Traitement de Signal

Support de cours : traitement du signa

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A) INTRODUCTION................................................................................................................. 2 I) Objectif du cours ............................................................................................................................................................... 2 II) Quelques dfinitions........................................................................................................................................................ 2 III) La chane de linformation ........................................................................................................................................... 3 IV) Les principales fonctions du traitement du signal.................................................................................................... 4

Elaboration des signaux................................................................................................................................................... 4 Identification des signaux............................................................................................................................................... 4

E) Les systmes numriques ............................................................................................................................................... 4 B) LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES ...................................................... 5

I) Reprsentation des signaux............................................................................................................................................. 5 Modlisation des signaux................................................................................................................................................ 5

II) Classification des signaux.............................................................................................................................................. 6 Reprsentation temporelle des signaux......................................................................................................................... 6 Classification nergtique............................................................................................................................................... 7 Classification spectrale .................................................................................................................................................... 8

III) Les signaux numriques................................................................................................................................................ 8 IV) Analyse de Fourier......................................................................................................................................................... 9

Srie de Fourier................................................................................................................................................................. 9 Gnralisation ................................................................................................................................................................. 11 Reprsentation bilatrale ............................................................................................................................................... 12 La transforme de Fourier............................................................................................................................................. 13 Proprits de la transforme de Fourier...................................................................................................................... 14

V) Systme de transmission.............................................................................................................................................. 15 Dfinition ......................................................................................................................................................................... 15 Proprits des systmes de transmission : SLIT ....................................................................................................... 16

VI) Filtres et Convolution.................................................................................................................................................. 17 Dfinition ......................................................................................................................................................................... 17 Proprits de la convolution : ....................................................................................................................................... 18 Thorme de Plancherel :.............................................................................................................................................. 18

VII) Introduction la notion de corrlation.................................................................................................................... 18 Puissance et nergie des signaux................................................................................................................................. 18 Corrlation et densit spectrale .................................................................................................................................... 19

VIII) Filtrage des signaux analogiques............................................................................................................................ 20 IX) Filtrage frquentiel....................................................................................................................................................... 22

Thorme fondamental des filtres ............................................................................................................................... 22 Filtres ralisables ............................................................................................................................................................ 23

X) La modulation ................................................................................................................................................................ 23 Transmission par modulation ....................................................................................................................................... 24 Les diffrentes formes de modulation......................................................................................................................... 24

XI) Le bruit........................................................................................................................................................................... 26 Sources de bruit .............................................................................................................................................................. 26 Dtection d'un signal noy dans le bruit ..................................................................................................................... 28

C) Le traitement numrique du signal...................................................................................... 30 I ) L'chantillonnage........................................................................................................................................................... 30 II ) Echantillonnage idal................................................................................................................................................... 33 III ) Restitution du signal initial partir de l'chantillonn ......................................................................................... 34 IV ) Effet de repliement du spectre.................................................................................................................................. 35 V ) Transforme de Fourier Discrte............................................................................................................................... 36

Dfinition ......................................................................................................................................................................... 37 VI ) Convolution et corrlation numriques................................................................................................................... 38

a) Convolution discrte.................................................................................................................................................. 38 b) Corrlation discrte ................................................................................................................................................... 39

VII ) Notions de filtrage numrique................................................................................................................................. 39 a) Introduction................................................................................................................................................................. 39 b) Transformation en z................................................................................................................................................. 40 c) Synthse des filtres numriques par la fonction de transfert.............................................................................. 41 d) Transformation d'Euler ou quivalence de la drivation .................................................................................... 42

VIII) Bibliographie ................................................................................................................... 43

Support de cours : traitement du signal, ES3, 2006-2007

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A) INTRODUCTION

I) Objectif du cours Le traitement du signal peut tre peru comme faisant partie de la culture gnrale dun ingnieur mais en tant que spcialiste de la mesure, le gomtre est amen traiter diffrentes observations issues de divers domaines comme la topomtrie, la photogrammtrie et la tldtection. Il sagit de matriser les notions et les outils de base du traitement du signal et de les appliquer un cas concret qui est celui de ltalonnage des distancemtres. Dans une premire partie, le cours sarticule autour de lanalyse de Fourier des signaux analogiques en introduisant les concepts de convolution, de corrlation, de modulation et de filtrage. Ces notions seront reprises brivement dans la seconde partie consacre au traitement numrique des signaux. Cette seconde partie aborde galement le dlicat problme de lchantillonnage avec le thorme de Shannon et introduit la transforme de Fourier discrte. Au cours de travaux dirigs, les tudiants se familiariseront aux concepts du traitement numrique du signal en laborant et en traitant leurs propres signaux laide doutils informatiques. Ensuite deux exemples concrets leur seront donns tudier, lun portant sur le traitement de donnes GPS, en particulier la composante verticale, pour trouver le spectre de la mare Brest quils pourront comparer celui diffus sur le site dIFREMER et lautre exemple ddi au traitement des mesures de distances effectues au cours dun talonnage dun distancemtre onde continue module.

II) Quelques dfinitions Le Signal est la reprsentation physique de linformation quil transporte de sa source son destinataire. Il sert de vecteur une information. Il constitue une manifestation physique dune grandeur mesurable (courant, tension, force, temprature, pression.) quil transporte de sa source son destinataire. Les signaux considrs dans ce cours sont des signaux dpendants du temps obtenus laide de capteurs. Le traitement du signal sapplique tous les signaux physiques. Le traitement dimage peut tre considr comme une extension du traitement du signal deux dimensions. Tout ce qui nest pas Signal est Bruit. Cest donc une notion relative. Il est dfinit comme tout phnomne perturbateur qui gne la perception ou linterprtation dun signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interfrences, bruit de fond). La thorie du signal a pour objectif fondamental la description mathmatique des signaux. Cette reprsentation du signal permet de mettre en vidence ces principales caractristiques (distribution frquentielle, nergie) et danalyser les modifications subies lors de la transmission et du traitement de ces signaux. Le traitement du signal fera donc appel des notions mathmatiques et physiques en sappuyant sur les ressources de linformatique, de llectronique et de la physique applique. Le traitement de linformation fournit un ensemble de concepts permettant dvaluer les performances des systmes de transfert dinformations en particulier lorsque le signal est bruit. Cela inclut les mthodes de codage de linformation , de la confidentialit cryptage .


3

III) La chane de linformation Elle met en relation un systme physique qui dlivre un message et un autre systme physique qui doit recevoir et exploiter cette information. Pour illustrer la chane de linformation on pourra utiliser lexemple de la parole (signal) pour exprimer une ide (information)

Information (ide)

Cration du signal (codage, modulation..)

(cration des sons laide des cordes vocales)

Transmission du signal (ligne lectrique, onde..)

(propagation du son)

Rcepteur (dtection, dcodage,

dmodulation..) (oreille, cerveau)

Information (ide)

exploitation

Bruit

Bruit

Bruit

Traitement du signal

Traitement de linformation et du signal

Traitement du signal et de linformation


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IV) Les principales fonctions du traitement du signal Elles peuvent se diviser en deux catgories :

Elaboration des signaux

* Synthse : cration des signaux de formes appropries en procdant par exemple une combinaison de signaux simples. * Modulation, changement de frquence : moyen permettant dadapter un signal aux caractristiques frquentielles dune voie de transmission. Ex : Distancemtre onde module, Signaux GPS * codage : traduction en code binaire (quantification)

Identification des signaux * filtrage : limination de certaines composantes indsirables

* dtection : extraction du signal dun bruit de fond (corrlation) * identification : classement dun signal dans des catgories pralablement

dfinies. * analyse : isolement des composantes utiles dun signal de forme complexe

(Analyse de Fourier). * mesure : estimation dune grandeur caractristique dun signal avec un

certain degr de confiance (valeur moyenne, cart type..)

E) Les systmes numriques

information Processus physique Capteur

Signal analogique

chantillonneur

Signal analogique chantillonn

Convertisseur analogique - numrique Systme de contrle

(ordinateur)

Convertisseur numrique - analogique

Signal numrique

Actionneur

Signal Analogique


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Le numrique prsente un grand nombre davantages par rapport un contrle de processus par un systme analogique : * reproductibilit des systmes * stabilit : pas de drive en temps et en temprature * adaptabilit et souplesse demploi (modification du programme) * fiabilit * rapidit : jusqu 10 MHz en temps rel.

B) LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES

I) Reprsentation des signaux

Modlisation des signaux Un signal exprimental est une grandeur physique relle et doit donc tre physiquement ralisable. Les signaux physiques reprsents par une fonction du temps s(t) possdent les caractristiques suivantes : Energie borne Amplitude borne Continue temporellement Causal ( s(t) =0 pour t < 0 ) Spectre du signal born

Sur le plan thorique, les signaux sont reprsents par des fonctions A nergie thorique infinie Avec des discontinuits (signal carr) Dfinies sur R , signaux non causaux A spectre infini A valeurs complexes : s(t) = Aejwt. Cest une reprsentation sous forme dune fonction harmonique damplitude complexe A et de pulsation Fpw 2= o F reprsente la frquence du signal.

Signal(t)

Temps t

Support born

S(t) borne


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II) Classification des signaux Diffrents modes de classement peuvent tre envisags :

* reprsentation temporelle * reprsentation frquentielle * caractristique nergtique * caractristique morphologique : continu - discret

Reprsentation temporelle des signaux Il y a deux types fondamentaux : Le signal certain (dterministe), dont lvolution peut tre parfaitement dcrite par un modle mathmatique. Connaissant les lois physiques qui les rgissent et les conditions initiales, on est en mesure de dterminer le rsultat. Les signaux priodiques font partie de cette catgorie. Le signal alatoire dont le comportement temporel est imprvisible. On se contente dapprciations statistiques pour estimer son comportement (ex : variable alatoire gaussienne). Le bruit en fait partie.

Un signal est stationnaire si sa valeur moyenne est indpendante du temps. Un signal est ergodique sil est identique de faire une moyenne statistique un instant donn sur diffrents essais ou de faire une moyenne temporelle suffisamment longue sur un seul essai.

Signaux Physiques

Signaux dterministes

Signaux alatoires

priodiques Non priodiques

stationnaires Non stationnaires

ergodiques Non ergodiques sinusoidaux complexes


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Classification nergtique Par analogie avec la puissance instantane fournie une rsistance :

P(t) =u(t) i(t)

Lnergie dissipe sur un intervalle Dt : D=2

1)(

1 tt

dttPt

W

La puissance moyenne sur lintervalle Dt : t

WP t D

=D

Par extension, on appelle nergie Ws et puissance moyenne Ps dun signal s(t) sur lintervalle Dt les valeurs quadratiques et quadratiques moyennes :

=2

1

2 )(t

tsdttsW et D=

2

1

2 )(1 t

tsdtts

tP

Lnergie totale, et la puissance moyenne totale sobtiennent facilement :

+

-= dttsWs )(

2 et ->-=2/

2/

2 )(1

limT

TTsdtts

TP

Pour un signal priodique (priode To), la puissance moyenne totale est calcule sur une priode :

=0

0

2 )(1 T

s dttsToP

La plupart des signaux peuvent tre classs partir de ces deux grandeurs : Signaux nergie finie : signaux de type transitoire Signaux puissance moyenne finie : signaux priodiques Remarques : Les signaux puissance moyenne finie ont une nergie totale infinie Les signaux nergie totale finie ont une puissance moyenne nulle


8

Classification spectrale

Un signal peut tre class suivant la distribution de son nergie ou de sa puissance en fonction de sa composition frquentielle "spectre du signal". Le domaine des frquences Df occup par son spectre est aussi appel la largeur de bande du signal. Lanalyse de Fourier et les outils mathmatiques associs permettent de passer indiffremment dune reprsentation lautre (temporelle frquentielle). Pour les signaux bande troite, il est possible de les classer par le domaine de variation de la frquence moyenne Fmoy. Fmoy < 250 kHz => signaux basses frquences (BF) 250 Hz < Fmoy < 30 MHz => signaux hautes frquences (HF) 30 MHz < Fmoy < 300 MHz => signaux trs hautes frquences (VHF) 300 MHz < Fmoy < 3 GHz => signaux ultra hautes frquences (UHF) Fmoy > 3 GHz => signaux super hautes frquences (SHF) Lorsque la frquence du signal devient trs grande, pratiquement suprieure que lques trahertz, la longueur d'onde est le paramtre de rfrence. 700 nm < l < 0,1 mm signal lumineux infrarouge 400 nm < l < 700 nm signal lumineux visible 10 nm < l < 400 nm signal ultraviolet

III) Les signaux numriques Ce sont des signaux temps discrets (signaux discrets ou chantillonns) et amplitudes discrtes (quantifies). Ainsi, quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un systme numrique de contrle d'un processus physique, peuvent tre distingues : Signal amplitude et temps continus (Signal Analogique)

frquence

Df

Distribution spectrale

Temps

A


9

Signal temps continu et amplitudes discrtes (Signal Quantifi) Signal amplitudes continues et temps discret (Signal Echantillonn) Signal amplitudes discrtes et temps discrets (Signal Numrique) La numrisation d'un signal est l'opration qui consiste faire passer un signal de la reprsentation dans le domaine des temps et amplitudes continus au domaine des temps et amplitudes discrets.

IV) Analyse de Fourier

Srie de Fourier Dans le cours de physique sur les oscillateurs linaires, on montre qu'en rgime asymptotique le circuit rpond une excitation sinusodale tete M wcos)( = par une rponse sinusodale

)cos()( MM tsts jw -= de mme pulsation. Ceci a permis notamment de dvelopper un outil de rsolution puis sant : la notation complexe qui permet de transformer la drivation temporelle en une multiplication par jw et donc de transformer les quations diffrentielles qui rgissent le systme en quations linaires algbriques. Ce chapitre montre que des signaux sinusodaux permettent d'engendrer par superposition tout signal priodique ou non priodique. On appelle analyse de Fourier l'ensemble des mthodes

Temps

A

temps

A

temps

A


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qui permettent dcomposer une fonction g(t) en une somme, ventuellement infinie de fonctions sinusodales (harmoniques) qui reprsentent une base de fonctions orthogonales. De faon plus gnrale, on dcompose la fonction g(t) dans la base des fonctions orthogonales harmoniques comme on dcompose un vecteur dans une base orthonorme.

Exemple : Voici trois fonctions de mme pulsation o

o TF

ppw

22 ==

-1

-0.5

0

0.5

1

0 To(s)

To/2

ttg wcos)(1 =ttg w22 cos)( =

ttg w33 cos)( =

tttg ww 341

43

3 coscos)( += et ( )ttg w2121

2 cos)( +=

On remarque que plus la fonction varie rapidement plus son spectre contient des frquences leves.


11

Gnralisation Si s(t) est une fonction de la variable t priodique, de priode To, alors elle peut se dcomposer dans la base des fonctions trigonomtriques, dite srie de Fourier (DSF) :

tnFbtnFaatsn

onon

=

++=1

0 2sin2cos)( pp

dont les amplitudes vrifient :

Avec =T

dttsT

a00

0 )(1

( )dttnFtsT

aT

n =0

00

2cos)(2

p Pour n>= 1

( )dttnFtsT

bT

n =0

00

2sin)(2

p Pour n>=1

Le dveloppement en srie de Fourier utilise la proprit dorthogonalit des fonctions trigonomtriques, savoir :

( ) 0220

0 = dttFFtT

pp cos)cos( , ( ) 0220

0 = dttFFtT

pp sin)sin( si 0FF

=> Toute fonction priodique de frquence F0 peut se dcomposer en une somme de fonctions sinusodales de frquences 0, F0, 2 F0, 3 F0 , nF0 dont les amplitudes sont les coefficients an et bn. => Ce sont les composantes de Fourier :

F0 : frquence fondamentale n F0 : harmoniques

En utilisant la formule trigonomtrique ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sinsincoscoscos -=+ lexpression peut galement se mettre sous la forme rduite :

)2cos()(1

0 nn

on tnFcats jp ++=

=

avec lamplitude : 22 nnn bac += et la phase :

-=

n

nn a

barctgj

=> le spectre damplitude du signal reprsente les amplitudes du fondamental et des diffrentes harmoniques en fonction de la frquence. => le spectre de phase du signal reprsente les phases du fondamental et des diffrentes harmoniques en fonction de la frquence.


12

=> Le spectre dune fonction priodique est discontinu : seules certaines frquences sont contenues dans le spectre.

Exemple : Le spectre de g(t) ne contient que la frquence F0 alors que celui de g3(t) on observe F0 et 3F0. Plus une fonction priodique varie brutalement, plus les harmoniques leves jouent un rle important dans le DSF. Exemple : Dveloppements en srie de Fourier jusqu 9 harmoniques des fonctions crneaux, f(t) et triangle g(t).

( ) ( )( )( )

= ++

+=1 12

12

n ntn

ttgw

wsin

sin)( ( ) ( )( )( )

+++=

=1212

12coscos

4)(

n ntn

ttfwwp

Des signaux brefs ont un spectre trs tendu en frquence.

Reprsentation bilatrale Elle fait intervenir les fonctions complexes trigonomtriques

tnFjnFSts 00 2exp)()( p+

-

=

frquence

Spectre du signal s(t)

F0 2F0 3F0 0

ao

C1

C2 C3

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1( s )


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Avec une amplitude complexe : ( ) ( )dttnFjtsT

jbanFST

nn -=-=0

00

00 2exp)(

121

)( p

De module : ( )20ncnFS = et de phase :

-=

n

n

ab

arctgnF )( 0j

Avec an =a-n , bn=-b-n Le spectre S(F) du signal priodique s(t) est alors reprsent par la relation :

)()()( 00 nFFnFSFS -= +

-

d Spectre discret

O )(Fd est la fonction de Dirac : 1=)(Fd si F = 0 0=)(Fd si F diffrent de 0

La reprsentation bilatrale permet dintroduire la transforme de Fourier.

La transforme de Fourier On peut considrer la transforme de Fourier des fonctions non priodiques comme une extension de la srie de Fourier o la priode tend vers linfini.

( )dtFtjtsFS +

-

-= p2exp)()( Spectre continu

S(F) peut tre une fonction complexe

0 F0 2F0 3F0 -F0 -2F0 -3F0

S(0) S(-F0)

S(-F0)

S(3F0) S(-3F0)

Spectre en amplitude dans la reprsentation bilatrale


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Et la transforme inverse : ( )dFFtjFSts +

-

= p2exp)()(

Proprits de la transforme de Fourier On considre X(F) et Y(F) les transformes de Fourier respectives de x(t) et y(t). * Linarit :

ax(t)+by(t) ----> aX(F) + bY(F) * Homothtie :

>----

aF

Xa

atx1

)(

* Translation :

( ) ( )FajFXatx p2exp)( ->----- ( ) )(2exp)( bFXbtjtx ->----+ p

*Drivation :

)()2()( FXFjtxdtd

p>----

* Conjugu : )(*)(* FXtx ->----

* Impulsion de Dirac : Cest un signal impulsionnel de la forme :

( )+

-=D 1dtt

( )tt D= >- 0ad lim)(

1)( >----td

a/2 -a/2

1/a D(t)


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V) Systme de transmission

Dfinition Un systme de transmission fait correspondre un signal dentre e(t) quelconque un signal de sortie s(t) (rponse du systme) :

La rponse du systme est fonction de lentre et des caractristiques du systme. On peut comparer cette rponse au signal dentre en effectuant le rapport des puissances de ces deux signaux. Gain en puissance

PePs

GP 10log10= Exprim en dcibel

Gain en tension

VeVs

GV 10log20= Exprim en dcibel

Bande passante Cette comparaison des puissances ou tensions d'entre et de sortie d'un systme de transmission est utilise lorsqu'on veut tudier l'influence d'une autre grandeur : par exemple la frquence. On considre une tension sinusodale, fournissant l'entre suppose indpendante de la frquence, une puissance moyenne constante. On tudie l'volution de la puissance de sortie sur une charge rsistive en fonction de la frquence. On appelle bande passante du systme de transmission la zone de frquences pour les lesquelles on a :

21

PePs

ou dBG p 3-

La bande passante 3 db est la tranche des frquences pour lesquelles l'affaiblissement de la puissance de sortie, puissance entrante constante, est infrieur 3 dB par rapport sa valeur maximale.

Systme de transmission s (t) e(t)


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Proprits des systmes de transmission : SLIT Nous allons nous intresser des systmes de transmission qui possdent les trois proprits suivantes : linarit, continuit et stationnarit. Systmes linaires : Si s1(t) est la rponse e1(t), Si s2(t) celle de e2(t) alors la rponse du signal a e1(t) + b e2(t) sera a s1(t) + b s2(t) Il est important de noter que presque tous les systmes physiques sont linaires pour les faibles signaux. Systmes continus : Soit sn(t) la suite des rponses en(t), le systme est dit continu si nous avons la proprit suivante : Lim (sn(t)) lorsque n tend vers l'infini est identique la rponse du signal lim(en(t)) Systmes stationnaires : Un systme est stationnaire si son comportement est indpendant du temps ou invariant par translation :

Si e(t) a pour rponse s(t) alors e(t-T) a pour rponse s(t-T)

Les filtres sont dfinis comme des systmes de transmission linaires, continus et stationnaires.

frquence Bande passante -3dB

Ps/Psm

1 0

-3 1/2

dB


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VI) Filtres et Convolution

Dfinition Une impulsion brve, injecte l'entre d'un SLIT, ne donne jamais en sortie une impulsion infiniment brve mais un signal de dure finie. Cette rponse est appele : la rponse impulsionnelle du SLIT, not h(t). C'est la rponse du SLIT une impulsion de Dirac d(t). Pour un signal d'entre quelconque, on veut tablir une relation mathmatique qui lie le signal d'entre e(t) et le signal de sortie s(t) pour un SLIT. Dcomposition du signal d'entre quelconque en impulsions de largeur Dt La rponse sera donc une combinaison linaire des rponses aux impulsions

On considre en entre une impulsion de largeur Dt et damplitude 1/Dt . En sortie le SLIT donne une rponse note h Dt (t) qui tend vers h(t) lorsque Dt tend vers 0.

=> ( )ttithtietis t DD-D=D D )()()(

=>

=

D=0

)()(i

tists

Lorsque Dt -> 0 et pour les signaux non causaux :

ttt dthets )()()( -= +

-

La relation ci-dessus dfinit le produit de convolution de la fonction des fonctions e(t) et h(t).

d(t-t0)

t0

Signal d'entre e(t)

t

t0

t

Signal de sortie h(t)

h(t-t0)

Dt

e(Dt)

e(0) e(iDt)

iDt

t


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La convolution exprime la rponse un signal quelconque partir de la rponse impulsionnelle. Elle dpend du filtre caractris par h(t) et l'histoire du signal :

+

--== ttt dthethtets )()()()()(

Les filtres sont donc des systmes de convolution.

Proprits de la convolution : Commutativit : x y = y x Distributivit : x (y+z) = x y+x z Associativit : x (y z) = (x y) z = x y z Elment neutre : distribution de Dirac : x d = d x = x

Thorme de Plancherel : Il nonce la relation trs importante entre la transforme de Fourier et le produit de convolution : La transforme de Fourier d'un produit de convolution est un produit simple des transformes de Fourier : Si x (t) ---- > X(f) Si y(t) ----> Y(f) alors x(t) y(t) ----> X(f).Y(f) De mme x(t)y(t) ----> X(f) Y(f) Donc si e(t) ----> E(f), h(t) ----> H(f) et s(t) ----> S(f) alors S(f)=E(f).H(f).

H(f) est la fonction de transfert du SLIT.

VII) Introduction la notion de corrlation La fonction dintercorrlation de deux signaux quantifie la similitude des deux fonctions au cours du temps.

Puissance et nergie des signaux Toute transmission est lie une transmission d'nergie. Lorsqu'on fait une mesure, le processus subit toujours un prlvement d'nergie de la part du dispositif de mesure. On peut caractriser un signal selon les critres de puissance et d'nergie dans l'espace temporel ou frquentiel.


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Puissance temporelle d'un signal : Puissance instantane : )(*)()( txtxtp =

Energie totale : +

-= dttxtxEx )(*)(

De la mme faon on peut dfinir la puissance frquentielle d'un signal (densit spectrale de puissance)

)(*)()( fXfXfS xx =

Energie totale : +

-= dffSE xxX )(

Corrlation et densit spectrale Dfinition de la fonction de corrlation pour les signaux nergie finie.

+

--= ttt dtxxtCxx )(*)()(

La fonction de corrlation traduit la similitude d'un signal ou de deux signaux au niveau de la forme et de la position en fonction du paramtre t. Elle permet par exemple de dtecter le dcalage temporaire ou dphasage entre deux signaux. Elle est applique dans les rcepteurs GPS pour calculer des speudodistances. Dans le cas de la fonction d'autocorrlation, c'est une tude de la ressemblance du processus avec lui mme au cours du temps et par consquent si le signal est priodique, la fonction d'autocorrlation permettra de dtecter cette priodicit. Relation avec la densit spectrale d'nergie.

+

-

- -=-= ttt dtxxtxtxfSTF xx )(*)()(*)())((1

Donc ))(()( 1 fSTFtC xxxx-=

La densit spectrale d'nergie (donc la redistribution de l'nergie sur l'axe des frquences) est

la transforme de Fourier de la fonction d'autocorrlation.

Corrlation dun signal priodique :

-=0

00

1 Txx dtxxT

tC ttt )(*)()(

tbtaatx nnnn

n ww sincos)( ++=

=10


20

( ) tbaatC nnnxx wcos)(

++=1

2220 2

1

Identit de Parseval :

( )

=

++=1

2220 2

1

nnn baaEx

L'nergie totale d'un signal ne dpend pas de la reprsentation choisie : elle sera la mme qu'il s'agisse de la reprsentation temporelle ou frquentielle.

dffXdttx22

)()( +

-

+

-=

VIII) Filtrage des signaux analogiques Filtrage ou fentrage temporel Le terme de "filtrage" est habituellement utilis dans le domaine frquentiel. Dans le domaine temporel, on parle de fentrage, opration qui consiste prlever, interrompre ou seulement attnuer un signal.

s(t) =e(t). j(t)

La modification qu'entrane ce filtrage temporel au niveau du spectre en frquence de e(t) est donn par la relation de Plancherel :

S(f) = E(f) f(f)

Filtre temporel j(t) s (t) e(t)

t

e(t)


21

L'enregistrement par un appareil ou le traitement d'un ordinateur d'un signal impose un temps fini au signal qu'il soit analogique ou chantillonn. Ce problme de la dure finie d'un signal est celui de la mesure . En effet, on enregistre le signal dun phnomne physique pendant une dure finie. Le signal enregistr est- il une rplique fidle du phnomne physique ? Pour raliser une formulation de cette troncature temporelle du signal, on utilise la fonction porte temporelle Pt(t) de largeur t. Donc le signal tronqu peut s'crire :

)()()( ttsts tP=P => )(sin)()( tpt ffSfS c=P Cette troncature temporelle va donc apporter des modifications sur le spectre d'autant plus importantes que t sera petit par rapport la priode du signal. Plus la mesure ou l'observation du signal sera longue et plus le spectre du signal sera prcis, c'est dire peu perturb par la fentre temporelle.

Par exemple : tts 0cos)( w= => ( ))()(21

)( 00 fffffS ++-= dd

Son spectre est :

t

s(t)

T T

j1(t)

1

T

t

s(t) j2(t)

1

T

1/2

S(f)

f

f0 -f0


22

Le signal tronqu sera tts 0cos)( w=P pour

-

2,

2tt

t et nulle ailleurs.

( ))((sin)((sin2

)(sin)()( 00 ffffffsfS ccc ++-==P ptptt

ptt

Dont le spectre est :

On observe dans le signal tronqu des frquences abscentes dans le signal dorigine. Pour les liminer il faut que le temps dacquisition soit alors infini.

IX) Filtrage frquentiel De mme manire que dans le domaine temporel, nous parlerons de filtrage frquentiel comme l'opration qui consiste prlever, interrompre ou seulement attnuer les composantes frquentielles d'un signal.

S(f)=E(f). f(f)

Thorme fondamental des filtres Il est trs intressant de passer dans le domaine frquentiel pour dterminer la rponse d'un filtre car l'opration raliser est alors un simple produit. Le passage du domaine temporel au domaine frquentiel pour le signal se fait par transforme de Fourier.

t/2

S(f)

f

f0 -f0

Filtre frquentiel f(f) S (f) E(f)

Action Rponse

Domaine temporel : e(t) Filtre (Convolution par h(t)

s(t)

Domaine frquentiel : E(f) Filtre (Produit par H(f))

S(f)

Transforme de Fourier


23

Filtres ralisables Un filtre est ralisable s'il est causal car l'effet ne peut pas prcder la cause. Tout systme physique aura donc une rponse impulsionnelle h(t) relle quelconque et par consquent une fonction de transfert H(f) complexe. Par consquent tout filtre physique ralisable dphase. Ce dphase peut tre linaire ou pas. Les filtres analogiques continus ralisables sont construits partir des composants lectroniques : rsistances, capacits, self- inductance et ampli oprationnel.

X) La modulation La modulation des signaux vient du besoin de transmettre un signal physique, support d'une information, entre deux points distants. Le spectre d'un signal rel a toujours une largeur de bande spectrale. Celle-ci peut tre dfinie - 3 db. Par exemple : Signal de parole "tlphonie" : fm = 300 Hz et fmax = 3,5 kHz Signal sonore "haute fidlit ": fm= 20 Hz et fmax =16 kHz La transmission de ce signal va tre effectu soit l'aide d'un support physique de transmission qui peut tre un cble lectrique, une fibre optique, soit en utilisant une propagation d'onde hertzienne (ex : signaux GPS). Exemple du distancemtre lectro-optique bas sur le principe du dphasage employ par les gomtres. Pour la mesure de distance, linstrument utilise une onde (porteuse) de grande frquence, gnralement dans linfrarouge (3 1014 Hz) module en amplitude par une onde de frquence plus basse, gnralement de lordre de 100 MHz qui reprsente le signal informatif. La porteuse nest utilise que pour ses proprits de propagation. La mesure de phase directement sur la porteuse serait plus problmatique. Il faudra donc sparer le signal de la porteuse, cest lopration de dmodulation. De la mme faon, que pour le signal, une voie de transmission est ncessairement imparfaite et donc ne laisse passer que certaines frquences. On appelle la bande passante du support, la zone de frquence qui caractrise le support de transmission. Celle- ci peut tre dfinie - 3 db. Deux consquences : Le spectre du signal que l'on dsire transmettre doit tre compris dans la bande passante

du support de la voie de transmission si l'on veut avoir une rception correcte sans dformation.

Si le support de la voie de transmission a une trs large bande passante par rapport au signal transmettre, l'utilisation de la voie de transmission n'est pas optimise.


24

Transmission par modulation Cette opration consiste transposer un signal en un autre signal contenant la mme information mais avec une modification en frquence du signal. Avantages : Multiplexage frquentiel : utilisation du mme support de transmission par plusieurs communications. Adaptation aux conditions particulires d'un milieu de transmission : augmentation des distances de propagation.

Les diffrentes formes de modulation La modulation d'un signal utilise une onde porteuse :

( )f+W= tAVp cos Cette onde porteuse est utilise pour transmettre le signal informatif en modifiant l'une de ces caractristiques au rythme du signal transmettre : Amplitude A du signal porteur : modulation d'amplitude Frquence fp du signal porteur : modulation de frquence Phase f du signal porteur : modulation de phase La frquence de modulation est nettement infrieure la frquence de la porteuse. Modulation d'amplitude

)cos())(1( f+W+= ttmsAVoma avec 1)( max ts et Fp2=W

Cas particulier : tts wcos)( = fpw 2=

( )[ ] ( )[ ]( )fvfwf ++W++-W++W= tAmtAVoma coscos2)cos(

Le spectre se compose donc de trois raies, F, F-f, F+f La largeur spectrale occupe par le spectre : 2f


25

Dans le cas gnral :

( )=N

ii tats0

cos)( w

( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]fwfwf ++W++-W++W= iiN

ioma

matAV coscos

2cos

0

Ainsi si l'on dsire transporter par un mme canal plusieurs informations de type BF, l'cart entre les deux porteuses doit tre de 2 fN. Exemple En radiodiffusion o le spectre des signaux BF a t volontairement tronqu 4,5 kHz, chaque metteur occupe autour de sa frquence porteuse une largeur spectrale de 9 kHz. Ainsi pour la gamme "Grandes Ondes" situ entre 150 et 450 kHz, il peut thoriquement tre plac environ 30 metteurs. En ralit, afin d'viter toutes les interfrences, seuls 10 metteurs peuvent coexister. Procd de modulation : l'metteur

2fN

F F +fN F-fN

A

f

spectre

Control de gain (Signal modulant w )

Amplificateur

Gain G

Oscillateur (Onde porteuse)

W

Filtre Passe-bande

OMA


26

Procd de dmodulation synchrone : le rcepteur OMA : )cos())(1( f+W+= ttmsASoma OL : ( )tBSol 0cos W=

Sortie : ( ) ( ) ( )[ ]ff +W+W++W-W+= tttmsABS sortie )(cos)(cos)( 0012

XI) Le bruit Comme il a t dfini dans l'introduction, le bruit correspond tout signal indsirable limitant l'intelligibilit d'un signal utile. Dans cette partie nous allons donner quelques renseignements sur la nature du bruit et la notion de rapport signal /bruit.

Sources de bruit Bruit externe et bruit interne Relativement au systme considr (filtre, dtecteur, etc..) les sources de bruits sont classables en deux grandes catgories : externe et interne. Bruit externe La source de bruit est localise l'extrieur du systme et agit sur celui-ci par influence. On peut alors distinguer deux origines : Perturbations naturelles (bruits cosmiques, bruits atmosphriques);

Perturbations artificielles (parasites gnrs par des quipements lectriques industriels)

Signal OMA

Multiplieur Oscillateur local W0

Filtre Passe-bande

Signal BF


27

Bruit interne Les causes des perturbations internes un systme de traitement peuvent se classer en deux groupes : Perturbations impulsionnelles engendres par des commutations de courants Le bruit de fond gnr dans les cbles et les composants lectroniques en raison des mcanismes statistiques de la conduction lectrique. On peut distinguer le bruit thermique (dans les circuits passifs comme les rsistances) et le bruit de grenaille (dans les composants actifs comme les diodes, transistors) Ces perturbations externes ou internes peuvent tre limines ou fortement diminues par des blindages mais le bruit de fond est irrductible une temprature de donne. Du fait de l'agitation thermique, une tension de bruit apparat dans le conducteur. On montre que ce bruit (bruit blanc) possde une densit spectrale de puissance constante. Sa fonction d'autocorrlation est en premire approximation une impulsion de Dirac :

)()( tkTtCbb d

=

21

Rapport signal/bruit Le rapport signal/bruit est une caractristique de la dgradation d'un signal par dfinition informatif, par un bruit non informatif. C'est un moyen pour caractriser un systme de transmission en comparant le rapport S/B son entre et le rapport S/B sa sortie ou pour comparer "la qualit" des diverses mthodes de traitements de signaux. Le signal tant indpendant du bruit :

bsbs PPP +=+ On dfinit donc le rapport signal / bruit :

b

s

PP

=h

Ce rapport peut s'exprimer en db :

b

sdb P

P10log10=h


28

Dtection d'un signal noy dans le bruit Dtection par autocorrlation Les proprits des fonctions de corrlation donnent lieu diverses mthodes de traitement des signaux bruits. Ces traitements supposent un bruit blanc. Soient un signal x(t) et un bruit b(t), indpendant du signal. Le signal complet traiter s(t) est donc la somme des deux signaux :

)()()( tbtxts +=

La fonction d'autocorrlation de ce signal devient :

( )( ) tttttttt dtbtxbxdtsstC ss )()()()()()()( -+-+=-= +

-

+

-

)()()()()( tCtCtCtCtC bbbxxbxxss +++=

x(t) et b(t) tant indpendants :

)()()( tCtCtC bbxxss +=

)()( tCtC xxss

Cette mthode permet de dtecter la prsence d'un signal mme lorsque le rapport signal/bruit est faible. Cependant, cette mthode ne permet pas de restituer la forme du signal car la fonction de corrlation ne conserve que l'information frquence. La phase est perdue. On ne peut donc pas retrouver la forme du signal partir de la fonction de corrlation. La figure ci-dessous permet de montrer l'utilisation de cette technique de dtection par autocorrlation d'un signal noy dans le bruit. Le signal bruit est un signal sinusodal pur auquel a t ajout un signal de bruit blanc. Dtection par corrlation avec un signal sinusodal pur Cette mthode de dtection d'un signal noy dans un bruit peut tre encore plus efficace en terme d'extraction d'un signal faible par rapport au bruit en ralisant une dtection synchrone. Au lieu de faire l'autocorrlation du signal s(t), le procd consiste raliser la corrlation de ce signal avec un signal sinusodal xp(t). En faisant varier la frquence de ce signal sinusodal, la fonction de corrlation sera non nulle chaque fois que la frquence du signal xp(t) sera identique celle contenue dans le signal x(t) (cf. figure ci-dessous). En effet, nous avons la fonction de corrlation :

)()()()( tCtCtCtC pxxpbxpxxpsx =+=


29


30

C) Le traitement numrique du signal Aprs avoir vues diffrentes notions de traitement du signal analogique, nous allons les transcrire dans le cas dun signal numrique. Nous verrons en particulier le thorme de Shannon concernant lchantillonnage dun signal continu qui prcise les conditions pour lesquelles une suite de valeurs numriques reprsente correctement le signal physique mesur. Ce chapitre se dcompose en trois parties : La premire concerne lchantillonnage et le thorme de Shannon. La seconde concerne le spectre des signaux discrets et la transforme de Fourier discrte La troisime aborde la notion de filtre.

I ) L'chantillonnage Lchantillonnage consiste reprsenter un signal continu (analogique) Ve(t) par un ensemble de valeurs discrtes Vs(nTe), avec n entier et Te (constante) la priode d'chantillonnage. Ces valeurs discrtes auront la mme amplitude que le signal continu aux instants nTe compt partir d'une origine arbitraire (dbut de l'chantillonnage). Dans la suite, on ne considre pas la prcision de la numrisation ainsi que le temps de rponse du systme numrique (acquisition, restitution) qui peuvent tre amliors en augmentant la prcision du convertisseur (nombre de bits) et en choisissant un processeur plus rapide. La dtermination de la priode d'chantillonnage est plus difficile et doit satisfaire au thorme de Shannon. Il est clair que pour restituer le signal original il suffit de diminuer la priode Te (donc d'augmenter la frquence d'chantillonnage Fe). Mais cette diminution est au prix du traitement (acquisition, numrisation et restitution) d'un plus grand nombre d'chantillons donc au prix d'une consommation accrue de temps et de mmoire.


31

Evolution d'un signal travers une chane d'acquisition

Signal d'entre continu Ve

Echantillonnage Te

Ve(nTe)

Quantification CAN Ve(n)

Signal Numrique Vs(n)

Quantification CNA

Vs(nTe)

Restitution Filtrage -

Interpolation

Vs = Ve ?


32

Question : existe-t- il pour un signal donn, une priode d'chantillonnage qui soit " un bon compromis" entre la qualit du traitement et la minimisation du nombre de mesures ou d'chantillons ? On va considrer un signal continu (analogique) de frquence F = 5 Hz reprsentant 5 cycles/s que lon chantillonne diffrentes frquences dchantillonnage Fe. L'chantillonnage consiste prendre des valeurs du signal continu une frquence d'chantillonnage donne. On voit d'aprs les graphes ci-dessus que la restitution du signal dpend de cette frquence d'chantillonnage. Pour restituer correctement le signal d'origine, il faut que la frquence d'chantillonnage soit au moins deux fois plus grande que la frquence du signal d'origine. C'est le thorme de Shannon : La frquence d'chantillonnage doit tre au moins deux fois plus grande que la plus grande frquence contenue dans le signal. En d'autres termes, si on chantillonne une frquence Fe, on ne pourra restituer sans dformation que les frquences du signal infrieures la frquence Fe/2 , dite frquence de Nyquist.

-1.5

0

1.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Signal continu F = 5 Hzchantillonnage 33,3 Hz

seconde

Te

-1.5

0

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Signal continu F = 5 Hz

chantillonnage 10 Hz

chantillonnage 4,5 Hz

seconde


33

Exemple : dans le cadre dun talonnage dun distancemtre onde continue module on cherche dterminer lerreur cyclique qui est une erreur priodique dont la priode est gale la demie longueur donde de modulation l0. Il faudra donc faire des mesures de distances avec un pas maximal de l0/2 pour reprsenter correctement lerreur cyclique.

II ) Echantillonnage idal On suppose que le signal s(t) a un spectre born. Envisag dans le domaine temporel, le processus d'chantillonnage revient multiplier le signal continu s(t) par une srie d'impulsions unit : le "s ignal" obtenu est alors constitu d'une succession d'impulsions, dont la hauteur est module par l'amplitude du signal s(t). On utilise la proprit de localisation du pic de Dirac en faisant intervenir le peigne de Dirac :

( ) ( )+=

-=

+=

-=

-=-=k

k

k

ke kTetkTeskTettsts ))()()( dd

avec ( ) ( )+=

-=

+=

-=

-=

-

k

k

k

k

kFefFekTetTF dd

Il est important d'tudier le spectre de ce signal chantillonn pour dterminer la modification ventuelle que cette opration d'chantillonnage lui a fait subir. D'aprs le thorme de Plancherel :

( ) +=

-=

+=

=

-=

-=

k

k

k

ke kFefSFekFeffSFefS )(*)()( d

Par consquent, le spectre du signal chantillonn Se(f) s'obtient en priodisant avec une priode gale Fe le spectre du signal continu multipli par Fe.

Priodisation du spectre du signal chantillonn

fmax -fmax

S(f)

fmax -fmax

Fe

Fe

Se(f)


34

A partir du diagramme ci-dessus, on peut retrouver le thorme de Shannon : pour que la rptition priodique du spectre du signal chantillonn ne dforme pas le motif rpt, il faut et il suffit que la frquence d'chantillonnage Fe soit gale ou suprieure 2 fmax.

III ) Restitution du signal initial partir de l'chantillonn Si on dispose du signal se(t), peut-on retrouver le signal d'origine s(t) ? Si on suppose le thorme de Shannon rempli, on peut utiliser un filtre passe-bas idal de frquence de coupure Fe/2 pour extraire du spectre priodique le spectre correspondant au signal d'origine. On obtient alors le spectre de base centr en f = 0 :

)()()( ffSfS Feeeo = donc dans l'espace temporel :

( )FetFetsts ceeo psin)()( = soit :

( )+

-

-= )(sin)()()( FetkTetkTesFets ceo pd

( )+

-

-= )(sin)()( kTetFekTesFets ceo p

or )()( fFeSfSeo = donc )()( tFestseo =

par consquent : ( )+

-

-= )(sin)()( kTetFekTests c p

Le thorme de l'chantillonnage peut donc aussi s'exprimer de la manire suivante : Un signal continu de spectre born dans l'intervalle de frquences (- fmax, +fmax) est compltement dtermin par les valeurs qu'il prend des instants rgulirement espacs de 1/(2fmax).


35

IV ) Effet de repliement du spectre. Cet effet se produit lorsque la frquence d'chantillonnage est plus petite que 2fmax. Le signal est alors sous-chantillonn et il y a recouvrement de spectre qui va faire apparatre des frquences du signal chantillonn qui ne composent pas le signal origine . Le filtre passe-bas qui permettait de rcuprer le spectre de base ne peut plus agir efficacement. Une frquence fr comprise entre Fe/2 et fmax est vue comme la frquence Fe - fr

On parle alors de repliement de spectre.

Le signal chantillonn apparat comme un signal la frquence de 3Hz. De faon plus gnrale, si le spectre du signal origine contient des frquences suprieures la frquence de Nyquist Fe/2, ces frquences fr font apparatre dans le spectre chantillonn des frquences surs (frquences de repliement) :

Frquence sur = Valeur Absolue ((multiple entier de Fe plus proche de fr) - fr)

fmax -fmax

Fe

Se(f)

-1.5

0

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Signal continu 6 Hzchantillonnage 9 Hzsignal chantillonn f = 3 Hz

seconde


36

Exemple : Le signal continu contient les quatre frquences F1.. F4. Si on chantillonne 100 Hz, il apparatra dans le spectre de l'chantillonn des frquences surs 10 Hz, 30 Hz et 40 Hz. Seule la frquence F1 25 Hz sera correctement reprsente. Pour viter ce phnomne de repliement, on place un filtre analogique avant l'chantillonneur afin d'liminer les frquences suprieures la frquence de Nyquist.

V ) Transforme de Fourier Discrte Pour les diffrents cas de signaux, continus ou discrets et priodiques ou transitoires, la reprsentation frquentielle possde des proprits particulires quivalentes continue ou discrte et priodique ou transitoire.

Signal Spectre Mthode de calcul reprsentation 1) continu et transitoire 2) discret et transitoire 3) continu et priodique 4) discret et priodique

Intgrale de Fourier Intgrale de Fourier Srie de Fourier Transforme discrte de Fourier

Continue et non priodique Continue et priodique Discrte et non priodique Discrte et priodique

D'une faon gnrale, si l'on dsire avoir une reprsentation spectrale numrique, le calcul des raies spectrales implique une discrtisation en frquence, ce qui a pour consquence de rendre le signal temporel priodique et discret. Un signal transitoire est considr comme priodiquement rpt en dehors de son domaine d'existence. On a vu que lorsqu'on discrtise le signal temporel avec une priode Te on fait apparatre un spectre priodique de priode frquentielle Fe =1/Te. La rciproque est aussi vraie.

Fe /2 = 50 Frquence de Nyquist

Fe = 100

F1 25 H

F2 70 H

F3 160

F4 510

F'4 10

F'2 30

Frquence Hz

F'3 40


37

Dfinition Dans le but de calculer la transforme de Fourier d'un signal continu s(t) l'aide d'un ordinateur, on est amen discrtiser le signal et tronquer temporellement ce signal. On obtient une suite de N termes reprsente par :

( ) ( )--=

=

-=-=1

0

1

0

)()()(NNk

ke kTetkTeskTettsts dd

la srie de valeurs se(kTe) formant la srie{sk} De la mme faon que la transforme de Fourier TF du signal analogique s(t) s'exprime par :

dtftjtsfStsTF )2exp()()())(( p+

-

-==

on peut dfinir une Transforme de Fourier Discrte (TFD) d'un signal dfini par N chantillons, la suite de N termes dfinie par :

-

-

=

1

0

N

e NFe

mfNFe

mSfS d)(

avec { } { }mk SsTFD = avec -

=

-=

=

1

0

2N

kkm N

mkjs

NFe

mSS pexp

La transforme de Fourier discrte ralise la correspondance entre deux suites de N termes. La rsolution frquentielle est alors de Df = 1/t = Fe/N. Pour une mme frquence dchantillonnage on a intrt augmenter le nombre total dchantillons pour augmenter la rsolution frquentielle. On retrouve ainsi le problme de la mesure. On peut dfinir une TFD inverse pour k =0, , N-1 :

{ } { }km sSTFD =-1 avec -

=

+=

1

0

21 N

mmk N

mkjS

Ns pexp

N chantillons t = N Te

sk

Te

Sm

N chantillons Fe = N/t

1/t

TFD


38

On montre galement la relation entre les points de la transforme discrte du signal chantillonn et les valeurs de la transforme de Fourier ces mmes frquences :

==

==

NmFe

fNSN

mFefS

TeSm

t

Lorsque le nombre d'chantillons est une puissance de 2, on peut utiliser l'algorithme de la FFT (Fast Fourier Transform) qui un algorithme rcursif permettant de calculer une TFD en diminuant considrablement le nombre d'oprations mathmatiques effectues. On montre que la TFD d'ordre N est la somme de deux TFD d'ordre N/2. Exemple : En TD on verra lutilisation dun tableur pour raliser une DFT. On cre laide dun tableur deux signaux S1 et S2 sinusodaux de frquences f1= 2 Hz et f2 = 4 Hz et damplitudes respectives A1 = 1 et A2= 0,5. Pour pouvoir reprsenter correctement ces deux signaux numriques il faut satisfaire au thorme de Shannon. On peut choisir par exemple une frquence dchantillonnage Fe = 32 chantillons / s (32 Hz) et on reprsente les deux signaux sur une priode de 1 seconde. Leurs expressions mathmatiques scrivent :

=

322 1

1

kfSINS

...p

=

322

50 22kf

SINS...

,p [ ]310,k

On montrera comment dterminer les composantes frquentielles du signal S1 + S2.

VI ) Convolution et corrlation numriques

a) Convolution discrte De la mme manire que pour la transforme de Fourier, il est possible de dfinir la convolution discrte. Soient xk et yk, les suites de N chantillons des signaux continus x(t) et y(t), la convolution discrte s'crit :

-

=-=

1

0

N

iikik yxz avec k = 0,,N-1

Ce calcul ncessite de connatre yi en dehors de l'intervalle prcdemment dfini. En effet, il faut connatre les chantillons correspondant l'intervalle [-N+1, N-1]. trois possibilits : 1) On considre tous les chantillons en dehors de l'intervalle comme nuls et on calcule la convolution sur 2N-1 points 2) On considre les chantillons en dehors de l'intervalle comme identiques, c'est dire comme si la fonction tait priodique de priode NTe 3) On calcule la convolution sur N/2 chantillons


39

b) Corrlation discrte De mme :

-

=-=

1

0

N

ikiixy yxkC avec k =0,, N-1

Les mmes remarques concernant la convolution s'appliquent la corrlation.

VII ) Notions de filtrage numrique

a) Introduction Un filtre numrique est un systme utilis pour modifier la distribution frquentielle d'un signal numrique selon des spcifications donnes. Il peut tre vu comme un procd de calcul permettant de transformer un signal numrique d'entre en un signal numrique de sortie pour obtenir la modification voulue du signal. Le problme consiste donc trouver l'quation qui rgit cette transformation et qui reprsente la rponse frquentielle souhaite. Comme dans le cas des filtres analogiques (SLIT) o une quation diffrentielle coefficients constants relie l'entre la sortie, il existe pour les filtres numriques une quation aux diffrences coefficients constants reliant l'entre la sortie :

=

-=

- -=N

jjkj

N

iikik ybxay

10

avec N k

Cette relation montre que la sortie l'instant k dpend de l'entre l'instant k et des prcdentes mais galement des sorties prcdentes. Elle traduit la linarit du systme. De cette relation, on peut en dduire deux types de filtres numriques : les filtres non rcursifs : tous les bj sont nuls les filtres rcursifs : au moins un bj est non nul Dans le cadre des systmes linaires invariants, l'utilisation de la rponse impulsionnelle permet d'crire la convolution discrte :

+

--= ikik xhy

Cette quation amne galement dfinir deux types de filtres numriques :

Filtre Signal brut {xn}

Signal filtr {yn}


40

les filtres rponse impulsionnelle finie :

-

-=1

0

N

ikik xhy

les filtres rponse impulsionnelle infini pour lesquels la relation de convolution ne sera

pas applicable et il sera ncessaire d'utiliser l'quation aux diffrences. Comme pour les filtres analogiques, on peut passer du domaine temporel au domaine frquentiel en utilisant la transforme de Fourier discrte. On peut donc dfinir un filtre numrique par analogie un filtre analogique. Sa ralisation sera obtenue partir de

- l'quation aux diffrences - l'quation de convolution (filtre rponse impulsionnelle finie) - la transforme de fourier Discrte lorsqu'on connat la fonction de transfert Hm

b) Transformation en z Dans le cas des signaux discrets, on introduit une nouvelle transformation, la transforme en z, note Tz :

( ) +

=

-==0

)()()(k

kzkTeszStsTz

La proprit importante de cette transformation est le retard temporel.

( ) mzzSmTetsTz -=- )()( Ainsi, z-1 est appel l'oprateur retard et fait correspondre un signal le mme signal retard d'un chantillon. Ex : 1

1-

- = nn xxz . Lorsquon applique loprateur retard lchantillon xn on obtient lchantillon prcdent xn-1 .

Filtre numrique {xk} {yk}

{Xm} {Ym} Ym=HmXm

TFD

TFD-1


41

c) Synthse des filtres numriques par la fonction de transfert. On obtient la fonction de transfert partir de l'quation aux diffrences :

=

-=

- =N

jjkj

N

iiki ybxa

00

avec bo=1

En prenant la transforme en z de cette quation comme dans le cas des filtres analogiques o l'on linarise l'quation diffrentielle en appliquant la transforme de Fourier.

On obtient alors dans le cas gnral:

=

-

=

-

==N

j

jj

N

i

ii

zb

za

zXzY

zH

0

0

)()(

)(

Exemple : considrons un filtre du second ordre (N=2)

2211022110 ---- ++=++ kkkkkk xaxaxaybybyb avec kk yZy1

1-

- = et kk xZx1

1-

- =

on obtient : kk

k Hzbzbbzazaa

xy

=++++

= ----

2110

22

110

2

Pour un filtre non rcursif :

=

-=N

i

ii zazH

0

)(

qui se traduit par : 22110 -- ++= kkkk xaxaxay

Ensuite, la question fondamentale rsoudre est comment obtenir H(z) pour des caractristiques bien dfinies (gain, phase,) correspondant par exemple un filtre analogique dfini par sa fonction de transfert. C'est le domaine trs vaste de la synthse des filtres numriques. Une premire approche est de transposer la fonction de transfert du filtre analogique au filtre numrique. Par exemple, si on considre le filtre analogique passe-bas du 1er ordre suivant :

e(t) s(t) R

C


42

La relation entre l'entre et la sortie s'exprime par :

dttds

RCtste)(

)()( +=

En prenant la transforme de Fourier de cette quation, on obtient la fonction de transfert :

)exp(211

)( jp

jGfRCj

fH =+

=

avec le gain 2)2(1

1

fRCG

p+= et la phase )2arctan( fRC pj -=

Comment passe-t-on de H(f) H(z) ? D'aprs la dfinition de la transforme en z, on peut voir qu'en prenant z = exp(j2pfTe) on retrouve la transforme de Fourier.

Il suffit donc de remplacer dans H(f) f par )ln(21

zTej p

. Seulement H(z) ne sera plus linaire.

Il faut trouver une nouvelle transformation qui puisse conserver la fonction comme un rapport de polynmes en z-1.

d) Transformation d'Euler ou quivalence de la drivation

dtdx

ty =)( => TeXX

nnny 1-

-=

Transforme de Fourier : )(2)( ffXjfY p= donc H(f) = j2pf

Transforme en z de l'quation diffrentielle discrtise : ( )1)()(1)( --= zzXzXTe

zY

Soit )(1

)(1

zXTe

zzY

--= d'o

Tez

zH11

)(--

=

Il suffit donc de remplacer j2pf par Te

z 11 -- dans l'expression de la fonction de transfert du

filtre analogique.

11

1)(

--

+

=z

TeRC

TeRC

zH


43

Do ao =1 et tous les autres ai=0

+=

TeRC

b 10 et TeRC

b-

=1

En normalisant par b0, on obtient finalement :

nnn xby

bb

y0

10

1 1+-

= -

Cest donc un filtre rcursif dordre 1.

VIII) Bibliographie F. COTTET, Traitement des signaux et acquisitions des donnes, 2e dition, DUNOD, 2002 F. COTTET, Traitement du signal Aide mmoire, DUNOD, 2000 J. BROESCH, Comprendre le traitement numrique du signal, PUBLITRONIC/ELEKTOR, 1999


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Traitement de Signal