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ESTÁTICAAULA
• Análise de estruturas
Estática
A6 - 2
Índice
• CAPÍTULO 6• Definição de uma treliça• Treliças simples• Análise de treliças pelo método dos nós• Nós sujeitos a condições especiais de carregamento• Análise de treliças pelo método das secções• Treliças copmpostas por várias treliças simples
• CAPÍTULO 7• Forças interiores em elementos• Vigas: tipos de carregamentos e apoios• Força de corte e momento flector numa viga• Diagramas de esforço transverso e momento flector
Estática
A6 - 3
Estruturas
Estrutura – Sistema qualquer de elementos ligados, construído para suportar ou transferir forças e para resistir com segurança às cargas que nele actuam. Na análise das forças das estruturas, é necessário desmembrar a estrutura e analisar, separadamente, os diagramas de corpo livre dos elementos individuais ou da combinação dos elementos, de maneira a determinar as forças internas da estrutura.
Considere-se o guindastre:
Forças exteriores
Forças interiores
Em conformidade com a terceira lei de Newton que afirma que, as forças de acção e reacção entre corpos em contacto têm a mesma intensidade, a mesma linha de acção, e sentidos opostos.
Estática
A6 - 4
Treliças
Uma treliça é uma estrutura:
• Constituída por barras rectilíneas ligadas umas às outras por articulações (nós). Portanto, as forças actuantes nas extremidades de uma barra reduzem-se a uma única força sem binário.
• As barras de uma treliça ligam-se apenas através das suas extremidades; assim, nenhuma barra tem continuidade através de uma articulação.
• As únicas cargas aplicadas são forças concentradas e actuam sempre sobre os nós.
Tracção compressão
Estática
A6 - 5
Treliças
Uma treliça é uma estrutura:
• Constituída por barras rectilíneas ligadas umas às outras por articulações (nós). Portanto, as forças actuantes nas extremidades de uma barra reduzem-se a uma única força sem binário.
• As barras de uma treliça ligam-se apenas através das suas extremidades; assim, nenhuma barra tem continuidade através de uma articulação.
• As únicas cargas aplicadas são forças concentradas e actuam sempre sobre os nós.
• É suposto, que o peso da barra é pequeno quando comparado com a força que ele suporta. Em caso contrário se o efeito do peso tiver de ser levado em conta, o peso P, se a barra for uniforme, poderá ser suposto como duas forças, P/2, cada uma actuando nas extremidades da barra.
• Os únicos tipos de apoio possíveis são apoios fixos ou móveis, e estão sempre localizados nos nós.
Estática
A6 - 6
Treliças
Uma treliça poderá ser plana, quando todas as barras são complanares, ou espacial, no caso contrário.
Treliça Plana Treliça Espacial
Estática
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Treliças
Uma treliça poderá ser plana, quando todas as barras são complanares, ou espacial, no caso contrário.
Treliça Espacial
Estática
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Treliça Simples
• Uma treliça é considerada rígidaquando sujeita a determinado carregamento não perder a sua forma, ou seja não sofrer grandes deformações.
Estática
A6 - 9
Treliça Simples
Considerando:
m – nº de barras da treliça
n – nº de nós da treliça
Uma treliça simples verifica sempre a igualdade
2n = m + 3
• Treliça Simples – é toda a treliça que pode ser construída ligando três barras em três nós, formando um triângulo, e adicionando em seguida sucessivos grupos de duas barras, ligadas a dois nós já existentes e a novo nó.
Estática
A6 - 10
Análise de Treliças pelo Método dos Nós• Decompor a treliça da figura e traçar o DCL para cada
barra e articulação.
• Cada barra é submetida à acção de duas forças, uma em cada extremidade, essas forças têm a mesma intensidade a mesma linha de acção e sentidos opostos.
• As forças exercidas por uma barra nas duas articulações a que esta se liga têm de estar dirigidas segundo o eixo da barra e ser iguais e opostas.
• Se a treliça contiver n articulações, haverá, portanto, 2nequações disponíveis, que podem ser resolvidas em ordem a 2n incógnitas. Para uma treliça simples, temos 2n = m + 3 equações que podem ser resolvidas para mbarras e três reacções nos apoios.
• O facto de a treliça no seu conjunto ser um corpo rígido em equilíbrio pode ser usado para escrever três equações adicionais envolvendo somente as forças externas aplicadas e as reacções nos apoios, no entanto estas equações não são independentes das associadas as articulações.
Estática
A6 - 11
Problema
Utilizando o método dos nós, determine o esforço instalado em cada uma das barras da treliça representada.
SOLUÇÃO:
• Com base no DCL da treliça inteira, resolver as 3 equações de equilíbrio para assim determinar as reacções nos apoios em E e C.
• Escolher um nó onde existam somente duas forças desconhecidas, ex. nó B. Determinar estas forças a partir das equações de equilíbrio no nó.
• De seguida determinar as forças desconhecidas a partir das equações de equilíbrio nos nós C, e D,.
• Todas as forças nas barras bem como as reacções nos apoios são agora conhecidas Uma verificação do equilíbrio pode ser efectuada para o nó A.
8 m
Estática
A6 - 12
Problema
BxBy Cy
0 1800 2 2400 3,6 1,5 03360
0 1800 01800
0 2400 02400 3360
960
y
y
x x
x
y y y
y
y
M CC N
F BB N
F B CBB N
= ⇔ ⋅ − ⋅ + ⋅ =
⇔ =
= ⇔ − =
⇔ =
= ⇔ − + =
⇔ = −
⇔ = −
∑
∑
∑
Estática
A6 - 13
Problema
By
FBA
FBC
α
2 53,130º1,5
tgα α= ⇔ =
( )
( )
0 53,13 960 0
1200
0 1800 cos 53,13º 0
2520
y BA
BA
x BC BA
BC
F F sen
F N T
F F F
F N C
= ⇔ ⋅ − =
⇔ =
= ⇔ − + ⋅ =
⇔ =
∑
∑
Bx
FCD
FCA
= 3360N
FCB=2520 N
( )
( )
0 3360 0
3360 3360
0 2520 0 2520
y CA
CA CA
x CD CD
F F
F N F N C
F F F N C
= ⇔ + =
⇔ = − ⇔ =
= ⇔ − = ⇔ =
∑
∑
Estática
A6 - 14
Problema
FDA
FDC=2520 N
γ
2 43,6º2,1
tg γ = =
( )
( )
0 43,6º 2400 0
3480
0 2520 0 2520
y DA
DA
x CD CD
F F sen
F N T
F F F N C
= ⇔ − =
⇔ =
= ⇔ − = ⇔ =
∑
∑
Estática
A6 - 15
Nós sujeitos a condições especiais de carregamento• Forças em barras opostas têm de ser iguais .
• Nesta situação as forças nas duas barras opostas têm de ser iguais, e a força na terceira barra tem de ser igual a P. Se P=0 então a força na barra AC é nula, e a barra AC diz-se um elemento sem esforço.
• A força em duas barras ligadas num nó éigual se as barras forem colineares e zero caso contrário.
Elementos sem esforço.
Estática
A6 - 16
Nós sujeitos a condições especiais de carregamento
• A identificação prévia dos nós que estão sujeitos às condições especiais de carregamento anteriormente referidas tornará mais expedita a análise de uma treliça.
Elementos sem esforço.
Estática
A6 - 17
Análise de Treliças pelo Método das Secções
• O método dos nós é muito utilizado quando se pretende determinar as forças em todos os elementos de uma treliça. Se, no entanto, somente se desejar conhecer as forças em um ou uns elementos, o método das secções émais indicado.
• Para determinar a força nos elementos, podemos passar uma secção através de três elementos da treliça dividindo-a em duas partes completamente separadas, no entanto esta secção não pode cortar mais do que três elementos. Cada uma das duas partes da treliça obtidas depois de os elementos cortados terem sido removidos pode ser utilizada como um corpo rígido.
Pretende-se determinar as forças nas barras BD, BE e CE.
a a a
b
Estática
A6 - 18
Análise de Treliças pelo Método das secções
• O facto de o corpo rígido ABC estar em equilíbrio pode ser expresso escrevendo três equações que podem ser resolvidas para as três forças desconhecidas..
• Para a força FBD
( )
1 2
1 2
0 2 02
E BD
BD
M P a P a F bP a P aF T
b
= ⇔ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
⋅ + ⋅⇔ =
∑
• Para a força FCE
( )
10 0B CE
CE
M P a F bP aF C
b
= ⇔ ⋅ + ⋅ =
⋅⇔ = −
∑
α
• Para a força FBE
( ) ( )
1 2
1 2
0 cos 0
cos
y BE
BE
F P P F
P PF C
α
α
= ⇔ + + ⋅ =
+⇔ = −
∑
Estática
A6 - 19
Análise de Treliças pelo Método das secções
Uma treliça de telhado de estádio é carregada tal como mostra a figura. Determine a força nos elementos AE, FEe FJ.
AEF
FEF
FJF
• Para a força FFJ
( )0 2.4 4 2.4 8 6 8 10.2 4 14.4 0
82E FJ
FJ
M F
F kN C
= ⇔ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ =
⇔ =∑
• Fazendo:( )
( ) ( )
0 cos 41.633º 82 4 8 8 4 058 77.601
cos 41.633º
y AE
AE
F F
F kN T
= ⇔ − ⋅ + − − − − =
⇔ = =
∑
• Fazendo:
2.4 41.633º2.7
tgα α= ⇔ =
• Fazendo:
( )( )
0 77.601 41.633º 0
51.555x FE
FE
F sen F
F kN C
= ⇔ − ⋅ + =
⇔ =∑
α
Estática
A6 - 20
Análise de Treliças
Problema de Equilíbrio Bidimensional
m - número de incógnitas que são os esforços nas barras.
r - número de reacções ou ligações ao exterior(do diagrama de corpo livre da treliça as 3 Eqs. de equilíbrio são utilizadas para calcular as reacções).
0; 0; 0;x yF F M= = =∑ ∑ ∑
n - número de nós(do diagrama de corpo livre para cada nó temos
2n equações = nº máximo de equações de equilíbrio independentes).
Nós(Particulas)
0; 0x yF F= = ⇒∑ ∑
Estática
A6 - 21
Classificação de Treliças
Isostática ( m = 2n-3 ) Exemplo: Treliça simples2 32 3
Treliça simples m nTreliça simples m n
⇒ = −⇐ = −
Hiperestática ( m > 2n-3 ) Treliça obtida é indeformável
302 3 1
16m
m nn=
⇒ = − = →=
1 elemento redundante
Hipoestática ( m < 2n-3 ) Treliça obtida é deformável, barras insuficientes funcionamento de mecanismo
2626 2 15 3 27
15mn=
⇒ < ⋅ − ==
Análise Interior(m,n)
Estática
A6 - 22
Classificação de Treliças
Análise Exterior(r - ligações ao exterior)
Hiperestática exterior ( r > 3 )
Hipoestática exterior (r < 3)(Ligações insuficientes)
Pode Mover-se
Ligações mal distribuídas
⇒
⇒
Não se Pode Mover
Isostática exterior (r = 3) ⇒
Estática
A6 - 23
nº máx. de equações
independentesGlobalmente Isostática
Classificação de Treliças
0g > ⇒
0g = ⇒
Análise Global: (m,n,r)
Globalmente Hiperestática
Globalmente Hipoestática
( )2g n m r= − +
nº de graus de liberdade
nº total de incógnitas
0g < ⇒
( ) 2m r n+ < ⇒
Há menos incógnitas do que equações. Portanto algumas das incógnitas não podem ser satisfeitas a treliça éparcialmente vinculada.
( ) 2m r n+ > ⇒
Há mais incógnitas do que equações. Portanto algumas das incógnitas não podem ser determinadas a treliça éindeterminada.
( ) 2m r n+ = ⇒ Há tantas incógnitas como equações. Atenção !!!!
Estática
A6 - 24
Classificação de Treliças
Globalmente Isostática
( ) 2m r n+ = ⇒ Há tantas incógnitas como equações. Atenção !!!!
Isto no entanto não significa que todas as incógnitas podem ser determinadas e que todas as equações podem ser satisfeitas. Esta é portanto uma condição necessária mas não suficiente.
=Treliça GlobalmenteIsostática
Treliça HipoestáticaInterior
Treliça HiperestáticaExterior+
3r <0g = 2 3m n< −
Estática
A6 - 25
Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios
O guindaste analisado foi construído de tal modo que podia manter a mesma forma sem a ajuda dos apoios; considerou-se então o guindaste um corpo rígido.
Muitas estruturas, no entanto, colapsarão quando separadas de seus apoios; tais estruturas não podem ser consideradas rígidas.
0 0
0 2 0 1
0 4 2 2 0
1
x x x x
y y y
y
y
x A B B A
y A B A
A B
B
F R R R R
F R R R kN
M R
R kN
= ⇔ + = ⇔ = −
= ⇔ + − = ⇔ =
= ⇔ ⋅ − ⋅ =
⇔ =
∑
∑
∑A B
G D G
C E
4 incógnitas para 3 equações !!!!
xARryAR
ryBR
r
xBRr
1 2F kN=r
Vemos pois que as reacções não podem ser completamente determinadas a partir do diagrama de corpo livre da estrutura inteira. Em consequência énecessário desmembrar a estrutura e considerar o diagrama de corpo livre das suas partes componentes, mesmo quando estamos somente interessados em determinar as reacções externas. Isso ocorre porque as equações de equilíbrio obtidas para o corpo livre globalsão condições necessárias para o equilíbrio de uma estrutura não-rígida mas não são condições suficientes.
1m 1m 1m 1m
4m
Estática
A6 - 26
Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios
A B
G D G
C E
xARr
yARr
yBR
xBR
DFFr
DEFr
1Fr
A B
G D G
C E
xARr
yARr
yBR
xBR
1Fr
DFFr
DEFr
α
0 2 4 0y xD A AM R R= ⇔ − ⋅ + ⋅ =∑
0.5xAR kN⇔ =
logo da primeira equação
0.5x xB AR R kN= − = −
Estática
A6 - 27
Problema
Determine as componentes das forças actuantes em cada uma das barras da estrutura indicada.
Estática
A6 - 28
Problema
Considere o diagrama de corpo livre da estrutura completa :
:0=∑ EM
( )( ) ( ) 0m8.4m6.3N2400 =+− F N1800=F
:0=∑ yF
0N1800N2400 =++− yE NEy 600=
:0=∑ xF 0=xE
Estática
A6 - 29
Problema
Estática
A6 - 30
Problema
Considerando o membro BCD como um corpo livre:
:0=∑ BM( )( ) ( ) 0m4.2m6.3N2400 =+− yC N3600=yC
:0=∑ CM( )( ) ( ) 0m4.2m2.1N2400 =+− yB N1200=yB
:0=∑ xF 0=+− xx CB
Considerando o membro ABE como um corpo livre:
:0=∑ AM ( ) 0m4.2 =xB 0=xB
∑ = :0xF 0=− xx AB 0=xA
∑ = :0yF 0N600 =++− yy BA N1800=yA
Do membro BCD,
:0=∑ xF 0=+− xx CB 0=xC
Estática
A6 - 31
Forças em Vigas
• Nos capítulos precedentes foram considerados dois problemas básicos envolvendo estruturas:
a) determinação das forças exteriores que actuam sobre a estrutura;
b) Determinação das forças que mantêm unidos os vários elementos que formam a estrutura;
Agora será também considerado o problema da determinação das forças interiores (tracção/compressão, corte, flexão) que mantêm unidas as várias partes de um dado elemento.
Neste estudo duas importantes estruturas merecem a nossa especial atenção:
a) Vigas – são habitualmente elementos compridos, prismáticos e de eixo rectilíneo, projectadas para suportar cargas aplicadas em vários pontos ao longo do seu comprimento;
b) Cabos – são elementos flexíveis com resistência apenas à tracção, projectados para suportar cargas concentradas ou distribuídas.
Estática
A6 - 32
Forças interiores em elementos
Consideremos uma barra linear AB de eixo rectilíneo submetida à acção de duas forças F e –F.
Sabemos que as forças F e –F aplicadas em A e B, devem ser dirigidas segundo AB, com sentidos opostos e a mesma intensidade.
Estática
A6 - 33
Forças interiores em elementos
Consideremos uma barra linear AB de eixo rectilíneo submetida à acção de duas forças F e –F.
Para que o equilíbrio dos corpo livres AC e CB seja mantido é necessário aplicar ao corpo AC uma força –F, igual e oposta a F, e ao corpo CB uma força F, igual e oposta a -F.
Conclui-se que no caso de barras lineares de eixo rectilíneo submetidas à acção de duas forças, as forças interiores que duas partes do elemento exercem uma sob a outra são equivalentes a forças axiais.
A intensidade comum F dessas duas forças não depende da localização da secção C e é denominada esforço normal no elemento AB.
Estática
A6 - 34
Forças interiores em elementos
Torna-se claro que a acção das forças interiores no elemento AD não está limitada a produzir tracção nem compressão, as forças interiores produzem também corte e flexão.
A força F é uma força axial; a força V é denominada força de corte; e o momento M do binário é conhecido por momento flector.
Estática
A6 - 35
Forças interiores em elementos
• Num elemento linear de eixo não rectilíneo submetido à acção de duas forças, as forças interiores são também equivalentes a sistemas força-binário.
Estática
A6 - 36
Tipos de carregamento e de apoios
• Viga – elemento estrutural projectado para suportar cargas aplicadas em vários pontos ao longo do seu comprimento.
• O projecto de uma viga que se pretende suporte um dado carregamento é um processo com duas partes:
1) determinar as forças de corte e os momento flectores produzidos pelo carregamento;
2) seleccionar a forma e as dimensões da secção transversal mais convenientes para resistir às forças de corte e aos momentos flectores determinados na primeira parte.
• Uma viga pode estar submetida à acção de forças concentradas P1, P2 ,…,ou de uma carga distribuída, ou à acção combinada de ambas.
Forças concentradas
Forças distribuídas
Estática
A6 - 37
Tipos de carregamento e de apoios
• As vigas classificam-se de acordo com o modo como são apoiadas.
Vigas estaticamente determinada ou isostática
Viga simplesmente apoiada
Viga simplesmente apoiada com extremidade em consola
Viga em consola
Viga contínua
Vigas estaticamente indeterminada
ou hiperestática
Vão
• Note-se que as reacções serão estaticamente determinada se os apoios envolvem apenas três incógnitas. Se envolvem mais do que três incógnitas, as reacções são estaticamente indeterminadas.
Viga encastrada numa extremidade e simplesmente apoiada na outra
Viga biencastrada
Estática
A6 - 38
Força de corte e momento flector numa viga
• Pretende-se determinar a força de corte e o momento flector em qualquer ponto da viga.
Primeiro há que determinar as reacções nos apoios escolhendo a viga inteira como um corpo rígido.
Forças internasCortar a viga em C e desenhar os diagramas de corpo livre para AC e CB. Assumir a convenção de sinais para o esforço transverso e momento flector.
A partir das equações de equilíbrio, determinar M e V ou M’ e V’.
Estática
A6 - 39
Força de corte e momento flector numa viga
O esforço transverso V e o momento flector Mnum dado ponto de uma viga dizem-se positivos quando as forças e os binários interiores actuantes em cada uma das partes estão dirigidos como se representa em (a).
O esforço transverso em C é positivo quando as forças exteriores (forças aplicadas e reacções) que actuam na viga tenderem a cortar a viga em C.
Forças interiores na secção (esforço transverso e momento flector positivos)
Efeito das forças exteriores(esforço transverso positivo)
Efeito das forças exteriores(momento flector positivo)
O momento flector em C é positivo quando as forças exteriores que actuam na viga tenderem a flectir a viga em C.
Estática
A6 - 40
Força de corte e momento flector numa viga
O esforço axial em C é positivo quando as forças exteriores (forças aplicadas e reacções) que actuam na viga tenderem a traccionar a viga em C.
Efeito das forças exteriores(esforço axial positivo)
Estática
A6 - 41
Diagramas de esforço transverso e de momento flector• As variações do esforço transverso e do momento
flector podem ser graficamente representadas
• Determinar as reacções nos apoios.• Cortar a viga em C e considerar
o troço AC,
22 PxMPV +=+=
• Cortar a viga em E e considerar o troço EB,
( ) 22 xLPMPV −+=−=
• Para uma viga sujeita apenas a cargas concentradas, o esforço transverso toma valores constantes entre cargas, e o momento flector varia linearmente entre estas.
Estática
A6 - 42
Problema
Trace os diagramas de esforço transverso e momento flector da viga representada.
SOLUÇÃO:
• Do diagrama de corpo livre da liga inteira obtêm-se as reacções em B e D.
46 14B DR kN R kN= ↑ = ↑
Estática
A6 - 43
Problema
• Esforço transverso e momento flector
5 5
6 6
14 kN 28 kN m14 kN 0 kN m
V MV M
= − = ⋅= − = ⋅
Similarmente,
∑ = :0yF 120 kN 0V− − = ⇔ kN201 −=V
1 0 :M =∑ ( )( ) 120 kN 0 m 0M+ = ⇔ 01 =M
∑ = :0yF 220 0V− − = ⇔ 2 20 kNV = −
2 0 :M =∑ 220 2.5 0M⋅ + = ⇔ 2 50M kN= −
∑ = :0yF 320 46 0V− + − = ⇔ 3 26 kNV =
3 0 :M =∑ 320 2.5 46 0 0M⋅ − ⋅ + = ⇔ 3 50M kN= −
∑ = :0yF 420 46 0V− + − = ⇔ 4 26 kNV =
3 0 :M =∑ 420 5.5 46 3.0 0M⋅ − ⋅ + = ⇔ 3 28M kN=
Estática
A6 - 44
Problema
• Resultados gráficos.
O esforço transverso tem valor constante entre cargas concentradas, e o diagrama de momento flector varia linearmente.