Transformaciones Lineales

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCASECCIN JAN

TEMA : TRANSFORMACIONES LINEALES.

ASIGNATURA : LGEBRA LINEAL.

ALUMNO : DVILA BERNAL, Walter Manuel. PATIO HUMBO, Luis Antonio. QUISPE HUAMN, Walter. SILVA GALVEZ, Reiner. TARRILLO FLORES, Cristian Ricardo. DOCENTE : SNCHEZ CULQUI, Eladio.

FECHA : 21-07-13.

JAN - PER2013

INTRODUCINEl lgebra lineal, a diferencia de otros cursos de matemticas, este no brinda una serie de tcnicas aisladas de clculo para resolver ciertos tipos de problemas. En lugar de ello, ofrece ciertas definiciones y creando procedimientos para la determinacin de propiedades y la demostracin de teoremas. Si bien hace muchos clculos, el objetivo de casi todos los problemas no es solamente obtener la respuesta correcta, sino que se entienda y explique cmo obtener la respuesta e interpretar el resultado.Una transformacin es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber que sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura.El termino de linealidad es muy intuitivo y a la vez muy cotidiano en nuestras vidas, por ejemplo: a una persona, efectuando un trabajo x percibe un salario f(x); trabajando el doble, cabe esperar que su salario tambin se duplique, es decir . Si realiza un trabajo extra y, sus ingresos sern la suma de los salarios percibidos por ambas ocupaciones as . Estas dos propiedades anteriores, van a caracterizar las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, que se denominan condiciones de linealidad.Se denomina transformacin lineal a toda funcin cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Ocurren con mucha frecuencia en el lgebra lineal y en otras ramas de la matemtica, tienen gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicacin en la fsica, la ingeniera y en diversas ramas de la matemtica.

1) Definicin: Sean y dos espacios vectoriales sobre el cuerpo . Una transformacin lineal es una correspondencia que a cada vector le asigna un vector tal que, para cualquier y , se cumple la relacin

Observacin: La particularidad de una transformacin lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector.1.1) EL CONJUNTO DE TRANSFORMACIONES LINEALES:Sean y espacios vectoriales sobre el cuerpo el conjunto de las transformaciones lineales de en , se denota por { es una transformacin lineal de en }.El conjunto es un espacio vectorial.

1.2) OPERADORES LINEALES.

Las transformaciones lineales , del espacio vectorial en s mismo, se llaman operadores lineales en V.Si , usamos la notacin en vez de , donde { es una transformacin lineal en }.

1.3) FUNCIONES LINEALES.

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo el conjunto de los nmeros reales. Las transformaciones lineales llamados funciones lineales.Esto es, si la funcin Cumple , diremos que es una funcional de V en.El conjunto { es una transformacin lineal} se llama el espacio vectorial Dual de V.

2) EJEMPLOS:

2.1) definido por , donde es una funcin lineal.

2.2) Si es el espacio vectorial de las funciones vectoriales podemos definir la funcin lineal Tambin es una funcin lineal es fijo.

2.3) Sea es el espacio vectorial de las funcione reales de variable real de clase . El operador de derivacin sobre es:

2.4) Sea es el espacio vectorial de las matrices cuadradas con elementos en y una matriz .La traza de A es el escalar La funcin traza es una funcin lineal de en .

Ejemplo:

Son transformaciones lineales:a) La proyeccin de los vectores sobre el plano b) La proyeccin de los vectores sobre el plano c) La proyeccin de los vectores sobre el plano YZ.Estas proyecciones lineales se expresan del siguiente modo:

Probemos que es una transformacin lineal (), para ello, apicaremos la definicin resumida: Veamos: = =De manera similar, se prueba que son transformaciones lineales.

3) TEOREMAS:

.TEOREMAS 01: Sea V un espacio vectorial de dimensin finita sobre el cuerpo , sea una base ordenada de V. Sea W un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo y vectores cualesquiera de W. Entonces existe una nica transformacin lineal T de V en W tal que:

Probaremos dos cosas:a) La existencia de la transformacin lineal Si es una base ordenada de V, entonces dado un vector existen n escalares tal que:.. (1)Si son vectores cualesquiera de W, entonces para el vector se define: ..(2)Si en (1) aplicamos T, obtenemos: (3)Por (2) y (3) podemos afirmar que:T() = , para cada . Ahora probaremos que T es lineal.Veamos:Sea , un vector de V y c cualquier escalar:Ahora + +.(3)Aplicar T: T(cv + u) = .(4)Por otro lado:

.. (5)Por (4) y (5):

b) La unicidad de T.Si es una transformacin lineal de V en W con , entonces para el vector se tiene:

por (2)Como se podr apreciar F es exactamente la misma correspondencia de T que se defini antes, lo que demuestra que la con es nica. LGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALESSobre el conjunto de las transformaciones lineales de V en W, denotado por es una }, podemos definir dos operaciones:a) La suma de dos transformaciones lineales de V en W.b) El producto de un escalar por una transformacin lineal de V en W, dando as al conjunto una estructura natural de espacio vectorial.TEOREMA 02: Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo . Sean T:V transformaciones lineales de V en W.a) La funcin definida por es una transformacin lineal de V en W.b) Si , la funcin definida por: es una transformacin lineal de V en W, junto con la adicin y la multiplicacin escalar aqu definidas, es un espacio vectorial sobre el cuerpo

DEMOSTRACINSi T y F son de V en W y segn la definicin de T + F, tenemos:a) Lo cual prueba que es una b) De manera similar:

El resultado nos dice que es una transformacin lineal.TEOREMA 03: Sea V un espacio vectorial de dimensin finita n sobre el cuerpo , y sea W un espacio vectorial de dimensin finita m sobre . Entonces el espacio es de dimensin finita y tiene dimensin mn.

DEMOSTRACIN1) Sean y bases de V y W, respecctivamente.

2) Para cada par de enteros con y se define una transformacin lineal. de V en W por

Los transformaciones forma una base de Cada transformacin lineal de la base est definida por:

3) Segn el teorema 01, existe una transformacin nica de V en W, que satisface las condiciones dadas.Sea T una transformacin lineal de V en W definida por:

Donde para cada , los escalares son las coordenadas del vector en la base ordenada Debemos demostrar que: . (2)4) Sea F la . del segundo miembro de (2). Entonces para cada j

Y en consecuencia Pero en (2) se nos dice que los generan Falta probar que son independientes.Veamos: S

Es la nula, entonces , para cada j, con lo queLa independencia de los implica que 4) PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES NCLEO E IMAGEN.4.1.-DEFINICIN: Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K y sea una transformacin lineal entonces:1. EL NCLEO de T, (o el espacio nulo de T) denotado por o , es el conjunto de todos los vectores tal que

2. La IMAGEN de , denotado por es el subespacio de , definido por:para algn }.3. Si V es de dimensin finita, el rango de es la dimensin de la imagen de y la nulidad de es la dimensin del espacio nulo de .

5) MONOMORFISMO, EPIMORFISMO E ISOMORFISMO.

Sea la transformacin lineal Definicin:1) T es inyectiva (o un monomorfismo), si y solo s, implica Otra definicin equivalente es: T es inyectiva implica 2) T es sobreyectiva (sobre, epiyectiva o epimorfismo), . Otra definicin equivalente es: es sobreyectiva si y solo si 3) T es un isomorfo si, solo si T es sobreyectiva e inyectiva.En este caso pensamos que V es isomorfo a W.

NOTACIN: La notacin se lee V es isomorfo a W.TEOREMA 04: Una transformacin lineal es INYECTIVA si y solo si

DEMOSTRACINSi T es inyectiva : vector nulo de V.Veamos:Si . (1)Debo probar que , donde Como es subespacio de V, se cumple:.. (2)(2) en (1): Pero T es inyectiva Si es inyectiva. Sea , entonces Observacin: Se dice que la transformacin lineal T es no singular si , implica , es decir si el espacio nulo de T es . Evidentemente, T es inyectiva si, T es no singular. El alcance de esta observacin es que las transformaciones lineales no singulares son las que preservan la independencia lineal.

TEOREMA 5Sea una transformacin lineal de en . Entonces es no singular (inyectiva) si, y solo si, aplica cada subconjunto linealmente independiente de sobre un subconjunto linealmente independiente de .

Sea un subconjunto de , linealmente independiente y el subconjunto de , que son las imgenes de los vectores es inyectiva Debo probar que implica que Veamos:1. Sean los escalares tales que:2.- porque es una 3.- Como es inyectiva, entonces: 4.- Por hiptesis son , entonces la igualdad en 3 implica que:5.- Por 1 y 4 implica que:son recprocamente, si la transformacin lineal lleva vectores en vectores , entonces en por lo tanto y es inyectiva.

TEOREMA 6 (TEOREMA DEL NUCLEO Y DE LA IMAGEN) Sea un espacio vectorial de dimensin finita y una transformacin lineal, entonces: Donde: y

Si es una base de y es una base de , se debe probar dos cosas:a) son b) Todo vector , de es combinacin lineal de los vectores Veamos:1. Supongamos que: 2. Aplicar :

3. Como es una base de la entonces son . y por tanto:

Luego, en 2, se tendr:

4. La igualdad implica que 5. Pero es una base del entonces son y por lo tanto 6. Por 3 y 5 afirmamos que son Prueba de b)7. Sea un vector arbitrario. Como podemos escribir: porque es una base de la imagen de La igualdad anterior implica : Esta igualdad implica que pertenece al ncleo de y por tanto, se puede expresar como combinacin lineal de los elementos de la base { , esto es, Luego, 8. Esto prueba que: genera y por tanto, constituye una base.

TEOREMA 7Sean espacios vectoriales de la misma dimensin finita del cuerpo tal que Si es una transformacin lineal de en las siguientes afirmaciones son equivalentes:i. es invertible.ii. es no singular.iii. es sobreyectiva; esto es, la imagen de es

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