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Trabajo y energía
Prof. Jesús Hernández TrujilloFacultad de Química, UNAM
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 1/10
Definición de trabajo
• En mecánica clásica, se define el trabajo, W , queefectúa una fuerza sobre un sistema.
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 2/10
Definición de trabajo
• En mecánica clásica, se define el trabajo, W , queefectúa una fuerza sobre un sistema.
• El caso más simple: una fuerza constante queactúa sobre un objeto que se mueve en unadimensión:
F̄
θ
xx1 x2
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 2/10
Definición de trabajo
• En mecánica clásica, se define el trabajo, W , queefectúa una fuerza sobre un sistema.
• El caso más simple: una fuerza constante queactúa sobre un objeto que se mueve en unadimensión:
F̄
θ
xx1 x2
W = F cos θ ∆x
donde
F = ||F̄ ||: magnitud de F̄
∆x = x2−x1: desplazamiento
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 2/10
Definición de trabajo
• En mecánica clásica, se define el trabajo, W , queefectúa una fuerza sobre un sistema.
• El caso más simple: una fuerza constante queactúa sobre un objeto que se mueve en unadimensión:
F̄
θ
xx1 x2
W = F cos θ ∆x
donde
F = ||F̄ ||: magnitud de F̄
∆x = x2−x1: desplazamiento
signo realizado:W < 0 : por el sistemaW > 0 : sobre el sistema
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 2/10
Cuando la fuerza es variable:
dW = F (x) cos θdx
Al integrar entre x1 y x2:
W =
∫ x2
x1
F (x) cos θdx
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 3/10
En dos dimensiones y bajo una fuerza variable F̄ (x, y):
F̄
θ
drx
z
A
B
σ
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 4/10
En dos dimensiones y bajo una fuerza variable F̄ (x, y):
F̄
θ
drx
z
A
B
σElementodiferencial de arco:
dW = F cos θdr = F̄ · dr̄
donde
dr̄ = (dx, dy)
=
(
dx
dt,dy
dt
)
dt = v̄(t) dt
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 4/10
En dos dimensiones y bajo una fuerza variable F̄ (x, y):
F̄
θ
drx
z
A
B
σElementodiferencial de arco:
dW = F cos θdr = F̄ · dr̄
donde
dr̄ = (dx, dy)
=
(
dx
dt,dy
dt
)
dt = v̄(t) dt
Al integrar entre A y B a lo largo de σ:
W =
∫
σ
dW =
∫
σ
F̄ · dr̄ =
∫ tB
tA
F̄ · v(t) dt
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 4/10
El trabajo realizado de A a B a lo largo de σ1 no tieneque ser igual al realizado de A a B sobre σ2:
A
B
y
x
σ1
σ2
(W1 =∫
σ1F̄ · dr̄) 6= (W2 =
∫
σ2F̄ · dr̄)
W depende de la trayectoria
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 5/10
Por lo tanto, el trabajo realizado a lo largo de latrayectoria cerrada σ+
1 ∪ σ−
2 es:
A
B
y
x
σ+
1
σ−2
W =
∮
dW =
∫
σ+1
dW +
∫
σ−
2
dW
=
∫
σ+1
dW −
∫
σ+2
dW = W1 − W2 6= 0
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 5/10
Teorema del trabajo y la energía
El trabajo entre los puntos A y B sobre la trayectoria σ
es
W =
∫
σ
F̄ · dr̄
y por la segunda ley de Newton:
F̄ = mdv̄
dr
se obtiene
W =
∫
σ
mdv̄
dt· dr̄ = m
∫ B
A
[
dv̄
dt· v̄
]
dt = m
∫ B
A
1
2
d[v̄ · v̄]
dtdt
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 6/10
• Por lo tanto:
W =m
2v2
∣
∣
B
A=
mv2B
2−
mv2A
2
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 7/10
• Por lo tanto:
W =m
2v2
∣
∣
B
A=
mv2B
2−
mv2A
2
• Definición de energía cinética:
Ec =mv2
2
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 7/10
• Por lo tanto:
W =m
2v2
∣
∣
B
A=
mv2B
2−
mv2A
2
• Definición de energía cinética:
Ec =mv2
2
• Teorema del trabajo y la energía
W = Ec,B − Ec,A = ∆Ec
Se cumple en 1, 2 o 3 dimensiones
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 7/10
Fuerzas conservativas
• En una dimensión:
F (x) = −dV (x)
dx
V (x) es una función de la energía potencial
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Fuerzas conservativas
• En una dimensión:
F (x) = −dV (x)
dx
V (x) es una función de la energía potencial
• En dos dimensiones:
F (x, y) = −∇V (x, y) = −
(
∂V
∂x,∂V
∂y
)
En este caso:
dW = −∇V · dr̄ = −
(
∂V
∂x,∂V
∂y
)
· (dx, dy)
= −∂V
∂xdx −
∂V
∂ydy = −dV
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 8/10
• Es decir, cuando las fuerzas que actúan sobre unsistema son conservativas, la diferencial deltrabajo es una diferencial exacta:
W =
∫
σ
dW = −
∫ B
A
dV = −(VB − VA) = −∆V
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 9/10
• Es decir, cuando las fuerzas que actúan sobre unsistema son conservativas, la diferencial deltrabajo es una diferencial exacta:
W =
∫
σ
dW = −
∫ B
A
dV = −(VB − VA) = −∆V
• Al usar el teorema del trabajo y la energía:
W = ∆Ec = −∆V
o bienEc,A + VA = Ec,B + VB
La energía mecánica de un sistema conservativono cambia en el tiempo
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 9/10
• El caso general es aquél donde las fuerzas no sonconservativas (e.g. fuerzas de fricción)
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 10/10
• El caso general es aquél donde las fuerzas no sonconservativas (e.g. fuerzas de fricción)
• En tal situación, dW no es una diferencial exacta
Notación: d−W
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 10/10
• El caso general es aquél donde las fuerzas no sonconservativas (e.g. fuerzas de fricción)
• En tal situación, dW no es una diferencial exacta
Notación: d−W
• Resumen
caso integral de A a B integral cíclicadW es exacta indep. de la trayectoria cero
d−W es inexacta dep. de la trayectoria diferente de cero
Trabajo y energ’ia/J. Hdez. T– p. 10/10
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