IFBA/GPSC 1

Transformada Z

Processamento Digital de Sinais

IFBA/GPSC 2

Transformada de Fourier

n

nj

nj

enxX

deXnx

][)(

)(2

1][

IFBA/GPSC 3

Transformada Fourier Vantagem:

Análise direta do espectro (componentes de freqüência) do sinal discreto;

Desvantagens: A manipulação algébrica não é prática; Existem muitos sinais discretos cuja

transformada de Fourier não existe.

IFBA/GPSC 4

Transformada Z

)()( 1 XzX r

j

n

n rezznxzX

qual no ,][)(

A transformada de Fourier é um caso específico da transformada Z.

IFBA/GPSC 5

Transformada Z Critério de convergência da Transformada de Fourier :

n

nx ][

Critério de convergência da Transformada Z:

n

nrnx ][A convergência depende, também, dos valores de r,ou seja do |z|.

IFBA/GPSC 6

Região de Convergência Qual o intervalo de valores de r que

garante a convergência da Transformada Z?

Ex.:

][][ nunx

n

n

znuzX

][)(

IFBA/GPSC 7

Região de Convergência

1:

1

][

0

0

rROC

r

er

znu

n

n

n

jwnn

n

n

Re

Im

Representação Polar

Circunferência Unitária

ROC

IFBA/GPSC 8

Representação Útil

zer= zeros de X(z), ou seja, as raízes do polinômio no numerador ( Num(z) ).

p= pólos de X(z), ou seja, as raízes do polinômio no denominador ( Den(z) ).

))...()((

))...()((

)(

)()(

21

21

N

M

pzpzpz

zerzzerzzerz

zDen

zNumzX

IFBA/GPSC 9

Região de Convergência (ROC): Propriedades A região de convergência é um disco ou

um anel centrado na origem;

A região de convergência não contém pólos;

Se a região de convergência contém a circunferência unitária (r=1) existe a transformada de Fourier.

IFBA/GPSC 10

Seqüência de Tempo Positivo

O sinal é nulo para n < 0.Ex.:

n

. . .

x[n]

A região de convergência (ROC) é composta pela área externa ao maior pólo de valor absoluto finito.

IFBA/GPSC 11

Exemplo

1)(

][][

z

zzX

nunx

1: rROC

Circunferência Unitária

. . .

n

x[n] Im

Re

x1

IFBA/GPSC 12

Seqüência de Tempo Negativo O sinal é nulo para n > 0.Ex.:

x[n]

. . .n

A região de convergência (ROC) é composta pela área interna ao menor pólo de valor absoluto finito.

IFBA/GPSC 13

Exemplo:

Pólos: z=2 e z=3 Zeros: z=12/5

2:

)3/1)(2/1(6

52

)(

][)32(][

rROC

zz

z

zX

nunx nn

Re

Im

2 3x x

IFBA/GPSC 14

Seqüência Bilateral x[n] não é de tempo positivo ou

negativo.

. . .

n

. . .1 2:ROC p r p

P1 maior pólo que contribui para n > 0

P2 menor pólo que contribui para n < 0

IFBA/GPSC 15

Exemplo:

1 1[ ] [ ] [ 1]

3 2

12

12( )

1 13 2

: 1/ 3 1/ 2

n n

x n u n u n

z zX z

z z

ROC r

Re

Im

1/12

-1/3x xoo

1/2

IFBA/GPSC 16

Seqüência de Duração Finita

Têm duração limitada de n=N1 até n=N2.

nN2

N1

A ROC contém todo plano z, exceto possivelmente em z=0 e/ou z=

IFBA/GPSC 17

Exemplos Ex.: x[n]=[n], ROC contém todos os

valores de z, incluindo z=0 e z=.

x[n]=[n-1], ROC contém todos os valores de z, excluindo z=0.

IFBA/GPSC 18

Estabilidade O sistema h[n] é estável se

n

nh ][

Então: Um sistema é estável se a ROC contém a

circunferência unitária.

Um sistema Causal é Estável se todos os pólos estão dentro círculo unitário