La Transformada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea, junto con la Transformada de Fourier, una de las herramientas más útiles para estos efectos. En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las que surgen al analizar, por ejemplo, circuitos electrónicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema: El objetivo del método es que modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformada Inversa, sea más fácil que resolver la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas.

Para poder hacer efectivo este método se requiere de varios resultados previos, junto con presentar la transformada de Laplace y utilizarla para obtener la transformada de funciones básicas, como las potencias o la función exponencial, estudiamos qué características debe tener una función para que exista su transformada. Posteriormente, para poder utilizar la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales, estudiamos diversos teoremas relacionados con la derivada y la integral de funciones.

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE1.1. Definición de Transformada de Laplace

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:

L {f ( t )}=F( s )=∫0

∞f ( t ) e−st dt

donde s es una variable compleja s=σ+iw .

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.Se observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:

0 0

( ) lim ( )h

s t s t

he f t dt e f t dt

∫ ∫

Notación:

( ) ( ),f t F sL

( ) ( ),

( ) ( ), etc.

y t Y s

x t X s

LL

1.2. Condiciones suficientes de existencia de la TL

L {f ( t )}=F( s )=∫0

∞f ( t ) e−st dt

Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y

|f ( t )|≤Meat ,∀ t∈[ 0 ,∞)Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

∃b∈ℜ tq limt→∞

|f ( t )e−bt|=0

Entonces:L{f(t)} = F(s) existe s > a

2. PROPIEDADES OPERACIONALESUna vez estudiada la definición de Transformada de Laplace y caracterizadas algunas condiciones para que una función f tenga Transformada de Laplace L[f] definida en un dominio del plano complejo Df, pasamos a estudiar algunas propiedades básicas de esta transformada integral. La primera propiedad que vamos a estudiar es la linealidad.

2.1. LinealidadEsta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones.

Teorema 1: Sean f, g ∈ E y a, b ∈ C. Entonces para todo z ∈ Df ∩ Dg se verifica que

L[af + bg](z) = aL[f](z) + bL[g](z).La demostración se sigue inmediatamente de la linealidad de la integral. Consideremos:

A partir de la linealidad de la Transformada de Laplace podemos obtener nuevas Transformadas de funciones elementales, como muestran los siguientes ejemplos.

Ejemplos: Función seno. Sea ω ∈ R y consideremos la función

f (t )=sen (wt )= eiwt−e−iwt

2 i

L [ f ] z= 12 i

¿

L [ f ] z= 12 i ( 1

z−iw− 1z+iw )

L [ f ] z= wz2+w2

Se dice que la función f E es derivable a trozos si es continua, existen las∈ derivadas laterales de f en cada punto de [0,+∞) y en cada subintervalo [a, b]

L [ af+bg ] [z ]=∫0

+∞

e− zt (af ( t )+bg( t ) )dt

L [ af+bg ] [z ]= limx→+∞

∫0

x

e−zt ( af ( t )+bg( t ))dt

L [ af+bg ] [z ]=a limx→+∞

∫0

x

e− zt( f ( t )+b limx→+∞

∫0

x

e−zt g( t ))dt

L [ af+bg ] [z ]=aL[ f ]( z )+bL[ g ] ( z )

[0,+∞) existen a lo sumo una cantidad finita de puntos donde f no es⊂ derivable.Si f es derivable a trozos, definimos f0: [0,+∞) → C como f0(x) = f0+(x) para todo x [0,+∞). Es claro entonces que f0 es una función continua a trozos, que∈ coincidirá en casi todos los puntos con la derivada ordinaria. Se tiene entonces el siguiente resultado.

Teorema 2: Bajo las condiciones anteriores se verifica para todo z Df.∈[ f ' ] z=z [ f ] (z )−f (0)

Sean z Df y x > 0 y consideremos∈0 < x1 < x2 <... < xn−1 < xLos puntos de discontinuidad de f0 en el intervalo (0, x) y fijemos x0 = 0 y Xn = X. Entonces, dividiendo el intervalo de integración y utilizando la fórmula de integración por partes.

Tomando límites cuando x → +∞, y teniendo en cuenta que z D f y que por∈ ∗ tanto existen A,B R, A > 0, ∈ Rez > B, tales que:

(1.5)Procediendo por inducción a partir de la fórmula (1.5) se prueba una fórmula general para la derivada k-ésima de la función f en el caso de que fk−1) sea derivable a trozos para k N. Esta fórmula viene dada para todo z D f por∈ ∈ ∗

(1.6)

Donde las derivadas sucesivas de f en 0 se entienden como derivadas por la derecha. Las fórmulas 1.5 y 1.6 serán claves para resolver ecuaciones y sistemas

diferenciales lineales con coeficientes constantes, como veremos en el apartado de aplicaciones de este tema.

2.2. Transformada de la integralSea f E y definamos la función∈

g ( t )=∫0

t

f (s)ds

Que obviamente está bien definida y es continua para todo t [0,+∞). La∈ relación entre las Transformadas de Laplace de ambas funciones viene dada por el siguiente resultado.

Teorema 3: En las condiciones anteriores, para todo z D f ∩{z C : ∈ ∗ ∈ Rez > 0} se verifica

L[g ] ( z )=L [ f ] ( z )z

Sea x > 0 y consideremos0 = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = x de manera que f no es continua en xi para 1≤ i < n. Obviamente g es derivable en (xi, xi+1)Para 1 ≤ i < n. Entonces

Teniendo en cuenta la continuidad de g y g(0) = 0. Vamos a comprobar que

Para ello y dado que f E, existirán reales B y A > 0 de manera que |f(t)| ≤ AeBt∈ para todo t ≥ 0. Sea

limx→+∞

g( x )e−zx

2.3. Transformada de la convoluciónSean f, g ∈ E y definamos f(t) = g(t) = 0 para todo t < 0. Se define la convolución de f y g como la función

Puede verse con el cambio de variable y = t − s que f * g = g * f. El principal interés de la convolución respecto a la Transformada de Laplace se concreta en el siguiente resultado.

Teorema 4: En las condiciones anteriores, para toda z ∈ Df ∩ Dg se verifica la fórmula

L[f * g](z) = L[f](z)L[g](z).

3. PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓNSi F ( s )=L {f (t ) } y aes caualquiernumero real , entonces

L {eat f (t )=F (s−a)}A veces es útil, para enfatizar, emplear el simbolismo

L {eat f (t )}=L {f (t)}

Ejemplo:

a) L {e5t t 3 }=L {t 3 }=3 !s4 =¿

b) L {e−2 t cos (4 t ) }=L {cos (4 t ) }a=−2∴ s−a=s−(−2 )=s+2

L {cos (4 t ) }= ss2+16

=¿

3.1. Forma inversa del primer teorema de traslación Si f ( t )=L−1 {F ( s ) }

La forma inversa del teorema es:L−1 {F ( s−a )=L−1{}=eat f (t )

Ejemplo:a) Completar el cuadrado para determinar L−1

Evalúe L−1 { s

s2+6 s+¿}

Solución. Si s2+6 s+¿ tuviera factores reales, emplearíamos fracciones parciales; pero como este término cuadrático no se factoriza, completamos su cuadrado.

b) Completar el cuadrad y linealidad L−1

Evalúe L−1 { 1

(s−3)3 + 1s2+2 s−8

}

SOLUCIÓN Completamos el cuadrado en el segundo denominador y aplicamos la linealidad como sigue:

4. SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

Si F ( s)=L {f ( t ) } y a>0 , entoncesL {f ( t−a ) A (t−a ) }=e−asF (s)}

Ejemplo:Evalúe L {( t−2 )3 A (t−2 )}Solución.Identificamos a=2, entonces según el teorema tenemos:

L {(t−2 )3 A (t−2 ) }=e−2 s L {t3 }=e−2 s 3 !s4 = 6

s4 e−2 s

Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace sólo de la función escalón unitario. Esto se puede hace, partiendo del segundo teorema de traslación. Si identificamos f(t) = 1 entonces f(t - a) = 1, F(s) =L { 1 } = 1/s y así:

L {A ( t−a ) }= e−as

s

4.1. Forma alternativa del segundo teorema de traslación Con frecuencia sucede que debemos determinar la transformada de Laplace de un producto de una función g por una función escalón unitario A (t - a), cuando la función g carece de la forma f(t - a) desplazada que se requiere en el segundo teorema de traslación. Para hallar la transformada de Laplace de g(t) A (t - a) es posible “arreglar” a g(r) con manipulaciones algebraicas, para forzarla a adquirir la forma deseada f(t - a); pero como esas maniobras son tediosas y a veces no son obvias, es más sencillo contar con una versión alternativa al teorema Emplearemos A (t - a) y la sustitución u = r - a, para obtener:

L {g(t)A ( t−u ) }=∫a

∞

e−st g (t)dt=¿∫0

∞

e−s ( u+a ) g(u+a)u¿

Esto es, L {g(t)A (t−u ) }=e−asL {g(t+u)}

Ejemplo:Evalúe L {sen (t)A (t−2π ) }Solución.

Hacemos g(t) = sen (t), a = 29π y tenemos g(t + 2π) = sen (t + 2π = sen t porque la función seno tiene periodo 2π. De acuerdo con la ecuación con la forma alternativa del teorema de traslación

L {sen (t)A (t−2π ) }=e−2πsL {sen ( t ) }= e−2πs

s2+1

4.2. Forma Inversa del Teorema de Traslación Si f (t )=L−1{f (s)}, la forma inversa del segundo teorema de traslación, cuando a>0, es:

L−1 {e−asF (t )=f (t−a)A (t−u ) }

Ejemplo:

Evalúe L−1 {e−πs /2

s2+9}

5. DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA DE LAPLACE

5.1. Definición

Sea f(t) continua en (0,∞) y de orden exponencial a y sea f´ seccionalmente continua en [0,∞). Entonces

[f´(t)] = s F(s) - f(0+), (s > α )

Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto en t = a > 0 , entonces :

[ f´(t)] = s F(s) - f(0+) - e-as [f(a+)-f(a-)]

Análogo si existen varias discontinuidades por salto.

Si f, f’ , ... , f(n-1) son continuas en (0,∞) y de orden exponencial α y f(n) es seccionalmente continua en [0,∞), entonces :

[f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+) - sn-2 f’(0+) - ··· - f(n-1) (0+) , (s > α )

Así para n = 2

[f’’ (t)] = s [f’] - f’ (0+) = s [ s F(s) - f (0+)] - f’(0+) ⇒⇒ [f’’ (t)] = s2 F(s) - s f (0+) - f’(0+).En general, inducción. Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”, transformándose una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una algebraica.

Ejemplo: Calcular [senat] ,usando la expresión para [ f “]

5.2. Transformada de Laplace de las derivadas de una funciónLa transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:

L {f ' ( t )}=sF ( s )−f (0 )donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:

L {f ''( t )}=s2F ( s )−sf (0 )−f ' (0)En forma similar:

L {f (n )( t )}=snF (s )−sn−1 f (0)−sn−2 f '(0 )− ⋯− f (n−1 )(0 )

Demostración:limt→∞

(e− st f ( t ))=0

L {f '( t ) }=∫0

∞

e−st f '( t )dt=e− st f ( t )|0∞−∫

0

∞(−se−st ) f ( t )dt

¿−f (0)−s∫0

∞

e− st f ( t )dt= sF (s )−f (0 )

Supongamos que:

L {f (n−1)( t )}=sn−1F ( s )−sn−2 f (0 )−sn−3 f ' (0 )−⋯ −f (n−2)(0 )

Entonces:limt→∞

(e−st f (n−1)( t ))=0

L {f (n)( t )}=∫0

∞

e−st f (n )( t )dt=e−st f ( n−1)( t )|0∞−∫

0

∞(−se−st ) f (n−1 )( t )dt

¿−f (n−1)(0 )−s∫0

∞

e−st f (n−1)( t )dt= sL {f (n)( t ) }−f (n−1)(0 )=

snF (s )−sn−1 f (0 )−sn−2 f ' (0)− ⋯− f (n−1)(0 )

6. EJERCICIOS6.1. Ejercicios resueltos

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

1) f (T )=e2T cos2T

L{e2Tcos 2T }= L{cos2T }|S→ S−2=

SS2+4

|S→S−2=S−2

(S−2 )2+4= S−2S2−4S+8

2) f (T )=eT sen3T

L{eT sen3T }= L{ sen3T }|S→S−1=

3S2+9

|S→S−1=3

(S−1 )2+9= 3S2−2S+10

TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

3) L-1 { 1

(S+2 )3 }=

12! L-1{2 !

S3 }|S→ S+2=12 T2|S→S+2=

12 T

2 e−2T

4) L-1{ 1S2−6 S+10 }=

L-1{ 1S2−6 S+10−1+1 }=

L-1{ 1S2−6 S+9+1 }=

L-1{ 1(S−3 )2+1 }=

L-1{ 1S2+1 }|S→S−3

= e3T senT

5) L-1{ 1S2+2S+5 }=

L-1{ 1S2+2S+1+4 }=

L-1{ 1(S+1 )2+4 }= 1

2

L-1 { 2S2+4 }|S→ S+1

=1

2e−T sen 2T

DERIVADA DE TRANSFORMADA:

6)L{T cos 2T }= (−1 ) d

dS L{T cos 2T }=(−1 ) d

dS ( SS2+4 )=(−1 )( S

2−4−2S2

(S2+4 )2 )=(−1 )( 4−s2

(S2+4 )2 )= S2−4(S2+4 )2

7) L{Tsenh3T }=(−1 ) d

dS L

{ senh3T }= (−1 ) ddS ( 3

S2−9 )=(−1 )(−3 (2S )

(S2−9 )2 )= 6S(S2−9 )2

8) L{T 2senhT }=(−1 )2 d2

dS2 L

{ senhT }=(−1 )2 d2

dS2 ( 1S2−1 )= d

dS ( −2S(S2−1 )2 )=

(S2−2S+1 ) (−2 )−8S (S2−1 )(S2−1 )2

=

−2 (S2−1 )2+8 S2 (S2−1 )(S2−1 )4

= 6 S2+2(S2−1 )3

9) L{Te 2T sen6T }=(−1 ) d

dS L{e2T sen6T }=(−1 ) d

dS ( 6S2+36 )|S→S−2=

(−1 ) ddS ( 6

(S−2 )2+36 )= (−1 ) ddS ( 6

S2−4 S+40 )= (−1 )( −6 (2 S−4 )

(S2−4 S+40 )2 )=12S−24(S2−4 S+40 )2

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

10)L{u (T−a ) }=e−aS L

{1 }= e−aS

S

11) L{Tu (T−a ) }= L{(T−a+a )u (T−a ) }= L{(T−a )u (T−a ) }+ L{au (T−a ) }=

e−aS L{T }+ ae

−aS L{1 }=

e−aS

S2 + ae−aS

S

TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

12)L-1{e−2 S

S3 }= L-1{ 1

S3 }e−2 S=1

2 ! L-1 {2 !S3 }e−2 S=

12 T

2e−2S=12 T 2u (T−2 )=

12

(T−2 )2u (T−2 )

13) L-1{(1+e−2 S )2

S+2 }= L-1{1+2e−2 S+e−4 S

S+2 }= L-1{ 1

S+2 }+2 L-1{ 1

S+2 }e−2 S+

L-1{ 1S+2 }e−4 S=

e−2T+2e−2Tu (T−2 )+e−2Tu (T−4 )=

e−2T+2e−2 (T−2 )u (T−2 )+e−2 (T−4 )u (T−4 )