−1
calcular : f+g, f-g, f⋅g, f/g
10. Función compuesta: Calcular ( f ∘g ) ( x ) , (g ∘ f ) ( x ) , ( f ∘ f ) ( x ) , (g∘g ) ( x ) , y dar Df, Dg, Dfg, Dgf, Dff, Dgg para:
1) f ( x )= 2x+1 ; g ( x )= x+3
2) f ( x )= x2 ; g ( x )= 1
x
3) f ( x )=√x-1 ; g ( x )= x2
4) f ( x )= x2−4 ; g ( x )=√x
11. Inversa: Determinar, si existe, la función inversa:
1) A={1,2,3,4 } , B= {2,4,6 } , R1={(a , b )b es el doble de a }
2) A={1,2,3 } , B= {a,b,c} , f= {(1,a ) , (2 , b ) , (3 , a ) }
3) A={2,4,6 } , B= {-1,-2,-3 } , f= {(2,-1 ) , ( 4,-2) , (6,-3 ) }
4) A = B = lR
4.1.) f 1= {( x , y ) y=2 x }
4.2.) f 2= {( x , y ) y=3 x−1}
4.3.) f 3=
3x-1x+2
4.4.) f 4=√ x-1
4.5.) f 5=√x2−1
12. OTROS/ TEORÍA.
1. Gráficamente ¿cúal es la condición para que una relación sea función?
2. ¿Qué condición debe cumplir una función “f” para que su inversa sea función?
3. ¿Existe alguna restricción para que dadas las funciones “f” y “g” la compuesta g o f exista?
4. Sea f: A→B, con A y B finitos ¿Puede f ser función sobreyectiva si B tiene más elementos que A? (Justifique).
5. ¿Puede “f” ser inyectiva si A tiene más elementos que B? Justifique.
6. En cada inciso determine si la relación dada es función. (analíticamente)
a) R={( x , y )/ y= 2x−2 }⊂RxR .
b) R={( x , y )/ y=√x }⊂RxR .
7. ¿Cuál de las tres siguientes funciones crece más rápidamente?. (Mostrar las tres en una sola gráfica)
a) f(x)=2x b) g(x)=x2 c) h(x)=2x
8. Dadas f(x)= 5-x y g(x) = 2x cuyos dominios son respectivamente:{−2 ,−1 ,0 ,1 ,2 ,3 } y {−2 ,−1,0 ,1 ,2 }
a) Escribir “f” y “g” como un conjunto de pares ordenadosb) Determinar los elementos del rango de f y g.
9. Dados A={1,2,3 } y B={0,1,2,3,8 } definir por extensión la función f A→B, que asigna a cada elemento del dominio su cuadrado disminuído en 1 (uno).
10. Dadas las siguientes funciones verificar si son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
a) f: R→R x→x3-x
b) f: R→R
x→x2+1c) f: [ 3,6 ] → [5,7 ]
x→x+2
11. En los siguientes incisos, decir si la función es inyectiva o no (justifique)
a) A cada persona que vive en la tierra asignarle el número de sus años.b) A todo libro escrito por un solo autor, asignarle el autor.
12 Sean las funciones: f={( x , y )∈R2/ y=2 x−5} y g={( x , y )∈R2/ y=3 x+k }; Determine “k” de modo que: (f o g)(x) = (g o f)(x)
13 Si f: R→R g: R→R h: R→R s: ]0 ,∞[→Rx→x3 x→2x+1 x→x+3 x→Ln xCalcular:
a) (g o f)(x)=b) (s o h)(x)=c) (f o s)(x)=
14 Calcular el dominio y la imagen de:
f={( x , y )/ y=√25−(x+2 )2−1} g= {( x , y )/ y=√4−x+2 }
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7
PROGRESIONES
1. Según el valor de la diferencia (razón), ¿cuántos tipos de progresiones aritméticas existen?
2. Demostrar que la media aritmética entre dos términos equidistantes de los extremos
en una P.A. es x= a+b
2 (a y b primero y último términos).3. ¿A qué es igual la suma de los extremos en una progresión aritmética con un número
impar de términos?
4. Sabiendo que la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia
32 es
1052 y que el primer término es 5, hallar el número de términos y último término.
5. Calcular la suma de:a) Los 100 primeros números impares.b) Los “n” primeros números impares positivos.
6. La suma de los términos cuarto y séptimo de una progresión aritmética es 39, y la de los términos quinto y décimo es 59. Hallar el término vigésimo primero.
7. La población de una ciudad está disminuyendo a una tasa de 500 habitantes por año. Si su población a principios de 1990 era de 200.135. ¿Cuál será su población a principios del 2000?
8. Encuentre la fórmula de n-ésimo término de cada progresión geométrica.a) 2, 6, 18, 54b) 1, √2 , 2, 2√2
9. Calcular el término indicado en cada progresión geométrica.
a) a1=
12 , r = 2, an = 32 n = ?
b) y, y3, y5 .................. a20 = ?c) ab2, a2b5, a3b8, ....... a25 = ?
10. Cierto cultivo bacteriano crece duplicando la cantidad de bacterias cada día. Al finalizar el primer día hay 1000 bacterias. a) ¿Cuántas habrá después de 10 días?, b) ¿Cuántas después de “n” días?
11. Calcular la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica:
xy;−1; y
x; . .. .. .
12. Encuentre tres números que estén en progresión aritmética y sumen 24, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 770.
13. En un huerto hay 35 filas de árboles frutales, y en cada fila hay cinco árboles más que en la anterior. Sabiendo que en la séptima fila hay 37 árboles, calcular los árboles que hay en la primera fila, en la última fila y el total de árboles.
14. En una progresión geométrica Un = 2 . 3n ; ¿A partir de qué valor para “n” , la suma de sus términos es
Sn >118090 ?.
15. ¿Cuánto cuesta perforar un pozo de 15m de profundidad si se paga $us. 800.- por el
primer metro, y por cada uno de los demás metros se paga
85 del valor del metro
anterior?
16. Calcular el valor de “x” para que los términos x+3, 4x-2 y 7x+2 estén en progresión geométrica.
TRABAJO PRÁCTICO Nº 8COMBINATORIA
1. Enumere todos los posibles ordenamientos de las tres letras a, b y c.2. Si una moneda se arroja cuatro veces, enumere todas las posibles sucesiones de
caras (C) y sellos (S).3. Si se lanza un dado rojo y uno negro, enumere los resultados posibles.4. Si se lanza una moneda y luego se lanza un dado, enumere los resultados posibles.5. Una cafetería ofrece 8 ensaladas, 6 entradas, 4 verduras y 3 postres. ¿Cuántas
comidas diferentes son posibles si se selecciona una muestra de cada categoría?6. Si una placa tiene 3 letras seguidas de 3 dígitos, ¿cuántas placas son posibles si la
primera letra no puede ser 0 ni 1?7. ¿De cuántas maneras puede colocarse en fila una familia de 4 personas para
tomarse una foto?8. Como parte de una jornada para recaudar fondos, a un voluntario se le dan 5
nombres para entrevistar. ¿En cuántos órdenes diferentes puede el voluntario realizar su tarea?
9. Un jugador de scrabble tiene las siguientes 7 letras: A, T, E, L, M, Q, F.a) ¿Cuántas palabras diferentes de 7 letras se pueden considerar?b) ¿Cuántas palabras diferentes de 5 letras?
10. En una clase de 24 estudiantes, se hacen elecciones para presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llenarse los cargos?
11. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden escoger 4 hierbas de 8 disponibles para hacer una mezcla?
12. Una compañía de teatro tiene un repertorio que consiste en 8 parodias dramáticas, 6 comedias y 4 números musicales. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un programa que conste de una parodia dramática seguida de una comedia o de un número musical?
13. Si 8 equipos entran en un torneo de fútbol, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden decidir el primero, segundo y tercer puestos, suponiendo que no se permiten empates?
14. Tres parejas han reservado asientos en una fila del teatro. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar:a) Si no hay restricciones?b) Si cada pareja quiere sentarse junta?c) Si las 3 mujeres y los 3 hombres quieren sentarse juntos en 2 grupos?
15. Una caja contiene 24 bolas para árbol de Navidad, 4 de las cuales están defectuosas. ¿De cuántas maneras se pueden escoger 4 bolas de modo que:a) Las 4 estén defectuosas?b) Las 4 estén buenas?c) Haya 2 buenas y 2 defectuosas?d) Haya 3 buenas y 1 defectuosa?
16. De la ciudad A a la ciudad B hay 4 caminos diferentes y de la ciudad B a la ciudad C hay 3 caminos diferentes. De cuántas maneras se podrá ir de A a C?
17. En una pared están clavadas 4 perchas. De cuántas maneras diferentes se pueden colgar de ellas 3 chaquetas, una en cada percha?
18. De cuántas maneras pueden sentarse 2 peruanos, 3 argentinos y 4 bolivianos alrededor de una mesa circular si, a) No hay restricciones,b) Los de la misma nacionalidad deben estar juntos?
19. a) De cuántas maneras pueden ordenarse las letras en la palabra MAMPARA?b) Cuántas disposiciones del inciso a) tienen las tres A juntas?
20. Hallar cuántos números comprendidos entre 2000 y 7000, con todos sus dígitos distintos, se pueden formar con los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8?, Cuántos de estos números son pares?
21. De una urna que contiene 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas, se extraen 5 bolas al azar. De cuántas maneras se pueden obtener:a) 2 blancas, 1 negra y 2 rojas.b) 3 blancas, c) por lo menos 3 blancas,d) a lo mucho 2 rojas?
BINOMIO DE NEWTON
22. Hallar el onceavo término del desarrollo de: (x− 1√ x )
14
23. Hallar el término independiente del desarrollo de: (√ x+ 13 x2 )
10
24. hallar el término central del desarrollo de: (4√2 x√3
−4√3
√2 x )16
TRABAJO PRÁCTICO Nº 9
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1. Si A={m, r } y B={1, 2, 3 }:
a) ¿Cuántos elementos tiene A×B?b) Escribe entre llaves todos esos elementos.c) Representa A×B en un diagrama cartesiano.
2. Si A={1, 3, 5 } y B= {a, b, c } :
a) ¿Son iguales los conjuntos A×B y B× A?b) Escribe un subconjunto de A×B que tenga tres elementos, y otro subconjunto de
B× A .c) Representa en diagramas cartesianos A×B y B× A .
3. Dado el conjunto A= {a, e, i, o, u}:a) Representa en diagrama cartesiano el conjunto A2.b) Escribe los elementos de la diagonal principal.c) Señala cuatro elementos simétricos.
4. La correspondencia f que asigna a cada Departamento de Bolivia sus provincias, ¿es una aplicación? ¿Por qué?
5. Si A = { 1, -1, 0 }, ¿es una ley de composición interna la correspondencia f definida como:
A×A→A(a ,b )→a⋅b
El signo simboliza la multiplicación de los números.
6. Dada la ley de composición interna definida por la tabla de la figura, realiza las siguientes operaciones:
p 2;m 0;
m 0 3 m p 20 m;
(p 0) p;3 2 0 3 m p
p (0 p);
[(3 m) m] (2 3);0 p 2 0 3 m
[(0 2) (3 m)] [(0 3) (p m)];
[(3 m) (0 2)] p.2 m p 2 0 3
p 3 m p 2 0
p 2 0 3 m
7. En el conjunto N de los números naturales se define una ley de composición interna por la aplicación:
¿ :N×N →N(a ,b )→2a+b+2
Realiza las operaciones siguientes:a) 2 1; 1 2; 3 20;b) 2 (1 3); (2 1) 3: (10 12) (13 8) .
8. Escribe tres ejemplos para comprobar cada una de las siguientes proposiciones:a) La adición de números racionales es asociativa.b) La sustracción de números naturales no es una operación en N.c) La multiplicación de números enteros es conmutativa.d) La intersección de conjuntos es asociativa.e) La multiplicación de números enteros es distributiva respecto de la adición.f) La adición de números enteros no es distributiva respecto de la multiplicación.
9. En el conjunto N se considera la ley a * b = 2a + b.a) ¿Es ley de composición interna?b) ¿Es conmutativa?c) ¿Es asociativa?d) ¿Tiene elemento neutro?e) ¿Tiene elemento simétrico?
10. ¿Por qué el par (N, +) no es un grupo?
11. Sea A = {0, 1, -1} y la multiplicación ordinaria.a) Forma la tabla de la operación.b) El par (A, ), ¿es semigrupo? ¿es grupo?
12. En el conjunto M = {m, n, p} se da la ley , definida por la tabla adjunta:
a) ¿Es ley conmutativa? p n p m b) ¿Es asociativa?
n m n p c) ¿Tiene elemento neutro?
m p m n d) ¿Tiene elemento simétrico?
e) ¿Qué estructura representa el par (M, )? m n p
13. Si Z es el conjunto de los números enteros y se define en el la ley * por la fórmula a * b = a + b + 1
a) Calcula 1 * 4; 5 * (3 * 1); (2 * 3) * (6 * 4).b) ¿Es ley asociativa?c) ¿Cuál es elemento neutro?d) ¿Cuál es el elemento simétrico de 5, de 9, de -3?e) ¿Tiene la ley elemento simétrico?f) ¿Cuál es la estructura de (Z, *)?g) ¿Es grupo abeliano?
14. Sea el conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} con la operación *, definida por la tabla adjunta:
a) Comprueba, con cuatro ejemplos, que la
6 6 5 4 3 2 1 Operación * es asociativa.
b) ¿Es conmutativa?5 5 4 6 2 1 3
c) ¿Tiene elemento neutro?
d) ¿Tiene elemento simétrico?4 4 6 5 1 3 2
e) ¿Qué estructura representa el par (M, *)?
f) ¿Cuál es el simétrico de 2, de 3, de 2 * 3? 3 3 1 2 6 4 5g) Hallar de dos maneras diferentes el elemento
simétrico de 5 * 2. 2 2 3 1 5 6 4
1 1 2 3 4 5 6
* 1 2 3 4 5 6
15. Comprueba que el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} tiene estructura de cuerpo conmutativo con las dos operaciones * y , definidas en las siguientes tablas:
6 6 0 1 2 3 4 5 6 0 6 5 4 3 2 1
5 5 6 0 1 2 3 4 5 0 5 3 1 6 4 2
4 4 5 6 0 1 2 3 4 0 4 1 5 2 6 3
3 3 4 5 6 0 1 2 3 0 3 6 2 5 1 4
2 2 3 4 5 6 0 1 2 0 2 4 6 1 3 5
1 1 2 3 4 5 6 0 1 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0
* 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
