Транспортни задатак Семинарски рад У раду је дефинисан трансппртни прпблем и приказан је оегпв математички мпдел. Ппред тпга, у раду је приказан и ппступак рјешаваоа типичнпг задатка из пбласти линеарнпг прпграмираоа кпји рјешава прпблем превпза истпврснпг терета из више пдпремних станица у више пријемних станица. Сврха рјешаваоа трансппртнпг прпблема је минимизација трпшкпва превпза на релацијама између исхпдишта и пдредишта уз услпв да се задпвпље пптребе пдредишта и у пптпунпсти искпристе ппнуде исхпдишта.

2010

Данијел Драгичевић Саобраћајни факултет Добој

4/11/2010

УНИВЕРЗИТЕТ У ИСТОЧНОМ САРАЈЕВУ

САОБРАЋАЈНИ ФАКУЛТЕТ ДОБОЈ

ЛОГИСТИКА У САОБРАЋАЈУ

Семинарски рад

Тема: Транспортни задатак

Професор: Доц. др Марко Васиљевић Студент: Данијел Драгичевић

Асистент: мр Зоран Рстикић Индекс: 288/08

САДРЖАЈ

1 УВОД 4

2 ТРАНСПОРТНИ ПРОБЛЕМ 5

2.1 ДЕФИНИЦИЈА ТРАНСППРТНПГ ПРПБЛЕМА 5

2.2 МАТЕМАТИЧКИ МПДЕЛ ТРАНСППРТНПГ ПРПБЛЕМА 5

3 ТРАНСПОРТНИ ЗАДАТАК 7

3.1 ППСТУПАК ДПБИЈАОА ППЧЕТНПГ РЈЕШЕОА 7

3.2 МЕТПДА ДВПСТРУКПГ ПРЕЦРТАВАОА 9

3.3 МЕТПДА МИНИМАЛНИХ КПЕФИЦИЈЕНАТА 10

4 ЗАКЉУЧАК 13

5 ЛИТЕРАТУРА 14

Данијел Драгичевић

4 | с т р а н а

1 УВОД

Свакодневно се сусрећемо са мноштвом проблема у различитим сферама људске

дјелатности. Неке од тих проблема рјешавамо једноставно примјеном простих научних метода.

Међутим, постоје и веома сложени проблеми који се могу ријешити на много начина. Такве

проблеме је тешко, или готово немогуће, сагледати или процијенити на темељу искуства или

интуиције. При рјешавању таквих проблема углавном је суштина наћи најједноставнију методу

помоћу које можемо доћи до рјешења, а при томе рјешење треба да буде најоптималније.

Оптимизацијски проблем можемо дефинисати као тражење оптималног рјешења

(максимум или минимум) одређене величине коју називамо „циљ“ и која овиси о коначном

броју улазних промјенљивих, међусобно независних или повезаних путем једног или више

ограничења.

Оптимизацијски проблеми су углавном везани за производњу, транспорт, залихе,

количину улагања итд. Поступак рјешавања ових проблема углавном се своди на:

1) дефинисање проблема,

2) анализу проблема,

3) прикупљање података и информација,

4) одређивање методе,

5) рјешавање (ручно или помоћу рачунарског програма) и

6) анализу проблема и постоптималну анализу.

Ппроблем је најчешће описан вербално, због чега је потребно да га формализујемо

израдом метода (математички модел) који се потом рјешава неком од метода.

У случају да постоји више једнаких оптималних рјешења било које је прихватљиво.

Транспортни задатак

5 | с т р а н а

2 ТРАНСПОРТНИ ПРОБЛЕМ

2.1 Дефиниција транспортног проблема

Транспортни проблем је такав задатак линеарног програмирања, код којег је потребно

планирати превоз одређеног броја јединица (терета, особа) из више исходишта (мјеста гдје се

налази роба која се распоређује - отпремних станица) у више одредишта (мјеста гдје се

подмирује потражња - пријемне станице), с циљем да трошкови буду минимални. Претпоставка

је да понуда појединих исходишта, тј. количина с којом располажу, мора бити искоришћена и

да потражња свих одредишта, тј. потребе морају бити задовољене.

2.2 Математички модел транспортног проблема

На следећој табели је приказан математички модел транспортног задатка:

... ...

...

...

...

...

...

P.S.

O.S

1B 2B jBnB

1A

iA

mA

1b 2b jbnb

ia

1a

ma

11C 1 jC

1iC

12C

ijC inC2iC

1mC 4mCmnC2mC

11X 12X 1 jX1nX

1iX 2iX ijXinX

1mX 2mX mjXmnX

1nC

fB

fb

1 fC

1 fX

fA fa

ifC

ifX

mfC

mfX

1fC2fC fjC fnC ffC

1fX 2fX fjX fnX ffX

...2A 2a

21C 2 jC22C

21X 22X 2 jX2nX

2nC 2 fC

2 fX

...

...

...

...

...

...

Табела 1.1. Математички модел транспортног задатка.

гдје су:

Аi - отпремне станице; Bf - фиктивне пријемне станице;

ai - количине које се одпремају; bb - фиктивне количине које се допремају;

Bj - пријемне станице; Cij - јединичне цијене;

бj - количине које се допремају; Xij – промјенљиве транспортоване количине.

Аf - фиктивне отпремне станице;

af - фиктивне количине које се одпремају;

Данијел Драгичевић

6 | с т р а н а

Да би транспортни задатак био „затворен“, потребан и довољан услов је:

1 1

.m n

i j

i j

a b (1)

односно, да је количина понуде једнака количини потражње.

Уколико овај услов није испуњен, тада проблем дефинишемо као „отворен.“ У том

случају је потребно додати фиктивне врсте, односно колоне, како бисмо изједначили однос

понуде и потражње, тј. затворили задатак.

Да бисмо могли ријешити ову врсту транспортног проблема, потребно је да буду

испуњена и следећа ограничења:

0 за , .ijX i j (2)

1

за 1, .n

ij i

j

X a i n (3)

1

за 1, .m

ij j

i

X b j n (4)

optimalno

1 1

F F . (оптимални трошкови транспорта)m n

ij ij

i j

C X (5)

Следеће што је потребно провјерити, прије рјешавања ове врсте транспортног проблема, је

колико ћемо имати базисних рјешења. Промјенљивих у затвореном транспортном задатку има

m x n, a m + n – 1 представља број базисних рјешења, тј. указује на то колико ће нам бити

потребно поља у табели како бисмо нашли оптималне трошкове транспорта.

Након тога прелазимо на распоређивање терета у складишта, односно расподјелу

количина из отпремниих станица у пријемне станице.

Транспортни задатак

7 | с т р а н а

3 ТРАНСПОРТНИ ЗАДАТАК

Транспортно предузеће обавља превоз кафе из три складишта ( 1A , 2A ,3A ) из којих

снабдјева пет велепродаја кафе ( 1B , 2B ,3B , 4B ,

5B ). Капацитети складишта су:

t201A , t182A , t173A ,

док потражња велепродајних центара износи:

t101B , t122B , t103B , t114B , t135B .

Трошкови превоза по једној тони, изражени у новчаним јединицама, су дати у следећој

табели:

2 12

6 4

5 7

8 3 5

12 8 2 14 10

4

P.S.

O.S1B 2B 3B 4B 5B

1A

2A

3A

Табела 3.2. Трошкови преоза, изражени у новчаним јединицама.

3.1 Поступак добијања почетног рјешења

Како бисмо успјешно ријешили задати проблем, потребно је прво да испитамо условна

ограничења. Најприје провјеравамо да ли је количина робе коју треба транспортовати из

отпремних станица једнака потражњи велепродајних центара.

Укупна количина робе, тј. кафе, коју треба превести износи:

1 2 3 20 18 17 55 ,ia A A A t t t t (6)

док укупна потражња велепродајних центара износи:

1 2 3 4 5 10 12 9 11 13 55 .ib B B B B B t t t t t t (7)

Собзиром да је укупна количина робе у одпремним станицама једнака укупним

капацитетима у пријемним станицама, нема потребе да уводимо фиктивне станице, и према

томе можемо прећи на испитивање другог услова, тј. одређивање броја поља потребних за

израчунавање оптималног рјешења.

Број потребних поља рачунамо према следећем образцу:

1 3 5 1 7.m n p (8)

Данијел Драгичевић

8 | с т р а н а

Када смо испитали први и други услов оптималности, прелазимо на креирање

математичког модела табеле потребне за рјешавање задатог транспортног проблема.

У следећој табели је приказан математички модел транспортног задатка.

P.S.

O.S

1B 2B 3B 4B 5B

1A

2A

3A

1b 2b 3b 4b5b

2a

1a

3a

11C 13C14C

21C

12C

23C24C 25C

22C

31C 33C 34C 35C32C

11X 12X 13X14X 15X

21X 22X 23X 24X 25X

31X 32X33X 34X 35X

15C

Табела 3.3. Математички модел транспортног задатка.

Након конструисања математичког модела транспортног задатка, прелазимо на попу-

њавање табеле задатим вриједностима капацитета станица и новчаних вриједности транспорта.

10t 12t

20t

18t

9t 11t 13t

17t

P.S.

O.S

1B 2B 3B 4B 5B

1A

2A

3A

2 12 4 5 7

6 4 8 3 5

12 8 2 14 10

Табела 3.4. Табела транспортног задатка, са уписаним капацитетима станица

и новчаним вриједностима превоза робе.

Транспортни задатак

9 | с т р а н а

3.2 Метода двоструког прецртавања

За добијање почетног рјешења можемо користити двије методе:

дијагонална (метода сјеверо-западног угла) или

метода двоструког прецртавања.

Због веће тачности корићемо методу двоструког прецртавања.

Метода двоструког прецртавања подразумјева да се прво траже најмање цијене превоза по

врстама и обиљежавамо их са једном звјездицом, затим тражимо најмању цијену превоза по

колонама и њу такодје означимо звјездицом. Поља са двије звјездице се попуњавају прва, након

тога се попуњавају преостала поља с тим да предност имају она поља која имају најниже цијене

превоза. Напоменимо да приликом распоређивања терета по станицама морамо поштвати

правило другог ограничења, тј. да робу морамо распоредити у тачно 7 поља.

10t 12t

20t 10

18t 7

9t 11t 13t

10

11

17t 5 9 3

P.S.

O.S

1B 2B 3B 4B 5B

1A

2A

3A

2** 12 4 5 7

6 4* 8 3** 5*

12 8 2** 14 10

Табела 3.4. Табела транспортног задатка са распоређеним теретом по станицама.

Сада је потребно да испитамо критеријум оптималности, тј. да израчунамо оптималне

трошкове транспорта. Оптималне трошкове рачунамо помоћу образца датог формулом 5.

новчаних јединица

1 1

F 2 10 7 10 4 7 3 11 8 5 2 9 10 3 239 .m n

ij ij

i j

C X (9)

Након добијања оптималног базисног рјешења, потребно је да провјеримо и да ли је то

најоптималније могуће рјешење. Да бисмо провјерили да ли је то и најоптималније могуће

рјешење, послужићемо се „методом коефицијената.“

Данијел Драгичевић

10 | с т р а н а

3.3 Метода минималних коефицијената

Метода коефицијената подразумјева и увођење додатне врсте, односно колоне, у

математички модел табеле транспортног задатка.

Образац за рачунање оптималности методом коефицијената је:

.i j ijC (10)

гдје усвајамо да је почетна вриједност за i нула.

За свако „небазисно“ поље (тј. оно поље у којем нема распоређеног терета) рачуна се

коефицијент. Образац за рачунање коефицијента је:

.ij ij i jK C (11)

На следећој табели је приказан математички модел транспортног задатка са уцртаном

додатном врстом и колоном, потребним за израчунавање коефицијената оптималности.

10t 12t

20t 10

18t 7

9t 11t 13t

10

11

17t 5 9 3

P.S.

O.S

1B 2B 3B 4B 5B

1A

2A

3A

2** 12 4 5 7

6 4* 8 3** 5*

12 8 2** 14 10

0

-1

3

i

2 5 -1 4 7j

Табела 3.5. Табела транспортног задатка са додатним врстом и колоном,

потребним за израчунавање коефицијената оптималности.

Сада провјеравамо коефицијенте. Појављивање најмање једног негативног коефицијента

значи да рјешење није оптимално. У том случају бирамо поље са најнегативнијом

карактеристиком и за њега правимо „транспортни ланац.“

Транспортни ланац нам омогућава да извршимо прерасподјелу робе у оквиру ланца и

поново приступамо методи за добијање оптималног рјешења.

Транспортни задатак

11 | с т р а н а

12

13

14

21

23

25

31

34

12 (0 5) 12 5 7

4 (0 ( 1)) 4 1 5

5 (0 4) 5 4 1

6 (( 1) 2) 6 1 5

8 (( 1) ( 1)) 8 2 10

5 (( 1) 7) 5 6 ( 1) најнегативнија карактеристика

12 (3 2) 12 5 7

14 (3 4) 14 7 7

K

K

K

K

K

K

K

K

Собзиром да коефицијент у пољу 25K има негативну вриједност, креирамо транспортни

ланац за ово поље.

Приликом формирања транспортног ланца, пољу које је имало негативну вриједност се

додјељује позитивна вриејдност, а пољу које је следеће у ланцу се додјељује негативна

вриједност, па затим следећем пољу у низу се опет додјељује позитивна вриједност, и тако

редом док не затворимо транспортни ланац.

На следећој табели су означена поља која улазе у оквир транспортног ланца.

10t 12t

20t 10

18t

9t 11t 13t

10

11

17t 9

P.S.

O.S

1B 2B 3B 4B 5B

1A

2A

3A

2** 12 4 5 7

6 8 3**

12 2** 14

0

-1

3

i

2 5 -1 4 7j

+

5*

7

4*

5

8

3

10

-

+ -

Табела 3.6. Табела транспортног задатка са означеним транспортним ланцем.

Након формирања транспортног ланца вршимо поређење свих вриједности у пољима са

негативним предзнаком, и тражимо најмањи међу њима:

min 3,7 3. (12)

У пољима за негативним предзнаком одузимамо изабрану вриједност, а пољима са

позитивним предзнаком исту вриједност додајемо.

Данијел Драгичевић

12 | с т р а н а

На следећој тебели је приказан математички модел транспортног задатка са

прераспоређеним теретом.

10t 12t

20t 10

18t 4

9t 11t 13t

10

11 3

17t 8 9

P.S.

O.S

1B 2B 3B 4B 5B

1A

2A

3A

2** 12 4 5 7

6 4* 8 3** 5*

12 8 2** 14 10

0

-2

2

i

2 6 0 5 7j

Табела 3.7. Табела транспортног задатка након прерасподјеле терета.

Након прерасподјеле терета потребно је да поново испитамо критеријум оптималности,

како бисмо установили да ли смо дошли до повољнијег резултата.

новчаних јединица

1 1

F 2 10 7 10 4 4 3 11 5 3 8 8 2 9 236 .m n

ij ij

i j

C X (13)

Установили смо да је након прве прерасподјеле робе дошло до уштеде од три новчане

јединице. Сада је потребно да поново испитамо коефицијенте и на тај начин провјеримо да ли је

ово најоптималније могуће рјешење.

12

13

14

21

12 (0 6) 12 6 6

4 (0 0) 4 0 4

5 (0 5) 5 5 0

6 (( 2) 2) 6 0 6

K

K

K

K

23

31

34

35

8 (( 2) 0) 8 2 10

12 (2 2) 12 4 8

14 (2 5) 14 7 7

10 (2 7) 10 9 1

K

K

K

K

Из овога можемо јасно утврдити да нема негативних коефицијената и да је даљњи

поступак оптимизације немогућ.

С обиром да је испуњен услов:

0 за , .ijK i j (14)

можемо закључити да је:

min opt. новчаних јединица

1 1

F F F 236 .m n

ij ij

i j

C X

минимална цијена за транспорт кафе из складишта ( 1A , 2A , 3A ) у велепродајне центре ( 1B ,

2B , 3B , 4B , 5B ).

Транспортни задатак

13 | с т р а н а

4 ЗАКЉУЧАК

Проблеми везани за транспорт су веома чести, а њихово правилно и успјешно рјешавање

је од великог значаја за економски напредак и развој предузећа које се бави овом врстом

дјелатности.

Научна област везана за транспортне проблеме је веома широка, и захтијева много дубље

проучавање и студирање него што је то изложено у овом семинарском раду. Овдје су

објашњене најосновније тезе везане за транспортне проблеме и задатке које само чине увод ове

веома широке области.

Транспортни задатак који је урађен у оквиру овог семинарског рада је прилично

једноставан за разлику од већине транспортних проблема који се јављају у стварности. У

стварним условима на транспорт утичу још многобројни фактори који овде нису узимани у

обзир,а који у великој мјери утичу на проналажење оптималног рјешења.

Данијел Драгичевић

14 | с т р а н а

5 ЛИТЕРАТУРА

[1] Божичковић Р.: „Операциона истраживања – реперториј“, Саобраћајни факултет

Добој, 2007.

[2] Васиљевић М., Ристикић З.: Предавања и вјежбе из предмета „Логистика у

саобраћају“.

[3] Крчевинац С., Чангаловић М., Ковачевић-Вујчић В., Матрић М., Вујошевић М.:

„Операциона истраживања“, ФОН, Београд 2004.

[4] Зечевић А.: „Увод у операциона истраживања“, ВПШ Београд.