Instituto Politcnico NacionalEscuela Superior de Ingeniera en Mecnica y ElectrnicaUnidad Culhuacan
Alumno: Tarea 1:Materia:
Jimnez Montiel Luis Enrique
Transformada Z
Teora de Control Digital
Profesora:
Ing. Cruz Gonzlez Hayari
Matricula:
2012350411
Grupo:
7CV15
Transformada Z
La definicin de una transformada Z es x[n] donde n es un nmero entero. Se define como una transformada z a:
Donde z toma valores complejos.
Existe una relacin entre la Transformada Z y la transformada de Fourier donde en general se puede deducir lo siguiente:
Ejemplo 1
Calcular la transformada z de: Con la grafica siguiente:Utilizando el programa de MATLAB:
n=0:10 a=0.8.^n stem(n,a)
Dando los valores siguientes:
Que tambin se puede representar como:
Donde la razn es:
Utilizando la frmula para la resolucin de sumatorias con trminos exponenciales se hace lo siguiente:
Formula:
Donde a puede tomar ms de un valor dependiendo de lo que se tiene en la razn sea un numero o un modulo mayor que 1:
Si
Entonces cuando tiende a infinito ser 0.
Y si
Entonces cuando tiende a infinito el resultado divergir y el resultado ser infinito.
Por lo tanto hay dos posibles resultados:
Dado esto se deduce que la Regin de convergencias debe ser mayo a 0.8. Con el siguiente programa en MATLABsyms ztz=-(1)/(1-(0.8/z))[num,den]=numden(tz) num=sym2poly(num) den=sym2poly(den) subplot(2,1,1) rlocus(num, den) subplot(2,1,2) zplane(num,den)Ejemplo 2
Dada una funcin decreciente hacia menos infinito. Calcular la transformada z de:
Con la grafica siguiente:
Utilizando el programa de MATLAB:
n=-10:-1a=-(0.8.^n)stem(n,a)
Dando los valores siguientes:Que tambin se puede representar como:
Donde la razn es:
Utilizando la frmula para la resolucin de sumatorias con trminos exponenciales se hace lo siguiente:
Donde a puede tomar ms de un valor dependiendo de lo que se tiene en la razn sea un numero o un modulo mayor que 1:
Si
Entonces cuando tiende a infinito ser 0.
Y si
Entonces cuando tiende a infinito el resultado divergir y el resultado ser infinito. Por lo tanto hay dos posibles resultados:
Dado esto se deduce que la Regin de convergencias debe ser mayo a 0.8. Con el siguiente programa en MATLABsyms ztz=(1)/(1-(0.8/z))[num,den]=numden(tz) num=sym2poly(num) den=sym2poly(den) subplot(2,1,1) rlocus(num, den) subplot(2,1,2) zplane(num,den)
Ejemplo 3
Dada una funcin
Calcular la transformada z de: Con la grafica siguiente:
Utilizando el programa de MATLAB:
n1=-10:-1 a=-(1.1.^n) n2=0:10 b=(0.9.^n) c=[a b] stem(c)
Donde se puede simplificar en dos funciones:
Dando como relacin de convergencia:
Dando como valor de convergencia:
Uniendo las dos Transformadas Z puede dar lo siguiente
Con el siguiente programa de MATLAB se pudo mostrar los ceros y polos de la funcin:
syms ztz=(1)/(1-(1.1/z))-((1)/(1-(0.9/z))) [num,den]=numden(tz) num=sym2poly(num) den=sym2poly(den) subplot(2,1,1)rlocus(num, den) subplot(2,1,2) zplane(num,den)
Esto se hace para ver los puntos donde se anulan la Transformada Z.