Transformada de Laplace y filtros analógicos

Francisco Carlos CalderónPUJ 2010

ObjetivosDefinir la transformada de Laplace y estudiar

algunas de sus propiedades.Analizar sistemas continuos utilizando la

transformada de Laplace.Conocer las características de los principales

filtros analógicos.Diseñar filtros analógicos usando MATLAB.

Transformada de Laplace

dhtxthtxty

tx tySea la entrada a un SLIT, su salida está dada por:

Por lo tanto si la entrada al SLIT es una exponencial compleja , se puede reemplazar esta expresión en la ecuación de convolución y de esa forma se obtendría que:

stetx

dhety ts

Transformada de Laplace

• Simplificando:

dhety ts

dheety sst

sHety st

dehsH s

Transformada de Laplace

• Esta integral se define como la trasformada de Laplace de h(t).

• De forma más general, la trasformada de Laplace de una señal x(t) se define como:

dehsH s sHety st

dtetxsX st sXtx L

Transformada de Laplace

• Donde es la parte real de s y la parte imaginaria,

• Al reemplazarla en la integral se obtiene:

)()()( jwXdtetxwXt

jwt

dtetxsX st js

Transformada de Laplace• La transformada de laplace puede escribirse de

la siguiente forma:

dteetxjX

dteetxjX

dtetxjX

jXsX

tjt

tjt

tj

)(

)(

)()()( :Fourier de T jwXdtetxwXt

jwt

tetxFjX

Convergencia de la transformada de LaplacePara que la transformada de Laplace converja,

es necesario que la Transformada de Fourier de:

Converja, por lo tanto la transformada de Laplace posea un intervalo de valores de s para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).

tetx

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)

dtetuesX stat

0

dtee stat

sae

sae

saedtesX

tsa

t

tsa

t

tsatsa

0

00

limlim

sasae

sae

saesX

tsa

t

satsa

t

1lim

lim0

tja

t

tsa

te

sae

sa

lim1lim1

saee tjta

t

lim

0Re as

sasasX

110

=

Tomando este límite por separado:

al separar los exponentes reales de el complejo se obtiene

para que el límite converja es necesario que

y de esta forma el límite tiene a cero.Así:

tuetx at Hallar X(s)

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)

as

sX

1

as ReROC =

dtetuesX stat

tuetx at Hallar X(s) tuetx at Hallar X(s)

as

sX

1

as Re ROC =

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)

)()(

)()()(

0)(

0

)(

0

0

dsc

bsasX

dtecdteasX

dtecedteaesX

tucetuaetx

tdstsb

stdtstbt

dtbt

tuetx bt tuetx dt

dsb }Re{

sb Re ds Re

Propiedades de la transformada de Laplace • Usando la notación:

• Y sean

RROCsXtxL

L)()(

1

111 RROCsXtx L

222 RROCsXtx L

Propiedades de la transformada de Laplace • Linealidad:

• Desplazamiento de tiempo:

• Desplazamiento de s

)()()( 2121 wBYwAXwZtBxtAxtz L

RROCsXettx stL )(00

21 RRROC

RssROCssXxe Lts )( 000

Propiedades de la transformada de Laplace • Conjugación

• Escalamiento en tiempo:

Convolución:

RROCsXtx L )( ***

RasROC

asX

atax L

1

* Es el operador convolución

2121 menos al RRROCsXsHsYtxtxty L

Propiedades de la transformada de Laplace • Diferenciación en tiempo y s

• Integración en t 0 menos al1)(

RROCsXs

dx Lt

000 121 nnnnLn

n

sxsxxssXsdttxd

dtsdXttx L )( RROC

RROC menos al incluye

Propiedades de la transformada de Laplace • Teorema del valor inicial y final:

)(lim)(lim

)(lim)0(

0ssXtx

ssXx

xt

x

Si x(t)=0 para t<0

Propiedades de la ROCLa Roc posee ciertas propiedades que ayudan en el análisis y definición de la misma.I)La ROC de X(s) consiste en bandas paralelas al eje j en el plano s.II)La ROC no contiene ningún polo.III)Si x(t) es de duración finita y absolutamente integrable, entonces la ROC es el plano s completo.Ejemplo:

seesX

stobta

txbsas

L

Re,0,1

ROC = Todo el plano S

tuetx at as

zX

1 as Re

IV) Si x(t) es derecha y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de s para los cuales Re{s] > 0 también estarán en la ROC.

, entonces , con ROC

.

Propiedades de la ROC

tuetx at as

zX

1 as Re

v) Si x(t) es izquierda y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales Re{s] < 0 también estarán en la ROC.

, entonces , con ROC

VI) Si x(t) es bilateral y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces la ROC consistirá de una banda en el plano S que incluya la línea Re{s] = 0 .

VII) Si X(s) es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito.

Propiedades de la ROC

VIII) Si x(t) es derecha, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la derecha del polo localizado más hacia la derecha.

IX) Si x(t) es izquierda, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la izquierda del polo localizado más hacia la izquierda.

Referencias

Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 5

Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 9 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ