Instituto Politcnico NacionalEscuela Superior de Ingeniera en Mecnica y ElectrnicaUnidad Culhuacan

Alumno: Tarea 1:Materia:

Jimnez Montiel Luis Enrique

Transformada Z

Teora de Control Digital

Profesora:

Ing. Cruz Gonzlez Hayari

Matricula:

2012350411

Grupo:

7CV15

Transformada Z

La definicin de una transformada Z es x[n] donde n es un nmero entero. Se define como una transformada z a:

Donde z toma valores complejos.

Existe una relacin entre la Transformada Z y la transformada de Fourier donde en general se puede deducir lo siguiente:

Ejemplo 1

Calcular la transformada z de: Con la grafica siguiente:Utilizando el programa de MATLAB:

n=0:10 a=0.8.^n stem(n,a)

Dando los valores siguientes:

Que tambin se puede representar como:

Donde la razn es:

Utilizando la frmula para la resolucin de sumatorias con trminos exponenciales se hace lo siguiente:

Formula:

Donde a puede tomar ms de un valor dependiendo de lo que se tiene en la razn sea un numero o un modulo mayor que 1:

Si

Entonces cuando tiende a infinito ser 0.

Y si

Entonces cuando tiende a infinito el resultado divergir y el resultado ser infinito.

Por lo tanto hay dos posibles resultados:

Dado esto se deduce que la Regin de convergencias debe ser mayo a 0.8. Con el siguiente programa en MATLABsyms ztz=-(1)/(1-(0.8/z))[num,den]=numden(tz) num=sym2poly(num) den=sym2poly(den) subplot(2,1,1) rlocus(num, den) subplot(2,1,2) zplane(num,den)Ejemplo 2

Dada una funcin decreciente hacia menos infinito. Calcular la transformada z de:

Con la grafica siguiente:

Utilizando el programa de MATLAB:

n=-10:-1a=-(0.8.^n)stem(n,a)

Dando los valores siguientes:Que tambin se puede representar como:

Donde la razn es:

Utilizando la frmula para la resolucin de sumatorias con trminos exponenciales se hace lo siguiente:

Donde a puede tomar ms de un valor dependiendo de lo que se tiene en la razn sea un numero o un modulo mayor que 1:

Si

Entonces cuando tiende a infinito ser 0.

Y si

Entonces cuando tiende a infinito el resultado divergir y el resultado ser infinito. Por lo tanto hay dos posibles resultados:

Dado esto se deduce que la Regin de convergencias debe ser mayo a 0.8. Con el siguiente programa en MATLABsyms ztz=(1)/(1-(0.8/z))[num,den]=numden(tz) num=sym2poly(num) den=sym2poly(den) subplot(2,1,1) rlocus(num, den) subplot(2,1,2) zplane(num,den)

Ejemplo 3

Dada una funcin

Calcular la transformada z de: Con la grafica siguiente:

Utilizando el programa de MATLAB:

n1=-10:-1 a=-(1.1.^n) n2=0:10 b=(0.9.^n) c=[a b] stem(c)

Donde se puede simplificar en dos funciones:

Dando como relacin de convergencia:

Dando como valor de convergencia:

Uniendo las dos Transformadas Z puede dar lo siguiente

Con el siguiente programa de MATLAB se pudo mostrar los ceros y polos de la funcin:

syms ztz=(1)/(1-(1.1/z))-((1)/(1-(0.9/z))) [num,den]=numden(tz) num=sym2poly(num) den=sym2poly(den) subplot(2,1,1)rlocus(num, den) subplot(2,1,2) zplane(num,den)

Esto se hace para ver los puntos donde se anulan la Transformada Z.