Transferencia de Masa

2012-09-18-13ª

2012-09-13

Modelos de coeficiente de transferencias de masa para interfase

fluida (largo alcance):

Película estancada (repaso);

Superficie renovada (teoría de penetración), Higbie;

Superficie renovada, Danckwerts;

Relación de equilibrio físico (repaso);

Sistema líquido/gas: coeficientes de transferencia de masa globales.

Coeficientes de transferencia de masa kg y de energía h

Modelos de transporte tipo ley de enfriamiento de Newton

[transporte]=[transformación]… ejemplos de continuidad

La forma de calcular kg y h depende del modelo que se utilice para describir las

características de la interfase y el modo en el que ocurre el transporte de dichas

propiedades conservativas.

g 0 S S Sk a C C r C ,T S 0 S Sha T T H r C ,T

Fenomenológicamente, los coeficientes globales de transferencia de masa kg y energía

h se definen como el cociente del flux difusivo de la propiedad conservativa dividido

por la fuerza motriz correspondiente:

flux difusivo de masa flux difusivo de calor y g

0 S S 0

k hC C T T

Para explicar un poco el significado del coeficiente de transferencia de masa kg , se

consideran algunos de los modelos que se han empleado para modelarlo, tales como el

de la película estancada y el de la superficie renovada.

Modelo de la película estancada (ya se presentó)

Sea un sistema interfase/intrafase, isotérmico:

... (continuidad)g 0 S

y

dCk C C D

dy

δ Interfase (película de fluido estancada)

CS T0

Intrafase (catalizador poroso)

Fluido que fluye C0 T0

En la vecindad (el umbral) de la interfase y la intrafase debe cumplirse que el flux de

reactivo que sale de la interfase debe ser igual al flux de reactivo que entra en la

intrafase.

Suponiendo que en la interfase el transporte de reactivo obedece la ley de enfriamiento

de Newton, y que en la intrafase el transporte del reactivo es únicamente por difusión

(no hay convección efectiva), se tiene:

CS T0

δ

C0 T0

Interfase

2

2

C dCD 0 a

dyy

con: en y en 0 SC C y C C y 0

S 0 S

yC C C C

Modelo de la película estancada:

1.- La película de fluido no se mueve;

2.- El sistema esta en condiciones de estado estacionario;

3.- El sistema es isotérmico;

4.- El transporte es por difusión;

5.- El transporte es unidireccional;

6.- No hay reacción química;

7.- No hay transporte de masa desde (o hacia) una interfase.

2 2 2

A A A A A A Ax y z AB A A2 2 2

C C C C C C Cv v v D R S

t x y z x y z

como: S 0 S

yC C C C

0 S

y

C CdC

dy

Comparando la ecuación (a) con la ecuación que establece la continuidad que debe

haber en la interfase sólido/fluido (el flux de reactivo que sale de la interfase debe ser

igual al flux de reactivo que entra en la intrafase) se obtiene una expresión para kg:

... (continuidad)g 0 S

y

dCD k C C

dy

Cualitativamente, esta igualdad confirma que el coeficiente convectivo de transferencia

de masa (de largo alcance) kg es un coeficiente de transporte. Sin embargo, este modelo

tiene la incertidumbre que implica la evaluación del espesor de la película estancada δ.

g

Dk

... (a)

0 S

y

C CdCD D

dy

[1]: Introduction to transport phenomena, W. J. Thomson, Prentice Hall, 2000, Caps.

7,9 10.

Transporte Molecular; Superficie Renovada.[1]

Supone que el transporte turbulento de la(s) propieda(es) conservativa(s)

ocurre mediante remolinos que se mueven de un lado del sistema a otro.

Transporte de calor… antecedente…

Transporte Turbulento-Molecular. Modelo de la Superficie Renovada. Calor

Modelo

Pared fija que tiene una temperatura

relativamente alta (T=Tw);

Debido a la turbulencia del fluido, llegan a

la pared remolinos del fluido que tienen una

temperatura (Tb) menor que la de la pared

(Tb<Tw);

Cada remolino se mantiene en contacto con

la pared un tiempo relativamente corto, pero

lo suficiente para que ocurra la transferencia

molecular de una cantidad finita de calor.

Conociendo (balanceando) la cantidad de calor que transporta un remolino y

contabilizando (de alguna manera) la contribución de todos los remolinos que entran

en contacto con la pared, se estima la cantidad total de calor transferida de la pared al

fluido.

Modelos para la transferencia de masa en la interfase

Teoría de penetración (Higbie, 1935)

• Pretende tomar en cuenta la inestabilidad que existe en la interfase de sistemas

fluido-fluido (no lo pueden hacer los modelos anteriores).

• Se plantea el caso de un sistema gas-líquido.

• El modelo consiste en considerar que se tiene un líquido B el cual se mueve

mediante paquetes de fluido; dichos paquetes entran en contacto con un gas durante

el tiempo suficiente como para que ocurra el transporte de la especie de interés A

(hacia ó desde la fase gas); después de lo cual dichos paquetes se mueven hacia el

seno del líquido, y son reemplazados por otros. En este sentido, este modelo supone

la difusión del soluto A en condiciones de estado no-estacionario en una cierta zona

de líquido, que para facilitar el manejo matemático se considera que tiene un espesor

infinito.

Líquido,B

Gas,A

=2

A A

AB 2

C d CD

t dx

El modelo matemático tiene las siguientes restricciones:

1) Transporte por difusión;

2) Unidireccional: x;

3) Estado no-estacionario;

4) Isotérmico

5) Espesor de la capa de líquido es infinito: x=∞

Por lo tanto el modelo queda:

@ cuando: A A0C C 0 x t 0

A A0

Ai A0 AB

C C x=1-erf

C C 4tD

Con las siguientes condiciones límite:

@ cuando: A A0C C x t 0

@ cuando: A AiC C x 0 t 0

La solución es de la forma1:

1 Hines A. L., Mass Transfer Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 1984.

Abramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1972.

A

A ABx=0

x=0

CN = D

x

... (*)2

A

Ai A0

ABAB

C 1 xC C exp

x 4tDtD

1

2AB

A Ai A0x=0

D N = C C

t

Como el transporte es únicamente por difusión, el flux de A esta dado por:

como: A A0

Ai A0 AB

C C x1- erf

C C 4tD

(*) Hines A. L., Mass Transfer Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 1984.

Abramowits, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1972.

Por lo tanto, el flux de A que entra (o sale) instantáneamente del paquete líquido es:

x 0

x

2

A

A AB AB Ai A0

BAB0 A

C 1N D D C C exp

x 4tDtD

0

Como: =

1

2AB

A Ai A0x 0

DN C C

t

Por otro lado, el flux promedio de A que se transporta en el tiempo ts, que el paquete

líquido está en contacto con la fase gas, se obtiene aplicando el concepto de valor

medio:

st

A Aprom 0s

0

1N = N dt

t

st 11

22AB AB

A Ai A0 Ai A01 2proms s

0

D 4D1 dt N = C C C C

t tt

Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de penetración de Higbie, la cual considera que

los paquetes de líquido que entran en contacto con el gas permiten la transferencia

del soluto y tienen un tiempo de contacto ts, que es constante (el mismo para todos):

Por continuidad: g Ai A0 A x 00

dCk C C D N

dx

1

2AB

g

s

4Dk

t

Este modelo de kg es diferente del que predice la película estancada: g

Dk

Teoría de renovación en la superficie (Danckwerts, 1951)

Objetivo: mejorar la teoría de penetración de Higbie.

El modelo de Danckwerts considera que los paquetes de líquido tienen un de tiempo

de contacto que puede describirse con una función de distribución τ(t), en lugar de

uno constante ts, como se considera en la teoría de penetración de Higbie.

Por lo tanto, el flux promedio de A se calcula con una función de la forma:

1

2AB

A Ai A0 1/ 2proms

0

t4DN C C dt

t t

Se pueden proponer diferentes funciones para τ(t); Danckwerts propuso una que

implica que la rapidez con la que desaparecen los paquetes de cierta edad es de

primer orden con respecto al número de elementos que tiene esa edad:

d t S

dt

Donde S es la rapidez de renovación de remolinos en la superficie, y es igual al

recíproco del tiempo de exposición de dichos elementos.

d t Sdt

K exp St

como:

0

t dt 1

t S exp S

Para evaluar la constante de integración K se aprovecha que τ(t) es una cantidad

fraccional, por lo cual debe cumplir con:

0

K exp( St )dt 1

como:

0

Kexp( St )d St 1 K S

S

1

2AB

A Ai A0 1 2prom

0

S exp SDN C C dt

t

Ahora, aplicando esta función de distribución de tiempos de contacto a la expresión

de flux molar promedio se tiene:

como: t K exp St

1 2´

c ABk SD

1 2

A Ai A0 ABpromN C C SD

Como:

1

2AB

A Ai A0 1 2prom

0

S exp SDN C C dt

t

Resolviendo la integral se tiene el flux promedio de A de acuerdo con el modelo que

propone Danckwerts:

al compararla con: '

A c Ai A0N k C C

1 2´

c ABk D

S es un parámetro empírico.

Este modelo es diferente que los de la película estancada y de la teoría de

penetración de Higbie, que son respectivamente: 1

2AB

g

s

4Dk

t

g

Dk

Equilibrio físico

Análisis de sistemas de dos fases que están en equilibrio: gas-líquido y líquido-líquido.

Cuando se conoce la composición de una fase y las relaciones de equilibrio que guardan

los componentes del sistema, se puede conocer la composición de la otra fase.

j k jy m x

Donde P es la presión (total) del gas; yj es la fracción molar de j en el gas

v

j j jp x p

j j jp H x

Donde pj es la presión parcial de j, (es proporcional a la fracción molar de j en el gas);

Hjes la constante de Henry (empírica); xj es la fracción molar de j en el liquido.

# Soluciones ideales y con concentración relativamente alta… Ley de Raúl …

es la presión de vapor de v

jp j

j jp y P

Donde yj es la fracción molar de j en la fase gas; mk es el coeficiente de partición

(constante de equilibrio); xj es la fracción molar de j en la fase liquida. Este tipo de

relaciones se aplican para mezclas con comportamiento ideal y no-ideal.

El coeficiente mk es una función que depende del estado del sistema (T, P, C…).

# Soluciones ideales y diluidas … Ley de Henry

Ejemplo

Transporte de un soluto en un sistema un líquido/gas…1

Considere el esquema siguiente:

Descripción de la figura:

El soluto (material de interés) a sale de la parte baja del

sistema (difusor, sólido que se disuelve…); luego, a se

transporta a través del líquido y llega a la interfase

líquido/gas, en donde alcanza el equilibrio, lo cual

significa que el proceso global no esta controlado por

dicho equilibrio (partición de a en la interfase), sino por su

transporte; luego a se transporta en el gas; y finalmente, es

arrastrado por la corriente de aire que circula el la parte

superior del recipiente, y por lo que la concentración de a

en esa posición es constante.

1 Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 2001

Preguntas

a) Obtener el perfil de la composición de a en cada fase, en términos de la fracción molar de a:

xa(z), para el líquido; y ya(z), para el gas;

b) El modelo del flux, tanto en el líquido como en gas: Nax y Nay , respectivamente;

c) La expresión del coeficiente invidual de transferencia de masa para el líquido y el gas: kx y

ky , respectivamente.

d) La expresión del coeficiente global de transferencia de masa para el líquido y el gas: KCx y

KCy , respectivamente.

Solución

Modelo (restricciones) para el líquido:

1. Estado estacionario;

2. Transporte unidireccional (z);

3. Soluciones ideales y diluidas:

3.1 La concentración molar total Ct es constante;

3.2 El coeficiente de partición (equilibrio) mk es constante;

3.3 La fracción molar de a (xa )es “pequeña”… (ver 4.);

4. Transporte convectivo es despreciable;

5. Sistema isotérmico.

Para obtener el perfil de a en cada fase, se debe resolver el balance de masa (molar)

correspondiente:

El balance molar que satisface la restricciones establecidas es:

a

dN 0

dz

como: aa am a

dCN D vC

dz como: ... constantea a t tC x C C

aa am t t a

dxN D C vC x

dz como: t a mvC N N a

a am t a a m

dxN D C x N N

dz

pero: es "peq ueña"ax aam t a a m

dxD C x N N

dz a

a am t

dxN D C

dz

Como: a

dN 0

dz y: a

a am t

dxN D C

dz

2

a

2

d x0

dz

Por lo tanto, el perfil de a en el liquido es de la forma:

... (L)a 1 2x z

Las constantes de integración κ1 y κ2 se obtienen con las condiciones límite.

... (G)a 3 4y z

Asumiendo que en el gas también se satisfacen las restricciones del líquido, el modelo

del gas sería:

También en este caso, las condiciones límite determinan el valor de κ3 y κ4

Las condiciones límite [(1) y (4)] y las condiciones que se deben cumplir en la interfase

líquido/gas [(2) y (3)] son las que se muestran enseguida, y con ellas se pueden obtener

las expresiones (valores) de las constantes κ :

@ ... (1)a a0x x z L

@ ... (4)a a0y y z L

@ ... (2)a k ay m x z 0 @ ... (3)a at ax t ay

dx dyC D C D z 0

dz dz

Los perfiles de a en el liquido xa (z) y en el gas ya (z), y los modelos del flux en el

líquido Nax y en el gas: y Nay, se obtienen combinando la ecuaciones (L), (G), (1), (2),

(3) y (4):

... (L)a 1 2x z ... (G)a 3 4y z

@ ... (1)a a0x x z L @ ... (4)a a0y y z L

@ ... (2)a k ay m x z 0 @ ... (3)a at ax t ay

dx dyC D C D z 0

dz dz

... (5)

ay a0 k a0 a0 ay a0 ax

a a

ax k ayax k ay

D y m x y D x Dx z x z ...

D m DL D m D

Los perfiles de a en el liquido xa(z) y en el gas ya(z), así como del flux en el líquido Nax

y en el gas: y Nay, son:

... (6)k a0 ay a0 axax a0 k a0

a a

ax k ayax k ay

m y D x DD y m xy z y z ...

D m DL D m D

(7)

t ax ay

ax ay a0 k a0

ax k ay

C D DN N y m x ...

L D m D

Coeficientes individuales de transferencia de masa de cada una de las fases:

Del líquido:

Por definición: ax t cx a0 aiN C k x x

como:

ay a0 k a0 a0 ay a0 ax

a

ax k ayax k ay

D y m x y D x Dx z

D m DL D m D

Para obtener la expresión del coeficiente de transferencia del líquido kcx se considera:

a aix x z 0

a0 ay

i

a0 ax

a

ax k ay

y D x Dx

D m D

a0 ay a0 ax

ax t cx a0

ax k ay

y D x DN C k x

D m D

(8)t cx ay

ax k a0 a0

ax k ay

C k DN m x y ...

D m D

Al comparar la ecuación (8) con la expresión del flux Nax −ecuación (7) − se obtiene la

expresión del coeficiente individual de transferencia de masa en el líquido kx

(7)

t ax ay

ax ay a0 k a0

ax k ay

C D DN N y m x ...

L D m D

(9)axx

Dk ...

L

Procediendo de manera análoga se obtiene la expresión del coeficiente individual de

transferencia de masa en el líquido ky :

(10)ay

y

Dk ...

L

Cuando no se conoce la composición en la interfase (xai o yai), se utilizan los

coeficientes globales de transferencia de masa (Kcx o Kcy).

Para el líquido:

Ahora, la definición de flux es: a0ax t a0cx

k

yN C x

mK

donde: ao

ai

k

yx

m

Comparando esta última expresión con la definición de flux en términos de Kcx se tiene:

como: (7)

t ax ay

ax ay a0 k a0

ax k ay

C D DN N y m x ...

L D m D

ax ay k

c

x y

x

a k a

D D m

L D mK

D

rearreglando: k a0a0 k a0 a0 k a0 a0 k

k k

m yy m x y m x x m

m m

t ax ay a0ax ay a0 k

kax k ay

C D D yN N x m

mL D m D

t ax ay k a0ax ay a0

kax k ay

C D D m yN N x

mL D m D

cx

k ay ax

1K

L l

m D D

La expresión del coeficiente global a partir del gas, Kcy , se obtiene de manera análoga:

Por definición: ay t k a0 a0cyN m xKC y donde: k aiaom x y

Comparando esta última expresión con la definición de flux en términos de KCy se tiene:

como: ... (7)

t ax ay

ax ay a0 k a0

ax k ay

C D DN N y m x

L D m D

ax

cy

ay

ax k ay

D D

LK

D m D

k

ay a

cy

x

1

mL

D

K

D

cx

k ay ax

1K

L l

m D D

Las expresiones de Kcx y Kcy son diferentes, porque para calcular el flux de a cada una

de ellas se multiplica por un fuerza motriz diferente; sin embargo, ambas expresan la

capacidad global del sistema para transferir a en las condiciones (restricciones) del

caso:

ax ay

cy

ax k ay

D DK

L D m D

Transferencia de Masa

Fin de 2012-09-18-13ª