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Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 1
Transport dynamique dans les conducteurs mésoscopiques :
aspects expérimentaux
Bernard Plaçais
Groupe de physique mésoscopique (MESO)
Laboratoire Pierre Aigrain, Ecole Normale Supérieure, Paris
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 2
Domaine vaste et très dynamique ………….
• Dynamique de charge dans conducteurs quantiques (ce cours)
• Conducteurs diffusifs (cours G. Montambaux)
• Electronique quantique et photons RF (cours M. Devoret, Saclay)
• Moments d’ordre supérieurs du bruit, susceptibilité de bruit (Reulet et al.,Orsay)
• Photo-détection électronique (MESO, Saclay, Orsay)
• Photo-détection GHz--THz (IEMN-Lille, LPS-Orsay, ce cours)
• Transport moléculaire dynamique ? (MPQ-Paris7, Néel-Grenoble)
• Dynamique du transport cohérent de spin (séminaire T. Kontos)
• Dynamique électro-mécanique (Grenoble, Barcelone)
• …./….
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 3
Nos condcuterus quantiques
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 4
Gaz d’électrons bidimensionnels (LPN) Hétérojonction de semiconducteurs à modulation de dopage
Transport électronique balistique cohérent
µm 20l ; µm 10l ; nm 30~ ; cm1010n ; sVm 240µ eF-21311
s-1-12 ≈>−== ϕλ
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Rxx
RHM=1
2
B(T)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 5
GaAs
AlGaAs
Confinement 2D Interface
B
k , x
Énergie
Niveaux de Landau
Fε
États de bord unidimensionnels
Dégénérescence de spin levée
Canaux de bord superbalistiques
x
B
E
driftV
µm 100~ll ; m/s 10~V edgee5
drift qqsB
neBE
≤≈=ε
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 6
nanotubes de carbone monoparois (MESO)
Δ≈1eV
Electronic and transport properties of nanotubes, J.C. Charlier, X. Blase, S. Roche, RMP 79, 677 (2007)
eVnm
vkvh
9.2
076.0d
m/s10.8
E
0
22(nm)
50
0
=•
+=•
=•
±=•
γ
Nanotube (9,0) zigzag
µm 1l ; m/s 10~V 6F >e
Conducteur balistique : 4 modes dégénérés spin et orbite
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 7
Nanotube semiconducteur
Δ≈1eV
(Charlier, Blase, Roche, RMP 2007)
( ) ( )
eV
nm
vv
v
kvhvm
F
9.2
076.0d
d1
13mm*
-
m/s10.8
* E
0
22(nm)
(nm)
0
gF0
50
20
220
=•
+=•
≤•
∆=•
=•
+±=•
γ
εε
Nanotube (10,0) zigzag
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 8
Spectroscopie d’un nanotube semiconducteur (croissance CVD)
0.8
0.65
0.5
0.35
0.2
0.05
VG (V)
V SD (m
V)
dI/dV (4e2/h)
Régime Fabry-Pérot
hvF/L
Blocage de Coulomb Effet Kondo
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 9
Plan du cours A. Introduction à la dynamique mésoscopique
1. Introduction 2. Apport des hautes fréquences 3. Mesurables
B. Techniques expérimentales
1. Paramètres de diffusion 2. Montages de mesure de signaux rf faibles
C. Admittance de conducteurs quantiques
1. Relaxation de charge d’une capacité mésoscopiques 2. Inductance mésoscopique d’une barre de Hall 3. Dynamique de transistors à nanotube de carbone
D. Manipuler des électrons uniques
1. Injection d’électrons uniques 2. Vers la détection d’électrons volants
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 10
Introduction
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 11
optique électronique cohérente
+ - V
heVeI .=
eVh
=τ
1e 1e 1e 1e 1e ...
Pauli Heisenberg : eV . τ ~ h
Ve
ε
)(fR ε
εe- µL
µR )(fL ε
heG
2
=
25.8 kΩ >> 50Ω 2ehR =
quantum inside
mais
!!02 =∆I
Wave-packet approach to noise in multichannel mesoscopic systems,T. Martin, R. Landauer, PRB 45, 1742 (1992)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 12
Contrôle de la transmission d’un mode unique
eV D
eVh
=τ
1
0
2
exp1−
∆
−−+≈
= ∑
VVV
D
Dh
eG
ngn
nn
-50 0 50 1000
1
2
3
Vg ( mV )
con
duct
ance
( e
2 / h
)
états de bord = équipotentielles
12
Quantized transmission of a saddle-point constriction, M. Büttiker, Phys. Rev. B 41, 7906 (1990).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 13
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.20.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2Sample A
(SI-4
k BT(4
e2 /h)D
2 )/2eI
VG(V)
Bruit de partition quantique
Shot noise supression in QPC, Reznikov et al. PRL’95, Kumar et al. PRL ’96, atomic contacts, van den Brom and Ruitenbeek PRL ‘99 Shot noise in Fabry-Pérot interférometers Based on carbon nanotubes, L. Hermann et MESO, PRL 99, 156804 (2007),
-50 0 50 1000
1
2
3
Vg ( mV )
con
duct
ance
( e
2 / h
)
( ) fDeII ∆−=∆ 122
Contact ponctuel (2DEG) Interféromètre Fabry-Pérot (CNT)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 14
interférences électroniques (P. Roche)
KLTL
L m 20 à µm 20 ; )(
exp0 >−= ϕϕ
νν
D1 S
BS1 M1
M2 BS2
D2
Direct measurement of the coherene ….., P. Roulleau, et al. PRL 100, 126802 (2008).
visibilité des franges des Mach-Zehnder
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 15
Apport des hautes fréquences (ou des temps courts)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 16
Mesure du temps de résidence électronique
Régime balistique:
LFv
ωτφ =tan
FvL
=τ Temps de transit
Hz )(2 ns, .10 .10 v, m10 115F GqqsfqqssmqqsqqsLL ≈=≈⇒≈≈≤ −− πττµϕ
τVac Iac
Z(ω) +++== KEjGVIA
ac
ac 2ωω
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 17
Inductance d’un fil diffusif cohérent
2/122
0
22 1A(B) ; )((B)A(B)
−−−
−+=−≈
DiLL
LheGBLjG B
ωδω
Weak-localization complex conductivity at 1GHz in disordered in Ag wires, J.B. Pieper, J.C. Price, J.M. Martinis, PRB 45, 3857 (1992). High frequency conductivity of the high-mobility 2DEG, P. J. Burke et al. , APL 76, 745 (2000).
Temps de traversée d’un fil diffusif
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 18
2 terminaux - 2 contacts : inductance mésoscopique
( )ωτω jGEjGA +=+= 1
DS
Low frequency admittance of a quantized Hall conductor, T. Christen and M.Büttiker, PRB 53, 2064 (1996). Low frequency admittance of a quantum point contact, T. Christen, M. Büttiker, PRL 77, 143 (1996) Relaxation Time of a Chiral Quantum R-L Circuit, J. Gabelli, et al., PRL98, 166806 (2007)
(c.f. : section C.2)
Temps de traversée d’une barre de Hall
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 19
1 contact - 1 grille : capacité mesoscopique
( ) ( )ωτωωω jjCRCjCA q +=−= 1 2
Dynamic conductance and the scattering matrix of small conductors ,M. Büttiker, A. Prêtre, H. Thomas, PRL70, 4114 (1993). Dynamic admittance of mesoscopic conductors: Discrete-potential model, A. Prêtre, H. Thomas, M. Büttiker, PRB54, 8130 (1996). Violation of Kirchhoff’s Laws for a Coherent RC Circuit, J. Gabelli, et al., Science 313, 499 (2006).
S D
(c.f. : section C.1)
Temps de charge et résistance de relaxation de charge (cohérent et incohérent )
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 20
2 contacts - 1 grille : le transistor mesoscopique
T01
2
1
1
2
2 j1II ;
2ωω
+=−
=
=
= ABCAD
IV
DCBA
IV
V
Single Carbon Nanotube Transistor at GHz, J. Chaste et al. MESO, Nanoletters 8, 525 (2008)
Matrices S , Z, Y ou ABCD
G D
S
Agd
AdsAgs
(c.f. : section C.3)
Fréquence de transit
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 21
Polarisabilité d’anneaux mésoscopiques
( )( ) ( )
∆=+
∆+−=
πτϕϕωτλ
πελ
ϕδα 2 ; /cos 1/ln16
)( 0
2
2 jLWEWRL
s
c
s
Thèse B. Reulet, Flux-dependent screening in Aharonov-Bohm rings, R. Deblock et al., PRL 84, 5379 (2000) Theorie, K.B. Efetov, PRL 76, 1908 (1996) Modèle diffusif, Y. Noat, B. Reulet and H. Bouchiat, EPL 36, 701 (1996)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 22
Du bruit rf à
la manipulation d’électrons uniques
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 23
Singularité bruit à eV/h
Experimental Test of the High-Frequency Quantum Shot Noise Theory in a Quantum Point Contact E. Zakka-Bajjani, J. Segala, F. Portier, P. Roche, and D. C. Glattli, A. Cavanna, Y. Jin, PRL 99, 236803 (2007).
( )
( )
−− →
−−
−+
+−
−−=
∑
∑
>>
+−
kThfhfeVDDG
ehf
eeVhf
eeVhfDDGVTfS
iii
kThfV
kThfkTeVhfkTeVhfi
iiI
2coth12
12
1112),,(
0,
//)(/)(0
e−
12
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 24
Time-Resolved Detection of Single-Electron Interference, S. Gustavsson, R. Leturcq, M. Studer, T. Ihn, and K. Ensslin, D. C. Driscoll and A. C. Gossard, Nanoletters 8, 2547 (2008)
Comptage d’électrons (QPC-FET)
ϕττ >> : classique
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 25
injecter des électrons uniques cohérents
An on-demand single electron source, G. Fève et al. MESO, et al., Science 316, 1169 (2007).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 26
Pour réaliser des collisions à deux électrons
A
AV
V
Time control ~ 0.1 ns (Lφ ~10 µm, Vd ~105 m/s) Energy control
QHE edge-state
QPC
contact
Posters Jeanine et François Parmentier
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 27
Mesurables rf
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 28
Capacité quantique
FE
E+ - 0=V
Ψ1 Ψ2 géoC
)(EN
FE
0=q
0=q
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 29
Capacité quantique
FE
E+ -
V∆
Ψ1 Ψ2 géoC
)(EN
VeEF ∆+
q∆+
q∆− Ve∆
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 30
Capacité quantique
FE
E+ - 0=V
Ψ1 Ψ2 géoC
)(EN
VeEF ∆+
q∆+
q∆− Ve∆
q∆
FE
µ∆+FE
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 31
Capacité quantique
FE
E+ - 0=V
N)( , 11)(
1modes
2 ∝=
+∆=
∆+∆=∆ FQ
QgéoL ENeC
CCqe
ENeqVeµ
Ψ1 Ψ2 géoC
)(EN
VeEF ∆+
q∆+
q∆−
µC1
géoCqeVe ∆
=∆
q∆
FE
µ∆+FE
Cgéo CQ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 32
inductance cinétique
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 33
- + 0=dsV
Ψ1 Ψ2 0=∆q
Ψ1 Ψ2
0=channelV
0=∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+k
)(EN +
FE
−k
)(EN −
1µ 2µ
FE=2µFE=1µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 34
- +
dsV
Ψ1 Ψ2 0≈∆q
Ψ1 Ψ2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+kgéoC
)(EN +
FE
−k
2/Ve∆
)(EN −
1µ 2µ
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 35
- +
dsV
Ψ1 Ψ2 0≈∆q
Ψ1 Ψ2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+k
)(EN +
FE
−k
2/Ve∆
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
)(EN −
1µ 2µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 36
- +
dsV
Ψ1 Ψ2 0≈∆q
Ψ1 Ψ2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Inductance cinétique
+k
)(EN +
FE
−k2Ve ∆
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
esFFK
KF
NvENeL
ILeVeVENE
mod22
2
1)(
1
21
22)(
∝=
=×
×=∆ +
)(EN −
1µ 2µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 37
- +
dsV
Ψ1 Ψ2 0≈∆q
Ψ1 Ψ2
0=channelV
0≈∆q
∞≈geoC
Cas sans interactions
+k
)(EN +
FE
−k
)(EN −
dsF eVE +=2µ
FE=1µ
1µ 2µ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 38
- +
dsV
Ψ1 Ψ2 0≈∆q
Ψ1 Ψ2
2/dschannel VV =
0≈∆q
0≈geoC
Cas chiral
+k
)(EN +
FE
−k
)(EN −
1µ 2µ
+∆Ve−∆Ve
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 39
Ordres de grandeur
)nanotubess bord, de canuas : modes de nombre(petit
mH/m 41
)8.10 4,N nanotubes graphène, cteurs,(nanocondu
pF/m 400 2
2
5
2
geoFQ
K
F
geoF
Q
LvC
L
v
ChvNeC
>>≈=
==
≈≈=
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 40
Plan du cours A. Introduction à la dynamique mésoscopique
1. Introduction 2. Apport des hautes fréquences 3. Mesurables
B. Techniques expérimentales
1. Paramètres de diffusion 2. Montages de mesure de signaux rf faibles
C. Admittance de conducteurs quantiques
1. Relaxation de charge d’une capacité mésoscopiques 2. Inductance mésoscopique d’une barre de Hall 3. Dynamique de transistors à nanotube de carbone
D. Manipuler des électrons uniques
1. Injection d’électrons uniques 2. Vers la détection d’électrons volants
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 41
Paramètres de diffusion
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 42
Mesures 1-4 ports de paramètres de diffusion
Port 1 Port 2
a1 a2
b2 b1
2
1
2221
1211
2
1
=
aa
SSSS
bb
Port 1 Port 2
a1 a2
b2 b1 Z0 Z0A-1>>Z0
3-0
0
021 10 )A( Z ≤≈
+= ω
ZZZS )/2A( Z- 0
0
011 ω≈
+−
=ZZZZS )/2A( Z- 0
0
011 ω≈
+−
=ZZZZS
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 43
Mesures par réflectométrie
Measurement of the weak-localization complex conductivity in Ag wires, J.B. Pieper, J.C. Price, J.M. Martinis, PRB 45, 3857 (1992).
amplitude)en 10% de (fuite dB 20~isolation −
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 44
mesure de transmission en géométrie coplanaire
! parasite10~ )A( Z signalet @1GHzin/out isolation 60dB- -3021 ≥≈ ωS
Port 1 Port 2
a1 b2
Z>>Z0
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 45
Appareils commerciaux (300K mais aussi 4K)
Microwave engineering, D.M. Pozar, ed.: J. Wiley and Sons, 3ième édition,
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 46
Mesures en boîtier
Microwave engineering, D.M. Pozar, ed.: J. Wiley and Sons, 3ième édition,
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 47
Montages de mesure admittance
3 cm 3 mm
dc rf
local
G=X+iY
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 48
Montages de mesure de bruit
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 49
le problème de résolution
!!µK 45 1010
K 54
)(2T
!!!µK 101010
K 5T
4 830
S
4 834N
=×
≈≤
=×
≈∆
=
qqskZefe
HzqqssfTN
δ
τδ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 50
Adaptation impedance : ligne quart d’onde f>1GHz
Experimental Test of the High-Frequency Quantum Shot Noise Theory in a Quantum Point Contact E. Zakka-Bajjani, J. Segala, F. Portier, P. Roche, and D. C. Glattli, A. Cavanna, Y. Jin, PRL 99, 236803 (2007).
4-8 GHz (Saclay) 1-4 GHz (ENS)
Ω=≥
Ω≈==>>>
≥ 50 377 Z
0
02sample coax
vide
videvide Z
CLZ
eh
εµ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 51
Adaptation impedance : transformateur f<1 GHz
J. Chaste, Thèse UPMC, MESO
NT-FET Ligne 200 ohms Ligne 50 ohms Ligne 50 ohms Ligne 50 ohms
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 52
Plan du cours A. Introduction à la dynamique mésoscopique
1. Introduction 2. Apport des hautes fréquences 3. Mesurables
B. Techniques expérimentales
1. Paramètres de diffusion 2. Montages de mesure de signaux rf faibles
C. Admittance de conducteurs quantiques
1. Relaxation de charge d’une capacité mésoscopiques 2. Inductance mésoscopique d’une barre de Hall 3. Dynamique de transistors à nanotube de carbone
D. Manipuler des électrons uniques
1. Injection d’électrons uniques 2. Vers la détection d’électrons volants
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 53
Relaxation de charge d’une capacité mésoscopique
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 54
Relaxation de charge d’une capacité mésoscopique
GV
GV
l < µm exceV ( t )
I( t )B
Thèse J. Gabelli Violation of Kirchhoff’s Laws for a Coherent RC Circuit, J. Gabelli, et al. MESO, Science 313, 499 (2006), ibid (Physica B 2006).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 55
modèle scattering : 1 mode à 1D
Boîte quantique
GV
B
2 εΦ π∆
=2tD =
) 2( vec 1
)( )(
0
1
0
1
∆=
−−
=⇒
−=
επϕεε
ϕ
ϕ
ϕ areers
bea
rttr
bas
i
i
i
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 56
Admittance au deuxième ordre en fréquence
( )( )
[ ] ( )( ) qQQ RCiCg
ddfNe
ehd
ddfNedig
ddfh
ddssh
ddssd
heg
hhffhssd
he
UVIg
2
2222
2
222
2
)(
)(2
)( )(
2)(
)()()()(1)(
ωωω
εωεε
εεεωω
εω
εω
εεω
ωωεεωεεε
δδδω
+−=
+−=
+=
+−+−=
−=
∫∫
∫
∫++
+
Dynamic conductance and the scattering matrix of small conductors ,M. Büttiker, A. Prêtre, H. Thomas, PRL70, 4114 (1993). Dynamic admittance of mesoscopic conductors: Discrete-potential model, A. Prêtre, H. Thomas, M. Büttiker, PRB54, 8130 (1996).
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 57
Modèle unidimensionnel
Cq
[ ]( )
[ ]2
02
2
222
202
22
2
)(
)(2
)( )(
12
112
1)(
1)(
1/
)(
eh
ddfNed
ddfNe
ehd
R
NeddfNedC
jCeh
jCjCeh
jCgG
jCIVI
UVIg
Tq
TQ
Q
→
=
→=
+=++=
+=
−=
−=
→
→
Σ
Σ
Σ
∫
∫
∫
εεε
εεε
εε
εε
ωωω
ωωω
ωδδδ
δδδω
µ
CQ CgéoRq
Cµ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 58
Régime cotuneling (kT<<DΔ) Boîte quantique
GVGV
B
2 εΦ π∆
=
2
2
1
0
1
)/2cos(2111)(
exp1
rrrN
VVV
D g
+∆−−
∆=
∆
−−+=
−
πεε
-0,90 -0,880
2
VG (V)
T=0 K
1/∆
C q (K-1
) Transmission 1
-0,90 -0,880
1
2
1/R
q (e2 /h
)
VG (V)
1
Transmission
T= 0 K
2
)( ; cte 2
; )( q22 ετε hNCR
ehRNeC QqqQ =====
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 59
∆==×
∆
=
=+∆−
−∆
= ∫
DhCR
kTkTe
hD
R
kTkTe
ddf
rrredC
Qqq
Q
~ ~ ; )2/(cosh4~
1
)2/(cosh4)/2cos(21
1 ~
2
2
2
2
2
22
τδε
δεεπεε
Régime séquentiel (kT>>DΔ)
-0,90 -0,880
2
VG (V)
1/∆Transm
ission
C q (K-1
) 1/4T
T=150 mK
1
-0,90 -0,880
1
2
x101/
R q (e2 /h
)VG (V)
Transmission 1
T= 150 mK2K=∆
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 60
résumé
quantiquepoint le dansélectron l' de viede durée lapar donnéest ~ ~
; )2/(cosh4~
1 ; )2/(cosh4
~
)D(kT thermiquebrouillage régime
quantiquepoint le dansélectron l' de résidence de tempslepar donnéest 2
)(
cte 2
; )(
)D(kTcohérent régime
2
2
2
2
Q
222
∆==
∆==
∆≥
==
=<===
∆<<
DhCR
kTkTe
hD
RkTkTeC
hNCR
DehR
ehRNeC
LandauerqQ
τ
δεδε
ετ
ε
Mesoscopic charge relaxation, S.E. Nigg, R. Lopez, M. Büttiker, PRL 97, 206804 (2006) ; Quantum to classical transition of the charge relaxation resistance of a mesoscopic capacitor, S.E. Nigg, M. Büttiker, PRB 77, 085312 (2008)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 61
Capa-méso
(B. Etienne, Y. Jin, LPN-Marcoussis)
Échantillon (LPN)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 62
conductance
D (transmission) 1 0
f=1,5 GHz, T = 30 mK
-0.91 -0.90 -0.89 -0.88
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
B=1.28T
f = 1.5GHz
VG (V)
Im(G) -Re(G)
2)RC(1C)GIm(
ω+ω
=
2
2
)RC(1)C(R)GRe(ω+
ω=
D B
R C
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 63
Capacitif cohérent à forte transmission
D (transmission) 1 0
f=1,5 GHz, T = 30 mK
-0.91 -0.90 -0.89 -0.88
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
B=1.28T
f = 1.5GHz
VG (V)
Im(G) -Re(G)
2)RC(1C)GIm(
ω+ω
=
2
2
)RC(1)C(R)GRe(ω+
ω=
R C
D B
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 64
résistif séquentiel à faible transmission
D (transmission) 1 0
f=1,5 GHz, T = 30 mK
-0.91 -0.90 -0.89 -0.88
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
B=1.28T
f = 1.5GHz
VG (V)
Im(G) -Re(G)
2)RC(1C)GIm(
ω+ω
=
2
2
)RC(1)C(R)GRe(ω+
ω=
R C
D B
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 65
Calibration du couplage à la grille
Régime de basse transmission Largeur des pics kBT Distance entre pics δVdc e2/Cµ
KCe 5.2
2
=µ
fF75.0C =µ
VG
Vdc
-1 0 1 2
0
1
2
3
4
0 100 200 300 400 5000,0
0,1
0,2
δVdc(V)
ν=1.5 GHz
T=40 mK
T=170 mK
T=295 mK
T=440 mK
G (a
.u)
Vdc(V)
T0 200mK
β= 2.25 K.V-1
Larg
eur(V
)
T(mK)
≡
≈
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 66
Capacité mésoscopique et résistance de relaxation de charge
Violation of Kirchhoff's Laws for a Coherent RC Circuit, J. Gabelli et MESO, Science. 313, 499 (2006) A Quantum Mesoscopic RC Circuit Realized in a 2D Electron Gas, J Gabelli, et MESO, Physica E, 34, 576 (2006)
01234
-0,74 -0,72-0,85 -0,84 -0,832468
CSample E1ω/2π = 1.085 GHz
Rq= h / 2e2
A
Im(Z
) (h/
e2 )Re
(Z) (
h/e2 ) Sample E3
ω/2π = 1.2 GHzRq= h / 2e2
D
Cµ = 2.4 fF
VG (V)
BCµ = 1 fF
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 67
Comparaison avec le modèle 1D
KCe 5.0
2
=
KCe 5.2
2
=µ
K2=∆
fit using: )( GVD
0 896V mV= −
0 2.9V mV∆ =
-0,05
0,00
0,05
0,10
-0,91 -0,90 -0,89-0,02
0,00
0,02
0,04
-0,2-0,10,00,10,20,3
data modeling
f = 515 MHz
Cond
ucta
nce
G (e
2 /h)
VG(V)
f = 180 MHz
f = 1.5 GHz
D 0.003 0.1 0.3 0.7 0.9 0.02
Im(G)
-Re(G)
0
0
1( )1
GG V VV
D Ve
−−
∆
=
+
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 68
Inductance mésoscopique d’une barre
de Hall
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 69
inductance mésoscopique : cas de la barre de Hall
( )ωτω jGEjGA +=+= 1
DS
Thèse J. Gabelli,
Low frequency admittance of a quantized Hall conductor, T. Christen and M.Büttiker, PRB 53, 2064 (1996). Low frequency admittance of a quantum point contact, T. Christen, M. Büttiker, PRL 77, 143 (1996) Relaxation Time of a Chiral Quantum R-L Circuit, J. Gabelli, et al., PRL98, 166806 (2007)
(c.f. : section C.2)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 70
Admittance des conducteurs de Hall quantiques
;
;
)()(
,
,,
2,
2,,,
∑∑
∑
==
−=
++=
−+=
β
βαα
βββ
βαβα
βα
βαβαβα
εεδδ
εε
ωωω
ddN
ddNVuU
ud
dNd
dNeE
oEiGA
kkkk
kk
kk
Low-frequency admittance of quantized Hall conductors,T. Christen, M. Büttiker,, PRB53, 2064 (1996).
( ) 0 )(
)(
2,1
1111
2
2,1
µ
µ
µ
ω
ω
CiAb
CCCC
CiheAa
QQgeo
+=
++=
−=
−−
−+
−−
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 71
Cg
Cg
CH
U+
U-
VQPC
VQPC
V IT
n
N-n-1
L
A
B C
CH
Cq
Cq
Cq
Cq
Cg
Cg
1 2
3
4
Barre de Hall + point quantiques (QHB+QPC)
Relaxation Time of a Chiral Quantum R-L Circuit, J. Gabelli, et MESO, PRL98, 166806 (2007)
( ) ( )[ ]
( )
( ) ( )
)2/(11
/11
2 ;
;
11
2
2
1221
22,,11,,2
21,,1
QHgQg
QH
HQH
Qg
gQg
Hg
Q
Q
NCCCNCC
NCCCNC
CNCCCNC
C
NnTC
NnTCEE
e
CnT
ddN
ddN
e
CnNT
ddN
+++=
+=
+=
+−
+−==
+==
−−+−=
−+
±
η
η
εε
ε
µµ
µµ
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 72
Cg
Cg
CH
U+
U-
VQPC
VQPC
V IT
n
N-n-1
L
A
B C
CH
Cq
Cq
Cq
Cq
Cg
Cg
1 2
3
4
Cas chiral (CH<<Cg≤CQ) Relaxation Time of a Chiral Quantum R-L Circuit, J. Gabelli, et MESO, PRL98, 166806 (2007)
( )
( )
CtehCv
lN
C
ehi
heTn
iGA
GN
nTCE
gD
g
g
g
=+
=
−+=
−≈
∝+
−≈
g
2
2
/2Nl
1)(
1
τ
ω
ωτ
µ
µ
gg/hC2Nl
Chiral : temps de relaxation indépendant de la résistance !!!
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 73
Cg
Cg
CH
U+
U-
VQPC
VQPC
V IT
n
N-n-1
L
A
B C
CH
Cq
Cq
Cq
Cq
Cg
Cg
1 2
3
4
Cas non chiral (Cg<<Cg≤CH) : fil quantique Relaxation Time of a Chiral Quantum R-L Circuit, J. Gabelli, et MESO, PRL98, 166806 (2007)
( )
( )
24
2
4
2
2
2
1
)(
N
C
ehL
GLCehG
iGAheTnG
NnTCE
H
H
H
µµ
µµ
µ
τ
ωτ
=
==
−≈
+=
+
−≈
gg/hC2Nl
Classique : Inductance électrochimique série avec la résistance
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 74
Admittance au premier ordre en fréquence • The sample:
• The r.f. circuit:
Vg
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 75
Conductance haute fréquence du point quantique
-1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5-202468
10121416
B=0,224 T
f=1.1 GHz dc
Re(G
) (e
2 /h)
VQPC (V)
Régime basse fréquence : transmission indépendante de f
( )0 )()Re( GGA ≈= ω
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 76
Partie imaginaire de l’admittance : l’émittance d’une barre de Hall
-0,9 -0,8 -0,7-8-6-4-202468
f = 1.25 GHzB=0,385 T
Re(G) Im(G)
VQPC (V)
ad
mitt
ance
G
(e2 /h
)
( )ωτω jGEjGA +=+= 1
0 1 2 3 4-3
-2
-1
0 Lk=0.10 µH
τ=0.11 nsIm(G
) (
2e2 /h
)
Re(G) (2e2/h)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 77
Une mesure indirecte de la vitesse de dérive
0 2 4 6 8-6
-4
-2
0
2
0 2 4 6
-4
-2
0 1,50 GHz, 0,224 T 1,50 GHz, 0,385 T
Im(G
) (
2e2 /h
)
Re(G) (2e2/h)
1.25GHz, 0385 T
Im(G
) (
e2 /h)
Re(G) (e2/h)
m/s 10B
n
BE
5sbord ≈==
∝=
ε
τ
ev
BvL
D
D
g
L’admittance mesure des temps monoélectroniques !!!
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 78
capacité d’un contact ponctuel ?
0 1 2 3 4-3
-2
-1
0 Lk=0.10 µH
τ=0.11 nsIm(G
) (
2e2 /h
)
Re(G) (2e2/h)
CQPC
LQPC RQPC
C≤1fF
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 79
Fréquence de transit d’un nano-transistor mésoscopique
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 80
transistor mésoscopique à nanotube unique
exceV ( t )
A
High resistivity Si SiO2
Source Drain Gate
High resistivity Si
SiO2
Source Drain
Lg~300 nm Ld~3-5µm Al2O3~ 6 nm
Pd
drain
gate source
source
G D
S
Cgd
RdsCgs g Vm gs
Rgd
Rgs Lds
D
S
S
G
G
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 81
Caractéristiques dc des transistors
-15420
-15410 A
Vg (V)
I ds(µ
A)
-2 -1 0 1 2
0
10 B
gdcm (µ
S)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 82
Dynamique du nanotransistor (basse énergie)
0,01 0,1 1 100
2
4
6
8
10
ω T (x
vF/L
)
β=Cg/Cq
D=0.2 D=0.5
( ) ( )
( )
+
+×≈==∞→==
=+
=+
=+
−+
−=
−
ββωτ
ηη µµµµ
12/ ; et 3Tn 4,N
.... ; 2
; ;
1
2
2
DvL
GEC
NCCCNC
CNCCCNC
CN
nTCN
nTCE
FTH
QH
HQH
Qg
gQgHg
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 83
Mesure d’admittance grille-drain et capacité de grille
G D
S
Cgs0 Cds0
Cgd0
Cgd Rgd
1/gd
Cgs
Rgs
g .Vm gs
Gate length = 3 µm
Chaste et al Nanoletters 8 525 (2008)
0 1 2
0
2
-2 0 2
0
200
B
f (GHz)
Im (∆
S0 21) x
104
Vds=0
Cgd
C
Vg(V)
dIm
[SP 21
]/2Z 0d
ω (a
F)
gdgd
gd
CRjCjZ
Sω
ω+
≈1
2 021
J. Chaste et al MESO, Nanoletters 8 525 (2008)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 84
gain du transistor polarisé : transconductance
G D
S
Cgs0 Cds0
Cgd0
Cgd Rgd
1/gd
Cgs
Rgs
g .Vm gs
Gate length = 3 µm
Chaste et al Nanoletters 8 525 (2008)
0,0 0,4 0,8 1,2 1,6-30
0
-1 0 10
20
-2 0 2-10
0
RF
f (GHz)
Vg(V)
Re (S
a 21) x
104
g m (
µS)
Vg(V)
I ds (
µA)
T
m
jZgS
ωω /12 0
21 +≈
Fréquence de coupure >> 1GHz
J. Chaste et al MESO, Nanoletters 8 525 (2008)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 85
Estimation de la fréquence de transit
0 2000 4000 6000 8000 100000
100
200
3000
10
20
30
Cg = 60 aF/µm
C gd(a
F)
Gate Length Lg(nm)
gm = 12 µS/tube
g m(µ
S)
J. Chaste et al MESO, Nanoletters 8 525 (2008)
0,01 0,1 1 100
2
4
6
8
10
ω T (x
vF/L
)
β=Cg/Cq
D=0.2 D=0.5
GHzqqsqqsLvGHz
Cg
. DCC
g
D
gd
mT
Q
g
50210310 ; 502
2
10 ; 3.020060
7
5××=
×≈×≈=
≈=≈=
−ππω
β
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 86
Plan du cours A. Introduction à la dynamique mésoscopique
1. Introduction 2. Apport des hautes fréquences 3. Mesurables
B. Techniques expérimentales
1. Paramètres de diffusion 2. Montages de mesure de signaux rf faibles
C. Admittance de conducteurs quantiques
1. Relaxation de charge d’une capacité mésoscopiques 2. Inductance mésoscopique d’une barre de Hall 3. Dynamique de transistors à nanotube de carbone
D. Manipuler des électrons uniques
1. Injection d’électrons uniques 2. Vers la détection d’électrons volants
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 87
Motivation : electronic analogs of quantum optics
Detector 1:
beam-splitter : Source 2
Detector 2
Hanbury-Brown and Twiss intensity correlations
single coherent mode :
Source 1 :
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 88
Electronic analog of quantum optics : QHE in 2DEGs
Detector 1: Drain contact
Or Single electron detector
beam-splitter : Quantum Point Contact
Source 2
Detector 2
Hanbury-Brown and Twiss intensity correlations
single coherent mode : Edge states (QHE)
Source 1 : Biased source contact
Or Single electron source
100mK à 10µm qqs~kT
hVF
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 89
Collisions à deux électrons
A
AV
V
Time control ~ 0.1 ns (Lφ ~10 µm, Vd ~105 m/s) Energy control
QHE edge-state
QPC
contact
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 90
La lame séparatrice (beam splitter)
-50 0 50 1000
1
2
3
Vg ( mV )
con
duct
ance
( e
2 / h
)
états de bord = équipotentielles
wB
e−
12
12
D =
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 91
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 92
Injection d’électrons uniques
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 93
the single electron source G. Fève thesis, http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00119589/fr
GV
GV
l < µm exceV ( t )
I( t )e−
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 94
∆+=µ
2eCC
V(t)
2D Gas Dot
e
V(t)
C
∆ µC/e2 B
2eCµ
2 exceV
t
Principle of single electron injection
2.5K) ( 22
≈∆+=Ce
Ce
µ
QPC
2K --2mK 1001.0on transmissi
≈Γ−=D
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 95
∆+=µ
2eCC
V(t)
QPC 2D Gas Dot
e
V(t)
C
µC/e2
B
2eCµ
2 exceV
t
Principle of single electron injection
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 96
∆+=µ
2eCC
V(t)
C
emission
V(t)
QPC 2D Gas Dot
e µC/e2 B
( )∆⋅=τ D/h2e
Cµ
2 exceV
τ 200 ps for ∆=2.5°K and D =0.1 ≈t
Principle of single electron injection
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 97
( )∆⋅=τ D/h
∆+=µ
2eCC
V(t)
V(t)
QPC 2D Gas Dot
e
τ 200 ps for ∆=2.5°K and D =0.1 ≈
B
µC/e2
C2e
Cµ
2 exceV
t
Principle of single electron injection
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 98
∆+=µ
2eCC
V(t)
C
V(t)
QPC 2D Gas Dot
e µC/e2 B
absorption
2eCµ
2 exceV
t
Principle of single electron injection
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 99
∆+=µ
2eCC
V(t)
C
V(t)
QPC 2D Gas Dot
∫ =edt)t(I
e µC/e2
2eCµ
2 exceV
B
t
( )I t
( )∆⋅=τ D/h
Principle of single electron injection
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 100
31 25 f . MHz=32 nsΤ =
0 5 10 15 20 25 30
Temps (ns)
2 exceV2e
Cµ
=
Bandwidth: 1GHz
Sampling time: 500 ps
Acquisition time: ~ s
nsτ ≥
time
Experiment : time domain evolution of current
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 101
0 5 10 15 20 25 30
Temps (ns)0 5 10 15 20 25 30
2 exceV2e
Cµ
=
e−
e−−
I (u.a)
0 02D .≈
time
Experiment : time domain evolution of current
(G. Fève et al., An On-Demand Coherent Single Electron Source, Science 316 1169 (2007) (A. Mahé et al., Subnanosecond single electron source in the time-domain, submitted to JLTP, 2008)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 102
0 5 10 15 20 25 30
Temps (ns)0 5 10 15 20 25 30
0 9 . nsτ =
I (u.a)
exponential fit
2 exceV2e
Cµ
=
0 02D .≈
time
Experiment : time domain evolution of current
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 103
0 5 10 15 20 25 30
Temps (ns)0 5 10 15 20 25 30
3 6 . nsτ =
2 exceV2e
Cµ
=
0 005D .≈
time
I (u.a)
exponential fit
Experiment : time domain evolution of current
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 104
0 5 10 15 20 25 30
Temps (ns)0 5 10 15 20 25 30
2 exceV2e
Cµ
=
10 nsτ =
0 002D .≈
time
t /qI( t ) e τ
τ−= h
Dτ
∆=
I (u.a)
exponential fit
Time domain evolution of current
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 105
0 5 10 15 20 25 30
Temps (ns)0 5 10 15 20 25 30
0 9 . nsτ =
I (u.a)
exponential fit
2 exceV2e
Cµ
=
0 02D .≈
time
Experiment : time domain evolution of current
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 106
0 10
1
2
3
I ω (
ef )
2eVexc / ∆
2.0=D180 f MHz=2 exceV
t
First harmonic of the current
ωτϕϕωτωτ ωω =≈=→<<
−= tan , 2 1
12 qfI
iqfiI
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 107
0 10
1
2
3
I ω (
ef )
2eVexc / ∆
2 exceV2.0=D180 f MHz=
t
First harmonic of the current
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 108
0 10
1
2
3
I ω (
ef )
2eVexc / ∆
2 exceV2.0=D180 f MHz=
q e=t
First harmonic of the current
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 109
0 10
1
2
3
I ω (
ef )
2eVexc / ∆
0.2D =180 f MHz=
equilibrium potential :
q e=
Dot-potential dependence
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 110
0 10
1
2
3
I ω (
ef )
2eVexc / ∆
0.9D =180 f MHz=
equilibrium potential :
quantization lost by quantum fluctuations
QPC transmission dependence
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 111
0 10
1
2
3
I ω (
ef )
2eVexc / ∆0 1
2eVexc / ∆No free parameter (deduced from linear regime)
0.2D = 0.9D =
Non linear scattering theory
See also : M. Moskalets et al. Phys. Rev. Lett. 100 086601 (2008)
Comparison with 1D-model
G.Fève et al Science 316 1169 (2007)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 112
2eV e
xc /
∆
D
Iω ( ef )
-0.91 -0.90 -0.89
0.003 0.1 0.3 0.7 0.9 0.02
0.5
1
1.5
0.5
1
1.5
G.Fève et al Science 316 1169 (2007)
Experiment
0 2 4
VG (V)
AC-current diamonds
1D-model
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 113
-0,910 -0,905 -0,900
0,1
1
10
Time domain τ = h / D∆
f = 515 MHz f = 180 MHz
τ (n
s)
VG ( V )
f=180 MHz
π/4
π/2
0
∆/2 ∆ 3∆/2
φ (r
ad)
hD
τ =∆
Single electron emission time The phase is independent of dot potential and excitation amplitude
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 114
Vers la détection d’électrons volants
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 115
On the fly detection scheme ?
A
A
A
A
a
a
b
b
c
c
d
• SETs are too slow • HEMTs poor charge sensitivity • QPC-FETs more sensitive • Nanotube-FETs even more sensitive
G.Fève, Quantum detection of electronic flying qubits, PRB77, 035308, (2008)
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 116
fin du cours !!
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 117
(linear regime) ≈
First harmonic measurement
-0.91 -0.90 -0.890
1
2
3B=1.28T
f = 180MHz
Im(I)
( ef
)
VG (V)
2eVexc=5/4 ∆
2eVexc= ∆
2eVexc=1/2 ∆
2eVexc=1/4 ∆
2eVexc=3/2 ∆
2eVexc=3/4 ∆
D
Physique Quantique Mésoscopique, Cargèse, 6-18 octrobre 2008 118
Corrélations de bruit : états de Bell à deux électrons
Two-particle Aharonov-Bohm effect and entanglement in the electronic Hanbury Brown-Twiss setup. Samuelsson, P., Sukhorukov, E. V. & Buttiker, M. Phys. Rev. Lett. 92, 026805 (2004). Interference between two indistinguishable electrons from independent sources, I. Neder, N. Ofek, Y. Chung, M. Heiblum, D. Mahalu and V. Umansky, Nature 448, 333 (2007).
( )µV 7 ;nA 3.0
/sin125.0
S2S1D4D2
0D2D4
=====ΦΦ−−=
VVII IeIS tot