Transformasi Z - Institut Teknologi Bandung...x n X z R z Rxx y n x k h n k h n H z R z Rhh k Y z x k h n k z x k h n k z nn n k k n xk k f f f f f fªº «» «» f f f f «»¬¼

Edisi Semester I 17 / 18 EYH 1

Transformasi Z4

Materi :• Definisi Transformasi z• Daerah Konvergensi (Region of Convergence)• Diagram Pole Zero• Sifat Transformasi z• Transformasi z dalam Bentuk Polinomial Rasional• Fungsi Sistem atau Fungsi Transfer H(z) dari Sistem Linier Tidak Berubah terhadap Waktu• Fungsi Sistem untuk Sistem yang Dinyatakan dalamPersamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier• Invers Transformasi z• Respon Frekuensi untuk Fungsi Sistem Rasional


Transformasi Z4

4.1 Definisi Transformasi z

kompleks variabel adalah dimana

kandidefinisi diskrit sinyal dari z siTransforma

,jω

-n

-n

rez

x(n)z X(z)

x(n)


bidang z

Re{z}

Im{z}

ROC|z| > a

a

4.2 Daerah Konvergensi (ROC)

Nilai z yang menyebabkan X(z) konvergen didefinisikan pada daerah

di bidang z yang disebut daerah konvergensi, region of convergence

(ROC).

ROC didefinisikan dalam 𝑧 berupa daerah pada bidang z yang dibatasi

oleh lingkaran.


Transformasi z dapat dianggap sebagai Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD) dari , .

( )

Bila ROC mencakup lingkaran satuan (| | 1), ( ) mempunyai TFWD (finite

nx n r

n n j nX z x n z x n r e

n n

z x n

energy sequence)

bidang z

Re{z}

Im{z}

ROC mencakup lingk. satuan

TFWD

1


Sifat-sifat ROC– ROC dari X(z) adalah daerah yang dibatasi lingkaran pada bidang z yang

berpusat pada titik nol.

– Transformasi Fourier dari x(n) adalah konvergen jika dan hanya jika ROC dari x(n) mencakup lingkaran satuan.

– Pada ROC tidak boleh terdapat pole .

– Bila x(n) adalah deret dengan panjang terbatas maka ROC adalah seluruh bidang z ,dengan kemungkinan pengecualian pada z=0 atau z=.

– Bila x(n) adalah deret sisi kanan yaitu deretan yang bernilai nol untuk n <N1

< , ROC adalah daerah dibagian luar dari pole terluar X(z) hingga (kemungkinan) mencakup z=.

– Bila x(n) adalah deret sisi kiri yaitu deretan yang bernilai nol untuk n>N2>- , ROC adalah daerah dibagian dalam dari pole terdalam X(z) hingga (kemungkinan) mencakup z=0.

– Bila x(n) adalah deretan dua sisi maka ROC akan berbentuk cincin yang dibatasi oleh pole terluar dan terdalam dan tidak mengandung satu pun pole pada daerah konvergensinya.

– Daerah konvergensi harus merupakan daerah yang terhubung.


Contoh deretan sisi kanan

•

• akan konvergen untuk |az-1| < 1

sehingga ROC adalah |z| > |a|

• |a| < 1 finite energy sequence

• |a| > 1 (divergent sequence, infinite energy, TFWD tidak ada tetapi TZ ada yaitu

|z| > a (ROC)

10

1( )

1

n

n n

n

x n a u n

X z a zaz

n-1 1 2 3 4-2


• Contoh deretan sisi kiri (anti causal)

n-1

1 2 3 4

-2-3-4-5

1

1

1

1

0

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1 1

1

1

1

1

1

n

n n

n

n n n n

n n

n

n

n n

n

x n a u n

X z a u n z

a z a z

a z

a z

az

az az

az

az

a z

az

akan konvergen untuk |a-1z| < 1

sehingga ROC adalah |z| < |a|


• Contoh deretan :

1

1( )

1X z

az

bidang z

Re

Im

|a|

ROC |z| > |a| x(n) = a nu(n)

n

ROC |z| < |a| x(n) = -anu(-n-1) nderetan sisi kiri

deretan sisi kanan

( |a| < 1 )


1 1( ) , 1 dan 11 21 11 11 2

X z a aa z a z

• Misal

• ROC tidak dispesifikasikan maka kemungkinan deretan-deretan x(n) adalah ...

a1nu(n)

n- a1

nu(-n-1)n

atau

n-a2nu(-n-1)

n

a2nu(n)atau


ROC: |z| > |a1| and |z| > |a2|

ImRe

|a1|< |a2|

Im

1 1( )

1 11 11 2

X za z a z

n

x(n) = a1nu(n) + a2

nu(n)


ImRe

|a1|< |a2|

Im

nx(n) = -a1

nu(-n-1) - a2nu(-n-1)

ROC: |z| < |a1| and |z| < |a2|12

11 1

1

1

1)(

zazazX


ROC: |z| > |a1| and |z| < |a2|

ImRe

|a1|

<

|a2|

Im

1 1( )

1 11 11 2

X za z a z

n

x(n) = a1nu(n) - a2

nu(-n-1)


ROC: |z| < |a1| and |z| > |a2|

Re

|a1|< |a2|

Im

1 1( )

1 11 11 2

X za z a z

nx(n) = -a1

nu(-n-1) + a2nu(n)

Tidak ada ROC


• Deretan eksponensial dua sisi

• Tidak ada overlap pada ROC, TZ tidak ada

(tidak konvergen untuk nilai z berapapun)

, -

1

nx n a n

n na u n a u n

ROC

|z| > |a|

ROC

|z| < |a|

Re

|a|

Im

n


Pole dinotasikan dengan x dan zero dengan o pada bidang kompleks z :

bidang z

Re{z}

Im{z}

1 o

o

o

o

pole - pole pk

(merupakan pasangan

konjugat kompleks bila

g(n) riil)

Zero-zero zk

4.3 Diagram Pole Zero


• G(z): fungsi kompleks dari variabel kompleks

• Bidang perpotongan antara permukaan G(z) dan silinder (|z| = 1 z = ejw) adalah G(ejw) yaitu TFWD

Permukaan Bidang z Kompleks


Bidang Z dan TFWD

Unwrapping permukaan silinder dan diperoleh TFWD


Bila ( ) , -

( ) , -

maka : ( )

( ) ( )

nx n X z x n z R z Rx x

n

ny n Y z y n z R z Ry y

n

n nax n by n X z ax n z by n z

n n

ax n by n aX z bY z

max , min ,- -

11 1Contoh: 2 2111

2

11 1 3 3111

3

1 1 1 maka 211 111 1

2 3

R R z R Rx y x y

nx n u n z

z

ny n u n z

z

x n y n z

z z

4.4 Sifat Transformasi z4.4.1 Linier


0 0

0

0

0

0

0 0

1 1Contoh: cos . . .0 2 2

1 . 1

11

1 . 1

11

1 1 1 1 1

1 12 21 1

j n j nx n n u n e u n e u n

j ne u n z

je z

j ne u n z

je z

X z zj j

e z e z

0 0

0 0

11 cos 0 cos . 1 0 1 21 2 cos 0

1 1 sin . . .0 2 2

1 1 1 1

1 12 1 1

sin 0

zn u n z

z z

j n j nx n n u n e u n e u n

j j

X z zj jj e z e z

1 sin 0. 1

1 21 2 cos 0

zn u n z

z z


0

0 0

Bila ( ) , -

maka : ( ) 0 -

Bukti : = ( ) 0 0

nx n X z x n z R z Rx x

n

nx n n z X z R z Rx x

k n nnx n n x n n z x k z z X z

n k

-

Daerah konvergensi dan sama dengan kemungkinan pengecualian di z=0 atau z= 0

1 2 3 4Contoh: 2 1 3 2 2 3 4 1 2. 3. 2. 0

R z Rx x

x n x n n

x n n n n n n z z z z z

2 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 2. 3 2. 0<

2 3 4 5 6 2 2 2 3 3 4 2 5 6 2. 3. 2. 0

4 3 2 4 4 2 3 3 2 2 1 2. 3.

x n n n n n n z z z z z

x n n n n n n z z z z z z

x n n n n n n z z z

2. 1 z z

4.4.2 Pergeseran Deretan


Bila ( ) -

1maka : . . = .

1 -

Contoh:

cos . 0

x n X z R z Rx x

nn n na x n a x n z x n a z

n n

na x n X a z a R z a Rx x

n u n

11 cos 0 1 1 21 2 cos 0

11 cos 0 cos . 0 1 2 21 2 cos 0

1 sin 0 sin . 1 0 1 21 2 cos 0

1 sin 0 sin . 01 2

zz

z z

azna n u n z aaz a z

zn u n z

z z

azna n u na

1 2 2cos 0

z az a z

4.4.3 Perkalian dengan deretan eksponensial


Bila ( ) -

1maka : . = . = .

1 1 1

1Contoh:

11

x x

x n X z R z Rx x

kkn nx n a x n z x k z x k z

n k k

x n X z zR R

u nz

1

1 maka 1 1

z u n zz

Bila ( ) -

( ) 1 -1 -1maka : = . = - . . . - . .

( ) sehingga :

C

x n X z R z Rx x

dX z d n n nx n z x n nz z n x n z z TZ n x ndz dz

n n n

dX znx n z R z Rx x

dz

11ontoh: maka

1 21 11

11 Bila 1 maka 1 maka 1

1 21 11

azn na u n z a na u n z aaz

az

za u n z nu n z

zz

4.4.4 Pembalikan waktu

4.4.5 Turunan dalam kawasan z


( ) -Bila dan

( ) -

( ) = .

=

x n X z R z Rx xy n x k h n k

h n H z R z Rh hk

n nY z x k h n k z x k h n k z

n k k n

x k

k

. . . ( ). ( )

maka : ( ). ( )

Daerah konvergensinya adalah interseksi antara dan - -

Contoh :

l k k lh l z x k z h l z X z H z

l k l

x n h n X z H z

R z R R z Rx x h h

4.4.6 Penjumlahan Konvolusi


( ) -Bila . dan

( ) -

1 1 - ( ) . = . . .2

- 1 = .

2

x n X z R z Rx xy n x n w n

w n W z R z Rw w

n n nY z x n w n z X v v dv w n zj

n n C

nzX v w nvj

n

11 1. - -2

1 1Jadi : . ( ) - -2

C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam da

zv dv X v W v dv R R z R Rx w x wvj

C C

zy n x n w n Y z X v W v dv R R z R Rx w x wvj

C

erah konvergen

1untuk kedua dan

1 1Atau : . ( ) - -2

C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam daerah konvergen

untuk ked

X v Wv

zy n w n x n Y z W v X v dv R R z R Rx w x wvj

C

1ua dan

W v Xv

4.4.7 Perkalian dua deretan


1Bila dan maka ( ) . . adalah konvolusi periodik

2

Bila dan w deretan kompleks, maka integral konvolusi kompleks :

1 1 . ( ) 2

jj j j jv e z e Y e X e W e d

x n n

zy n x n w n Y z X v W v dvj v

C

- -

1Contoh :

11

1

11

1 1 . ( ) - -2

R R z R Rx w x w

nx n a u n X z z aaz

nw n b u n W z z bbz

zy n w n x n Y z X W v v dv R R z R Rx w x wvj

C

ny n ab

/1 1 1 1 11( ) 1 12 2 / .1 . 1 .

C adalah lintasan tertutup yang melingkari titik 0 dan lintasan terletak dalam daerah konvergen

1untuk kedua dan .

Pole terletak di

z au n Y z v dv dv

j j v z a v ba z v b vC C

W v Xv

v

z dan ,daerah konvergensi adalah z ,maka daerah konvergensi adalah ,v

sehingga pole diluar lintasan integrasi C. Dengan teorema residu Cauchy untuk menghitung

/ 1( )

/ 1

z zb v X z a X aa v

z v Y za

z aY z

b z a a

z

1ab

bz


1 1

2 2

( ) 1 1 -Bila dan deretan kompleks dan 1 2

( ) 2 2 -

1* 11maka 1 2 1 22

n=-

Lintasan integrasi harus berada di d

x n X z R z Rx xx n x n

x n W z R z Rx x

x n x n X v X v dvj v

C

alam daerah konvergensi dan .1 2

Bila dan konvergen di lingkaran satuan, dipilih ,maka1 2

1* ( ). ( ) 1 2 1 22

n=- -

12 11Bila = = maka = 1 2 1 22

-

X z X z

jX z X z v e

j jx n x n X e X e d

x n x n x n x n X v X v dvvj

n C

-

C adalah lintasan tertutup di dalam daerah konvergensi .

212Bila maka = ( )

2- -

R z Rx x

X z

j jv e x n X e d

n

4.4.8 Teorema Parseval


1 2Bila deretan kausal: ( ) 0 1 2 ....

0

maka: 0 lim ( )

nx n x n X z x n z x x z x z

n

x X zz

Bila ( ) dan semua pole ( )berada di dalam lingkaran satuan

11maka: lim lim

11

x n X z X z

zx n X z

n z z

4.4.9 Teorema Nilai Awal

4.4.10 Teorema Nilai Akhir


1 All z

1| | 1

11

11 | | 1

11

1| | | |

11

11 | | | |

11

untuk seluruh harga z kecuali 0 untuk m 0

atau untuk m 0

n

u n z

z

u n z

z

n u n z

z

n u n z

z

mn m z

4.4.11 Pasangan Transformasi z


r|z|

zrzncosr21

zsinrnunsinr

r|z|zrzncosr21

zcosr1nuncosr

1|z|zzncos21

zsinnunnsin

1|z|zzncos21

zcos1nuncos

|||z|z1

z1nun

|||z|z1

znun

221

0

1

00

n

221

0

1

00

n

21

0

1

00

21

0

1

00

21

1n

21

1n

4.4.11 Pasangan Transformasi z


Polinomial rasional dari H(z) :

1 ( 1)

0 1 1

1 ( 1)

0 1 1

M M

M M

N N

N N

Y z b b z b z b zH z

X z a a z a z a z

1

0 1 0 1

111

1

1

M M Mk k k

N NNkk k

b z z b z z zH z

z z pp z

zk adalah akar-akar pembilang dari H(z)

H(z)= 0 zk adalah zero dari H(z)

pk adalah akar-akar penyebut dari H(z)

H(z)= pk adalah pole dari H(z)

4.5 Transformasi Z dalam bentuk polinomial rasional

Transformasi Z dalam bentuk rasional yang difaktorkan


Sistem LTI

h[n]x(n) y(n)=x(n)*h(n)

X(z) Y(z) = X(z) H(z)

2

1

( )( )

( )

( )N

n

n N

Y zH z

X z

H z h n z

4.6 Fungsi Sistem atau Fungsi Transfer H(z) dari Sistem Linier Tidak Berubah terhadap waktu


0

0 0

1 2 1

1 2 0 1

1 2

0 1 2

1 2

1 2

a 1

( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )

...( )( )

( ) 1 ...

N M

k k

k k

N M

N M

M

M

N

N

a y n k b x n k

Y z a z Y z a z Y z a z Y z b X z b z X z b z X z

b b z b z b zY zH z

X z a z a z a z

4.7 Fungsi Sistem untuk Sistem yang Dinyatakan dalamPersamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier


0

1 2

Contoh:

Filter FIR yang direalisasikan secara non rekursif

,

Respon impuls sistem ini

1 0 atau h n 1 2 ...

( ) 1 ...

M

k

M

y n x n k

h n

h n n M n n n n M

h n H z z z z

-1 1

1

-1

Filter FIR yang direalisasikan secara rekursif

1 1

Y(z) Y(z)z ( ) ( )

( ) 1 ( )

( ) 1-z

1

M

M

y n y n x n x n M

X z X z z

Y z zH z

X z

h n u n u n M


Sistem LTI Kausal

Sistem LTI adalah kausal jika:

0 0

ROC transformasi Z dari sistem LTI kausal adalah bagian luar

dari lingkaran berjari-jari

Sistem LTI Stabil

ROC transformasi z dari

h n n

r

-

deretan adalah harga-harga

yang menyebabkan (absolutely summable).

Sehingga bila ROC mencakup lingkaran satuan yaitu 1 , maka

, artinya sistem LTI tersebut akan s

n

n

n

h n

z r h n r

z

h n

tabil .

Sistem LTI Kausal akan stabil jika dan hanya jika

seluruh pole ( ) terletak didalam lingkaran satuan.

Daerah konvergensi sistem LTI yang kausal dan stabil

adalah dan 1.

H z

z r r

4.8 Kausalitas dan Stabilitas Sistem Linier Tidak BerubahTerhadap

Sistem LTI Kausal

Sistem LTI adalah kausal jika:

0 0

ROC transformasi Z dari sistem LTI kausal adalah bagian luar

dari lingkaran berjari-jari

Sistem LTI Stabil

ROC transformasi z dari

h n n

r

-

deretan adalah harga-harga

yang menyebabkan (absolutely summable).

Sehingga bila ROC mencakup lingkaran satuan yaitu 1 , maka

, artinya sistem LTI tersebut akan s

n

n

n

h n

z r h n r

z

h n

tabil .

Sistem LTI Kausal akan stabil jika dan hanya jika

seluruh pole ( ) terletak didalam lingkaran satuan.

Daerah konvergensi sistem LTI yang kausal dan stabil

adalah dan 1.

H z

z r r


4.8 Kausalitas dan Stabilitas Sistem Linier Tidak BerubahTerhadap


Ada 3 pendekatan untuk menghitung transformasi z invers :

– Transformasi z invers

– Power series in z (long division)

– Fraksi pecahan parsial

4.9 Transformasi z Invers


Transformasi dari

( )

1Kedua sisi persamaan diatas dikalikan dengan faktor dan diintegrasikan pada

lintasan tertutup dalam ROC ,sehingga diperoleh

1 1. .= .

z x k

kX z x k zk

nz

X z

n knX z z dz x k z d

kC

dimana C adalah lintasan tertutup yang berputar berlawanan arah jarum jam dalam ROC .

1 1. .= . .

Dengan menggunakan teorema integral Cauchy,

11 2

z

C

X z

n n kX z z dz x k z dz

kC C

n kz dj

1, =

0,

maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan

1 . .= 2

11 .2

k nz

k nC

nX z z dz x n j

C

nx n X z z dzj

C

4.9.1 Transformasi z Invers


Teorema integral Cauchy

Bila adalah lintasan tertutup dan ' ada pada lintasan atau di dalam ,

, di dalam 0 01 =2 0, di luar 0 0

Untuk pole yang

C f z C C

f z f z z Cdz

j z z z C

C

k

0

sama yang terdapat dalam , ' dengan turunan orde 1, dan

yang tidak mempunyai pole dalam , maka

11, di dalam 01 1 = 1 !

20 0,

C f z k

f z C

kdf z f z z C

kdz z zk dzj kz z

C

i

di luar 0

Bila terdapat pole dan tidak mempunyai pole dalam ,maka

1 = lim2 ...1 2

1

...1 2

z C

n f z C

nf z

dz z zi zj z z z z z z z zn

iC

f zz

z z z z z zn


Contoh

Tentukan transformasi z invers untuk ( ) berikut

,

Solusi

Untuk 0

11 1 . . , 02 2

Untuk 0

1 1 1 1 1 11 11 . . 02 2

0

12

X z

zX z z a

z a

n

nz zn nx n z dz dz a nj jz a z a

C C

n

zx dz dz

j jz a z z a z a z a az z aC C

x

2 1 1 1 1 11. . 02 2 2 2 2 2

0

0, 0

z ddz dz

j jz a dz z az z a z a az z aC C

x n n

nx n a u n


X(z) dinyatakan dalam bentuk X(z) = a + bz-1 + cz-2 ...

Umumnya X(z) adalah deretan sisi kanan dan berbentuk polinomial rasional

Jika X(z) berbentuk ponomial rasional, ekspansi dilakukan dengan pembagian cara panjang (long division).

( ) nX z x n zn

( )

( )

P zX z

Q z

4.9.2 Power series in z (long division)


1Contoh :

1 21 1.5 0.5

(a) ROC: 1

(b) ROC: 0.5

Solusi

(a)Karena ROC adalah bagian luar lingkaran,maka kausal.

1 2 Ekspansi deret dalam bentuk , ,...dst.

H zz z

z

z

x n

z z

4.9.2 Power series in z (long division)


1 2 31 1.5 1.75 1.875 ...1 21 1.5 0.5 1

1 21 1.5 0.5

1 2 1.5 0.5

1 2 3 1.5 2.25 0.75

2 3 1.75 0.75

z z z

z z

z z

z z

z z z

z z

2 3 1.75 2.625

3 1.875

1,1.5,1.75,1.875,...

z z

z

x n

(b) Karena ROC adalah bagian dalam lingkaran,maka anti kausal.

2 Ekspansi deret dalam bentuk , ,...dst.

2 32 6 142 1 0.5 1.5 1 1

21 3 2

2 3 2

2 3 3 9 6

2 3 7 6

x n

z z

z z z

z z

z z

z z

z z z

z z

4 ...

...14,6,2,0,0

x n


1 ( 1)

0 1 1

1 ( 1)

0 1 1

Polinomial rasional ( )

Fungsi rasional diatas dikatakan proper jika 0 dan .

Fungsi rasional improper dapat dituliskan sebagai

M M

M M

N N

N N

N

X z

N z b b z b z b zX z

D z a a z a z a z

a M N

M N

11 ( )

0 1

penjumlahan

polinomial dan fungsi rasional proper.

Ekspansi pecahan parsial dilakukan pada fungsi rasional proper.

M N

M N

N z N zX z c c z c z

D z D z

4.9.3 Ekspansi Pecahan Parsial


31 2

1 2 3

1 N

Untuk polinomial rasional ( ) dengan pole yang berbeda maka bentuk ekspansinya menjadi

...

Nilai koefisien ,..., ditentukan sebagai berikut

N

N

k

k

z p

X z N

X z A AA A

z z p z p z p z p

A A

z p X zA

z

2

2

1 2

1 20.20.60.6

1, 2,...,

Contoh

Tentukan ekspansi pecahan parsial dari berikut

2

0.4 0.12

2

0.6 0.2 0.6 0.2

2 20.6 1.75, 2.750.60.2

k

zzz

k N

X z

z zX z

z z z

X z A Az

z z z z z

X z z zA z Azz z

4.9.3.1 Pole yang berbeda


1k 2k

2

Untuk polinomial rasional ( ) dengan pole yang sama yaitu ,maka

ekspansi pecahan parsial menjadi

...

Nilai koefisien ditentukan sebagai berikut

1

!

l

k

lk

l

k k k

jk

jk

X z l z p

AA A

z p z p z p

A

dA

l j

( )

1,2,...,

j

l jl

kl j

z p

X zz p j l

dz z

4.9.3.2 Pole yang sama


-1( ) ( ( )),k kx n Z X z z a k Xk (z)

...

Tabel Invers Transformasi untuk Metoda Ekspansi

Pecahan Parsial

12

2

3

3

4

1

2

13

2!

1 24

3!

n

n

n

n

k

z a u nz a

z na u nz a

n n az u n

z a

n n n az u n

z a

zkz a

11 ... 2

1 !

n kn n n k au n

k

4.9.3.2 Pole yang sama


2

123

1 12 4

3111 21 4

3 2 31 11 1 1 12 42 4 2 2

11

Contoh

Tentukan invers transformasi z dari

,

Solusi

1

1 ( ) 1, 2,...,

!

1

3

j

l jl

jk kl j

z p

z zX z z

z z

X z AA A Az

z z zz z z z

d X zA z p j N

l j dz z

A

12

1 112 42

23

12 32 1 1

2 4

21 31 4 31 1 14 4 2

2

3 2 31 11 1 1 12 42 4 2 2

1 80

1 !

1 1 1 1-20 , =6, = -80

3 2 !

80 20 6 80

8

z

z zz

d zz

dz z z

d z z zA A A

dz z z z

z z z z z zX z

z zz z z z

x n

1 2

1 1 1 12 2 2 4

0 20 6 1 / 2 80n n n n

n n n u n


Fungsi respon frekuensi memberikan informasi tentang

karakteristik filter dijital LTI dalam domain frekuensi . Dengan fungsi kompleks variabel frekuensi , realiasasi danmanipulasi filter dijital akan sulit.

Akan tetapi dengan menggunakan transformasi z darirespon impuls sistem LTI, yang disebut fungsi sistem/fungsitransfer (H(z)), dimana polinomial dinyatakan dalam z-1, danuntuk sistem dengan respon impuls real, koefisien daripolinomial fungsi sistem nya juga akan real. Hal ini akanmemudahkan dalam sintesa dan realisasi filter dijital.

4.10 Respon Frekuensi untuk Fungsi Sistem Rasional


1 2 ...( ) 0 1 2( )1 2( ) 1 ...1 2

Polinomial pembilang dan penyebut difaktorkan :

11

1 ( ) 0

11

1

Karena TFWD adalah evaluasi pada bid-z dimana maka

Mb b z b z b zY z MH zNX z a z a z a zN

M

z zk

kH z bN

p zk

k

jz e

H e

1

1 0

1

1

1j ( )e 0

1

Mjz ek

kj bN

jp ek

k

Mje zk

kj N MH b eN

je pk

k

Edisi Semester I 17 / 18 EYH

j 1

0

1

j ( ) 1

0

1

( )

( )

j 1

0

1

0

1 1

1

e

1

e

( )

- ( )

( )

e

( )

( ) ( ) ( ) ( )

k

k

Mj

k

k

Nj

k

k

Mj

k

j N M k

Nj

k

k

jj

k k

jj

k k

M

k

k

N

k

k

M N

k k

k k

z e

H b

p e

e z

H b e

e p

e z V e

e p U e

V

H b

U

H b N M


Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional

1circle Unit : 1z

Im (z)

Re(z)

xpk

zk

ej

C

A

L

B

jk

jk

e BL z

e AL p

CLALCA

CLBLCB


Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional (lanj)

)(jk

)(jk

k

k

e)(V

e)(U

kj

kj

z e

p -e

( )k

1

Im (z)

Re(z)

xpk

zk

ej

( )k

Uk()

Vk()


Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional :zero & pole pada lingkaran satuan

)e(H0)(U,

0)e(H0)(V,

jk

jk

sehinggap saatPada

sehinggaz saatPada

k

k

( )k

1

Im (z)

Re(z)

xpk

zk

ej ( )k

Uk() Vk()

zk

pk


Contoh 1 : Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional 1 pole

8.0cos

sintan)(

cos6.164.1

1

8.0e

e)e(H

8.0e

e)e(H

1

j

j

j

j

jj

( )k

1

Im (z)

Re(z)x0.8

ej

Uk()

pole= 0.8

8.0z

z

z8.01

1)z(H

1

LPF

maksimum)e(H)(U

;0

08.0

jk

0

0

minimum

p saat Pada

p

k

k


Contoh 2 : Respon Frekuensi Fungsi Sistem Rasional 1 pole

8.0cos

sintan)(

cos6.164.1

1

8.0e

e)e(H

8.0e

e)e(H

1

j

j

j

j

jj

( )k

1

Im (z)

Re(z)x

- 0.8

ej

Uk()Pole = - 0.8

8.0z

z

z8.01

1)z(H

1

HPF

maksimum)e(H)(U

;180

1808.0

jk

0

0

minimum

p saat Pada

p

k

k


Ingat !

1

Im (z)

Re(z)x

ej

U(1)

U(2)

U(3)

U(4)

1

)(j

)(U

p

)(U

e)(U

saat pada

minimum gambar Pada

frekuensi saat pada

minimum berharga akan

pe j


1

j

0

j

j ( )

j 1

1

j

0

j

1Mis : ( )

1 0.8

1( )

1 0.8

z 0 dan p 0.8 0

z ( ) 1

e - p ( )

( )( ) 1

e( ) ( )

( )

( ) minimum pada saat e maksimum.

Pada contoh diatas 0 .

e 0

j

j

M

k

k

N

k

k

k

k

H zz

H ee

e V

U e

VV

HU U

U

U p H

p

H

0

bila ( ) 0,hal ini dapat terjadi apabila

zero terletak pada lingkaran satuan pada frekuensi yang sama

dengan frekuensi zero ( 0 ) pada bidang z.k

V

z


1

1

1

Re (z)

Im(z)

Re (z)

Im(z)

X

X

Low pass filter

High pass filter

= 0 H(e j) maks

= H(e j) maks

Edisi Semester I 17 / 18 EYH

Contoh Soal.

Filter band pass dengan frekuensi maksimum pada = /2, responfrekuensinya nol pada =0 dan = .

Respon magnitude pada frekuensi = 4/9 adalah 1/2.

Koefisien H(z) adalah bilangan riil. Tentukan fungsi transfer/fungsi sistem H(z) .

Jawab Sistem jelas harus mempunyai pole pada p1= r ej/2 dan p2=r e-j/2

Sistem jelas harus mempunyai zero pada z1=1 dan z2 = -1

1

Re

(z)

Im(z)

X

X


2

2

11

11

4222

24

2

24

24

9/4jj

222/j2/jj

24

j

222

22

22j2

j2

jj

jj

j

22

2

11

11

z1

z115.0

zj1zj1

z1z115.0

7.0

rr88.11r194.1

2

1

9/8cosr2r1

9/8cos22

2

1

9/8cosr2r1

9/8cos22

2

1

9/8cosr2r1

9/8cos22k)e(H

9

4

2

1)e(H

2111er1r1

22k)e(H

2)e(H

2cosr2r1

2cos22k)e(

2sinr2cos

2sin12cosk

r2sinj2cos

12sinj2cosk

re

1e

jejre

1e1ek)e(

zr1

z1k

zj1zj1

z1z1k

0.7 H(z)

0.70.7H(z)

20

3 k 1

0.7-1

2k r

2

r-1

2

r-1

maka pada Jika

karena 1 r-1

2k maka pada maksimum

H

k r

H

rrH(z)

2

2

2

2

Documents

Transformasi Z - Institut Teknologi Bandung...x n X z R z Rxx y n x k h n k h n H z R z Rhh k Y z x k h n k z x k h n k z nn n k k n xk k f f f f f fªº «» «» f f f f «»¬¼