Trasformata Di Laplace e Trasformata Z Fermo

8/18/2019 Trasformata Di Laplace e Trasformata Z Fermo

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N.B.: In quanto estratta da altra dispensa, la numerazione delle formule e delle

figure non è progressiva.

TRASFORMATA DI LAPLACE

La trasformata di Fourier può essere applicata, in senso stretto, solo a segnali assolutamente

integrabili. Introducendo l’impulso matematico (delta di Dirac) la definizione può essere estesa ad

una classe più generale di segnali1: ciò si verifica, in particolare, per alcuni segnali a potenza finita,

come un segnale costante, il segnale gradino o un segnale periodico. Nondimeno, alcuni segnali

possono presentare potenza illimitata: è questo il caso, ad esempio, del segnale a rampa, ottenuto

dall’integrazione del segnale gradino. Per questi segnali la trasformata di Fourier non è comunque

applicabile. C’è da aggiungere che, operativamente, l’utilizzo della delta di Dirac potrebbe risultare

non agevole o non conveniente, anche se essa può risolvere, nel senso precisato, il problema della

trasformabilità.

Per i motivi menzionati, è allora opportuno introdurre la Trasformata di Laplace, la quale è

interpretabile come un’estensione della trasformata di Fourier.

Riconsideriamo l’espressione della trasformata di Fourier di un segnale x(t ):

2( ) ( )e i ft X f x t

∞− π

−∞

= ∫ dt (6)

ovvero

( ) ( )e i t X x t dt ω ω

∞

−

−∞

= ∫ (7)

con ω = 2π f .Definendo ora una nuova funzione ν (t ) = x(t )e

−σ t , con σ numero reale, la definizione precedente,

applicata a questo nuovo segnale, fornisce:

( )( ) ( )e ( )e e ( )ei t t i t i t V t dt x t dt x t dt ω σ ω σ ω ν

∞ ∞ ∞− − − −

−∞ −∞ −∞

= = =∫ ∫ ∫ ω + . (8)

Per confronto con la (7), l’ultimo membro di questa equazione rappresenta X (σ +iω ). Posto dunque s

= σ +iω (s è la variabile di Laplace), la (8) può essere riscritta come:

( ) ( )e st

X s x t

∞−

−∞

= ∫ dt

. (9)

La (9) rappresenta la trasformata di Laplace del segnale x(t ). A partire dall’espressione della

trasformata inversa di Fourier:

1 Si parla di trasformata di Fourier in senso generalizzato.

1


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1( ) ( )e

2

i t x t X

ω d ω ω

π

∞

−∞

= ∫ , (10)

è poi immediato ricavare, sempre in virtù della sostituzione s = σ +iω (⇒ d ω = d σ /i), l’espressionedella trasformata inversa di Laplace che sarà:

1( ) ( )e

2

i

st

i

x t X si

σ

σ π

+ ∞

− ∞

= ∫ ds . (11)

Nel caso di segnali causali, e cioè nulli per t < 02, la (9) si specializza in

0

( ) ( )e st X s x t

∞−=

∫ dt , (12)

mentre l’espressione (11) per la trasformata inversa resta valida.

Qualitativamente, il senso della modifica introdotta dalla trasformata di Laplace è evidente: il

segnale x(t ) è stato moltiplicato per il “fattore di smorzamento” e−σ t (σ > 0); si capisce allora come

la definizione (9) possa essere applicata a molti segnali che non sono, invece, Fourier trasformabili

in quanto non assolutamente integrabili.

Allo stesso tempo, la semplicità del legame tra trasformata di Fourier e trasformata di Laplace lascia

intendere che le proprietà di quest’ultima possano essere immediatamente ricavate dalle proprietàdella prima, tenendo conto del cambiamento di variabile. Così, ad esempio, la proprietà di

traslazione temporale che per la trasformata di Fourier si scrive:

00

( ) ( )

( ) ( )e i t

x t X

x t t X ω

ω

ω −

⇔

− ⇔, (13)

per la trasformata di Laplace diventa:

00

( ) ( )

( ) ( )e st

x t X s

x t t X s −

⇔

− ⇔. (14)

Analogamente si procede per le altre proprietà.

ESEMPIO:

Il semplice circuito RC di Figura 1 è descritto dall’equazione:

2 Il principio di causalità viene introdotto, preliminarmente, con la definizione di risposta impulsiva di un sistema

lineare, e qui esteso ad un segnale qualsiasi.

2


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0

1( ) ( ) ( )

t

inv t i t R i d C

ϑ ϑ = + ∫ .

Applicando la trasformata di Laplace, e utilizzando le proprietà della trasformata (in particolare la

proprietà dell’integrazione), si ottiene:

sC R

sV s I in

1

)()(

+= .

Se ora si assume come tensione in ingresso un gradino unitario la cui trasformata vale V in(s) = 1/s,

la precedente fornisce:

RC s

Rs I 1

1

)(

+=

la cui antitrasformata vale:

)/(e1

)( RC t

Rt i −= .

Questa funzione descrive l’andamento della corrente nel circuito per qualunque valore di t ≥ 0.

Figura 1

* * * * *

ESEMPIO:Con riferimento alla Figura 2, essendo V out (s) = I (s)/(sC ), si può scrivere:

1

1

)(

)()(

+==

sRC sV

sV s H

in

out .

Questa espressione ha il significato di funzione di trasferimento (secondo Laplace) del sistema, per

estensione dell’analoga definizione valida per la trasformata di Fourier, quest’ultima potendosi

ottenere direttamente da quanto appena ricavato ponendo s = iω .

3


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Figura 2

* * * * *

Un sistema lineare è per definizione descritto da una equazione integro-differenziale (che possiamo

assumere, per quanto segue, a coefficienti costanti); ad esempio (equazione del secondo ordine):

dt

t dy E

dt

t yd Dt Cx

dt

t dx B

dt

t xd At y

)()()(

)()()(

2

2

2

2

++++= . (15)

I vari ordini di derivazione e integrazione si ottengono utilizzando componenti di tipo capacitivo e

induttivo, eventualmente in combinazione con amplificatori (tipicamente retroazionati, ad esempio

amplificatori operazionali) di ordine opportuno.

Utilizzando la trasformata di Laplace, le derivate e gli integrali presenti nel dominio del tempo si

convertono in potenze, positive e negative, della variabile s. Ad esempio, la (15) diventa:

)()()()()()( 22 s EsY sY DssCX s BsX s X AssY ++++= . (16)

Si può allora definire la funzione di trasferimento H (s) = Y (s)/ X (s), che per il caso in questione vale:

( )(( )(

))10

10

2

2

1)(

bsbs D

asas A

Es Ds

C Bs Ass H

−−−−−

=+−−

++= . (17)

Le radici [a0, a1] del numeratore sono gli zeri della funzione, mentre le radici [b0, b1] del

denominatore sono i poli.

E’ facile verificare che il sistema con funzione di trasferimento H (s) è stabile3 se tutti i suoi poli

hanno parte reale minore di zero.

ESEMPIO:Si consideri la funzione di trasferimento:

1( ) H s

s σ =

−

con σ = ρ + iζ . L’antitrasformata di questa funzione, che ha il significato di risposta impulsiva delsistema, vale

( ) e e et t ih t t σ ρ ζ = = .

3 Come già nella trattazione dei filtri numerici, la stabilità che qui interessa considerare è di tipo Bounded Input Bounded Output ( BIBO): ad ingresso limitato corrisponde uscita limitata.

4


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Ora, eiζ t è una funzione oscillante; la risposta impulsiva diverge se ρ = Re[σ ] > 0, converge (e, in

particolare tende a zero, come ragionevole per un segnale “fisico” di durata efficace limitata) se ρ <0.

* * * * *

Per un sistema stabile, dunque, i poli della funzione di trasferimento si trovano a sinistra dell’asse

immaginario. Ai fini della stabilità nessun particolare vincolo si pone, invece, sugli zeri della

funzione di trasferimento. Nel caso di funzioni H (s) rappresentative di sistemi descritti da equazioni

con coefficienti (detti “di Laplace”) reali (e quindi, come nella (17), espresse da rapporti di

polinomi in s con coefficienti reali) i poli e gli zeri sono reali o, a coppie, complessi coniugati.

ESEMPIO:

Si consideri la funzione di trasferimento:

5.05.12

008.012.05.0)(

23

23

+++−+−=

sss

ssss H .

La distribuzione dei suoi poli e dei suoi zeri è riportata in Figura 3. I poli sono in:

s = −1, −0.5 − i0.5, −0.5 + i0.5;

gli zeri in:

s = 0.1, 0.2 − i0.2, 0.2 + i0.2.

Il sistema è certamente stabile.

Figura 3

* * * * *

Problemi di stabilità si pongono soprattutto nei sistemi retroazionati. Per questi ultimi, dunque, la

quantità della retroazione (che di per sé viene introdotta per ottenere effetti benefici: ad esempio un

aumento del guadagno nel caso di retroazione positiva, o una riduzione di sensibilità nel caso diretroazione negativa) deve essere adeguatamente controllata, al fine di evitare che il sistema diventi

instabile.

5


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TRASFORMATA Z

La Trasformata Z , già richiamata in precedenza trattando la Trasformata di Laplace, è un altro utile

strumento per la rappresentazione, l’analisi e il progetto di segnali e sistemi a tempo discreto. Si può

ben dire che essa svolge, nei sistemi a tempo discreto, lo stesso ruolo che la Trasformata di Laplace

riveste per i sistemi a tempo continuo.

La trasformata Z della sequenza x(n), con n arbitrario, è così definita:

∑∞

−∞=

−=n

n zn x z X )()( . (38)

Nella (38), la variabile di trasformazione z è complessa.

Nel caso di sistemi causali x(n) ≠ 0 solo per n ≥ 0, per cui la precedente diventa:

∑∞

=

−=0

)()(

n

n zn x z X . (39)

In virtù della definizione, la trasformata Z è una serie di potenze con un numero infinito di termini.

Non è allora scontato che si tratti di una funzione convergente per tutti i valori di z. Utilizzando la

(38) (o, più frequentemente, la (39)) è allora necessario specificare la regione di z che assicura la

convergenza ( ROC : Region Of Convergence); in tale regione (e solo in tale regione) la X ( z) assume

valori finiti. Come è facile giustificare, la regione di convergenza è determinata dalle caratteristiche

della sequenza x(n) (che si riflettono in corrispondenti proprietà della X ( z)).

ESEMPIO:

La sequenza di Figura 6 è non causale: x(n), infatti, è diversa da zero per n < 0. Nondimeno essa ha

durata finita.

Direttamente dalla figura, si evince: x(−5) = x(−1) = 1, x(−4) = x(−2) = 3, x(−3) = 5. Per tutti gli altrivalori di n (n ≤ −6, n ≥ 0) la sequenza è nulla. Applicando allora la definizione (38) si ottiene:

z z z z z z X ++++= 2345 353)( .

Si verifica immediatamente che X ( z) rimane finita per qualunque valore finito di z. La regione di

convergenza è allora l’intero piano complesso ad eccezione della frontiera all’infinito ( z = ∞).

Figura 6

* * * * *

7


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ESEMPIO:

La sequenza di Figura 7 è non causale: x(n), infatti, è diversa da zero per n < 0. Nondimeno essa ha

durata finita, ed è diversa da zero sia per n < 0 che per n > 0.

Direttamente dalla figura, si evince: x(−2) = x(2) = 1, x(−1) = x(1) = 3, x(0) = 5. Per tutti gli altrivalori di n (n ≤ −3, n ≥ 3) la sequenza è nulla. Applicando allora la definizione (38) si ottiene:

212 353)( −− ++++= z z z z z X .

Si verifica immediatamente che X ( z) rimane finita per qualunque valore di z finito e diverso da zero.

La regione di convergenza è allora l’intero piano complesso ad eccezione di z = 0 e z = ∞.

Figura 7

* * * * *

ESEMPIO:

La sequenza di Figura 8 è causale ed ha durata finita.

Direttamente dalla figura, si evince: x(1) = x(5) = 1, x(2) = x(4) = 3, x(3) = 5. Per tutti gli altri valori

di n (n ≤ 0, n ≥ 6) la sequenza è nulla. Applicando allora la definizione (39) si ottiene:

54321 353)( −−−−− ++++= z z z z z z X .

Si verifica immediatamente che X ( z) rimane finita per qualunque valore di z diverso da zero. La

regione di convergenza è allora l’intero piano complesso ad eccezione del punto z = 0.

Figura 8

* * * * *

ESEMPIO:

La sequenza di Figura 9 può essere descritta matematicamente come segue:

0 per 0

0 per 1)(


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....1)( 21

0

+++== −−∞

=

−∑ z z z z X n

n .

X ( z) è quindi fornita da una serie geometrica di ragione z−1 che converge per ⏐ z−1⏐ < 1 o,equivalentemente, ⏐ z⏐ > 1. La regione di convergenza è allora la parte di piano esterna al cerchio diraggio unitario, mostrata in Figura 10.

Dalla teoria della serie geometrica, nella regione di convergenza, X ( z) può essere espressa in forma

chiusa come segue:

11

1....1)(

1

21

−=

−=+++=

−−−

z

z

z z z z X .

Ad esempio, per z = 2 si ha:

212

2....

8

1

4

1

2

11)2( =

−=++++= X .

Viceversa, per z = 1/2 si ha:

....84212

1++++=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

X

e questa serie è, notoriamente, divergente.

Figura 9

Figura 10

9


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* * * * *

I valori di z per cui risulta X ( z) = ∞ si dicono poli di X ( z). I valori di z per cui risulta X ( z) = 0 sidicono zeri di X ( z).

In termini generali, si può affermare che per sequenze causali di durata finita X ( z) converge

ovunque sul piano complesso ad eccezione del punto z = 0. Per sequenze causali di durata infinita,

invece, X ( z) converge nella regione esterna al cerchio di raggio pari al modulo del polo di X ( z) più

lontano dall’origine nel piano complesso. Nel caso più generale, e per sequenze anche non causali,

la regione di convergenza è un anello sul piano complesso 4. Per sistemi causali stabili la regione di

convergenza include sempre il cerchio di raggio di raggio unitario.

Come ulteriore caso particolare, ma di scarso interesse pratico, si possono avere sequenze diverse

da zero solo per n ≤ −1 (si parla di left-sided sequences così come, dualmente, si parla di right-sidedsequences per sequenze causali, e dunque diverse da zero solo per n ≥ 0); in questo caso la regionedi convergenza è interna al cerchio di raggio pari al modulo del polo di X ( z) più vicino all’origine

nel piano complesso.

Se una funzione è ottenuta come somma di due funzioni, la regione di convergenza della sua

trasformata è data dall’intersezione delle regioni di convergenza delle trasformate dei singoli

addendi.

ESEMPIO:

La regione di convergenza per la trasformata Z della funzione:

0,e1)( ≥−= α− nn x n

si ottiene dall’intersezione delle regioni di convergenza per le trasformate dei segnali:

0,1)(1 ≥= nn x

e

0,e)(2 ≥−= α− nn x n .

La trasformata Z di x1(n) vale

1)(1 −

= z

z z X

e converge per | z| > 1, mentre quella di x2(n) vale

α−−−=

e)(2

z

z z X

e converge per | z| > e−α . Combinando i risultati, sotto l’ipotesi che sia α > 0 risulta e−α < 1, e dunque

la regione di convergenza di X ( z) è la parte di piano esterna al cerchio di raggio unitario.

4 Del resto, anche le ROC menzionate più sopra possono essere viste come “particolari” anelli”, in cui la circonferenza

più esterna può andare all’infinito e quella più interna può andare a zero.

10


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* * * * *

Un elenco delle trasformate di alcuni importanti segnali a tempo discreto è riportato in Tabella 1,

insieme alle relative regioni di convergenza. In tabella, k ed α sono costanti reali assegnate, mentre

c e p sono numeri complessi. I segnali considerati sono tutti causali, visto che questa proprietà sirinviene nella quasi totalità dei segnali di interesse applicativo.

Tabella 1

L’operazione di antitrasformazione Z si indica con:

)]([)(1

z X Z n x −

= (40)

e consente di ricostruire la sequenza x(n) a partire dalla sua trasformata.

11


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In linea di principio, visto che si può scrivere (riferiamoci, per comodità, a sistemi causali):

...)3()2()1()0()()( 321

0

++++== −−−∞

=

−∑ z x z x z x x zn x z X n

n . (41)

ove la X ( z) fosse scritta esplicitamente come successione di potenze di z, la x(n) potrebbe essere

immediatamente ricavata per ispezione visiva dei coefficienti di tali potenze. In realtà, la X ( z) è

spesso espressa come rapporto di due polinomi in z (o z−1):

M M

N N

za za zaa

zb zb zbb z X

−−−

−−−

++++

++++=

...

...)(

22

110

22

110 . (42)

A partire dalla (42), la trasformata inversa può essere ottenuta utilizzando diverse tecniche, tra le

quali le più note:

1. il metodo dell’espansione in serie di potenze;

2.

il metodo dell’espansione in frazioni parziali;

3. il metodo dei residui.

Ciascuno di questi metodi ha vantaggi e svantaggi: dal punto di vista del rigore matematico, il

metodo dei residui è probabilmente il più elegante; dal punto di vista dell’implementazione al

calcolatore, però, il metodo dell’espansione in serie di potenze è probabilmente il più efficace,

soprattutto in ragione della sua semplicità.

ESEMPIO:

Sia data la seguente trasformata Z:

3561.0

12

3561.01

21)(

2

2

21

21

+−

++=

+−

++=

−−

−−

z z

z z

z z

z z z X .

Applicando il metodo dell’espansione in serie di potenze, si effettua la divisione (long division, o

anche synthetic division) tra numeratore e denominatore, con ciò ottenendo:

....5756.26439.331)( 321 −−− +++= z z z z X .

Chiaramente, lo sviluppo contiene un numero infinito di termini; ci si arresterà, nella divisione, al

numero di termini corrispondente all’approssimazione desiderata. Allora, direttamente dalla

precedente, per l’antitrasformata Z della funzione assegnata si ottiene:

;.....5756.2)3(;6439.3)2(;3)1(;1)0( ==== x x x x .

D’altro canto, con riferimento alla notazione (42), si verifica facilmente che i coefficienti della serie

di potenze risultato della divisione possono essere ottenuti attraverso le seguenti espressioni

ricorsive:

12


13/19

0

1

0

212

0

11

0

0

)(

)(

.....

)0()1()2(

)0()1(

)0(

a

ain xb

n x

a

a xa xb x

a

a xb x

a

b x

n

i

in ∑=

−−

=

−−=

−=

=

.

Queste espressioni sono ovviamente molto utili nell’ottica dell’implementazione del metodo alcalcolatore.

* * * * *

ESEMPIO:


1

1 2 2( )

1 0.25 0.375 0.25 0.375

z X z

z z z z

−

− −= =− − − − z

.

Per calcolare l’antitrasformata di questa espressione, si vuole applicare il metodo dell’espansione in

frazioni parziali. Rimandando ai testi di analisi matematica per i necessari dettagli, ricordiamo qui

che, a partire dalla (42), occorre procedere come segue.

Se i poli di X ( z) sono del primo ordine (poli semplici) ed N = M , allora l’espansione di X ( z) assume

la seguente struttura:

1 2 1 20 01 1 1

1 21 2

0

1

( )1 1 1

M M

M M

M

k

k k

C C C C z C z C z X z B B

z p z p z p p z p z p z

C z B z p

− − −

=

= + + + + = + + + +− − −− − −

= + −∑

… … =

(43)

avendo appunto indicato con pk il k -esimo polo della funzione.

Il coefficiente B0 vale:

0 N

N

b B

a=

I coefficienti C k si dicono residui della funzione X ( z) (vedi esempi successivi relativi

all’applicazione del metodo dei residui).Se, nella (42), N


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Se, invece, N > M (e quindi il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore), alloraè preliminarmente necessario dividere il polinomio a numeratore per il polinomio a denominatore,

in modo da riscrivere X ( z) come segue:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

N z R z X z Q z

D z D z= = +

essendo Q( z) il polinomio quoziente e R( z) il polinomio resto. A questo punto, per la fattorizzazione

del rapporto R( z)/ X ( z) si potrà procedere come sopra.Il coefficiente C k , relativo al polo pk , può essere calcolato moltiplicando ambo i membri della (43)

per ( z – pk )/ z e quindi ponendo, nell’espressione così ottenuta, z = pk ; esplicitamente, si ha allora:

( )( )

k

k k z p

X zC z p

z == −

Se X ( z) contiene uno o più poli multipli (degli M poli, alcuni sono coincidenti) allora occorreintrodurre, a tenere conto di questo fatto, termini aggiuntivi nella (43). Per esempio, se X ( z)

contiene un polo di ordine m, in z = pk , allora l’espansione in frazione parziali deve includere:

1( )

m j

jk j

D

z p= −∑

dove i coefficienti D j si calcolano come:

1 (( )( )!

k

m j m j k m j

z p

d X D z pm j zdz

−−

) z

=⎡ ⎤= −⎢ ⎥− ⎣ ⎦

Volendo dunque applicare la procedura descritta all’esempio in oggetto, come primo passo, si

devono mettere in evidenza i poli di X ( z):

( )( )( )

0.75 0.5

z X z

z z=

− +

Si vede allora che, nell’esempio specifico, la funzione ha due poli del primo ordine in z = 0.75 e z =

−0.5. Di qui, tenendo conto che il grado del numeratore è minore del grado del denominatore ( N < M ), la X ( z) può essere fattorizzata come segue:

( )( ) ( ) ( )5.075.05.075.0)( 21

++

−=

+−=

z

zC

z

zC

z z

z z X .

Per calcolare C 1, dividiamo per z e moltiplichiamo i membri di questa relazione per ( z – 0.75);

quindi, valutiamo il risultato in z = 0.75. Così facendo si trova:

( ) 54

5.0

1

75.01 =+= = z z

C .

14


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Con procedura analoga, si trova C 2 = −4/5. In definitiva:

( ) ( )5.0)5/4(

75.0

)5/4()(

+−

−=

z

z

z

z z X .

Ci si è, in tal modo, ricondotti a trasformate note, e utilizzando infatti la Tabella 1 si ottiene

immediatamente per la trasformata inversa:

[ ] 0,)5.0()75.0(5

4)( ≥−−= nn x nn .

* * * * *

ESEMPIO:


( )( )

1 2 2 2

1 2 2

1 2 2 1 2 1( )

0.5 0.3257 0.5 0.32571 0.3561 0.3561

z z z z z z X z

z i z i z z z z

− −

− −+ + + + + +

= = =− − − +− + − +

.

In questo caso X ( z) contiene due poli complessi coniugati, del primo ordine: p1 = r eiθ = 0.5 +

i0.3257 e p2 = p1* = r e

−iθ = 0.5 − i0.3257 (r = 0.5967, θ = 33.08°). Essendo il grado del numeratore

uguale a quello del denominatore, la trasformata assegnata si fattorizza come segue:

( )

( )

1 20 *

1 1

( ) C z C z

X z B z p z p

= + +− −

Facilmente si trova:

8082.23561.0

10 ===

N

N

a

b B

e

( )k p z

k k p z

z

z X C

=

−=)(

,

per cui: C 1 = −0.9041 – i5.9928 e C 2 = C 1* = −0.9041 + i5.9928. In definitiva:

( ) ( )(0.9041 5.9928) (0.9041 5.9928)

( ) 2.80820.5 0.3257 0.5 0.3257

i z i X z

z i z i

z+ −= − −

− − − +.

Applicando la Tabella 1 delle trasformate note, si ottiene:

0),58.9808.33cos()5967.0(1213.12)(8082.2)( ≥°−+δ= nnnn x n .

* * * * *

15


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ESEMPIO:


2

2

)1)(5.0()( −−= z z

z

z X .

In questo caso X ( z) ha un polo del primo ordine in z = 0.5, ma anche un polo del secondo ordine in z

= 1. L’espansione in frazioni parziali assume allora la forma seguente:

( ) ( )221

11)5.0()(

−+

−+

−=

z

z D

z

z D

z

Cz z X .

Per calcolare D j, j = 1, 2, si utilizza:

( )1

( )!k

m jm

j k m j z p

d X z D z p

m j zdz

−

−( )

=

⎡= −⎢− ⎣ ⎦⎤⎥ ,

dove m è l’ordine del polo (m = 2 per il caso in esame). In definitiva, con semplici calcoli, si

ottiene:

( ) ( )21

2

1

2

)5.0(

2)(

−+

−−

−=

z

z

z

z

z

z z X .

Utilizzando allora la Tabella 1 delle trasformate note si ricava:

0,)5.0()1(222)5.0(2)( ≥+−=+−= nnnn x nn .

* * * * *

ESEMPIO:


)5.0)(75.0()(

+−=

z z

z z X ,

che presenta due poli del primo ordine, in z = 0.75 e z = −0.5. Applicando il metodo dei residui, latrasformata inversa si calcola come risultato del seguente integrale di linea:

∫ −π= C n

z z X zi

n x d )(2

1)( 1 ,

dove C è il percorso chiuso di integrazione che include tutti i poli di X ( z). D’altro canto, nel caso di

X ( z) costituita da polinomi razionali, si applica il Teorema dei Residui di Cauchy, per cui:

[∑∫ =π−

k k

C

n p zF z z X z

i),(Resd )(

2

1 1 ] ,

16


17/19

dove:

[ ] [ ]1

1

1Res ( ), ( ) ( )

( 1)! k

m

k k m z p

d F z p z p F z

m dz

−

− == −

−

è il residuo di F ( z) = zn−1

X ( z) in z = pk (polo di ordine m), e la sommatoria è estesa ai poli di F ( z)

entro il contorno C . Nel caso di poli semplici distinti, in particolare, si ha:

[ ]k k p z

nk p zk k

z X z p z zF p z p zF =

−= −=−= )()()()(),(Res

1.

Possiamo utilizzare queste espressioni generali per il caso in esame. Come contorno di integrazione

C si può assumere il cerchio unitario (| z| = 1) che infatti include ambedue i poli della X ( z). Cosìfacendo, si trova:

[ ] n z

zF z zF )75.0(5

4)()75.0(75.0),(Res

75.0 =−= = .

e

[ ] n z

zF z zF )5.0(5

4)()5.0(5.0),(Res

5.0 −=+=− −= ,

per cui, sostituendo:

[ ] 0,)5.0()75.0(5

4)( ≥−−= nn x nn .

* * * * *

ESEMPIO:


( )( )

2 2

2

2 1 2 1( )

0.5 0.3257 0.5 0.32570.3561

z z z z X z

z i z i z z

+ + + += =

− − − +− +

.

Come contorno C di integrazione si può assumere il cerchio di raggio r = 0.5967, che infatti include

ambedue i poli (complessi coniugati) di X ( z).

D’altro canto, ai fini dell’applicazione del teorema dei residui, è necessario distinguere il caso n = 0

dal caso n > 0.

Per n = 0, infatti, la funzione ausiliaria F ( z) = z−1 X ( z) vale:

( )3561.012

)(2

2

+−

++=

z z z

z z zF ;

oltre ai poli complessi coniugati, quindi, presenta anche un polo nell’origine ( z = 0).

Applicando la formula dei residui si ottiene quindi:

17


18/19

[ ] 8082.2)(0),(Res0 == = z z zF zF ,

[ ]0.5 0.3257

Res ( ),0.5 0.3257 ( 0.5 0.3257) ( ) 0.9041 5.9928 z i

F z i z i F z i= ++ = − − = − − ,

[ ]0.5 0.3257

Res ( ),0.5 0.3257 ( 0.5 0.3257) ( ) 0.9041 5.9928 z i

F z i z i F z i= −− = − + = − + .

Combinando i risultati si ottiene:

[ ] [ ] [ ](0) Res ( ),0 Res ( ),0.5 0.3257 Res ( ),0.5 0.3257 1 x F z F z i F z i= + + + − = .

Per n > 0, invece, il polo nell’origine per F ( z) non è più presente e, con semplici calcoli si trova:

[ ]

[ ]

0.5 0.3257

Res ( ),0.5 0.3257 ( 0.5 0.3257) ( )

6.0606(0.5967) cos(33.08 98.58 ) sin(33.08- 98.58 )

z i

n

F z i z i F z

n i

= +

+ = − −

= − ° +

=

°,

[ ]

[ ]

0.5 0.3257Res ( ),0.5 0.3257 ( 0.5 0.3257) ( )

6.0606(0.5967) cos(33.08 98.58 ) sin(33.08- 98.58 )

z i

n

F z i z i F z

n i

= −− = − +

= − ° −

=

°.

Combinando i risultati, si trova:

[ ] [ ]( ) Res ( ),0.5 0.3257 Res ( ),0.5 0.3257 12.1213(0.5967) cos(33.08 98.58 )n x n F z i F z i n= + + − = − °

E questa espressione vale, come detto, limitatamente a valori di n > 0.

* * * * *

ESEMPIO:


2

2

)1)(5.0()(

−−=

z z

z z X .

In accordo con il Teorema dei Residui, si ha

[∑=

= M

k

k p zF n x

1

),(Res)( ],

con M = 2 e

2

11

)1)(5.0()()(

−−== +−

z z

z z X z zF nn .

18


19/19

Applicando quanto noto dalla teoria, si ha allora:

[ ] n

z

n

z z

z z zF )5.0(2

)1)(5.0(

)5.0(5.0),(Res

5.02

1

=−−

−=

=

+,

[ ]2 1

2

1

( 1)Res ( ),1 2( 1)

( 0.5)( 1)

n

z

d z zF z n

dz z z

+

=

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦− .

Combinando i risultati, si trova dunque:

nnn x )5.0()1(2)( +−= .

* * * * *

La trasformata Z gode di proprietà del tutto analoghe a quelle valide per la trasformata di Fourier.Tra esse, la più importante è probabilmente la proprietà di traslazione dell’asse dei tempi, in virtù

della quale all’introduzione di un ritardo di m campioni nella sequenza x(n) corrisponde, nel

dominio della trasformata, il prodotto per il fattore z−m

. Formalmente:

)()(

)()(

z X zmn x

z X n x

m−→−

→. (44)

Ovviamente non va dimenticata la proprietà della convoluzione, in virtù della quale dato un sistema

lineare stazionario a tempo discreto, caratterizzato dalla risposta impulsiva h(k ), l’uscita del sistemaad un segnale in ingresso x(n) vale:

∑∞

−∞=

−=k

k n xk hn y )()()( (45)

nel dominio del tempo e

)()()( z X z H zY = (46)

in quello della trasformata.Queste proprietà, strutturalmente molto semplici e assolutamente idonee all’implementazione, sono

alla base del successo della trasformata Z per l’elaborazione dei segnali (DSP: Digital SignalProcessing) e, in particolare, per l’analisi e la sintesi di filtri numerici.

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Trasformata Di Laplace e Trasformata Z Fermo