MATEMATICAS IV

TRANSFORMACIONES LINEALESUNIDAD V Alumno: Ana Irene Ortiz Peralta Catedrtico: Ing. Jess Lpez Ortega

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INDICE 5.1 Definicin de transformacin lineal y sus propiedades. 5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexin, dilatacin, contraccin, rotacin) 5.3 Definicin de ncleo o kernel, e imagen de una transformacin lineal. 5.4 La matriz de una transformacin lineal y representacin matricial de una transformacin lineal. 5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales. 5.6 lgebra de las transformaciones lineales. 5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales. Bibliografa 3

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5.1 DEFINICIN DE TRANSFORMACIN LINEAL Y SUS PROPIEDADES. Las transformaciones lineales desempean un papel muy importante en matemticas, fsica, ingeniera, procesamiento de imgenes, graficas en computadora y muchas otras reas de la ciencia y la vida diaria. Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el lgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicacin por escalar. Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformacin lineal o mapeo lineal de V a W es una funcin T: V W* tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T(u + v) = T(u) + T(v) b) T(c u) = c T(u) *Escribimos T: V W para indicar que T transforma V en W

Las transformaciones lineales se llaman con frecuencia operadores lineales. Tambin, las funciones que satisfacen a) y b) se denominan funciones lineales. En R2 definamos una funcin T por la frmula T( ) ( ) geomtricamente, T

toma un vector en R2 y lo transforma en su reflexin con respecto al eje x. una vez que hayamos dado la definicin bsica, veremos que T es una transformacin lineal de R2 en R2.Pgina 3 de 39

Propiedades de las transformaciones lineales Teorema 3: Sea T: V W una transformacin lineal. Entonces para todos los vectores v1, v2,,vn en V y todos los escalares c1,c2,,cn: T(c1v1+c2v2++cnvn)= c1Tv1+c2Tv2++cnTvn Demostracin: Si T es lineal, entonces T(c1v1 + C2v2)= T(c1v1) + T(c2v2)=c1T(v1)+ c2T(v2) y asi sucesivamente. As, las transformaciones lineales mapean una combinacin lineal de vectores en la misma combinacin lineal de las imgenes de esos vectores.

Teorema 4: sea T: V W una transformacin lineal. Entonces 1. T(0)= 0. Esta transformacin lineal mapea a todos los vectores de V en 0, en W se le llama transformacin cero. 2. T(u-v)= T(u)- T(v) Demostracin: 1.- T(0)= T(0v)= 0T(v)=0 2.-haciendo que c1=1 y c2=-1 T(u-v)= T(1u+(-1)v)= 1T(u)+ (-1)T(v)= T(u) T(v)

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Teorema 5: sea T: V W una transformacin lineal y sea B= {v1,v2,vn} el generador de V. entonces, el conjunto T(B)= {T(v1),T(v2),T(vn)} genera el contradominio de T. Demostracin: Sea W R Entonces existe un v que pertenece a V tal que T(v)=W. como B genera a V, hay escalares c tales que v=c1v1. Entonces W= T(v)= T(c1v1++cnvn)=c1T(v1)++cnT(vn) de aqu que W sea una combinacin lineal de T(B)

Ejemplo

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Ejemplo

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5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES (REFLEXIN, DILATACIN, CONTRACCIN, ROTACIN)

Homotecia Para un escalar fijo c. T: V W es lineal. T(v)= cv Sea u y w V y r R. T es lineal porque T(u+w)= c(u + w)= cu + cw= T(u) + T(w) T(ru)= c(ru)= rT(u)

Si c > 1, la homotecia es una dilatacin, y su efecto sobre v es estirarlo en un factor de c. Si 0 < c < 1, la homotecia es una contraccin, y su efecto sobre v es encogerla en un factor de c. si c