7/17/2019 Transformada de Laplace

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1Transformada de Laplace

UNIVERSIDAD PERUANA UNION

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

E.A.P INGENIERIA CIVIL

 TRANSFORMADA DE LAPLACE, TRANSFORMADAINVERSA, TRANSFORMADA DERIVADA, SISTEMA

LINEAL HOMOGENEA

NOMBRE:

 jonathan

PROFESOR:

ING.BRAULIO GUTIERRES

SEMESTRE

IV

 ULIACA! "#$%&$'(

7/17/2019 Transformada de Laplace

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2Transformada de Laplace

)NDICE

RESUMEN

INTRODUCCION

OBETIVOS

MARCO TEORICO***********************..%(

'.TRANSFORMADA DE LAPLACE *****************%(

  '.'. DEFINICION BASICA*******************%+  '.". SISTEMA LINEALHOMOGENEA**************.%&

". EERCICIO DE APLICACIN******************.%-

. CONCLUSIONES***********************...%/

(. REFERENCIA**************************%#

RESUMEN

7/17/2019 Transformada de Laplace

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3Transformada de Laplace

En 01ta 102234n 3nt5o67238o1 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 60 7na 10<a92ont3n7a. S0 ;7060n D31t3n=735 6o1 t3;o1 60 t5an1o58a6a1 60La;9a20: B39at05a9 > Un39at05a9.

En a609ant0 ;a5a 500535no1 a 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 ?39at05a9

63508o1, 138;9080nt0, T5an1o58a6a 60 La;9a20. C7an6o @705a8o1501a9ta5 13 10 01t 7t393an6o 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 ?39at05a9 o7n39at05a9, 9o 3n632a508o1.

E9 8to6o 60 9a t5an1o58a6a o t5an1o58a234n 3n051a, ta8?3n2ono236o 2o8o 8to6o 60 9a 3n051a 60 9a t5an1o58a6a, 01 7n8to6o ;a5a 9a =0n05a234n  60 n805o1 a90ato53o1  60 27a9@7305631t53?7234n 60 ;5o?a?3936a6 2ont3n7a 27an6o 10 2ono20 9a 3n051a 6017 7n234n 60 631t53?7234n. E1t0 8to6o 01 0n =0n05a9 a;932a?90, ;05o;7060 50179ta5 87> 2o8;932a6o o?t0n05 7na 0;50134n ana9t32a 60 9a

3n051a ;a5a a9=7na1 631t53?723on01 60 ;5o?a?3936a6. E9 8to6o 60Bo!M39905 01 7n 0j08;9o 60 a9=o53t8o @70 a7n@70 80no1 =0n05a9, 0181 0J230nt0 60160 09 ;7nto 60 31ta 2o8;7ta23ona9.

INTRODUCCION

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4Transformada de Laplace

Una o58a 60 0a97a5 3nt0=5a901  38;5o;3a1 01 ha2059o ;o52o8;a5a234n 2on 7na 3nt0=5a9 2ono236a 27>o a9o5 10 ;7060 2a9279a523980nt0. En 01t0 8at053a9 10 01t763an 6o1 2a1o1 ;a5t3279a501 603nt0=5a901 38;5o;3a1, 0n a8?o1 2a1o1 10 0a9a 9a 3nt0=5a9 38;5o;3a;o5 8063o 60 7na 60 1ta1 > 0n a9=7no1 2a1o1 ;7060 ha20510 ;o5 9a1

6o1. E9 01t763o 60 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 01 87> 38;o5tant0,;701 17 71o 2on305t0 7n23on01  ha?3t7a901 t5a120n60nt01, 2o8o7n23on01, 13n71o36a901 a8o5t3=7a6a1 > 0;on0n23a901, 0n 7n23on01a9=0?5a32a1.

E9 8to6o 60 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 01 7na a ;a5a 9a 1o97234n60 027a23on01 63050n23a901  93n0a901 > 131t08a1  60 027a23on0163050n23a901 93n0a901 @70 2on1t3t7>0n 9o1 8o609o1 8at08t32o1 81

50270nt01 0n 9a 50;5010nta234n 8at08t32a  60 ;5o?908a1  60235273to1. La T5an1o58a6a 60 La;9a20 01 7n 2a1o 01;023a9 60 9o @70 1060no83na T5an1o58a234n Int0=5a9. S7 7t3936a6 ;a5a 501o905;5o?908a1 132o1 ha20 @70 10a, j7nto 2on 9a T5an1o58a6a 60 Fo75305,7na 60 9a1 h055a830nta1 81 t3901 ;a5a 01to1 002to1.

En ;a5t3279a5 601ta2a 17 7t3936a6 ;a5a 501o905 027a23on0163050n23a901 o563na53a1 2o8o 9a1 @70 175=0n a9 ana93a5, ;o5 0j08;9o,235273to1 0902t54n32o1. E9 8to6o 60 La;9a20 2on131t0 0n a;932a5 01tat5an1o58a6a a 027a23on01 63050n23a901 60 63239 501o97234n,2on35t3n6o9a1 a1 0n ;5o?908a1 a9=0?5a32o1 138;901, @70 ;7060n 105501709to1 60 8an05a 10n2399a.

E1t0 ;0@70<o ;a1o1 0n 09 01t763o 60 248o 10 ;7060 7t393a5 9at5an1o58a6a 60 La;9a20 ;a5a 501o905 2305to1 t3;o1 60 027a23on01.D01;71 60 ana93a5 09 2on20;to 60 9a t5a1o58a6a 3n051a 60 La;9a20> t5an1o58a5 6053a6a1, 71a8o1 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 ;a5a501o905 a9=7na1 027a23on01 63050n23a901 o563na53a1 10n2399a1.

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5Transformada de Laplace

OBETIVOS

Ut393a5 9a 60Jn3234n 60 3nt0=5a9 38;5o;3a ;a5a 2a9279a5 01t0 t3;o

60 3nt0=5a901 60 a9=7na1 7n23on01.

Ca9279a5 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 60 7n23on01 6a6a1. A;932a5 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 > 17 t5an1o58a6a 3n051a

;a5a 501o905 027a23on01 63050n23a901 93n0a901 2on a9o5013n323a901.

Con10=735 7na 7n234n 5a23ona9 ;5o;3a, @70 01 a@7099a 2on 09=5a6oN 80no5 @70 09 =5a6oD

E1t763a5 131t08a1 60 027a23on01 93n0a901 ho8o=n0a1

MARCO TEORICO

TRANSFORMADA DE LAPLACE, TRANSFORMADA DEDERIVADAS, TRANSFORMADA INVERSA Y SISTEMALINEAL HOMOGENEA.

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6Transformada de Laplace

N701t5o ;5o;413to 01 K3n0nta5K 7na 509a234n 8at08t32a @70t5an1o580 7na 7n234n 60 7na a53a?90 t, 0n 7na 7n234n 60a9=7na ot5a a53a?90. E8;90a508o1 F ;a5a 9a 7n234n t5an1o58a6a> 1 ;a5a 9a n70a a53a?90. L70=o 9a t5an1o58a234n 10 ;706050;5010nta5 138?4932a80nt0 2o8o:

  F t 1

Lo @70 @70508o1 01 t5an1o58a5 027a23on01 63050n23a901 0na9=0?5a32a1, 970=o 09 o?j0t3o 105 2on05t35 9a o;05a234n 6063050n23a234n 0n 09 6o83n3o 609 t308;o 0n 7na 879t3;932a234n ;o59a a53a?90 t5an1o58a6a 0n 9o1 6o83n3o1:

 

)()(

 s sf  

dt 

t df  →

A 2ont3n7a234n, 60?08o1 01;023J2a5 9a o58a @70 t0n65 01tat5an1o58a234n, ;a5a 9o 27a9 2on13605a508o1 n32a80nt0 9o1a9o501 ;o13t3o1 60 t. E1 60235, to6a1 9a1 7n23on01 a 2on13605a5105n n79a1 ;a5a t%. Pa5a @70 09 ;5o201o 60 t5an1o58a234n50;5010nt0 2on ;5023134n 7na 7n234n t ;a5a to6o1 9o1 a9o501;o13t3o1 60 t, 9o @70 10 ha20 01 3nt0=5a5 t 1o?50 09 3nt05a9o 60205o a 3nJn3to. Pa5a a10=75a5 @70 10 3n297>0 09 002to 60 27a9@73057n234n 13n=79a5 ;o5 0j08;9o, 38;791o1 0n t%, to8a8o1 09 983t03n053o5 0n %. E1to ta8?3n no1 ;0583t35 38;on05 9a1 2on6323on013n323a901.

A6081, 01ta1 6o1 t5an1o58a6a1 ;o100n 9a ;5o;306a6 6093n0a936a6: 099o 13=n3J2a @70 9a t5an1o58a6a 60 7na 2o8?3na234n93n0a9 60 7n23on01 01 7na 2o8?3na234n 93n0a9 60 9a1 t5an1o58a6a1;a5a 9a1 2on1tant01 a9a > ?0ta. S308;50 @70 031tan 2a6a 6053a6a> 2a6a 3nt0=5a9. En 01ta 102234n 0a83na508o1 7n t3;o 01;023a9 609a t5an1o58a6a 60 9a 3nt0=5a9 99a8a6a t5an1o58a6a 60 La;9a20.A6081 60 ;o1005 9a ;5o;306a6 60 93n0a936a6 9a t5an1o58a6a 60La;9a20 t30n0 872ha1 ot5a1 ;5o;306a601 3nt0501ant01 @70 9a ha20n87> t3901 ;a5a 501o905 ;5o?908a1 93n0a901 60 a9o5 3n323a9.

DEFINICION BASICA.! SI F 60Jn36a ;a5a t% 0nton201 9a

3nt0=5a9 38;5o;3a∫ 

∞

0)(),(   t  f  t  sk 

01ta 10 60Jn0 2o8o 7n 983t0.

C7an6o 9a 3nt0=5a9 60Jn3to53a, 2on05=0 09 50179ta6o 01 7na 7n234n60 1. 0n 09 an93131 =0n05a9, 27an6o 7t393208o1 90t5a1 83n1279a1

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7Transformada de Laplace

no1 500538o1 a 9a 7n234n @70 10 a a t5an1o58a5 > 90t5a1 >8a>1279a1 60nota5an 17 t5an1o58a6a 60 La;9a20.

TRANSFORMADA INVERSA

La t5an1o58a6a 3n051a 60 La;9a20 10 60Jn0 ;o5 8063o 607na 3nt0=5a9 60 3n05134n 2o8;90ja @70 ;7060 a;932a510 a 7na7n234n, La t5a>02to53a 60 3nt0=5a234n t5a>02to53a 60 B5o832h 10093=0 60 8an05a @70 10 a92an20 9a 2on05=0n23a n0201a53a 60 9a3nt0=5a9. S3n 08?a5=o, no 10 71a5 9a 60Jn3234n 60 t5an1o58a6a3n051a ;o5@70 01 87> 2o8;932a6a > 50@73050 090a6o12ono23830nto1 60 9a t0o5a 60 a53a?90 2o8;90ja.

S0 7t393a5, 0n 2a8?3o, 9a ;5o;306a6 60 7n3236a6 60 9at5an1o58a6a.

GENERACION DE VARIABLES ALEATORIOS

La a53a?3936a6 60 00nto1 > a2t336a601 10 ;5010ntan a t5a1 607n23on01 60 60n136a6 ;a5a 0n480no1 2ont3n7o1, > 8063ant0631t53?723on01 60 ;5o?a?3936a6 ;a5a 0n480no1 60 t3;o 631250to. La13879a234n 60 01to1 00nto1 o a2t336a601 10 50a93a 2on 9a a>76a60 9a =0n05a234n 60 a53a?901 a90ato53a1.

DISTRIBUCION UNIFORME

A ;a5t35 60 9a 7n234n 60 9a 60n136a6 60 9a1 a53a?901 a90ato53a17n3o5801 0nt50 a > ?.

 

b xaab

 x f     ≤≤−

=  1

)(

TRANSFORMADA DE DERIVADAS.-  Ta9 2o8o 10 10<a94 0n 9a3 3nt5o672234n

P5010nt0 2a;3t79o, n701t5a 80ta 3n8063ata 01 71a5 9at5an1o58a6a 6 La;9a20 ;a5a 501o905 027a234n 63050n23a9. Con

01t0 Jn n02013ta8o1 2a9279a5 2ant36a601 2o8o L DY$DT > L 62

>$6 )2

, 0j08;9o 13 01 2ont3n7a t%.

La nat75a90a 5027513a 60 9a t5an1o58a6a 60 La;9a20 609a16053a6a1 60 7na 7n234n 60 105 0360nt0 0n 9o1 50179ta6o1o?t0n36o1, 09 t0o508a 13=730nt0 ;5o6720 t5an1o58a6a 60 La;9a20 609a n!0138a 6053a6a.

Ej08;9o:

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8Transformada de Laplace

,2133   t  sen ydt 

dy=+

  Y %&

E1t0 t0o508a 01 87> t39 >a @70 01 ;50231a80nt0 01t0 09 @70 10 71a

;a5a t5an1o58a5 027a23on01 63050n23a901 a9 01;a23o S, 9o 27a9;0583t0 1o9723ona59a1 60 o58a 81 =39 1308;50 > 27an6o 10 t0n=a7n ;5o?908a 60 a9o5 3n323a9 0n t%

SISTEMA LINEALES HOMOGENEAS

E1 7n 131t08a 60 027a234n ho8o=n0a 0n 7n 131t08a 60 9a o58a A% 01to 0n 2o978na 60 2on1tant0 n79a.

 To6o 131t08a 60 027a23on01 93n0a901 ho8o=n0a1 01 2o8;at3?90,;o5@70 09 02to5 205o 01 7na 60 171 1o9723on01, 99a8a6a 1o97234nt533a9. Pa5a 7n 131t08a 60 027a23on01 93n0a901 ha> 6o1 2a1o1 ;o13?901:

• P7060 105 2o8;at3?90 60t0583na6o, 01to 01, t0n05 1o9a80nt07na 1o97234n.

• ;7060 105 2o8;at3?90 3n60t0583na6o, 01to 01, t0n05 ;o5 9o80no1 7na 1o97234n no t533a9.

•

En 2a6a 0j08;9o ha> @70 60t0583na5 27a9 13t7a234n t30n0 2a1o >601253?35 09 2onj7nto 60 to6a1 9a1 1o9723on01.

PROPOSICION

S0a A M8, n F. S3 8 n, 0nton201 09 131t08a 60 027a23on0193n0a901 ho8o=n0a1 A % 01 2o8;at3?90 3n60t0583na6o, 01to 01,t30n0 ;o5 9o 80no1 7na 1o97234n,

D08o1t5a6a. U1an6o o;05a23on01 09080nta901 ;o608o1 t5an1o58a59a 8at53 A 0n 7na 8at53 012a9ona6a 5067236a B.

D0not08o1 ;o5 5 a9 n805o 60 9o1 50n=9on01 no n79o1 60 9a 8at53 B.Enton201 5 8 n, > 9a 1o97234n =0n05a9 609 131t08a A % 10;7060 01253?35 2on n 5 % a53a?901 93?501. Pon30n6o a9o501 non79o1 0n a53a?901 93?501, o?t0n08o1 7na 1o97234n no t533a9.

EJERCICIO DE APLICACIÓN (TRANSFORMACION DE LAPLACE)

1. 1

1

1

1)(

≥

≤

−

=

t 

t  x f  

 

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9Transformada de Laplace

dt edt edt e f  et  f     t t t )1()1()()(

1

51

1

5

1

5

∫ ∫ ∫   ∞

−

−

−∞

−

− +−==

∫ ∞

−−

−=1

55

55)(

t t  eet  f  

5555)(

5555   −−−−

+−−=  eeee

t  f  

5)(

5−

= e

 x f  

2. 2

20

0

4)(

≥

∠≤

=

t 

t t  f  

dt edt edt t  f  e x f     t t t )0()4()()(

2

52

0

5

0

5

∫ ∫ ∫   ∞

−−∞

− +==

=)(t  f     5

4

0

2

5

4  25   t t 

ee   −−

=−

3. 1

10

1

)(

≥

∠≤

=

t 

t t t  f  

∫ ∫ ∫   ∞

−∞

−− +==1

5

0

1

0

55)1()()()(   dt edt t edt t  f  et  f     t t t 

5

0

50

1

5)(

555   −−−

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t  f  t t 

.1

101

0

2

≥

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t 

t t 

∫ ∫ ∫   ∞

−−∞

− ++==1

51

0

5

0

5)0()12()()(   dt edt t edt t et  f     t t t 

dt t et  f     t )12()(

1

0

5 += ∫   −

7/17/2019 Transformada de Laplace

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10Transformada de Laplace

π  

π  

≥

∠≤

=t 

t  sent t  f  

  0

0)(.5

dt edt  sente   t 

∫ ∫   ∞

−− +2

52

0

5 0π  

π  

22

5

1+

−

 s

e   t 

0

2)cos)(5(

π  

t t  sen   −−

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25

15

1))

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2(5(

15   ++−−

+

−

π  π  

π  

 sene

TRANSFORMADA INVERSA Y DERIVADA

1.

−

3

1   1

 sl 

2

3

1

2

12

2

1t 

 sl    =

  ↓

↓−

2.

−

4

1   1

 sl 

3

4

1

6

13

3

1t 

 sl    =

  ↓

↓−

3.

3)0(,02   −==+   y ydt 

dy

)0()(2   l  yl dt dyl    =+

0)5()3)5(5(2)0()5(5   =++=−=

 y y y ydt 

dyl 

0)5(6)5(25   =++   y y

6)5()125(   −=+   y

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11Transformada de Laplace

)125(

6)5(

+

−= y

t et  y

16)(   −

−=

CONCLUSIONES

A9 ana93a5 9a1 a;932a23on01 01 10n2399o 6a510 270nta @70 9at5an1o58a6a 60 La;9a20 01 7na h055a830nta 87> ;o605o1a ;a5a 9a1o97234n 60 235273to1 2on 7n23on01 60 023ta234n 0n 012a94n 7n3ta53o,9a1 27a901 1on 7n ;o2o 2o8;932a6a1 13 10 ana93an ;o5 9o1 8to6o12on0n23ona901. Ta8?3n 01 38;o5tant0 ha205 nota5 @70 2on 09 71o 609a t5an1o58a6a 60 La;9a20 10 t30n0 7n 8to6o =0n05a93a6o ;a5a 9a1o97234n 60 01t0 t3;o 60 ;5o?908a1, 3n2971o ;a5a 7n23on01 60023ta234n 2o8;90ja.

 To6o 131t08a 60 027a23on01 93n0a901 ho8o=n0a1 01 2o8;at3?90,;o5@70 09 02to5 205o 01 7na 60 171 1o9723on01, 99a8a6a 1o97234nt533a9.

La a53a?3936a6 60 00nto1 > a2t336a601 10 ;5010ntan a t5a1 607n23on01 60 60n136a6 ;a5a 0n480no1 2ont3n7o1, > 8063ant0631t53?723on01 60 ;5o?a?3936a6 ;a5a 0n480no1 60 t3;o 631250to. La13879a234n 60 01to1 00nto1 o a2t336a601 10 50a93a 2on 9a a>76a60 9a =0n05a234n 60 a53a?901 a90ato53a1.

C7an6o 9a 3nt0=5a9 60Jn3to53a, 2on05=0 09 50179ta6o 01 7na 7n234n

60 1. 0n 09 an93131 =0n05a9, 27an6o 7t393208o1 90t5a1 83n1279a1no1 500538o1 a 9a 7n234n @70 10 a a t5an1o58a5 > 90t5a1 >8a>1279a1 60nota5an 17 t5an1o58a6a 60 La;9a20.

7/17/2019 Transformada de Laplace

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12Transformada de Laplace

BIBLIOGRAFIA

1. La t5an1o58a6a 60 La;9a20. S0530 Sh7a8. S;30=092. Va53a?90 2o8;90ja 2on a;932a23on01. 7n1h.3. Co11 B7. Ra9 S3879a234n 7n 0no@70 ;52t32o. E6. L3871a.. An93131 60 131t08a1 2on P5oMo609.!. D0n31 G. a550n S. 53=ht.