IAS: trasformata di Laplace

Eugenio Montefusco

14 gennaio 2015

1 Trasformata di Laplace

Definizione. Sia f :�−→�, diremo che f è trasformabile se, per λ ∈�, vale

e−λt | f (t )| ∈ L1(0,+∞)

e si definisce trasformata di Laplace di f la seguente funzione

L( f )(s) =∫ +∞

0f (t )e−st dt =

∫�

f (t )e−st H(t )dt s ∈� con ℜ(s) >λ

La precedente definizione è ben posta, infatti, risulta

|L( f )(s)| ≤∫ +∞

0|e−st f (t )|dt ≤

∫ +∞

0e−ℜ(s)t | f (t )|dt ≤

∫ +∞

0e−λt | f (t )|dt <+∞

e in particolare abbiamo provato che

‖L( f )‖L∞ ≤ ‖e−λt u(t )‖L1

cioè L( f ) ∈ L∞(D), dove D è il dominio {s ∈� : ℜ(s) >λ}.Per familiarizzare con la definizione or ora proposta calcoliamo alcune trasformatedi Laplace.

Esempi.1. Sia f (t ) ≡ 1, allora segue che

L(1)(s) =∫�

e−st H(t )dt =∫ +∞

0e−st dt =

[−e−st

s

]+∞0

= 1

sℜ(s) > 0

si noti che la richiesta ℜ(s) > 0 è essenziale per la convergenza dell’integrale, seℜ(s) < 0 non avremmo a che fare con una funzione L1(0,+∞) visto che la parte realedell’esponenziale complesso divergerebbe.2. Sia f (t ) = e iωt , con ω ∈�, abbiamo che

L(e iωt )(s) =∫ +∞

0e−(s−iω)t dt =

[−e−(s−iω)t

s − iω

]+∞0

= 1

s − iωℜ(s) > 0

1

analogamente vale

L(e−iωt )(s) = 1

s + iωℜ(s) > 0

Dalle precedenti trasformate e ricordando che

cos(ωt ) = e iωt +e−iωt

2sin(ωt ) = e iωt −e−iωt

2i

otteniamo anche

L(sin(ωt ))(s) = ω

s2 +ω2 L(cos(ωt ))(s) = s

s2 +ω2 ℜ(s) > 0

3. Si consideri la funzione

f (t ) ={

t t ∈ [0,1]

1 t ∈ (1,+∞)

allora abbiamo che

L( f )(s) =∫ 1

0te−st dt +

∫ +∞

1e−st dt =

[− te−st

s

]1

0= 1

s − iωℜ(s) > 0

Definizione. Diremo che f ha ordine esponenziale λ ∈� se esistono M , t0 > 0 taliche

| f (t )| ≤ Meλt ∀t ≥ t0

Dalla definizione segue che se λ è ordine esponenziale per f allora ogni µ > λ èancora ordine esponenziale per f , quindi possiamo chiamare ascissa di convergenzaassoluta la quantità

λa( f ) = inf{λ :λ è ordine esponenziale per f

}

Teorema 1.1 Sia f trasformabile, alloraL( f )(s) esiste ed è ben definita in D = {ℜ(s) >λa( f )} ⊆�Dimostrazione. Per definizione di ascissa di convergenza assoluta abbiamo che| f (t )| ≤ M1eλt per t ≥ t0 per ogni λ>λa( f ), dunque vale che

| f (t )| ≤ Meλt t ≥ 0

allora segue ∫ τ

0

∣∣e−st f (t )∣∣dt ≤ M

∫ τ

0e−(x−l a)t dt = M

1−e−(x−λ)τ

x −λdove x =ℜ(s), da cui otteniamo che∫ +∞

0

∣∣e−st f (t )∣∣dt ≤ M

1

x −λil che significa che la trasformata di Laplace di f è ben definita.

2

Corollario 1.2 Sia f trasformabile, allora∣∣L( f )(s)

∣∣−→ 0, per ℜ(s) −→+∞.

Esempi.1. Se f (t ) = eat , con a ∈�, allora abbiamo che

L(eat )(s) =∫ +∞

0e−st eat dt = e−(s−a)t

−(s −a)

∣∣∣∣+∞0

= 1

s −aℜ(s) > a

2. Se f (t ) = t troviamo che

L(t )(s) =∫ +∞

0te−st dt =− te−st

−s

∣∣∣∣+∞0

+ 1

s

∫ +∞

0e−st dt = 1

sL(1)(s) = 1

s2 ℜ(s) > 0

3. Ragionando per induzione è facile provare che

L(t n)(s) = n!

sn+1 ℜ(s) > 0

Osservazione 1.3 Come è evidente dalla definizione, la trasformata di Laplace è unoperatore lineare che agisce sullo spazio delle funzioni trasformabili. Quindi la li-nearità di L permette di ottenere la trasformata di un qualsiasi polinomio, infatti sep(t ) = a0 +a1t + . . .+an t n , allora

L(p)(s) =n∑

k=0

ak k !

sk+1

Notiamo, però, che se f (t ) = e−t 2 =∑+∞k=0

(−1)k t 2k

k !segue

L

(n∑

k=0

(−1)k t 2k

k !

)=

n∑k=0

(−1)k

k !L(t 2k ) =

n∑k=0

(−1)k

k !

(2k)!

s2k+1= 1

s

n∑k=0

(−1)k (2k) · . . . · (k +1)

s2k+1

e le somme parziali ottenute non convergono, mostrando che in generale non valelo scambio tra l’operazione di serie e la trasformata di Laplace.

Il teorema che segue fornisce delle ipotesi sufficienti allo scambio tra le due opera-zioni.

Teorema 1.4 Se f (t ) = ∑+∞n=0 an t n converge per t ≥ 0 ed esistono α,k > 0 tali che

|an | ≤ kαn/n! per n ≥ n0, allora

L( f )(s) =+∞∑n=0

ann!

sn+1 ℜ(s) >α

Esempio. Consideriamo la funzione

f (t ) = sin(t )

t=

+∞∑n=0

(−1)n t 2n

(2n +1)!

3

Siccome |an | = 1/(2n+1!), le ipotesi del precedente teorema sono soddisfatte, quindiotteniamo che

L

(sin(t )

t

)(s) =

+∞∑n=0

(−1)n

(2n +1)!L(t 2n)(s) =

+∞∑n=0

(−1)n

2n +1

1

s2n+1 = arctg

(1

s

)ℜ(s) > 1

in cui abbiamo usato l’identità

arctg(x) =∫ x

0

dt

1+ t 2 =∫ x

0

+∞∑n=0

(−1)n t 2n =+∞∑n=0

(−1)n x2n+1

2n +1|x| < 1

2 Principali proprietà della trasformata di Laplace

Teorema 2.1 (di Lerch) Funzioni distinte in L1(0,+∞) hanno trasformate differenti,cioè L è iniettivo sulla classe delle funzioni trasformabili.

Esempio. Consideriamo la funzione f (t ) = Ha(t ) = H(t−a) =χ(a,+∞)(t ) e calcolia-mone la trasformata di Laplace. Ricordando la definizione abbiamo

L(Ha)(s) =∫ +∞

0e−st Ha(t )dt =

∫ +∞

ae−st dt = e−as

sℜ(s) > 0

Dal precedente calcolo segue anche che

L(χ(a,b))(s) =∫ +∞

0e−stχ(a,b)(t )dt = e−as −e−bs

sℜ(s) > 0

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Teorema 2.2 Sia f una funzione trasformabile e a > 0, allora se L( f )(s) ha dominio{ℜ(s) >λ}, vale che

L( f (t ))(s −a) =L(eat f (t ))(s) ℜ(s) >λ+a

Dimostrazione.

Esempi. Dai precedenti esempi proposti segue che

L(t neat )(s) = n!

(s −a)n+1 ℜ(s) > a

questo, in particolare, può essere riletto nel seguente modo

L−1

(1

(s −a)n+1

)= t neat

n!

4

Gli esempi visti precedentemente implicano anche che

L(eat cos(ωt )

)(s) = (s −a)

(s −a)2 +ω2 ℜ(s) > a

L(eat sin(ωt )

)(s) = ω

(s −a)2 +ω2 ℜ(s) > a

Teorema 2.3 Sia f una funzione trasformabile e a > 0, allora se L( f )(s) ha dominio{ℜ(s) >λ}, vale che

L(Ha(t ) f (t −a))(s) = e−asL( f (t ))(s) ℜ(s) >λ

Dimostrazione.

Esempio. Il precedente risultato implica che, siccome

e−2s

s2 +1= e−2s

L(sin(t ))(s)

vale

L−1

(e−2s

s2 +1

)= H2(t )sin(t −2)

Veniamo ora ad enunciare e provare un risultato decisamente utile

Teorema 2.4 Sia f una funzione trasformabile, allora seL( f )(s) ha dominio {ℜ(s) >λ}vale che

d n

dsn L( f (t ))(s) =L((−1)n t n f (t )

)(s) ℜ(s) >λ, n ∈�

Dimostrazione.

Esempio. Il precedente teorema permette di calcolare rapidamente alcune trasfor-mate, per esempio

L (t cos(ωt )) (s) =− d

dsL (cos(ωt )) (s) =− d

ds

( s

s2 +ω2

)= s2 −ω2

(s2 +ω2)2

L (t sin(ωt )) (s) = 2ωs

(s2 +ω2)2

Osservazione 2.5 Si noti che la trasformata di Laplace risulta essere derivabile unnumero arbitrario di volte, senza necessità di una qualche maggiore regolarità dellafunzione trasformabile f .Si noti che, i particolare, abbiamo provato che

f (t ) =−1

tL−1

(d

dsL( f )(s)

)

5

Teorema 2.6 Sia f trasformabile e di classe C 1(0,+i n f t y), allora segue che

L(

f ′(t ))

(s) = sL(

f (t ))

(s)− f (0)

Dimostrazione.

Osservazione 2.7 Si noti che nel precedente enunciato non si avanza alcuna richie-sta sulla trasformabilità di f ′.

Esempio. Applichiamo il precedente teorema alla funzione f (t ) = sin2(ωt ), ovvia-mente vale

f ′(t ) = 2ωsin(ωt )cos(ωt ) =ωsin(ωt )

da cui segue che

L (ωsin(ωt )) (s) = sL(sin2(ωt )

)(s)− sin2(0) = sL

(sin2(ωt )

)(s)

ovvero

L(sin2(ωt )

)(s) = ω2

s(s2 +ω2)

Osservazione 2.8 Il teorema precedente implica la seguente identità

L(

f ′′(t ))

(s) = sL(

f ′(t ))

(s)− f ′(0)

= s(sL

(f (t )

)(s)− f (0)

)− f ′(0)

= s2L

(f (t )

)(s)− s f (0)− f ′(0)

valida per funzioni trasformabili di classe C 2(0,+∞).

3 Alcune applicazioni

Una delle principali applicazioni della trasformata di Laplace riguarda la soluzionedei problemi di Cauchy per equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti ono. Analizziamo con un esempio il funzionamento della procedura.Consideriamo il seguente problema di Cauchy{

u′′(t )+u(t ) = 1

u(0) = a u′(0) = b

con a,b ∈�. Applichiamo l’operatore della trasformata di Laplace ad ambo i mem-bri dell’equazione ottenendo

L(u′′(t )

)(s)+L (u(t )) (s) =L (1)(s)

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ricordando i risultati precedenti possiamo scrivere che

s2L (u(t )) (s)− su(0)−u′(0)+L (u(t )) (s) = s2

L (u(t )) (s)− sa −b +L (u(t )) (s) = 1

s

da cui otteniamo

L (u(t )) (s) = 1+bs +as2

s(1+ s2)= 1

s+ b

1+ s2 + (a −1)s

1+ s2

ricordando alcune trasformate calcolate nelle pagine precedenti possiamo scrivereche

L (u(t )) (s) =L (1)(s)+bL (sin(t )) (s)+ (a −1)L (cos(t )) (s)

l’iniettività dell’operatore implica che

u(t ) = 1+b sin(t )+ (a −1)cos(t )

ovviamente u risolve l’equazione e verifica le condizioni iniziali, cioè è l’unica solu-zione del problema di Cauchy.

da completare...

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