Trabajo Unefa

7/26/2019 Trabajo Unefa

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y

x1

1

-1

-1

1

Para integrales de lneahttps://www.youtube.com/watch?v=jsuHv9!yoo

P"#$%!&'( )! *!#"!&' )! +"!!,

!,-,')# )!% *!#"!&'

Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea 0(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funcionescoordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a la regin Dacotada por C. Entonces

+==

CD C

QdyPdxdAy

P

x

QdrF

P"#$%!&'( "!(-!%*#(

!) Transformacin de una integral de lnea en una de rea. Evaluar +C

xydxdxx4 , donde Ces la curva triangular que une los puntos

(";"), (";!) y (!;"), orientada positivamente.

S#$%&'

$a gr*fica indica la regin encerrada por la curva C.+enemos

y

x

QxyyxQ

y

PxyxP

=

=

=

=

);(

0);( 4

or lo tanto

( )

( )6

11

1

1

0

3

61

21

0 21

1

0

1

0

1

0

1

0

2

214

==

==

==

=+

x

dxxdxyydydxdAy

P

x

Qxydxdxx

D

x x

C

tese que si -ubiramos -ec-o la integral de l/nea -abr/amos tenido que -acer 0 integrales con las correspondientes parametrizaciones.

1) Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. 2etermine el *rea de la regin limitada por la -ipocicloide que tiene la ecuacinvectorial

r(t) = cos0ti 3 sen0tj , " t 1

S#$%&'

2e la parametrizacin de la curva tenemos

x= cos0tx140= cos1ty= sen0ty140= sen1t

Sumando miembro a miembro tenemos

( )( )

( )( )

+

====+

1

1

2/33/21

1

1

1

2/33/23/23/2 1211

2/33/2

2/33/2dxxdydxAxyyx

x

x

x

y

1

1

y = 1 -x
https://www.youtube.com/watch?v=jsuHv92Eyoohttps://www.youtube.com/watch?v=jsuHv92Eyoo


2/7

2

Este c*lculo, e5ecutado como integral de *rea, es muy complicado. El teorema de 6reen nos permite transformar esta integral en una de l/nea,usando como trayectoria la -ipocicloide del enunciado y definiendo una funcin apropiada para la integracin. 7eamos

El *rea de una regin D viene dada por =D

dAA 1 . or lo tanto, para aplicar 6reen deber/amos encontrar funciones P, Q /

1=

y

P

x

Q. %n par de funciones sencillas que cumplen esta condicin son P= ", Q=x. Si recordamos la parametrizacin, escribimos

x= cos0tdx= 80 cos1t sent dty= sen0tdy= 0 sen1t cost dt

$uego

8

3

6

2sen

8

4sen2cos2sen

2

4cos1

)2cos2sen2(sen4

2sen

2

2cos13

4

2sencos3

sencos3cossen3cos

2

0

3

21

83

2

0

2

83

2

0

22

83

2

0

22

0

22

2

0

242

0

23

=

+=

+=

=+=

+==

===+=

=

tttdttt

t

dttttdttt

dtt

t

tdtttdtttQdyPdxdAy

P

x

QA

CD

2e esta manera contamos con una -erramienta m*s para obtener el *rea de la regin encerrada por una curva cerrada, que se suma almtodo en coordenadas polares visto en 9n*lisis '' y al c*lculo por integral de *rea que e5ecutamos cuando tenemos la e:presin cartesiana dela curva.

0)Alicacin del teorema de !reen a un ro"lema fsico so"re una regin con agu#eros. 2eterminar el momento de inercia de una arandela-omognea de radio interno a,radio e:terno "y masa $,respecto a uno de sus di*metros.

S#$%&'

2eterminaremos el momento de inercia respecto al di*metro colineal con el e5e x. 2e/sica sabemos que

=D

x dAyI 2

2onde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es-omognea.

Esta regin no es simplemente cone:a pero, como se vio en la teor/a, se puedee:tender el teorema de 6reen a este tipo de regiones con agu5eros, siendo

++= D C CQdyPdxQdyPdxdA

yP

xQ

1 2

or lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. ara ello debemos encontrar funciones P, Qtalesque

3

312 ;0:ejemplopor, tomamos; yPQy

y

P

x

Q===

9plicando 6reen con esta funcin tenemos

+=

++==

2121

3

313

313

313

312 00

CCCCD

x dxydxydydxydydxydAyI (!)

arametrizando estas curvas tenemos

y

xa b

C2

C1


3/7

3

==

==

==

==

20,cossen

sencos

20,cossen

sencos

2

1

ttadytay

tadxtaxC

ttbdytby

tbdxtbxC

8? el f/sico lo tengo yo o@AAAAA

-ttps44BBB.youtube.com4Batc-Cv=p0!ing++D@

P"#$%!&'( )!*!#"!&' )! (*#1!(

!,-,')# )!% *!#"!&' )! (*#1!(

Sea %una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva Csuave a trozos, cerrada y simple, cuya orientacin es positiva. Sea 0un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta en "0que contiene a %. Entonces

== SSC dSFdSFdrF rot

roblema !-ttps44BBB.youtube.com4Batc-Cv='&E-vvvnF%

roblema 1

&erificacin del Teorema de %to'es. 7erificar el teorema de Sto@es para elcampo vectorial 0(x;y;() = 0yi 3 >(j 8 Gx2y la parte de la superficieparaboloidal(= D 8 x1 8 y1ubicada sobre el planoxyy orientada -aciaarriba.

S#$%&'

Clculo como integral de lnea) $a curva C es en este caso unacircunferencia de radio 0 centrada en el origen sobre el plano xy.odemos parametrizarla como

3 y

z

xC

S

3

9
https://www.youtube.com/watch?v=p31ingNTT9khttps://www.youtube.com/watch?v=IKCEhvvvnQUhttps://www.youtube.com/watch?v=p31ingNTT9khttps://www.youtube.com/watch?v=IKCEhvvvnQU


4/7

4

20,

0

sen3

cos3

===

z

y

x

&on esta parametrizacin tenemos

0() = Dseni 3 "j!Hcos2

rI() = 0seni3 0cosj3 "2

rI() = 1Jsen1

272

2sen

2

2cos127sen27)()(

2

0

227

2

0

2

0

22

0

=

=

=

=== dddC rFdrF

Clculo como integral de suerficie rimero evaluamos el rotacional.

kji

kji

Frot 364

643

+=

=

xzyzyx

9-ora parametrizamos la superficie del paraboloide. ara eso observamos que su proyeccin sobre el plano xyes un c/rculo de radio 0 concentro en el origen. arece lgico usar una parametrizacin basada en coordenadas cil/ndricas

2030,

9

sen

cos

);(2

==

=r

rz

ry

rx

rr

El producto vectorial fundamental ser*

kji

kji

rr sen2cos2

0cossen

2sencos 22 rrr

rr

rr ++=

=

7emos que la componente(de este vector es positiva. or lo tanto la parametrizacin describe a una superficie con orientacin positiva.

%sando entonces esta parametrizacin, tenemos

272

3

)3sen12cos8()(rotrot

2

0

3

0

2

2

0

3

0

22

=

=+==

r

drdrrrdrdD

r

S

rrFdSF

$legamos al mismo valor que cuando lo -icimos como integral de l/nea, verificando de esa manera el teorema de Sto@es.


5/7

5

0) Transformacin de una integral de suerficie en otra ms sencilla usando el Teorema de %to'es. %tilice el teorema de Sto@es para evaluar laintegral del rotacional del campo vectorial 0(x;y;() =xy(i3xyj3x1y(2sobre el dominio %consistente en la unin de la parte superior y de lascuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vrtices (!; !; !), orientado -acia afuera.

S#$%&'

$a geometr/a descrita en el enunciado est*

representada en la figura. Se requiere calcular el flu5ode rot 0a travs de todas las caras del cubo menosla de aba5o. #bservemos que esa regin deintegracin est* limitada por la curva orientadaindicada en la figura; llammosla C. ($a orientacindada se corresponde con normales con lacomponente ( mayor o igual que ", que es lonecesario para que las normales apunten -acia ele:terior del cubo.) El teorema de Sto@es nos aseguraque

=CS

drFdSF)( ,

lo cual en s/ no implica una simplificacin demasiadosignificativa, dado que en lugar de tener queparametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flu5o deberemos parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral del/nea.

Sin embargo, notemos que la curva Ctambin delimita la superficie de la base del cubo, a la cual llamaremos %*. uesto que el teorema deSto@es nos asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flu5o de su rotacional sobre cual+uier superficielimitada por ella, tenemos que

dSFdrFdSF == )()(SCS

con lo cual podemos integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base. arametrizando esta Kltima tenemos, pues

*(x;y) = (x(x;y);y(x;y);((x;y)) = (x;y;8!), 8! x !, 8! y! (!)

y su producto vectorial fundamental es

k

kji

TTN ===010

001yx

otemos que esta normal apunta -acia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derec-a.

or otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por

kjikji

kji

F )()()()2(22

2

(1)param!laporreemp!

xyxyxxzyxyzxyzx

yzxxyxyz

zyx++=++=

=

or lo tanto la integral que buscamos ser*

==+==1

1

1

1

2

0)())(( dxdyxydSxyxyxdSSSS

kkjiNFdSF

En este problema vemos que el teorema de Sto@es permite no slo transformar una integral de superficie en una de l/nea, sino tambinconvertirla en otra integral de superficie de c*lculo m*s sencillo. $a seleccin de una u otra de estas opciones depender* del problemaparticular.

z

1 "y

x

1

1


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6

roblema >0)Alicacin al conceto de circulacin de un camo. &alcular la circulacin del campo de velocidades de un fluido 0(x;y;() = (tan8!(x1); 0x; e0(

tan() a lo largo de la interseccin de la esferax13y13(1= > con el cilindrox13y1=!, con(L ".

(#%-3,

$a circulacin de un campo es su integral a lo largo de una l/nea cerrada.


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7

0)Alicacin al conceto de circulacin de un camo.&alcular la circulacin del campo de velocidades de un fluido 0(x;y;() = (tan8!(x1); 0x; e0(tan() a lo largo de la interseccin de la esferax13y13(1= > con el cilindrox13y1=!, con(L ".

S#$%&'

$a circulacin de un campo es su integral a lo largo de una l/nea cerrada.

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