TRANSFORMASI BALIKAN

Ketentuan dan sifat sifatDari contoh contoh pada pasal pasal yang terdahulu, kalau g sebuah garis dan Mg refleksi pada garis g. Maka Mg Mg (P) = P. kita tulis juga M2g (p) = P jadi M2 adalah sutau transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. transformasi demikian dinamakan transformasi identitas yang dilambangkan dengan huruf I. Jadi I (P) = P, untuk semua PTugas:Buktikan bahwa I memang benar suatu transformasijelas berlaku sifat sifat berikut:Jika T suatu transformasi makaTI (P) = I (T(P)) = T (P), untuk semua PJadi T I = Tbegitu pula I T (P) = I (T (P)) = T (P), untuk semua PJadi I T = T, sehingga T I = I T = T

dengan demikian transformasi identitas I berperan sebagai bilangan I dalam himpunan transformasi transformasi dengan operasi perkalian antara transformasi transformasi.Dalam himpunan bilangan bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap x 0 ada balikan x-1 sehingga xx-1 = x-1 x = 1kita juga dapat selidiki apakah dalam himpunan trasformasi transformasi dengan operasi perkalian setiap transformasi T memiliki balikan Q sehingga TQ = I = QT?kalau ada, transformasi balikan T ini kita tulis sebagai T-1Jadi, TT-1 = T-1 T = I

Teorema 6.1 :Setiap transformasi T memiliki balikanBukti: Andaikan T suatu transformasi. Kita definisikan padanan L sebagai berikut:Andaikan X V, V bidang. Oleh karena T suatu transformasi, maka T adalah bijektif. Jadi ada prapeta A . kita tetntukan kemudian L (X) = A. Artinya L(X) adalah prapeta dari X.sehingga dari T (A) = X T (L (X)) = Xatau (TL) (X) = I (X). setiap X V ini berarti TL = Iselanjutnya (LT) (X) = L (T(X))Andaikan T(X) = B maka L(B) = X, Jadi L(T (X)) = L (B) = XJadi pula (LT) (X) = X = I (X), untuk setiap X V, jadi LT = 1sehingga TI = LT = 1sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi.Dari definisi L jelas L suatu padanan surjektif.

Andaikan L (X1) = L(X2) dan andaikan T (A1), T(A2) = X2 dengan L (X1) = A1 dan L (X2) = A2.Oleh karena T suatu transformasi maka karena A1 = A2 kita peroleh X1 = X2 jadi dari L (X1) = L (x2) X2 = X2Sehingga L injektif. Dengan demikian terbukti bahwa L bijektifJadi L suatu transformasi ini disebut balikan dari transformasi T dan dilambangkan dengn L = T-1 jadi L = T-1

Contoh 1:pada gambar di bawah ini ada dua garis g dan h yang sejajar dan titik A. Padanan S ditentukan sebagai:Jika daerah asal S adalah garis g dan daerah asal T adalah garis h; sedangkan daerah nilai S adalah h dan daerah nilai T adalah g.Untuk P = g, maka (TS) (P) = T (S (P)) = P = I (P)Dan untuk Q h, (ST) (Q) = S (T (Q)) = Q = I (Q), sehingga TS = ST = I.Ini berarti T balikan S, dan S balikan T.

T (Q)Pg

AhS (P)Q

Contoh 2:Pada suatu sistem sumbu orthogonal X o Y didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut:Untuk setiap P (x,y), F (P) = ( x + 2, 1/2 y) dan G (P) = (x 2, 2y)sehingga (FG) (P) = F (G (P)) = F ((x 2, 2y)) = ( x, y ) = PDan (GF) (P) = G ( F (P)) = G (( x+2, 1/2y)) = (x,y) = Pjadi (FG) (P) = (GF) (P) = P = I (P), untuk setiap PAtau FG = GF = IJadi F dan G balikan satu sama lain.Kita tulis lagi G = F-1Teorema 6.2 :Setiap transformasi memiliki hanya satu balikan.Bukti: Andaikan T suatu transformasi dengan dua balikan S1 dan S 2. Jadi (TS1) (P) = (S1T) (P) = I (P) untuk setiap P dan (TS2) (P) = S2 (P) = I (P) untuk setiap P. Sehingga (TS1) (P) = (TS2) (P) T (S1 (P)) = T (S2 (P))Karena T trasformasi maka S1 (P) = S2 (P) untuk semua PSehingga S1 = S2, Jadi balikan T adalah S1 = S2 = STeorema 6.3 :Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri.Bukti: Andaikan pencerminan pada gambar g, M gAndaikan Mg (X) = Y, X g Maka Mg ( Mg (X)) = X atau (Mg Mg) (X) = I (X), untuk semua X bukan elemen g, jadi Mg o Mg = IKelau X g maka Mg (X) = X, sehingga Mg (X) = Mg (Mg (X)) atau juga Mg o Mg = I. Jadi untuk segala X di peroleh Mg o Mg = IDengan demikian maka M-1g = MgDefinisi:Suatu transformasi yang balikannaya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi.Andaikan T dan S suatu transformasi maka masing masing memiliki balikan, yaitu T-1 dan S-1 . Komposisi transformasi, yaitu T o s adalah juga suatu transformasi. Jadi ada balikan ( T o S )-1 . Ada hubungan apakah T-1 dan S-1?Pertanyaan diatas dijawab oleh:Teorema 6.4 :Apabila T dan S transformasi transformasi maka (T o S )-1 = S-1 o T-1Bukti: Kita tahu ( T o S )-1 o (T o S ) = Itetapi ( S-1 o T-1) o (T o S) = S-1 o (T-1 o T) o S = S-1 o I o S = S-1 o S = I.oleh karena suatu transformasi memiliki hanya satu balikan maka(T o S)-1 = S-1 o T-1 Jadi, Balikan hasilkali transformasi adalah hasilkali balikan balikan transformasi dengan urutan yang tebaik.