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Transferencia de Energía

1547

Grupo 3

2014-08-13 4ª

2014-08-13

Contenido

Balance de Energía Total;

Balance de Energía Mecánica;

Balance de Energía Térmica.

dV

:2D v

vp p v v v g vDt 2gc

2

v

c

D vc T q EG v g vp v

Dt 2g

v

Dc T q EG p v : v

Dt

Ecuación de Continuidad… es un caso particular de Balance de Masa, que tiene las

siguientes restricciones

1. Solamente hay trasporte por convección;

2. No hay transformación.

En el balance de la propiedad conservativa φ , ψ representa a la concentración de φ , es

decir PC/volumen.

t v

G

0

Por lo tanto, en el modelo de transporte de masa en un sistema donde no cambia su

composición se cumple: φ = masa ; consecuentemente ψ = masa / volumen = densidad = ρ

Ecuación de Continuidad: v 0t

Como:

Gv 0t

0Gvt

0, porque ni ni son funciones de la posición

0, porque en las transformaciones químicas la masa total se conservaG

Balance diferencial de Energía “Térmica”

En el balance diferencial de la propiedad conservativa φ, la variable ψ representa a la

concentración de la propiedad conservativa (ψ = φ /volumen); consecuentemente, una forma

rápida de obtener un balance diferencial de energía “térmica” consiste en modificar dicho

balance diferencial de la propiedad conservativa φ mediante el siguiente cambio de variable

ψ = ρCpT; amén de considerar los parámetros correspondientes a este caso:

Difusión Convección Generación, reacción

0

3 0 3cuando:

* p

mol cal calC T C

L mol C L

p

p p R I

C TC T v C T q q 0

t

Acumulación

Intercambio alrededores

Como:

Gv 0t

Balance diferencial de energía térmica, unidades

CpT t

CpT v CpT q

0

CpT t

1

seg

cal

L3

cal

seg L3

CpT 1

L

1

L

L2

seg

cal

L3

cal

seg L3

v CpT 1

L

L

seg

cal

L3

cal

seg L3

3 ,

R I

calq q

seg L

Balance de Energía Total, BET.

Los tipos de energía que se toman en consideración son los siguientes:

Energía interna: EI… temperatura del fluido;

Energía cinética: EC… movimiento del fluido;

Transporte de energía por difusión… flujo de calor;

Transporte de energía por convección… flujo de masa;

Generación de energía… reacción química (endotérmica o exotérmica);

Intercambio de energía de otro tipo con los alrededores… trabajo…

Energía cinética: 2mv

2

Energía interna: pmC T

Energía cinética por unidad de volumen: 2 21 mv v

V 2 2

Energía interna por unidad de volumen: p p

mC T C T

V

z

x y

v

v,A,w

,P,T

ndA

Balance de energía total

Entrada de EI

por convección

Entrada de EC

por convección

Salida de EI por

convecciónSalida de EC por

convección

Entrada de Q

por conducción

Salida de Q

por conducción

+ Generación Efecto otras formas de E de alrededoresAcumulació Acumulacn E ECI ión

Entrada de Otras

Formas de E

Salida de Otras

Formas de E

Energía interna: EI… relacionada directamente con la temperatura del fluido;

0

0

calEnergía interna: mol cal

mol pmC T

0

3 0 3

mol cal calEnergía interna por unidad de volumen:

L mol LpC T

Elemento diferencial de volumen… volumen de control… área diferencial

3

2L LFlujo volumétrico = L

sec secv.ndA

3

masa m

unidad de volumen L 3

m

L

Flujo por convección de EI, a través del área A del elemento de control…

2

3

Flujo de EI = rapidez de transferencia de EI

cal L calL

sec secLpC T v ndA

Flujo de EI através del área d =e entrada,

e

e v

A

C T v AA n d

Flujo de EI através del área =de salida,

s

s v

A

C T v AA n d

Flujo neto de EI através del área de toda el área del elemento de control:

se

v v

A A

C T v d A C T v dn An

Flujo neto de EI através de t =oda el área v

A

C T v d AA

Energía Cinética, EC… relacionada directamente con la velocidad del fluido;

como: Energía Cinética, EC = cal ... ¿?2v

2

3

EC cal

unidad de volumen L

Flujo por convección de EC, a través del área A del elemento de control…

3

2L LFlujo volumétrico = L

sec secv ndA

Flujo de EC através del área de entrada, =

e

2

e

A

vA n

2v d A

Flujo de EC através del área de salida, =

s

s

A

2v

2A nv d A

=

e es s

2 2 2

A AA A A

v d A v d A v dv v

Av

n2 2

n2

Flujo neto de EC através del área A

2

v d Av

2A

2

2

Flujo de calor = rapidez de transferencia de calor

flux de calor área de transferencia

cal calL

sec sec Lq ndA

Flujo de calor, q, a través del área del A elemento de control… conducción:

Flujo de calor através del área de entrada, =

e

e

A

qA n d A

Flujo de calor através del área de salida, =

e

e

A

qA n d A

e sesA A AA A

q d A q dn n A q d A

Flujo neto de calor através de toda el área =A

q AA d

Acumulación de energías interna, EI, y cinética EC en el elemento de control…

3

calComo: y

cm

2

v

vc T

2

+ cal2

v

vc T dV

2

La cantidad de EI y EC que tiene un elemento diferencial del volumen de control dV es:

+2

v

V

vc T dV

2

Por lo tanto la cantidad total de EI y EC que tiene el volumen de control V es:

+2

v

V

d vc T dV

dt 2

Consecuentemente, la cantidad total acumulada de EI y EC en el volumen de control V es:

Energía generada… relativa a procesos que ocurren en el interior del elemento de

control, tales como reacciones químicas (exotérmica, ΔH<0; endotérmica, ΔH>0), flujo

de corriente eléctrica, etcétera.

eD

nef

erinic

gía gión: Rapidez de ener

enegía gene

rada 1 cal

volumenr

a a

td

L3EG

3

3Rapidez de energía generada en un elemento diferencial de volumen:

cal calL

t t L EG dV

nergía generada en todo el elemento de contRapidez de rol: eV

EG dV

Energía asociada con fuerzas que ejercen los alrededores sobre el elemento de

control EC.

Principio (fundamento): energíaf d

a) Gravedad (de campo) = g

Por lo tanto, la rapidez de la energía asociada con dichas fuerzas esta dada por:

energía

tf v

Se considera que el EC puede estar sometido a los siguientes tres tipos de fuerzas:

b) Presión (estáticas; fluidos en reposo) = p

c) Viscosas (fluidos en movimiento) =

Energía asociada con la fuerza de gravedad de un elemento diferencial de volumen dV :

gdV

Entonces, el flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad ejercida en un elemento

diferencial de volumen dV es:

gdV v g v dV

Por lo tanto, el flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad del EC de volumen V es :

V

g v dV

De manera similar, el flujo de energía asociado con la presión que soporta (ejerce) el EC es:

A

pv ndA

Recordar: d f pnd A v d f v pndA pv ndA

Energía asociada con los esfuerzos viscosos.

fuerzaComo: esfuerzo

áread f ndA

El flujo diferencial de energía asociado con los esfuerzos viscosos esta dado por:

d f v ndA v

Por lo tanto, el flujo total de energía asociado con los esfuerzos viscosos (dinámicos) que

soporta (ejerce) el EC es:

A

v ndA

En el curso anterior (Transferencia de momentum) se trató el significado físico del tensor

de esfuerzos, así como de su evaluación en términos de variables medibles; luego se

mencionará algo a ese respecto.

De acuerdo con anterior, los términos que componen el Balance Total de Energía son:

Acumulación de EC y EI +2

v

V

...d v

c T dVdt 2

Flujo neto E de I v

A

. c T v. d. n A

Flujo neto de EC2

A

vv ndA

2...

nergía generadRapide a... z de eV

EG dV

flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad... V

g v dV

Flujo de energía asociado con la presión... A

pv ndA

Flujo total de energía asociado con los esfuerzos viscosos din ... ámicosA

v ndA

Flujo neto de calor (difusión térmica) A

. q n d. A.

Por lo tanto, el Balance Total de Energía queda:

+2 2

v v

V

V AV

A A A

A

d v vc T dV c T v ndA v ndA q n dA

dt 2 2

g v dV pv ndA v ndE dV AG

Considerando que el EC está fijo (w = 0), al aplicar el Teorema General de Transporte, el

término de acumulación queda:

+ +2 2

v v

V V

d v vc T dV c T dV

dt 2 t 2

Además, aplicando el Teorema de Divergencia, se cambian todos los términos que están

en función del área del elemento de control A a su correspondiente volumen V :

+2 2

v v

V

v vc T q v c T v EG v g vp v dV 0

t 2 2

Finalmente, el Balance Total de Energía queda:

+2 2

v v

v vc T v c T v q EG v g vp v 0

t 2 2

Para obtener el Balance Total de Energía en términos de la Derivada Sustancial se considera:

Acumulación: + + + +2 2 2 2

v v v v

v v v vc T c T c T c T

t 2 t 2 t 2 2 t

Reacomodando los términos de flujo por convección:

2 2

v v

v vv c T v v c T

2 2

Como: vx x v v x Por lo tanto, si: 2

v

vx c T

2

Las convecciones quedan: 2 2 2

v v v

v v vv c T c T v v c T

2 2 2

Los términos de Acumulación y los de Convección de EC y EP quedan:

+2 2

v v

v vc T v c T v

t 2 2

+ +2 2

v

2

v v

2

v

vv vc T c T v

t 2 2

vc T v c T

2 t 2

+ +2 2

v v

2 2

v v

v vc T c T v

2 t

v vc T v c T

22 t 2

+ +2 2

v v

2 2

v v

v v v vc T vc T c T v

2 t 2c T

t 2 2

+ +2 2

v v

2

v

v vc T v c T

t 2

vc

2 2T v

t

Como: y: +2 2 2

v v v

c

v v D vc T v c T c Tv 0

t t 2 2 Dt 2g

Finalmente, el Balance Total de Energía en términos de la Derivada Sustancial queda:

2

v

D vc T q EG v g vp v

Dt 2

Esta ecuación describe los cambios de energía interna (ρcvT) y energía cinética (ρv2/2) que

sufre un EC que esta afectado por los siguientes factores:

nergía genRapidez de erada e ... EG

Flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad... v g

Flujo de energía asociado con la presión... vp

Flujo total de energía asociado con los esfuerzos viscosos .d .in . ámicos v

Flujo neto de calor (difusión térmica) ... q

Balance de Energía Mecánica, BEM.

Hay diferentes maneras de obtenerla; aquí se aprovechará el conocimiento que se tiene

del Balance de Momentum, ejecutando el producto punto del Balance de Momentum y la

velocidad, v, con la que se mueve el fluido.

Algunas unidades:

rapidez de proceso Balance de Momentu

de momentu

unidad m =

de volumen de c

m

ontrol3

1

L

mv

t

3 3

1 1 L 1 LComo: = = m = m = =

t tL L t3 2 3 3

1 mv 1 1ma f

tL L L

energía

Balance de Momentum velocidad = = =volumen x tiempo3 3

f f LL

tL L t

rapidez de proceso de energía

Balance de Momentum velocidad =volumen

Balance de Energía Mecánica, BEM.

Es el producto punto del Balance de Momentum y la velocidad, v, del fluido.

Balance Momentum: v vv p gt

Como: v

v vt t t

v v v v vt t

v vv v v v

t t

además: vv v v v v v v

v vv p gt

como: ; v D

v v vt

v 0t Dt

Dvp g

Dt

Por lo tanto, el Balance de Momentum en términos de la derivada sustancial queda:

Para obtener el de Energía Mecánica se hace el producto punto del Balance de Momentum y la

velocidad v del fluido:

Balance de Energía Mecánica: Dv

P g v 0Dt

Dv Dv

p g v v p v v g vDt Dt

como: 2Dv D D v

v v vDt Dt Dt 2

... A.4-19, BSLp v p v pv p v

: ... A.4-29, BSLv v v v

: ... (BEM)2D v

pv p v v v g vDt 2

Por lo tanto, el Balance de Energía Mecánica, en términos de la Derivada Sustancial, queda:

g v g v

2

v

D D vc T q EG v g pv v

Dt Dt 2

2D v

pv p v : v v v gDt 2

v

Dc T q EG p v : v

Dt

Balance Total de Energía Térmica, se obtendrá restando al Balance Total de Energía el

Balance de Energía Mecánica… se hará expresando dichos balances en términos de la

derivada material:

Balance de Total de Energía:

Balance de Energía Mecánica:

Por lo tanto, el Balance de Energía Térmica en términos de la Derivada Material es:

Esta ecuación describe el cambio de energía interna que sufre un elemento de control que

esta afectado por los procesos de transformación, la presión y las fuerzas viscosas.

como: v v v

Dc T c T v c T

Dt t

v vc T v c T q EG p v : vt

v

Dc T q EG p v : v

Dt

Balance de Energía Térmica en términos de la derivada total; se obtiene considerando que:

Por lo tanto, el Balance de Energía Térmica en términos de la Derivada Total es:

Esta ecuación describe el cambio de energía interna que sufre un elemento de control que

esta afectado por los procesos de transformación, la presión y las fuerzas viscosas.

p

p p R I

C TC T v C T q q 0

t

Comparar esta última expresión del Balance de Energía Térmica con la “Rápida”:

Transferencia de Energía

Fin de 2014-08-13 4ª

BSL, Tabla 10.2-1

Componentes de la densidad de flujo de energía

q k T

; ; x x y y z z

T T Tq k q k q k

x y z

Coordenadas rectangulares

; ; r r z z

T T Tq k q k q k

r z

Coordenadas cilíndricas

1

; ; r r

T T Tq k q k q k

r r sen

Coordenadas esféricas

BSL, Tabla 10.2-2

Ecuación de energía en función de las densidades de flujo de

energía y cantidad de movimiento. Coordenadas rectangulares

v

TC

t

Acumulación EI

v x y z

T T TC v v v

x y z

Convección EI

yx zqq q

x y z

Conducción calor

yx zvv vp

TT x y z

Energía asociada con esfuerzos estáticos

y y yx x xz z zxx yy zz xy xz yz

v v vv v vv v v

x y z y x z x z y

Energía asociada con esfuerzos dinámicos)

yx zv x y z

y yx xz zxx yy zz

y yx x z zxy xz yz

qq qT T T TC v v v

t x y z x y z

v vv vv vpT

T x y z x y z

v vv v v v

y x z x z y

BSL, Tabla 10.2-2

Ecuación de energía en función de las densidades de flujo de energía y

cantidad de movimiento. Coordenadas rectangulares.

1 1

1 1

1

1

v r z

zr

zr

r zrr r zz

r z rr yz z

vT T T TC v v

t r r z

q qrq

r r r z

v vpT rv

T r r r z

vv vv

r r z

v v v vr

r r r r z

1 z vv

r z

BSL, Tabla 10.2-2

Ecuación de energía en función de las densidades de flujo de energía y

cantidad de movimiento. Coordenadas cilíndricas.