TRASFORMATADI

FOURIER

2.2

AUTOFUNZIONE : SI “REPLICA” IN USCITA LA STESSA” FORMA DEL SEGNALE IN INGRESSO A MENO DI UNA COSTANTE.

S.L.T.I i t y t A t

i i

SI DIMOSTRA CHE PER UN S.L.T.I.

E’ UNA AUTOFUNZIONE eSt s j

UTILITA’ : SE POSSO DESCRIVERE UN INGRESSO COME COMBINAZIONE LINEARE DI AUTOFUNZIONI ALLORA E’ SEMPLICE TROVARE L’ USCITA (ANCORA COMB. LIN. DI AUTOFUNZIONI).

Re Ims s j 1

AUTOFUNZIONI

2.3

h(t)

S.L.T.I.eSt y t

y t h e d h e dS t St S= =-

+

-

+

= -

+

h e d e e H SS St St

H(S) : FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TRASFORMATA DI LAPLACE DI h(t))

AUTOFUNZIONI (DIMOSTRAZIONE)

2.4

TRASFORMATA DI FOURIER

NELLE TLC E’ PIU’ UTILE RAGIONARE CON S=j (=0) TRASFORMATA DI

FOURIER (PERCHE’ NELLA VAR. “S” SOLO LA PARTE IMMAGINARIA HA UN

SIGNIFICATO FISICO : FREQUENZA SEGNALE)

s j f f 2 : frequenza

H j : TRASFORMATA DI FOURIER DI h(t)=FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

DEL S.L.T.I.

rad / s

pulsazioni

freq.f Hz s1 /

H

2.5

TRASFORMATA DI FOURIER (cont.)

TRASFORMATA DI FOURIER (INTEGRALE) [x(t)]

X x t e dtj t

X f x t e dtj ft

2

ANTITRASFORMATA -1 [X()]= -1 [X(f)]

x t X e dj t

1

2 x t X f e dfj ft

2

2.6

DIMOSTRAZIONE ANTITRASFORMAZIONE

x t x e d e d

x e d d

x e d d

j j t

j t

j t

1

2

1

2

1

2

Continua…...

2.7

……antitrasformata di Fourier

VEDREMO CHE : 1

2 e d tj t

1

2

x e d d

x t d x t

j t

c.v.d

(t) 1 t

t

x t t x t

2.8

CONDIZIONI ESISTENZADELLA TRASFORMATA DI FOURIER

CONDIZIONI SUFFICIENTI NON NECESSARIE :

• FUNZIONE MODULO INTEGRABILE

OPPURE

•SEGNALE AD “ENERGIA” FINITA

ALTRIMENTI : SEGNALE A “VARIAZIONE FINITE”

NON VALE AD ESEMPIO PER LE CURVE FRATTALI

x t dt

Lunghezza finita

x t dt2

2.9

TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)

NOTA : IN GENERALE L’ ANDAMENTO NEL TEMPO E NELLE FREQUENZE

SONO MOLTO DIVERSI (es. )

tt d F. .

1 X E’ UNA FUNZIONE COMPLESSA. DALLE FORMULE DI EULERO:

e t j tj t cos sen

cos

te e

te e

j

j t j t j t j t

2 2 sen

2.10

TRASFORMATA DI FOURIER (PROPRIETA’)

X x t tdt j x t tdt

R jI R I ex x x xj

cos sen

2 2

X R I

I

R

X X e

x x

x

x

j

2 2

Modulo della trasformata

Fase della trasformata

Rappresentazione polare dei numeri complessi

arctg

2.11

FUNZIONI PARI FUNZIONI DISPARI PRODOTTO DI 2 FUNZIONI PARI PARIPRODOTTO DI 2 FUNZIONI DISPARI PARIPRODOTTO DI 1 FUNZIONE PARI CON 1 FUNZIONE DISPARI

DISPARI

ES: Sen FUNZIONE DISPARI Cos FUNZIONE PARI

x t x t x t x t

RICHIAMI DI ANALISI

2.12

RITARDO

ANTICIPO

x t t 0

x t t 0

x t

t

t

t

t0

t0

0

0

0 t0 > 0

RICHIAMI DI ANALISI

2.13

Re

Im

X R

X I

X

x

x

E’ PARI IN (INFATTI SE SI CAMBIA IN - NON CAMBIA NULLA)

E’ DISPARI

E’ PARI POSSO STUDIARLO PER >0

E’ DISPARI

E’ SUFF. FARE GRAFICI SOLO PER >0

SEGNALE GENERICO (REALE):

x t

2.14

x t

x t

PARI :

DISPARI :

Ix 0

Rx 0

TRASFORMATA DI FOURIER E’ REALE

TRASFORMATA DI FOURIER PURAMENTE

IMMAGINARIA

NOTE : <0 NON HANNO SIGNIFICATO FISICO (MATEMATICAMENTE SI)

=0 E’ LA CONTINUA DEL SEGNALE :COMPONENTE CONTINUA

SE C’E’ COMPONENTE CONTINUA (DA - A + ) C’E’ .

X 0

TRASFORMATA DI FOURIER(PROPRIETA’)

2.15

a

a

0

reali x at

aX

a

1

DIM :

x at e dt

x ed

a ax e d

aX

a

j t

ja

ja

1 1 c.v.d.

Ponendo at a 0

x t X

TRASFORMATA DI FOURIER(PROPRIETA’)

2.16

DALLA

SI VEDE CHE UNA “COMPRESSIONE” NEL TEMPO CORRISPONDE AD UNA

“DILATAZIONE” NELLE FREQUENZE (a>1), E VICEVERSA.

x ataX

a

1

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE(TEMPO-FREQUENZA)

2.17

t B

t

B

: DURATA NEL TEMPO DEL SEGNALE

: DURATA IN FREQUENZA

MA ALLORA, IN LINEA DI PRINCIPIO, SOLO I SEGNALI DI DURATA

INFINITA POSSONO AVERE DURATA FINITA IN FREQUENZA.

x t

X

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

2.18

IN PRIMA APPROSSIMAZIONE :

DOVE E’ 0 (O COMUNQUE DOVE E’ “SIGNIFICATIVAMENTE” 0).

VEDREMO PIU’ AVANTI UNA DEFINIZIONE IN TERMINI ENERGETICI.

SOLO 0 X

X E’ ANCHE DETTO “SPETTRO DEL SEGNALE”

Banda base Passa banda

BANDABANDA

X X

BANDA SEGNALE

2.19

1) METODO MATEMATICO : CERCO LA BANDA CHE CONTIENE UNA CERTA PERCENTUALE DELL’ ENERGIA DEL SEGNALE (BANDA = ).

2) METODO SPERIMENTALE :

Misuratore di Potenza/Energia

E x t dt X d

E X d

2

2

2

95% 1

2 E

1

2

tot

Es:98%99%

Passa alto

x(t)5% della Energia totale

BANDA SEGNALEMETODO DI CALCOLO (BANDA BASE)

2.20

x t T X e j T 0

0

RITARDO ALTERA LA FASE

LA FORMULA VALE ANCHE PER “ANTICIPO”

x t T X e j T 00

MA FISICAMENTE ANTICIPO SPESSO NON HA SENSO (CAUSALITA’).

TRASFORMATA DI FOURIER

2.21

DIM :

x t T e dt x e d

e x e d X e

j t j T

j T j j T

00

0 0

c.v.d.

ponendo t T 0

TRASFORMATA DI FOURIER(PROPRIETA’)

2.22

LA DIMOSTRAZIONE E’ “INTUIBILE” DALLE DEFINIZIONI DI TRASFORMATA ED ANTITRASFORMATA (CAMBIA IL SEGNO E ABBIAMO UN FATTORE 2).

ES :

SE x t X X t x 2

1

1

2 PER DUALITA’

t

TEOREMA DUALITA’

2.23

x t x t X X1 2 1 2

E’ MOLTO IMPORTANTE!! NEI S.L.T.I. POSSO FARE PRODOTTO IN

FREQUENZA INVECE DI CONVOLUZIONE NEL TEMPO.

CIOE’ “LAVORO’ IN FREQUENZA E POI TORNO NEL TEMPO (ANTITRASF.)

TEOREMA CONVOLUZIONE

2.24

x t x t X X1 2 1 2

DIM :

11 2

1 2

1

2

X X

X X e dj t

continua....

TEOREMA CONVOLUZIONE

2.25

1

2 1 2 x e d x e d e dj j j t

“ INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE”

x x e d d dj t1 2

1

2

continua..(*)

TEOREMA CONVOLUZIONE(DIMOSTRAZIONE)

2.26

POICHE’ : (NON DIMOSTRATA)

1

2 e d tj t

(*) x x t d d

x x t d x t x t

1 2

1 2 1 2

c.v.d.

TEOREMA CONVOLUZIONE(DIMOSTRAZIONE)

2.27

x t x t X X1 2 1 2

PER IL TEOREMA DUALITA’ :

x t x t X X1 2 1 2

1

2

NB : TEOREMA CONVOLUZIONE E’ FONDAMENTALE PER LO STUDIO DI SEGNALI

E SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE (MA ANCHE IL DUALE E’ IMPORTANTE).

TEOREMA CONVOLUZIONE

2.28

HP : x(t) A MODULO INTEGRABILE E A VARIAZIONI LIMITATE.

X x t e dtj t

x t X e dj t

1

2

TRASFORMATA DI FOURIER

2.29

y t x t h t

x t h t y t

x t X

h t H

Y X H

H

X

Y H0

X 0

H X0 0

0 0

1 1

0 0

2.30

UTILITA’ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER CONSENTE DI

STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA L.T.I. SENZA CALCOLARE

LA CONVOLUZIONE.

Anziché un integrale di convoluzione, si eseguono 2 trasformate + 1 prodotto + 1 antitrasformata. E’ conveniente se le trasformate di x(t), h(t) e l’antitrasformata del prodotto X()H() sono note (o comunque semplici).

y t x t h t

Y X H

2.31

x t X h t H

y t x t h t

Y X H

y t Y

,

1

2.32

L.T.I.

L.T.I.

L.T.I. L.T.I.

X Y

YX

DIM. BLOCCO TOTALE ANCORA L.T.I. ; h(t), H()

COMPOSIZIONE DI BLOCCHI

2.33

• TRASFORMATA DEL RETTANGOLO :

ATT

T

sen

2

2

t

TAT

T

T

sen

2

2 SARA’ REALE PERCHE’ x(t) PARI.

x t

T 2 T 2

A

t

X

TRASFORMATE NOTEVOLI

2.34

X Ae dtA

je

A

je e

j t

T

T

j tT

T

j T j T

2

2

2

2

2 2 (*)

POICHE’ : sen

te e

j

j t j t

2e T j Tj T cos sen

TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)

2.35

(*)

sensen

sen

2

2

2 2

22

2

2

2

2 2A e e

j

A T

TT AT

T

T

ATsincT

sincxx

x

j T j T

con

TRASFORMATA RETTANGOLO (CALCOLO)

2.36

X ATT

TATsinc

T

sen 2

22

ZERI :

T

K2

N.B. : FASE NULLA (x(t) PARI).

0

1

INVILUPPO X

TRASFORMATA “RETTANGOLO”

2.37

sen

0

0 0 0 0

0 0

2t

e e

j

jj

j t j t

=

N.B. PURAMENTE IMMAGINARIA

j 0

j 0

j 0

j 0

TRASFORMATA SENO :

2.38

• :

DIM :

,

cos

0

1 2 2

2

2 2

0

0 0

0

0 0

e

te e

j t

j t j t

cos0t

0 0

cos

0

0 0

1

2

22

0 0t e e

X

j t j t

sen0t

0

0

0

0

j

dx t

dtj X

TRASFORMATA COSENO

2.39

t nTT

kTn k

2 2

N.B. : IMPULSI VICINI NEL TEMPO DISTANTI IN FREQUENZA

(PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE)

T2T

t

…….. ……. ……. …….

0

TRASFORMATA TRENO DI IMPULSI :

2.40

cos0ttT

T 2 T 2

t

1

TRASFORMATA COSENO “FINESTRATO” :

2.41

cos

0 0 02 2

tt

TATsinc

T

HP : T>>T0 AFFINCHE’ LE DUE SINC NON INTERFERISCANO

X

0

0

4 2T

in freqT

.

0 0

2 2

T T

COSENO FINESTRATO

2.42

x(t) X()

DIM :

dx t

dtj X

dx t

dt

d

dtX

d

dtX e d

j X e d j X

d x t

dtj X

j t

j t

n

n

n

1

1

1

2

1

2

N.B : NON VALE L’INVERSA.

TRASFORMATA DELLA DERIVATA :

2.43

x dX

jX

t

0

N.B. : USANDO LE TRASFORMATE E LE PROPRIETA’ GIA’ VISTE SE NE

POSSONO RICAVARE MOLTE ALTRE.

Convoluzione di due rettangoli.

X sincT

2

2

T 2 T 2 T 2 T 2

ES : PUO’ ESSERE VISTO COME

x t

T T

*t

A T2 z t1 z t2

= A T

T

T2 2

2

22

2

sen

TRASFORMATA DELL’ INTEGRALE :

2.44

x t segno t

j

2

+1

-1

t

x t t1

+1

t

“Gradino unitario”

u t segno t j j 1

21

1

22 1

TRASFORMATE DI FOURIER

2.45

t

e tt 1 e tt 1

e t e e dt

e dtj

ej

t t j t

j t j t

1

1 1

0

00

> 0

TRASFORMATE DI FOURIER

2.46

e tj

Xt

1

1

Xj

X

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

1

X

arctg

Im

Rearctg

1

12

2

2.47

?

= *

PER IL TEOREMA DELLA CONVOLUZIONE :

sinc fTsin fT

fT2

2

2

T

T

-T

T

T

-T T 2 T 2 T 2 T 2

1 1

Tsin T

T

2

2

2

TRASFORMATE DI FOURIER

2.48

H f j fj f

j fe f

e fQ

j

j

sgn

=

0

00

0

2

2

h ttq

1

Q f

f

2

2

FILTRO DI HILBERT (QUADRATURA)

2.49

X f X f H fQ

X fj X f f

j X f f

0

0

X f jX ff

X f f

0 0

2 0

X f

X f WW

W

W

W

W

j

j

1

2

W

FILTRO DI HILBERT

2.50

x t A t

x t A t

cos

sen

0

0

A e j f f

20

j A e f fj

2 0

f0

f0

f0 f0

f

f

h ttq

1

h t

H f

q

Q

x t x t

Filtro di Hilbert

Trasformata di Hilbert

h tq

t

A e j f f

20

j A e f fj

2 0

NON CAUSALE DIVERGE NELL’ ORIGINE

2.51

areasinc ATsin T

Td

ampiezza valore primo zero AT T A

2

22 2

DIM : SI SFRUTTA LA RELAZIONE DELLA NEL CASO DEL

RETTANGOLO. LA DEFINIZIONE DI ANTITRASFORMATA E’:

x t X e dj t

1

2

x t X

AREA DELLA FUNZIONE “SINC”

2.52

IL VALORE PER t=0 E’ :

x t A ATT

Td areasinc

t

0

1

22

2

1

2

sen

DA CUI: areasinc A2 c.v.d

x t =

A

T 2 T 2t